2021年中考三轮专题突破数学训练： 四边形综合（）
1．图四边形ABCD中AD∥BC∠A＝∠D＝90°点EAD中点连接BE△ABEBE折叠△GBE点G四边形ABCD部延长BG交DC点F连接EF．
（1）求证：△EGF≌△EDF
（2）求证：BG＝CD
（3）点FCD中点BC＝8求CD长．
2．图菱形ABCD中角线ACBD交点OAE⊥BC交CB延长线ECF∥AE交AD延长线点F．
（1）求证：四边形AECF矩形
（2）连接OEAE＝4AD＝5求tan∠OEC值．
3．矩形ABCD中AB＝3BC＝4EF角线AC两动点分AC时出发相行速度均秒1单位长度运动时间t秒中0≤t≤5．
（1）GH分ABDC中点四边形EGFH （EF相遇时外写出图形名称）
（2）（1）条件四边形EGFH矩形求t值
（3）GH分折线A﹣B﹣CC﹣D﹣A动点EF相速度时出发四边形EGFH菱形求t值．
4．图已知正方形ABCDAB＝8点M射线DC动点射线AM交BDE交射线BCF点C作CQ⊥CE交AF点Q．
（1）BE＝2DE时求DM长．
（2）M线段CD时CQ＝3求MF长．
（3）①DM＝2CM时作点D关AM称点N求tan∠NAB值．
②BE＝4DE直接写出△CQE△CMF面积 ．
5．阅读材料：
面直角坐标系中点P（xy）横坐标x绝值表示|x|坐标y绝值表示|y|点P（xy）横坐标坐标绝值做点P（xy）折线距离记[P][P]＝|x|+|y|中+四运算中加法例点P（12）折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．
解决问题
（1）已知点A（﹣24）B（+﹣）直接写出AB折线距离[A][B]
（2）点M满足[M]＝2
①点Mx轴方时横坐标整数求点M坐标
②正方形EFGH两顶点坐标分E（t0）F（t﹣10）正方形EFGH存点M时直接写出t取值范围．
6．图示已知正方形OEFG顶点O正方形ABCD角线ACBD交点连接CEDG．
（1）求证：△DOG≌△COE
（2）DG⊥BD正方形ABCD边长2线段AD线段OG相交点M∠OMD＝75°求CE长
（3）（2）条件正方形OEFG绕点O旋转直接写出点B点F短距离．
7．图Rt△ABC中∠C＝90°AC＝10∠A＝60°．点P点B出发BA方秒2单位长度速度点A匀速运动时点Q点A出发AC方秒1单位长度速度点C匀速运动中点达终点时点停止运动．设点PQ运动时间t秒．点P作PM⊥BC点M连接PQQM．
（1）请含t式子填空：AQ＝ AP＝ PM＝
（2）否存某时刻四边形AQMP菱形？果存求出相应t值果存说明理
（3）t值时△PQM直角三角形？请说明理．
8．基础巩固（1）图1△ABC中MAB中点B作BD∥AC交CM延长线点D．求证：AC＝BD
尝试应（2）（1）情况线段CM取点E（图2）已知BE＝AC＝CE＝2EM＝4求tanD
拓展提高（3）图3菱形ABCD中点P角线ACCP＝2AP点E线段DP点BE＝BC．PE＝2PD＝3求菱形ABCD边长．
9．教材呈现图华师版九年级册数学教材第78页部分容．
例1：求证：三角形条中位线第三边中线互相分．
已知：图△ABC中AD＝DBBE＝ECAF＝FC．
求证：AEDF互相分．
证明：连接DEEF．
请根教材提示结合图①写出完整解题程．
拓展图②设图①中AEDF交点G连接CD分交AEEF点HK．
（1）＝ ．
（2）四边形FGHK面积3四边形ADEF面积 ．
10．图1四边形ABCD矩形点P角线AC动点（AC重合）点P作PE⊥CD点E连接PB已知AD＝3AB＝4设AP＝m．
（1）m＝1时求PE长
（2）连接BE试问点P运动程中否△PAB≌△PEB？请说明理
（3）图2点P作PF⊥PB交CD边点F设CF＝n试判断5m+4n值否发生变化变请求出值变化请说明理．
11．图1矩形ABCD中点E边CD中点点F边ADEF⊥BD垂足G．
（1）图2矩形ABCD正方形时求值
（2）果＝AF＝xAB＝y求yx函数关系式写出函数定义域
（3）果AB＝4cm点A圆心3cm长半径⊙A点B圆心⊙B外切．点F圆心⊙F⊙A⊙B切．求值．
12．图1正方形ABCD正方形AEFG连接DGBE．
（1）[发现]：正方形AEFG绕点A旋转图2线段DGBE间数量关系 位置关系
（2）[探究]：图3四边形ABCD四边形AEFG矩形AD＝2ABAG＝2AE猜想DGBE数量关系位置关系说明理
（3）[应]：（2）情况连接GE（点EAB方）GE∥ABAB＝AE＝1求线段DG长．
13．△ABC中AB＝6AC＝BC＝5△ABC绕点A时针方旋转△ADE旋转角α（0°＜α＜180°）点B应点点D点C应点点E．
（1）图α＝60°时连接BDBE延长BE交AD点FBE＝
（2）α＝90°时请画出图形求出BE长
（3）旋转程中点D作DG垂直直线AB垂足点G连接CE．∠DAG＝∠ACB线段DG线段AE公点时请猜想四边形AEBC形状说明理．
14．（1）图1正方形ABCD正方形DEFG（中AB＞DE）连接CEAG交点H请直接写出线段AGCE数量关系 位置关系
（2）图2矩形ABCD矩形DEFGAD＝2DGAB＝2DEAD＝DE矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）连接AGCE交点H（1）中线段关系成立？成立请写出理成立请写出线段AGCE数量关系位置关系说明理
（3）矩形ABCD矩形DEFGAD＝2DG＝6AB＝2DE＝8矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）直线AGCE交点H点E点H重合时请直接写出线段AE长．
15．定义：组边相等组边直线互相垂直凸四边形做等垂四边形．
（1）图①四边形ABCD四边形AEEG正方形135°＜∠AEB＜180°求证：四边形BEGD等垂四边形
（2）图②四边形ABCD等垂四边形AD≠BC连接BD点EFG分ADBCBD中点连接EGFGEF．试判定△EFG形状证明
（3）图③四边形ABCD等垂四边形AD＝4BC＝6试求边AB长值．
参考答案
1．（1）证明：∵△ABEBE折叠△GBE
∴△ABE≌△GBE
∴∠BGE＝∠AAE＝GE
∵∠A＝∠D＝90°
∴∠EGF＝∠D＝90°
∵EA＝ED
∴EG＝ED
Rt△EGFRt△EDF中
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）
（2）证明：折叠性质AB＝BG
∵AD∥BC∠A＝∠D＝90°
∴四边形ABCD矩形
∴AB＝CD
∴BG＝DC．
（3）解：折叠知AB＝GB
（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF
∴GF＝DF
∵∠C＝90°AB＝CDFD＝CF
∴GB＝2GFBF+GF＝3GF
∵BF2＝BC2+CF2
∴（3GF）2＝64+GF2
∴GF＝2
∴CD＝2GF＝4．
2．（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD∥BC
∵CF∥AE
∴四边形AECF行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形AECF矩形
（2）连接OE
∵菱形ABCD中AD＝AB＝BC＝5AO＝CO
∴∠OEC＝∠OCE
（1）知四边形AECF矩形
∴∠AEC＝90°
∵AE＝4
∴BE＝＝3
∴CE＝3+5＝8
∴tan∠OEC＝tan∠ACE＝＝＝．
3．解：（1）∵矩形ABCD
∴AB∥CDAB＝CD
∴∠GAE＝∠HCF
∵GH分ABDC中点
∴AG＝CH
∵EF分AC时出发相行速度均秒1单位长度
∴AE＝CF
∴△AGE≌△CHF（SAS）
∴GE＝FH∠AEG＝∠CFH
∴∠GEF＝∠EFH
∴GE∥FH
∴四边形EGFH行四边形
答案：行四边形
（2）连接GH图：
∵矩形ABCDGH分ABDC中点
∴四边形GBCH矩形
∵矩形ABCD中AB＝3BC＝4
∴GH＝BC＝4AC＝＝5
①知四边形EGFH行四边形
EF＝GH＝4时四边形EGFH矩形
∴5﹣2t＝4解t＝
∴四边形EGFH矩形t＝
（3）∵EF分AC时出发相行速度均秒1单位长度
∴AE＝CF
∴四边形EGFH角线EF中点AC中点
四边形EGFH菱形角线垂直GH必AC中点
AC中点O作GH⊥AC交BCG交ADH图：
∵AB+GB＝AE＝CF＝CD+DH＝t
∴CG＝AH
矩形ABCDAD∥BC
∴∠FAH＝∠ECG
∵AE＝CF
∴AF＝CE
∴△AHF≌△CGE（SAS）
∴GE＝FH∠AFH＝∠CEG
∴∠HFE＝∠FEG
∴GE∥FH
∴四边形EGFH行四边形
GH⊥AC
∴四边形EGFH菱形
时B原点BC直线x轴建直角坐标系
A（03）C（40）
∴直线AC解析式y＝﹣x+3线段AC中点O（2）
∵GH⊥ACGHO（2）
∴GH解析式y＝x﹣
令y＝0x＝
∴G（0）
∴AB+BG＝
∴t＝．
4．解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴AB∥CD
∴△ABE∽△MDE
∴＝
∵BE＝2DEAB＝8
∴＝＝2
∴DM＝AB＝4
（2）∵四边形ABCD正方形
∴AD＝CD＝AB＝8∠ADC＝∠BCD＝90°∠ADE＝∠CDE＝45°AD∥BC
∴∠EAD＝∠F
∵DE＝DE
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠EAD＝∠ECM
∵CQ⊥CE
∴∠ECQ＝90°＝∠BCD
∴∠ECM＝∠QCF
∴∠F＝∠QCF
∴CQ＝FQ
∵∠F+∠CMQ＝∠QCF+∠MCQ＝90°
∴∠CMQ＝∠MCQ
∴CQ＝MQ
∴CQ＝MQ＝FQ＝MF＝3
∴MF＝6
（3）①a点N正方形部时延长AN交BC点G图1示：
∵DM＝2CMCD＝8
∴CM＝CD＝
∵四边形ABCD正方形
∴BC＝AB＝8AB∥CDAD∥BC
∴∠DAF＝∠F△MCF∽△ABF
∴＝＝
∴CF＝BF
∴CF＝AB＝4
∴BF＝AB+CF＝12
称性质：∠GAF＝∠DAF
∴∠GAF＝∠F
∴AG＝FG
设BG＝xAG＝FG＝12﹣x
Rt△ABG中勾股定理：AB2+BG2＝AG2
82+x2＝（12﹣x）2
解：x＝
∴BG＝
∴tan∠NAB＝＝＝
b点N正方形外部时连接ANMN延长AB交MN点G图2示：
出性质：∠N＝∠ADC＝90°AN＝AD＝8∠AMN＝∠AMD
：∠BAM＝∠AMD＝∠NMA
∴AG＝MG
设NG＝xAG＝MG＝16﹣x
Rt△ANG中勾股定理：AN2+NG2＝AG2
82+x2＝（16﹣x）2
解：x＝6
∴NG＝6
∴tan∠NAB＝＝＝
综述tan∠NAB值
②E作EP⊥CDP图3示：
EP∥BC
∴△DEP∽△DBC
∴＝＝
∵BE＝4DE
∴BD＝5DE
∴＝＝＝
∴DP＝EP＝BC＝
∵AB∥CD
∴△MDE∽△ABE
∴＝＝＝
∴DM＝AB＝2＝
∴CM＝CD﹣DM＝8﹣2＝6AM＝＝＝2
∴EM＝AM＝
∵AB∥CD
∴△MCF∽△ABF
∴＝＝＝
∴MF＝3AM＝6
（2）：CQ＝MQ＝FQ＝MF＝3
∴EQ＝EM+MQ＝+3＝
∴△CQE△CMF面积＝＝＝
答案：．
5．解：（1）∵点A（﹣24）B（+﹣）
∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6[B]＝|+|+|﹣|＝++﹣＝2
（2）①∵点Mx轴方横坐标整数[M]＝2
∴x＝±1时y＝1x＝0时y＝2
∴点M坐标（﹣11）（11）（02）
②∵正方形EFGH两顶点坐标分E（t0）F（t﹣10）
∴EF＝1
M（﹣11）正方形EFGH时
∴t﹣1≤﹣1≤t
∴﹣1≤t≤0
M（11）正方形EFGH时
∴t﹣1≤1≤t
∴1≤t≤2
M（20）正方形EFGH时
∴t﹣1≤2≤t
∴2≤t≤3
M（﹣20）正方形EFGH时
∴t﹣1≤﹣2≤t
∴﹣2≤t≤﹣1
综述：t取值范围﹣2≤t≤01≤t≤3．
6．解：（1）∵正方形ABCD正方形OEFG角线ACBD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°
∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴△DOG△COE中DO＝CO∠GOD＝∠COEGD＝OE
∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）∵四边形ABCD正方形∠ODM＝45°OD＝
∵∠OMD＝75°
∴∠DOG＝60°
∵DG⊥BD∠ODG＝90°
∴∠OGD＝30°
∴OG＝2OD＝2
∴DG＝＝＝
∵△DOG≌△COE（SAS）
∴CE＝DG＝
（3）正方形OEFG绕点O旋转点OBF线点BOF间时点B点F距离短
（2）知正方形OEFG中OG＝2OF＝OG＝4
OB＝OD＝
OF﹣OB＝4﹣．
B点F短距离4﹣．
7．解：（1）∵点Q点A出发AC方秒1单位长度速度点C匀速运动
∴AQ＝t
∵∠C＝90°AC＝10∠A＝60°
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝20
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣2t
∵PM⊥BC
∴∠PMB＝90°
∴PM＝＝t．
答案：t20﹣2tt
（2）存理：
（1）知：AQ＝PM
∵AC⊥BCPM⊥BC
∴AQ∥PM
∴四边形AQMP行四边形
AP＝AQ时行四边形AQMP菱形
20﹣2t＝t
解t＝
存t＝行四边形AQMP成菱形．
（3）△PQM直角三角形时三种：
①∠MPQ＝90°时时四边形CMPQ矩形
Rt△PAQ中∠A＝60°
∴∠APQ＝90°﹣∠A＝30°
∴AP＝2AQ20﹣2t＝2t
解：t＝5
②∠MQP＝90°时（2）知MQ∥AP
∴∠APQ＝∠MQP＝90°
∵∠A＝60°
∴∠AQP＝90°﹣∠A＝30°
∴AQ＝2AP
t＝2（20﹣2t）
解：t＝8．
③∠PMQ＝90°时种情况存．
综述：t58时△PQM直角三角形．
8．解：（1）∵MAB中点AM＝BM
∵BD∥AC
∴∠ABD＝∠A
∵∠AMC＝∠BMD
∴△AMC≌△BMD（AAS）
∴AC＝BD
（2）点B作BH⊥CD点H
（1）CM＝DM＝CE+EM＝6
∴BE＝AC＝BD＝
EH＝HD＝5
Rt△BDH中BH＝＝＝3
∴tanD＝
（3）连接CE延长DP交CB延长线点F交AB点G
∵AG∥CD
∴△CPD∽△APG
∴AG＝CD＝AB
点GAB中点
（1）知△AGD≌△BGF（AAS）
∴AD＝BFPD＝2PG＝1+2＝3GD＝GF
∴BE＝BF＝BC
∴∠CEF＝90°
设菱形ABCD边长x
Rt△DEC中CE2＝CD2﹣ED2＝x2﹣1
∵PD＝2PG＝1+2＝3PG＝15DG＝PD+PG＝45DF＝2DG＝9
∴EF＝PD﹣DE＝9﹣1＝8
Rt△CEF中CE2＝CF2﹣EF2x2﹣1＝4x2﹣82
解x＝（负值已舍）
菱形ABCD边长：．
9．教材呈现证明：连接DEEF
DE△ABC中位线DE∥ACDE＝AC＝AF
四边形DAFE行四边形
∴AEDF互相分
拓展（1）解：理四边形DFCE行四边形KD＝KCDF＝EC＝BE
∵DG＝BEFG＝EC
∴DG＝FG＝EC
∵DF∥BC
∴△DHG∽△CHE
∴＝DH＝HC
设DH＝xHC＝2xCD＝DH+HC＝3xCK＝CD＝x
＝
答案
（2）解：设△HKE面积a
∵DH＝xHK＝x△DHE面积2a
∵GDF中点
∴S△DHE+S△DHG＝S四边形GFKH+S△EHK
2a+S△DHG＝3+aS△DHG＝3﹣a
∵K行四边形DFCE角线交点KEF中点
理S△DHE+S△EHK＝S四边形GFKH+S△DGH
3a＝6﹣a解a＝
S△EFG＝a+3＝
∵四边形ADEF行四边形
四边形ADEF面积＝4S△EFG＝18
答案18．
10．解：（1）连接BE
已知：Rt△ADC中AC＝
AP＝m＝1时PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4
∵PE⊥CD
∴∠PEC＝∠ADC＝90°
∵∠ACD＝∠PCE
∴△ACD∽△PCE
∴
∴PE＝
（2）图1△PAB≌△PEB时
∴PA＝PE
∵AP＝mPC＝5﹣m
（1）：△ACD∽△PCE
∴
∴PE＝
PA＝PE
解：m＝
∴EC＝
∴BE＝
∴△PAB△PEB全等
∴△PAB≌△PEB
（3）图2延长EP交ABG
∵BP⊥PF
∴∠BPF＝90°
∴∠EPF+∠BPG＝90°
∵EG⊥AB
∴∠PGB＝90°
∴∠BPG+∠PBG＝90°
∴∠PBG＝∠EPF
∵∠PEF＝∠PGB＝90°
∴△BPG∽△PFE
∴
（1）：△PCE∽△ACDPE＝
∴
∴EC＝
∴BG＝EC＝
∴
∴5m+4n＝16．
11．解：（1）图延长FE交BC延长线点M
设正方形ABCD边长k
AB＝BC＝CD＝AD＝k
∵ECD中点
∴DE＝CE＝
∵正方形ABCD中∠ADC＝90°∠BDC＝∠ADC
∴∠BDC＝45°
∵EF⊥BD
∴∠DEF＝45°
∴∠DFE＝45°
∴DF＝DE＝k
∵正方形ABCD中AD∥BC
∴
∴
∵AD∥BC
∴
（2）图延长FE交BC延长线M
设DF＝aCM＝a
∵
∴BM＝5aBC＝4a
∴AF＝x＝3a
∴a＝
∴DF＝
∵AB＝y
∴DE＝
∵∠ADC＝90°EF⊥BD
∴∠ADB＝∠DEF
∴tan∠ADB＝tan∠DEF
∴
∴
∴
∵x＞0y＞0
∴yx函数关系式
函数定义域：x＞0
（3）设⊙F半径rcm根题意：
⊙B半径1cm
AF＝cmBF＝cm
∵矩形ABCD中∠A＝90°
∴AF2+AB2＝BF2
∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2
∴r＝6
⊙F半径6cm
∴AF＝3cm
∵tan∠ADB＝tan∠DEF
∴
∴AD2﹣3AD﹣8＝0
∴（舍）
∴＝．
12．解：（1）DG＝BEDG⊥BE理：
∵四边形ABCD四边形AEFG正方形
∴AE＝AGAB＝AD∠BAD＝∠EAG＝90°
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴BE＝DG
图2延长BE交ADQ交DGH
∵△ABE≌△DAG
∴∠ABE＝∠ADG
∵∠AQB+∠ABE＝90°
∴∠AQB+∠ADG＝90°
∵∠AQB＝∠DQH
∴∠DQH+∠ADG＝90°
∴∠DHB＝90°
∴BE⊥DG
答案：DG＝BEDG⊥BE
（2）DG＝2BEBE⊥DG理：
图3延长BE交ADK交DGH
∵四边形ABCD四边形AEFG矩形
∴∠BAD＝∠EAG
∴∠BAE＝∠DAG
∵AD＝2ABAG＝2AE
∴＝＝
∴△ABE∽△ADG
∴＝＝∠ABE＝∠ADG
∴DG＝2BE
∵∠AKB+∠ABE＝90°
∴∠AKB+∠ADG＝90°
∵∠AKB＝∠DKH
∴∠DKH+∠ADG＝90°
∴∠DHB＝90°
∴BE⊥DG
（3）图4（说明点BEF条线特意画图形）
设EGAD交点M
∵EG∥AB
∴∠DME＝∠DAB＝90°
Rt△AEG中AE＝1
∴AG＝2AE＝2
根勾股定理：EG＝＝
∵AB＝
∴EG＝AB
∵EG∥AB
∴四边形ABEG行四边形
∴AG∥BE
∵AG∥EF
∴点BEF条直线图5
∴∠AEB＝90°
Rt△ABE中根勾股定理BE＝＝＝2
（2）知△ABE∽△ADG
∴＝＝
＝
∴DG＝4．
13．解：（1）∵△ABC绕点A时针方旋转60°△ADE
∴AB＝AD∠BAD＝60°．
∴△ABD等边三角形
∴AB＝BD．
∵△ABC绕点A时针方旋转60°△ADE
∴AC＝AEBC＝DE．
∵AC＝BC
∴EA＝ED．
∴点BEAD中垂线．
∴BE AD中垂线．
∵点FBE延长线
∴BF⊥ADAF＝DF
∴AF＝DF＝3
∵AE＝AC＝5
∴EF＝＝＝4
等边三角形ABD中BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3
∴BE＝BF﹣EF＝3﹣4
答案：3﹣4
（2）题意画图图1
点E作EG⊥AB点G点C作CH⊥AB点H
∵CA＝CBCH⊥AB
∴AH＝AB＝6＝3
Rt△ACH中∵AC＝5AH＝3
∴CH＝＝＝4
∵∠CAE＝90°
∴∠CAH+∠EAG＝90°
∵CH⊥AB
∴∠CAH+∠ACH＝90°
∴∠EAG＝∠ACH
∵△ABC围绕点A时针方旋转△ADE
∴AC＝AE
∵EG⊥ABCH⊥AB
∴∠EGA＝∠AHC＝90°
△AHC△EGA中
∴△AHC≌△EGA（AAS）
∴GA＝CH＝4EG＝AH＝3
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2
∵BG＝2EG＝3
BE＝＝＝
（3）图2示
∵∠DAG＝∠ACB∠DAE＝∠BAC
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°
∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°
∴∠BAE＝∠ABC
∵AC＝BC＝AE
∴∠BAC＝∠ABC
∴∠BAE＝∠BAC
∴AB⊥CECH＝HE＝CE
∵AC＝BC
∴AH＝BH＝AB
∵CH＝HEAH＝BH
∴四边形AEBC行四边形
∵AC＝BC
∴四边形AEBC菱形．
14．解：（1）图1
正方形ABCD正方形DEFG中∠ADC＝∠EDG＝90°
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE
∠ADG＝∠CDE
∵DG＝DEDA＝DC
∴△GDA≌△EDC（SAS）
∴AG＝CE∠GAD＝∠ECD
∵∠COD＝∠AOH
∴∠AHO＝∠CDO＝90°
∴AG⊥CE
答案：相等垂直
（2）成立CE＝2AGAG⊥CE理：
图2（1）知∠EDC＝∠ADG
∵AD＝2DGAB＝2DEAD＝DE
∴＝＝
∴＝
∴△GDA∽△EDC
∴＝CE＝2AG
∵△GDA∽△EDC
∴∠ECD＝∠GAD
∵∠COD＝∠AOH
∴∠AHO＝∠CDO＝90°
∴AG⊥CE
（3）①点E线段AG时图3
Rt△EGD中DG＝3ED＝4EG＝5
点D作DP⊥AG点P
∵∠DPG＝∠EDG＝90°∠DGP＝∠EGD
∴△DGP∽△EGD
∴＝
∴PD＝PG＝
AP＝＝＝
AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝
②点G线段AE时图4
点D作DP⊥AG点P
∵∠DPG＝∠EDG＝90°∠DGP＝∠EGD
理：PD＝AP＝
勾股定理：PE＝＝
AE＝AP+PE＝+＝
综AE长．
15．解：（1）图①延长BEDG交点H
∵四边形ABCD四边形AEFG正方形
∴AB＝ADAE＝AG∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAE＝∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABD+∠ADB＝90°
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°
∠EBD+∠BDG＝90°
∴∠BHD＝90°．
∴BE⊥DG．
∵BE＝DG
∴四边形BEGD等垂四边形．
（2）△EFG等腰直角三角形．
理：图②延长BACD交点H
∵四边形ABCD等垂四边形AD≠BC
∴AB⊥CDAB＝CD
∴∠HBC+∠HCB＝90°
∵点EFG分ADBCBD中点
∴EG∥ABGF∥DC
∴∠BFG＝∠C∠EGD＝∠HBDEG＝GF．
∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．
∴△EFG等腰直角三角形．
（3）延长BACD交点H分取ADBC中点EF．连接HEEFHF
（2）知．
∴AB值．
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1．图四边形ABCD中AD∥BC∠A＝∠D＝90°点EAD中点连接BE△ABEBE折叠△GBE点G四边形ABCD部延长BG交DC点F连接EF．
（1）求证：△EGF≌△EDF
（2）求证：BG＝CD
（3）点FCD中点BC＝8求CD长．
2．图菱形ABCD中角线ACBD交点OAE⊥BC交CB延长线ECF∥AE交AD延长线点F．
（1）求证：四边形AECF矩形
（2）连接OEAE＝4AD＝5求tan∠OEC值．
3．矩形ABCD中AB＝3BC＝4EF角线AC两动点分AC时出发相行速度均秒1单位长度运动时间t秒中0≤t≤5．
（1）GH分ABDC中点四边形EGFH （EF相遇时外写出图形名称）
（2）（1）条件四边形EGFH矩形求t值
（3）GH分折线A﹣B﹣CC﹣D﹣A动点EF相速度时出发四边形EGFH菱形求t值．
4．图已知正方形ABCDAB＝8点M射线DC动点射线AM交BDE交射线BCF点C作CQ⊥CE交AF点Q．
（1）BE＝2DE时求DM长．
（2）M线段CD时CQ＝3求MF长．
（3）①DM＝2CM时作点D关AM称点N求tan∠NAB值．
②BE＝4DE直接写出△CQE△CMF面积 ．
5．阅读材料：
面直角坐标系中点P（xy）横坐标x绝值表示|x|坐标y绝值表示|y|点P（xy）横坐标坐标绝值做点P（xy）折线距离记[P][P]＝|x|+|y|中+四运算中加法例点P（12）折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．
解决问题
（1）已知点A（﹣24）B（+﹣）直接写出AB折线距离[A][B]
（2）点M满足[M]＝2
①点Mx轴方时横坐标整数求点M坐标
②正方形EFGH两顶点坐标分E（t0）F（t﹣10）正方形EFGH存点M时直接写出t取值范围．
6．图示已知正方形OEFG顶点O正方形ABCD角线ACBD交点连接CEDG．
（1）求证：△DOG≌△COE
（2）DG⊥BD正方形ABCD边长2线段AD线段OG相交点M∠OMD＝75°求CE长
（3）（2）条件正方形OEFG绕点O旋转直接写出点B点F短距离．
7．图Rt△ABC中∠C＝90°AC＝10∠A＝60°．点P点B出发BA方秒2单位长度速度点A匀速运动时点Q点A出发AC方秒1单位长度速度点C匀速运动中点达终点时点停止运动．设点PQ运动时间t秒．点P作PM⊥BC点M连接PQQM．
（1）请含t式子填空：AQ＝ AP＝ PM＝
（2）否存某时刻四边形AQMP菱形？果存求出相应t值果存说明理
（3）t值时△PQM直角三角形？请说明理．
8．基础巩固（1）图1△ABC中MAB中点B作BD∥AC交CM延长线点D．求证：AC＝BD
尝试应（2）（1）情况线段CM取点E（图2）已知BE＝AC＝CE＝2EM＝4求tanD
拓展提高（3）图3菱形ABCD中点P角线ACCP＝2AP点E线段DP点BE＝BC．PE＝2PD＝3求菱形ABCD边长．
9．教材呈现图华师版九年级册数学教材第78页部分容．
例1：求证：三角形条中位线第三边中线互相分．
已知：图△ABC中AD＝DBBE＝ECAF＝FC．
求证：AEDF互相分．
证明：连接DEEF．
请根教材提示结合图①写出完整解题程．
拓展图②设图①中AEDF交点G连接CD分交AEEF点HK．
（1）＝ ．
（2）四边形FGHK面积3四边形ADEF面积 ．
10．图1四边形ABCD矩形点P角线AC动点（AC重合）点P作PE⊥CD点E连接PB已知AD＝3AB＝4设AP＝m．
（1）m＝1时求PE长
（2）连接BE试问点P运动程中否△PAB≌△PEB？请说明理
（3）图2点P作PF⊥PB交CD边点F设CF＝n试判断5m+4n值否发生变化变请求出值变化请说明理．
11．图1矩形ABCD中点E边CD中点点F边ADEF⊥BD垂足G．
（1）图2矩形ABCD正方形时求值
（2）果＝AF＝xAB＝y求yx函数关系式写出函数定义域
（3）果AB＝4cm点A圆心3cm长半径⊙A点B圆心⊙B外切．点F圆心⊙F⊙A⊙B切．求值．
12．图1正方形ABCD正方形AEFG连接DGBE．
（1）[发现]：正方形AEFG绕点A旋转图2线段DGBE间数量关系 位置关系
（2）[探究]：图3四边形ABCD四边形AEFG矩形AD＝2ABAG＝2AE猜想DGBE数量关系位置关系说明理
（3）[应]：（2）情况连接GE（点EAB方）GE∥ABAB＝AE＝1求线段DG长．
13．△ABC中AB＝6AC＝BC＝5△ABC绕点A时针方旋转△ADE旋转角α（0°＜α＜180°）点B应点点D点C应点点E．
（1）图α＝60°时连接BDBE延长BE交AD点FBE＝
（2）α＝90°时请画出图形求出BE长
（3）旋转程中点D作DG垂直直线AB垂足点G连接CE．∠DAG＝∠ACB线段DG线段AE公点时请猜想四边形AEBC形状说明理．
14．（1）图1正方形ABCD正方形DEFG（中AB＞DE）连接CEAG交点H请直接写出线段AGCE数量关系 位置关系
（2）图2矩形ABCD矩形DEFGAD＝2DGAB＝2DEAD＝DE矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）连接AGCE交点H（1）中线段关系成立？成立请写出理成立请写出线段AGCE数量关系位置关系说明理
（3）矩形ABCD矩形DEFGAD＝2DG＝6AB＝2DE＝8矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°）直线AGCE交点H点E点H重合时请直接写出线段AE长．
15．定义：组边相等组边直线互相垂直凸四边形做等垂四边形．
（1）图①四边形ABCD四边形AEEG正方形135°＜∠AEB＜180°求证：四边形BEGD等垂四边形
（2）图②四边形ABCD等垂四边形AD≠BC连接BD点EFG分ADBCBD中点连接EGFGEF．试判定△EFG形状证明
（3）图③四边形ABCD等垂四边形AD＝4BC＝6试求边AB长值．
参考答案
1．（1）证明：∵△ABEBE折叠△GBE
∴△ABE≌△GBE
∴∠BGE＝∠AAE＝GE
∵∠A＝∠D＝90°
∴∠EGF＝∠D＝90°
∵EA＝ED
∴EG＝ED
Rt△EGFRt△EDF中
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）
（2）证明：折叠性质AB＝BG
∵AD∥BC∠A＝∠D＝90°
∴四边形ABCD矩形
∴AB＝CD
∴BG＝DC．
（3）解：折叠知AB＝GB
（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF
∴GF＝DF
∵∠C＝90°AB＝CDFD＝CF
∴GB＝2GFBF+GF＝3GF
∵BF2＝BC2+CF2
∴（3GF）2＝64+GF2
∴GF＝2
∴CD＝2GF＝4．
2．（1）证明：∵四边形ABCD菱形
∴AD∥BC
∵CF∥AE
∴四边形AECF行四边形
∵AE⊥BC
∴四边形AECF矩形
（2）连接OE
∵菱形ABCD中AD＝AB＝BC＝5AO＝CO
∴∠OEC＝∠OCE
（1）知四边形AECF矩形
∴∠AEC＝90°
∵AE＝4
∴BE＝＝3
∴CE＝3+5＝8
∴tan∠OEC＝tan∠ACE＝＝＝．
3．解：（1）∵矩形ABCD
∴AB∥CDAB＝CD
∴∠GAE＝∠HCF
∵GH分ABDC中点
∴AG＝CH
∵EF分AC时出发相行速度均秒1单位长度
∴AE＝CF
∴△AGE≌△CHF（SAS）
∴GE＝FH∠AEG＝∠CFH
∴∠GEF＝∠EFH
∴GE∥FH
∴四边形EGFH行四边形
答案：行四边形
（2）连接GH图：
∵矩形ABCDGH分ABDC中点
∴四边形GBCH矩形
∵矩形ABCD中AB＝3BC＝4
∴GH＝BC＝4AC＝＝5
①知四边形EGFH行四边形
EF＝GH＝4时四边形EGFH矩形
∴5﹣2t＝4解t＝
∴四边形EGFH矩形t＝
（3）∵EF分AC时出发相行速度均秒1单位长度
∴AE＝CF
∴四边形EGFH角线EF中点AC中点
四边形EGFH菱形角线垂直GH必AC中点
AC中点O作GH⊥AC交BCG交ADH图：
∵AB+GB＝AE＝CF＝CD+DH＝t
∴CG＝AH
矩形ABCDAD∥BC
∴∠FAH＝∠ECG
∵AE＝CF
∴AF＝CE
∴△AHF≌△CGE（SAS）
∴GE＝FH∠AFH＝∠CEG
∴∠HFE＝∠FEG
∴GE∥FH
∴四边形EGFH行四边形
GH⊥AC
∴四边形EGFH菱形
时B原点BC直线x轴建直角坐标系
A（03）C（40）
∴直线AC解析式y＝﹣x+3线段AC中点O（2）
∵GH⊥ACGHO（2）
∴GH解析式y＝x﹣
令y＝0x＝
∴G（0）
∴AB+BG＝
∴t＝．
4．解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴AB∥CD
∴△ABE∽△MDE
∴＝
∵BE＝2DEAB＝8
∴＝＝2
∴DM＝AB＝4
（2）∵四边形ABCD正方形
∴AD＝CD＝AB＝8∠ADC＝∠BCD＝90°∠ADE＝∠CDE＝45°AD∥BC
∴∠EAD＝∠F
∵DE＝DE
∴△ADE≌△CDE（SAS）
∴∠EAD＝∠ECM
∵CQ⊥CE
∴∠ECQ＝90°＝∠BCD
∴∠ECM＝∠QCF
∴∠F＝∠QCF
∴CQ＝FQ
∵∠F+∠CMQ＝∠QCF+∠MCQ＝90°
∴∠CMQ＝∠MCQ
∴CQ＝MQ
∴CQ＝MQ＝FQ＝MF＝3
∴MF＝6
（3）①a点N正方形部时延长AN交BC点G图1示：
∵DM＝2CMCD＝8
∴CM＝CD＝
∵四边形ABCD正方形
∴BC＝AB＝8AB∥CDAD∥BC
∴∠DAF＝∠F△MCF∽△ABF
∴＝＝
∴CF＝BF
∴CF＝AB＝4
∴BF＝AB+CF＝12
称性质：∠GAF＝∠DAF
∴∠GAF＝∠F
∴AG＝FG
设BG＝xAG＝FG＝12﹣x
Rt△ABG中勾股定理：AB2+BG2＝AG2
82+x2＝（12﹣x）2
解：x＝
∴BG＝
∴tan∠NAB＝＝＝
b点N正方形外部时连接ANMN延长AB交MN点G图2示：
出性质：∠N＝∠ADC＝90°AN＝AD＝8∠AMN＝∠AMD
：∠BAM＝∠AMD＝∠NMA
∴AG＝MG
设NG＝xAG＝MG＝16﹣x
Rt△ANG中勾股定理：AN2+NG2＝AG2
82+x2＝（16﹣x）2
解：x＝6
∴NG＝6
∴tan∠NAB＝＝＝
综述tan∠NAB值
②E作EP⊥CDP图3示：
EP∥BC
∴△DEP∽△DBC
∴＝＝
∵BE＝4DE
∴BD＝5DE
∴＝＝＝
∴DP＝EP＝BC＝
∵AB∥CD
∴△MDE∽△ABE
∴＝＝＝
∴DM＝AB＝2＝
∴CM＝CD﹣DM＝8﹣2＝6AM＝＝＝2
∴EM＝AM＝
∵AB∥CD
∴△MCF∽△ABF
∴＝＝＝
∴MF＝3AM＝6
（2）：CQ＝MQ＝FQ＝MF＝3
∴EQ＝EM+MQ＝+3＝
∴△CQE△CMF面积＝＝＝
答案：．
5．解：（1）∵点A（﹣24）B（+﹣）
∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6[B]＝|+|+|﹣|＝++﹣＝2
（2）①∵点Mx轴方横坐标整数[M]＝2
∴x＝±1时y＝1x＝0时y＝2
∴点M坐标（﹣11）（11）（02）
②∵正方形EFGH两顶点坐标分E（t0）F（t﹣10）
∴EF＝1
M（﹣11）正方形EFGH时
∴t﹣1≤﹣1≤t
∴﹣1≤t≤0
M（11）正方形EFGH时
∴t﹣1≤1≤t
∴1≤t≤2
M（20）正方形EFGH时
∴t﹣1≤2≤t
∴2≤t≤3
M（﹣20）正方形EFGH时
∴t﹣1≤﹣2≤t
∴﹣2≤t≤﹣1
综述：t取值范围﹣2≤t≤01≤t≤3．
6．解：（1）∵正方形ABCD正方形OEFG角线ACBD
∴DO＝OC
∵DB⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵∠GOE＝90°
∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°
∴∠GOD＝∠COE
∵GO＝OE
∴△DOG△COE中DO＝CO∠GOD＝∠COEGD＝OE
∴△DOG≌△COE（SAS）
（2）∵四边形ABCD正方形∠ODM＝45°OD＝
∵∠OMD＝75°
∴∠DOG＝60°
∵DG⊥BD∠ODG＝90°
∴∠OGD＝30°
∴OG＝2OD＝2
∴DG＝＝＝
∵△DOG≌△COE（SAS）
∴CE＝DG＝
（3）正方形OEFG绕点O旋转点OBF线点BOF间时点B点F距离短
（2）知正方形OEFG中OG＝2OF＝OG＝4
OB＝OD＝
OF﹣OB＝4﹣．
B点F短距离4﹣．
7．解：（1）∵点Q点A出发AC方秒1单位长度速度点C匀速运动
∴AQ＝t
∵∠C＝90°AC＝10∠A＝60°
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝20
∴AP＝AB﹣BP＝20﹣2t
∵PM⊥BC
∴∠PMB＝90°
∴PM＝＝t．
答案：t20﹣2tt
（2）存理：
（1）知：AQ＝PM
∵AC⊥BCPM⊥BC
∴AQ∥PM
∴四边形AQMP行四边形
AP＝AQ时行四边形AQMP菱形
20﹣2t＝t
解t＝
存t＝行四边形AQMP成菱形．
（3）△PQM直角三角形时三种：
①∠MPQ＝90°时时四边形CMPQ矩形
Rt△PAQ中∠A＝60°
∴∠APQ＝90°﹣∠A＝30°
∴AP＝2AQ20﹣2t＝2t
解：t＝5
②∠MQP＝90°时（2）知MQ∥AP
∴∠APQ＝∠MQP＝90°
∵∠A＝60°
∴∠AQP＝90°﹣∠A＝30°
∴AQ＝2AP
t＝2（20﹣2t）
解：t＝8．
③∠PMQ＝90°时种情况存．
综述：t58时△PQM直角三角形．
8．解：（1）∵MAB中点AM＝BM
∵BD∥AC
∴∠ABD＝∠A
∵∠AMC＝∠BMD
∴△AMC≌△BMD（AAS）
∴AC＝BD
（2）点B作BH⊥CD点H
（1）CM＝DM＝CE+EM＝6
∴BE＝AC＝BD＝
EH＝HD＝5
Rt△BDH中BH＝＝＝3
∴tanD＝
（3）连接CE延长DP交CB延长线点F交AB点G
∵AG∥CD
∴△CPD∽△APG
∴AG＝CD＝AB
点GAB中点
（1）知△AGD≌△BGF（AAS）
∴AD＝BFPD＝2PG＝1+2＝3GD＝GF
∴BE＝BF＝BC
∴∠CEF＝90°
设菱形ABCD边长x
Rt△DEC中CE2＝CD2﹣ED2＝x2﹣1
∵PD＝2PG＝1+2＝3PG＝15DG＝PD+PG＝45DF＝2DG＝9
∴EF＝PD﹣DE＝9﹣1＝8
Rt△CEF中CE2＝CF2﹣EF2x2﹣1＝4x2﹣82
解x＝（负值已舍）
菱形ABCD边长：．
9．教材呈现证明：连接DEEF
DE△ABC中位线DE∥ACDE＝AC＝AF
四边形DAFE行四边形
∴AEDF互相分
拓展（1）解：理四边形DFCE行四边形KD＝KCDF＝EC＝BE
∵DG＝BEFG＝EC
∴DG＝FG＝EC
∵DF∥BC
∴△DHG∽△CHE
∴＝DH＝HC
设DH＝xHC＝2xCD＝DH+HC＝3xCK＝CD＝x
＝
答案
（2）解：设△HKE面积a
∵DH＝xHK＝x△DHE面积2a
∵GDF中点
∴S△DHE+S△DHG＝S四边形GFKH+S△EHK
2a+S△DHG＝3+aS△DHG＝3﹣a
∵K行四边形DFCE角线交点KEF中点
理S△DHE+S△EHK＝S四边形GFKH+S△DGH
3a＝6﹣a解a＝
S△EFG＝a+3＝
∵四边形ADEF行四边形
四边形ADEF面积＝4S△EFG＝18
答案18．
10．解：（1）连接BE
已知：Rt△ADC中AC＝
AP＝m＝1时PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4
∵PE⊥CD
∴∠PEC＝∠ADC＝90°
∵∠ACD＝∠PCE
∴△ACD∽△PCE
∴
∴PE＝
（2）图1△PAB≌△PEB时
∴PA＝PE
∵AP＝mPC＝5﹣m
（1）：△ACD∽△PCE
∴
∴PE＝
PA＝PE
解：m＝
∴EC＝
∴BE＝
∴△PAB△PEB全等
∴△PAB≌△PEB
（3）图2延长EP交ABG
∵BP⊥PF
∴∠BPF＝90°
∴∠EPF+∠BPG＝90°
∵EG⊥AB
∴∠PGB＝90°
∴∠BPG+∠PBG＝90°
∴∠PBG＝∠EPF
∵∠PEF＝∠PGB＝90°
∴△BPG∽△PFE
∴
（1）：△PCE∽△ACDPE＝
∴
∴EC＝
∴BG＝EC＝
∴
∴5m+4n＝16．
11．解：（1）图延长FE交BC延长线点M
设正方形ABCD边长k
AB＝BC＝CD＝AD＝k
∵ECD中点
∴DE＝CE＝
∵正方形ABCD中∠ADC＝90°∠BDC＝∠ADC
∴∠BDC＝45°
∵EF⊥BD
∴∠DEF＝45°
∴∠DFE＝45°
∴DF＝DE＝k
∵正方形ABCD中AD∥BC
∴
∴
∵AD∥BC
∴
（2）图延长FE交BC延长线M
设DF＝aCM＝a
∵
∴BM＝5aBC＝4a
∴AF＝x＝3a
∴a＝
∴DF＝
∵AB＝y
∴DE＝
∵∠ADC＝90°EF⊥BD
∴∠ADB＝∠DEF
∴tan∠ADB＝tan∠DEF
∴
∴
∴
∵x＞0y＞0
∴yx函数关系式
函数定义域：x＞0
（3）设⊙F半径rcm根题意：
⊙B半径1cm
AF＝cmBF＝cm
∵矩形ABCD中∠A＝90°
∴AF2+AB2＝BF2
∴（r﹣3）2+42＝（r﹣1）2
∴r＝6
⊙F半径6cm
∴AF＝3cm
∵tan∠ADB＝tan∠DEF
∴
∴AD2﹣3AD﹣8＝0
∴（舍）
∴＝．
12．解：（1）DG＝BEDG⊥BE理：
∵四边形ABCD四边形AEFG正方形
∴AE＝AGAB＝AD∠BAD＝∠EAG＝90°
∴∠BAE＝∠DAG
∴△ABE≌△ADG（SAS）
∴BE＝DG
图2延长BE交ADQ交DGH
∵△ABE≌△DAG
∴∠ABE＝∠ADG
∵∠AQB+∠ABE＝90°
∴∠AQB+∠ADG＝90°
∵∠AQB＝∠DQH
∴∠DQH+∠ADG＝90°
∴∠DHB＝90°
∴BE⊥DG
答案：DG＝BEDG⊥BE
（2）DG＝2BEBE⊥DG理：
图3延长BE交ADK交DGH
∵四边形ABCD四边形AEFG矩形
∴∠BAD＝∠EAG
∴∠BAE＝∠DAG
∵AD＝2ABAG＝2AE
∴＝＝
∴△ABE∽△ADG
∴＝＝∠ABE＝∠ADG
∴DG＝2BE
∵∠AKB+∠ABE＝90°
∴∠AKB+∠ADG＝90°
∵∠AKB＝∠DKH
∴∠DKH+∠ADG＝90°
∴∠DHB＝90°
∴BE⊥DG
（3）图4（说明点BEF条线特意画图形）
设EGAD交点M
∵EG∥AB
∴∠DME＝∠DAB＝90°
Rt△AEG中AE＝1
∴AG＝2AE＝2
根勾股定理：EG＝＝
∵AB＝
∴EG＝AB
∵EG∥AB
∴四边形ABEG行四边形
∴AG∥BE
∵AG∥EF
∴点BEF条直线图5
∴∠AEB＝90°
Rt△ABE中根勾股定理BE＝＝＝2
（2）知△ABE∽△ADG
∴＝＝
＝
∴DG＝4．
13．解：（1）∵△ABC绕点A时针方旋转60°△ADE
∴AB＝AD∠BAD＝60°．
∴△ABD等边三角形
∴AB＝BD．
∵△ABC绕点A时针方旋转60°△ADE
∴AC＝AEBC＝DE．
∵AC＝BC
∴EA＝ED．
∴点BEAD中垂线．
∴BE AD中垂线．
∵点FBE延长线
∴BF⊥ADAF＝DF
∴AF＝DF＝3
∵AE＝AC＝5
∴EF＝＝＝4
等边三角形ABD中BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝3
∴BE＝BF﹣EF＝3﹣4
答案：3﹣4
（2）题意画图图1
点E作EG⊥AB点G点C作CH⊥AB点H
∵CA＝CBCH⊥AB
∴AH＝AB＝6＝3
Rt△ACH中∵AC＝5AH＝3
∴CH＝＝＝4
∵∠CAE＝90°
∴∠CAH+∠EAG＝90°
∵CH⊥AB
∴∠CAH+∠ACH＝90°
∴∠EAG＝∠ACH
∵△ABC围绕点A时针方旋转△ADE
∴AC＝AE
∵EG⊥ABCH⊥AB
∴∠EGA＝∠AHC＝90°
△AHC△EGA中
∴△AHC≌△EGA（AAS）
∴GA＝CH＝4EG＝AH＝3
∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2
∵BG＝2EG＝3
BE＝＝＝
（3）图2示
∵∠DAG＝∠ACB∠DAE＝∠BAC
∴∠ACB+∠BAC+∠ABC＝∠DAG+∠DAE+∠ABC＝180°
∵∠DAG+∠DAE+∠BAE＝180°
∴∠BAE＝∠ABC
∵AC＝BC＝AE
∴∠BAC＝∠ABC
∴∠BAE＝∠BAC
∴AB⊥CECH＝HE＝CE
∵AC＝BC
∴AH＝BH＝AB
∵CH＝HEAH＝BH
∴四边形AEBC行四边形
∵AC＝BC
∴四边形AEBC菱形．
14．解：（1）图1
正方形ABCD正方形DEFG中∠ADC＝∠EDG＝90°
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE
∠ADG＝∠CDE
∵DG＝DEDA＝DC
∴△GDA≌△EDC（SAS）
∴AG＝CE∠GAD＝∠ECD
∵∠COD＝∠AOH
∴∠AHO＝∠CDO＝90°
∴AG⊥CE
答案：相等垂直
（2）成立CE＝2AGAG⊥CE理：
图2（1）知∠EDC＝∠ADG
∵AD＝2DGAB＝2DEAD＝DE
∴＝＝
∴＝
∴△GDA∽△EDC
∴＝CE＝2AG
∵△GDA∽△EDC
∴∠ECD＝∠GAD
∵∠COD＝∠AOH
∴∠AHO＝∠CDO＝90°
∴AG⊥CE
（3）①点E线段AG时图3
Rt△EGD中DG＝3ED＝4EG＝5
点D作DP⊥AG点P
∵∠DPG＝∠EDG＝90°∠DGP＝∠EGD
∴△DGP∽△EGD
∴＝
∴PD＝PG＝
AP＝＝＝
AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝
②点G线段AE时图4
点D作DP⊥AG点P
∵∠DPG＝∠EDG＝90°∠DGP＝∠EGD
理：PD＝AP＝
勾股定理：PE＝＝
AE＝AP+PE＝+＝
综AE长．
15．解：（1）图①延长BEDG交点H
∵四边形ABCD四边形AEFG正方形
∴AB＝ADAE＝AG∠BAD＝∠EAG＝90°．
∴∠BAE＝∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE＝DG∠ABE＝∠ADG．
∵∠ABD+∠ADB＝90°
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB＝∠DBE+∠ADB+∠ADG＝90°
∠EBD+∠BDG＝90°
∴∠BHD＝90°．
∴BE⊥DG．
∵BE＝DG
∴四边形BEGD等垂四边形．
（2）△EFG等腰直角三角形．
理：图②延长BACD交点H
∵四边形ABCD等垂四边形AD≠BC
∴AB⊥CDAB＝CD
∴∠HBC+∠HCB＝90°
∵点EFG分ADBCBD中点
∴EG∥ABGF∥DC
∴∠BFG＝∠C∠EGD＝∠HBDEG＝GF．
∴∠EGF＝∠EGD+∠FGD＝∠ABD+∠DBC+∠GFB＝∠ABD+∠DBC+∠C＝∠HBC+∠HCB＝90°．
∴△EFG等腰直角三角形．
（3）延长BACD交点H分取ADBC中点EF．连接HEEFHF
（2）知．
∴AB值．
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