决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题15 动点综合问题
考点1动点全等三角形问题
例11．图CA⊥BC垂足CAC2CmBC6cm射线BM⊥BQ垂足B动点PC点出发1cms速度射线CQ运动点N射线BM动点满足PNAB着P点运动运动点P运动_______秒时△BCA点PNB顶点三角形全等(2全等三角形重合)
答案04812
分析
题分两种情况：①P线段BC时②PBQ分分两种情况AC＝BPAC＝BN进行计算．
详解
解：①P线段BCAC＝BP时△ACB≌△PBN
∵AC＝2
∴BP＝2
∴CP＝6−2＝4
∴点P运动时间4÷1＝4（秒）
②P线段BCAC＝BN时△ACB≌△NBP
时BC＝PN＝6CP＝0时间0秒
③PBQAC＝BP时△ACB≌△PBN
∵AC＝2
∴BP＝2
∴CP＝2＋6＝8
∴点P运动时间8÷1＝8（秒）
④PBQAC＝NB时△ACB≌△NBP
∵BC＝6
∴BP＝6
∴CP＝6＋6＝12
点P运动时间12÷1＝12（秒）
答案04812．
点睛
题考查三角形全等判定方法判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
变式11已知正方形ABCD角线ACBD交点O点EF分线段OBOC动点
（1）果动点EF满足BE＝OF（图）AE⊥BF时问点E什位置？证明结
（2）果动点EF满足BE＝CF（图）写出点EF顶点全等三角形（添加辅助线）．
答案（1）AE⊥BF时点EBO中点见解析（2）点EF顶点全等三角形△ABE≌△BCF△AOE≌△BOF△ADE≌△BAF
分析
（1）根正方形性质已知条件出△BEM∽△AEO△BEM∽△BOF根三角形相似性质出答案
（2）根正方形性质BE＝CF出全等三角形．
详解
解：（1）时点中点．证明：
延长交点图示：
时点中点
（2）四边形正方形
△ABE△BCF中
理
点顶点全等三角形
点睛
题考查全等三角形性质正方形性质相似三角形判定性质较综合难度较熟练掌握正方形性质解题关键．
变式12图①长方形纸片角线剪成两全等直角三角形ABCEDF中AB＝8cmBC＝6cmAC＝10cm．现△ABC△EDF图②方式摆放（点A点D点B点E分重合）．动点P点A出发AC2cms速度点C匀速移动时动点Q点E出发射线EDacms （0＜a＜3）速度匀速移动连接PQCQFQ设移动时间ts （0≤t≤5）．
（1）t＝2时S△AQF＝3S△BQCa＝
（2）PCQ顶点三角形△BQC全等时求a值
（3）图③动点PQ出发时△ABC3cms速度射线ED匀速移动APQ顶点三角形△EFQ全等时求at值．
答案（1）1（2）（3）a＝2时t＝2a＝23时t＝5．
分析
（1）题意∠BAF＝∠ABC＝90°BQ＝at＝2aAF＝BC三角形面积AQ＝3BQAB＝4BQ＝8BQ＝2＝2aa＝1
（2）题意点PB应顶点PQ＝BQ＝atPC＝BC＝6∠CPQ＝∠ABC＝90°AP＝AC﹣PC＝4PQ⊥ACt＝2PQ＝BQ＝2a三角形面积关系出答案
（3）分两种情况：①APEQ应边AQEF应边AP＝EQAQ＝EF＝10求出a＝2BQ＝BE﹣EQ＝tAQ＝AB+BQ＝8+t＝10解t＝2
②APEF应边AQEQ应边AP＝EF＝10AQ＝EQ求出t＝5AQ＝EQ＝5aBQ＝15﹣5aBQ＝5a﹣15分求出a值．
详解
解：（1）题意：∠BAF＝∠ABC＝90°BQ＝at＝2aAF＝BC
∵S△AQF＝3S△BQCS△AQF＝AF×AQS△BQC＝BC×BQ
∴AQ＝3BQ
∴AB＝4BQ＝8
∴BQ＝2＝2a
∴a＝1
答案：1
（2）∵PCQ顶点三角形△BQC全等CQ公边
∴点PB应顶点PQ＝BQ＝atPC＝BC＝6∠CPQ＝∠ABC＝90°
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4PQ⊥AC
∵AP＝2t＝4
∴t＝2
∴PQ＝BQ＝2a
∵△ABC面积＝△ACQ面积+△BCQ面积
∴×8×6＝×10×2a+×2a×6
解：a＝
（3）题意：∠A＝∠E
∴∠A∠E应角分两种情况：
①APEQ应边AQEF应边AP＝EQAQ＝EF＝10
∵EQ＝at
∴at＝2t
∴a＝2
∴EQ＝2t
∵BE＝3t
∴BQ＝BE﹣EQ＝t
∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10
解：t＝2
②APEF应边AQEQ应边AP＝EF＝10AQ＝EQ
∴2t＝10
∴t＝5
∴AQ＝EQ＝5a
∵BE＝3t＝15
∴BQ＝15﹣5aBQ＝5a﹣15
BQ＝15﹣5a时AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5aAQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7
∴5a＝23﹣5a5a＝5a﹣7（意义）
解：a＝23
BQ＝5a﹣15时AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7
AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a
∴5a＝5a﹣7（意义）5a＝7﹣5a
解：a＝07合题意舍
综述a＝2时t＝2a＝23时t＝5．
点睛
题考查全等三角形综合问题动点问题关键根题意找动点间联系然结合全等三角形性质进行求解问题注意分类讨思想运．
考点2动点直角三角形问题
例2图四边形纸片中点边动点点折线动点纸片直线折叠点应点落边连接直角三角形长________．
答案1
分析
图（见解析）先利解直角三角形勾股定理矩形判定性质求出AB长分两种情况分求出长然根折叠性质线段差．
详解
图点C作点M点D作点N
四边形CDNM矩形
中
中
折叠性质：
点边
题意分两种情况：
（1）时直角三角形
中
（2）时直角三角形
中
综AE长1
答案：1．
点睛
题考查解直角三角形勾股定理矩形判定性质折叠性质等知识点题意正确分两种情况讨解题关键．
变式21（2019·辽宁中考模拟）图已知二次函数y＝ax2+bx+4图象x轴交点A(40)点D(﹣10)y轴交点C点C作BC行x轴交抛物线点B连接AC
(1)求二次函数表达式
(2)点M点O出发秒2单位长度速度点A运动点N点B时出发秒1单位长度速度点C运动中动点达终点时动点停动点N作NQ垂直BC交AC点Q连结MQ
①求△AQM面积S运动时间t间函数关系式写出变量取值范围t值时S值求出S值
②否存点M△AQM直角三角形？存求出点M坐标存说明理．
答案(1)y＝﹣x2+3x+4(2)①St2+t+20≤t≤2t＝时S值＝②存点M坐标分(10)(20)．
解析
分析
(1)定系数法AD两点代入求解．
(2)①分t表示出AMPQ三角形面积公式直接写出含t二次函数关系式二次函数值答案
②分类讨直角三角形直角顶点然解出t求M坐标．
详解
(1)∵二次函数图象A(40)点D(﹣10)
∴
解
二次函数解析式y＝﹣x2+3x+4．
(2)①延长NQ交x轴点P
∵BC行x轴C(04)
∴B(34)NP⊥OA．
根题意t秒时NB＝tOM＝2t
CN＝3﹣tAM＝4﹣2t．
∵∠BCA＝∠MAQ＝45°
∴QN＝CN＝3﹣t
∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t
∴S△AMQAM×PQ(42t)(1+t)
＝﹣t2+t+2．
∴St2+t+2(t)2+．
∵a＝﹣1＜00≤t≤2∴S值．
t＝时S值＝．
②存点M△AQM直角三角形．
设t秒时NB＝tOM＝2t
CN＝3﹣tAM＝4﹣2t
∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．
Ⅰ．∠AQM＝90°
PQ等腰Rt△MQA底边MA高．
∴PQ底边MA中线
∴PQ＝AP＝MA
∴1+t＝(4﹣2t)
解t＝
∴M坐标(10)．
Ⅱ．∠QMA＝90°时QMQP重合．
∴QM＝QP＝MA
∴1+t＝4﹣2t
∴t＝1
∴点M坐标(20)．
△AQM直角三角形点M坐标分(10)(20)．
点睛
题考查定系数法求解析式考查三角形面积注意利点坐标意义表示线段长度求出线段间关系注意求值助二次函数．
变式22图矩形中 中点连接 动点点出发边点运动动点点出发边点运动两动点时出发速度秒1单位长度连接设运动时间（秒） _____时直角三角形
答案
分析
△CMN直角三角形时三种情况∠CMN90°二∠MNC90°三∠MCN90°然进行分类讨求出t值．
详解
解：
点N作OA垂线交OA点F交CH点E图1
∵B点CH中点
∴BHCHOA6
∵AHOC8
∴勾股定理求：AB10
∵ANt
∴BN10t
∵NE∥AH
∴△BEN∽△BHA
∴
∴
∴EN
∴FN8EN
∠CMN90°
勾股定理求：AF
∵OMt
∴AM12t
∴MFAMAF12t 12
∵∠OCM+∠CMO90°∠CMO+∠FMN90°
∴∠OCM∠FMN
∵∠O∠NFM90°
∴△COM∽△MFN
∴
∴
∴t
∠MNC90°
FN
∴EN
∵MF12
∴CEOFOM+MF12
∵∠MNF+∠CNE90°
∠ECN+∠CNE90°
∴∠MNF∠ECN
∵∠CEN∠NFM90°
∴△CEN∽△NFM
∴
∴
∴
∵0＜t＜5
∴
∠NCM90°
题意知：情况存
综述△CMN直角三角形时t
点睛
题考查相似三角形判定性质勾股定理等知识定综合性．
考点3动点等腰三角形问题
例3图⊙直径弦．点直径动点 等腰三角形时__________．
答案
解析
解：①顶点时
．
②顶点时
中：
∴．
③顶点时重合
∴．
综．
答案：．
点睛：解答题关键分三种情况讨：①BCBP②CPCB③CPBP．
变式31图①已知正方形边长2点边动点点关直线称点点连结设APx
（1）时求长
（2）图②延长线交边求证：等腰三角形
（3）点射线动点等腰三角形时求值
答案（1）BP（2）证明见解析（3）△CDQ等腰三角形时x值422+4
解析
分析
（1）利勾股定理求出BP长（2）根称性质正方形性质ABBQBC∠A∠BQP∠BCE90°∠BQE90°第视角相等性质∠BCQ∠BQC根角等角余角相等性质∠EQC∠ECQECEQ结（3）△CDQ等腰三角形边CD边该等腰三角形腰者底边．Q点A点关PB称点ABQB点B圆心AB长半径画弧Q点弧AB．CD腰点C圆心CD长半径画弧两弧交点△CDQ等腰三角形（CD腰）Q点．CD底边作CD垂直分线弧AC交点△CDQ等腰三角形（CD底）Q点．图示三Q点3P点．作辅助线利直角三角形性质求．
详解
（1）∵APx1AB2
∴BP
（2）∵四边形ABCD正方形
∴ABBC∠A∠BCD90°．
∵Q点A点关BP称点
∴ABQB∠A∠PQB90°
∴QBBC∠BQE∠BCE90°
∴∠BQC∠BCQ
∴∠EQC+∠BQC∠ECQ+∠BCQ90°
∴∠EQC ∠ECQ
∴EQEC△CEQ等腰三角形
（3）图点B圆心AB长半径画弧点C圆心CD长半径画弧两弧分交Q1Q3．时△CDQ1△CDQ3CD腰等腰三角形．
作CD垂直分线交弧AC点Q2时△CDQ2CD底等腰三角形．
①讨Q1图连接BQ1CQ1作PQ1⊥BQ1交ADP点Q1作EF⊥ADE交BCF
∵△BCQ1等边三角形正方形ABCD边长2
∴FC1Q1FQ1E2
四边形ABPQ1中
∵∠ABQ130°
∴∠APQ1150°
∴∠EPQ130°△PEQ1含30°直角三角形
∴PEEQ123
∵EFBC垂直分线
∴AEAD1
∴xAPAEPE1(23)42
②讨Q2图连接BQ2AQ2点Q2作PG⊥BQ2交ADP交CDG连接BP点Q2作EF⊥CDE交ABF
∵EF垂直分CD
∴EF垂直分AB
∴AQ2BQ2．
∵ABBQ2
∴△ABQ2等边三角形．
∴AFAE1FQ2
四边形ABQ2P中
∵∠BAD∠BQ2P90°∠ABQ260°
∴∠APQ2120°
∴∠EQ2G∠DPG180°120°60°
∴EQ2EFFQ22
EGEQ223
∴DGDE+GE1+2322
∴DGPDPD2
∴xAP2PD
③Q3图作辅助线连接BQ1CQ1BQ3CQ3点Q3作PQ3⊥BQ3交AD延长线P连接BP点Q1作EF⊥ADE时Q3EF记Q3F重合．
∵△BCQ1等边三角形△BCQ3等边三角形BC2
∴Q1Q22Q1E2
∴EF2+
四边形ABQ3P中
∵∠ABF∠ABC+∠CBQ3150°
∴∠EPF30°
∴EPEF2+3
∵AE1
∴xAPAE+PE1+2+32+4
综述：△CDQ等腰三角形时x值422+4
点睛
题考查四边形综合正方形性质含30°角直角三角形性质第三问难度非常高题目利尺规作图思想满足求点Q找全．外求解P点勾股定理综合应熟练掌握灵活运学知识解题关键．
变式32（2019·河南中考模拟）图抛物线yax2+bx+3交y轴点A交x轴点B（30）点C（10）顶点点M．
（1）求抛物线解析式
（2）图点Ex轴动点△AME周长请求出点E坐标
（3）点F直线AB动点点P抛物线动点△BFP等腰直角三角形请直接写出点P坐标．
答案（1） （2）E（0）（3）点P坐标（25）（10）．
解析
分析
（1）设抛物线解析式：ya（x+3）（x1）然点A坐标代入函数解析式求抛物线解析式
（2）作A关x轴称点A′（03）连接MA′交x轴E时△AME周长求出直线MA＇解析式求E坐标
（3）图2先求直线AB解析式：yx+3根解析式表示点F坐标（mm+3）
分三种情况进行讨：
①∠PBF90°时F1P⊥x轴P（mm3）点P坐标代入抛物线解析式结
②∠BF3P90°时图3点PC重合
③∠BPF490°时图3点PC重合
结．
详解
（1）x0时y3A（03）
设抛物线解析式：ya（x+3）（x1）
A（03）代入：33a
a1
∴y（x+3）（x1）x22x+3
抛物线解析式：yx22x+3
（2）yx22x+3（x+1）2+4
∴M（14）
图1作点A（03）关x轴称点A＇（03）连接A＇M交x轴点E点E△AME周长点
设直线A′M解析式：ykx+b
A＇（03）M（14）代入：
解：
∴直线A＇M解析式：y7x3
y0时7x30
x
∴点E（0）
（3）图2易直线AB解析式：yx+3
设点F坐标（mm+3）
①∠PBF90°时点B作BP⊥AB交抛物线点P时BP直角边等腰直角三角形两△BPF1△BPF2
∵OAOB3
∴△AOB△A＇OB等腰直角三角形
∴∠F1BC∠BF1P45°
∴F1P⊥x轴
∴P（mm3）
点P坐标代入抛物线解析式yx22x+3中：
m3m22m+3
解：m12m23（舍）
∴P（25）
②∠BF3P90°时图3
∵∠F3BP45°∠F3BO45°
∴点PC重合
P（10）
③∠BPF490°时图3
∵∠F4BP45°∠F4BO45°
∴点PC重合
P（10）
综述点P坐标（25）（10）．
点睛
题考查定系数法求函数解析式周长短问题等腰直角三角形性质判定等知识．题综合性强解题关键注意数形结合分类讨思想应．
变式33（2019·广西中考真题）已知抛物线直线点点坐标原点点抛物线动点直线轴轴分交两点．
（1）求值
（2）底边等腰三角形时求点坐标
（3）满足（2）条件时求值．
答案（1）（2）点坐标（3）值．
解析
分析
(1)根点坐标利定系数法求出值
(2)(1)出抛物线直线解析式继求出点坐标设点坐标结合点坐标出值利等腰三角形性质出关方程解出结
(3)点作轴垂足点点坐标出长利正弦定义求出值．
详解
(1)代入：
∴
代入：
∴
(2)(1)：抛物线解析式直线解析式
时
解：
∴点坐标
设点坐标
∵底边等腰三角形
∴
整理：
解：
∴点坐标
(3)点作轴垂足点图示
点坐标时
∴
点坐标时
∴
∴满足(2)条件时值值．
点睛
题考查定系数法求次函数解析式定系数法求二次函数解析式次函数图象点坐标特征等腰三角形性质勾股定理解直角三角形解题关键：(1)根点坐标利定系数法求出值(2)利勾股定理等腰三角形性质找出关方程(3)通解直角三角形求出值．
考点4动点相似三角形问题
例4图AD∥BC∠ABC90°AB8AD3BC4点PAB边动点△PAD△PBC相似三角形求AP长．
答案APAP2AP6
分析
ADBC ∠B90°证∠PAD∠PBC90° AB8AD3BC4设AP长xBP长8x然分APD∽△BPC△APD∽△BCP分析利相似三角形应边成例求解求答案．
详解
解：∵ AB⊥BC
∴ ∠B90°
∵ AD∥BC
∴ ∠A180°﹣∠B90°
∴ ∠PAD∠PBC90°
AB8AD3BC4
设AP长xBP长8﹣x
AB边存P点△PAD△PBC相似分两种情况
△APD∽△BPCAPBPADBCx（8﹣x）34
解x
△APD∽△BCPAPBCADBPx43（8﹣x）
解x2x6
APAP2AP6．
变式41已知：图面直角坐标系中△ABC直角三角形∠ACB＝90°点AC坐标分A（﹣30）C（10）BC＝AC
（1）求点AB直线函数表达式
（2）x轴找点D连接DB△ADB△ABC相似（包括全等）求点D坐标
（3）（2）条件PQ分ABAD动点连接PQ设AP＝DQ＝m问否存样m△APQ△ADB相似？存请求出m值存请说明理．
答案（1）y＝x+（2）D点位置见解析D（0）（3）符合求m值．
解析
分析
（1）先根A（−31）C（10）求出AC进出BC＝3求出B点坐标利定系数法求出直线AB解析式
（2）运相似三角形性质求出点D坐标
（3）△APQ△ADB已组公角相等需分△APQ∽△ABD△APQ∽△ADB两种情况讨然运相似三角形性质建立关m方程解决问题．
详解
解：（1）∵A（﹣30）C（10）
∴AC＝4
∵BC＝AC
∴BC＝×4＝3
∴B（13）
设直线AB解析式y＝kx+b
∴
∴
∴直线AB解析式y＝x+
（2）△ADB△ABC相似点B作BD⊥AB交x轴D
∴∠ABD＝∠ACB＝90°图1
时＝AB2＝AC•AD．
∵∠ACB＝90°AC＝4BC＝3
∴AB＝5
∴25＝4AD
∴AD＝
∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝
∴点D坐标（0）
（3）∵AP＝DQ＝m
∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．
Ⅰ△APQ∽△ABD图2
＝
∴AP•AD＝AB•AQ
∴m＝5（﹣m）
解m＝
Ⅱ△APQ∽△ADB图3
＝
∴AP•AB＝AD•AQ
∴5m＝（﹣m）
解：m＝
综述：符合求m值．
点睛
题相似形综合题考查定系数法相似三角形判定性质勾股定理等知识考查分类讨数学思想属中档题解题关键根相似建立方程求解．
变式42图正方形ABCD点P射线DC动点点QAB中点连接PQDQ点P作PE⊥DQ点E．
（1）请找出图中相似三角形证明
（2）AB＝4点PEQ顶点三角形△ADQ相似试求出DP长．
答案（1）△DPE∽△QDA证明见解析（2）DP25
分析
（1）∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90证明△ADQ∽△EPD
（2）点PEQ顶点三角形△ADQ相似两种情况△ADQ∽△EPQ时设EQ＝xEP＝2xDE＝2−x△ADQ∽△EPD求出x值DP求出理△ADQ∽△EQP时设EQ＝2aEP＝a求出a值DP求．
详解
（1）△ADQ∽△EPD证明：
∵PE⊥DQ
∴∠DEP＝∠A＝90
∵∠ADC＝90
∴∠ADQ＋∠EDP＝90∠EDP＋∠DPE＝90
∴∠ADQ＝∠DPE
∴△ADQ∽△EPD
（2）∵AB＝4点QAB中点
∴AQ＝BQ＝2
∴DQ＝
∵∠PEQ＝∠A＝90
∴点PEQ顶点三角形△ADQ相似两种情况
①△ADQ∽△EPQ时
设EQ＝xEP＝2xDE＝2−x
（1）知△ADQ∽△EPD
∴
∴
∴x＝
∴DP＝＝5
②△ADQ∽△EQP时设EQ＝2aEP＝a
理
∴a＝
DP＝．
综合DP长25点PEQ顶点三角形△ADQ相似．
点睛
题考查相似三角形判定性质勾股定理正方形性质熟练掌握相似三角形判定性质解题关键．
考点5动点行四边形问题（含特殊四边形）
例5图抛物线轴交两点轴交点．
（1）求抛物线解析式
（2）点抛物线动点满足求出点坐标
（3）连接点轴动点点抛物线动点顶点四边形行四边形时请直接写出点坐标．
备图
答案（1）（2）（3）
分析
（1）定系数法求出解析式
（2）先求出点C坐标OAOC3面积关系列出方程求解
（3）分两种情况讨利行四边形性质求解
详解
解：
（1）∵抛物线点A（30）点B（10）
∴
解：
∴抛物线解析式：
∵抛物线解析式：y轴交点C
∴点C坐标（03）
OAOC3
（2）点P作PM⊥AO点MPN⊥CO点N
设P()
∵
∴
∵AO3CO3
∴PM2PN
点P第三象限时
解
∴
点P第二四象限时
解
∴
（3）BC边四边形BCFE行四边形
∴CF∥BE
∴点C点F坐标相等
∴
解（舍）
∴点F（23）
BC边四边形BCFE行四边形
∴BECF互相分
∵BE中点坐标0点C坐标3
∴点F坐标3
∴
解
∴
∴
BC角线四边形BECF行四边形
∴BCEF互相分
∴BC中点坐标点E坐标0
∴点F坐标3
∴点F（23）
综述点F坐标：
点睛
题考查二次函数应行四边形性质掌握定系数法行四边形性质解题关键
变式51（2019·江西中考真题）图123中已知点线段动点连接边作菱形．
（1）图1点点重合时________°
（2）图2连接．
①填空：_________（填><）
②求证：点分线
（3）图3连接延长交延长线点四边形行四边形时求值．
答案（1）60°（2）① ②见解析（3）4
解析
分析
（1）根菱形性质计算
（2）①证明根角运算解答
②作交延长线证明根全等三角形性质根角分线判定定理证明结
（3）根直角三角形性质证明四边形菱形根菱形性质计算答案．
详解
解：（1）四边形菱形
答案：
（2）①四边形行四边形
四边形菱形
答案：
②作交延长线
等边三角形
中
点分线
（3）四边形菱形
四边形行四边形
四边形行四边形
四边形行四边形
行四边形菱形
．
点睛
题考查菱形性质行四边形性质全等三角形判定性质掌握全等三角形判定定理性质定理菱形性质直角三角形性质解题关键．
变式52（2019·湖南中考真题）图二次函数图象原点x轴交点
（1）求该二次函数解析式
（2）x轴方作x轴行线交二次函数图象AB两点AB两点分作x轴垂线垂足分点D点C．矩形ABCD正方形时求m值
（3）（2）条件动点P点A出发射线AB秒1单位长度匀速运动时动点Q相速度点A出发线段AD匀速运动达点D时立原速返回动点Q返回点A时PQ两点时停止运动设运动时间t秒（）．点Px轴作垂线交抛物线点E交直线AC点F问：AEFQ四点顶点构成四边形否行四边形．请求出t值请说明理．
答案（1）（2）矩形ABCD正方形时m值4（3）AEFQ四点顶点构成四边形行四边形t值46
解析
分析
（1）根点坐标利定系数法求出二次函数解析式
（2）利二次函数图象点坐标特征求出点AB坐标进出点CD坐标利正方形性质出关m方程解出结
（3）（2）出点ABCD坐标根点AC坐标利定系数法求出直线AC解析式利二次函数图象点坐标特征次函数图象点坐标特征求出点EF坐标AEFQ四点顶点四边形行四边形出分三种情况找出AQEF长出关t元二次方程解取合适值出结．
详解
（1）代入：
解
∴该二次函数解析式．
（2） 时
解：
∴点a坐标（m）点b坐标（m）
∴点d坐标（0）点c坐标（0）．
∵矩形abcd正方形
∴
解：（舍）．
∴矩形ABCD正方形时m值4．
（3）AEFQ四点顶点构成四边形行四边形．
（2）知：点A坐标点B坐标点C坐标点D坐标．
设直线AC解析式
代入
解
∴直线ac解析式．
时
∴点E坐标（）点F坐标（t+4）．
∵AEFQ四点顶点构成四边形行四边形
∴分三种情况考虑：
①时图1示EF
∴解：（舍）
②时图2示EF
∴
解：（舍）
EF
解（舍）（舍）
综述AEFQ四点顶点构成四边形行四边形时t值46
点睛
题考查定系数法求二次函数解析式二次函数图象点坐标特征正方形性质定系数法求次函数解析式次函数图象点坐标特征行四边形性质解题关键：（1）根点坐标利定系数法求出二次函数解析式（2）利正方形性质找出关m方程（3）分三种情况利行四边形性质找出关t元二次方程．
变式53．图面直角坐标系中顶点坐标原点点坐标两点关直线称反例函数图象点点直线动点
（1）点坐标______
（2）点反例函数图象点否存样点四点顶点四边形行四边形？存求出点坐标存请说明理
（3）点线段点（重合）四边形菱形时点分作直线直线垂线垂足分值时求出点坐标
答案（1）（31）（2）（3）（22）
解析
分析
（1）根点（ab）关yx称点坐标（ba）直接写出答案
（2）首先求反例函数解析式然设P（mm）分PC行四边形边PC行四边形角线两种情况分类讨确定点C坐标
（3）连接AQ设ABPO交点D利四边形AOBP菱形S△AOPS△AOQ+S△APQPO•ADAO•QE+AP•QF确定QE+QF定值求解．
详解
解：（1）B点坐标（31）
（2）∵反例函数图象点A（13）
∴k1×33
∴反例函数解析式
点P直线yx
∴设P（mm）
①PC行四边形边
∵点A横坐标点B横坐标2点A坐标点B坐标2
∴点C点P方点C坐标（m+2m2）图1
点C点P方点C坐标（m2m+2）图2
C（m+2m2）代入反例函数解析式：
∵m＞0
∴
∴
理点
②PC行四边形角线图3
∵AB关yx称
∴OP⊥AB
时点C直线yx直线yx双曲线交点
解：（舍）
∴
综述满足条件点C三坐标分：
（3）连接AQ设ABPO交点D图4
∵四边形AOBP菱形
∴AOAP
∵S△AOPS△AOQ+S△APQ
∴PO•ADAO•QE+AP•QF
∴QE+QF定值
∴QE+QF+QB值需QB值QB⊥PO时QB
D点求点
∵A（13）B（31）
∴D（22）
∴QE+QF+QB值时Q点坐标（22）．
点睛
题反例函数综合知识考查熟练掌握反例四边形知识分类讨数学思想解决题关键难度较．
考点6动点线段面积问题
例6图面直角坐标系中行四边形图放置行四边形绕点O时针旋转90°行四边形．抛物线点ACA′三点．
（1）求AA′C三点坐标
（2）求行四边形行四边形重叠部分面积
（3）点M第象限抛物线动点问点M处时面积？面积少？写出时M坐标．
答案（1）A（03）A′（30）C（－10）（2）（3）时取值M（）
解析
试题分析：（1）y0时求出x值点A′点C坐标x0求出y值点A坐标根点AC坐标出点B坐标求出OB长度△AOB面积根旋转∠ACO∠OC′D根∠ACO∠ABO∠ABO∠OC′D说明△ C′OD ∽△BOA根相似三角形出△C′OD面积设点M坐标（）连接OM△AMA′面积m函关系式出值点M坐标．
试题解析：（1）解：（1）时解
∴C（10）A′（30）．x0时y3．∴A（03）
（2）∵C（10）A（03） ∴B（13） ∴
∴△AOB面积
∵行四边形ABOC旋转行四边形A′B′OC′∴∠ACO∠OC′D
∵∠ACO∠ABO∴∠ABO∠OC′D． ∵∠C′OD∠AOB ∴△ C′OD ∽△BOA
∴∴
（3）设M点坐标（）连接OM
时取值∴M（）
考点：二次函数应三角形相似旋转图形性质行四边形性质．
变式61（1）发现：图1点线段外动点点位 时线段长取值值 （含式子表示）
（2）应：图2点线段外动点边作等边连接求线段值
（3）拓展：图3线段点线段外动点求线段长值时面积．
答案（1）CB延长线a+b（2）6（3）值3+△PBM面积
分析
（1）根点A位CB延长线时线段AC长取值结
（2）根等边三角形性质ADABACAE∠BAD∠CAE60°推出△CAD≌△EAB根全等三角形性质CDBE利（1）中结结果
（3）△APM绕着点P时针旋转90°△AP＇N连接BN△APP＇等腰直角三角形根全等三角形性质P＇APA2ANAM根N线段BA延长线时线段BN取值值+3点P作PQ⊥AB延长线点Q
利勾股定理求出PB长根△PBM等腰直角三角形求出面积
详解
解：（1）∵点A线段BC外动点BCaABb
∴点A位CB延长线时线段AC长取值值BC+ABa+b
答案：CB延长线a+b
（2）图2中AC边作等边△ACE连接BE．
∵△ABD△ACE等边三角形
∴ADABACAE∠BAD∠CAE60°
∴∠BAD+∠BAC∠CAE+∠BAC
∠CAD∠EAB
△CAD△EAB中
∴△CAD≌△EAB（SAS）
∴CDBE
∴线段BE长值线段CD值
∴（1）知线段BE长取值时点EBA延长线
∴值4+26．
∴线段CD值6
（3）解：图3中△APM绕着点A时针旋转90°△AP＇N连接BNPP′．
∴△APM≌△AP＇N
∴ANAMAPAP＇2
∴线段AM长值线段AN长值
∴N线段AB延长线时线段AN取值值AB+BN
∴∠PAP＇90°
∴△APP＇等腰三角形
∴PP＇
∵△BPM等腰直角三角形
∴∠BPM∠MAN90°PMPBP＇N
∴∠AMP∠ABP∠N
∴PB∥P＇N
∴四边形PBNP＇行四边形
∴BNPP＇
∴AN值：AB+BNAB+PP＇3+
∴AM值3+
点P作PQ⊥AB延长线点Q
∵∠PAP′90°∠P′AB∠PP′A45°
∴∠PAQ45°
∴△PAQ等腰直角三角形
∵AP2勾股定理：
∴AQPQ
△PBQ中PQ2+BQ2PB2
∴PB2
∵△PBM等腰直角三角形
时△PBM面积×
点睛
题属三角形综合题考查等腰直角三角形性质旋转性质行四边形性质判定等知识正确作出辅助线构造全等三角形解题关键学会转化思想思考问题掌握旋转法添加辅助线．
变式62图矩形中点角线动点（重合）连接点作交射线点线段邻边作矩形点作分交点
（1）求证：值
（2）求值
（3）求矩形面积值
答案（1）见解析（2）（3）
解析
分析
(1)根矩形性质角余角相等证明求证三角形相似（2）设相似三角形应边成例列出例式求解（3）时矩形面积求解
详解
（1）
∵点作矩形中AB∥DC
∵点作
∴
∴
∴
（2）设
∵矩形中AB∥DC
∴△APG∽△CPH
∴
∴
∵
∴
（3）图∵
∴时矩形面积时
时点点重合面积
点睛
题考查相似三角形综合题矩形性质相似三角形判定性质勾股定理解题关键学会利相似三角形判定性质列出相应例式解决问题．
变式62已知：四边形中．
（）求四边形面积．
（）点线段动点连接求周长值时长．
（）点线段动点边点连接分交 点记重叠部分面积求值．
答案（）．（）．3．（）．
解析
试题分析：（1）图1A作AE⊥BCEDF⊥BCF四边形AEFD矩形矩形想知道EFAD6BECF3根勾股定理结
（2）图2作点B关直线AD称点G连接CG交ADPBC+PB+PCBC+PG+PC△BCP周长值根勾股定理△BCP周长值：4+12根三角形中位线性质PHBC6勾股定理结．
（3）点作垂线分交点点作垂线分交点点作垂线分交点图示设．∽理∽∽：进求答案
试题解析：（）图1作．
四边形矩形．
∴．
∴．
∴．
（）图2作点关直线称点
连接交．
周长．
（）知．
中．
∴．
∵
∴．
∵
∴．
（）点作垂线分交点点作垂线分交点点作垂线分交点图3示设．
∽
理∽∽
求：中
．
时值时值．
单选题
1．图抛物线轴交点点点抛物线动点底等腰三角形值（ ）
A． B．
C． D．
答案B
分析
△PCDCD底等腰三角形时P点线段CD垂直分线CD坐标求线段CD中点坐标知道P点坐标代入抛物线解析式求P点坐标．
详解
解：作中垂线交抛物线（左侧）交轴点连接P1DP2D．
易 ．
∴．
代入中．
∴．
∴．
选B．
2．图菱形中线段动点（点点重合）等腰三角形时度数（ ）
A． B． C． D．
答案C
分析
菱形ABCD中根菱形性质 ∠ABD∠ABC40°分三种情况讨AEBE时ABBE时时根等腰三角形性质结．
详解
解：∵菱形ABCD中
∵△ABE等腰三角形
∴AEBEABBE
AEBE时
∴∠ABE∠BAE40°
∴
ABBE时
∴∠BAE∠AEB
∴∠DAE
时重合合题意舍
综述△ABE等腰三角形时∠DAE30°60°
选：C．
点睛
题考查菱形性质等腰三角形性质掌握分类讨解题关键．
3．已知等腰中 底角动点点点运动直角三角形长（ ）
A．4 B．23 C．34 D．3
答案C
分析
先画出符合两种情况图1中根等腰三角形性质求出BP图2中先求出BP＝2PA根勾股定理求出．
详解
∠APB＝90时图1
∵AB＝ACBC＝6
∴BP＝CP＝BC＝3
∵∠B＝30
∴AB＝2AP
勾股定理：（2AP）2＝AP2＋32
解：AP＝AB＝2AP＝2
∠BAP＝90图2
∵∠B＝30
∴BP＝2AP
Rt△ABP中勾股定理：AB2＋AP2＝BP2
（2）2＋AP2＝（2AP）2
解：AP＝2BP＝2AP＝4
BP＝34
选：C．
点睛
题考查含30角直角三角形性质勾股定理等腰三角形性质等知识点熟练运含30角直角三角形性质进行推理解题关键．
4．图次函数反例函数图象交两点点线段动点(重合)点分作轴轴垂线交反例函数图象四边形面积PMON值（ ）
A．125 B．1225 C．14 D．12
答案A
解析
分析
设反例函数解析式y 次函数解析式yax+b根点坐标利定系数法求出反例次函数解析式利分割图形求面积法找出S四边形PMON关m函数关系式利配方法解决值问题．
详解
解：设反例函数解析式y次函数解析式yax+b
点A（112）代入y中k12
∴反例函数解析式y
点A（112）B（62）代入yax+b中
解
∴次函数解析式y2x+14．
设点P坐标（m142m）
S四边形PMONS矩形OCPDS△OCMS△ODNS矩形OCPD|k|m（142m）122m2+14m122(m)2+125
∴四边形PMON面积值125．
选A．
点睛
题考查定系数法求函数解析式反例函数次函数交点问题解题关键找出S四边形PMON关m函数关系式．题难度利分割图形求面积法解题关键．
5．图Rt△中90°边动点边构造行四边形角线值（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
答案B
分析
根行四边形性质PQ⊥AC时角线值值BC长度问题解．
详解
解：图示作行四边形QB∥AC
∴PQ⊥AC时角线值
∵BC⊥AC
∴值6
选：B．
点睛
题考查行四边形性质准确作出图形解题关键．
6．图中动点点出发射线2速度运动设运动时间等腰三角形时值（ ）
A． B．124 C．12 D．124
答案C
分析
根勾股定理求出BC△ABP等腰三角形时分三种情况①ABBP时②ABAP时③BPAP时分求出BP长度继求t值
详解
中
(cm)
①ABBP时t（s）
②ABAP时AC⊥BC
BP2BC24cm
t(s)
③BPAP时APBP2tcm CP(122t)cmAC5cm
Rt△ACP中AP2AC2+CP2
(2t)252+(122t)2
解t
综_述△ABP等腰三角形时12
选C
点睛
考核知识点等腰三角形勾股定理根题画出图形利勾股定理解决问题关键
7．图点坐标点轴负半轴动点分直角边第三第四象限作等腰直角三角形等腰直角三角形连接交轴点点轴移动时长度（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案B
分析
作EN⊥y轴N求出∠NBE∠BAO证△ABO≌△BEN求出∠OBF∠FBP∠BNE90°证△BFP≌△NEP推出BPNP出答案．
详解
解：图作EN⊥y轴N
∵∠ENB∠BOA∠ABE90°
∴∠OBA+∠NBE90°∠OBA+∠OAB90°
∴∠NBE∠BAO
△ABO△BEN中
∴△ABO≌△BEN（AAS）
∴OBNEBF
∵∠OBF∠FBP∠BNE90°
△BFP△NEP中
∴△BFP≌△NEP（AAS）
∴BPNP
∵点A坐标（80）
∴OABN8
∴BPNP4．
选B．
点睛
题考查全等三角形性质判定坐标图形性质等知识点应考查学生综合运性质进行推理计算力定难度注意：全等三角形判定定理SASASAAASSSS全等三角形应角相等应边相等．
8．图已知 两点坐标分点分直线x轴动点点线段中点连接交轴点⊿面积取值时值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析
分析
图设直线x5交x轴K．题意KDCF5推出点D运动轨迹K圆心5半径圆推出直线AD⊙K相切时△ABE面积作EH⊥ABH．求出EHAH解决问题．
详解
图设直线x5交x轴K．题意KDCF5
∴点D运动轨迹K圆心5半径圆
∴直线AD⊙K相切时△ABE面积
∵AD切线点D切点
∴AD⊥KD
∵AK13DK5
∴AD12
∵tan∠EAO
∴
∴OE
∴AE
作EH⊥ABH．
∵S△ABE•AB•EHS△AOBS△AOE
∴EH
∴
∴
选B
点睛
题考查解直角三角形坐标图形性质直线圆位置关系三角形面积等知识解题关键灵活运学知识解决问题
9．已知：图长方形ABCD中AB4AD6．延长BC点ECE2连接DE动点P点B出发秒2单位速度BCCDDA终点A运动设点P运动时间秒值_____秒时△ABP△DCE全等．
A．1 B．13 C．17 D．37
答案C
分析
分两种情况进行讨根题意出BP2t2AP162t2求．
详解
解：ABCD∠ABP∠DCE90°BPCE2根SAS证△ABP≌△DCE
题意：BP2t2
t1
ABCD∠BAP∠DCE90°APCE2根SAS证△BAP≌△DCE
题意：AP162t2
解t7．
t值17秒时．△ABP△DCE全等．
选C．
点睛
题考查全等三角形判定判定方法：ASASASAASSSSHL．
10．图直角梯形中点边动点相似三角形满足条件点数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
分析
相似分两种情况讨：①②两种情况根相似三角形应边相等求出长点数．
详解
解：图示：
．
．
设长长．
边存点相似分两种情况：
①
解：
②
解：6．
满足条件点数3
选：C．
点睛
题考查相似三角形判定性质熟悉相关性质进行分类讨解题关键．
11．图面直角坐标系中A（04）B（20）点C第象限ABC顶点三角形△AOB相似（包括全等）点C数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案D
解析
试题解析：图①∠OAB∠∠AOB∠时△AOB∽△．
图②AO∥BCBA⊥∠∠OAB△AOB∽△
图③∥OB∠ABC3∠ABO∠CAB△AOB∽△
图④∠AOB∠∠ABO∠△AOB∽△．
选D．
12．图坐标面点A(2－1)O原点Px轴动点果点POA顶点三角形等腰三角形符合条件动点P数( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案C
解析
O点圆心OA半径作圆x轴两交点两点显然符合题意．A点圆心OA半径作圆x轴交两点（O点外）．OA中点圆心OA长半半径作圆x轴交点．4点符合
二填空题
13．图已知点A(01)C(10)顶点△ABC中∠BAC60°∠ACB90°坐标系动点P（A重合）PBC顶点三角形△ABC全等P点坐标____________
答案（21）
详解
解：勾股定理：AC
∵∠BAC60°∠ACB90°
∴ABBC
分三种情况：
①图1延长ACPACCP连接BPP作PM⊥x轴M时PMOA1CMOC1OM1+12P坐标（2﹣1）
②图2B作BP⊥BCBPAC时PCAB．P作PM⊥x轴M时∠PCM15°x轴取点N∠PNM30°CNPN设PMxCNPN2xMNx
Rt△CPM中勾股定理：（）2（2x+x）2+x2xPMMC2x+xOM1+
P坐标（）
③图3B作BP⊥BCBPACP作PM⊥x轴M时∠PCM30°+45°75°∠CPM15°③解法类似求出CMPM2x+xOM1+P坐标（）．
答案（2﹣1）（）（）．
点睛
题考查全等三角形性质判定勾股定理含30度角直角三角形等知识点应注意进行分类讨题目较定难度．
14．图中动点速度点运动点动点时速度点运动点直角三角形时点运动时间__________
答案2
分析
根勾股定理求出AB分∠AMN＝90°∠ANM＝90°两种情况根相似三角形性质列出例式计算．
详解
解：Rt△ABC中∠C＝90°
AB＝＝＝5cm
设点M运动时间t秒
题意CM＝tAN＝AM＝4−t
∠AMN＝90°时∠AMN＝∠ACB∠A＝∠A
∴△AMN∽△ACB
∴
解：t＝2
∠ANM＝90°时∠ANM＝∠ACB∠A＝∠A
∴△ANM∽△ACB
∴
解：t＝
综述：△AMN直角三角形时点M运动秒数2
答案：2
点睛
题考查相似三角形判定性质勾股定理掌握相似三角形判定定理性质定理解题关键．
15．图点C直线l动点D点E点长________________直角三角形．
答案32．
分析
作BF⊥ADF根矩形性质BFDE4DFBE1根勾股定理CD表示出ACBC根勾股定理逆定理列式计算答案．
详解
解：作BF⊥ADF
四边形DEBF矩形
∴BFDE4DFBE1
∴AFADDF3
勾股定理
△ABC直角三角形时
解CD3
图2作BH⊥ADH
仿述作法∠ACB90°时
勾股定理
：
解：
理：∠ABC90°时
综：长：32．
答案：32．
点睛
题考查勾股定理逆定理果直角三角形两条直角边长分ab斜边长c
16．图正方形面积16中点角线动点连接线段值______．
答案
分析
连接CF点EFC直线时AF+FE值CE长根勾股定理计算．
详解
解：∵四边形ABCD正方形
∴A关BD称点C
AFCF
∴线段值线段值
∴点EFC直线时AF+FE值CE长
∵正方形ABCD面积16
∴ADCD4
∵EAD中点
∴DE2
∴Rt△CED中
线段值
答案：
点睛
题考查轴称短路线问题根正方形性质作出A关BD称点C解答题关键．
17．图中点线段动点连接_________度时等腰三角形．
答案5065
分析
根等腰三角形特点分类讨求解．
详解
∵等腰三角形
①底角时
②顶角时
答案：5065．
点睛
题考查等腰三角形性质解题关键根题意分情况讨．
18．图垂足分点边动点_______时形成全等．
答案2
分析
BP2时Rt△ABP≌Rt△PCDBC6CP4进ABCPBPCD结合AB⊥BCDC⊥BC∠B∠C90°利SAS判定△ABP≌△PCD．
详解
解：BP2时Rt△ABP≌Rt△PCD
∵BC6BP2
∴PC4
∴ABCP
∵AB⊥BCDC⊥BC
∴∠B∠C90°
△ABP△PCD中
∴△ABP≌△PCD（SAS）
答案：2．
点睛
题考查全等三角形判定掌握全等三角形判定方法（SSSSASASAAASHL）解题关键．
19．图中面积10垂直分线分交点点中点点线段动点周长值______
答案7
分析
连接AD△ABC等腰三角形点DBC边中点AD⊥BC根三角形面积公式求出AD长根EF线段AC垂直分线知点C关直线EF称点点AAD长CP+PD值出结．
详解
连接AD
∵△ABC等腰三角形点DBC边中点
∴AD⊥BC
∴S△ABCBC•AD×4×AD10
解AD5
∵EF线段AC垂直分线
∴点C关直线EF称点点A
∴AD长CP+PD值
∴△CDP周长短（CP+PD）+CDAD+BC6+×45+27．
答案：7
点睛
题考查轴称短路线问题熟知等腰三角形三线合性质解答题关键．
20．图中点动点．点作点交点．等腰三角形长__________．
答案1
分析
分三种情况：①BPCP点P作PF⊥BC点FDPCFBC②BPBC点P作PF⊥BC点FRt△BPF中先求出BF长根DPCF出DP长③BCCP勾股定理相似三角形判定性质分求出DPDE长时DP＞DE种情况存．综出结果．
详解
解：∵∠ACB90°PD⊥AC
∴DE∥BC．
∴
BC5∴CD3．
分三种情况：
①BPCP图1点P作PF⊥BCF
四边形CDPF矩形
∴DPCF
CPBPPF⊥BC
∴CFBFBC
∴DPCF
②BPBC5图2点P作PF⊥BCF
四边形CDPF矩形
∴PFCD3
Rt△BPF中勾股定理BF4
∴CFBCBF1
∴DP1
③BCCP5图3
Rt△CDP中根勾股定理DP4
DE∥BC
∴△ADE∽△ACB
∴
∴∴DE
时DP＞DE符合题意．
综述PD长1．
答案：1．
点睛
题考查勾股定理等腰三角形性质相似三角形判定性质矩形判定性质行线判定等知识点解题关键综合运相关性质进行推理运分类讨思想．
21．图矩形ABCD中AB4cmBC8cm动点M点D出发折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方2cms速度运动动点N点D出发折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方1cms速度运动．动点MN时出发相遇时停止运动点E线段BCBE3cm_____秒钟点AEMN组成行四边形．
答案
解析
分析
根t值讨MN位置根行四边形判定定理求解．
详解
图
直角△ABE中AE5cm．
设运动时间t秒．
0＜t＜2时MCDNDA
行四边形AEMN
AE∥MNAEMNAEMN成立
t2时MC点DN4cm
时AN≠EC
构成行四边形
2＜t＜45时MBC
EMBC+CDBE2t92tAN8t
92t8t时
解：t1（舍）
45＜t＜6时MBC
EM2t（BC+CDBE）2t9AN8t
2t98t时
解：t
时四边形AMEN行四边形
6＜t＜8时MABNAD
构成行四边形
t8时QA重合构成行四边形形．
综述：秒钟点AEMN组成行四边形．
答案：．
点睛
题考查行四边形判定定理熟练掌握行四边形判定方法正确t范围进行讨解决问题关键．
22．图点坐标分圆心坐标半径1点动点线段轴交点面积值________．
答案
分析
连接相切时短面积切线性质利勾股定理长证明根相似三角形性质求出长长利三角形面积公式求出面积
详解
连接
∵相切时短
∴面积
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解：
∴
∴面积：
答案
点睛
题考查切线性质相似三角形判定性质三角形面积求法够正确判断出面积时位置关系解题关键
三解答题
23．图直线轴轴分交两点条直线点点
(1)求直线函数表达式
(2)求证
(3)点直线动点点轴动点顶点三角形全等求点坐标
答案(1) (2) (3) 点坐标
解析
分析
（1）yx+4中令y00x+4求A（30）设直线AC应函数关系式ykx+b解方程组结
（2）直线AByx+4中k1直线ACy＝x−中k2k1•k21结
（3）根勾股定理AB5①∠AQP90°时图1全等三角形性质AQOB4Q1（70）Q2（10）②∠APQ90°时图2根全等三角形性质AQAB5Q3（80）Q4（20）③∠PAQ90°时种情况存．
详解
（1）yx+4中
令y00x+4
∴x3
∴A（30）
设直线AC应函数关系式ykx+b
：解：
∴直线AC应函数关系式y＝x
(2) 直线AByx+4中
∵k1
直线ACy＝x−中k2
∴k1•k21
∴AB⊥AC
（3）yx+4中
令x0y4
∴OA3OB4勾股定理AB5
①∠AQP90°时图1∵△AOB≌△AQP
∴AQOB4
∴Q1（70）Q2（10）
②∠APQ90°时图2∵△AOB≌△AQP
∴AQAB5
∴Q3（80）Q4（20）．
③∠PAQ90°时种情况存
综述：点Q坐标：（70）（80）（10）（20）．
点睛
考查次函数综合题定系数法求函数解析式勾股定理应全等三角形性质等知识分类讨解题关键防遗漏．
24．已知边长等边三角形动点速度点出发线段点运动．请分解决面四种情况：
（）图设点运动时间__________时直角三角形
（）图动点点出发线段点运动果动点速度时出发．设运动时间值时直角三角形？
（）图动点点出发射线方运动．连接交．果动点速度时出发．设运动时间值时等腰三角形？
（）图动点点出发射线方运动连接交连接．果动点速度时出发．请猜想：点运动程中面积什关系？说明理．
答案(1)15（2）时直角三角形（3）时等腰三角形（4）理详见解析
解析
试题分析：
（1）△ABC等边三角形知△PBC直角三角形时CP⊥ABPAB中点AP长求出t值
（2）△PBQ直角三角形时存PQ⊥BCPQ⊥AB两种情形分两种情况讨两图形中分含t式子表达出PBBQ长直角三角形中30°锐角直角边等斜边半列出关t方程求t值
（3）∠CDQ∠CQDCDCQ时△DCQ等腰三角形∠CDQ+∠CQD∠ACB60°：∠CQD30°∠B60°∠QPB90°：BPBQ含t式子表达出BPBQ列出含t方程求出t值
（4）作PF∥CQCE⊥PQ已知条件易：△APF等边三角形APCQ：PFCQPF∥CQ角相等证△PFD≌△QCDPDQD等底等高三角形面积相等
试题解析：
（）图∵△ABC等边三角形
∴PAB中点时CP⊥AB时△PBC直角三角形APAB15
∴
（）①图
PQ⊥BC时已知：．
∴ ．
时
∴．
∴
∴．
②图
PQ⊥AB时已知：．
时．
∴．
∴
∴．
综时直角三角形．
（）
∵等边三角形
∴
∴．
∵等腰三角形
．
∴
．
∴
∴
∴
∴．
∴时等腰三角形．
（）．
证明：图作作．
∵等边三角形
∴
∴等边三角形
∴．
∵
∴
∴中
∴≌
∴．
∵高均
∴
∴．
25．图已知直线c直线b相较点直线c点行y轴动直线a解析式动直线a分交直线bc点DD方．
求直线b直线c解析式
Py轴动点满足等腰直角三角形求点P坐标．
答案（1）（2）时等腰直角三角形时P点坐标时等腰直角三角形时P点坐标时等腰直角三角形时P点坐标
解析
分析
设直线b解析式设直线c解析式：点坐标代入结
时时E点坐标D点坐标分三种情况：时时DE斜边时DE斜边已知列方程结．
详解
设直线b解析式：
代入
直线b解析式：
设直线c解析式：
点点代入
直线c解析式：
时时
点坐标D点坐标．
D方
等腰直角三角形．
时时
点坐标
时
点坐标
时DE斜边
DE中点坐标
点坐标
时已知
符合题意舍
时直线存．
时DE斜边已知
点坐标
综述：时等腰直角三角形时P点坐标
时等腰直角三角形时P点坐标
时等腰直角三角形时P点坐标．
点睛
考查定系数法求函数解析式等腰三角形判定性质正确理解题意解题关键．
26．图抛物线两点轴交点点抛物线顶点抛物线称轴交轴点连接．
（1）求三点抛物线函数表达式
（2）点该抛物线称轴直角边直角三角形求点坐标
（3）中点点作轴点抛物线动点轴动点直线动点顶点四边形正方形时请求出点坐标．
答案（1）（2）（3）
分析
（1）利定系数法求出ABC三点抛物线函数表达式
（2）设分BCQ1C作直角边时BCQ2B作直角边时两种情况讨
（3）设点M坐标（a0）表示出点G坐标根正方形性质列出方程解方程．
详解
解：（1）∵抛物线yx2+bx+cA（10）B（30）两点
∴
解
∴ABC三点抛物线函数表达式yx2+2x+3
（2）图根题意设
∴
BCQ1C作直角边时：
解：y4
∴
BCQ2B作直角边时：
解：y2
∴
综述：点Q坐标
（3）设点坐标点坐标
∵顶点四边形正方形
∴
时整理解
时整理解
∴顶点四边形正方形时
点坐标．
点睛
题考查二次函数图象性质定系数法求函数解析式正方形性质掌握二次函数图象性质灵活运定系数法解题关键．
27．图矩形中动点分时两点出发动点速度终点作匀速返运动动点速度终点匀速运动设两动点运动时间．
（1）试含代数式表示．
（2）返回(包括端点）程中等腰三角形时求值．
（3）连接设交时求值．
答案（1） （2）t值（3）t值
分析
（1）分P两种情况讨
（2）分PC点重合P返回程中两种情况讨运等腰三角形三线合性质求解
（2）分P两种情况讨运全等三角形性质求解．
详解
（1）∵
∴P时
P时
综
（2）重合时时中点
∵AQDQ45DC
∴等腰三角形
∴
P返回程中()
∵DQ45DC
∴存PDDQPQDQ情况
PDPQ时
图：作PH⊥ADH
∴四边形CDHP矩形
∴QHDHPC
∵PCDQ
∴
解：
综PC返回B(包括端点BC）程中等腰三角形时t值
（3）P时图①
时PCAQ
∵
∴AQPC
解：
P时图②
时CPAQ
∴AQPC
解：
综t值
点睛
题考查矩形判定性质全等三角形性质等腰三角形性质根题意画出符合题意图形分类讨解题关键．
28．图直线轴相交点A轴相交点B．
(1)求AB两点坐标
(2)求△AOB面积
(3)点P轴动点△PAB等腰三角形P点坐标___________
答案（1）A（20）B（40）（2）面积4（3）（0）（0）（20）（40）
解析
分析
（1）x0y0分代入函数解析式求相应yx值易点AB坐标
（2）根三角形面积计算公式求解
（3）根等腰三角形判定分两种情况讨求．
详解
（1）∵y0时x2x0时y4
∴A（20）B（04）
（2）S△AOB×2×44
（3）∵A（20）B（04）．
∴AB
AB腰长时P坐标（0）（0）（20）
AB底时APBP设P（x0）
AP2x
Rt△BOP中
BO 2+OP2BP 2
42+x2（2x）2
解：x3
P点坐标（30）．
P坐标：（30）（20）（0）（0）
点睛
题考查次函数图象点坐标特征等腰三角形判定两边相等三角形等腰三角形坐标图形性质分类讨思想运解题关键．
29．图面直角坐标系中抛物线图象三点．已知点点坐标分点线段动点（点点重合）顶点作射线交线段点．
（1）抛物线解析式_ _
（2）等腰三角形．
①求时点坐标
②点第二象限抛物线动点点运动某位置时面积求值．
答案（1）（2）①点E坐标②时面积值
分析
（1）点AB坐标代入抛物线解析式利定系数法求二次函数解析式解答
（2）①分三种情况讨：时时时解答
②连接作轴交直线作轴点先求出AD解析式设出P坐标含t式子表示出PQ表示出面积求解．
详解
解：（1）点AB坐标代入抛物线解析式
解
抛物线解析式
（2）
等腰三角形时分三种情况讨
时
中．
时点点重合符合题意种情况成立．
图1时．
中
．
．
图2时点作轴点
中
中
．
等腰三角形时点坐标
图3连接作轴交直线作轴点
直线解析式
设（中）
第二象限抛物线点
知点坐标
时
时
时面积
时面积值．
点睛
题综合考查二次函数图象性质定系数法等腰三角形全等三角形判定性质等重知识点难度较注意分类讨思想应注意漏解．
30．已知点坐标轴交点中点双曲线两点．
（1）求值
（2）图1点轴四边形行四边形求点坐标
（3）图2（2）条件动点双曲线点轴顶点四边形行四边形试求满足求点坐标．
答案（1）（2）（3）坐标分
分析
(1) 点作轴证求出值
(2) 设求出点坐标
(3)反例函数解析式点P双曲线点Qy轴设Q(0y) P(x )分AB边AB角线两种情况求出x值出PQ坐标．
详解
解：（1）点作轴
∵中点
∴DEAE
∵∠PED∠OEA ∠DPE∠AOE
∴
∴
∴
∴
∴
（2）∵四边形行四边形
∴
∵
轴
∴设
∴
（3）∵反例函数表达式
∵点P双曲线点Qy轴
∴设Q(0y)P(x )
①AB边时图①示．四边形ABPQ行四边形
0解x1时P1(14)Q1(06)
图②示．
四边形ABQP行四边形x−1时P2(−1−4)Q2(0−6)
②AB角线时图③示
APBQAPBQ
x−1
P3(−1−4)Q3(02)
满足求点PQ坐标分
．
点睛
题反例函数综合题考查定系数法求反例函数解析式正方形性质等腰三角形判定性质全等三角形判定性质等相关知识难度较．
31．图（1）坐标原点点轴正半轴四边形行四边形反例函数第象限图象点交点．
（1）求点坐标反例函数解析式
（2）求点坐标
（3）（2）中条件图（2）点直线动点点双曲线动点否样点点顶点四边形行四边形？存请直接写出点坐标存请说明理．
答案（1） （2）点（3）存点．
分析
（1）根知点坐标代入解析式求解
（2）点作设行四边形性质锐角三角函数求表示点坐标代入解析式求值求点坐标
（3）分两种情况讨行四边形性质求解．
详解
（1）图1点作点
根题意：
反例函数解析式
（2）图2点作
设
四边形行四边形
点
反例函数第象限图象点
（合题意舍）
点点
（3）点点
直线解析式：
边
设解析式：
直线解析式：
解：
设点
点
角线
顶点四边形行四边形
互相分
设点
中点
中点
点睛
题反例函数综合题考查定系数法求解析式行四边形性质锐角函数应利分类讨思想解决问题题关键．
32．图抛物线交x轴点A（30）点B交y轴点C（03）．
（1）求抛物线函数表达式
（2）点Q线段AC动点作DQ⊥x轴交抛物线点D求线段DQ长度值．
（3）点G抛物线动点点Fx轴动点ACFG四点顶点四边形行四边形求出满足条件点F坐标（直接写出结果）．
答案（1）yx22x+3（2）QD值（3）（10）（50）（0）（0）．
分析
（1）点AC坐标代入抛物线解析式利定系数法求二次函数解析式解答
（2）利定系数法求次函数解析式求出直线AC解析式然表示出DQ根二次函数值问题解答
（3）设点分情况根行四边形性质求出满足条件点F坐标．
详解
点点代入
解
∴抛物线函数表达式
（2）设直线AC解析式
解
∴直线AC解析式
∴时线段DQ长度值
（3）设点
①图
∵点点
∴
解
∴
∴
∴
②图
∵点点
∴
解
∴
∴
∴
③图
∵行四边形角线互相分
∴点C点G坐标0
∵点
∴
解
时角线交点坐标
∴
④图根③
时角线交点坐标
∴
满足条件点F坐标（10）（50）（0）（0）．
点睛
题考查抛物线综合问题掌握抛物线性质行四边形性质解题关键．
33．图称轴直线抛物线轴交轴交点抛物线顶点直线交轴点．
（1）求抛物线函数表达式
（2）点位直线方抛物线动点相邻两边作行四边形行四边形面积时求时行四边形面积点坐标
（3）线段否存点？存求出点坐标存请说明理．
答案（1）（2）行四边形PBFD面积S2P（23）（3）存．点G坐标．
分析
（1）先设抛物线顶点式然利定系数法求出解析式
（2）根题意先求出BD解析式PF值时面积取值答案
（3）先证明设点G坐标利三角函数值求出t值点G坐标．
详解
解：（1）设抛物线
A（10）C（03）代入
：
（2）设直线BDy＝kx+b图点P作PF⊥x轴交直线BDF
点（14）（30）代入y＝kx+b中
解k＝2b＝6
∴BD解析式y＝2x6
设点P（aa22a3）F（a2a6）
PF＝2a6（a22a3）
＝a2+4a3
a＝2时PF长度1
∴S△PBD＝S△PBF+S△PDF
＝PF•21
∴PBPD相邻两边作行四边形PBFD行四边形MANB面积时
S＝2S△PBD＝2×1＝2
∴P（23）
（3）存．图2
B（30）C（03）D（14）知
BCCDBD
∵
∴
∴
∵点G线段BD设点G坐标
点G作GH⊥y轴点Htan∠GCH3时∠BDC∠GCE
解：
∴
∴点G坐标：．
点睛
题考查二次函数综合问题二次函数性质考查三角函数勾股定理逆定理求二次函数解析式求次函数解析式解题关键熟练掌握学性质进行解题．
34．已知抛物线（≠0）轴交A､B两点轴交C点称轴1A（10）､C（02）
（1）直接写出该抛物线解析式
（2）P称轴点△PAC周长存值值请求出取值（值值）时点P坐标
（3）设称轴轴交点H点D线段CH动点（点C､H重合）点P（2）中求点点D作DE∥PC交轴点E连接PD､PECD长△PDE面积S求S间函数关系式试说明S否存值存请求出值写出S取值时值存请说明理
答案(1) ++2(2) P（1）(3)见解析
分析
（1）已知条件易点B坐标（30）样结合点AC坐标求抛物线解析式
（2）题意知AC长度固定值点A点B关直线x1称连接BC交直线x1点P时△PAC周长求直线BC解析式求时点P坐标
（3）图2画出符合题意图形点D作DF⊥y轴点F交称轴x1点NRt△OCH中易CHRt△CDF∽Rt△CHOCFOFFD含m代数式表达出表达出点D点N坐标定系数法求含m代数式表达DE解析式表达出点E坐标点Q坐标然SS△PDES△PDQ+S△PEQSm间函数关系式解析式化简配方求答案
详解
解：（1）∵抛物线（≠0）轴交A､B两点称轴1A（10）
∴点B坐标（30）
∴设抛物线解析式：
∵抛物线y轴交点C（02）
∴解：
∴
（2）△PAC周长值连结AC､BC
∵AC长度定
∴△PAC周长PA+PC
∵点A关称轴1称点B点
∴BC称轴交点求点P（图2）
设直线BC表达
解∴+2
1代入
点P坐标P（1）
∴△PAC周长取值取值时点P坐标P（1）
（3）图2设DE称轴x1点Q
Rt△COH中勾股定理CH
点D作DF⊥轴点F交称轴1点N
∵Rt△CDF∽Rt△CHO
∴
∴CFOFCOCF2
样： FD
∴点D坐标D（2）
∴N（12）
∵DE∥BC
∴设（点D､E直线）+
D点坐标代入中 +2
解2
∴：+2
点E坐标0代入中解3
∴E（30）
∵点Q称轴11代入中解
∴Q（1）
PQ（）DN1
EH312
SS△PDES△PDQ+S△PEQPQ·DN+PQ·EH
PQ（DN+EH）·（1+2）
化简S+
知S关二次函数
S存值
配方S+S取值
取值时值
点睛：题道二次函数图形综合题第1第2题较简单第3题难点较画出符合题意图形作出图示辅助线助△CDF∽△CHO利相似三角形性结合题中已知条件点DEQ坐标含m代数式表达出解决第3题关键
35．图抛物线直线交两点作轴交抛物线点直线交轴点．
求三点坐标
点线段动点作轴交抛物线点连接时求值
图连接设点中点点线段意点边翻折求值时重叠部分面积面积．
答案（1）点坐标点坐标点坐标（2）（3） 时重叠部分面积面积 ．
解析
分析
（1）列方程组知AB两点坐标根点C坐标点A坐标相列方程求点C坐标．
（2）图1中设根 列出方程求出点H横坐标根三角形面积公式计算解决问题．
（3）分两种情形①翻折点G直线OC方时连接CG．图2证四边形PFCG行四边形Rt△PBO中根解决问题．②翻折点G直线OC方时连接CG．图3证四边形PFGC行四边形解决问题．
详解
解：解
∴点坐标点坐标
∵轴
∴点坐标
解
∴点坐标．
图中设
题意
解（舍弃）
∴．
∵
∴
∵
∴．
①翻折点直线方时连接．图
∵
∴
∴．
∴四边形行四边形
∴
中
∴．
②翻折点直线方时连接．图
∵
∴
∴．
∴四边形行四边形
∴
综述时重叠部分面积面积 ．
点睛
属二次函数综合题考查二次函数次函数交点问题行四边形判定性质勾股定理综合性较强难度较
36．图面直角坐标系中抛物线点动点P线段秒2单位长度速度点运动点停止设运动时间点作轴垂线交直线点 交抛物线点．连接线段中点线段绕点逆时针旋转线段．
（1）求抛物线解析式
（2）连接值时面积值值少？
（3）值时点落抛物线．
答案（1）（2）时面积值16（3）
分析
（1）定系数法求出抛物线解析式
（2）先定系数法求出直线AB解析式然根点P坐标表示出QD坐标进步表示出QD长度利面积公式表示出面积利二次函数性质求值
（3）分点作轴垂线垂足分首先证明≌然点N坐标点N坐标代入抛物线解析式中求出t值注意t取值范围．
详解
（1）∵抛物线点
∴解
抛物线解析式：
（2）设直线AB解析式
代入解析式中
解
∴直线AB解析式 ．
∵
∴
∴
∴时面积值16
（3）分点作轴垂线垂足分
．
中
∴≌
∴．
∵
．
点落抛物线时
∴
∴ ．
点睛
题考查二次函数综合掌握定系数法全等三角形判定性质二次函数性质解题关键．
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档
专题15 动点综合问题
考点1动点全等三角形问题
例11．图CA⊥BC垂足CAC2CmBC6cm射线BM⊥BQ垂足B动点PC点出发1cms速度射线CQ运动点N射线BM动点满足PNAB着P点运动运动点P运动_______秒时△BCA点PNB顶点三角形全等(2全等三角形重合)
答案04812
分析
题分两种情况：①P线段BC时②PBQ分分两种情况AC＝BPAC＝BN进行计算．
详解
解：①P线段BCAC＝BP时△ACB≌△PBN
∵AC＝2
∴BP＝2
∴CP＝6−2＝4
∴点P运动时间4÷1＝4（秒）
②P线段BCAC＝BN时△ACB≌△NBP
时BC＝PN＝6CP＝0时间0秒
③PBQAC＝BP时△ACB≌△PBN
∵AC＝2
∴BP＝2
∴CP＝2＋6＝8
∴点P运动时间8÷1＝8（秒）
④PBQAC＝NB时△ACB≌△NBP
∵BC＝6
∴BP＝6
∴CP＝6＋6＝12
点P运动时间12÷1＝12（秒）
答案04812．
点睛
题考查三角形全等判定方法判定两三角形全等时必须边参两边角应相等时角必须两边夹角．
变式11已知正方形ABCD角线ACBD交点O点EF分线段OBOC动点
（1）果动点EF满足BE＝OF（图）AE⊥BF时问点E什位置？证明结
（2）果动点EF满足BE＝CF（图）写出点EF顶点全等三角形（添加辅助线）．
答案（1）AE⊥BF时点EBO中点见解析（2）点EF顶点全等三角形△ABE≌△BCF△AOE≌△BOF△ADE≌△BAF
分析
（1）根正方形性质已知条件出△BEM∽△AEO△BEM∽△BOF根三角形相似性质出答案
（2）根正方形性质BE＝CF出全等三角形．
详解
解：（1）时点中点．证明：
延长交点图示：
时点中点
（2）四边形正方形
△ABE△BCF中
理
点顶点全等三角形
点睛
题考查全等三角形性质正方形性质相似三角形判定性质较综合难度较熟练掌握正方形性质解题关键．
变式12图①长方形纸片角线剪成两全等直角三角形ABCEDF中AB＝8cmBC＝6cmAC＝10cm．现△ABC△EDF图②方式摆放（点A点D点B点E分重合）．动点P点A出发AC2cms速度点C匀速移动时动点Q点E出发射线EDacms （0＜a＜3）速度匀速移动连接PQCQFQ设移动时间ts （0≤t≤5）．
（1）t＝2时S△AQF＝3S△BQCa＝
（2）PCQ顶点三角形△BQC全等时求a值
（3）图③动点PQ出发时△ABC3cms速度射线ED匀速移动APQ顶点三角形△EFQ全等时求at值．
答案（1）1（2）（3）a＝2时t＝2a＝23时t＝5．
分析
（1）题意∠BAF＝∠ABC＝90°BQ＝at＝2aAF＝BC三角形面积AQ＝3BQAB＝4BQ＝8BQ＝2＝2aa＝1
（2）题意点PB应顶点PQ＝BQ＝atPC＝BC＝6∠CPQ＝∠ABC＝90°AP＝AC﹣PC＝4PQ⊥ACt＝2PQ＝BQ＝2a三角形面积关系出答案
（3）分两种情况：①APEQ应边AQEF应边AP＝EQAQ＝EF＝10求出a＝2BQ＝BE﹣EQ＝tAQ＝AB+BQ＝8+t＝10解t＝2
②APEF应边AQEQ应边AP＝EF＝10AQ＝EQ求出t＝5AQ＝EQ＝5aBQ＝15﹣5aBQ＝5a﹣15分求出a值．
详解
解：（1）题意：∠BAF＝∠ABC＝90°BQ＝at＝2aAF＝BC
∵S△AQF＝3S△BQCS△AQF＝AF×AQS△BQC＝BC×BQ
∴AQ＝3BQ
∴AB＝4BQ＝8
∴BQ＝2＝2a
∴a＝1
答案：1
（2）∵PCQ顶点三角形△BQC全等CQ公边
∴点PB应顶点PQ＝BQ＝atPC＝BC＝6∠CPQ＝∠ABC＝90°
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4PQ⊥AC
∵AP＝2t＝4
∴t＝2
∴PQ＝BQ＝2a
∵△ABC面积＝△ACQ面积+△BCQ面积
∴×8×6＝×10×2a+×2a×6
解：a＝
（3）题意：∠A＝∠E
∴∠A∠E应角分两种情况：
①APEQ应边AQEF应边AP＝EQAQ＝EF＝10
∵EQ＝at
∴at＝2t
∴a＝2
∴EQ＝2t
∵BE＝3t
∴BQ＝BE﹣EQ＝t
∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10
解：t＝2
②APEF应边AQEQ应边AP＝EF＝10AQ＝EQ
∴2t＝10
∴t＝5
∴AQ＝EQ＝5a
∵BE＝3t＝15
∴BQ＝15﹣5aBQ＝5a﹣15
BQ＝15﹣5a时AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5aAQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7
∴5a＝23﹣5a5a＝5a﹣7（意义）
解：a＝23
BQ＝5a﹣15时AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7
AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a
∴5a＝5a﹣7（意义）5a＝7﹣5a
解：a＝07合题意舍
综述a＝2时t＝2a＝23时t＝5．
点睛
题考查全等三角形综合问题动点问题关键根题意找动点间联系然结合全等三角形性质进行求解问题注意分类讨思想运．
考点2动点直角三角形问题
例2图四边形纸片中点边动点点折线动点纸片直线折叠点应点落边连接直角三角形长________．
答案1
分析
图（见解析）先利解直角三角形勾股定理矩形判定性质求出AB长分两种情况分求出长然根折叠性质线段差．
详解
图点C作点M点D作点N
四边形CDNM矩形
中
中
折叠性质：
点边
题意分两种情况：
（1）时直角三角形
中
（2）时直角三角形
中
综AE长1
答案：1．
点睛
题考查解直角三角形勾股定理矩形判定性质折叠性质等知识点题意正确分两种情况讨解题关键．
变式21（2019·辽宁中考模拟）图已知二次函数y＝ax2+bx+4图象x轴交点A(40)点D(﹣10)y轴交点C点C作BC行x轴交抛物线点B连接AC
(1)求二次函数表达式
(2)点M点O出发秒2单位长度速度点A运动点N点B时出发秒1单位长度速度点C运动中动点达终点时动点停动点N作NQ垂直BC交AC点Q连结MQ
①求△AQM面积S运动时间t间函数关系式写出变量取值范围t值时S值求出S值
②否存点M△AQM直角三角形？存求出点M坐标存说明理．
答案(1)y＝﹣x2+3x+4(2)①St2+t+20≤t≤2t＝时S值＝②存点M坐标分(10)(20)．
解析
分析
(1)定系数法AD两点代入求解．
(2)①分t表示出AMPQ三角形面积公式直接写出含t二次函数关系式二次函数值答案
②分类讨直角三角形直角顶点然解出t求M坐标．
详解
(1)∵二次函数图象A(40)点D(﹣10)
∴
解
二次函数解析式y＝﹣x2+3x+4．
(2)①延长NQ交x轴点P
∵BC行x轴C(04)
∴B(34)NP⊥OA．
根题意t秒时NB＝tOM＝2t
CN＝3﹣tAM＝4﹣2t．
∵∠BCA＝∠MAQ＝45°
∴QN＝CN＝3﹣t
∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t
∴S△AMQAM×PQ(42t)(1+t)
＝﹣t2+t+2．
∴St2+t+2(t)2+．
∵a＝﹣1＜00≤t≤2∴S值．
t＝时S值＝．
②存点M△AQM直角三角形．
设t秒时NB＝tOM＝2t
CN＝3﹣tAM＝4﹣2t
∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．
Ⅰ．∠AQM＝90°
PQ等腰Rt△MQA底边MA高．
∴PQ底边MA中线
∴PQ＝AP＝MA
∴1+t＝(4﹣2t)
解t＝
∴M坐标(10)．
Ⅱ．∠QMA＝90°时QMQP重合．
∴QM＝QP＝MA
∴1+t＝4﹣2t
∴t＝1
∴点M坐标(20)．
△AQM直角三角形点M坐标分(10)(20)．
点睛
题考查定系数法求解析式考查三角形面积注意利点坐标意义表示线段长度求出线段间关系注意求值助二次函数．
变式22图矩形中 中点连接 动点点出发边点运动动点点出发边点运动两动点时出发速度秒1单位长度连接设运动时间（秒） _____时直角三角形
答案
分析
△CMN直角三角形时三种情况∠CMN90°二∠MNC90°三∠MCN90°然进行分类讨求出t值．
详解
解：
点N作OA垂线交OA点F交CH点E图1
∵B点CH中点
∴BHCHOA6
∵AHOC8
∴勾股定理求：AB10
∵ANt
∴BN10t
∵NE∥AH
∴△BEN∽△BHA
∴
∴
∴EN
∴FN8EN
∠CMN90°
勾股定理求：AF
∵OMt
∴AM12t
∴MFAMAF12t 12
∵∠OCM+∠CMO90°∠CMO+∠FMN90°
∴∠OCM∠FMN
∵∠O∠NFM90°
∴△COM∽△MFN
∴
∴
∴t
∠MNC90°
FN
∴EN
∵MF12
∴CEOFOM+MF12
∵∠MNF+∠CNE90°
∠ECN+∠CNE90°
∴∠MNF∠ECN
∵∠CEN∠NFM90°
∴△CEN∽△NFM
∴
∴
∴
∵0＜t＜5
∴
∠NCM90°
题意知：情况存
综述△CMN直角三角形时t
点睛
题考查相似三角形判定性质勾股定理等知识定综合性．
考点3动点等腰三角形问题
例3图⊙直径弦．点直径动点 等腰三角形时__________．
答案
解析
解：①顶点时
．
②顶点时
中：
∴．
③顶点时重合
∴．
综．
答案：．
点睛：解答题关键分三种情况讨：①BCBP②CPCB③CPBP．
变式31图①已知正方形边长2点边动点点关直线称点点连结设APx
（1）时求长
（2）图②延长线交边求证：等腰三角形
（3）点射线动点等腰三角形时求值
答案（1）BP（2）证明见解析（3）△CDQ等腰三角形时x值422+4
解析
分析
（1）利勾股定理求出BP长（2）根称性质正方形性质ABBQBC∠A∠BQP∠BCE90°∠BQE90°第视角相等性质∠BCQ∠BQC根角等角余角相等性质∠EQC∠ECQECEQ结（3）△CDQ等腰三角形边CD边该等腰三角形腰者底边．Q点A点关PB称点ABQB点B圆心AB长半径画弧Q点弧AB．CD腰点C圆心CD长半径画弧两弧交点△CDQ等腰三角形（CD腰）Q点．CD底边作CD垂直分线弧AC交点△CDQ等腰三角形（CD底）Q点．图示三Q点3P点．作辅助线利直角三角形性质求．
详解
（1）∵APx1AB2
∴BP
（2）∵四边形ABCD正方形
∴ABBC∠A∠BCD90°．
∵Q点A点关BP称点
∴ABQB∠A∠PQB90°
∴QBBC∠BQE∠BCE90°
∴∠BQC∠BCQ
∴∠EQC+∠BQC∠ECQ+∠BCQ90°
∴∠EQC ∠ECQ
∴EQEC△CEQ等腰三角形
（3）图点B圆心AB长半径画弧点C圆心CD长半径画弧两弧分交Q1Q3．时△CDQ1△CDQ3CD腰等腰三角形．
作CD垂直分线交弧AC点Q2时△CDQ2CD底等腰三角形．
①讨Q1图连接BQ1CQ1作PQ1⊥BQ1交ADP点Q1作EF⊥ADE交BCF
∵△BCQ1等边三角形正方形ABCD边长2
∴FC1Q1FQ1E2
四边形ABPQ1中
∵∠ABQ130°
∴∠APQ1150°
∴∠EPQ130°△PEQ1含30°直角三角形
∴PEEQ123
∵EFBC垂直分线
∴AEAD1
∴xAPAEPE1(23)42
②讨Q2图连接BQ2AQ2点Q2作PG⊥BQ2交ADP交CDG连接BP点Q2作EF⊥CDE交ABF
∵EF垂直分CD
∴EF垂直分AB
∴AQ2BQ2．
∵ABBQ2
∴△ABQ2等边三角形．
∴AFAE1FQ2
四边形ABQ2P中
∵∠BAD∠BQ2P90°∠ABQ260°
∴∠APQ2120°
∴∠EQ2G∠DPG180°120°60°
∴EQ2EFFQ22
EGEQ223
∴DGDE+GE1+2322
∴DGPDPD2
∴xAP2PD
③Q3图作辅助线连接BQ1CQ1BQ3CQ3点Q3作PQ3⊥BQ3交AD延长线P连接BP点Q1作EF⊥ADE时Q3EF记Q3F重合．
∵△BCQ1等边三角形△BCQ3等边三角形BC2
∴Q1Q22Q1E2
∴EF2+
四边形ABQ3P中
∵∠ABF∠ABC+∠CBQ3150°
∴∠EPF30°
∴EPEF2+3
∵AE1
∴xAPAE+PE1+2+32+4
综述：△CDQ等腰三角形时x值422+4
点睛
题考查四边形综合正方形性质含30°角直角三角形性质第三问难度非常高题目利尺规作图思想满足求点Q找全．外求解P点勾股定理综合应熟练掌握灵活运学知识解题关键．
变式32（2019·河南中考模拟）图抛物线yax2+bx+3交y轴点A交x轴点B（30）点C（10）顶点点M．
（1）求抛物线解析式
（2）图点Ex轴动点△AME周长请求出点E坐标
（3）点F直线AB动点点P抛物线动点△BFP等腰直角三角形请直接写出点P坐标．
答案（1） （2）E（0）（3）点P坐标（25）（10）．
解析
分析
（1）设抛物线解析式：ya（x+3）（x1）然点A坐标代入函数解析式求抛物线解析式
（2）作A关x轴称点A′（03）连接MA′交x轴E时△AME周长求出直线MA＇解析式求E坐标
（3）图2先求直线AB解析式：yx+3根解析式表示点F坐标（mm+3）
分三种情况进行讨：
①∠PBF90°时F1P⊥x轴P（mm3）点P坐标代入抛物线解析式结
②∠BF3P90°时图3点PC重合
③∠BPF490°时图3点PC重合
结．
详解
（1）x0时y3A（03）
设抛物线解析式：ya（x+3）（x1）
A（03）代入：33a
a1
∴y（x+3）（x1）x22x+3
抛物线解析式：yx22x+3
（2）yx22x+3（x+1）2+4
∴M（14）
图1作点A（03）关x轴称点A＇（03）连接A＇M交x轴点E点E△AME周长点
设直线A′M解析式：ykx+b
A＇（03）M（14）代入：
解：
∴直线A＇M解析式：y7x3
y0时7x30
x
∴点E（0）
（3）图2易直线AB解析式：yx+3
设点F坐标（mm+3）
①∠PBF90°时点B作BP⊥AB交抛物线点P时BP直角边等腰直角三角形两△BPF1△BPF2
∵OAOB3
∴△AOB△A＇OB等腰直角三角形
∴∠F1BC∠BF1P45°
∴F1P⊥x轴
∴P（mm3）
点P坐标代入抛物线解析式yx22x+3中：
m3m22m+3
解：m12m23（舍）
∴P（25）
②∠BF3P90°时图3
∵∠F3BP45°∠F3BO45°
∴点PC重合
P（10）
③∠BPF490°时图3
∵∠F4BP45°∠F4BO45°
∴点PC重合
P（10）
综述点P坐标（25）（10）．
点睛
题考查定系数法求函数解析式周长短问题等腰直角三角形性质判定等知识．题综合性强解题关键注意数形结合分类讨思想应．
变式33（2019·广西中考真题）已知抛物线直线点点坐标原点点抛物线动点直线轴轴分交两点．
（1）求值
（2）底边等腰三角形时求点坐标
（3）满足（2）条件时求值．
答案（1）（2）点坐标（3）值．
解析
分析
(1)根点坐标利定系数法求出值
(2)(1)出抛物线直线解析式继求出点坐标设点坐标结合点坐标出值利等腰三角形性质出关方程解出结
(3)点作轴垂足点点坐标出长利正弦定义求出值．
详解
(1)代入：
∴
代入：
∴
(2)(1)：抛物线解析式直线解析式
时
解：
∴点坐标
设点坐标
∵底边等腰三角形
∴
整理：
解：
∴点坐标
(3)点作轴垂足点图示
点坐标时
∴
点坐标时
∴
∴满足(2)条件时值值．
点睛
题考查定系数法求次函数解析式定系数法求二次函数解析式次函数图象点坐标特征等腰三角形性质勾股定理解直角三角形解题关键：(1)根点坐标利定系数法求出值(2)利勾股定理等腰三角形性质找出关方程(3)通解直角三角形求出值．
考点4动点相似三角形问题
例4图AD∥BC∠ABC90°AB8AD3BC4点PAB边动点△PAD△PBC相似三角形求AP长．
答案APAP2AP6
分析
ADBC ∠B90°证∠PAD∠PBC90° AB8AD3BC4设AP长xBP长8x然分APD∽△BPC△APD∽△BCP分析利相似三角形应边成例求解求答案．
详解
解：∵ AB⊥BC
∴ ∠B90°
∵ AD∥BC
∴ ∠A180°﹣∠B90°
∴ ∠PAD∠PBC90°
AB8AD3BC4
设AP长xBP长8﹣x
AB边存P点△PAD△PBC相似分两种情况
△APD∽△BPCAPBPADBCx（8﹣x）34
解x
△APD∽△BCPAPBCADBPx43（8﹣x）
解x2x6
APAP2AP6．
变式41已知：图面直角坐标系中△ABC直角三角形∠ACB＝90°点AC坐标分A（﹣30）C（10）BC＝AC
（1）求点AB直线函数表达式
（2）x轴找点D连接DB△ADB△ABC相似（包括全等）求点D坐标
（3）（2）条件PQ分ABAD动点连接PQ设AP＝DQ＝m问否存样m△APQ△ADB相似？存请求出m值存请说明理．
答案（1）y＝x+（2）D点位置见解析D（0）（3）符合求m值．
解析
分析
（1）先根A（−31）C（10）求出AC进出BC＝3求出B点坐标利定系数法求出直线AB解析式
（2）运相似三角形性质求出点D坐标
（3）△APQ△ADB已组公角相等需分△APQ∽△ABD△APQ∽△ADB两种情况讨然运相似三角形性质建立关m方程解决问题．
详解
解：（1）∵A（﹣30）C（10）
∴AC＝4
∵BC＝AC
∴BC＝×4＝3
∴B（13）
设直线AB解析式y＝kx+b
∴
∴
∴直线AB解析式y＝x+
（2）△ADB△ABC相似点B作BD⊥AB交x轴D
∴∠ABD＝∠ACB＝90°图1
时＝AB2＝AC•AD．
∵∠ACB＝90°AC＝4BC＝3
∴AB＝5
∴25＝4AD
∴AD＝
∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝
∴点D坐标（0）
（3）∵AP＝DQ＝m
∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．
Ⅰ△APQ∽△ABD图2
＝
∴AP•AD＝AB•AQ
∴m＝5（﹣m）
解m＝
Ⅱ△APQ∽△ADB图3
＝
∴AP•AB＝AD•AQ
∴5m＝（﹣m）
解：m＝
综述：符合求m值．
点睛
题相似形综合题考查定系数法相似三角形判定性质勾股定理等知识考查分类讨数学思想属中档题解题关键根相似建立方程求解．
变式42图正方形ABCD点P射线DC动点点QAB中点连接PQDQ点P作PE⊥DQ点E．
（1）请找出图中相似三角形证明
（2）AB＝4点PEQ顶点三角形△ADQ相似试求出DP长．
答案（1）△DPE∽△QDA证明见解析（2）DP25
分析
（1）∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90证明△ADQ∽△EPD
（2）点PEQ顶点三角形△ADQ相似两种情况△ADQ∽△EPQ时设EQ＝xEP＝2xDE＝2−x△ADQ∽△EPD求出x值DP求出理△ADQ∽△EQP时设EQ＝2aEP＝a求出a值DP求．
详解
（1）△ADQ∽△EPD证明：
∵PE⊥DQ
∴∠DEP＝∠A＝90
∵∠ADC＝90
∴∠ADQ＋∠EDP＝90∠EDP＋∠DPE＝90
∴∠ADQ＝∠DPE
∴△ADQ∽△EPD
（2）∵AB＝4点QAB中点
∴AQ＝BQ＝2
∴DQ＝
∵∠PEQ＝∠A＝90
∴点PEQ顶点三角形△ADQ相似两种情况
①△ADQ∽△EPQ时
设EQ＝xEP＝2xDE＝2−x
（1）知△ADQ∽△EPD
∴
∴
∴x＝
∴DP＝＝5
②△ADQ∽△EQP时设EQ＝2aEP＝a
理
∴a＝
DP＝．
综合DP长25点PEQ顶点三角形△ADQ相似．
点睛
题考查相似三角形判定性质勾股定理正方形性质熟练掌握相似三角形判定性质解题关键．
考点5动点行四边形问题（含特殊四边形）
例5图抛物线轴交两点轴交点．
（1）求抛物线解析式
（2）点抛物线动点满足求出点坐标
（3）连接点轴动点点抛物线动点顶点四边形行四边形时请直接写出点坐标．
备图
答案（1）（2）（3）
分析
（1）定系数法求出解析式
（2）先求出点C坐标OAOC3面积关系列出方程求解
（3）分两种情况讨利行四边形性质求解
详解
解：
（1）∵抛物线点A（30）点B（10）
∴
解：
∴抛物线解析式：
∵抛物线解析式：y轴交点C
∴点C坐标（03）
OAOC3
（2）点P作PM⊥AO点MPN⊥CO点N
设P()
∵
∴
∵AO3CO3
∴PM2PN
点P第三象限时
解
∴
点P第二四象限时
解
∴
（3）BC边四边形BCFE行四边形
∴CF∥BE
∴点C点F坐标相等
∴
解（舍）
∴点F（23）
BC边四边形BCFE行四边形
∴BECF互相分
∵BE中点坐标0点C坐标3
∴点F坐标3
∴
解
∴
∴
BC角线四边形BECF行四边形
∴BCEF互相分
∴BC中点坐标点E坐标0
∴点F坐标3
∴点F（23）
综述点F坐标：
点睛
题考查二次函数应行四边形性质掌握定系数法行四边形性质解题关键
变式51（2019·江西中考真题）图123中已知点线段动点连接边作菱形．
（1）图1点点重合时________°
（2）图2连接．
①填空：_________（填><）
②求证：点分线
（3）图3连接延长交延长线点四边形行四边形时求值．
答案（1）60°（2）① ②见解析（3）4
解析
分析
（1）根菱形性质计算
（2）①证明根角运算解答
②作交延长线证明根全等三角形性质根角分线判定定理证明结
（3）根直角三角形性质证明四边形菱形根菱形性质计算答案．
详解
解：（1）四边形菱形
答案：
（2）①四边形行四边形
四边形菱形
答案：
②作交延长线
等边三角形
中
点分线
（3）四边形菱形
四边形行四边形
四边形行四边形
四边形行四边形
行四边形菱形
．
点睛
题考查菱形性质行四边形性质全等三角形判定性质掌握全等三角形判定定理性质定理菱形性质直角三角形性质解题关键．
变式52（2019·湖南中考真题）图二次函数图象原点x轴交点
（1）求该二次函数解析式
（2）x轴方作x轴行线交二次函数图象AB两点AB两点分作x轴垂线垂足分点D点C．矩形ABCD正方形时求m值
（3）（2）条件动点P点A出发射线AB秒1单位长度匀速运动时动点Q相速度点A出发线段AD匀速运动达点D时立原速返回动点Q返回点A时PQ两点时停止运动设运动时间t秒（）．点Px轴作垂线交抛物线点E交直线AC点F问：AEFQ四点顶点构成四边形否行四边形．请求出t值请说明理．
答案（1）（2）矩形ABCD正方形时m值4（3）AEFQ四点顶点构成四边形行四边形t值46
解析
分析
（1）根点坐标利定系数法求出二次函数解析式
（2）利二次函数图象点坐标特征求出点AB坐标进出点CD坐标利正方形性质出关m方程解出结
（3）（2）出点ABCD坐标根点AC坐标利定系数法求出直线AC解析式利二次函数图象点坐标特征次函数图象点坐标特征求出点EF坐标AEFQ四点顶点四边形行四边形出分三种情况找出AQEF长出关t元二次方程解取合适值出结．
详解
（1）代入：
解
∴该二次函数解析式．
（2） 时
解：
∴点a坐标（m）点b坐标（m）
∴点d坐标（0）点c坐标（0）．
∵矩形abcd正方形
∴
解：（舍）．
∴矩形ABCD正方形时m值4．
（3）AEFQ四点顶点构成四边形行四边形．
（2）知：点A坐标点B坐标点C坐标点D坐标．
设直线AC解析式
代入
解
∴直线ac解析式．
时
∴点E坐标（）点F坐标（t+4）．
∵AEFQ四点顶点构成四边形行四边形
∴分三种情况考虑：
①时图1示EF
∴解：（舍）
②时图2示EF
∴
解：（舍）
EF
解（舍）（舍）
综述AEFQ四点顶点构成四边形行四边形时t值46
点睛
题考查定系数法求二次函数解析式二次函数图象点坐标特征正方形性质定系数法求次函数解析式次函数图象点坐标特征行四边形性质解题关键：（1）根点坐标利定系数法求出二次函数解析式（2）利正方形性质找出关m方程（3）分三种情况利行四边形性质找出关t元二次方程．
变式53．图面直角坐标系中顶点坐标原点点坐标两点关直线称反例函数图象点点直线动点
（1）点坐标______
（2）点反例函数图象点否存样点四点顶点四边形行四边形？存求出点坐标存请说明理
（3）点线段点（重合）四边形菱形时点分作直线直线垂线垂足分值时求出点坐标
答案（1）（31）（2）（3）（22）
解析
分析
（1）根点（ab）关yx称点坐标（ba）直接写出答案
（2）首先求反例函数解析式然设P（mm）分PC行四边形边PC行四边形角线两种情况分类讨确定点C坐标
（3）连接AQ设ABPO交点D利四边形AOBP菱形S△AOPS△AOQ+S△APQPO•ADAO•QE+AP•QF确定QE+QF定值求解．
详解
解：（1）B点坐标（31）
（2）∵反例函数图象点A（13）
∴k1×33
∴反例函数解析式
点P直线yx
∴设P（mm）
①PC行四边形边
∵点A横坐标点B横坐标2点A坐标点B坐标2
∴点C点P方点C坐标（m+2m2）图1
点C点P方点C坐标（m2m+2）图2
C（m+2m2）代入反例函数解析式：
∵m＞0
∴
∴
理点
②PC行四边形角线图3
∵AB关yx称
∴OP⊥AB
时点C直线yx直线yx双曲线交点
解：（舍）
∴
综述满足条件点C三坐标分：
（3）连接AQ设ABPO交点D图4
∵四边形AOBP菱形
∴AOAP
∵S△AOPS△AOQ+S△APQ
∴PO•ADAO•QE+AP•QF
∴QE+QF定值
∴QE+QF+QB值需QB值QB⊥PO时QB
D点求点
∵A（13）B（31）
∴D（22）
∴QE+QF+QB值时Q点坐标（22）．
点睛
题反例函数综合知识考查熟练掌握反例四边形知识分类讨数学思想解决题关键难度较．
考点6动点线段面积问题
例6图面直角坐标系中行四边形图放置行四边形绕点O时针旋转90°行四边形．抛物线点ACA′三点．
（1）求AA′C三点坐标
（2）求行四边形行四边形重叠部分面积
（3）点M第象限抛物线动点问点M处时面积？面积少？写出时M坐标．
答案（1）A（03）A′（30）C（－10）（2）（3）时取值M（）
解析
试题分析：（1）y0时求出x值点A′点C坐标x0求出y值点A坐标根点AC坐标出点B坐标求出OB长度△AOB面积根旋转∠ACO∠OC′D根∠ACO∠ABO∠ABO∠OC′D说明△ C′OD ∽△BOA根相似三角形出△C′OD面积设点M坐标（）连接OM△AMA′面积m函关系式出值点M坐标．
试题解析：（1）解：（1）时解
∴C（10）A′（30）．x0时y3．∴A（03）
（2）∵C（10）A（03） ∴B（13） ∴
∴△AOB面积
∵行四边形ABOC旋转行四边形A′B′OC′∴∠ACO∠OC′D
∵∠ACO∠ABO∴∠ABO∠OC′D． ∵∠C′OD∠AOB ∴△ C′OD ∽△BOA
∴∴
（3）设M点坐标（）连接OM
时取值∴M（）
考点：二次函数应三角形相似旋转图形性质行四边形性质．
变式61（1）发现：图1点线段外动点点位 时线段长取值值 （含式子表示）
（2）应：图2点线段外动点边作等边连接求线段值
（3）拓展：图3线段点线段外动点求线段长值时面积．
答案（1）CB延长线a+b（2）6（3）值3+△PBM面积
分析
（1）根点A位CB延长线时线段AC长取值结
（2）根等边三角形性质ADABACAE∠BAD∠CAE60°推出△CAD≌△EAB根全等三角形性质CDBE利（1）中结结果
（3）△APM绕着点P时针旋转90°△AP＇N连接BN△APP＇等腰直角三角形根全等三角形性质P＇APA2ANAM根N线段BA延长线时线段BN取值值+3点P作PQ⊥AB延长线点Q
利勾股定理求出PB长根△PBM等腰直角三角形求出面积
详解
解：（1）∵点A线段BC外动点BCaABb
∴点A位CB延长线时线段AC长取值值BC+ABa+b
答案：CB延长线a+b
（2）图2中AC边作等边△ACE连接BE．
∵△ABD△ACE等边三角形
∴ADABACAE∠BAD∠CAE60°
∴∠BAD+∠BAC∠CAE+∠BAC
∠CAD∠EAB
△CAD△EAB中
∴△CAD≌△EAB（SAS）
∴CDBE
∴线段BE长值线段CD值
∴（1）知线段BE长取值时点EBA延长线
∴值4+26．
∴线段CD值6
（3）解：图3中△APM绕着点A时针旋转90°△AP＇N连接BNPP′．
∴△APM≌△AP＇N
∴ANAMAPAP＇2
∴线段AM长值线段AN长值
∴N线段AB延长线时线段AN取值值AB+BN
∴∠PAP＇90°
∴△APP＇等腰三角形
∴PP＇
∵△BPM等腰直角三角形
∴∠BPM∠MAN90°PMPBP＇N
∴∠AMP∠ABP∠N
∴PB∥P＇N
∴四边形PBNP＇行四边形
∴BNPP＇
∴AN值：AB+BNAB+PP＇3+
∴AM值3+
点P作PQ⊥AB延长线点Q
∵∠PAP′90°∠P′AB∠PP′A45°
∴∠PAQ45°
∴△PAQ等腰直角三角形
∵AP2勾股定理：
∴AQPQ
△PBQ中PQ2+BQ2PB2
∴PB2
∵△PBM等腰直角三角形
时△PBM面积×
点睛
题属三角形综合题考查等腰直角三角形性质旋转性质行四边形性质判定等知识正确作出辅助线构造全等三角形解题关键学会转化思想思考问题掌握旋转法添加辅助线．
变式62图矩形中点角线动点（重合）连接点作交射线点线段邻边作矩形点作分交点
（1）求证：值
（2）求值
（3）求矩形面积值
答案（1）见解析（2）（3）
解析
分析
(1)根矩形性质角余角相等证明求证三角形相似（2）设相似三角形应边成例列出例式求解（3）时矩形面积求解
详解
（1）
∵点作矩形中AB∥DC
∵点作
∴
∴
∴
（2）设
∵矩形中AB∥DC
∴△APG∽△CPH
∴
∴
∵
∴
（3）图∵
∴时矩形面积时
时点点重合面积
点睛
题考查相似三角形综合题矩形性质相似三角形判定性质勾股定理解题关键学会利相似三角形判定性质列出相应例式解决问题．
变式62已知：四边形中．
（）求四边形面积．
（）点线段动点连接求周长值时长．
（）点线段动点边点连接分交 点记重叠部分面积求值．
答案（）．（）．3．（）．
解析
试题分析：（1）图1A作AE⊥BCEDF⊥BCF四边形AEFD矩形矩形想知道EFAD6BECF3根勾股定理结
（2）图2作点B关直线AD称点G连接CG交ADPBC+PB+PCBC+PG+PC△BCP周长值根勾股定理△BCP周长值：4+12根三角形中位线性质PHBC6勾股定理结．
（3）点作垂线分交点点作垂线分交点点作垂线分交点图示设．∽理∽∽：进求答案
试题解析：（）图1作．
四边形矩形．
∴．
∴．
∴．
（）图2作点关直线称点
连接交．
周长．
（）知．
中．
∴．
∵
∴．
∵
∴．
（）点作垂线分交点点作垂线分交点点作垂线分交点图3示设．
∽
理∽∽
求：中
．
时值时值．
单选题
1．图抛物线轴交点点点抛物线动点底等腰三角形值（ ）
A． B．
C． D．
答案B
分析
△PCDCD底等腰三角形时P点线段CD垂直分线CD坐标求线段CD中点坐标知道P点坐标代入抛物线解析式求P点坐标．
详解
解：作中垂线交抛物线（左侧）交轴点连接P1DP2D．
易 ．
∴．
代入中．
∴．
∴．
选B．
2．图菱形中线段动点（点点重合）等腰三角形时度数（ ）
A． B． C． D．
答案C
分析
菱形ABCD中根菱形性质 ∠ABD∠ABC40°分三种情况讨AEBE时ABBE时时根等腰三角形性质结．
详解
解：∵菱形ABCD中
∵△ABE等腰三角形
∴AEBEABBE
AEBE时
∴∠ABE∠BAE40°
∴
ABBE时
∴∠BAE∠AEB
∴∠DAE
时重合合题意舍
综述△ABE等腰三角形时∠DAE30°60°
选：C．
点睛
题考查菱形性质等腰三角形性质掌握分类讨解题关键．
3．已知等腰中 底角动点点点运动直角三角形长（ ）
A．4 B．23 C．34 D．3
答案C
分析
先画出符合两种情况图1中根等腰三角形性质求出BP图2中先求出BP＝2PA根勾股定理求出．
详解
∠APB＝90时图1
∵AB＝ACBC＝6
∴BP＝CP＝BC＝3
∵∠B＝30
∴AB＝2AP
勾股定理：（2AP）2＝AP2＋32
解：AP＝AB＝2AP＝2
∠BAP＝90图2
∵∠B＝30
∴BP＝2AP
Rt△ABP中勾股定理：AB2＋AP2＝BP2
（2）2＋AP2＝（2AP）2
解：AP＝2BP＝2AP＝4
BP＝34
选：C．
点睛
题考查含30角直角三角形性质勾股定理等腰三角形性质等知识点熟练运含30角直角三角形性质进行推理解题关键．
4．图次函数反例函数图象交两点点线段动点(重合)点分作轴轴垂线交反例函数图象四边形面积PMON值（ ）
A．125 B．1225 C．14 D．12
答案A
解析
分析
设反例函数解析式y 次函数解析式yax+b根点坐标利定系数法求出反例次函数解析式利分割图形求面积法找出S四边形PMON关m函数关系式利配方法解决值问题．
详解
解：设反例函数解析式y次函数解析式yax+b
点A（112）代入y中k12
∴反例函数解析式y
点A（112）B（62）代入yax+b中
解
∴次函数解析式y2x+14．
设点P坐标（m142m）
S四边形PMONS矩形OCPDS△OCMS△ODNS矩形OCPD|k|m（142m）122m2+14m122(m)2+125
∴四边形PMON面积值125．
选A．
点睛
题考查定系数法求函数解析式反例函数次函数交点问题解题关键找出S四边形PMON关m函数关系式．题难度利分割图形求面积法解题关键．
5．图Rt△中90°边动点边构造行四边形角线值（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
答案B
分析
根行四边形性质PQ⊥AC时角线值值BC长度问题解．
详解
解：图示作行四边形QB∥AC
∴PQ⊥AC时角线值
∵BC⊥AC
∴值6
选：B．
点睛
题考查行四边形性质准确作出图形解题关键．
6．图中动点点出发射线2速度运动设运动时间等腰三角形时值（ ）
A． B．124 C．12 D．124
答案C
分析
根勾股定理求出BC△ABP等腰三角形时分三种情况①ABBP时②ABAP时③BPAP时分求出BP长度继求t值
详解
中
(cm)
①ABBP时t（s）
②ABAP时AC⊥BC
BP2BC24cm
t(s)
③BPAP时APBP2tcm CP(122t)cmAC5cm
Rt△ACP中AP2AC2+CP2
(2t)252+(122t)2
解t
综_述△ABP等腰三角形时12
选C
点睛
考核知识点等腰三角形勾股定理根题画出图形利勾股定理解决问题关键
7．图点坐标点轴负半轴动点分直角边第三第四象限作等腰直角三角形等腰直角三角形连接交轴点点轴移动时长度（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
答案B
分析
作EN⊥y轴N求出∠NBE∠BAO证△ABO≌△BEN求出∠OBF∠FBP∠BNE90°证△BFP≌△NEP推出BPNP出答案．
详解
解：图作EN⊥y轴N
∵∠ENB∠BOA∠ABE90°
∴∠OBA+∠NBE90°∠OBA+∠OAB90°
∴∠NBE∠BAO
△ABO△BEN中
∴△ABO≌△BEN（AAS）
∴OBNEBF
∵∠OBF∠FBP∠BNE90°
△BFP△NEP中
∴△BFP≌△NEP（AAS）
∴BPNP
∵点A坐标（80）
∴OABN8
∴BPNP4．
选B．
点睛
题考查全等三角形性质判定坐标图形性质等知识点应考查学生综合运性质进行推理计算力定难度注意：全等三角形判定定理SASASAAASSSS全等三角形应角相等应边相等．
8．图已知 两点坐标分点分直线x轴动点点线段中点连接交轴点⊿面积取值时值（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析
分析
图设直线x5交x轴K．题意KDCF5推出点D运动轨迹K圆心5半径圆推出直线AD⊙K相切时△ABE面积作EH⊥ABH．求出EHAH解决问题．
详解
图设直线x5交x轴K．题意KDCF5
∴点D运动轨迹K圆心5半径圆
∴直线AD⊙K相切时△ABE面积
∵AD切线点D切点
∴AD⊥KD
∵AK13DK5
∴AD12
∵tan∠EAO
∴
∴OE
∴AE
作EH⊥ABH．
∵S△ABE•AB•EHS△AOBS△AOE
∴EH
∴
∴
选B
点睛
题考查解直角三角形坐标图形性质直线圆位置关系三角形面积等知识解题关键灵活运学知识解决问题
9．已知：图长方形ABCD中AB4AD6．延长BC点ECE2连接DE动点P点B出发秒2单位速度BCCDDA终点A运动设点P运动时间秒值_____秒时△ABP△DCE全等．
A．1 B．13 C．17 D．37
答案C
分析
分两种情况进行讨根题意出BP2t2AP162t2求．
详解
解：ABCD∠ABP∠DCE90°BPCE2根SAS证△ABP≌△DCE
题意：BP2t2
t1
ABCD∠BAP∠DCE90°APCE2根SAS证△BAP≌△DCE
题意：AP162t2
解t7．
t值17秒时．△ABP△DCE全等．
选C．
点睛
题考查全等三角形判定判定方法：ASASASAASSSSHL．
10．图直角梯形中点边动点相似三角形满足条件点数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案C
分析
相似分两种情况讨：①②两种情况根相似三角形应边相等求出长点数．
详解
解：图示：
．
．
设长长．
边存点相似分两种情况：
①
解：
②
解：6．
满足条件点数3
选：C．
点睛
题考查相似三角形判定性质熟悉相关性质进行分类讨解题关键．
11．图面直角坐标系中A（04）B（20）点C第象限ABC顶点三角形△AOB相似（包括全等）点C数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案D
解析
试题解析：图①∠OAB∠∠AOB∠时△AOB∽△．
图②AO∥BCBA⊥∠∠OAB△AOB∽△
图③∥OB∠ABC3∠ABO∠CAB△AOB∽△
图④∠AOB∠∠ABO∠△AOB∽△．
选D．
12．图坐标面点A(2－1)O原点Px轴动点果点POA顶点三角形等腰三角形符合条件动点P数( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案C
解析
O点圆心OA半径作圆x轴两交点两点显然符合题意．A点圆心OA半径作圆x轴交两点（O点外）．OA中点圆心OA长半半径作圆x轴交点．4点符合
二填空题
13．图已知点A(01)C(10)顶点△ABC中∠BAC60°∠ACB90°坐标系动点P（A重合）PBC顶点三角形△ABC全等P点坐标____________
答案（21）
详解
解：勾股定理：AC
∵∠BAC60°∠ACB90°
∴ABBC
分三种情况：
①图1延长ACPACCP连接BPP作PM⊥x轴M时PMOA1CMOC1OM1+12P坐标（2﹣1）
②图2B作BP⊥BCBPAC时PCAB．P作PM⊥x轴M时∠PCM15°x轴取点N∠PNM30°CNPN设PMxCNPN2xMNx
Rt△CPM中勾股定理：（）2（2x+x）2+x2xPMMC2x+xOM1+
P坐标（）
③图3B作BP⊥BCBPACP作PM⊥x轴M时∠PCM30°+45°75°∠CPM15°③解法类似求出CMPM2x+xOM1+P坐标（）．
答案（2﹣1）（）（）．
点睛
题考查全等三角形性质判定勾股定理含30度角直角三角形等知识点应注意进行分类讨题目较定难度．
14．图中动点速度点运动点动点时速度点运动点直角三角形时点运动时间__________
答案2
分析
根勾股定理求出AB分∠AMN＝90°∠ANM＝90°两种情况根相似三角形性质列出例式计算．
详解
解：Rt△ABC中∠C＝90°
AB＝＝＝5cm
设点M运动时间t秒
题意CM＝tAN＝AM＝4−t
∠AMN＝90°时∠AMN＝∠ACB∠A＝∠A
∴△AMN∽△ACB
∴
解：t＝2
∠ANM＝90°时∠ANM＝∠ACB∠A＝∠A
∴△ANM∽△ACB
∴
解：t＝
综述：△AMN直角三角形时点M运动秒数2
答案：2
点睛
题考查相似三角形判定性质勾股定理掌握相似三角形判定定理性质定理解题关键．
15．图点C直线l动点D点E点长________________直角三角形．
答案32．
分析
作BF⊥ADF根矩形性质BFDE4DFBE1根勾股定理CD表示出ACBC根勾股定理逆定理列式计算答案．
详解
解：作BF⊥ADF
四边形DEBF矩形
∴BFDE4DFBE1
∴AFADDF3
勾股定理
△ABC直角三角形时
解CD3
图2作BH⊥ADH
仿述作法∠ACB90°时
勾股定理
：
解：
理：∠ABC90°时
综：长：32．
答案：32．
点睛
题考查勾股定理逆定理果直角三角形两条直角边长分ab斜边长c
16．图正方形面积16中点角线动点连接线段值______．
答案
分析
连接CF点EFC直线时AF+FE值CE长根勾股定理计算．
详解
解：∵四边形ABCD正方形
∴A关BD称点C
AFCF
∴线段值线段值
∴点EFC直线时AF+FE值CE长
∵正方形ABCD面积16
∴ADCD4
∵EAD中点
∴DE2
∴Rt△CED中
线段值
答案：
点睛
题考查轴称短路线问题根正方形性质作出A关BD称点C解答题关键．
17．图中点线段动点连接_________度时等腰三角形．
答案5065
分析
根等腰三角形特点分类讨求解．
详解
∵等腰三角形
①底角时
②顶角时
答案：5065．
点睛
题考查等腰三角形性质解题关键根题意分情况讨．
18．图垂足分点边动点_______时形成全等．
答案2
分析
BP2时Rt△ABP≌Rt△PCDBC6CP4进ABCPBPCD结合AB⊥BCDC⊥BC∠B∠C90°利SAS判定△ABP≌△PCD．
详解
解：BP2时Rt△ABP≌Rt△PCD
∵BC6BP2
∴PC4
∴ABCP
∵AB⊥BCDC⊥BC
∴∠B∠C90°
△ABP△PCD中
∴△ABP≌△PCD（SAS）
答案：2．
点睛
题考查全等三角形判定掌握全等三角形判定方法（SSSSASASAAASHL）解题关键．
19．图中面积10垂直分线分交点点中点点线段动点周长值______
答案7
分析
连接AD△ABC等腰三角形点DBC边中点AD⊥BC根三角形面积公式求出AD长根EF线段AC垂直分线知点C关直线EF称点点AAD长CP+PD值出结．
详解
连接AD
∵△ABC等腰三角形点DBC边中点
∴AD⊥BC
∴S△ABCBC•AD×4×AD10
解AD5
∵EF线段AC垂直分线
∴点C关直线EF称点点A
∴AD长CP+PD值
∴△CDP周长短（CP+PD）+CDAD+BC6+×45+27．
答案：7
点睛
题考查轴称短路线问题熟知等腰三角形三线合性质解答题关键．
20．图中点动点．点作点交点．等腰三角形长__________．
答案1
分析
分三种情况：①BPCP点P作PF⊥BC点FDPCFBC②BPBC点P作PF⊥BC点FRt△BPF中先求出BF长根DPCF出DP长③BCCP勾股定理相似三角形判定性质分求出DPDE长时DP＞DE种情况存．综出结果．
详解
解：∵∠ACB90°PD⊥AC
∴DE∥BC．
∴
BC5∴CD3．
分三种情况：
①BPCP图1点P作PF⊥BCF
四边形CDPF矩形
∴DPCF
CPBPPF⊥BC
∴CFBFBC
∴DPCF
②BPBC5图2点P作PF⊥BCF
四边形CDPF矩形
∴PFCD3
Rt△BPF中勾股定理BF4
∴CFBCBF1
∴DP1
③BCCP5图3
Rt△CDP中根勾股定理DP4
DE∥BC
∴△ADE∽△ACB
∴
∴∴DE
时DP＞DE符合题意．
综述PD长1．
答案：1．
点睛
题考查勾股定理等腰三角形性质相似三角形判定性质矩形判定性质行线判定等知识点解题关键综合运相关性质进行推理运分类讨思想．
21．图矩形ABCD中AB4cmBC8cm动点M点D出发折线D﹣C﹣B﹣A﹣D方2cms速度运动动点N点D出发折线D﹣A﹣B﹣C﹣D方1cms速度运动．动点MN时出发相遇时停止运动点E线段BCBE3cm_____秒钟点AEMN组成行四边形．
答案
解析
分析
根t值讨MN位置根行四边形判定定理求解．
详解
图
直角△ABE中AE5cm．
设运动时间t秒．
0＜t＜2时MCDNDA
行四边形AEMN
AE∥MNAEMNAEMN成立
t2时MC点DN4cm
时AN≠EC
构成行四边形
2＜t＜45时MBC
EMBC+CDBE2t92tAN8t
92t8t时
解：t1（舍）
45＜t＜6时MBC
EM2t（BC+CDBE）2t9AN8t
2t98t时
解：t
时四边形AMEN行四边形
6＜t＜8时MABNAD
构成行四边形
t8时QA重合构成行四边形形．
综述：秒钟点AEMN组成行四边形．
答案：．
点睛
题考查行四边形判定定理熟练掌握行四边形判定方法正确t范围进行讨解决问题关键．
22．图点坐标分圆心坐标半径1点动点线段轴交点面积值________．
答案
分析
连接相切时短面积切线性质利勾股定理长证明根相似三角形性质求出长长利三角形面积公式求出面积
详解
连接
∵相切时短
∴面积
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解：
∴
∴面积：
答案
点睛
题考查切线性质相似三角形判定性质三角形面积求法够正确判断出面积时位置关系解题关键
三解答题
23．图直线轴轴分交两点条直线点点
(1)求直线函数表达式
(2)求证
(3)点直线动点点轴动点顶点三角形全等求点坐标
答案(1) (2) (3) 点坐标
解析
分析
（1）yx+4中令y00x+4求A（30）设直线AC应函数关系式ykx+b解方程组结
（2）直线AByx+4中k1直线ACy＝x−中k2k1•k21结
（3）根勾股定理AB5①∠AQP90°时图1全等三角形性质AQOB4Q1（70）Q2（10）②∠APQ90°时图2根全等三角形性质AQAB5Q3（80）Q4（20）③∠PAQ90°时种情况存．
详解
（1）yx+4中
令y00x+4
∴x3
∴A（30）
设直线AC应函数关系式ykx+b
：解：
∴直线AC应函数关系式y＝x
(2) 直线AByx+4中
∵k1
直线ACy＝x−中k2
∴k1•k21
∴AB⊥AC
（3）yx+4中
令x0y4
∴OA3OB4勾股定理AB5
①∠AQP90°时图1∵△AOB≌△AQP
∴AQOB4
∴Q1（70）Q2（10）
②∠APQ90°时图2∵△AOB≌△AQP
∴AQAB5
∴Q3（80）Q4（20）．
③∠PAQ90°时种情况存
综述：点Q坐标：（70）（80）（10）（20）．
点睛
考查次函数综合题定系数法求函数解析式勾股定理应全等三角形性质等知识分类讨解题关键防遗漏．
24．已知边长等边三角形动点速度点出发线段点运动．请分解决面四种情况：
（）图设点运动时间__________时直角三角形
（）图动点点出发线段点运动果动点速度时出发．设运动时间值时直角三角形？
（）图动点点出发射线方运动．连接交．果动点速度时出发．设运动时间值时等腰三角形？
（）图动点点出发射线方运动连接交连接．果动点速度时出发．请猜想：点运动程中面积什关系？说明理．
答案(1)15（2）时直角三角形（3）时等腰三角形（4）理详见解析
解析
试题分析：
（1）△ABC等边三角形知△PBC直角三角形时CP⊥ABPAB中点AP长求出t值
（2）△PBQ直角三角形时存PQ⊥BCPQ⊥AB两种情形分两种情况讨两图形中分含t式子表达出PBBQ长直角三角形中30°锐角直角边等斜边半列出关t方程求t值
（3）∠CDQ∠CQDCDCQ时△DCQ等腰三角形∠CDQ+∠CQD∠ACB60°：∠CQD30°∠B60°∠QPB90°：BPBQ含t式子表达出BPBQ列出含t方程求出t值
（4）作PF∥CQCE⊥PQ已知条件易：△APF等边三角形APCQ：PFCQPF∥CQ角相等证△PFD≌△QCDPDQD等底等高三角形面积相等
试题解析：
（）图∵△ABC等边三角形
∴PAB中点时CP⊥AB时△PBC直角三角形APAB15
∴
（）①图
PQ⊥BC时已知：．
∴ ．
时
∴．
∴
∴．
②图
PQ⊥AB时已知：．
时．
∴．
∴
∴．
综时直角三角形．
（）
∵等边三角形
∴
∴．
∵等腰三角形
．
∴
．
∴
∴
∴
∴．
∴时等腰三角形．
（）．
证明：图作作．
∵等边三角形
∴
∴等边三角形
∴．
∵
∴
∴中
∴≌
∴．
∵高均
∴
∴．
25．图已知直线c直线b相较点直线c点行y轴动直线a解析式动直线a分交直线bc点DD方．
求直线b直线c解析式
Py轴动点满足等腰直角三角形求点P坐标．
答案（1）（2）时等腰直角三角形时P点坐标时等腰直角三角形时P点坐标时等腰直角三角形时P点坐标
解析
分析
设直线b解析式设直线c解析式：点坐标代入结
时时E点坐标D点坐标分三种情况：时时DE斜边时DE斜边已知列方程结．
详解
设直线b解析式：
代入
直线b解析式：
设直线c解析式：
点点代入
直线c解析式：
时时
点坐标D点坐标．
D方
等腰直角三角形．
时时
点坐标
时
点坐标
时DE斜边
DE中点坐标
点坐标
时已知
符合题意舍
时直线存．
时DE斜边已知
点坐标
综述：时等腰直角三角形时P点坐标
时等腰直角三角形时P点坐标
时等腰直角三角形时P点坐标．
点睛
考查定系数法求函数解析式等腰三角形判定性质正确理解题意解题关键．
26．图抛物线两点轴交点点抛物线顶点抛物线称轴交轴点连接．
（1）求三点抛物线函数表达式
（2）点该抛物线称轴直角边直角三角形求点坐标
（3）中点点作轴点抛物线动点轴动点直线动点顶点四边形正方形时请求出点坐标．
答案（1）（2）（3）
分析
（1）利定系数法求出ABC三点抛物线函数表达式
（2）设分BCQ1C作直角边时BCQ2B作直角边时两种情况讨
（3）设点M坐标（a0）表示出点G坐标根正方形性质列出方程解方程．
详解
解：（1）∵抛物线yx2+bx+cA（10）B（30）两点
∴
解
∴ABC三点抛物线函数表达式yx2+2x+3
（2）图根题意设
∴
BCQ1C作直角边时：
解：y4
∴
BCQ2B作直角边时：
解：y2
∴
综述：点Q坐标
（3）设点坐标点坐标
∵顶点四边形正方形
∴
时整理解
时整理解
∴顶点四边形正方形时
点坐标．
点睛
题考查二次函数图象性质定系数法求函数解析式正方形性质掌握二次函数图象性质灵活运定系数法解题关键．
27．图矩形中动点分时两点出发动点速度终点作匀速返运动动点速度终点匀速运动设两动点运动时间．
（1）试含代数式表示．
（2）返回(包括端点）程中等腰三角形时求值．
（3）连接设交时求值．
答案（1） （2）t值（3）t值
分析
（1）分P两种情况讨
（2）分PC点重合P返回程中两种情况讨运等腰三角形三线合性质求解
（2）分P两种情况讨运全等三角形性质求解．
详解
（1）∵
∴P时
P时
综
（2）重合时时中点
∵AQDQ45DC
∴等腰三角形
∴
P返回程中()
∵DQ45DC
∴存PDDQPQDQ情况
PDPQ时
图：作PH⊥ADH
∴四边形CDHP矩形
∴QHDHPC
∵PCDQ
∴
解：
综PC返回B(包括端点BC）程中等腰三角形时t值
（3）P时图①
时PCAQ
∵
∴AQPC
解：
P时图②
时CPAQ
∴AQPC
解：
综t值
点睛
题考查矩形判定性质全等三角形性质等腰三角形性质根题意画出符合题意图形分类讨解题关键．
28．图直线轴相交点A轴相交点B．
(1)求AB两点坐标
(2)求△AOB面积
(3)点P轴动点△PAB等腰三角形P点坐标___________
答案（1）A（20）B（40）（2）面积4（3）（0）（0）（20）（40）
解析
分析
（1）x0y0分代入函数解析式求相应yx值易点AB坐标
（2）根三角形面积计算公式求解
（3）根等腰三角形判定分两种情况讨求．
详解
（1）∵y0时x2x0时y4
∴A（20）B（04）
（2）S△AOB×2×44
（3）∵A（20）B（04）．
∴AB
AB腰长时P坐标（0）（0）（20）
AB底时APBP设P（x0）
AP2x
Rt△BOP中
BO 2+OP2BP 2
42+x2（2x）2
解：x3
P点坐标（30）．
P坐标：（30）（20）（0）（0）
点睛
题考查次函数图象点坐标特征等腰三角形判定两边相等三角形等腰三角形坐标图形性质分类讨思想运解题关键．
29．图面直角坐标系中抛物线图象三点．已知点点坐标分点线段动点（点点重合）顶点作射线交线段点．
（1）抛物线解析式_ _
（2）等腰三角形．
①求时点坐标
②点第二象限抛物线动点点运动某位置时面积求值．
答案（1）（2）①点E坐标②时面积值
分析
（1）点AB坐标代入抛物线解析式利定系数法求二次函数解析式解答
（2）①分三种情况讨：时时时解答
②连接作轴交直线作轴点先求出AD解析式设出P坐标含t式子表示出PQ表示出面积求解．
详解
解：（1）点AB坐标代入抛物线解析式
解
抛物线解析式
（2）
等腰三角形时分三种情况讨
时
中．
时点点重合符合题意种情况成立．
图1时．
中
．
．
图2时点作轴点
中
中
．
等腰三角形时点坐标
图3连接作轴交直线作轴点
直线解析式
设（中）
第二象限抛物线点
知点坐标
时
时
时面积
时面积值．
点睛
题综合考查二次函数图象性质定系数法等腰三角形全等三角形判定性质等重知识点难度较注意分类讨思想应注意漏解．
30．已知点坐标轴交点中点双曲线两点．
（1）求值
（2）图1点轴四边形行四边形求点坐标
（3）图2（2）条件动点双曲线点轴顶点四边形行四边形试求满足求点坐标．
答案（1）（2）（3）坐标分
分析
(1) 点作轴证求出值
(2) 设求出点坐标
(3)反例函数解析式点P双曲线点Qy轴设Q(0y) P(x )分AB边AB角线两种情况求出x值出PQ坐标．
详解
解：（1）点作轴
∵中点
∴DEAE
∵∠PED∠OEA ∠DPE∠AOE
∴
∴
∴
∴
∴
（2）∵四边形行四边形
∴
∵
轴
∴设
∴
（3）∵反例函数表达式
∵点P双曲线点Qy轴
∴设Q(0y)P(x )
①AB边时图①示．四边形ABPQ行四边形
0解x1时P1(14)Q1(06)
图②示．
四边形ABQP行四边形x−1时P2(−1−4)Q2(0−6)
②AB角线时图③示
APBQAPBQ
x−1
P3(−1−4)Q3(02)
满足求点PQ坐标分
．
点睛
题反例函数综合题考查定系数法求反例函数解析式正方形性质等腰三角形判定性质全等三角形判定性质等相关知识难度较．
31．图（1）坐标原点点轴正半轴四边形行四边形反例函数第象限图象点交点．
（1）求点坐标反例函数解析式
（2）求点坐标
（3）（2）中条件图（2）点直线动点点双曲线动点否样点点顶点四边形行四边形？存请直接写出点坐标存请说明理．
答案（1） （2）点（3）存点．
分析
（1）根知点坐标代入解析式求解
（2）点作设行四边形性质锐角三角函数求表示点坐标代入解析式求值求点坐标
（3）分两种情况讨行四边形性质求解．
详解
（1）图1点作点
根题意：
反例函数解析式
（2）图2点作
设
四边形行四边形
点
反例函数第象限图象点
（合题意舍）
点点
（3）点点
直线解析式：
边
设解析式：
直线解析式：
解：
设点
点
角线
顶点四边形行四边形
互相分
设点
中点
中点
点睛
题反例函数综合题考查定系数法求解析式行四边形性质锐角函数应利分类讨思想解决问题题关键．
32．图抛物线交x轴点A（30）点B交y轴点C（03）．
（1）求抛物线函数表达式
（2）点Q线段AC动点作DQ⊥x轴交抛物线点D求线段DQ长度值．
（3）点G抛物线动点点Fx轴动点ACFG四点顶点四边形行四边形求出满足条件点F坐标（直接写出结果）．
答案（1）yx22x+3（2）QD值（3）（10）（50）（0）（0）．
分析
（1）点AC坐标代入抛物线解析式利定系数法求二次函数解析式解答
（2）利定系数法求次函数解析式求出直线AC解析式然表示出DQ根二次函数值问题解答
（3）设点分情况根行四边形性质求出满足条件点F坐标．
详解
点点代入
解
∴抛物线函数表达式
（2）设直线AC解析式
解
∴直线AC解析式
∴时线段DQ长度值
（3）设点
①图
∵点点
∴
解
∴
∴
∴
②图
∵点点
∴
解
∴
∴
∴
③图
∵行四边形角线互相分
∴点C点G坐标0
∵点
∴
解
时角线交点坐标
∴
④图根③
时角线交点坐标
∴
满足条件点F坐标（10）（50）（0）（0）．
点睛
题考查抛物线综合问题掌握抛物线性质行四边形性质解题关键．
33．图称轴直线抛物线轴交轴交点抛物线顶点直线交轴点．
（1）求抛物线函数表达式
（2）点位直线方抛物线动点相邻两边作行四边形行四边形面积时求时行四边形面积点坐标
（3）线段否存点？存求出点坐标存请说明理．
答案（1）（2）行四边形PBFD面积S2P（23）（3）存．点G坐标．
分析
（1）先设抛物线顶点式然利定系数法求出解析式
（2）根题意先求出BD解析式PF值时面积取值答案
（3）先证明设点G坐标利三角函数值求出t值点G坐标．
详解
解：（1）设抛物线
A（10）C（03）代入
：
（2）设直线BDy＝kx+b图点P作PF⊥x轴交直线BDF
点（14）（30）代入y＝kx+b中
解k＝2b＝6
∴BD解析式y＝2x6
设点P（aa22a3）F（a2a6）
PF＝2a6（a22a3）
＝a2+4a3
a＝2时PF长度1
∴S△PBD＝S△PBF+S△PDF
＝PF•21
∴PBPD相邻两边作行四边形PBFD行四边形MANB面积时
S＝2S△PBD＝2×1＝2
∴P（23）
（3）存．图2
B（30）C（03）D（14）知
BCCDBD
∵
∴
∴
∵点G线段BD设点G坐标
点G作GH⊥y轴点Htan∠GCH3时∠BDC∠GCE
解：
∴
∴点G坐标：．
点睛
题考查二次函数综合问题二次函数性质考查三角函数勾股定理逆定理求二次函数解析式求次函数解析式解题关键熟练掌握学性质进行解题．
34．已知抛物线（≠0）轴交A､B两点轴交C点称轴1A（10）､C（02）
（1）直接写出该抛物线解析式
（2）P称轴点△PAC周长存值值请求出取值（值值）时点P坐标
（3）设称轴轴交点H点D线段CH动点（点C､H重合）点P（2）中求点点D作DE∥PC交轴点E连接PD､PECD长△PDE面积S求S间函数关系式试说明S否存值存请求出值写出S取值时值存请说明理
答案(1) ++2(2) P（1）(3)见解析
分析
（1）已知条件易点B坐标（30）样结合点AC坐标求抛物线解析式
（2）题意知AC长度固定值点A点B关直线x1称连接BC交直线x1点P时△PAC周长求直线BC解析式求时点P坐标
（3）图2画出符合题意图形点D作DF⊥y轴点F交称轴x1点NRt△OCH中易CHRt△CDF∽Rt△CHOCFOFFD含m代数式表达出表达出点D点N坐标定系数法求含m代数式表达DE解析式表达出点E坐标点Q坐标然SS△PDES△PDQ+S△PEQSm间函数关系式解析式化简配方求答案
详解
解：（1）∵抛物线（≠0）轴交A､B两点称轴1A（10）
∴点B坐标（30）
∴设抛物线解析式：
∵抛物线y轴交点C（02）
∴解：
∴
（2）△PAC周长值连结AC､BC
∵AC长度定
∴△PAC周长PA+PC
∵点A关称轴1称点B点
∴BC称轴交点求点P（图2）
设直线BC表达
解∴+2
1代入
点P坐标P（1）
∴△PAC周长取值取值时点P坐标P（1）
（3）图2设DE称轴x1点Q
Rt△COH中勾股定理CH
点D作DF⊥轴点F交称轴1点N
∵Rt△CDF∽Rt△CHO
∴
∴CFOFCOCF2
样： FD
∴点D坐标D（2）
∴N（12）
∵DE∥BC
∴设（点D､E直线）+
D点坐标代入中 +2
解2
∴：+2
点E坐标0代入中解3
∴E（30）
∵点Q称轴11代入中解
∴Q（1）
PQ（）DN1
EH312
SS△PDES△PDQ+S△PEQPQ·DN+PQ·EH
PQ（DN+EH）·（1+2）
化简S+
知S关二次函数
S存值
配方S+S取值
取值时值
点睛：题道二次函数图形综合题第1第2题较简单第3题难点较画出符合题意图形作出图示辅助线助△CDF∽△CHO利相似三角形性结合题中已知条件点DEQ坐标含m代数式表达出解决第3题关键
35．图抛物线直线交两点作轴交抛物线点直线交轴点．
求三点坐标
点线段动点作轴交抛物线点连接时求值
图连接设点中点点线段意点边翻折求值时重叠部分面积面积．
答案（1）点坐标点坐标点坐标（2）（3） 时重叠部分面积面积 ．
解析
分析
（1）列方程组知AB两点坐标根点C坐标点A坐标相列方程求点C坐标．
（2）图1中设根 列出方程求出点H横坐标根三角形面积公式计算解决问题．
（3）分两种情形①翻折点G直线OC方时连接CG．图2证四边形PFCG行四边形Rt△PBO中根解决问题．②翻折点G直线OC方时连接CG．图3证四边形PFGC行四边形解决问题．
详解
解：解
∴点坐标点坐标
∵轴
∴点坐标
解
∴点坐标．
图中设
题意
解（舍弃）
∴．
∵
∴
∵
∴．
①翻折点直线方时连接．图
∵
∴
∴．
∴四边形行四边形
∴
中
∴．
②翻折点直线方时连接．图
∵
∴
∴．
∴四边形行四边形
∴
综述时重叠部分面积面积 ．
点睛
属二次函数综合题考查二次函数次函数交点问题行四边形判定性质勾股定理综合性较强难度较
36．图面直角坐标系中抛物线点动点P线段秒2单位长度速度点运动点停止设运动时间点作轴垂线交直线点 交抛物线点．连接线段中点线段绕点逆时针旋转线段．
（1）求抛物线解析式
（2）连接值时面积值值少？
（3）值时点落抛物线．
答案（1）（2）时面积值16（3）
分析
（1）定系数法求出抛物线解析式
（2）先定系数法求出直线AB解析式然根点P坐标表示出QD坐标进步表示出QD长度利面积公式表示出面积利二次函数性质求值
（3）分点作轴垂线垂足分首先证明≌然点N坐标点N坐标代入抛物线解析式中求出t值注意t取值范围．
详解
（1）∵抛物线点
∴解
抛物线解析式：
（2）设直线AB解析式
代入解析式中
解
∴直线AB解析式 ．
∵
∴
∴
∴时面积值16
（3）分点作轴垂线垂足分
．
中
∴≌
∴．
∵
．
点落抛物线时
∴
∴ ．
点睛
题考查二次函数综合掌握定系数法全等三角形判定性质二次函数性质解题关键．
文档香网(httpswwwxiangdangnet)户传
《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档