刺：综合问题(基础)
选择题
1（2016•天水）图边长2等边△ABC边长1等边△A′B′C′边B′C′BC位条直线l开始时点C′B重合△ABC固定动然△A′B′C′左右直线l移移出△ABC外（点B′C重合）停止设△A′B′C′移距离x两三角形重合部分面积yy关x函数图象（ ）
A． B． C． D．
2 图直角三角形ABC着斜边AC方移△DEF位置（ADCF四点条直线）．直角边DE交BC点G．果BG4EF12△BEG面积等4梯形ABGD面积（ ）
A 16 B 20 C 24 D 28
二填空题
3（2016•海淀区二模）传说古希腊数学家天文学家泰勒斯利相似三角形原理金字塔影子顶部立根木杆助太阳光线构成两相似三角形测量金字塔高度．图示木杆EF长2m影长FD3m测OA201m金字塔高度BO______ m．
4 图线段AB8cm点CAB意点（点AB重合）分ACBC斜边AB侧作等腰直角三角形（△AMC△CNB）BC_____________cm时两等腰直角三角形面积．
三解答题
5 根直尺短边长2cm长边长10cm块锐角45°直角三角形纸板斜边长12cm．图①直尺短边DE直角三角形纸板斜边AB重合点D点A重合 直尺AB方移（图②）设移长度xcm（ 0≤x≤10 ）直尺三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）面积Scm2．
（1）x0时（图①）S________
（2）0＜x≤4时（图②）求S关x函数关系式
（3）4＜x＜6时求S关x函数关系式
（4）直接写出S值．
6 问题情境：图①△ABD△CAE中BDAE∠DBA∠EACABAC易证：△ABD≌△CAE（需证明）
特例探究：图②等边△ABC中点DE分边BCABBDAEADCE交点F求证：△ABD≌△CAE．
纳证明：图③等边△ABC中点DE分边CBBA延长线BDAE．△ABD△CAE否全等？果全等请证明果全等请说明理．
拓展应：图④等腰三角形中ABAC点OAB边垂直分线AC交点点DE分OBBA延长线．BDAE∠BAC50°∠AEC32°求∠BAD度数．
7 图正三角形ABC边长6cm⊙O半径rcm圆心O点A出发着线路AB－BC－CA运动回点A时⊙O着点O运动移动
⑴rcm求⊙O首次BC边相切时AO长
⑵⊙O移动程中切点数考虑相切种情况？写出情况r取值范围相应切点数
⑶设⊙O整移动程中△ABC部⊙O未部分面积SS＞0时求关r函数解析式写出变量r取值范围
8 （2015•德州）（1）问题：图1四边形ABCD中点PAB点∠DPC∠A∠B90°求证：AD•BCAP•BP．
（2）探究：图2四边形ABCD中点PAB点∠DPC∠A∠Bθ时述结否然成立？说明理．
（3）应：请利（1）（2）获验解决问题：
图3△ABD中AB6ADBD5点P秒1单位长度速度点A出边AB点B运动满足∠DPC∠A设点P运动时间t（秒）D圆心DC半径圆AB相切时求t值．
9 图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°AB12 cmBC9 cmDC13 cm点P线段AB动点设BPx cm△PCD面积y cm2．
（1）求AD 长
（2）求yx间函数关系式求出x值时y值？值少？
（3）线段AB否存点P△PCD直角三角形？存求出x值存请说明理
10 图行四边形ABCD中AB10AD6∠A60°点P点A出发边线AB—BC秒1单位长速度点C运动PC重合时停运动点P作AB垂线PQ交ADDCQ设P运动时间t秒直线PQ扫行四边形ABCD面积S求S关t函数解析式
答案解析
答案解析 选择题
1答案B
解析图1示：0＜x≤1时点D作DE⊥BC′．
∵△ABC△A′B′C′均等边三角形
∴△DBC′等边三角形．
∴DEBC′x．
∴yBC′•DEx2．
x1时y抛物线开口．
图2示：1＜x≤2时点A′作A′E⊥B′C′垂足E．
∵yB′C′•A′E×1×．
∴函数图象条行x轴线段．
图3示：2＜x≤3时点D作DE⊥B′C垂足E．
yB′C•DE（x﹣3）2
函数图象抛物线部分抛物线开口．
选：B．
2答案B
二填空题
3答案134
4答案4
三解答题
5答案解析
（1）题意知：
x0时
∵△ABC等腰直角三角形
∴AEEF2
阴影部分面积：S×2×22
答案：2
（2）Rt△ADG中∠A45°
∴DGADx理EFAEx+2
∴S梯形DEFG（x+x+2）×22x+2．
∴S2x+2
（3）①4＜x＜6时（图1）
GDADxEFEB12（x+2）10x
S△ADGADDGx2
S△BEF（10x）2
S△ABC×12×636
S△BEF（10x）2
∴S36x2（10x）2x2+10x14
Sx2+10x14（x5）2+11
∴x5（4＜x＜6）时S值11．
（4）S值11．
6答案解析
特例探究：
证明：∵△ABC等边三角形
∴ABAC∠DBA∠EAC60°
△ABD△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
纳证明：△ABD△CAE全等．理：
∵等边△ABC中ABAC∠ABC∠BAC60°
∴∠DBA∠EAC120°．
△ABD△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
拓展应：∵点OAB垂直分线
∴OAOB
∴∠OBA∠BAC50°
∴∠EAC∠DBC．
△ABD△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠BDA∠AEC32°
∴∠BAD∠OBA∠BDA18°．
7答案解析
（1）设⊙O首次BC相切点DOD⊥BC．
ODr．
直角三角形BDO中
∵∠OBD60°
∴OB2．
∴AOABOB624（厘米）
（2）正三角形边长6厘米．出边高3厘米．
①⊙O半径r3厘米时⊙O移动中△ABC边相切三次切点数3
②0＜r＜3时⊙O移动中△ABC边相切六次切点数6
③r＞3时⊙O△ABC相切切点数0．
（3）图易知S＞0时⊙O移动中△ABC部部分正三角形．
记作△A′B′C′正三角形三边分原正三角形三边行行线间距离等r．
连接AA′延长AA′分交B′C′BCEF两点．
AF⊥BCA′E⊥B′C′EFr．
点A′作A′G⊥ABGA′Gr．
∵∠GAA′30°
∴AA′2x．
∴△A′B′C′高A′EAF3r93r
B′C′
A′E2（3r）．
∴△A′B′C′面积SB′C′A′E3（3r）2．
∴求解析式S3（3r）2（0＜r＜3）．
8答案解析
解：（1）图1
∵∠DPC∠A∠B90°
∴∠ADP+∠APD90°
∠BPC+∠APD90°
∴∠ADP∠BPC
∴△ADP∽△BPC
∴
∴AD•BCAP•BP
（2）结AD•BCAP•BP然成立．
理：图2
∵∠BPD∠DPC+∠BPC∠BPD∠A+∠ADP
∴∠DPC+∠BPC∠A+∠ADP．
∵∠DPC∠A∠Bθ
∴∠BPC∠ADP
∴△ADP∽△BPC
∴
∴AD•BCAP•BP
（3）图3
点D作DE⊥AB点E．
∵ADBD5AB6
∴AEBE3．
勾股定理DE4．
∵点D圆心DC半径圆AB相切
∴DCDE4
∴BC5﹣41．
∵ADBD
∴∠A∠B
∴∠DPC∠A∠B．
（1）（2）验知AD•BCAP•BP
∴5×1t（6﹣t）
解：t11t25
∴t值1秒5秒．
9答案解析
⊥BC点E．
题意知四边形ABED矩形ABDEADBE
Rt△DEC中∠DEC90°DE12CD13
∴ EC5． ∴ADBEBCEC4．
（2）BPxAP12x
S△BPCBP·BCx S△APDAP·AD242x
∴S△PCDS梯形ABCDS△BPCS△APD78x24+2xx+54
yx+540≤x≤12
x0时y取值54 cm2
（3）△PCD直角三角形∵∠BCP＜90°∴∠PCD≠90°
∴分两种情况讨图2
①∠DPC90°时
∵∠APD+∠BPC90°∠BPC+∠PCB90°
∴∠APD∠PCB∴ △APD∽△BCP
∴解x6
∠APD∠BPC45°情况存考虑
②∠P1DC90°时
Rt△P1BC中P1C2BP12+BC2x2+92
Rt△P1AD中P1D2P1A2+AD2(12x)2+42
∵∠P1DC90°CD2+P1D2P1C2
132+(12x)2+42x2+92解
综x6△PCD直角三角形
10答案解析
Q点D点重合时AQAD6时APAQ3t
PB点重合时t10
P点运动C时t16
∴分三类情况讨
（1）0≤t≤3时图：
APtPQt
∴SAP·PQt2
（2）3＜t≤10时示意图：
D作DH⊥ABHADt
DHADsinA6·3AHADcosA3
∴DQPHAPAHt3
∴S(AP+DQ)·DH
(t+t3)·33t
（3）10＜t≤16时图：
AB+BPt
CPAB+BC(AB+BP)16t
∴CQCP8
QP·CQ8t
∴SS□ABCDS△CPQ
AB·h·CQ·PQ
10·3·(8)·(8)
30(648t+)
综
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选择题
1（2016•天水）图边长2等边△ABC边长1等边△A′B′C′边B′C′BC位条直线l开始时点C′B重合△ABC固定动然△A′B′C′左右直线l移移出△ABC外（点B′C重合）停止设△A′B′C′移距离x两三角形重合部分面积yy关x函数图象（ ）
A． B． C． D．
2 图直角三角形ABC着斜边AC方移△DEF位置（ADCF四点条直线）．直角边DE交BC点G．果BG4EF12△BEG面积等4梯形ABGD面积（ ）
A 16 B 20 C 24 D 28
二填空题
3（2016•海淀区二模）传说古希腊数学家天文学家泰勒斯利相似三角形原理金字塔影子顶部立根木杆助太阳光线构成两相似三角形测量金字塔高度．图示木杆EF长2m影长FD3m测OA201m金字塔高度BO______ m．
4 图线段AB8cm点CAB意点（点AB重合）分ACBC斜边AB侧作等腰直角三角形（△AMC△CNB）BC_____________cm时两等腰直角三角形面积．
三解答题
5 根直尺短边长2cm长边长10cm块锐角45°直角三角形纸板斜边长12cm．图①直尺短边DE直角三角形纸板斜边AB重合点D点A重合 直尺AB方移（图②）设移长度xcm（ 0≤x≤10 ）直尺三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）面积Scm2．
（1）x0时（图①）S________
（2）0＜x≤4时（图②）求S关x函数关系式
（3）4＜x＜6时求S关x函数关系式
（4）直接写出S值．
6 问题情境：图①△ABD△CAE中BDAE∠DBA∠EACABAC易证：△ABD≌△CAE（需证明）
特例探究：图②等边△ABC中点DE分边BCABBDAEADCE交点F求证：△ABD≌△CAE．
纳证明：图③等边△ABC中点DE分边CBBA延长线BDAE．△ABD△CAE否全等？果全等请证明果全等请说明理．
拓展应：图④等腰三角形中ABAC点OAB边垂直分线AC交点点DE分OBBA延长线．BDAE∠BAC50°∠AEC32°求∠BAD度数．
7 图正三角形ABC边长6cm⊙O半径rcm圆心O点A出发着线路AB－BC－CA运动回点A时⊙O着点O运动移动
⑴rcm求⊙O首次BC边相切时AO长
⑵⊙O移动程中切点数考虑相切种情况？写出情况r取值范围相应切点数
⑶设⊙O整移动程中△ABC部⊙O未部分面积SS＞0时求关r函数解析式写出变量r取值范围
8 （2015•德州）（1）问题：图1四边形ABCD中点PAB点∠DPC∠A∠B90°求证：AD•BCAP•BP．
（2）探究：图2四边形ABCD中点PAB点∠DPC∠A∠Bθ时述结否然成立？说明理．
（3）应：请利（1）（2）获验解决问题：
图3△ABD中AB6ADBD5点P秒1单位长度速度点A出边AB点B运动满足∠DPC∠A设点P运动时间t（秒）D圆心DC半径圆AB相切时求t值．
9 图直角梯形ABCD中AD∥BC∠B90°AB12 cmBC9 cmDC13 cm点P线段AB动点设BPx cm△PCD面积y cm2．
（1）求AD 长
（2）求yx间函数关系式求出x值时y值？值少？
（3）线段AB否存点P△PCD直角三角形？存求出x值存请说明理
10 图行四边形ABCD中AB10AD6∠A60°点P点A出发边线AB—BC秒1单位长速度点C运动PC重合时停运动点P作AB垂线PQ交ADDCQ设P运动时间t秒直线PQ扫行四边形ABCD面积S求S关t函数解析式
答案解析
答案解析 选择题
1答案B
解析图1示：0＜x≤1时点D作DE⊥BC′．
∵△ABC△A′B′C′均等边三角形
∴△DBC′等边三角形．
∴DEBC′x．
∴yBC′•DEx2．
x1时y抛物线开口．
图2示：1＜x≤2时点A′作A′E⊥B′C′垂足E．
∵yB′C′•A′E×1×．
∴函数图象条行x轴线段．
图3示：2＜x≤3时点D作DE⊥B′C垂足E．
yB′C•DE（x﹣3）2
函数图象抛物线部分抛物线开口．
选：B．
2答案B
二填空题
3答案134
4答案4
三解答题
5答案解析
（1）题意知：
x0时
∵△ABC等腰直角三角形
∴AEEF2
阴影部分面积：S×2×22
答案：2
（2）Rt△ADG中∠A45°
∴DGADx理EFAEx+2
∴S梯形DEFG（x+x+2）×22x+2．
∴S2x+2
（3）①4＜x＜6时（图1）
GDADxEFEB12（x+2）10x
S△ADGADDGx2
S△BEF（10x）2
S△ABC×12×636
S△BEF（10x）2
∴S36x2（10x）2x2+10x14
Sx2+10x14（x5）2+11
∴x5（4＜x＜6）时S值11．
（4）S值11．
6答案解析
特例探究：
证明：∵△ABC等边三角形
∴ABAC∠DBA∠EAC60°
△ABD△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
纳证明：△ABD△CAE全等．理：
∵等边△ABC中ABAC∠ABC∠BAC60°
∴∠DBA∠EAC120°．
△ABD△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
拓展应：∵点OAB垂直分线
∴OAOB
∴∠OBA∠BAC50°
∴∠EAC∠DBC．
△ABD△CAE中
∴△ABD≌△CAE（SAS）
∴∠BDA∠AEC32°
∴∠BAD∠OBA∠BDA18°．
7答案解析
（1）设⊙O首次BC相切点DOD⊥BC．
ODr．
直角三角形BDO中
∵∠OBD60°
∴OB2．
∴AOABOB624（厘米）
（2）正三角形边长6厘米．出边高3厘米．
①⊙O半径r3厘米时⊙O移动中△ABC边相切三次切点数3
②0＜r＜3时⊙O移动中△ABC边相切六次切点数6
③r＞3时⊙O△ABC相切切点数0．
（3）图易知S＞0时⊙O移动中△ABC部部分正三角形．
记作△A′B′C′正三角形三边分原正三角形三边行行线间距离等r．
连接AA′延长AA′分交B′C′BCEF两点．
AF⊥BCA′E⊥B′C′EFr．
点A′作A′G⊥ABGA′Gr．
∵∠GAA′30°
∴AA′2x．
∴△A′B′C′高A′EAF3r93r
B′C′
A′E2（3r）．
∴△A′B′C′面积SB′C′A′E3（3r）2．
∴求解析式S3（3r）2（0＜r＜3）．
8答案解析
解：（1）图1
∵∠DPC∠A∠B90°
∴∠ADP+∠APD90°
∠BPC+∠APD90°
∴∠ADP∠BPC
∴△ADP∽△BPC
∴
∴AD•BCAP•BP
（2）结AD•BCAP•BP然成立．
理：图2
∵∠BPD∠DPC+∠BPC∠BPD∠A+∠ADP
∴∠DPC+∠BPC∠A+∠ADP．
∵∠DPC∠A∠Bθ
∴∠BPC∠ADP
∴△ADP∽△BPC
∴
∴AD•BCAP•BP
（3）图3
点D作DE⊥AB点E．
∵ADBD5AB6
∴AEBE3．
勾股定理DE4．
∵点D圆心DC半径圆AB相切
∴DCDE4
∴BC5﹣41．
∵ADBD
∴∠A∠B
∴∠DPC∠A∠B．
（1）（2）验知AD•BCAP•BP
∴5×1t（6﹣t）
解：t11t25
∴t值1秒5秒．
9答案解析
⊥BC点E．
题意知四边形ABED矩形ABDEADBE
Rt△DEC中∠DEC90°DE12CD13
∴ EC5． ∴ADBEBCEC4．
（2）BPxAP12x
S△BPCBP·BCx S△APDAP·AD242x
∴S△PCDS梯形ABCDS△BPCS△APD78x24+2xx+54
yx+540≤x≤12
x0时y取值54 cm2
（3）△PCD直角三角形∵∠BCP＜90°∴∠PCD≠90°
∴分两种情况讨图2
①∠DPC90°时
∵∠APD+∠BPC90°∠BPC+∠PCB90°
∴∠APD∠PCB∴ △APD∽△BCP
∴解x6
∠APD∠BPC45°情况存考虑
②∠P1DC90°时
Rt△P1BC中P1C2BP12+BC2x2+92
Rt△P1AD中P1D2P1A2+AD2(12x)2+42
∵∠P1DC90°CD2+P1D2P1C2
132+(12x)2+42x2+92解
综x6△PCD直角三角形
10答案解析
Q点D点重合时AQAD6时APAQ3t
PB点重合时t10
P点运动C时t16
∴分三类情况讨
（1）0≤t≤3时图：
APtPQt
∴SAP·PQt2
（2）3＜t≤10时示意图：
D作DH⊥ABHADt
DHADsinA6·3AHADcosA3
∴DQPHAPAHt3
∴S(AP+DQ)·DH
(t+t3)·33t
（3）10＜t≤16时图：
AB+BPt
CPAB+BC(AB+BP)16t
∴CQCP8
QP·CQ8t
∴SS□ABCDS△CPQ
AB·h·CQ·PQ
10·3·(8)·(8)
30(648t+)
综
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