第章 绪（12）
1设x相误差求误差
[解]设x似值相误差绝误差误差
相误差
2设x相误差2求相误差
[解]设x似值相误差绝误差误差
相误差
3列数四舍五入似数误差超位半单位试指出位效数字：
[解]5位效数字2位效数字4位效数字5位效数字2位效数字
4利公式（33）求列似值误差限中均第3题数
（1）
[解]
（2）
[解]
（3）
[解]
5计算球体积相误差限1问度量半径R允许相误差少？
[解]知
6设递推公式计算取（五位效数字）试问计算误差？
[解]令表示似值
知
7求方程两根少具四位效数字（）
[解]（五位效数字）知
（五位效数字）
两位效数字符合题意
8N充分时样求？
[解]N充分时两相数相减设
9正方形边长约100cm应样测量面积误差超1
[解]知求边长应满足
10设假定g准确t测量秒误差证明t增加时S绝误差增加相误差减少
[证明]
证
11序列满足递推关系（三位效数字）计算时误差？计算程稳定？
[解]设似值
知
计算程稳定
12计算取利列公式计算结果？
[解]
位效数字
没效数字
位效数字
没效数字
13求值开方六位函数表问求数时误差？改等价公式计算求数时误差？
[解]（六位效数字）
14试消元法解方程组假定三位数计算问结果否？
[解]精确解三位数运算时结果
15已知三角形面积中c弧度测量abc误差分证明面积误差满足
[解]
第二章 插值法（4042）
1根（22）定义范德蒙行列式令
证明n次项式根
[证明]求证
2时求二次插值项式
[解]
3出数值表线性插值二次插值计算似值
X
04
05
06
07
08
0916291
0693147
0510826
0357765
0223144
[解]取
取
4出函数表步长函数具5位效数字研究线性插值求似值时总误差界
[解]设插值节点应值函数表值题意知似线性插值项式总误差
5设求
[解]
令
极值点
显然
6设互异节点求证：
1）
2）
[解]1）左侧n阶拉格朗日项式求证成立
2）设左侧n阶拉格朗日项式令求证
7设求证
[解]见补充题3中取
8出等距节点函数表二次插值求似值截断误差超问函数表步长h应取少？
[解]题意知设x节点进行二次插值插值余项
令极值点
超
9求
[解]
10果m次项式记证明k阶差分次项式（l正整数）
[证明]k数学纳法证
11证明
[证明]
12证明
[证明]
证
13证明：
[证明]
14n实根证明
[证明]题意设
差商性质13知：
证
15证明n阶均差列性质：
1）
2）
[证明]1）
2）
16求
[解]
17证明两点三次埃尔米特插值余项
求出分段三次埃尔米特插值误差限
[解]见P30P33误差限
18XXXXXXXXXX．
19求次数高4次项式满足
[解]设：
解
20设分n等分试构造台阶形零次分段插值函数证明时致收敛
[解]令
21设取等距节点求分段线性插值函数计算节点中点处值估计误差
[解]题意知时
22求分段线性插值函数估计误差
[解]设划分长度h区间时
误差
23求分段埃尔米特插值估计误差
[解]设划分长度h区间时
误差
24定数表：
025
030
039
045
053
05000
05477
06245
06708
07280
试求三次样条函数满足条件：
1）
2）
[解]（810）式知
（811）式知
1）矩阵形式：解
2）然边界条件
矩阵形式：解
25三次样条函数证明
1）
2）式中插值节点
[解]1）
2）题意知
补充题：1令写出次插值项式估计插值余项
[解]知
余项
2设试利拉格朗日插值余项定理写出插值节点三次插值项式
[解]插值余项定理
3设二阶连续导数求证：
[证]ab插值节点线性插值项式利插值项式余项定理：
4设求差商
[解]
5定数表：
1
2
4
6
7
4
1
0
1
1
求4次牛顿插值项式写出插值余项
[解]
阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1
4
2
1
3
4
0
6
1
7
1
0
差商表4次牛顿插值项式：
插值余项
6表定函数：
0
1
2
3
4
3
6
11
18
27
试计算出列表函数差分表利牛顿前插值公式出插值项式
[解]构造差分表：
0
3
3
2
0
0
1
6
5
2
0
2
11
7
2
3
18
9
4
27
差分表插值项式：
第三章 函数逼计算（8082）
1（a）利区间变换推出区间伯恩斯坦项式
（b）求1次3次伯恩斯坦项式画出图形相应马克劳林级数部分误差做出较
[解]（a）令伯恩斯坦项式
中
（b）令伯恩斯坦项式
中
2求证：（a）时
（b）时
[证明]（a）知
证
（b）时
3次数超6项式中求佳致逼项式
[解]知偏差1交错点切雪夫交错点组点插值节点拉格朗日项式
4假设连续求零次佳致逼项式
[解]令具偏差零次佳逼次项式
5选择常数a达极问解否唯？
[解]奇函数定理7知时时偏差
6求佳次逼项式估计误差
[解]佳次逼项式
7求佳次逼项式
[解]佳次逼项式
8选取r零偏差？r否唯？
[解]知零偏差时
解：定理7知零偏差二次项式
9设求三次佳逼项式
[解]设求三次项式定理7知
10令求
[解]知令
11试证带权正交项式？
12利插值极化求三次似佳逼项式
[解]题意知插值节点
求
13设插值极化似佳逼项式界证明存常数
[证明]题意知取
求证
14设试降低3次项式估计误差
[解]
误差
15利幂级数项数节约求3次逼项式误差超0005
[解]取前三项
误差
3次逼项式
时误差
16连续奇（偶）函数证明n奇数偶数佳逼项式奇（偶）函数
[解]佳逼项式切雪夫项式切雪夫项式性质4
17求ab1题6题次逼项式误差作较
[解]
解
18定义
（a）（b）
问否构成积？
[解]（a）反成立构成积
（b）构成积
19许瓦兹等式（45）估计界积分中值定理估计积分界较结果
[解]
20选择a列积分取值：
[解]
时时交点
理知时时时积分取
21设分求元素佳方逼较结果
[解]知
解
知
解
22求佳方逼
[解]
知解
佳方逼项式
23第二类切雪夫项式证明递推关系
[证明]令
24勒德项式切雪夫项式展开求三次佳方逼项式画出误差图形计算均方误差
[解]切雪夫项式展开中
勒德项式展开
中
三次佳逼项式
25展成切雪夫级数
[解]切雪夫项式展开中
26二法求形验公式列数相拟合求均方误差
19
25
31
38
44
190
323
490
733
978
[解]
法方程解
均方误差
27观测物体直线运动出数：
时间t（秒）
0
09
19
30
39
50
距离s（米）
0
10
30
50
80
110
[解]设直线运动二次项式
法方程解
直线运动
2831略
补充题：1现测通某电阻R电流I两端电压U表：
I
……
U
……
试二原理确定电阻R
[解]电流电阻电压间满足关系：应二原理求R达求导：令电阻R
2某长度测量n次n似值通常取均值作求长度请说明理
[解]令求x达求导：令说明取均值
二意义误差达
3函数表求公式拟合数试确定拟合公式中ab
3
2
1
0
1
2
3
176
042
120
134
143
225
438
[解]取
法方程
解
4某低温程中函数y赖温度实验数
1
2
3
4
08
15
18
20
已知验公式形式二法求出ab
[解]取
法方程
解
5单原子波函数形式试二法决定参数ab已知数：
X
0
1
2
4
y
2010
1210
0740
0450
[解]两边取数令拟合函数变数转化
X
0
1
2
4
y
06981
01906
03011
07985
取
法方程
解拟合函数原拟合函数
第四章 数值积分数值微分（107）
1确定列求积公式中定参数代数精度量高指明构造出求积公式具代数精度
1）
[解]分取代入：
解
时
时
求积公式高具3次代数精度
2）
[解]分取代入：
解
时
时
求积公式高具3次代数精度
3）
[解]分取代入：
解
时
求积公式高具2次代数精度
4）
[解]分取代入：时
时求积公式高具3次代数精度
2分梯形公式辛普森公式计算列积分：
（1）
[解]
精确值
2）（略）
3）
[解]（略）精确值
4）（略）
3直接验证柯特斯公式（24）具5次代数精度
[证明]显然节点分取代入：
求积公式高具5次代数精度
4辛普森公式求积分估计误差
[解]
5推导列三种矩形求积公式：
[解]微分中值定理：
微分中值定理：
微分中值定理：
6证明梯形公式（29）辛普森公式（211）时收敛积分
[证明]
求证
7复化梯形公式求积分问积分区间分成少等分保证误差超（设计舍入误差）？
[解]知令
8龙贝格方法计算积分求误差超
[解]（参见95页）
9卫星轨道椭圆椭圆周长计算公式里a椭圆半长轴c球中心轨道中心（椭圆中心）距离记h点距离H远点距离公里球半径国第颗造卫星点距离公里远点距离2384公里试求卫星轨道周长
[解]
10证明等式试值外推算法求似值
[证明]
11列方法计算积分较结果
1）龙贝格方法（2）三点五点高斯公式
3）积分区间分四等分复化两点高斯公式
[解]
12三点公式五点公式求12处导数值估计误差值表出：
X
10
11
12
13
14
02500
02268
02066
01890
01736
[解]三点公式
知
误差
误差
误差
五点公式知
1计算积分两点求积公式
[解]求积公式代数精度超求积公式求积系数作4定系数次取积函数代入求积公式方程组：
解求积公式
2直接验证梯形公式中矩形公式具次代数精度辛普生公式具三次代数精度
[证明]（1）次代入梯形公式中：
梯形公式具次代数精度
（2）次代入中矩形公式中：
中矩形公式具次代数精度
（3）次代入辛普生公式中：
辛普生公式具三次代数精度
3求似求积公式代数精度
[解] 次代入求积公式中：
求积公式具三次代数精度
4求三节点常数C求积公式具高代数精度
[解] 次代入求积公式中：
解
时求积公式具3次代数精度令代入求积公式中：
求积公式代数精度3次
5三节点（）Gauss求积公式计算积分
[解]三节点Gauss求积公式
6试确定常数ABC数值积分公式Gauss型公式
[解]数值积分公式Gauss型公式具次代数精度次代入应精确成立解
7试确定常数ABC数值求积公式具高代数精度时代数精度少？否Gauss型公式？
[解]次代入求积公式：
解求积公式令代入：
求积公式具3次代数精度Gauss型公式
第五章 常微分方程数值解法（141142）
1初值问题分导出欧拉方法改进欧拉方法似解表达式准确解相较
[解]欧拉公式知
知误差
改进欧拉公式知
知误差
2改进欧拉方法求解初值问题取步长计算准确解相较
[解]改进欧拉公式知
3改进欧拉方法解取步长计算准确解相较
[解]改进欧拉公式知
4梯形方法解初值问题证明似解证明时收敛原初值问题准确解
[解]梯形公式知知
5利欧拉方法计算积分点似值
[解]令令利欧拉方法：
：
6取四阶典龙格库塔方法求解列初值问题：
1）
[解]四阶典龙格库塔方法知
知：
精确解
2）
精确解
7证明意参数t列龙格库塔公式二阶
[证明]
较系数知龙格库塔公式二阶精度
8证明列两种龙格库塔方法三阶：
（1）（2）
[证明]三阶龙格库塔公式中
（1）取方法满足具三阶精度
（2）取方法满足具三阶精度
9分二阶显式亚姆斯方法二阶隐式亚姆斯方法解列问题：
取计算准确解
相较
[解]知二阶显式亚姆斯方法时
二阶隐式亚姆斯方法时
精确解
10证明解列差分公式二阶求出截断误差首项
[证明]
较系数差分公式具二阶精度截断误差首项
11导出具列形式三阶方法：
[解]
公式具三阶精度必须：
12列方程化阶方程组：
1）
[解]令令初值问题[精确解]
2）
[解]令
3）
[解]令初值
13取差分法解边值问题
[解]显然令代入：
知
解
14方程建立差分公式试公式求解初值问题验证计算解恒等准确解
[解]差分格式建立方程组
15取差分方法解边值问题
[解]显然令代入：
方程组：
解
第六章 方程求根（163164）
阅读材料：般n次项式方程称n次代数方程3次4次方程然数学手册查求解公式太复杂5次方程没现成求解公式代数方程说简单非线性方程然算出根总知道n次方程般具n根
般实际问题结方程常常含三角函数指数函数数函数等超越函数样方程做超越方程求解超越方程仅没般公式方程身连否根根难判断
超越方程次代数方程起统称非线性方程记作中单变量初等函数项式函数超越函数等形式者组合形式
谓方程求根寻找成立样做方程根（解）做函数零点存正整数m称m重根时称单根时满足
般非线性方程直接方法精确解困难例非线性方程求解研究方程定初值条件利计算机运算方程真解似值x意定精度满足时称x关精确
具体问题首先函数加初步研究判断出方程根数概位置较选择根区间果选取方程根逐分离找出相应根区间
二分法特点单根时具收敛快特点然方程重根复根情况二分法公式时失效
1二分法求方程正根求误差
[解]令根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
取
时精确解距离
2例求根法求区间根直似根满足精度终止计算？
3求方程附根设方程改写成列等价形式建立相应迭代公式：
1）迭代公式2）迭代公式
3）迭代公式4）迭代公式
试分析种迭代公式收敛性选取种公式求出具四位效数字似值
[解]1）设迭代方法局部收敛
2）设
迭代方法局部收敛
3）设迭代方法发散
4）设
迭代方法发散
4较求根三位数需计算量：
1）区间二分法 2）迭代法取初值
[解]1）二分法令
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
二分10次
2）迭代法
迭代4次
5定函数设切x存证明范围意定数迭代程均收敛根
[证明]知令迭代格式收敛
6已知区间根时试问化适迭代格式？
化适迭代格式求（弧度）附根
[解]两边取反函数迭代公式收敛
令迭代公式改变时迭代格式收敛取
7列方法求附根根准确值求计算结果准确四位效数字
1）牛顿法2）弦截法取3）抛物线法取
[解]1）
迭代停止
2）
迭代停止
3）中
略
8分二分法牛顿法求正根
[解]参见第6题
9研究求牛顿公式证明切序列递减
[证明]显然序列递减
10牛顿公式证明
收敛里根？
11试列函数讨牛顿法收敛性收敛速度
1）2）
[解]1）知牛顿法收敛
2）知牛顿法阶收敛
12应牛顿法方程导出求立方根迭代公式讨收敛性
[解]令
13应牛顿法方程导出求迭代公式求值
[解]令余见例8
14应牛顿法方程分导出求迭代公式求
[解]
15证明迭代公式计算三阶方法假定初值充分求
[解]
补充题1判断列方程实根指出根区间：
1） 2）
[解]1）设时减函数时增函数知三根根区间分
2）原方程改写作函数图图知两函数两交点横坐标位区间方程两根
2证明迭代格式产生序列均收敛
[证明]设
时迭代格式产生序列收敛方程唯正根
3利适迭代格式证明
[证明]考虑迭代格式……
令时
迭代格式产生序列收敛方程唯根
4设a正整数试建立求牛顿迭代公式求迭代公式中含法运算考虑公式收敛性
[解]考虑方程方程根牛顿迭代公式迭代函数中含法运算
递推
解
时方法收敛
第七章 解线性方程组直接方法（198201部分）
2（a）设A称阵高斯消法步A约化证明称矩阵
（b）高斯消法解称方程组：
[证明]（a）中元素满足A称阵满足称矩阵
（b）略
4设An阶非奇异矩阵分解式中L单位三角阵U三角阵求证A序子式均零
[证明]LU分块中k阶单位三角阵k阶三角阵Ak阶序子式显然非奇异
7设A称正定矩阵高斯消法步A约化中
证明：（1）A角元素（2）称正定矩阵
（3）（4）A绝值元素必角线
（5）
（6）（2）（3）（5）推出果k
[证明]（1）次取A称正定矩阵
（2）中元素满足A称正定矩阵满足称矩阵
（3）
（4）略
12高斯约方法求A逆阵：
[解]
13追赶法解三角方程组中
[解]
14改进方根法解方程组
[解]
15列矩阵否分解（中L单位三角阵U三角阵）？分解分解否唯
[解]A二三阶序子式分1010A直接分解三角阵积换行
B二三阶序子式分100B分解三角阵积
C二三阶序子式分151C够分解三角阵积分解唯
16试画出部分选元素三角分解法框图法解方程组
[解]
18设计算A行范数列范数2范数F范数
[解]
19求证：（a）（b）
（a）
（b）？
20设非奇异设量范数定义试证明量种范数
[证明]显然
量种范数
21设称正定定义试证明量种范数
[证明]A称正定
量种范数
22设求证
[证明]
夹逼性知
23证明：仅xy线性相关时
[证明]xy线性相关时妨设
令
存全零xy线性相关
24分描述中（画图）
[解]：原点中心顶点边长正方形
：原点圆心半径1圆
：原点中心顶点边长2正方形
25令（）意种范数P奇异实（复）矩阵定义范数证明
[证明]
26设意两种矩阵算子范数证明存常数切满足
[证明]范数等价性存常数
令求证
27设求证特征值相等求证
[证明]设特征值存非零量x两边A应特征量特征值
设特征值存非零量x两边应特征量特征值
28设A非奇异矩阵求证
[证明]证
29设A非奇异矩阵求证存估计
[证明]定理18知非奇异非奇异逆存
设
30矩阵第行数成证明时值
[证明]知时矩阵A非奇异
时
时
综述时时
31设A称正定矩阵分解中求证（a）（b）
[证明]知
（a）
（b）
32设计算A条件数
[解]知
33证明：果A正交阵
[证明]A正交阵
34设矩阵算子范数证明
[证明]
补充题1Gauss消法求解方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[解]（1）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（2）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（3）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（4）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（5）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
2列元Gauss消法求解列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[解]（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3矩阵直接三角分解法求解方程组：
[解]知求解
求解
4方根法（Cholesky分解）求解方程组：
（1） （2）
[解]系数矩阵称正定性令中L三角阵
（1）
求解
求解
（2）求解求解
5改进方根法（分解）求解方程组：
（1） （2）
[解]系数矩阵称正定性令中L三角阵D角阵
（1）
求解
求解
（2）求解求解
6追赶法求解三角方程组：
（1） （2） （3）
[解]追赶法增广矩阵进行初等变换
（1）回代：
（2）回代：
（3）回代：
7设求
[解]
8证明：1）2）
[证明]1）
2）
9分求列矩阵
（1） （2）
[解]（1）
解
（2）
解
10求矩阵
[解]
第八章 解线性方程组迭代法（217219）
寻求够保持型稀疏矩阵稀疏性效数值解法线性代数方程组数值解法非常重课题迭代法处需存储析数矩阵非零元素方程右端项型稀疏矩阵具存储量程序结构简单优点迭代格式收敛性收敛速度方程组系数矩阵密切相关迭代格式选择迭代收敛性成讨中心问题
[定义]迭代均收敛速度定义
[定义]迭代渐收敛速度定义
值注意渐收敛速度范数关时渐收敛速度简称收敛速度
1设方程组
（a）考察雅迭代法高斯赛德尔迭代法解方程组收敛性
（b）雅迭代法高斯赛德尔迭代法解方程组求时迭代终止
[解]（a）系数矩阵严格角占优矩阵知雅高斯赛德尔迭代法求解方程组均收敛[精确解]
（b）雅迭代法：
高斯赛德尔迭代法：
2设证明：级数收敛
[证明]显然级数值
3证明意选择A序列收敛零
[证明]设A意特征值x应特征量
证
4设方程组迭代公式
求证：述迭代公式产生迭代序列收敛充条件
[证明]令迭代公式雅迭代公式收敛充条件
证
5设方程组（a）（b）
试考察解方程组雅克迭代法高斯赛德尔迭代法收敛性
[解]（a）系数矩阵知
知
雅迭代法收敛
知
高斯塞德尔迭代法收敛
（b）系数矩阵知
知雅迭代法收敛
知
高斯塞德尔迭代法收敛
6求证充条件量x
[证明]量x次取x单位量组反显然成立
7设中A称正定问解方程组雅克迭代法否定收敛？试考察题5（a）方程组
[解]定显然5（a）中系数矩阵称正定矩阵雅迭代法收敛
8设方程组
（a）求解方程组雅克迭代法迭代矩阵谱半径
（b）求解方程组高斯赛德尔迭代法迭代矩阵谱半径
（c）考察解方程组雅克迭代法高斯赛德尔迭代法收敛性
[解]系数矩阵知
（a）
知
（b）
知
（c）A严格角占优矩阵两种迭代法收敛
9SOR方法解方程组（分取松弛子）
精确解求时迭代终止值确定迭代次数（略）
10SOR方法解方程组（取）求
时迭代终止
[解]系数矩阵知
[精确解]
11设方程组中A称正定阵迭代公式
试证明时述迭代法收敛（中）
[解]迭代矩阵知时迭代法收敛
12高斯赛德尔方程解记第i分量
（a）证明
（b）果中方程组精确解求证：中
（c）设A称二次型证明
（d）推出果A具正角元素非奇异矩阵高斯塞德尔方法意初始量收敛A正定阵
[解]（a）
中
求证
（b）
求证
中
（c）？
（d）高斯塞德尔方法意初始量收敛（c）知A称A具正角元素非奇异矩阵A正定阵
13设ABn阶矩阵A非奇异考虑解方程组中
（a）找出述迭代方法收敛充条件（）
（b）找出述迭代方法收敛充条件（）
较两方法收敛速度
[解]（a）设收敛充条件
（b）设
收敛充条件
迭代法（b）收敛速度迭代法（a）收敛速度2倍
14证明矩阵正定雅克迭代收敛
[证明]知
时矩阵A正定
知时雅迭代收敛
15设试说明A约矩阵
[解]取知
A约矩阵
16定迭代程中（）试证明：果C特征值迭代程迭代n次收敛方程组解
[证明]迭代次迭代停止
17画出SOR迭代法框图（略）
18设A约弱角优势阵求证解SOR方法收敛
[证明]设知
19设中A非奇异阵
（a）求证称正定阵
（b）求证
[证明]（a）知称阵意非零量x知正定阵称正定阵
（b）见章第31题
20设A严格角占优阵证明第二章（823）式
[证明]见定理6
补充题1Jacobi迭代法求解方程组初始量
[解] Jacobi迭代格式迭代求解：
2设迭代格式中试证明该迭代格式收敛取计算求解
[证明]设B特征值该迭代格式收敛取计算
3定方程组雅迭代法高斯塞德尔迭代法否收敛？
[解]系数矩阵知
（1）雅迭代矩阵
知雅迭代法发散
（2）高斯塞德尔迭代矩阵
知高斯塞德尔迭代法收敛
4定线性方程组雅迭代法高斯塞德尔迭代法否收敛？
[解]（1）雅迭代矩阵
知雅迭代法发散
（2）高斯塞德尔迭代矩阵
知高斯塞德尔迭代法收敛
5定线性方程组中雅迭代法高斯塞德尔迭代法否收敛？
[解]（1）雅迭代矩阵
知雅迭代法发散
（2）高斯塞德尔迭代矩阵
知高斯塞德尔迭代法收敛[解：显然A称矩阵a阶序子式零A称正定矩阵知高斯塞德尔迭代法收敛]
6设线性方程组系数矩阵试求雅迭代法收敛a取值范围
[解]时系数矩阵A奇异矩阵雅迭代法时雅迭代矩阵知时雅迭代法收敛
7设矩阵A非奇异试证明高斯塞德尔方法求解时收敛
[证明]知称阵意非零量x知正定阵称正定阵高斯塞德尔方法求解时收敛
第九章 矩阵特征值矩阵量计算（252253）
1幂法计算列矩阵特征值应特征量：
（a）（b）特征值3位数稳定时迭代终止
[解]计算公式
（a）精确特征值
（b）特征项式
2方阵T分块形式中方阵T称块三角阵果角块阶数超2称T准三角形形式记矩阵T特征值集合证明：
[证明]显然
3利反幂法求矩阵接6特征值应特征量
[解]特征项式
4求矩阵特征值4应特征量
[解]特征量
5略
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1设x相误差求误差
[解]设x似值相误差绝误差误差
相误差
2设x相误差2求相误差
[解]设x似值相误差绝误差误差
相误差
3列数四舍五入似数误差超位半单位试指出位效数字：
[解]5位效数字2位效数字4位效数字5位效数字2位效数字
4利公式（33）求列似值误差限中均第3题数
（1）
[解]
（2）
[解]
（3）
[解]
5计算球体积相误差限1问度量半径R允许相误差少？
[解]知
6设递推公式计算取（五位效数字）试问计算误差？
[解]令表示似值
知
7求方程两根少具四位效数字（）
[解]（五位效数字）知
（五位效数字）
两位效数字符合题意
8N充分时样求？
[解]N充分时两相数相减设
9正方形边长约100cm应样测量面积误差超1
[解]知求边长应满足
10设假定g准确t测量秒误差证明t增加时S绝误差增加相误差减少
[证明]
证
11序列满足递推关系（三位效数字）计算时误差？计算程稳定？
[解]设似值
知
计算程稳定
12计算取利列公式计算结果？
[解]
位效数字
没效数字
位效数字
没效数字
13求值开方六位函数表问求数时误差？改等价公式计算求数时误差？
[解]（六位效数字）
14试消元法解方程组假定三位数计算问结果否？
[解]精确解三位数运算时结果
15已知三角形面积中c弧度测量abc误差分证明面积误差满足
[解]
第二章 插值法（4042）
1根（22）定义范德蒙行列式令
证明n次项式根
[证明]求证
2时求二次插值项式
[解]
3出数值表线性插值二次插值计算似值
X
04
05
06
07
08
0916291
0693147
0510826
0357765
0223144
[解]取
取
4出函数表步长函数具5位效数字研究线性插值求似值时总误差界
[解]设插值节点应值函数表值题意知似线性插值项式总误差
5设求
[解]
令
极值点
显然
6设互异节点求证：
1）
2）
[解]1）左侧n阶拉格朗日项式求证成立
2）设左侧n阶拉格朗日项式令求证
7设求证
[解]见补充题3中取
8出等距节点函数表二次插值求似值截断误差超问函数表步长h应取少？
[解]题意知设x节点进行二次插值插值余项
令极值点
超
9求
[解]
10果m次项式记证明k阶差分次项式（l正整数）
[证明]k数学纳法证
11证明
[证明]
12证明
[证明]
证
13证明：
[证明]
14n实根证明
[证明]题意设
差商性质13知：
证
15证明n阶均差列性质：
1）
2）
[证明]1）
2）
16求
[解]
17证明两点三次埃尔米特插值余项
求出分段三次埃尔米特插值误差限
[解]见P30P33误差限
18XXXXXXXXXX．
19求次数高4次项式满足
[解]设：
解
20设分n等分试构造台阶形零次分段插值函数证明时致收敛
[解]令
21设取等距节点求分段线性插值函数计算节点中点处值估计误差
[解]题意知时
22求分段线性插值函数估计误差
[解]设划分长度h区间时
误差
23求分段埃尔米特插值估计误差
[解]设划分长度h区间时
误差
24定数表：
025
030
039
045
053
05000
05477
06245
06708
07280
试求三次样条函数满足条件：
1）
2）
[解]（810）式知
（811）式知
1）矩阵形式：解
2）然边界条件
矩阵形式：解
25三次样条函数证明
1）
2）式中插值节点
[解]1）
2）题意知
补充题：1令写出次插值项式估计插值余项
[解]知
余项
2设试利拉格朗日插值余项定理写出插值节点三次插值项式
[解]插值余项定理
3设二阶连续导数求证：
[证]ab插值节点线性插值项式利插值项式余项定理：
4设求差商
[解]
5定数表：
1
2
4
6
7
4
1
0
1
1
求4次牛顿插值项式写出插值余项
[解]
阶差商
二阶差商
三阶差商
四阶差商
1
4
2
1
3
4
0
6
1
7
1
0
差商表4次牛顿插值项式：
插值余项
6表定函数：
0
1
2
3
4
3
6
11
18
27
试计算出列表函数差分表利牛顿前插值公式出插值项式
[解]构造差分表：
0
3
3
2
0
0
1
6
5
2
0
2
11
7
2
3
18
9
4
27
差分表插值项式：
第三章 函数逼计算（8082）
1（a）利区间变换推出区间伯恩斯坦项式
（b）求1次3次伯恩斯坦项式画出图形相应马克劳林级数部分误差做出较
[解]（a）令伯恩斯坦项式
中
（b）令伯恩斯坦项式
中
2求证：（a）时
（b）时
[证明]（a）知
证
（b）时
3次数超6项式中求佳致逼项式
[解]知偏差1交错点切雪夫交错点组点插值节点拉格朗日项式
4假设连续求零次佳致逼项式
[解]令具偏差零次佳逼次项式
5选择常数a达极问解否唯？
[解]奇函数定理7知时时偏差
6求佳次逼项式估计误差
[解]佳次逼项式
7求佳次逼项式
[解]佳次逼项式
8选取r零偏差？r否唯？
[解]知零偏差时
解：定理7知零偏差二次项式
9设求三次佳逼项式
[解]设求三次项式定理7知
10令求
[解]知令
11试证带权正交项式？
12利插值极化求三次似佳逼项式
[解]题意知插值节点
求
13设插值极化似佳逼项式界证明存常数
[证明]题意知取
求证
14设试降低3次项式估计误差
[解]
误差
15利幂级数项数节约求3次逼项式误差超0005
[解]取前三项
误差
3次逼项式
时误差
16连续奇（偶）函数证明n奇数偶数佳逼项式奇（偶）函数
[解]佳逼项式切雪夫项式切雪夫项式性质4
17求ab1题6题次逼项式误差作较
[解]
解
18定义
（a）（b）
问否构成积？
[解]（a）反成立构成积
（b）构成积
19许瓦兹等式（45）估计界积分中值定理估计积分界较结果
[解]
20选择a列积分取值：
[解]
时时交点
理知时时时积分取
21设分求元素佳方逼较结果
[解]知
解
知
解
22求佳方逼
[解]
知解
佳方逼项式
23第二类切雪夫项式证明递推关系
[证明]令
24勒德项式切雪夫项式展开求三次佳方逼项式画出误差图形计算均方误差
[解]切雪夫项式展开中
勒德项式展开
中
三次佳逼项式
25展成切雪夫级数
[解]切雪夫项式展开中
26二法求形验公式列数相拟合求均方误差
19
25
31
38
44
190
323
490
733
978
[解]
法方程解
均方误差
27观测物体直线运动出数：
时间t（秒）
0
09
19
30
39
50
距离s（米）
0
10
30
50
80
110
[解]设直线运动二次项式
法方程解
直线运动
2831略
补充题：1现测通某电阻R电流I两端电压U表：
I
……
U
……
试二原理确定电阻R
[解]电流电阻电压间满足关系：应二原理求R达求导：令电阻R
2某长度测量n次n似值通常取均值作求长度请说明理
[解]令求x达求导：令说明取均值
二意义误差达
3函数表求公式拟合数试确定拟合公式中ab
3
2
1
0
1
2
3
176
042
120
134
143
225
438
[解]取
法方程
解
4某低温程中函数y赖温度实验数
1
2
3
4
08
15
18
20
已知验公式形式二法求出ab
[解]取
法方程
解
5单原子波函数形式试二法决定参数ab已知数：
X
0
1
2
4
y
2010
1210
0740
0450
[解]两边取数令拟合函数变数转化
X
0
1
2
4
y
06981
01906
03011
07985
取
法方程
解拟合函数原拟合函数
第四章 数值积分数值微分（107）
1确定列求积公式中定参数代数精度量高指明构造出求积公式具代数精度
1）
[解]分取代入：
解
时
时
求积公式高具3次代数精度
2）
[解]分取代入：
解
时
时
求积公式高具3次代数精度
3）
[解]分取代入：
解
时
求积公式高具2次代数精度
4）
[解]分取代入：时
时求积公式高具3次代数精度
2分梯形公式辛普森公式计算列积分：
（1）
[解]
精确值
2）（略）
3）
[解]（略）精确值
4）（略）
3直接验证柯特斯公式（24）具5次代数精度
[证明]显然节点分取代入：
求积公式高具5次代数精度
4辛普森公式求积分估计误差
[解]
5推导列三种矩形求积公式：
[解]微分中值定理：
微分中值定理：
微分中值定理：
6证明梯形公式（29）辛普森公式（211）时收敛积分
[证明]
求证
7复化梯形公式求积分问积分区间分成少等分保证误差超（设计舍入误差）？
[解]知令
8龙贝格方法计算积分求误差超
[解]（参见95页）
9卫星轨道椭圆椭圆周长计算公式里a椭圆半长轴c球中心轨道中心（椭圆中心）距离记h点距离H远点距离公里球半径国第颗造卫星点距离公里远点距离2384公里试求卫星轨道周长
[解]
10证明等式试值外推算法求似值
[证明]
11列方法计算积分较结果
1）龙贝格方法（2）三点五点高斯公式
3）积分区间分四等分复化两点高斯公式
[解]
12三点公式五点公式求12处导数值估计误差值表出：
X
10
11
12
13
14
02500
02268
02066
01890
01736
[解]三点公式
知
误差
误差
误差
五点公式知
1计算积分两点求积公式
[解]求积公式代数精度超求积公式求积系数作4定系数次取积函数代入求积公式方程组：
解求积公式
2直接验证梯形公式中矩形公式具次代数精度辛普生公式具三次代数精度
[证明]（1）次代入梯形公式中：
梯形公式具次代数精度
（2）次代入中矩形公式中：
中矩形公式具次代数精度
（3）次代入辛普生公式中：
辛普生公式具三次代数精度
3求似求积公式代数精度
[解] 次代入求积公式中：
求积公式具三次代数精度
4求三节点常数C求积公式具高代数精度
[解] 次代入求积公式中：
解
时求积公式具3次代数精度令代入求积公式中：
求积公式代数精度3次
5三节点（）Gauss求积公式计算积分
[解]三节点Gauss求积公式
6试确定常数ABC数值积分公式Gauss型公式
[解]数值积分公式Gauss型公式具次代数精度次代入应精确成立解
7试确定常数ABC数值求积公式具高代数精度时代数精度少？否Gauss型公式？
[解]次代入求积公式：
解求积公式令代入：
求积公式具3次代数精度Gauss型公式
第五章 常微分方程数值解法（141142）
1初值问题分导出欧拉方法改进欧拉方法似解表达式准确解相较
[解]欧拉公式知
知误差
改进欧拉公式知
知误差
2改进欧拉方法求解初值问题取步长计算准确解相较
[解]改进欧拉公式知
3改进欧拉方法解取步长计算准确解相较
[解]改进欧拉公式知
4梯形方法解初值问题证明似解证明时收敛原初值问题准确解
[解]梯形公式知知
5利欧拉方法计算积分点似值
[解]令令利欧拉方法：
：
6取四阶典龙格库塔方法求解列初值问题：
1）
[解]四阶典龙格库塔方法知
知：
精确解
2）
精确解
7证明意参数t列龙格库塔公式二阶
[证明]
较系数知龙格库塔公式二阶精度
8证明列两种龙格库塔方法三阶：
（1）（2）
[证明]三阶龙格库塔公式中
（1）取方法满足具三阶精度
（2）取方法满足具三阶精度
9分二阶显式亚姆斯方法二阶隐式亚姆斯方法解列问题：
取计算准确解
相较
[解]知二阶显式亚姆斯方法时
二阶隐式亚姆斯方法时
精确解
10证明解列差分公式二阶求出截断误差首项
[证明]
较系数差分公式具二阶精度截断误差首项
11导出具列形式三阶方法：
[解]
公式具三阶精度必须：
12列方程化阶方程组：
1）
[解]令令初值问题[精确解]
2）
[解]令
3）
[解]令初值
13取差分法解边值问题
[解]显然令代入：
知
解
14方程建立差分公式试公式求解初值问题验证计算解恒等准确解
[解]差分格式建立方程组
15取差分方法解边值问题
[解]显然令代入：
方程组：
解
第六章 方程求根（163164）
阅读材料：般n次项式方程称n次代数方程3次4次方程然数学手册查求解公式太复杂5次方程没现成求解公式代数方程说简单非线性方程然算出根总知道n次方程般具n根
般实际问题结方程常常含三角函数指数函数数函数等超越函数样方程做超越方程求解超越方程仅没般公式方程身连否根根难判断
超越方程次代数方程起统称非线性方程记作中单变量初等函数项式函数超越函数等形式者组合形式
谓方程求根寻找成立样做方程根（解）做函数零点存正整数m称m重根时称单根时满足
般非线性方程直接方法精确解困难例非线性方程求解研究方程定初值条件利计算机运算方程真解似值x意定精度满足时称x关精确
具体问题首先函数加初步研究判断出方程根数概位置较选择根区间果选取方程根逐分离找出相应根区间
二分法特点单根时具收敛快特点然方程重根复根情况二分法公式时失效
1二分法求方程正根求误差
[解]令根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
取
时精确解距离
2例求根法求区间根直似根满足精度终止计算？
3求方程附根设方程改写成列等价形式建立相应迭代公式：
1）迭代公式2）迭代公式
3）迭代公式4）迭代公式
试分析种迭代公式收敛性选取种公式求出具四位效数字似值
[解]1）设迭代方法局部收敛
2）设
迭代方法局部收敛
3）设迭代方法发散
4）设
迭代方法发散
4较求根三位数需计算量：
1）区间二分法 2）迭代法取初值
[解]1）二分法令
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
根区间
二分10次
2）迭代法
迭代4次
5定函数设切x存证明范围意定数迭代程均收敛根
[证明]知令迭代格式收敛
6已知区间根时试问化适迭代格式？
化适迭代格式求（弧度）附根
[解]两边取反函数迭代公式收敛
令迭代公式改变时迭代格式收敛取
7列方法求附根根准确值求计算结果准确四位效数字
1）牛顿法2）弦截法取3）抛物线法取
[解]1）
迭代停止
2）
迭代停止
3）中
略
8分二分法牛顿法求正根
[解]参见第6题
9研究求牛顿公式证明切序列递减
[证明]显然序列递减
10牛顿公式证明
收敛里根？
11试列函数讨牛顿法收敛性收敛速度
1）2）
[解]1）知牛顿法收敛
2）知牛顿法阶收敛
12应牛顿法方程导出求立方根迭代公式讨收敛性
[解]令
13应牛顿法方程导出求迭代公式求值
[解]令余见例8
14应牛顿法方程分导出求迭代公式求
[解]
15证明迭代公式计算三阶方法假定初值充分求
[解]
补充题1判断列方程实根指出根区间：
1） 2）
[解]1）设时减函数时增函数知三根根区间分
2）原方程改写作函数图图知两函数两交点横坐标位区间方程两根
2证明迭代格式产生序列均收敛
[证明]设
时迭代格式产生序列收敛方程唯正根
3利适迭代格式证明
[证明]考虑迭代格式……
令时
迭代格式产生序列收敛方程唯根
4设a正整数试建立求牛顿迭代公式求迭代公式中含法运算考虑公式收敛性
[解]考虑方程方程根牛顿迭代公式迭代函数中含法运算
递推
解
时方法收敛
第七章 解线性方程组直接方法（198201部分）
2（a）设A称阵高斯消法步A约化证明称矩阵
（b）高斯消法解称方程组：
[证明]（a）中元素满足A称阵满足称矩阵
（b）略
4设An阶非奇异矩阵分解式中L单位三角阵U三角阵求证A序子式均零
[证明]LU分块中k阶单位三角阵k阶三角阵Ak阶序子式显然非奇异
7设A称正定矩阵高斯消法步A约化中
证明：（1）A角元素（2）称正定矩阵
（3）（4）A绝值元素必角线
（5）
（6）（2）（3）（5）推出果k
[证明]（1）次取A称正定矩阵
（2）中元素满足A称正定矩阵满足称矩阵
（3）
（4）略
12高斯约方法求A逆阵：
[解]
13追赶法解三角方程组中
[解]
14改进方根法解方程组
[解]
15列矩阵否分解（中L单位三角阵U三角阵）？分解分解否唯
[解]A二三阶序子式分1010A直接分解三角阵积换行
B二三阶序子式分100B分解三角阵积
C二三阶序子式分151C够分解三角阵积分解唯
16试画出部分选元素三角分解法框图法解方程组
[解]
18设计算A行范数列范数2范数F范数
[解]
19求证：（a）（b）
（a）
（b）？
20设非奇异设量范数定义试证明量种范数
[证明]显然
量种范数
21设称正定定义试证明量种范数
[证明]A称正定
量种范数
22设求证
[证明]
夹逼性知
23证明：仅xy线性相关时
[证明]xy线性相关时妨设
令
存全零xy线性相关
24分描述中（画图）
[解]：原点中心顶点边长正方形
：原点圆心半径1圆
：原点中心顶点边长2正方形
25令（）意种范数P奇异实（复）矩阵定义范数证明
[证明]
26设意两种矩阵算子范数证明存常数切满足
[证明]范数等价性存常数
令求证
27设求证特征值相等求证
[证明]设特征值存非零量x两边A应特征量特征值
设特征值存非零量x两边应特征量特征值
28设A非奇异矩阵求证
[证明]证
29设A非奇异矩阵求证存估计
[证明]定理18知非奇异非奇异逆存
设
30矩阵第行数成证明时值
[证明]知时矩阵A非奇异
时
时
综述时时
31设A称正定矩阵分解中求证（a）（b）
[证明]知
（a）
（b）
32设计算A条件数
[解]知
33证明：果A正交阵
[证明]A正交阵
34设矩阵算子范数证明
[证明]
补充题1Gauss消法求解方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[解]（1）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（2）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（3）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（4）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
（5）系数矩阵增广矩阵进行初等行变换
2列元Gauss消法求解列方程组：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[解]（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3矩阵直接三角分解法求解方程组：
[解]知求解
求解
4方根法（Cholesky分解）求解方程组：
（1） （2）
[解]系数矩阵称正定性令中L三角阵
（1）
求解
求解
（2）求解求解
5改进方根法（分解）求解方程组：
（1） （2）
[解]系数矩阵称正定性令中L三角阵D角阵
（1）
求解
求解
（2）求解求解
6追赶法求解三角方程组：
（1） （2） （3）
[解]追赶法增广矩阵进行初等变换
（1）回代：
（2）回代：
（3）回代：
7设求
[解]
8证明：1）2）
[证明]1）
2）
9分求列矩阵
（1） （2）
[解]（1）
解
（2）
解
10求矩阵
[解]
第八章 解线性方程组迭代法（217219）
寻求够保持型稀疏矩阵稀疏性效数值解法线性代数方程组数值解法非常重课题迭代法处需存储析数矩阵非零元素方程右端项型稀疏矩阵具存储量程序结构简单优点迭代格式收敛性收敛速度方程组系数矩阵密切相关迭代格式选择迭代收敛性成讨中心问题
[定义]迭代均收敛速度定义
[定义]迭代渐收敛速度定义
值注意渐收敛速度范数关时渐收敛速度简称收敛速度
1设方程组
（a）考察雅迭代法高斯赛德尔迭代法解方程组收敛性
（b）雅迭代法高斯赛德尔迭代法解方程组求时迭代终止
[解]（a）系数矩阵严格角占优矩阵知雅高斯赛德尔迭代法求解方程组均收敛[精确解]
（b）雅迭代法：
高斯赛德尔迭代法：
2设证明：级数收敛
[证明]显然级数值
3证明意选择A序列收敛零
[证明]设A意特征值x应特征量
证
4设方程组迭代公式
求证：述迭代公式产生迭代序列收敛充条件
[证明]令迭代公式雅迭代公式收敛充条件
证
5设方程组（a）（b）
试考察解方程组雅克迭代法高斯赛德尔迭代法收敛性
[解]（a）系数矩阵知
知
雅迭代法收敛
知
高斯塞德尔迭代法收敛
（b）系数矩阵知
知雅迭代法收敛
知
高斯塞德尔迭代法收敛
6求证充条件量x
[证明]量x次取x单位量组反显然成立
7设中A称正定问解方程组雅克迭代法否定收敛？试考察题5（a）方程组
[解]定显然5（a）中系数矩阵称正定矩阵雅迭代法收敛
8设方程组
（a）求解方程组雅克迭代法迭代矩阵谱半径
（b）求解方程组高斯赛德尔迭代法迭代矩阵谱半径
（c）考察解方程组雅克迭代法高斯赛德尔迭代法收敛性
[解]系数矩阵知
（a）
知
（b）
知
（c）A严格角占优矩阵两种迭代法收敛
9SOR方法解方程组（分取松弛子）
精确解求时迭代终止值确定迭代次数（略）
10SOR方法解方程组（取）求
时迭代终止
[解]系数矩阵知
[精确解]
11设方程组中A称正定阵迭代公式
试证明时述迭代法收敛（中）
[解]迭代矩阵知时迭代法收敛
12高斯赛德尔方程解记第i分量
（a）证明
（b）果中方程组精确解求证：中
（c）设A称二次型证明
（d）推出果A具正角元素非奇异矩阵高斯塞德尔方法意初始量收敛A正定阵
[解]（a）
中
求证
（b）
求证
中
（c）？
（d）高斯塞德尔方法意初始量收敛（c）知A称A具正角元素非奇异矩阵A正定阵
13设ABn阶矩阵A非奇异考虑解方程组中
（a）找出述迭代方法收敛充条件（）
（b）找出述迭代方法收敛充条件（）
较两方法收敛速度
[解]（a）设收敛充条件
（b）设
收敛充条件
迭代法（b）收敛速度迭代法（a）收敛速度2倍
14证明矩阵正定雅克迭代收敛
[证明]知
时矩阵A正定
知时雅迭代收敛
15设试说明A约矩阵
[解]取知
A约矩阵
16定迭代程中（）试证明：果C特征值迭代程迭代n次收敛方程组解
[证明]迭代次迭代停止
17画出SOR迭代法框图（略）
18设A约弱角优势阵求证解SOR方法收敛
[证明]设知
19设中A非奇异阵
（a）求证称正定阵
（b）求证
[证明]（a）知称阵意非零量x知正定阵称正定阵
（b）见章第31题
20设A严格角占优阵证明第二章（823）式
[证明]见定理6
补充题1Jacobi迭代法求解方程组初始量
[解] Jacobi迭代格式迭代求解：
2设迭代格式中试证明该迭代格式收敛取计算求解
[证明]设B特征值该迭代格式收敛取计算
3定方程组雅迭代法高斯塞德尔迭代法否收敛？
[解]系数矩阵知
（1）雅迭代矩阵
知雅迭代法发散
（2）高斯塞德尔迭代矩阵
知高斯塞德尔迭代法收敛
4定线性方程组雅迭代法高斯塞德尔迭代法否收敛？
[解]（1）雅迭代矩阵
知雅迭代法发散
（2）高斯塞德尔迭代矩阵
知高斯塞德尔迭代法收敛
5定线性方程组中雅迭代法高斯塞德尔迭代法否收敛？
[解]（1）雅迭代矩阵
知雅迭代法发散
（2）高斯塞德尔迭代矩阵
知高斯塞德尔迭代法收敛[解：显然A称矩阵a阶序子式零A称正定矩阵知高斯塞德尔迭代法收敛]
6设线性方程组系数矩阵试求雅迭代法收敛a取值范围
[解]时系数矩阵A奇异矩阵雅迭代法时雅迭代矩阵知时雅迭代法收敛
7设矩阵A非奇异试证明高斯塞德尔方法求解时收敛
[证明]知称阵意非零量x知正定阵称正定阵高斯塞德尔方法求解时收敛
第九章 矩阵特征值矩阵量计算（252253）
1幂法计算列矩阵特征值应特征量：
（a）（b）特征值3位数稳定时迭代终止
[解]计算公式
（a）精确特征值
（b）特征项式
2方阵T分块形式中方阵T称块三角阵果角块阶数超2称T准三角形形式记矩阵T特征值集合证明：
[证明]显然
3利反幂法求矩阵接6特征值应特征量
[解]特征项式
4求矩阵特征值4应特征量
[解]特征量
5略
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