2014·新课标全国卷Ⅱ(理科数学)
1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{012}N＝{x|x2－3x＋2≤0}M∩N＝( )
A．{1} B．{2} C．{01} D．{12}
1．D [解析] 集合N＝[12]M∩N＝{12}．
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1z2复面应点关虚轴称z1＝2＋iz1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
2．A [解析] 题知z2＝－2＋iz1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设量ab满足|a＋b|＝|a－b|＝a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．A [解析] 已知|a＋b|2＝10|a－b|2＝6两式相减4a·b＝4a·b＝1
4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC面积AB＝1BC＝AC＝( )
A．5 B C．2 D．1
4．B [解析] 根三角形面积公式BA·BC·sin B＝×1××sin B＝sin B＝中C5．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某区空气质量监测资料表明天空气质量优良概率075连续两天优良概率06已知某天空气质量优良天空气质量优良概率( )
A．08 B．075 C．06 D．045
5．A [解析] 设第天空气质量优良事件A第二天空气质量优良事件BP(A)＝075P(AB)＝06题知求事件A发生条件事件B发生概率根条件概率公式P(B|A)＝＝＝08
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图11网格纸正方形格边长1(表示1 cm)图中粗线画出某零件三视图该零件底面半径3 cm高6 cm圆柱体毛坯切削切削掉部分体积原毛坯体积值( )
图11
A B C D
6．C [解析] 该零件两圆柱组成组合体体积π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)原毛坯体积π×32×6＝54π(cm3)切削掉部分体积54π－34π＝20π(cm3)求值＝
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行图12示程序框图果输入xt均2输出S＝( )
图12
A．4 B．5 C．6 D．7
7．D [解析] 逐次计算M＝2S＝5k＝2M＝2S＝7k＝3时输出S＝7
8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)点(00)处切线方程y＝2xa＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．D [解析] y′＝a－根已知x＝0时y′＝2代入解a＝3
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设xy满足约束条件z＝2x－y值( )
A．10 B．8 C．3 D．2
9．B [解析] 已知等式组表示面区域图中阴影部分示根目标函数意义知目标函数点A(52)处取值目标函数值2×5－2＝8
10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F抛物线C：y2＝3x焦点F倾斜角30°直线交CAB两点O坐标原点△OAB面积( )
A B C D
10．D [解析] 抛物线焦点F点F倾斜角30°直线方程y＝x＝y＋代入抛物线方程y2－3 y－＝0设A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝3 y1y2＝－S△OAB＝|OF||y1－y2|＝××＝
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABCA1B1C1中∠BCA＝90°MN分A1B1A1C1中点BC＝CA＝CC1BMAN成角余弦值( )
A B C D
11．C [解析] 图EBC中点．MN分A1B1A1C1中点MN∥B1C1MN＝B1C1MN綊BE四边形MNEB行四边形EN綊BM直线ANNE成角直线BMAN成角．设BC＝1B1M＝B1A1＝MB＝＝＝NEAN＝AE＝
△ANE中根余弦定理cos ∠ANE＝＝
12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝sin存f(x)极值点x0满足x＋[f(x0)]2＜m2m取值范围( )
A．(－∞－6)∪(6＋∞)
B．(－∞－4)∪(4＋∞)
C．(－∞－2)∪(2＋∞)
D．(－∞－1)∪(1＋∞)
12．C [解析] 函数f(x)极值点满足＝＋kπx＝mk∈Z极值±问题等价存k0满足等式m2＋34解m>2m<－2m取值范围(－∞－2)∪(2＋∞)．
13． [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x＋a)10展开式中x7系数15a＝________．(数字填写答案)
13 [解析] 展开式中x7系数Ca3＝15
a3＝解a＝
14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)值________．
14．1 [解析] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x值1
15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)[0＋∞)单调递减f(2)＝0f(x－1)＞0x取值范围________．
15．(－13) [解析] 根偶函数性质易知f(x)>0解集(－22)f(x－1)>0－216．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x01)圆O：x2＋y2＝1存点N∠OMN＝45°x0取值范围________．
16．[－11] [解析] △OMN中OM＝≥1＝ON设∠ONM＝α45°≤α<135°根正弦定理＝＝sin α∈[1]0≤x≤1－1≤x0≤1符合条件x0取值范围[－11]．
17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1an＋1＝3an＋1
(1)证明等数列求{an}通项公式
(2)证明＋＋…＋＜
17．解：(1)an＋1＝3an＋1an＋1＋＝3
a1＋＝首项公3等数列an＋＝数列{an}通项公式an＝
(2)证明：(1)知＝
n≥1时3n－1≥2×3n－1
≤＝≤
＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<
＋＋…＋<
18．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图13四棱锥PABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDEPD中点．
(1)证明：PB∥面AEC
(2)设二面角DAEC60°AP＝1AD＝求三棱锥EACD体积．
图13
18．解：(1)证明：连接BD交AC点O连接EO
ABCD矩形OBD中点．
EPD中点EO∥PB
EO⊂面AECPB⊄面AEC
PB∥面AEC
(2)PA⊥面ABCDABCD矩形
ABADAP两两垂直．
图A坐标原点ADAP方x轴y轴z轴正方||单位长建立空间直角坐标系
AxyzDE＝
设B(m00)(m>0)C(m0)＝(m0)．
设n1＝(xyz)面ACE法量
取n1＝
n2＝(100)面DAE法量
题设易知|cos〈n1n2〉|＝
＝解m＝
EPD中点三棱锥EACD高三棱锥EACD体积V＝××××＝
19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某区2007年2013年农村居民家庭均纯收入y(单位：千元)数表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
均纯收入y
29
33
36
44
48
52
59
(1)求y关t线性回方程
(2)利(1)中回方程分析2007年2013年该区农村居民家庭均纯收入变化情况预测该区2015年农村居民家庭均纯收入．
附：回直线斜率截距二估计公式分：
＝＝－
19．解：(1)数计算＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4＝(29＋33＋36＋44＋48＋52＋59)＝43
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－14)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－07)＋0×01＋1×05＋2×09＋3×16＝14
＝＝＝05
＝－＝43－05×4＝23
求回方程＝05t＋23
(2)(1)知＝05>02007年2013年该区农村居民家庭均纯收入逐年增加均年增加05千元．
2015年年份代号t＝9代入(1)中回方程＝05×9＋23＝68
预测该区2015年农村居民家庭均纯收入68千元．
20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1F2分椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点MC点MF2x轴垂直直线MF1C交点N
(1)直线MN斜率求C离心率
(2)直线MNy轴截距2|MN|＝
5|F1N|求ab
20．解：(1)根c＝题设知M2b2＝3ac
b2＝a2－c2代入2b2＝3ac
解＝＝－2(舍)．
C离心率
(2)题意知原点OF1F2中点MF2∥y轴直线MF1y轴交点D(02)线段MF1中点＝4b2＝4a①
|MN|＝5|F1N||DF1|＝2|F1N|
设N(x1y1)题意知y1<0
代入C方程＋＝1②
①c＝代入②＋＝1
解a＝7b2＝4a＝28a＝7b＝2
21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex－e－x－2x
(1)讨f(x)单调性
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)x＞0时g(x)＞0求b值
(3)已知1414 2＜＜1414 3估计ln 2似值(精确0001)．
21．解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0仅x＝0时等号成立
f(x)(－∞＋∞)单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
(i)b≤2时g′(x)≥0等号仅x＝0时成立g(x)(－∞＋∞)单调递增．g(0)＝0意x>0g(x)>0
(ii)b>2时x满足2综b值2
(3)(2)知g(ln)＝－2b＋2(2b－1)ln 2
b＝2时g(ln)＝－4＋6ln 2>0ln 2>>0692 8
b＝＋1时ln(b－1＋)＝ln
g(ln)＝－－2＋(3＋2)ln 2<0
ln 2<<0693 4
ln 2似值0693
22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：证明选讲
图14P⊙O外点PA切线A切点割线PBC⊙O相交点BCPC＝2PADPC中点AD延长线交⊙O点E证明：
(1)BE＝EC
(2)AD·DE＝2PB2
图14
22．证明：(1)连接ABAC题设知PA＝PD
∠PAD＝∠PDA
∠PDA＝∠DAC＋∠DCA
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB
∠DCA＝∠PAB
∠DAC＝∠BADBE＝EC
BE＝EC
(2)切割线定理PA2＝PB·PC
PA＝PD＝DCDC＝2PBBD＝PB
相交弦定理AD·DE＝BD·DC
AD·DE＝2PB2
23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系参数方程
直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系半圆C极坐标方程ρ＝2cos θθ∈
(1)求C参数方程
(2)设点DCCD处切线直线l：y＝x＋2垂直根(1)中参数方程确定D坐标．
23．解：(1)C普通方程(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
C参数方程
(t参数0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos tsin t)．(1)知CG(10)圆心1半径半圆．C点
D处切线l垂直直线GDl斜率相tan t＝t＝
D直角坐标
24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2
(2)f(3)＜5求a取值范围．
24．解：(1)证明：a>0f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2f(x)≥2
(2)f(3)＝＋|3－a|
a>3时f(3)＝a＋
f(3)<530综a取值范围
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1．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{012}N＝{x|x2－3x＋2≤0}M∩N＝( )
A．{1} B．{2} C．{01} D．{12}
1．D [解析] 集合N＝[12]M∩N＝{12}．
2．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设复数z1z2复面应点关虚轴称z1＝2＋iz1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
2．A [解析] 题知z2＝－2＋iz1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5
3．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设量ab满足|a＋b|＝|a－b|＝a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
3．A [解析] 已知|a＋b|2＝10|a－b|2＝6两式相减4a·b＝4a·b＝1
4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC面积AB＝1BC＝AC＝( )
A．5 B C．2 D．1
4．B [解析] 根三角形面积公式BA·BC·sin B＝×1××sin B＝sin B＝中C
A．08 B．075 C．06 D．045
5．A [解析] 设第天空气质量优良事件A第二天空气质量优良事件BP(A)＝075P(AB)＝06题知求事件A发生条件事件B发生概率根条件概率公式P(B|A)＝＝＝08
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图11网格纸正方形格边长1(表示1 cm)图中粗线画出某零件三视图该零件底面半径3 cm高6 cm圆柱体毛坯切削切削掉部分体积原毛坯体积值( )
图11
A B C D
6．C [解析] 该零件两圆柱组成组合体体积π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)原毛坯体积π×32×6＝54π(cm3)切削掉部分体积54π－34π＝20π(cm3)求值＝
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 执行图12示程序框图果输入xt均2输出S＝( )
图12
A．4 B．5 C．6 D．7
7．D [解析] 逐次计算M＝2S＝5k＝2M＝2S＝7k＝3时输出S＝7
8．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y＝ax－ln(x＋1)点(00)处切线方程y＝2xa＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．D [解析] y′＝a－根已知x＝0时y′＝2代入解a＝3
9．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设xy满足约束条件z＝2x－y值( )
A．10 B．8 C．3 D．2
9．B [解析] 已知等式组表示面区域图中阴影部分示根目标函数意义知目标函数点A(52)处取值目标函数值2×5－2＝8
10．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F抛物线C：y2＝3x焦点F倾斜角30°直线交CAB两点O坐标原点△OAB面积( )
A B C D
10．D [解析] 抛物线焦点F点F倾斜角30°直线方程y＝x＝y＋代入抛物线方程y2－3 y－＝0设A(x1y1)B(x2y2)y1＋y2＝3 y1y2＝－S△OAB＝|OF||y1－y2|＝××＝
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABCA1B1C1中∠BCA＝90°MN分A1B1A1C1中点BC＝CA＝CC1BMAN成角余弦值( )
A B C D
11．C [解析] 图EBC中点．MN分A1B1A1C1中点MN∥B1C1MN＝B1C1MN綊BE四边形MNEB行四边形EN綊BM直线ANNE成角直线BMAN成角．设BC＝1B1M＝B1A1＝MB＝＝＝NEAN＝AE＝
△ANE中根余弦定理cos ∠ANE＝＝
12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝sin存f(x)极值点x0满足x＋[f(x0)]2＜m2m取值范围( )
A．(－∞－6)∪(6＋∞)
B．(－∞－4)∪(4＋∞)
C．(－∞－2)∪(2＋∞)
D．(－∞－1)∪(1＋∞)
12．C [解析] 函数f(x)极值点满足＝＋kπx＝mk∈Z极值±问题等价存k0满足等式m2＋3
13． [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x＋a)10展开式中x7系数15a＝________．(数字填写答案)
13 [解析] 展开式中x7系数Ca3＝15
a3＝解a＝
14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)值________．
14．1 [解析] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ＝sin x值1
15．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f(x)[0＋∞)单调递减f(2)＝0f(x－1)＞0x取值范围________．
15．(－13) [解析] 根偶函数性质易知f(x)>0解集(－22)f(x－1)>0－2
16．[－11] [解析] △OMN中OM＝≥1＝ON设∠ONM＝α45°≤α<135°根正弦定理＝＝sin α∈[1]0≤x≤1－1≤x0≤1符合条件x0取值范围[－11]．
17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1an＋1＝3an＋1
(1)证明等数列求{an}通项公式
(2)证明＋＋…＋＜
17．解：(1)an＋1＝3an＋1an＋1＋＝3
a1＋＝首项公3等数列an＋＝数列{an}通项公式an＝
(2)证明：(1)知＝
n≥1时3n－1≥2×3n－1
≤＝≤
＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<
＋＋…＋<
18．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 图13四棱锥PABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDEPD中点．
(1)证明：PB∥面AEC
(2)设二面角DAEC60°AP＝1AD＝求三棱锥EACD体积．
图13
18．解：(1)证明：连接BD交AC点O连接EO
ABCD矩形OBD中点．
EPD中点EO∥PB
EO⊂面AECPB⊄面AEC
PB∥面AEC
(2)PA⊥面ABCDABCD矩形
ABADAP两两垂直．
图A坐标原点ADAP方x轴y轴z轴正方||单位长建立空间直角坐标系
AxyzDE＝
设B(m00)(m>0)C(m0)＝(m0)．
设n1＝(xyz)面ACE法量
取n1＝
n2＝(100)面DAE法量
题设易知|cos〈n1n2〉|＝
＝解m＝
EPD中点三棱锥EACD高三棱锥EACD体积V＝××××＝
19．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 某区2007年2013年农村居民家庭均纯收入y(单位：千元)数表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
均纯收入y
29
33
36
44
48
52
59
(1)求y关t线性回方程
(2)利(1)中回方程分析2007年2013年该区农村居民家庭均纯收入变化情况预测该区2015年农村居民家庭均纯收入．
附：回直线斜率截距二估计公式分：
＝＝－
19．解：(1)数计算＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4＝(29＋33＋36＋44＋48＋52＋59)＝43
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－14)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－07)＋0×01＋1×05＋2×09＋3×16＝14
＝＝＝05
＝－＝43－05×4＝23
求回方程＝05t＋23
(2)(1)知＝05>02007年2013年该区农村居民家庭均纯收入逐年增加均年增加05千元．
2015年年份代号t＝9代入(1)中回方程＝05×9＋23＝68
预测该区2015年农村居民家庭均纯收入68千元．
20．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设F1F2分椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)左右焦点MC点MF2x轴垂直直线MF1C交点N
(1)直线MN斜率求C离心率
(2)直线MNy轴截距2|MN|＝
5|F1N|求ab
20．解：(1)根c＝题设知M2b2＝3ac
b2＝a2－c2代入2b2＝3ac
解＝＝－2(舍)．
C离心率
(2)题意知原点OF1F2中点MF2∥y轴直线MF1y轴交点D(02)线段MF1中点＝4b2＝4a①
|MN|＝5|F1N||DF1|＝2|F1N|
设N(x1y1)题意知y1<0
代入C方程＋＝1②
①c＝代入②＋＝1
解a＝7b2＝4a＝28a＝7b＝2
21．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex－e－x－2x
(1)讨f(x)单调性
(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)x＞0时g(x)＞0求b值
(3)已知1414 2＜＜1414 3估计ln 2似值(精确0001)．
21．解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0仅x＝0时等号成立
f(x)(－∞＋∞)单调递增．
(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x
g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]
＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．
(i)b≤2时g′(x)≥0等号仅x＝0时成立g(x)(－∞＋∞)单调递增．g(0)＝0意x>0g(x)>0
(ii)b>2时x满足2
(3)(2)知g(ln)＝－2b＋2(2b－1)ln 2
b＝2时g(ln)＝－4＋6ln 2>0ln 2>>0692 8
b＝＋1时ln(b－1＋)＝ln
g(ln)＝－－2＋(3＋2)ln 2<0
ln 2<<0693 4
ln 2似值0693
22．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修41：证明选讲
图14P⊙O外点PA切线A切点割线PBC⊙O相交点BCPC＝2PADPC中点AD延长线交⊙O点E证明：
(1)BE＝EC
(2)AD·DE＝2PB2
图14
22．证明：(1)连接ABAC题设知PA＝PD
∠PAD＝∠PDA
∠PDA＝∠DAC＋∠DCA
∠PAD＝∠BAD＋∠PAB
∠DCA＝∠PAB
∠DAC＝∠BADBE＝EC
BE＝EC
(2)切割线定理PA2＝PB·PC
PA＝PD＝DCDC＝2PBBD＝PB
相交弦定理AD·DE＝BD·DC
AD·DE＝2PB2
23．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系参数方程
直角坐标系xOy中坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系半圆C极坐标方程ρ＝2cos θθ∈
(1)求C参数方程
(2)设点DCCD处切线直线l：y＝x＋2垂直根(1)中参数方程确定D坐标．
23．解：(1)C普通方程(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
C参数方程
(t参数0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos tsin t)．(1)知CG(10)圆心1半径半圆．C点
D处切线l垂直直线GDl斜率相tan t＝t＝
D直角坐标
24．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 选修45：等式选讲
设函数f(x)＝＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2
(2)f(3)＜5求a取值范围．
24．解：(1)证明：a>0f(x)＝＋|x－a|≥＝＋a≥2f(x)≥2
(2)f(3)＝＋|3－a|
a>3时f(3)＝a＋
f(3)<53
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