322 空间量垂直关系
选择题
1．列说法中正确( )
A．面α法量垂直面α面量
B．面法量互相行
C．果两面法量垂直两面垂直
D．果ab面α面n⊥an⊥bn面α法量
解析：a∥b时n定垂直面α
答案：D
2．已知面α法量a＝(x1－2)直线l方量n＝l⊥α( )
A．x＋2y＝－4 B．x＋y＝3
C．x＋2y＝ D．x＋y＝
解析：∵l⊥α∴a∥n∴＝＝
∴y＝x＝1∴x＋y＝
答案：D
3．设A空间定点n空间非零量满足·n＝0点M构成图形( )
A．圆 B．圆面
C．直线 D．面
解析：题意知点M构成图形点An法量面．
答案：D
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中EA1C1中点CE垂直( )
A．BD B．AC
C．A1C D．AA1
解析：建立图示空间直角坐标系．
妨设正方体棱长2C(020)B(220)D(000)A1(202)C1(022)
∴E(112)＝(220)＝(1－12)．
∵·＝2－2＋0＝0
∴⊥
∴CE⊥BD
答案：A
5．设棱长a正方体ABCD－A1B1C1D1中点P棱DD1直线点满足B1D⊥面PAC点P( )
A．棱DD1中点 B．点D1
C．DD1延长线点 D．存
解析：D原点建立图示空间直角坐标系A(a00)C(0a0)D(000)B1(aaa)．
设存点P(00z)＝(－a0z)＝(－aa0)＝(aaa)．∵B1D⊥面PAC
∴·＝0·＝0
∴－a2＋az＝0－a2＋a2＝0
∴z＝a点PD1重合．
答案：B
二填空题
6．直线ab两条异面直线方量分a＝(11－1)b＝(2－32)．ab公垂线方量n＝(xy5)xy＝________
解析：题意
解∴xy＝4
答案：4
7．已知ABC坐标分(010)(－101)(211)点P坐标(x0z)⊥⊥＝________
解析：＝(－x1－z)＝(－1－11)＝(201)
∵⊥⊥
∴
解∴＝
答案：
8．已知面α点M(1－12)面α法量n＝(6－36)点P(233)面α关系________________．
解析：＝(141)·n＝6－12＋6＝0
∴⊥n
n⊥面αM∈面α
∴P∈面α
答案：P∈面α
三解答题
9 (2019·蚌埠第二中学高二月考)图示直三棱柱ABC－A1B1C1中AB⊥BCAB＝BC＝2BB1＝1EBB1中点证明：面AEC1⊥面AA1C1C
证明：B原点BABCBB1分xyz轴建立图示空间直角坐标系B－xyz
A(200)A1(201)C(020)C1(021)E
＝(001)＝(－220)＝(－221)＝
设面AA1C1C法量n1＝(x1y1z1)．
⇒
令x1＝1y1＝1
∴n1＝(110)．
设面AEC1法量n2＝(x2y2z2)．
⇒
令z2＝4x2＝1y2＝－1
∴n2＝(1－14)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0
∴n1⊥n2
∴面AEC1⊥面AA1C1C
10．(2019·高县第二中学高二月考)图四棱锥P－ABCD中底面ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC＝∠PAD＝90°侧面PAD⊥底面ABCDPA＝AB＝BC＝AD
(1)求证：CD⊥面PAC
(2)侧棱PA否存点EBE∥面PCD？存指出点E位置证明存请说明理．
解：∠PAD＝90°
PA⊥AD
侧面PAD⊥底面ABCD
侧面PAD∩底面ABCD＝AD
PA⊥底面ABCD
∠BAD＝90°
ABADAP两两垂直．
分ABADAP直线x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系A－xyz
(1)证明：设A(000)P(001)B(100)C(110)D(020)＝(001)＝(110)＝(－110)
∴·＝0·＝0
∴⊥⊥
CD⊥APCD⊥AC
AP∩AC＝A∴CD⊥面PAC
(2)EPA设(00a)＝(－10a)
＝(－110)＝(0－21)
设面PCD法量n＝(xyz)·n＝0·n＝0
令x＝1y＝1z＝2∴n＝(112)
∵BE∥面PCD∴n⊥∴n·＝0－1＋2a＝0
∴a＝存E点PA中点．
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选择题
1．列说法中正确( )
A．面α法量垂直面α面量
B．面法量互相行
C．果两面法量垂直两面垂直
D．果ab面α面n⊥an⊥bn面α法量
解析：a∥b时n定垂直面α
答案：D
2．已知面α法量a＝(x1－2)直线l方量n＝l⊥α( )
A．x＋2y＝－4 B．x＋y＝3
C．x＋2y＝ D．x＋y＝
解析：∵l⊥α∴a∥n∴＝＝
∴y＝x＝1∴x＋y＝
答案：D
3．设A空间定点n空间非零量满足·n＝0点M构成图形( )
A．圆 B．圆面
C．直线 D．面
解析：题意知点M构成图形点An法量面．
答案：D
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中EA1C1中点CE垂直( )
A．BD B．AC
C．A1C D．AA1
解析：建立图示空间直角坐标系．
妨设正方体棱长2C(020)B(220)D(000)A1(202)C1(022)
∴E(112)＝(220)＝(1－12)．
∵·＝2－2＋0＝0
∴⊥
∴CE⊥BD
答案：A
5．设棱长a正方体ABCD－A1B1C1D1中点P棱DD1直线点满足B1D⊥面PAC点P( )
A．棱DD1中点 B．点D1
C．DD1延长线点 D．存
解析：D原点建立图示空间直角坐标系A(a00)C(0a0)D(000)B1(aaa)．
设存点P(00z)＝(－a0z)＝(－aa0)＝(aaa)．∵B1D⊥面PAC
∴·＝0·＝0
∴－a2＋az＝0－a2＋a2＝0
∴z＝a点PD1重合．
答案：B
二填空题
6．直线ab两条异面直线方量分a＝(11－1)b＝(2－32)．ab公垂线方量n＝(xy5)xy＝________
解析：题意
解∴xy＝4
答案：4
7．已知ABC坐标分(010)(－101)(211)点P坐标(x0z)⊥⊥＝________
解析：＝(－x1－z)＝(－1－11)＝(201)
∵⊥⊥
∴
解∴＝
答案：
8．已知面α点M(1－12)面α法量n＝(6－36)点P(233)面α关系________________．
解析：＝(141)·n＝6－12＋6＝0
∴⊥n
n⊥面αM∈面α
∴P∈面α
答案：P∈面α
三解答题
9 (2019·蚌埠第二中学高二月考)图示直三棱柱ABC－A1B1C1中AB⊥BCAB＝BC＝2BB1＝1EBB1中点证明：面AEC1⊥面AA1C1C
证明：B原点BABCBB1分xyz轴建立图示空间直角坐标系B－xyz
A(200)A1(201)C(020)C1(021)E
＝(001)＝(－220)＝(－221)＝
设面AA1C1C法量n1＝(x1y1z1)．
⇒
令x1＝1y1＝1
∴n1＝(110)．
设面AEC1法量n2＝(x2y2z2)．
⇒
令z2＝4x2＝1y2＝－1
∴n2＝(1－14)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0
∴n1⊥n2
∴面AEC1⊥面AA1C1C
10．(2019·高县第二中学高二月考)图四棱锥P－ABCD中底面ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC＝∠PAD＝90°侧面PAD⊥底面ABCDPA＝AB＝BC＝AD
(1)求证：CD⊥面PAC
(2)侧棱PA否存点EBE∥面PCD？存指出点E位置证明存请说明理．
解：∠PAD＝90°
PA⊥AD
侧面PAD⊥底面ABCD
侧面PAD∩底面ABCD＝AD
PA⊥底面ABCD
∠BAD＝90°
ABADAP两两垂直．
分ABADAP直线x轴y轴z轴建立图示空间直角坐标系A－xyz
(1)证明：设A(000)P(001)B(100)C(110)D(020)＝(001)＝(110)＝(－110)
∴·＝0·＝0
∴⊥⊥
CD⊥APCD⊥AC
AP∩AC＝A∴CD⊥面PAC
(2)EPA设(00a)＝(－10a)
＝(－110)＝(0－21)
设面PCD法量n＝(xyz)·n＝0·n＝0
令x＝1y＝1z＝2∴n＝(112)
∵BE∥面PCD∴n⊥∴n·＝0－1＋2a＝0
∴a＝存E点PA中点．
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