323 空间量空间角
选择题
1．设两条异面直线成角θ方量夹角θ( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．相等互补
解析：∵异面直线夹角θ∈方量夹角θ ′∈[0π]∴D正确．
答案：D
2图正方体ABCD－A1B1C1D1中BC1角面BB1D1D成角( )
A．∠C1BB1 B．∠C1BD
C．∠C1BD1 D．∠C1BO
解析：设A1C1∩B1D1＝O易知OC1垂直面BB1D1D∠C1BOBC1角面BB1D1D成角．
答案：D
3．已知两面法量分u＝(010)v＝(011)两面成二面角( )
A．45° B．135°
C．45°135° D．90°
解析：∵cos〈uv〉＝＝＝
∴〈uv〉＝45°∴二面角45°180°－45°＝135°
答案：C
4图长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝2BC＝2DD1＝3ACBD1成角余弦值( )
A．0 B．
C．－ D．
解析：建立空间直角坐标系图示
∵AB＝BC＝2DD1＝3
∴B(220)A(200)C(020)D1(003)．
∴＝(－220)＝(－2－23)．·＝4－4＋0＝0
∴cos〈〉＝0
答案：A
5．直三棱柱ABC－A1B1C1中∠BCA＝90°MN分A1B1A1C1中点BC＝CA＝CC1BMAN成角余弦值( )
A． B．
C． D．
解析：建立图示空间直角坐标系C－xyz设BC＝2B(020)A(200)M(112)N(102)＝(1－12)＝(－102)BMAN成角θ余弦值cos θ＝＝＝
答案：C
二填空题
6．面法量n＝(330)直线l方量v＝(111)lα成角余弦值________．
解析：设lα成角θsin θ＝|cos〈nv〉|＝＝＝∴cos θ＝
答案：
7．量a＝(0－13)b＝(224)分二面角两半面二面角棱垂直二面角余弦值________．
解析：题意知设二面角θθab成角补角．
∵a·b＝(0－13)·(224)＝0－2＋12＝10
|a|＝|b|＝2
∴cos〈ab〉＝＝＝
求二面角余弦值±
答案：±
8．正三角形ABC正三角形BCD面垂直二面角A－BD－C正弦值________．
解析：取BC中点O连接AODO建立图示空间直角坐标系O－xyz
设BC＝1A
O(000)BD
＝＝
＝
设面ABD法量n＝(xyz)
取x＝1y＝－z＝1
面ABD法量n＝(1－1)
＝面BCD法量．
cos〈n〉＝sin〈n〉＝
答案：
三解答题
9．图四棱锥P－ABCD中PA⊥面ABCDAC⊥BDOE线段PC点AC⊥BE
(1)求证：PA∥面BED
(2)BC∥ADBC＝AD＝2PA＝3AB＝CD求PB面PCD成角正弦值．
解：(1)证明：∵AC⊥BDAC⊥BEBD∩BE＝B
∴AC⊥面BDE连接OEAC⊥OE
PA⊥面ABCD
∴AC⊥PAOEPA⊂面PAC
∴OE∥PA
OE⊂面BEDPA⊄面BED
∴PA∥面BED
(2)∵BC∥ADBC＝AD＝2AB＝CD
AC⊥BD
∴等腰梯形ABCD中OB＝OC＝1OA＝OD＝2
(1)知OE⊥面ABCD分射线OBOCOExyz轴正半轴建立空间直角坐标系O－xyz图示B(100)C(010)D(－200)P(0－23)．
设面PCD法量n＝(xyz)
取x＝1y＝z＝－2
∴n＝(1－2－2)．
＝(12－3)
∴cos〈n〉＝＝
PB面PCD成角正弦值
10(2018·全国卷Ⅰ)图四边形ABCD正方形EF分ADBC中点DF折痕△DFC折起点C达点P位置PF⊥BF
(1)证明：面PEF⊥面ABFD
(2)求DP面ABFD成角正弦值．
解：(1)证明：已知BF⊥PFBF⊥EFPF∩EF＝F
BF⊥面PEF
BF⊂面ABFD
面PEF⊥面ABFD
(2)作PH⊥EF垂足H(1)PH⊥面ABFD
H坐标原点方y轴正方||单位长度建立图示空间直角坐标系H－xyz
(1)DE⊥PEDP＝2DE＝1
PE＝
PF＝1EF＝2PE⊥PF
PH＝EH＝
H(000)PD＝
＝面ABFD法量．
设DP面ABFD成角θsin θ＝＝＝
DP面ABFD成角正弦值
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选择题
1．设两条异面直线成角θ方量夹角θ( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．相等互补
解析：∵异面直线夹角θ∈方量夹角θ ′∈[0π]∴D正确．
答案：D
2图正方体ABCD－A1B1C1D1中BC1角面BB1D1D成角( )
A．∠C1BB1 B．∠C1BD
C．∠C1BD1 D．∠C1BO
解析：设A1C1∩B1D1＝O易知OC1垂直面BB1D1D∠C1BOBC1角面BB1D1D成角．
答案：D
3．已知两面法量分u＝(010)v＝(011)两面成二面角( )
A．45° B．135°
C．45°135° D．90°
解析：∵cos〈uv〉＝＝＝
∴〈uv〉＝45°∴二面角45°180°－45°＝135°
答案：C
4图长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝2BC＝2DD1＝3ACBD1成角余弦值( )
A．0 B．
C．－ D．
解析：建立空间直角坐标系图示
∵AB＝BC＝2DD1＝3
∴B(220)A(200)C(020)D1(003)．
∴＝(－220)＝(－2－23)．·＝4－4＋0＝0
∴cos〈〉＝0
答案：A
5．直三棱柱ABC－A1B1C1中∠BCA＝90°MN分A1B1A1C1中点BC＝CA＝CC1BMAN成角余弦值( )
A． B．
C． D．
解析：建立图示空间直角坐标系C－xyz设BC＝2B(020)A(200)M(112)N(102)＝(1－12)＝(－102)BMAN成角θ余弦值cos θ＝＝＝
答案：C
二填空题
6．面法量n＝(330)直线l方量v＝(111)lα成角余弦值________．
解析：设lα成角θsin θ＝|cos〈nv〉|＝＝＝∴cos θ＝
答案：
7．量a＝(0－13)b＝(224)分二面角两半面二面角棱垂直二面角余弦值________．
解析：题意知设二面角θθab成角补角．
∵a·b＝(0－13)·(224)＝0－2＋12＝10
|a|＝|b|＝2
∴cos〈ab〉＝＝＝
求二面角余弦值±
答案：±
8．正三角形ABC正三角形BCD面垂直二面角A－BD－C正弦值________．
解析：取BC中点O连接AODO建立图示空间直角坐标系O－xyz
设BC＝1A
O(000)BD
＝＝
＝
设面ABD法量n＝(xyz)
取x＝1y＝－z＝1
面ABD法量n＝(1－1)
＝面BCD法量．
cos〈n〉＝sin〈n〉＝
答案：
三解答题
9．图四棱锥P－ABCD中PA⊥面ABCDAC⊥BDOE线段PC点AC⊥BE
(1)求证：PA∥面BED
(2)BC∥ADBC＝AD＝2PA＝3AB＝CD求PB面PCD成角正弦值．
解：(1)证明：∵AC⊥BDAC⊥BEBD∩BE＝B
∴AC⊥面BDE连接OEAC⊥OE
PA⊥面ABCD
∴AC⊥PAOEPA⊂面PAC
∴OE∥PA
OE⊂面BEDPA⊄面BED
∴PA∥面BED
(2)∵BC∥ADBC＝AD＝2AB＝CD
AC⊥BD
∴等腰梯形ABCD中OB＝OC＝1OA＝OD＝2
(1)知OE⊥面ABCD分射线OBOCOExyz轴正半轴建立空间直角坐标系O－xyz图示B(100)C(010)D(－200)P(0－23)．
设面PCD法量n＝(xyz)
取x＝1y＝z＝－2
∴n＝(1－2－2)．
＝(12－3)
∴cos〈n〉＝＝
PB面PCD成角正弦值
10(2018·全国卷Ⅰ)图四边形ABCD正方形EF分ADBC中点DF折痕△DFC折起点C达点P位置PF⊥BF
(1)证明：面PEF⊥面ABFD
(2)求DP面ABFD成角正弦值．
解：(1)证明：已知BF⊥PFBF⊥EFPF∩EF＝F
BF⊥面PEF
BF⊂面ABFD
面PEF⊥面ABFD
(2)作PH⊥EF垂足H(1)PH⊥面ABFD
H坐标原点方y轴正方||单位长度建立图示空间直角坐标系H－xyz
(1)DE⊥PEDP＝2DE＝1
PE＝
PF＝1EF＝2PE⊥PF
PH＝EH＝
H(000)PD＝
＝面ABFD法量．
设DP面ABFD成角θsin θ＝＝＝
DP面ABFD成角正弦值
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