324 空间量空间距离
选择题
1．空间直角坐标系中已知点A(234)B(－210)C(111)点CAB中点M距离( )
A．1 B．
C．2 D．
解析：∵M(022)C(111)
∴|CM|＝＝
答案：B
2．已知面α法量n＝(－2－21)点A(－130)面α点P(－214)面α距离( )
A． B．
C．3 D．10
解析：∵＝(－130)－(－214)＝(12－4)面α法量n＝(－2－21)∴Pα距离d＝＝＝
答案：A
3．图示体A－BCD中AB⊥面BCDBC⊥CDAB＝BC＝1CD＝2点ECD中点AE长( )
A． B．
C．2 D．
解析：∵＝＋＋||＝||＝1||＝1·＝·＝·＝0
∴2＝(＋＋C)2＝2＋2＋2＝3
∴||＝
答案：B
4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长1AB1底面ABCD成60°角A1C1底面ABCD距离( )
A． B．1
C． D．
解析：图∵A1C1∥面ABCD∴A1C1面ABCD距离等点A1面ABCD距离正四棱柱高已知∠B1AB＝60°AB＝1∴BB1＝ABtan 60°＝
答案：D
5．棱长2正方体ABCD－A1B1C1D1中点EF分棱ABBC中点点C1面B1EF距离( )
A． B．
C． D．
解析：建立空间直角坐标系图．B1(222)E(210)F(120)C1(022)．
∴＝(－10－2)＝(0－1－2)．
设面B1EF法量n＝(xyz)
令z＝－1n＝(22－1)．
∵＝(200)∴点C1面B1EF距离d＝＝
答案：D
二填空题
6．设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长2点D1面A1BD距离________．
解析：建立图示空间直角坐标系
D1(002)A1(202)D(000)B(220)
∴＝(200)＝(202)＝(220)．
设面A1BD法量n＝(xyz)
令x＝1n＝(1－1－1)．
∴点D1面A1BD距离
d＝＝＝
答案：
7．图边长2菱形ABCD中∠A＝60°菱形BD折成120°二面角A－BD－CAC两点间距离________．
解析：设AC∩BD＝O∠AOC＝120°△AOC中AO＝CO＝余弦定理AC2＝AO2＋CO2－2AO×COcos 120°＝3＋3－2×××＝9∴AC＝3
答案：3
8．长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝4BC＝3CC1＝2面A1BC1面ACD1距离________．
解析：建立图示空间直角坐标系D－xyz
A(300)A1(302)B(340)C1(042)
∴＝(－340)＝(04－2)．
设面A1BC1法量n＝(xyz)
令z＝2n＝
＝(002)∴点A面A1BC1距离d＝＝＝
易知面A1BC1∥面ACD1∴两面间距离
答案：
三解答题
9．已知正方形ABCD边长1PD⊥面ABCDPD＝1EF分ABBC中点．
(1)求点D面PEF距离
(2)求直线AC面PEF距离．
解：(1)D坐标原点DADCDP直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O－xyz图示．
P(001)A(100)C(010)EF
∴＝＝
设面PEF法量n＝(xyz)
n·＝0n·＝0
∴
令y＝2x＝2z＝3
∴n＝(223)．＝(001)
∴点D面PEF距离
d＝＝＝
点D面PEF距离
(2)∵EF∥ACAC⊄面PEF∴AC∥面PEF
∴AC面PEF距离点A面PEF距离．
∵＝∴点A面PEF距离d＝＝＝
∴直线AC面PEF距离
10．图菱形ABCD中∠ABC＝60°ACBD相交点OAE⊥面ABCDCF∥AEAB＝AE＝2
(1)求证：BD⊥面ACFE
(2)直线FO面BED成角45°时求CF长度．
解：(1)证明：∵四边形ABCD菱形
∴BD⊥AC
∵AE⊥面ABCDBD⊂面ABCD
∴BD⊥AE
∵AC∩AE＝A∴BD⊥面ACFE
(2)图O原点OAOBx轴y轴正方z轴点O行CF建立空间直角坐标系
B(00)D(0－0)E(102)
设F(－10a)(a>0)
＝(－10a)
设面EDB法量n＝(xyz)
令z＝1n＝(－201)．
题意sin 45°＝|cos〈n〉|＝＝＝
解a＝3a＝－
∵a>0∴a＝3
∴CF长度3
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选择题
1．空间直角坐标系中已知点A(234)B(－210)C(111)点CAB中点M距离( )
A．1 B．
C．2 D．
解析：∵M(022)C(111)
∴|CM|＝＝
答案：B
2．已知面α法量n＝(－2－21)点A(－130)面α点P(－214)面α距离( )
A． B．
C．3 D．10
解析：∵＝(－130)－(－214)＝(12－4)面α法量n＝(－2－21)∴Pα距离d＝＝＝
答案：A
3．图示体A－BCD中AB⊥面BCDBC⊥CDAB＝BC＝1CD＝2点ECD中点AE长( )
A． B．
C．2 D．
解析：∵＝＋＋||＝||＝1||＝1·＝·＝·＝0
∴2＝(＋＋C)2＝2＋2＋2＝3
∴||＝
答案：B
4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1底面边长1AB1底面ABCD成60°角A1C1底面ABCD距离( )
A． B．1
C． D．
解析：图∵A1C1∥面ABCD∴A1C1面ABCD距离等点A1面ABCD距离正四棱柱高已知∠B1AB＝60°AB＝1∴BB1＝ABtan 60°＝
答案：D
5．棱长2正方体ABCD－A1B1C1D1中点EF分棱ABBC中点点C1面B1EF距离( )
A． B．
C． D．
解析：建立空间直角坐标系图．B1(222)E(210)F(120)C1(022)．
∴＝(－10－2)＝(0－1－2)．
设面B1EF法量n＝(xyz)
令z＝－1n＝(22－1)．
∵＝(200)∴点C1面B1EF距离d＝＝
答案：D
二填空题
6．设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长2点D1面A1BD距离________．
解析：建立图示空间直角坐标系
D1(002)A1(202)D(000)B(220)
∴＝(200)＝(202)＝(220)．
设面A1BD法量n＝(xyz)
令x＝1n＝(1－1－1)．
∴点D1面A1BD距离
d＝＝＝
答案：
7．图边长2菱形ABCD中∠A＝60°菱形BD折成120°二面角A－BD－CAC两点间距离________．
解析：设AC∩BD＝O∠AOC＝120°△AOC中AO＝CO＝余弦定理AC2＝AO2＋CO2－2AO×COcos 120°＝3＋3－2×××＝9∴AC＝3
答案：3
8．长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝4BC＝3CC1＝2面A1BC1面ACD1距离________．
解析：建立图示空间直角坐标系D－xyz
A(300)A1(302)B(340)C1(042)
∴＝(－340)＝(04－2)．
设面A1BC1法量n＝(xyz)
令z＝2n＝
＝(002)∴点A面A1BC1距离d＝＝＝
易知面A1BC1∥面ACD1∴两面间距离
答案：
三解答题
9．已知正方形ABCD边长1PD⊥面ABCDPD＝1EF分ABBC中点．
(1)求点D面PEF距离
(2)求直线AC面PEF距离．
解：(1)D坐标原点DADCDP直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系O－xyz图示．
P(001)A(100)C(010)EF
∴＝＝
设面PEF法量n＝(xyz)
n·＝0n·＝0
∴
令y＝2x＝2z＝3
∴n＝(223)．＝(001)
∴点D面PEF距离
d＝＝＝
点D面PEF距离
(2)∵EF∥ACAC⊄面PEF∴AC∥面PEF
∴AC面PEF距离点A面PEF距离．
∵＝∴点A面PEF距离d＝＝＝
∴直线AC面PEF距离
10．图菱形ABCD中∠ABC＝60°ACBD相交点OAE⊥面ABCDCF∥AEAB＝AE＝2
(1)求证：BD⊥面ACFE
(2)直线FO面BED成角45°时求CF长度．
解：(1)证明：∵四边形ABCD菱形
∴BD⊥AC
∵AE⊥面ABCDBD⊂面ABCD
∴BD⊥AE
∵AC∩AE＝A∴BD⊥面ACFE
(2)图O原点OAOBx轴y轴正方z轴点O行CF建立空间直角坐标系
B(00)D(0－0)E(102)
设F(－10a)(a>0)
＝(－10a)
设面EDB法量n＝(xyz)
令z＝1n＝(－201)．
题意sin 45°＝|cos〈n〉|＝＝＝
解a＝3a＝－
∵a>0∴a＝3
∴CF长度3
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