教A版高中数学知识点公式全（教学序）
必修
第章 集合函数概念
1集合
11集合概念表示
⑴集合中元素三特征：
①．确定性：定集合元素集合中确定．
②．互异性：集合中元素互相集合中元素重复出现
③．序性：集合中元素序意排列调换
⑵元素集合关系两种：属（符号表示）属（符号表示）．
⑶集合常表示方法三种：列举法Venn图描述法．
(4)常见数集表示符号
名称
然数集
正整数集
整数集
理数集
实数集
表示符号
N
Z
Q
R
12集合间基关系
性质
符号表示
空集
空集集合子集
空集非空集合真子集
相等
集合A集合B元素相
AB
子集
集合A中元素均集合B中元素
真子集
集合A中元素均集合B中元素B中少元素A中没
13集合间基运算
符号表示
集合表示
集
交集
补集
重提醒
1．限集A中n元素集合A子集数2n真子集数2n－1
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B
3．奇数集：
4 德▪摩根定律：①集补集等补集交集
②交集补集等补集集．
2函数表示
21函数映射相关概念
函数
映射
两集合AB
设AB两非空数集
设AB两非空集合
应关系
某种确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数f(x)应
某确定应关系f集合A中意元素x集合B中唯确定元素y应
名称
称f：A→B集合A集合B函数
称f：A→B集合A集合B映射
记法
y＝f(x)x∈A
f：A→B
注意：判断应关系否函数关系应关系否满足函数定义中定义域意变量值唯确定函数值核心点．
(2)函数定义域值域
函数y＝f(x)x∈A中x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{f(x)|x∈A}做函数值域．
(3)构成函数三素：函数三素定义域值域应关系
(4)函数表示方法
函数表示方法三种：解析法列表法图象法
解析法：般情况必须注明函数定义域
列表法：选取变量代表性应反映定义域特征
图象法：注意定义域图象影响
22函数三素
（1）．函数定义域
函数定义域函数解析式意义变量取值范围常见基初等函数定义域求：
(1)分式函数中分母等零(2)偶次根式函数开方式等0
(3)次函数二次函数定义域均R(4)y＝x0定义域{x|x≠0}
（2）．函数解析式
(1)函数解析式表示函数种方式y＝f(x)形式根题目条件转化该形式
(2)求函数解析式时定注意函数定义域变化特利换元法(配凑法)求出解析式注明定义域导致错误
（3）．函数值域
函数值域函数值构成集合熟练掌握四种常见初等函数值域：
(1)次函数y＝kx＋b(k常数k≠0)值域R
(2)反例函数(k常数k≠0)值域(−∞0)∪(0＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(abc常数a≠0)
a>0时二次函数值域a<0时二次函数值域
求二次函数值域时应掌握配方法：
23分段函数
分段函数概念
函数定义域子集应关系分式子表示种函数称分段函数．分段函数部分组成表示函数．
3函数基性质
31函数单调性
单调函数定义
增函数
减函数
定义
般设函数f(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量值x1x2
x1x1f(x2)说函数f(x)区间D减函数
图象描述
左右图象升
左右图象降
单调区间定义
果函数y＝f(x)区间D增函数减函数说函数y＝f(x)区间具(严格)单调性区间D做y＝f(x)单调区间．
函数值
前提
设函数定义域果存实数满足
条件
（1）意
（2）存
（3）意
（4）存
结
值
值
注意：（1）函数值域定存函数值定存
（2）函数值存定值域中元素函数值域开区间函数值函数值域闭区间闭区间端点值函数值
函数单调性常结
（1）均区间A增(减)函数区间A增(减)函数
（2）单调性相单调性相反
（3）函数公定义域单调性相反
（4）函数公定义域单调性相
（5）重函数单调性：
①单调性：单调递增单调递减
②（）单调性：单调递增单调递减．
32 函数奇偶性
（1）．函数奇偶性定义图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
果函数定义域意函数偶函数
图象关轴称
奇函数
果函数定义域意函数奇函数
图象关原点称
注意：函数奇偶性定义知函数具奇偶性前提条件：定义域意x定义域（定义域关原点称）．
（2）．函数奇偶性重结
（1）奇函数关原点称区间单调性相偶函数关原点称区间单调性相反．
（2）公定义域面结：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
确定
确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
确定
确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）奇函数定义域包括．
（4）函数偶函数．
（5）定义意函数唯表示成奇函数偶函数．
（6）函数定义域关原点称偶函数奇函数偶函数．
重难点 复合函数单调性①奇函数+奇函数奇函数偶函数+偶函数偶函数
②奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数
第二章 基初等函数
21 指数指数函数
（1）根式
概念：式子做根式中n做根指数a做开方数
性质：()n＝a(a意义)
n奇数时＝an偶数时＝|a|＝
（2）分数指数幂
规定：正数正分数指数幂意义a＝(a>0mn∈N*n>1)正数负分数指数幂意义a－＝(a>0mn∈N*n>1)0正分数指数幂等00负分数 指数幂没意义
理指数幂运算性质：aras＝ar+s(ar)s＝ars(ab)r＝arbr中a>0b>0rs∈Q
（3）指数函数性质
概念：函数y＝ax(a>0a≠1)做指数函数x变量函数定义域Ra底数
指数函数图象性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0＋∞)
性质
定点(01)x＝0时y＝1
x>0时y>1
x<0时0x<0时y>1
x>0时0(－∞＋∞)增函数
(－∞＋∞)减函数
22 数数函数
（1）数概念
果ax＝N(a>0a≠1)x做a底N数记作中a做数底数N做真数
（2）数性质换底公式运算性质
(1)数性质：①alogaN＝N②logaab＝b(a>0a≠1)
(2)数运算法果a>0a≠1M>0N>0
① ②
③(nR) ④
(3)换底公式：(ab均零等1)
（3）数函数性质
(1)概念：y＝logax(a＞0a≠1)做数函数中x变量定义域(0＋∞)
(2)数函数图象性质
a>1
0图象
性质
定义域：(0＋∞)
值域：R
x＝1时y＝0定点(10)
x>1时y>0
0x>1时y<0
00
(0＋∞)增函数
(0＋∞)减函数
23 幂函数
(1)幂函数定义：般形y＝xα函数称幂函数中x变量α常数
(2)常见5种幂函数图象
(3)幂函数性质
①幂函数(0＋∞)定义
②α>0时幂函数图象点(11)(00)(0＋∞)单调递增
③α<0时幂函数图象点(11)(0＋∞)单调递减
第三章 函数应
1函数零点定义
般果函数实数处值等零做函数零点
重点强调：零点点实数
2零点存性定理
果函数区间[ab]图象连续断条曲线函数区间（ab）零点存c方程根
3二分法
二分法求零点：区间连续断满足·函数通断函数零点区间分二区间两端点逐步逼零点进零点似值方法做二分法．
定精度二分法求函数零点似值步骤：
（1）确定区间验证·定精度
（2）求区间中点
（3）计算：①函数零点
②·<令（时零点）
③·<令（时零点）
（4）判断否达精度
零点零点值（）否重复步骤2~4
注意：二分法条件·表明二分法求函数似零点指变号零点
必修四
第章 三角函数
1 角概念
1．角定义
角成面条射线绕着端点位置旋转位置形成图形．
2．角分类
角分类
3．终边相角
角α终边相角连角α构成集合：S＝{β|β＝α＋k·360°k∈Z}．
2弧度制应
1．弧度制定义
长度等半径长弧圆心角做1弧度角弧度记作rad
2．弧度制关公式
角α弧度数公式
|α|＝(弧长l表示)
角度弧度换算
①1°＝ rad②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3意角三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α意角终边单位圆交点P(xy)
做α正弦记sin α
做α余弦记cos α
做α正切记tan α
象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
线段MP正弦线
线段OM余弦线
线段AT正切线
4角三角函数基关系
1．角三角函数基关系
(1)方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝
2．角三角函数基关系式应技巧
5三角函数诱导公式
组数
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
6正弦余弦正切函数图象性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－11]
[－11]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
(k∈Z)递增函数
(k∈Z)递减函数
[2kπ－π2kπ](k∈Z)递增函数[2kπ2kπ＋π](k∈Z)递减函数
(k∈Z)
递增函数
周期性
周期2kπ(k∈Zk≠0)正周期2π
周期2kπ(k∈Zk≠0)正周期2π
周期kπ(k∈Zk≠0)正周期π
称性
称轴x＝＋kπ(k∈Z)称中心(kπ0)(k∈Z)
称轴x＝kπ(k∈Z)称中心
(k∈Z)
称中心(k∈Z)
6函数y＝Asin(ωx＋φ)图象
1．五点法作正弦函数余弦函数简图
(1)五点法作图原理：
正弦函数y＝sin xx∈[02π]图象五点：(00)(π0)(2π0)．
余弦函数y＝cos xx∈[02π]图象五点：(01)(π－1)(2π1)
(2)五点法作图三步骤：列表描点连线(注意光滑)．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0ω>0)
A
T＝
f＝＝
φ
3五点法画y＝Asin(ωx＋φ)周期简图
五点法画y＝Asin(ωx＋φ)周期简图时找五关键点表示：
x
－
－
－
ωx＋φ
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
第二章 面量
1量关概念
名称
定义
备注
量
方量量做量长度(称模)
面量量
零量
长度0量
记作0方意
单位量
长度等1单位量
非零量a单位量±
行量
方相相反非零量(做线量)
0量行线
相等量
长度相等方相量
两量相等相等较
相反量
长度相等方相反量
0相反量0
2量线性运算
量运算
定义
法(意义)
运算律
加法
求两量运算
三角形法
行四边形法
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求ab相反量－b运算做ab差
三角形法
a－b＝a＋(－b)
数
求实数λ量a积运算
|λa|＝|λ||a|λ＞0时λa方a方相λ＜0时λa方a方相反λ＝0时λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb
3面量坐标运算
运算
坐标表示
(差)
a＝(x1y1)b＝(x2y2)a＋b＝(x1＋x2y1＋y2)a－b＝(x1－x2y1－y2)
数
已知a＝(x1y1)λa＝(λx1λy1)中λ实数
量坐标
已知A(x1y1)B(x2y2)＝(x2－x1y2－y1)
4量夹角
定义
图示
范围
线垂直
已知两非零量ab作＝a＝b∠AOBab夹角
设θab夹角θ取值范围0°≤≤180°
θ＝⇔a∥bθ＝90°⇔a⊥b
5面量数量积
定义
设两非零量ab夹角θ数量|a||b|cos θ做ab数量积记作a·b
投影
|a|cos θ做量ab方投影
|b|cos θ做量ba方投影
意义
数量积a·b等a长度|a|ba方投影|b|cos θ积
6量数量积运算律
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
数结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
第三章 三角恒等变换
1角三角函数基关系式 ：①②
2正弦余弦诱导公式（奇变偶变符号象限）
3角差角公式
4二倍角公式降幂公式
必修五
第章 解三角形
正弦定理 （R外接圆半径）
正弦定理变形①
②
三角形常结
（1）
（2）△ABC中
（3)面积公式：
①②
第二章 数列
21等差数列
（1）等差数列定义（证明判断等差数列）
①②
（2）．等差数列通项公式：
①时等差数列通项公式关次函数斜率公差
（3）．等差数列前：
①前关二次函数常数项0
（4）等差中项：
⑴成等差数列A做等差中项
⑵时
5等差数列 …成等差数列
22等数列
（1）等数列定义（证明判断等数列）
（2）等数列通项公式：
（3）等数列前：①时
②时
（4）等中项：
⑴成等数列A做等中项
⑵时
第三章 等式
1元二次等式概念形式
(1)概念：含未知数知数高次数2等式称元二次等式．
(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0) ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
③ax2＋bx＋c<0(a≠0) ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
2元二次等式解集概念三二次间关系
(1)元二次等式解集概念：
般某元二次等式成立x值做等式解元二次等式解组成集合做元二次等式解集
(2)关x元二次等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)元二次等式f(x)>0f(x)<0解集分二次函数f(x)函数值正值负值时变量x取值集合．
(3)三二次间关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)方程ax2＋bx＋c＝0判式Δ＝b2－4ac
判式Δ
＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解等式
f(x)>0
f(x)<
0步骤
求方程f(x)＝0解
两等实数解x1x2
两相等实数解x1＝x2
没实数解
画函数y＝f(x)示意图
等式
解
集
f(x)>0
{x|xx>x2}
{x|x≠－}
R
f(x)<0
{x|x1∅
∅
3分式等式解法
定义：分母中含未知数分子分母关x项式等式称分式等式
解法：等价转化法解分式等式
>0⇔f(x)g(x)>0<0⇔f(x)·g(x)<0
4简单高次等式解法
解法：穿根法
①f(x)高次项系数化正数
②f(x)分解干次式积二次分式积
③次式根标数轴右左次通点画曲线(注意重根情况偶次方根穿奇次方根穿)
④观察曲线显现出f(x)值符号变化规律写出等式解集．
5二元次等式(组)
(1)定义：含两未知数未知数次数1等式称二元次等式二元次等式组成等式组称二元次等式组．
(2)解集：满足二元次等式(组)xy取值构成序数(xy)样序数(xy)构成集合称二元次等式(组)解集．序数成直角坐标面点坐标二元次等式(组)解集成直角坐标点构成集合．
6面区域
(1)定义：般面直角坐标系中二元次等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧点组成面区域直线Ax＋By＋C＝0某侧点组成面区域直线Ax＋By＋C＝0称面区域边界时面直角坐标系中直线Ax＋By＋C＝0画成虚线表示区域包括边界等式Ax＋By＋C≥0表示面区域包括边界边界画成实线
(2)判断方法：需直线Ax＋By＋C＝0侧取某特殊点(x0y0)作测试点Ax0＋By0＋C符号断定Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0侧面区域．
特C≠0时常取原点(00)作测试点C＝0时常取(01)(10)作测试点．
7线性规划中基概念
名称
意义
约束条件
变量xy满足组条件
线性约束条件
关xy二元次等式
目标函数
欲求值值涉变量xy解析式
线性目标函数
目标函数关xy次函数解析式
行解
满足线性约束条件解
行域
行解组成集合
优解
目标函数取值值行解
线性规划问题
线性约束条件求线性目标函数值值问题
8线性规划常解决列问题：
(1)定定数量力物力资金等资源样安排运资源完成务量收效益．
(2)定项务样统筹安排完成项务力资金物力资源常见问题：物资调运产品安排料等问题．
9基等式()均值等式：
10基等式变形拓展
1．(1)
(2)（仅时取）．
2．(1)(2)（仅时取）
(3)（仅时取）．
3．（仅时取）（仅时取）（仅时取）．
4．（仅时取）（仅时取）．
5．重等式链：．
必修二
第章 空间体
1．面体结构特征
2．旋转体形成
体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
边直线
圆锥
直角三角形
直角边直线
圆台
直角梯形
垂直底边腰直线
球
半圆
直径直线
3．空间体直观图
空间体直观图常斜二测画法画规：
(1)原图形中x轴y轴z轴两两垂直直观图中x′轴y′轴夹角45°135°z′轴x′轴y′轴面垂直
(2)原图形中行坐标轴线段直观图中行坐标轴行x轴z轴线段直观图中保持原长度变行y轴线段直观图中长度变原半
三变
三变
(3)面图形直观图原图形面积关系：S直观图＝S原图．
4．面体表面积侧面积
面体面面面体侧面积侧面面积表面积侧面积底面面积．
5．圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
6．柱锥台球表面积体积
名称
体
表面积
体积
柱体
(棱柱圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台圆台)
S表面积＝S侧＋S＋S
V＝(S＋S＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
第二章 点线面间位置关系
1．直线面行判定定理性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
面外条直线面条直线行该直线面行(线线行⇒线面行)
l∥aa⊂α
l⊄α⇒l∥α
性质
定理
条直线面行条直线面面交线该直线行(线面行⇒线线行)
l∥αl⊂β
α∩β＝b⇒l∥b
2．判断证明线面行常方法
(1)利线面行定义(公点)．
(2)利线面行判定定理(a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α)．
(3)利面面行性质定理(α∥βa⊂α⇒a∥β)．
(4)利面面行性质(α∥βa⊄αa⊄βa∥α⇒a∥β)．
3面面行判定定理性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
面两条相交直线面行两面行(线面行⇒面面行)
a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β
性质
定理
果两行面时第三面相交交线行
α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b
4重结
(1)垂直条直线两面行a⊥αa⊥βα∥β
(2)垂直面两条直线行a⊥αb⊥αa∥b
(3)行面两面行α∥ββ∥γα∥γ
5．直线面垂直
(1)直线面垂直定义：直线l面α意条直线垂直说直线l面α互相垂直．
(2)直线面垂直判定定理性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
⇒l⊥α
性质
定理
垂直面两条直线行
⇒a∥b
6．证明线面垂直常方法
(1)利线面垂直判定定理．
(2)利两行线中条面垂直条面垂直．
(3)利条直线垂直两行面中垂直．
(4)利面面垂直性质定理．
7．证明线线垂直常方法
(1)利特殊图形中垂直关系．(2)利等腰三角形底边中线性质．
(3)利勾股定理逆定理．(4)利直线面垂直性质．
9．面面垂直
(1)面面垂直定义：两面相交 果成二面角直二面角说两面互相垂直．
(2)面面垂直判定定理性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
面面垂线两面垂直
⇒α⊥β
性质
定理
两面垂直面垂直交线直线面垂直
⇒l⊥α
10面面垂直两种证明方法
(1)定义法：利面面垂直定义判定两面成二面角直二面角证明面面垂直问题转化证明面角直角问题．
(2)定理法：利面面垂直判定定理证明中面面条垂线问题转化成证明线线垂直加解决．
第三章 直线方程
1．直线倾斜角
(1)定义：直线lx轴相交时取x轴作基准x轴正直线l方间成角做直线l倾斜角．
(2)规定：直线lx轴行重合时规定倾斜角0
(3)范围：直线l倾斜角取值范围[0π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l倾斜角α斜率k＝tan α
(2)坐标式：P1(x1y1)P2(x2y2)直线lx1≠x2l斜率k＝
3．直线方程五种形式
名称
方程
适范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
含垂直x轴直线
斜截式
y＝kx＋b
含垂直x轴直线
两点式
＝
含直线x＝x1(x1≠x2)
直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
含垂直坐标轴
原点直线
般式
Ax＋By＋C＝0
A2＋B2≠0
面直线适
4 求直线方程两种方法
(1)直接法：根已知条件选择适直线方程形式直接写出直线方程选择时应注意种形式方程适范围必时分类讨．
(2)定系数法设定含参数直线方程条件列出方程(组)求出参数代入直线方程．
5．两条直线行垂直判定
(1)两条直线行
①两条重合直线l1l2斜率分k1k2l1∥l2⇔k1＝k2．
②直线l1l2重合斜率存时l1∥l2．
(2)两条直线垂直
①果两条直线l1l2斜率存设k1k2l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②中条直线斜率存条直线斜率0时l1⊥l2．
6．两直线行重合充条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0行充条件A1B2－A2B1＝0A1C2≠A2C1重合充条件A1B2－A2B1＝0A1C2＝A2C．
7．两直线垂直充条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直充条件A1A2＋B1B2＝0．
8．三种距离
P1(x1y1)P2(x2y2)两点间距离|P1P2|
d＝
点P0(x0y0)直线l：Ax＋By＋C＝0距离
d＝
行线Ax＋By＋C1＝0Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
9．直线系方程
(1)直线Ax＋By＋C＝0行直线系方程Ax＋By＋m＝0(m∈Rm≠C)．
(2)直线Ax＋By＋C＝0垂直直线系方程Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点直线系方程
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)包括l2．
第四章 圆方程
1．圆定义方程
定义
面定点距离等定长点集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(ab)半径r
般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心
半径
2．点圆位置关系
点M(x0y0)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系：
(1)M(x0y0)圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)M(x0y0)圆(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)M(x0y0)圆(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
3 确定圆心方法
求圆标准方程关键确定圆心确定圆心方法：
(1)题目条件中出现直线圆相切时利圆心切点切线垂直直线确定圆心位置
(2)题目条件中出现直线圆相交考虑圆心弦垂直分线
(3)题目条件出现两圆相切时考虑切点两圆圆心线．
4 求圆方程两种方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标半径写出方程．
(2)定系数法：
①已知条件圆心(ab)半径r关设圆标准方程求出abr值
②选择圆般方程已知条件列出关DEF方程组进求出DEF值．
5 圆关值问题常见解法
(1)形μ＝形式值问题转化动直线斜率值问题．
(2)形t＝ax＋by形式值问题转化动直线截距值问题．
(3)形(x－a)2＋(y－b)2形式值问题转化动点定点距离方值问题．
必修三
第章 算法初步
1算法
(1)算法通常指定规解决某类问题明确限步骤
(2)应：算法通常编成计算机程序计算机执行解决问题
2程序框图
定义：程序框图称流程图种程序框流程线文字说明表示算法图形
3三种基逻辑结构
名称
容
序结构
条件结构
循环结构
定义
干先序执行步骤组成算法离开基结构
算法流程根条件否成立选择执行流结构形式
某处开始定条件反复执行某步骤情况反复执行步骤称循环体
程序
框图
第二章 统计
1简单机抽样
(1)定义：设总体含N体中逐放回抽取n体作样(n≤N)果次抽取时总体体抽机会相等种抽样方法做简单机抽样
(2)常简单机抽样方法：抽签法机数法
2分层抽样
(1)定义：抽样时总体分成互交叉层然定例层独立抽取定数量体层取出体合起作样种抽样方法做分层抽样
(2)应范围：总体差异明显部分组成时选分层抽样
3系统抽样
(1)定义：总体中体数目较时总体分成均衡部分然事先定出规部分抽取体需样种抽样方法做系统抽样
(2)系统抽样操作步骤：假设容量N总体中抽取容量n样
①先总体N体编号
②确定分段间隔k编号进行分段(n样容量)整数时取k＝
③第1段简单机抽样确定第体编号l(l≤k)
④定规抽取样通常l加间隔k第2体编号(l＋k)加k第3体编号(l＋2k)次进行直获取整样
4 样频率估计总体频率
(1)频率分布表画法：
第步：求极差决定组数组距组距＝
第二步：分组通常组数值区间取左闭右开区间组取闭区间
第三步：登记频数计算频率列出频率分布表
(2)频率分布直方图：反映样频率分布直方图(图)
横轴表示样数轴表示矩形面积表示样落该组频率
1频率分布直方图众数中位数均数关系
(1)高长方形底边中点横坐标众数
(2)中位数左边右边长方形面积相等
(3)均数频率分布直方图重心等频率分布直方图中长方形面积长方形底边中点横坐标
5样数字特征估计总体数字特征
(1)众数：组数中出现次数数做组数众数
(2)中位数：n数序排列处中间位置数(中间两数均数)做组数中位数
(3)均数：称a1a2…ann数均数
(4)标准差方差：设组数x1x2x3…xn均数组数标准差方差分
s＝s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
6 线性回分析
1 相关关系回分析
回分析具相关关系两变量进行统计分析种常方法判断相关性常统计图：散点图统计量相关系数相关指数
(1)散点图中点散布左角右角区域两变量种相关关系称正相关
(2)散点图中点散布左角右角区域两变量种相关关系称负相关
(3)果散点图中点分布整体致条直线附称两变量具线性相关关系
2线性回方程
（1）二法：样数点回直线距离方方法做二法．
（2）回方程：两具线性相关关系变量组数：回方程注意：线性回直线定点．
（3）相关系数：．
3回分析
(1)定义：具相关关系两变量进行统计分析种常方法
(2)样点中心：组具线性相关关系数(x1y1)(x2y2)…(xnyn)
中()称样点中心
(3)相关系数
r>0时表明两变量正相关r<0时表明两变量负相关
r绝值越接1表明两变量线性相关性越强
r绝值越接0表明两变量间存线性相关关系通常|r|075时认两变量强线性相关性
(4)相关指数：R2＝1－中 (yi－i)2残差方值越R2越(接1)模型拟合效果越
第三章 概率
1关机事件概率
(1)两基事件互斥
(2)事件(事件)表示成基事件
2关古典概型概率
1古典概型具两特征概率模型称古典概率模型简称古典概型
(1)试验结果限次试验出现中结果
(2)试验结果出现性相
2果次试验中出现结果n结果出现性相等基事件概率果某事件A包括结果m事件A概率P(A)＝
3 古典概型概率公式P(A)＝
3 关长度概率
1概型定义
果事件发生概率构成该事件区域长度(面积体积)成例称样概率模型概率模型简称概型
2 概型两基特点
(1)限性：次试验中出现结果限
(2)等性：结果发生具等性
3概型概率公式：P(A)＝
选修21
第章 常逻辑语
1．命题
语言符号式子表达判断真假陈述句做命题中判断真语句做真命题判断假语句做假命题．
2．四种命题相互关系
(1)四种命题间相互关系
(2)四种命题真假关系
①两命题互逆否命题具相真假性
②两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
3．充分条件必条件充条件概念
p⇒qpq充分条件qp必条件
pq充分必条件
p⇒qq⇏p
pq必充分条件
p⇏qq⇒p
pq充条件
p⇔q
pq充分必条件
p⇏qq⇏p
特提醒
条件pq集合形式出现A＝{x|p(x)}B＝{x|q(x)}A⊆Bpq充分条件请写出集合AB关系应条件pq关系．
①ABpq充分必条件②A⊇Bpq必条件
③ABpq必充分条件
④A＝Bpq充条件
⑤A⊈BA⊉Bpq充分必条件．
4．全称量词存量词
(1)全称量词：意符号∀表示存量词：存少符号∃表示．
(2)含全称量词命题做全称命题．M中意xp(x)成立符号简记：∀x∈Mp(x)．
(3)含存量词命题做特称命题．存M中元素x0p(x0)成立符号简记：∃x0∈Mp(x0)．
第二章 圆锥曲线方程
1 椭圆定义
面两定点F1F2距离等常数()点轨迹做椭圆．两定点做椭圆焦点两焦点间距离做椭圆焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}＝2c中a>0c>0ac常数．
(1)a＞c集合P椭圆
(2)a＝c集合P线段
(3)a＜c集合P空集．
2 椭圆标准方程性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
称性
称轴：坐标轴称中心：(00)
顶点
A1(－a0)A2(a0)
B1(0－b)B2(0b)
A1(0－a)A2(0a)
B1(－b0)B2(b0)
轴
长轴A1A2长2a短轴B1B2长2b
焦距
＝2c
离心率
e＝ e∈(01)
abc
关系
c2＝a2－b2
3双曲线定义
面两定点F1F2距离差绝值等非零常数()点轨迹做双曲线．两定点做双曲线焦点两焦点间距离做双曲线焦距．
集合P＝{M＝2a}＝2c中ac常数a>0c>0
(1)a＜c时点P轨迹双曲线
(2)a＝c时点P轨迹两条射线
(3)a＞c时点P存．
4 双曲线标准方程性质
标准方程
－＝1(a＞0b＞0)
－＝1(a＞0b＞0)
图形
性质
范围
x≥ax≤－ay∈R
y≤－ay≥ax∈R
称性
称轴：坐标轴称中心：原点
顶点
A1(－a0)A2(a0)
A1(0－a)A2(0a)
渐线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝ e∈(1＋∞)
abc关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2做双曲线实轴长＝2a线段B1B2做双曲线虚轴长＝2ba做双曲线实半轴长b做双曲线虚半轴长
5 抛物线标准方程性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p意义：焦点F准线l距离
图形
顶点
O(00)
称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0y∈R
x≤0y∈R
y≥0x∈R
y≤0x∈R
开口方
右
左
焦半径(中P(x0y0))
＝
x0＋
＝
－x0＋
＝
y0＋
＝
－y0＋
6焦点弦关常结
设A(x1y1)B(x2y2)．
(1)y1y2＝－p2x1x2＝(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θAB倾斜角)．
(3)＋定值(4)AB直径圆准线相切．
(5)AFBF直径圆y轴相切．
第三章空间量立体
1．空间量
(1)定义：空间中方量称空间量．
(2)模(长度)：量．
(3)表示方法：①表示法：线段直观表示量始点A终点B量记模||．
②字母表示法：字母abc…表示模|a||b||c|…．
类特殊量
(1)零量：始点终点相量称零量记作0．
(2)单位量：模等1量称单位量．
(3)相等量：相等方相量称相等量．
(4)相反量：方相反相等量称相反量．
(5)行量：方相者相反两非零量互相行时表示两非零量线段直线行重合．通常规定零量意量行．
(6)面量：般空间中量果表示线段通移面称量面．
2．空间量线性运算
类似面量定义空间量加法减法数运算．
图1 图2
(1)图1＝＋＝a＋b＝－＝a－b．
(2)图2＋＋＝．
三面量等三量邻边行六面体中三量始点角线表示量．
(3)定实数λ意空间量a实数λ空间量a相运算称数量记作λa．中：
①λ≠0a≠0时λa模|λ||a|λa方：
(ⅰ)λ＞0时a方相(ⅱ)λ＜0时a方相反．
②λ＝0a＝0时λa＝0．
(4)空间量线性运算满足运算律：
实数λμ量ab①λa＋μa＝(λ＋μ)a②λ(a＋b)＝λa＋λb．
3．空间量数量积
(1)空间量夹角
果〈ab〉＝量ab互相垂直记作a⊥b．
(2)空间量数量积定义：
已知两非零量ab|a||b|cos〈ab〉做ab数量积(积)记作a·b．
(3)数量积意义
①量投影
图示 量a始点终点分b直线作垂线量a量b投影a′
②数量积意义： ab数量积等ab投影a′数量b长度积特a单位量e数量积等ae投影a′数量．规定零量意量数量积0
(4)空间量数量积性质：
①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝|a|2＝a2③|a·b|≤|a||b|④(λa)·b＝λ(a·b)⑤a·b＝b·a(交换律)
5．面量定理
果两量ab线量abc面充条件存唯实数(xy)c＝xa＋yb．
6．空间量基定理
果空间中三量abc面空间中意量p存唯序实数组(xyz)p＝xa＋yb＋zc．
特abc面时知xa＋yb＋zc＝0时x＝y＝z＝0．
7．空间中量坐标
般果空间量基底{e1e2e3}中e1e2e3单位量三量两两垂直称组基底单位正交基底单位正交基底量分解称量单位正交分解果p＝xe1＋ye2＋ze3称序实数组(xyz)量p坐标记作p＝(xyz)．中xyz称p坐标分量．
思考1：a＝xe1＋ye2＋ze3a坐标定(xyz)？
8．空间量运算坐标关系
假设空间中两量ab满足a＝(x1y1z1)b＝(x2y2z2)结：
(1)a＋b＝(x1＋x2y1＋y2z1＋z2)
(2)uv两实数ua＋vb＝(ux1＋vx2uy1＋vy2uz1＋vz2)
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2(4)|a|＝＝
(5)a≠0b≠0时cos〈ab〉＝＝．
9．空间量坐标空间量行垂直
(1)a≠0时a∥b⇔b＝λa⇔(x2y2z2)＝λ(x1y1z1)⇔a坐标分量零时a∥b⇔＝＝．
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
10．空间直角坐标系
(1)空间中意选定点O作坐标原点选择合适面先建立面直角坐标系xOy然O作条xOy面垂直数轴z轴．样建立空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)空间直角坐标系Oxyz中x轴y轴z轴两两垂直称坐标轴通两坐标轴面称坐标面．
(3)z轴正方确定：z轴正半轴xOy面x轴正半轴绕O点逆时针方旋转90°y轴正半轴重合．
(4)空间直角坐标系画法：面画空间直角坐标系Oxyz时般x轴y轴画成水放置x轴正方y轴正方夹角135°(45°)z轴y轴(x轴)垂直．
(5)空间中点坐标：空间点M坐标序实数组(xyz)表示序实数组(xyz)做点M空间直角坐标系中坐标中x做点M横坐标(x坐标)y做点M坐标(y坐标)z做点M竖坐标(z坐标)．
(6)三坐标面坐标面点分成八部分部分称卦限逆时针方坐标面xOy方分第Ⅰ卦限第Ⅱ卦限第Ⅲ卦限第Ⅳ卦限面xOy方分第Ⅴ卦限第Ⅵ卦限第Ⅶ卦限第Ⅷ卦限根点坐标特征第Ⅰ卦限点集集合表示{(xyz)|x＞0y＞0z＞0}．
11．空间量坐标应
(1)点P(xyz)坐标原点O(000)距离OP＝．
(2)意两点P1(x1y1z1)P2(x2y2z2)间距离P1P2＝．
选修22
第章 导数应
均变化率
1变化率
事物变化率相关两量增量值气球均膨胀率半径增量体积增量值
2均变化率
般函数f(x)区间均变化率：
3求函数均变化率
求函数均变化率通常两步法：
①作差：求出
②作商：求差作商
二导数概念
定义：函数处瞬时变化率称函数处导数记作
三求导数方法：
求导数值般步骤：
① 求函数增量：
② 求均变化率：
③ 求极限导数：
称三步法求导数
第二章 推理证明
1．合情推理：
(1)纳推理：部分整体般推理．
(2)类推理：特殊特殊推理．
(3)合情推理： 纳类常合情推理根已事实观察分析较联想进行纳类然提出猜想推理．
2．演绎推理：
(1)演绎推理般特殊推理．
(2)三段演绎推理般模式包括：
①前提——已知般原理
②前提——研究特殊情况
③结——根般原理特殊情况做出判断．
3．直接证明间接证明
(1)直接证明两类基方法综合法分析法：
①综合法条件推导出结证明方法
②分析法结追溯条件证明方法
(2)间接证明种方法反证法结反面成立出发推出矛盾证明方法．
4．数学纳法：
数学纳法解决然数关数学问题．证明时两步骤缺．第步(纳奠基)n＝n0时结成立．
第二步(纳递推)假设n＝k时结成立推n＝k＋1时结成立．
特注意n＝kn＝k＋1时增加项数．
第三章 复数
1．复数关概念分类
(1)代数形式z＝a＋bi(ab∈R)中实部a虚部b
(2)轭复数z＝a－bi(ab∈R)．
(3)复数分类
① z＝a＋bi(ab∈R)实数z关系z＝
②z＝a＋bi(ab∈R)纯虚数z关系z＋＝0(z≠0)．
2．复数运算关问题
(1)复数相等充条件
a＋bi＝c＋di⇔(abcd∈R)．
(2)复数模
复数z＝a＋bi模|z|＝z·＝|z|2＝a2＋b2
(3)复数四运算两复数z1＝a1＋b1iz2＝a2＋b2i(a1b1a2b2∈R)
①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i
②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i
③法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i
④法：＝＝＋i(z2≠0)
3．复数意义
(1)复数z＝a＋bi应着复面点Z(ab)应着原点出发量
(2)复数加法意义
复数z1z2应量12线复数z1＋z212两邻边行四边形角线应复数．
(3)复数减法意义
复数z1－z2连接量12终点指Z1量应复数．
选修23
第章 计数原理
1分类加法计数原理：
做件事情完成n类办法第类办法中种方法第二类办法中种方法……第n类办法中种方法完成件事 种方法
2 分步法计数原理：
做件事情完成需分成n步骤做第步种方法做第二步种方法……做第n步种方法完成件事 种方法
排列
1．排列概念：
元素中取（）元素（里取元素相）定序排成列做元素中取出元素排列
说明：（1）排列定义包括两方面：①取出元素②定序排列
（2）两排列相条件：①元素完全相②元素排列序相
2．排列数定义：
元素中取（）元素排列数做元素中取出元素排列数符号表示注意区排列排列数：排列指：元素中取元素定序排成列数排列数指元素中取（）元素排列数数符号表示排列数表示具体排列
3．排列数公式推导：
意义：假定排序2空位元素中取2元素填空空位填元素种填法排列反排列总样种填法填法种数排列数．分步计数原理完成述填空种填法∴
求次填3空位考虑∴
求次填空位考虑
排列数公式：
（）
说明：（1）公式特征：第数面数前面少1数数
（2）全排列：时元素全部取出排列
全排列数：（做n阶） 外规定 0 1
1组合概念：般元素中取出元素成组做元素中取出元素组合
说明：⑴元素⑵取排——序性⑶相组合：元素相
1．两重公式
(1)排列数公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(nm∈N*m≤n)．
(2)组合数公式
C＝＝(nm∈N*m≤n)．
2．三重性质定理
(1)组合数性质
①C＝(nm∈N*m≤n)
②C＝(nm∈N*m≤n)
③C＝1
(2)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn中通项Tr＋1＝Can－rbr
(3)二项式系数性质
①C＝CC＝C…C＝C
②C＋C＋C＋…＋C＝2n
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
第二章 机变量分布
1．机变量：果机试验结果变量表示样变量做机变量常希腊字母ξη等表示．
2．离散型机变量：机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量．
3．连续型机变量：机变量取值取某区间切值样变量做连续型机变量．
4．分布列：设离散型机变量ξ取值 x1x2…x3…
ξ取值xi（i12…）概率称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
机变量ξ概率分布简称ξ分布列．
5．分布列两性质：机事件发生概率满足：事件概率0必然事件概率1．出离散型机变量分布列具面两性质：⑴ ⑵．
6．独立重复试验：样条件重复做次试验称次独立重复试验次试验发生发
生结果某事件发生发生次试验中发生概率样果次试验
中某事件发生概率Pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率计算公式：．
7．常见离散型机变量分布列
⑴两点分布：
X
0
1
P
1P
P
⑵二项分布：果次试验中某事件发生概率Pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率（k＝012…n）．称机变量ξ服二项分布．
记作ξ～B(np)中np参数记＝b(knp)．
⑶超分布：含M件次品N件产品中取n件中恰X件次品中．
称分布列
超分布列 称X服超分布．
离散型机变量：果机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量ξ机变量ab常数机变量般ξ机变量连续函数单调函数机变量说机变量某函数机变量
设离散型机变量ξ取值：
ξ取值概率表称机变量ξ概率分布简称ξ分布列
…
…
P
…
…
性质① ②
注意：机变量取某区间切值样变量做连续型机变量例：取0～5间切数包括整数数理数
1⑴二项分布：果次试验中某事件发生概率Pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率：[中]
机变量ξ概率分布：称样机变量ξ服二项分布记作～B（n·p）中np参数记
⑵二项分布判断应
① 二项分布实际n次独立重复试验关键某事件否进行n次独立重复次试验两种结果果满足两条件机变量服二项分布
② 机变量总体抽取样容量相总体说较次抽取时两种试验结果时作独立重复试验利二项分布求分布列
③ 判断机变量否服二项分布两点：①否n次独立重复试验次试验中事件A发生概率否均p②机变量否n次独立重复试验中某事件发生次数表示独立重复试验中事件A恰发生k次概率．
2密度曲线密度函数：连续型机变量ξ位x轴方ξ落区间概率等x轴直线直线围成曲边梯形面积（图阴影部分）曲线ξ密度曲线作图函数做ξ密度函数必然事件密度曲线x轴夹部分面积等1
1 期含义：般离散型机变量ξ概率分布
…
…
P
…
…
称ξ数学期均数均值数学期简称期数学期反映离散型机变量取值均水
2 ⑴机变量数学期：
①时常数数学期常数身
②时机变量ξ常数期等ξ期常数
③时常数机变量积期等常数机变量期积
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布：分布列：
⑶两点分布：分布列：（p + q 1）
⑷二项分布： 分布列～（P发生概率）
⑸分布： 分布列～（P发生概率）
3方差标准差定义：已知机变量ξ分布列时称
ξ方差 显然ξ根方差标准差机变量ξ方差标准差反映机变量ξ取值稳定波动集中离散程度越稳定性越高波动越
4方差性质
⑴机变量方差（ab均常数）
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布： 分布列
⑶两点分布： 分布列：（p + q 1）
⑷二项分布：
⑸分布：
5 期方差关系
⑴果存
⑵设ξ互相独立两机变量
⑶期方差转化： ⑷（常数）
温馨提示离散型机变量均值方差求解般分两步：定型先判断机变量分布特殊类型般类型两点分布二项分布超分布等属特殊类型二定性特殊类型均值方差直接代入相应公式求解般类型机变量应先求概率分布然代入相应公式计算注意离散型机变量取值概率间应．
求离散型机变量概率分布列数学期理科高考数学必考题型．求离散型机变量概率分布列问题时首先清楚离散型机变量取值机变量取值时应事件概率计算出概率值列出离散型机变量概率分布列数学期公式计算出数学期．
1 ⑴正态分布正态曲线：果机变量ξ概率密度： （常数）称ξ服参数正态分布～表示表达式简记密度曲线简称正态曲线
⑵正态分布期方差：～ξ期方差分：
⑶正态曲线性质
① 曲线x轴方x轴相交
② 曲线关直线称
③ 时曲线处高点x左右远离时曲线断降低呈现出中间高两边低钟形曲线
④＜时曲线升＞时曲线降曲线左右两边限延伸时x轴渐线x轴限
⑤定时曲线形状确定越曲线越矮胖表示总体分布越分散越曲线越瘦高表示总体分布越集中
2 ⑴标准正态分布：果机变量ξ概率函数称ξ服标准正态分布 ～求出P（a＜≤b）计算
注意：标准正态分布X取0时X取0数时必然0图
⑵正态分布标准正态分布间关系：～ξ分布函数通常表示
3⑴3原
假设检验正态总体言进行假设检验结三步：①提出统计假设统计假设里变量服正态分布②确定次试验中取值否落入范围③做出判断：果接受统计假设 果概率事件拒绝统计假设
⑵3原应：机变量ξ服正态分布 ξ落概率997％ 落外概率03％概率事件果事件发生说明种产品合格（ξ服正态分布）
选修44
极坐标参数方程
1 极坐标系概念：
面取定点Ｏ做极点
极点Ｏ引条射线Ｏｘ做极轴
选定长度单位角度单位(通常取弧度)正方(通常取逆时针方)样建立极坐标系．
2．点极坐标：
设面点极点Ｏ点距离做点极径记
极轴Ｏx始边射线OM终边∠XOM做点极角记．
序数做点极坐标记M
极坐标表示点．极点O坐标
3． 点极坐标直角坐标互化：
4直线极坐标方程
（1）极点直线极坐标方程：（）
（2）极点直线两点距离：
图示直线 （）
5圆极坐标方程：
极坐标系中极点圆心r半径圆极坐标方程
极坐标系中 (a>0)圆心 a半径圆极坐标方程
极坐标系中 (a>0)圆心a半径圆极坐标方程
1． 参数方程概念：
面直角坐标系中果曲线意点坐标xy某变数t函数 t 允许值方程确定点M(xy)条曲线方程做条曲线参数方程联系变数xy变数t 做参变数简称参数．相参数方程言直接出点坐标间关系方程做普通方程．
2．常见曲线参数方程：
（1）圆参数方程表示
参数方程化成圆标准方程步骤：移项：方：相加：
（2） 椭圆(a>b>0)参数方程表示
椭圆参数方程课表示
（3） 抛物线参数方程表示
（4）双曲线参数方程(θ参数)．
（5）点倾斜角直线l参数方程表示 （t参数）．
① 中点应参数：
选修45 等式选讲
1．二维形式柯西等式
abcd实数(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2仅ad＝bc时等号成立．
2．柯西等式量形式
设αβ两量|α·β|≤|α||β|仅β零量存实数kα＝kβ时等号成立．
3．二维形式三角等式
设x1y1x2y2∈R＋≥
般形式柯西等式
1．三维形式柯西等式
设a1a2a3b1b2b3实数(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2仅bi＝0(i＝123)存数kai＝kbi(i＝123)时等号成立．
2．般形式柯西等式
设a1a2a3…anb1b2b3…bn实数(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2仅bi＝0(i＝12…n)存数kai＝kbi(i＝12…n)时等号成立．
注意：
1．柯西等式般形式说明：
般形式柯西等式二维形式 三维形式四维形式柯西等式纳推广特点类二维形式柯西等式总结左边方积右边积方．运时关键构造出符合柯西等式结构形式．
2．关柯西等式证明：
函数f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2 ＋…＋(anx－bn)2显然f(x)≥0时x∈R恒成立
f(x)＝(a＋a＋…＋a)x2－2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b＋b＋…＋b)≥0x∈R恒成立
∴Δ＝ 4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≤0
4(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
3．般形式柯西等式成立条件：
柯西等式证明程知Δ＝0⇔f(x)min＝0⇔a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝0⇔b1＝b2＝…＝bn＝0＝＝…＝
4．柯西等式种常见变形：
(1)设a＋a＋…＋a＝b＋b＋…＋b＝1－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1
(2)设ai∈R(i＝123…n)≤
(3)设ai∈Rbi>0(i＝123…n)＋＋…＋≥
(4)设aibi>0(i＝123…n)＋＋…＋≥
排序等式
1．乱序反序序
设a1≤a2≤…≤anb1≤b2≤…≤bn两组实数c1c2…cnb1b2…bn排列称a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn乱序a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1反序a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn序．
2．排序等式(称排序原理)
设a1≤a2≤…≤anb1≤b2≤…≤bn两组实数c1c2…cnb1b2…bn排列a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn
仅a1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…＝bn时反序等序．
3．排序原理简记
反序≤乱序≤序．
1．数学纳法定义
般证明命题某正整数n0正整数n成立时两步骤：
(1)证明n＝n0时命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋k≥n0)时命题成立证明n＝k＋1时命题成立．
完成两步骤断定命题n0正整数成立种证明方法称数学纳法．
2．数学纳法适范围
适证明限正整数关命题．
3．数学纳法步骤
(1)(纳奠基)验证n＝n0(n0命题成立起始然数)时命题成立
(2)(纳递推)假设n＝k(k∈N＋k≥n0)时命题成立推导n＝k＋1时命题成立．
(3)结：(1)(2)知命题切n≥n0然数成立．
注意：数学纳法证明关键两步骤做递推基础少纳假设结写明莫忘掉必须注意三点：
(1)验证基础．数学纳法原理表明：第步骤找数n0n0证明命题象然数然数定1找准起点奠基稳正确运数学纳法注意第问题．
(2)递推关键．数学纳法实质递推kk＋1程必须纳假设n＝k时命题成立作条件导出n＝k＋1时命题成立推导程中纳假设次次没纳假设证明数学纳法．
(3)正确寻求递推关系．数学纳法第二步递推关重寻找递推关系呢？①第步验证时妨计算项正确写出样发现递推关系帮助②探求数列通项公式时善观察式子命题变化规律观察n处位置③书写f(k＋1)时定包含f(k)式子写出尤f(k)中项．外项少项分析清楚．
关贝努利等式
(1)(1＋x)n>1＋nx成立两条件：①n∈N＋n≥2②x取值范围x>－1x≠0
命题：n∈N＋n≥2时等式(1＋x)n>1＋nx切x∈(－10)∪(0＋∞)恒成立．
(2)常特例：①x>－1x≠0时(1＋x)2>1＋2x
②x>－1x≠0时(1＋x)3>1＋3x
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必修
第章 集合函数概念
1集合
11集合概念表示
⑴集合中元素三特征：
①．确定性：定集合元素集合中确定．
②．互异性：集合中元素互相集合中元素重复出现
③．序性：集合中元素序意排列调换
⑵元素集合关系两种：属（符号表示）属（符号表示）．
⑶集合常表示方法三种：列举法Venn图描述法．
(4)常见数集表示符号
名称
然数集
正整数集
整数集
理数集
实数集
表示符号
N
Z
Q
R
12集合间基关系
性质
符号表示
空集
空集集合子集
空集非空集合真子集
相等
集合A集合B元素相
AB
子集
集合A中元素均集合B中元素
真子集
集合A中元素均集合B中元素B中少元素A中没
13集合间基运算
符号表示
集合表示
集
交集
补集
重提醒
1．限集A中n元素集合A子集数2n真子集数2n－1
2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B
3．奇数集：
4 德▪摩根定律：①集补集等补集交集
②交集补集等补集集．
2函数表示
21函数映射相关概念
函数
映射
两集合AB
设AB两非空数集
设AB两非空集合
应关系
某种确定应关系f集合A中意数x集合B中唯确定数f(x)应
某确定应关系f集合A中意元素x集合B中唯确定元素y应
名称
称f：A→B集合A集合B函数
称f：A→B集合A集合B映射
记法
y＝f(x)x∈A
f：A→B
注意：判断应关系否函数关系应关系否满足函数定义中定义域意变量值唯确定函数值核心点．
(2)函数定义域值域
函数y＝f(x)x∈A中x做变量x取值范围A做函数定义域x值相应y值做函数值函数值集合{f(x)|x∈A}做函数值域．
(3)构成函数三素：函数三素定义域值域应关系
(4)函数表示方法
函数表示方法三种：解析法列表法图象法
解析法：般情况必须注明函数定义域
列表法：选取变量代表性应反映定义域特征
图象法：注意定义域图象影响
22函数三素
（1）．函数定义域
函数定义域函数解析式意义变量取值范围常见基初等函数定义域求：
(1)分式函数中分母等零(2)偶次根式函数开方式等0
(3)次函数二次函数定义域均R(4)y＝x0定义域{x|x≠0}
（2）．函数解析式
(1)函数解析式表示函数种方式y＝f(x)形式根题目条件转化该形式
(2)求函数解析式时定注意函数定义域变化特利换元法(配凑法)求出解析式注明定义域导致错误
（3）．函数值域
函数值域函数值构成集合熟练掌握四种常见初等函数值域：
(1)次函数y＝kx＋b(k常数k≠0)值域R
(2)反例函数(k常数k≠0)值域(−∞0)∪(0＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(abc常数a≠0)
a>0时二次函数值域a<0时二次函数值域
求二次函数值域时应掌握配方法：
23分段函数
分段函数概念
函数定义域子集应关系分式子表示种函数称分段函数．分段函数部分组成表示函数．
3函数基性质
31函数单调性
单调函数定义
增函数
减函数
定义
般设函数f(x)定义域I果定义域I某区间D意两变量值x1x2
x1
图象描述
左右图象升
左右图象降
单调区间定义
果函数y＝f(x)区间D增函数减函数说函数y＝f(x)区间具(严格)单调性区间D做y＝f(x)单调区间．
函数值
前提
设函数定义域果存实数满足
条件
（1）意
（2）存
（3）意
（4）存
结
值
值
注意：（1）函数值域定存函数值定存
（2）函数值存定值域中元素函数值域开区间函数值函数值域闭区间闭区间端点值函数值
函数单调性常结
（1）均区间A增(减)函数区间A增(减)函数
（2）单调性相单调性相反
（3）函数公定义域单调性相反
（4）函数公定义域单调性相
（5）重函数单调性：
①单调性：单调递增单调递减
②（）单调性：单调递增单调递减．
32 函数奇偶性
（1）．函数奇偶性定义图象特点
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
果函数定义域意函数偶函数
图象关轴称
奇函数
果函数定义域意函数奇函数
图象关原点称
注意：函数奇偶性定义知函数具奇偶性前提条件：定义域意x定义域（定义域关原点称）．
（2）．函数奇偶性重结
（1）奇函数关原点称区间单调性相偶函数关原点称区间单调性相反．
（2）公定义域面结：
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
确定
确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
确定
确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
（3）奇函数定义域包括．
（4）函数偶函数．
（5）定义意函数唯表示成奇函数偶函数．
（6）函数定义域关原点称偶函数奇函数偶函数．
重难点 复合函数单调性①奇函数+奇函数奇函数偶函数+偶函数偶函数
②奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数偶函数偶函数偶函数
第二章 基初等函数
21 指数指数函数
（1）根式
概念：式子做根式中n做根指数a做开方数
性质：()n＝a(a意义)
n奇数时＝an偶数时＝|a|＝
（2）分数指数幂
规定：正数正分数指数幂意义a＝(a>0mn∈N*n>1)正数负分数指数幂意义a－＝(a>0mn∈N*n>1)0正分数指数幂等00负分数 指数幂没意义
理指数幂运算性质：aras＝ar+s(ar)s＝ars(ab)r＝arbr中a>0b>0rs∈Q
（3）指数函数性质
概念：函数y＝ax(a>0a≠1)做指数函数x变量函数定义域Ra底数
指数函数图象性质
a>1
0
定义域
R
值域
(0＋∞)
性质
定点(01)x＝0时y＝1
x>0时y>1
x<0时0
x>0时0
(－∞＋∞)减函数
22 数数函数
（1）数概念
果ax＝N(a>0a≠1)x做a底N数记作中a做数底数N做真数
（2）数性质换底公式运算性质
(1)数性质：①alogaN＝N②logaab＝b(a>0a≠1)
(2)数运算法果a>0a≠1M>0N>0
① ②
③(nR) ④
(3)换底公式：(ab均零等1)
（3）数函数性质
(1)概念：y＝logax(a＞0a≠1)做数函数中x变量定义域(0＋∞)
(2)数函数图象性质
a>1
0
性质
定义域：(0＋∞)
值域：R
x＝1时y＝0定点(10)
x>1时y>0
0
0
(0＋∞)增函数
(0＋∞)减函数
23 幂函数
(1)幂函数定义：般形y＝xα函数称幂函数中x变量α常数
(2)常见5种幂函数图象
(3)幂函数性质
①幂函数(0＋∞)定义
②α>0时幂函数图象点(11)(00)(0＋∞)单调递增
③α<0时幂函数图象点(11)(0＋∞)单调递减
第三章 函数应
1函数零点定义
般果函数实数处值等零做函数零点
重点强调：零点点实数
2零点存性定理
果函数区间[ab]图象连续断条曲线函数区间（ab）零点存c方程根
3二分法
二分法求零点：区间连续断满足·函数通断函数零点区间分二区间两端点逐步逼零点进零点似值方法做二分法．
定精度二分法求函数零点似值步骤：
（1）确定区间验证·定精度
（2）求区间中点
（3）计算：①函数零点
②·<令（时零点）
③·<令（时零点）
（4）判断否达精度
零点零点值（）否重复步骤2~4
注意：二分法条件·表明二分法求函数似零点指变号零点
必修四
第章 三角函数
1 角概念
1．角定义
角成面条射线绕着端点位置旋转位置形成图形．
2．角分类
角分类
3．终边相角
角α终边相角连角α构成集合：S＝{β|β＝α＋k·360°k∈Z}．
2弧度制应
1．弧度制定义
长度等半径长弧圆心角做1弧度角弧度记作rad
2．弧度制关公式
角α弧度数公式
|α|＝(弧长l表示)
角度弧度换算
①1°＝ rad②1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝lr＝|α|r2
3意角三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α意角终边单位圆交点P(xy)
做α正弦记sin α
做α余弦记cos α
做α正切记tan α
象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
线段MP正弦线
线段OM余弦线
线段AT正切线
4角三角函数基关系
1．角三角函数基关系
(1)方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝
2．角三角函数基关系式应技巧
5三角函数诱导公式
组数
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
6正弦余弦正切函数图象性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－11]
[－11]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
(k∈Z)递增函数
(k∈Z)递减函数
[2kπ－π2kπ](k∈Z)递增函数[2kπ2kπ＋π](k∈Z)递减函数
(k∈Z)
递增函数
周期性
周期2kπ(k∈Zk≠0)正周期2π
周期2kπ(k∈Zk≠0)正周期2π
周期kπ(k∈Zk≠0)正周期π
称性
称轴x＝＋kπ(k∈Z)称中心(kπ0)(k∈Z)
称轴x＝kπ(k∈Z)称中心
(k∈Z)
称中心(k∈Z)
6函数y＝Asin(ωx＋φ)图象
1．五点法作正弦函数余弦函数简图
(1)五点法作图原理：
正弦函数y＝sin xx∈[02π]图象五点：(00)(π0)(2π0)．
余弦函数y＝cos xx∈[02π]图象五点：(01)(π－1)(2π1)
(2)五点法作图三步骤：列表描点连线(注意光滑)．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0ω>0)
A
T＝
f＝＝
φ
3五点法画y＝Asin(ωx＋φ)周期简图
五点法画y＝Asin(ωx＋φ)周期简图时找五关键点表示：
x
－
－
－
ωx＋φ
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
第二章 面量
1量关概念
名称
定义
备注
量
方量量做量长度(称模)
面量量
零量
长度0量
记作0方意
单位量
长度等1单位量
非零量a单位量±
行量
方相相反非零量(做线量)
0量行线
相等量
长度相等方相量
两量相等相等较
相反量
长度相等方相反量
0相反量0
2量线性运算
量运算
定义
法(意义)
运算律
加法
求两量运算
三角形法
行四边形法
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求ab相反量－b运算做ab差
三角形法
a－b＝a＋(－b)
数
求实数λ量a积运算
|λa|＝|λ||a|λ＞0时λa方a方相λ＜0时λa方a方相反λ＝0时λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λb
3面量坐标运算
运算
坐标表示
(差)
a＝(x1y1)b＝(x2y2)a＋b＝(x1＋x2y1＋y2)a－b＝(x1－x2y1－y2)
数
已知a＝(x1y1)λa＝(λx1λy1)中λ实数
量坐标
已知A(x1y1)B(x2y2)＝(x2－x1y2－y1)
4量夹角
定义
图示
范围
线垂直
已知两非零量ab作＝a＝b∠AOBab夹角
设θab夹角θ取值范围0°≤≤180°
θ＝⇔a∥bθ＝90°⇔a⊥b
5面量数量积
定义
设两非零量ab夹角θ数量|a||b|cos θ做ab数量积记作a·b
投影
|a|cos θ做量ab方投影
|b|cos θ做量ba方投影
意义
数量积a·b等a长度|a|ba方投影|b|cos θ积
6量数量积运算律
交换律
a·b＝b·a
分配律
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
数结合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
第三章 三角恒等变换
1角三角函数基关系式 ：①②
2正弦余弦诱导公式（奇变偶变符号象限）
3角差角公式
4二倍角公式降幂公式
必修五
第章 解三角形
正弦定理 （R外接圆半径）
正弦定理变形①
②
三角形常结
（1）
（2）△ABC中
（3)面积公式：
①②
第二章 数列
21等差数列
（1）等差数列定义（证明判断等差数列）
①②
（2）．等差数列通项公式：
①时等差数列通项公式关次函数斜率公差
（3）．等差数列前：
①前关二次函数常数项0
（4）等差中项：
⑴成等差数列A做等差中项
⑵时
5等差数列 …成等差数列
22等数列
（1）等数列定义（证明判断等数列）
（2）等数列通项公式：
（3）等数列前：①时
②时
（4）等中项：
⑴成等数列A做等中项
⑵时
第三章 等式
1元二次等式概念形式
(1)概念：含未知数知数高次数2等式称元二次等式．
(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0) ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)
③ax2＋bx＋c<0(a≠0) ④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
2元二次等式解集概念三二次间关系
(1)元二次等式解集概念：
般某元二次等式成立x值做等式解元二次等式解组成集合做元二次等式解集
(2)关x元二次等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)ax2＋bx＋c<0(a≠0)解集
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)元二次等式f(x)>0f(x)<0解集分二次函数f(x)函数值正值负值时变量x取值集合．
(3)三二次间关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)方程ax2＋bx＋c＝0判式Δ＝b2－4ac
判式Δ
＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
解等式
f(x)>0
f(x)<
0步骤
求方程f(x)＝0解
两等实数解x1x2
两相等实数解x1＝x2
没实数解
画函数y＝f(x)示意图
等式
解
集
f(x)>0
{x|x
{x|x≠－}
R
f(x)<0
{x|x1
∅
3分式等式解法
定义：分母中含未知数分子分母关x项式等式称分式等式
解法：等价转化法解分式等式
>0⇔f(x)g(x)>0<0⇔f(x)·g(x)<0
4简单高次等式解法
解法：穿根法
①f(x)高次项系数化正数
②f(x)分解干次式积二次分式积
③次式根标数轴右左次通点画曲线(注意重根情况偶次方根穿奇次方根穿)
④观察曲线显现出f(x)值符号变化规律写出等式解集．
5二元次等式(组)
(1)定义：含两未知数未知数次数1等式称二元次等式二元次等式组成等式组称二元次等式组．
(2)解集：满足二元次等式(组)xy取值构成序数(xy)样序数(xy)构成集合称二元次等式(组)解集．序数成直角坐标面点坐标二元次等式(组)解集成直角坐标点构成集合．
6面区域
(1)定义：般面直角坐标系中二元次等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0某侧点组成面区域直线Ax＋By＋C＝0某侧点组成面区域直线Ax＋By＋C＝0称面区域边界时面直角坐标系中直线Ax＋By＋C＝0画成虚线表示区域包括边界等式Ax＋By＋C≥0表示面区域包括边界边界画成实线
(2)判断方法：需直线Ax＋By＋C＝0侧取某特殊点(x0y0)作测试点Ax0＋By0＋C符号断定Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0侧面区域．
特C≠0时常取原点(00)作测试点C＝0时常取(01)(10)作测试点．
7线性规划中基概念
名称
意义
约束条件
变量xy满足组条件
线性约束条件
关xy二元次等式
目标函数
欲求值值涉变量xy解析式
线性目标函数
目标函数关xy次函数解析式
行解
满足线性约束条件解
行域
行解组成集合
优解
目标函数取值值行解
线性规划问题
线性约束条件求线性目标函数值值问题
8线性规划常解决列问题：
(1)定定数量力物力资金等资源样安排运资源完成务量收效益．
(2)定项务样统筹安排完成项务力资金物力资源常见问题：物资调运产品安排料等问题．
9基等式()均值等式：
10基等式变形拓展
1．(1)
(2)（仅时取）．
2．(1)(2)（仅时取）
(3)（仅时取）．
3．（仅时取）（仅时取）（仅时取）．
4．（仅时取）（仅时取）．
5．重等式链：．
必修二
第章 空间体
1．面体结构特征
2．旋转体形成
体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
边直线
圆锥
直角三角形
直角边直线
圆台
直角梯形
垂直底边腰直线
球
半圆
直径直线
3．空间体直观图
空间体直观图常斜二测画法画规：
(1)原图形中x轴y轴z轴两两垂直直观图中x′轴y′轴夹角45°135°z′轴x′轴y′轴面垂直
(2)原图形中行坐标轴线段直观图中行坐标轴行x轴z轴线段直观图中保持原长度变行y轴线段直观图中长度变原半
三变
三变
(3)面图形直观图原图形面积关系：S直观图＝S原图．
4．面体表面积侧面积
面体面面面体侧面积侧面面积表面积侧面积底面面积．
5．圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展
开图
侧面积
公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
6．柱锥台球表面积体积
名称
体
表面积
体积
柱体
(棱柱圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台圆台)
S表面积＝S侧＋S＋S
V＝(S＋S＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
第二章 点线面间位置关系
1．直线面行判定定理性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
面外条直线面条直线行该直线面行(线线行⇒线面行)
l∥aa⊂α
l⊄α⇒l∥α
性质
定理
条直线面行条直线面面交线该直线行(线面行⇒线线行)
l∥αl⊂β
α∩β＝b⇒l∥b
2．判断证明线面行常方法
(1)利线面行定义(公点)．
(2)利线面行判定定理(a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α)．
(3)利面面行性质定理(α∥βa⊂α⇒a∥β)．
(4)利面面行性质(α∥βa⊄αa⊄βa∥α⇒a∥β)．
3面面行判定定理性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
面两条相交直线面行两面行(线面行⇒面面行)
a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α⇒α∥β
性质
定理
果两行面时第三面相交交线行
α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b
4重结
(1)垂直条直线两面行a⊥αa⊥βα∥β
(2)垂直面两条直线行a⊥αb⊥αa∥b
(3)行面两面行α∥ββ∥γα∥γ
5．直线面垂直
(1)直线面垂直定义：直线l面α意条直线垂直说直线l面α互相垂直．
(2)直线面垂直判定定理性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
条直线面两条相交直线垂直该直线面垂直
⇒l⊥α
性质
定理
垂直面两条直线行
⇒a∥b
6．证明线面垂直常方法
(1)利线面垂直判定定理．
(2)利两行线中条面垂直条面垂直．
(3)利条直线垂直两行面中垂直．
(4)利面面垂直性质定理．
7．证明线线垂直常方法
(1)利特殊图形中垂直关系．(2)利等腰三角形底边中线性质．
(3)利勾股定理逆定理．(4)利直线面垂直性质．
9．面面垂直
(1)面面垂直定义：两面相交 果成二面角直二面角说两面互相垂直．
(2)面面垂直判定定理性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
面面垂线两面垂直
⇒α⊥β
性质
定理
两面垂直面垂直交线直线面垂直
⇒l⊥α
10面面垂直两种证明方法
(1)定义法：利面面垂直定义判定两面成二面角直二面角证明面面垂直问题转化证明面角直角问题．
(2)定理法：利面面垂直判定定理证明中面面条垂线问题转化成证明线线垂直加解决．
第三章 直线方程
1．直线倾斜角
(1)定义：直线lx轴相交时取x轴作基准x轴正直线l方间成角做直线l倾斜角．
(2)规定：直线lx轴行重合时规定倾斜角0
(3)范围：直线l倾斜角取值范围[0π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l倾斜角α斜率k＝tan α
(2)坐标式：P1(x1y1)P2(x2y2)直线lx1≠x2l斜率k＝
3．直线方程五种形式
名称
方程
适范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
含垂直x轴直线
斜截式
y＝kx＋b
含垂直x轴直线
两点式
＝
含直线x＝x1(x1≠x2)
直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
含垂直坐标轴
原点直线
般式
Ax＋By＋C＝0
A2＋B2≠0
面直线适
4 求直线方程两种方法
(1)直接法：根已知条件选择适直线方程形式直接写出直线方程选择时应注意种形式方程适范围必时分类讨．
(2)定系数法设定含参数直线方程条件列出方程(组)求出参数代入直线方程．
5．两条直线行垂直判定
(1)两条直线行
①两条重合直线l1l2斜率分k1k2l1∥l2⇔k1＝k2．
②直线l1l2重合斜率存时l1∥l2．
(2)两条直线垂直
①果两条直线l1l2斜率存设k1k2l1⊥l2⇔k1·k2＝－1．
②中条直线斜率存条直线斜率0时l1⊥l2．
6．两直线行重合充条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0行充条件A1B2－A2B1＝0A1C2≠A2C1重合充条件A1B2－A2B1＝0A1C2＝A2C．
7．两直线垂直充条件
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直充条件A1A2＋B1B2＝0．
8．三种距离
P1(x1y1)P2(x2y2)两点间距离|P1P2|
d＝
点P0(x0y0)直线l：Ax＋By＋C＝0距离
d＝
行线Ax＋By＋C1＝0Ax＋By＋C2＝0间距离
d＝
9．直线系方程
(1)直线Ax＋By＋C＝0行直线系方程Ax＋By＋m＝0(m∈Rm≠C)．
(2)直线Ax＋By＋C＝0垂直直线系方程Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点直线系方程
A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)包括l2．
第四章 圆方程
1．圆定义方程
定义
面定点距离等定长点集合(轨迹)
标准
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心(ab)半径r
般
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心
半径
2．点圆位置关系
点M(x0y0)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系：
(1)M(x0y0)圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2．
(2)M(x0y0)圆(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2．
(3)M(x0y0)圆(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2．
3 确定圆心方法
求圆标准方程关键确定圆心确定圆心方法：
(1)题目条件中出现直线圆相切时利圆心切点切线垂直直线确定圆心位置
(2)题目条件中出现直线圆相交考虑圆心弦垂直分线
(3)题目条件出现两圆相切时考虑切点两圆圆心线．
4 求圆方程两种方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标半径写出方程．
(2)定系数法：
①已知条件圆心(ab)半径r关设圆标准方程求出abr值
②选择圆般方程已知条件列出关DEF方程组进求出DEF值．
5 圆关值问题常见解法
(1)形μ＝形式值问题转化动直线斜率值问题．
(2)形t＝ax＋by形式值问题转化动直线截距值问题．
(3)形(x－a)2＋(y－b)2形式值问题转化动点定点距离方值问题．
必修三
第章 算法初步
1算法
(1)算法通常指定规解决某类问题明确限步骤
(2)应：算法通常编成计算机程序计算机执行解决问题
2程序框图
定义：程序框图称流程图种程序框流程线文字说明表示算法图形
3三种基逻辑结构
名称
容
序结构
条件结构
循环结构
定义
干先序执行步骤组成算法离开基结构
算法流程根条件否成立选择执行流结构形式
某处开始定条件反复执行某步骤情况反复执行步骤称循环体
程序
框图
第二章 统计
1简单机抽样
(1)定义：设总体含N体中逐放回抽取n体作样(n≤N)果次抽取时总体体抽机会相等种抽样方法做简单机抽样
(2)常简单机抽样方法：抽签法机数法
2分层抽样
(1)定义：抽样时总体分成互交叉层然定例层独立抽取定数量体层取出体合起作样种抽样方法做分层抽样
(2)应范围：总体差异明显部分组成时选分层抽样
3系统抽样
(1)定义：总体中体数目较时总体分成均衡部分然事先定出规部分抽取体需样种抽样方法做系统抽样
(2)系统抽样操作步骤：假设容量N总体中抽取容量n样
①先总体N体编号
②确定分段间隔k编号进行分段(n样容量)整数时取k＝
③第1段简单机抽样确定第体编号l(l≤k)
④定规抽取样通常l加间隔k第2体编号(l＋k)加k第3体编号(l＋2k)次进行直获取整样
4 样频率估计总体频率
(1)频率分布表画法：
第步：求极差决定组数组距组距＝
第二步：分组通常组数值区间取左闭右开区间组取闭区间
第三步：登记频数计算频率列出频率分布表
(2)频率分布直方图：反映样频率分布直方图(图)
横轴表示样数轴表示矩形面积表示样落该组频率
1频率分布直方图众数中位数均数关系
(1)高长方形底边中点横坐标众数
(2)中位数左边右边长方形面积相等
(3)均数频率分布直方图重心等频率分布直方图中长方形面积长方形底边中点横坐标
5样数字特征估计总体数字特征
(1)众数：组数中出现次数数做组数众数
(2)中位数：n数序排列处中间位置数(中间两数均数)做组数中位数
(3)均数：称a1a2…ann数均数
(4)标准差方差：设组数x1x2x3…xn均数组数标准差方差分
s＝s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]
6 线性回分析
1 相关关系回分析
回分析具相关关系两变量进行统计分析种常方法判断相关性常统计图：散点图统计量相关系数相关指数
(1)散点图中点散布左角右角区域两变量种相关关系称正相关
(2)散点图中点散布左角右角区域两变量种相关关系称负相关
(3)果散点图中点分布整体致条直线附称两变量具线性相关关系
2线性回方程
（1）二法：样数点回直线距离方方法做二法．
（2）回方程：两具线性相关关系变量组数：回方程注意：线性回直线定点．
（3）相关系数：．
3回分析
(1)定义：具相关关系两变量进行统计分析种常方法
(2)样点中心：组具线性相关关系数(x1y1)(x2y2)…(xnyn)
中()称样点中心
(3)相关系数
r>0时表明两变量正相关r<0时表明两变量负相关
r绝值越接1表明两变量线性相关性越强
r绝值越接0表明两变量间存线性相关关系通常|r|075时认两变量强线性相关性
(4)相关指数：R2＝1－中 (yi－i)2残差方值越R2越(接1)模型拟合效果越
第三章 概率
1关机事件概率
(1)两基事件互斥
(2)事件(事件)表示成基事件
2关古典概型概率
1古典概型具两特征概率模型称古典概率模型简称古典概型
(1)试验结果限次试验出现中结果
(2)试验结果出现性相
2果次试验中出现结果n结果出现性相等基事件概率果某事件A包括结果m事件A概率P(A)＝
3 古典概型概率公式P(A)＝
3 关长度概率
1概型定义
果事件发生概率构成该事件区域长度(面积体积)成例称样概率模型概率模型简称概型
2 概型两基特点
(1)限性：次试验中出现结果限
(2)等性：结果发生具等性
3概型概率公式：P(A)＝
选修21
第章 常逻辑语
1．命题
语言符号式子表达判断真假陈述句做命题中判断真语句做真命题判断假语句做假命题．
2．四种命题相互关系
(1)四种命题间相互关系
(2)四种命题真假关系
①两命题互逆否命题具相真假性
②两命题互逆命题互否命题真假性没关系．
3．充分条件必条件充条件概念
p⇒qpq充分条件qp必条件
pq充分必条件
p⇒qq⇏p
pq必充分条件
p⇏qq⇒p
pq充条件
p⇔q
pq充分必条件
p⇏qq⇏p
特提醒
条件pq集合形式出现A＝{x|p(x)}B＝{x|q(x)}A⊆Bpq充分条件请写出集合AB关系应条件pq关系．
①ABpq充分必条件②A⊇Bpq必条件
③ABpq必充分条件
④A＝Bpq充条件
⑤A⊈BA⊉Bpq充分必条件．
4．全称量词存量词
(1)全称量词：意符号∀表示存量词：存少符号∃表示．
(2)含全称量词命题做全称命题．M中意xp(x)成立符号简记：∀x∈Mp(x)．
(3)含存量词命题做特称命题．存M中元素x0p(x0)成立符号简记：∃x0∈Mp(x0)．
第二章 圆锥曲线方程
1 椭圆定义
面两定点F1F2距离等常数()点轨迹做椭圆．两定点做椭圆焦点两焦点间距离做椭圆焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}＝2c中a>0c>0ac常数．
(1)a＞c集合P椭圆
(2)a＝c集合P线段
(3)a＜c集合P空集．
2 椭圆标准方程性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
称性
称轴：坐标轴称中心：(00)
顶点
A1(－a0)A2(a0)
B1(0－b)B2(0b)
A1(0－a)A2(0a)
B1(－b0)B2(b0)
轴
长轴A1A2长2a短轴B1B2长2b
焦距
＝2c
离心率
e＝ e∈(01)
abc
关系
c2＝a2－b2
3双曲线定义
面两定点F1F2距离差绝值等非零常数()点轨迹做双曲线．两定点做双曲线焦点两焦点间距离做双曲线焦距．
集合P＝{M＝2a}＝2c中ac常数a>0c>0
(1)a＜c时点P轨迹双曲线
(2)a＝c时点P轨迹两条射线
(3)a＞c时点P存．
4 双曲线标准方程性质
标准方程
－＝1(a＞0b＞0)
－＝1(a＞0b＞0)
图形
性质
范围
x≥ax≤－ay∈R
y≤－ay≥ax∈R
称性
称轴：坐标轴称中心：原点
顶点
A1(－a0)A2(a0)
A1(0－a)A2(0a)
渐线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝ e∈(1＋∞)
abc关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2做双曲线实轴长＝2a线段B1B2做双曲线虚轴长＝2ba做双曲线实半轴长b做双曲线虚半轴长
5 抛物线标准方程性质
标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p意义：焦点F准线l距离
图形
顶点
O(00)
称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0y∈R
x≤0y∈R
y≥0x∈R
y≤0x∈R
开口方
右
左
焦半径(中P(x0y0))
＝
x0＋
＝
－x0＋
＝
y0＋
＝
－y0＋
6焦点弦关常结
设A(x1y1)B(x2y2)．
(1)y1y2＝－p2x1x2＝(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θAB倾斜角)．
(3)＋定值(4)AB直径圆准线相切．
(5)AFBF直径圆y轴相切．
第三章空间量立体
1．空间量
(1)定义：空间中方量称空间量．
(2)模(长度)：量．
(3)表示方法：①表示法：线段直观表示量始点A终点B量记模||．
②字母表示法：字母abc…表示模|a||b||c|…．
类特殊量
(1)零量：始点终点相量称零量记作0．
(2)单位量：模等1量称单位量．
(3)相等量：相等方相量称相等量．
(4)相反量：方相反相等量称相反量．
(5)行量：方相者相反两非零量互相行时表示两非零量线段直线行重合．通常规定零量意量行．
(6)面量：般空间中量果表示线段通移面称量面．
2．空间量线性运算
类似面量定义空间量加法减法数运算．
图1 图2
(1)图1＝＋＝a＋b＝－＝a－b．
(2)图2＋＋＝．
三面量等三量邻边行六面体中三量始点角线表示量．
(3)定实数λ意空间量a实数λ空间量a相运算称数量记作λa．中：
①λ≠0a≠0时λa模|λ||a|λa方：
(ⅰ)λ＞0时a方相(ⅱ)λ＜0时a方相反．
②λ＝0a＝0时λa＝0．
(4)空间量线性运算满足运算律：
实数λμ量ab①λa＋μa＝(λ＋μ)a②λ(a＋b)＝λa＋λb．
3．空间量数量积
(1)空间量夹角
果〈ab〉＝量ab互相垂直记作a⊥b．
(2)空间量数量积定义：
已知两非零量ab|a||b|cos〈ab〉做ab数量积(积)记作a·b．
(3)数量积意义
①量投影
图示 量a始点终点分b直线作垂线量a量b投影a′
②数量积意义： ab数量积等ab投影a′数量b长度积特a单位量e数量积等ae投影a′数量．规定零量意量数量积0
(4)空间量数量积性质：
①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝|a|2＝a2③|a·b|≤|a||b|④(λa)·b＝λ(a·b)⑤a·b＝b·a(交换律)
5．面量定理
果两量ab线量abc面充条件存唯实数(xy)c＝xa＋yb．
6．空间量基定理
果空间中三量abc面空间中意量p存唯序实数组(xyz)p＝xa＋yb＋zc．
特abc面时知xa＋yb＋zc＝0时x＝y＝z＝0．
7．空间中量坐标
般果空间量基底{e1e2e3}中e1e2e3单位量三量两两垂直称组基底单位正交基底单位正交基底量分解称量单位正交分解果p＝xe1＋ye2＋ze3称序实数组(xyz)量p坐标记作p＝(xyz)．中xyz称p坐标分量．
思考1：a＝xe1＋ye2＋ze3a坐标定(xyz)？
8．空间量运算坐标关系
假设空间中两量ab满足a＝(x1y1z1)b＝(x2y2z2)结：
(1)a＋b＝(x1＋x2y1＋y2z1＋z2)
(2)uv两实数ua＋vb＝(ux1＋vx2uy1＋vy2uz1＋vz2)
(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2(4)|a|＝＝
(5)a≠0b≠0时cos〈ab〉＝＝．
9．空间量坐标空间量行垂直
(1)a≠0时a∥b⇔b＝λa⇔(x2y2z2)＝λ(x1y1z1)⇔a坐标分量零时a∥b⇔＝＝．
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．
10．空间直角坐标系
(1)空间中意选定点O作坐标原点选择合适面先建立面直角坐标系xOy然O作条xOy面垂直数轴z轴．样建立空间直角坐标系记作Oxyz．
(2)空间直角坐标系Oxyz中x轴y轴z轴两两垂直称坐标轴通两坐标轴面称坐标面．
(3)z轴正方确定：z轴正半轴xOy面x轴正半轴绕O点逆时针方旋转90°y轴正半轴重合．
(4)空间直角坐标系画法：面画空间直角坐标系Oxyz时般x轴y轴画成水放置x轴正方y轴正方夹角135°(45°)z轴y轴(x轴)垂直．
(5)空间中点坐标：空间点M坐标序实数组(xyz)表示序实数组(xyz)做点M空间直角坐标系中坐标中x做点M横坐标(x坐标)y做点M坐标(y坐标)z做点M竖坐标(z坐标)．
(6)三坐标面坐标面点分成八部分部分称卦限逆时针方坐标面xOy方分第Ⅰ卦限第Ⅱ卦限第Ⅲ卦限第Ⅳ卦限面xOy方分第Ⅴ卦限第Ⅵ卦限第Ⅶ卦限第Ⅷ卦限根点坐标特征第Ⅰ卦限点集集合表示{(xyz)|x＞0y＞0z＞0}．
11．空间量坐标应
(1)点P(xyz)坐标原点O(000)距离OP＝．
(2)意两点P1(x1y1z1)P2(x2y2z2)间距离P1P2＝．
选修22
第章 导数应
均变化率
1变化率
事物变化率相关两量增量值气球均膨胀率半径增量体积增量值
2均变化率
般函数f(x)区间均变化率：
3求函数均变化率
求函数均变化率通常两步法：
①作差：求出
②作商：求差作商
二导数概念
定义：函数处瞬时变化率称函数处导数记作
三求导数方法：
求导数值般步骤：
① 求函数增量：
② 求均变化率：
③ 求极限导数：
称三步法求导数
第二章 推理证明
1．合情推理：
(1)纳推理：部分整体般推理．
(2)类推理：特殊特殊推理．
(3)合情推理： 纳类常合情推理根已事实观察分析较联想进行纳类然提出猜想推理．
2．演绎推理：
(1)演绎推理般特殊推理．
(2)三段演绎推理般模式包括：
①前提——已知般原理
②前提——研究特殊情况
③结——根般原理特殊情况做出判断．
3．直接证明间接证明
(1)直接证明两类基方法综合法分析法：
①综合法条件推导出结证明方法
②分析法结追溯条件证明方法
(2)间接证明种方法反证法结反面成立出发推出矛盾证明方法．
4．数学纳法：
数学纳法解决然数关数学问题．证明时两步骤缺．第步(纳奠基)n＝n0时结成立．
第二步(纳递推)假设n＝k时结成立推n＝k＋1时结成立．
特注意n＝kn＝k＋1时增加项数．
第三章 复数
1．复数关概念分类
(1)代数形式z＝a＋bi(ab∈R)中实部a虚部b
(2)轭复数z＝a－bi(ab∈R)．
(3)复数分类
① z＝a＋bi(ab∈R)实数z关系z＝
②z＝a＋bi(ab∈R)纯虚数z关系z＋＝0(z≠0)．
2．复数运算关问题
(1)复数相等充条件
a＋bi＝c＋di⇔(abcd∈R)．
(2)复数模
复数z＝a＋bi模|z|＝z·＝|z|2＝a2＋b2
(3)复数四运算两复数z1＝a1＋b1iz2＝a2＋b2i(a1b1a2b2∈R)
①加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i
②减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i
③法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i
④法：＝＝＋i(z2≠0)
3．复数意义
(1)复数z＝a＋bi应着复面点Z(ab)应着原点出发量
(2)复数加法意义
复数z1z2应量12线复数z1＋z212两邻边行四边形角线应复数．
(3)复数减法意义
复数z1－z2连接量12终点指Z1量应复数．
选修23
第章 计数原理
1分类加法计数原理：
做件事情完成n类办法第类办法中种方法第二类办法中种方法……第n类办法中种方法完成件事 种方法
2 分步法计数原理：
做件事情完成需分成n步骤做第步种方法做第二步种方法……做第n步种方法完成件事 种方法
排列
1．排列概念：
元素中取（）元素（里取元素相）定序排成列做元素中取出元素排列
说明：（1）排列定义包括两方面：①取出元素②定序排列
（2）两排列相条件：①元素完全相②元素排列序相
2．排列数定义：
元素中取（）元素排列数做元素中取出元素排列数符号表示注意区排列排列数：排列指：元素中取元素定序排成列数排列数指元素中取（）元素排列数数符号表示排列数表示具体排列
3．排列数公式推导：
意义：假定排序2空位元素中取2元素填空空位填元素种填法排列反排列总样种填法填法种数排列数．分步计数原理完成述填空种填法∴
求次填3空位考虑∴
求次填空位考虑
排列数公式：
（）
说明：（1）公式特征：第数面数前面少1数数
（2）全排列：时元素全部取出排列
全排列数：（做n阶） 外规定 0 1
1组合概念：般元素中取出元素成组做元素中取出元素组合
说明：⑴元素⑵取排——序性⑶相组合：元素相
1．两重公式
(1)排列数公式
A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(nm∈N*m≤n)．
(2)组合数公式
C＝＝(nm∈N*m≤n)．
2．三重性质定理
(1)组合数性质
①C＝(nm∈N*m≤n)
②C＝(nm∈N*m≤n)
③C＝1
(2)二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn中通项Tr＋1＝Can－rbr
(3)二项式系数性质
①C＝CC＝C…C＝C
②C＋C＋C＋…＋C＝2n
③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
第二章 机变量分布
1．机变量：果机试验结果变量表示样变量做机变量常希腊字母ξη等表示．
2．离散型机变量：机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量．
3．连续型机变量：机变量取值取某区间切值样变量做连续型机变量．
4．分布列：设离散型机变量ξ取值 x1x2…x3…
ξ取值xi（i12…）概率称表
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
机变量ξ概率分布简称ξ分布列．
5．分布列两性质：机事件发生概率满足：事件概率0必然事件概率1．出离散型机变量分布列具面两性质：⑴ ⑵．
6．独立重复试验：样条件重复做次试验称次独立重复试验次试验发生发
生结果某事件发生发生次试验中发生概率样果次试验
中某事件发生概率Pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率计算公式：．
7．常见离散型机变量分布列
⑴两点分布：
X
0
1
P
1P
P
⑵二项分布：果次试验中某事件发生概率Pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率（k＝012…n）．称机变量ξ服二项分布．
记作ξ～B(np)中np参数记＝b(knp)．
⑶超分布：含M件次品N件产品中取n件中恰X件次品中．
称分布列
超分布列 称X服超分布．
离散型机变量：果机变量取值定次序列出样机变量做离散型机变量ξ机变量ab常数机变量般ξ机变量连续函数单调函数机变量说机变量某函数机变量
设离散型机变量ξ取值：
ξ取值概率表称机变量ξ概率分布简称ξ分布列
…
…
P
…
…
性质① ②
注意：机变量取某区间切值样变量做连续型机变量例：取0～5间切数包括整数数理数
1⑴二项分布：果次试验中某事件发生概率Pn次独立重复试验中事件恰发生k次概率：[中]
机变量ξ概率分布：称样机变量ξ服二项分布记作～B（n·p）中np参数记
⑵二项分布判断应
① 二项分布实际n次独立重复试验关键某事件否进行n次独立重复次试验两种结果果满足两条件机变量服二项分布
② 机变量总体抽取样容量相总体说较次抽取时两种试验结果时作独立重复试验利二项分布求分布列
③ 判断机变量否服二项分布两点：①否n次独立重复试验次试验中事件A发生概率否均p②机变量否n次独立重复试验中某事件发生次数表示独立重复试验中事件A恰发生k次概率．
2密度曲线密度函数：连续型机变量ξ位x轴方ξ落区间概率等x轴直线直线围成曲边梯形面积（图阴影部分）曲线ξ密度曲线作图函数做ξ密度函数必然事件密度曲线x轴夹部分面积等1
1 期含义：般离散型机变量ξ概率分布
…
…
P
…
…
称ξ数学期均数均值数学期简称期数学期反映离散型机变量取值均水
2 ⑴机变量数学期：
①时常数数学期常数身
②时机变量ξ常数期等ξ期常数
③时常数机变量积期等常数机变量期积
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布：分布列：
⑶两点分布：分布列：（p + q 1）
⑷二项分布： 分布列～（P发生概率）
⑸分布： 分布列～（P发生概率）
3方差标准差定义：已知机变量ξ分布列时称
ξ方差 显然ξ根方差标准差机变量ξ方差标准差反映机变量ξ取值稳定波动集中离散程度越稳定性越高波动越
4方差性质
⑴机变量方差（ab均常数）
ξ
0
1
P
q
p
⑵单点分布： 分布列
⑶两点分布： 分布列：（p + q 1）
⑷二项分布：
⑸分布：
5 期方差关系
⑴果存
⑵设ξ互相独立两机变量
⑶期方差转化： ⑷（常数）
温馨提示离散型机变量均值方差求解般分两步：定型先判断机变量分布特殊类型般类型两点分布二项分布超分布等属特殊类型二定性特殊类型均值方差直接代入相应公式求解般类型机变量应先求概率分布然代入相应公式计算注意离散型机变量取值概率间应．
求离散型机变量概率分布列数学期理科高考数学必考题型．求离散型机变量概率分布列问题时首先清楚离散型机变量取值机变量取值时应事件概率计算出概率值列出离散型机变量概率分布列数学期公式计算出数学期．
1 ⑴正态分布正态曲线：果机变量ξ概率密度： （常数）称ξ服参数正态分布～表示表达式简记密度曲线简称正态曲线
⑵正态分布期方差：～ξ期方差分：
⑶正态曲线性质
① 曲线x轴方x轴相交
② 曲线关直线称
③ 时曲线处高点x左右远离时曲线断降低呈现出中间高两边低钟形曲线
④＜时曲线升＞时曲线降曲线左右两边限延伸时x轴渐线x轴限
⑤定时曲线形状确定越曲线越矮胖表示总体分布越分散越曲线越瘦高表示总体分布越集中
2 ⑴标准正态分布：果机变量ξ概率函数称ξ服标准正态分布 ～求出P（a＜≤b）计算
注意：标准正态分布X取0时X取0数时必然0图
⑵正态分布标准正态分布间关系：～ξ分布函数通常表示
3⑴3原
假设检验正态总体言进行假设检验结三步：①提出统计假设统计假设里变量服正态分布②确定次试验中取值否落入范围③做出判断：果接受统计假设 果概率事件拒绝统计假设
⑵3原应：机变量ξ服正态分布 ξ落概率997％ 落外概率03％概率事件果事件发生说明种产品合格（ξ服正态分布）
选修44
极坐标参数方程
1 极坐标系概念：
面取定点Ｏ做极点
极点Ｏ引条射线Ｏｘ做极轴
选定长度单位角度单位(通常取弧度)正方(通常取逆时针方)样建立极坐标系．
2．点极坐标：
设面点极点Ｏ点距离做点极径记
极轴Ｏx始边射线OM终边∠XOM做点极角记．
序数做点极坐标记M
极坐标表示点．极点O坐标
3． 点极坐标直角坐标互化：
4直线极坐标方程
（1）极点直线极坐标方程：（）
（2）极点直线两点距离：
图示直线 （）
5圆极坐标方程：
极坐标系中极点圆心r半径圆极坐标方程
极坐标系中 (a>0)圆心 a半径圆极坐标方程
极坐标系中 (a>0)圆心a半径圆极坐标方程
1． 参数方程概念：
面直角坐标系中果曲线意点坐标xy某变数t函数 t 允许值方程确定点M(xy)条曲线方程做条曲线参数方程联系变数xy变数t 做参变数简称参数．相参数方程言直接出点坐标间关系方程做普通方程．
2．常见曲线参数方程：
（1）圆参数方程表示
参数方程化成圆标准方程步骤：移项：方：相加：
（2） 椭圆(a>b>0)参数方程表示
椭圆参数方程课表示
（3） 抛物线参数方程表示
（4）双曲线参数方程(θ参数)．
（5）点倾斜角直线l参数方程表示 （t参数）．
① 中点应参数：
选修45 等式选讲
1．二维形式柯西等式
abcd实数(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2仅ad＝bc时等号成立．
2．柯西等式量形式
设αβ两量|α·β|≤|α||β|仅β零量存实数kα＝kβ时等号成立．
3．二维形式三角等式
设x1y1x2y2∈R＋≥
般形式柯西等式
1．三维形式柯西等式
设a1a2a3b1b2b3实数(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2仅bi＝0(i＝123)存数kai＝kbi(i＝123)时等号成立．
2．般形式柯西等式
设a1a2a3…anb1b2b3…bn实数(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2仅bi＝0(i＝12…n)存数kai＝kbi(i＝12…n)时等号成立．
注意：
1．柯西等式般形式说明：
般形式柯西等式二维形式 三维形式四维形式柯西等式纳推广特点类二维形式柯西等式总结左边方积右边积方．运时关键构造出符合柯西等式结构形式．
2．关柯西等式证明：
函数f(x)＝(a1x－b1)2＋(a2x－b2)2 ＋…＋(anx－bn)2显然f(x)≥0时x∈R恒成立
f(x)＝(a＋a＋…＋a)x2－2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b＋b＋…＋b)≥0x∈R恒成立
∴Δ＝ 4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≤0
4(a＋a＋…＋a)·(b＋b＋…＋b)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
3．般形式柯西等式成立条件：
柯西等式证明程知Δ＝0⇔f(x)min＝0⇔a1x－b1＝a2x－b2＝…＝anx－bn＝0⇔b1＝b2＝…＝bn＝0＝＝…＝
4．柯西等式种常见变形：
(1)设a＋a＋…＋a＝b＋b＋…＋b＝1－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1
(2)设ai∈R(i＝123…n)≤
(3)设ai∈Rbi>0(i＝123…n)＋＋…＋≥
(4)设aibi>0(i＝123…n)＋＋…＋≥
排序等式
1．乱序反序序
设a1≤a2≤…≤anb1≤b2≤…≤bn两组实数c1c2…cnb1b2…bn排列称a1c1＋a2c2＋a3c3＋…＋ancn乱序a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1反序a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn序．
2．排序等式(称排序原理)
设a1≤a2≤…≤anb1≤b2≤…≤bn两组实数c1c2…cnb1b2…bn排列a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn
仅a1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…＝bn时反序等序．
3．排序原理简记
反序≤乱序≤序．
1．数学纳法定义
般证明命题某正整数n0正整数n成立时两步骤：
(1)证明n＝n0时命题成立．
(2)假设n＝k(k∈N＋k≥n0)时命题成立证明n＝k＋1时命题成立．
完成两步骤断定命题n0正整数成立种证明方法称数学纳法．
2．数学纳法适范围
适证明限正整数关命题．
3．数学纳法步骤
(1)(纳奠基)验证n＝n0(n0命题成立起始然数)时命题成立
(2)(纳递推)假设n＝k(k∈N＋k≥n0)时命题成立推导n＝k＋1时命题成立．
(3)结：(1)(2)知命题切n≥n0然数成立．
注意：数学纳法证明关键两步骤做递推基础少纳假设结写明莫忘掉必须注意三点：
(1)验证基础．数学纳法原理表明：第步骤找数n0n0证明命题象然数然数定1找准起点奠基稳正确运数学纳法注意第问题．
(2)递推关键．数学纳法实质递推kk＋1程必须纳假设n＝k时命题成立作条件导出n＝k＋1时命题成立推导程中纳假设次次没纳假设证明数学纳法．
(3)正确寻求递推关系．数学纳法第二步递推关重寻找递推关系呢？①第步验证时妨计算项正确写出样发现递推关系帮助②探求数列通项公式时善观察式子命题变化规律观察n处位置③书写f(k＋1)时定包含f(k)式子写出尤f(k)中项．外项少项分析清楚．
关贝努利等式
(1)(1＋x)n>1＋nx成立两条件：①n∈N＋n≥2②x取值范围x>－1x≠0
命题：n∈N＋n≥2时等式(1＋x)n>1＋nx切x∈(－10)∪(0＋∞)恒成立．
(2)常特例：①x>－1x≠0时(1＋x)2>1＋2x
②x>－1x≠0时(1＋x)3>1＋3x
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