第3课时 函数性质综合问题
第 第 3 课时
函数性质综合问题
题型 函数单调性奇偶性
例 例 1
(1)设 设 f(x) 定义 R 偶函数 x0 时f(x) ＝ln x ＋e x a ＝f( －) b＝ ＝f(log 2 3) c ＝f(2－ 02 ) a b c 关系(
) A ．bac
B ．cba C ．abc
D ．acb 答案C 解析 x0 时f(x) ＝ln x ＋e x 增函数 f(x) 图 关 y 轴称(－ － 0) 减 少 (0 ＋ ) 增 加 a ＝f( －) ＝f() 3log 2 312－ 02 0 f()f(log 2 3)f(2－ 02 ) abc (2)(2021 新高考全国 Ⅰ 改编) 定义 R数 奇函数 f(x) (－ － 0) 减 少 f(2) ＝0 满足 xf(x －1) 0 x 取值范围(
) A ．[ －11] [3 ＋ )
B ．[ －3 －1] [01]
C． ．[ －10] [1 ＋ )
D． ．[ －10] [13] 答案D 解析数 函数 f(x) 定义 R 奇函数 f(0) ＝0 f(x) (－ － 0) 减 少 f(2) ＝0 数 画出函数 f(x) 致图 图(1) 示 数 函数 f(x －1) 致图 图(2) 示．
x 0 时满足 xf(x －1) 0 f(x－ －1) 0 －1 x 0 x0 时满足 xf(x －1) 0 f(x－ －1) 0 1 x 3 足 满足 xf(x －1) 0 x 取值范围[－ －10] [13] ． [ 高考改编题] 函数 f(x) 定义域 R 奇函数f(2) ＝0 (0 ＋ ) 增 加足 满足 f(x －1) 0 x 取值范围______ 满足 f( (x) )x0 x 取值范围______ ．
答案[ －11] [3 ＋ )
( －20) (02)
解析数 函数 f(x) 性质作出函数 f(x)致图 图示
∵ ∵f(x －1) 0 －2 x －1 0 x－ －1 2 解－1 x 1 x 3 f( (x) )x0 时xf(x)0 f(x) 图 二四象限 －2x0 0x2 思维升华
解决等式问题定充分利已知条件已知等式化成f(x 1 )f(x 2 ) f(x 1 )f(x 2 ) 形式利单调性解等式二利函数性质画出 出 f(x) 图 利图 解等式． 练 踪训练 1
(1) 已知函数 f(x) 满足两：
条件：
①意 意 x 1 x 2 (0 ＋ ) x 1 x 2 (x 1 － －x 2 )[f(x 1 ) －f(x 2 )]0 ② 定义域意 意 x f(x) ＋f( －x) ＝0 符合条件函数(
) A ．f(x) ＝2x
B ．f(x) ＝1 －|x| C ．f(x) ＝－x 3
D ．f(x) ＝ln(x 2 ＋ ＋3) 答案C 解析
①知 知 f(x) (0 ＋ ) 减 少 ②知 知 f(x) 奇函数．
(2) 已知偶函数 f(x) 区间[0 ＋ ) 增加 满足 f(2x －1)f è èæ æø øö ö13 x 取值范围________ ． 答案
è èæ æø øö ö13 23 解析 题意 f(x) [0 ＋ ) 增加 (－ － 0] 减 少 |2x－ －1| 13 － 13 2x －1 13 解 13 x23
题型二 函数奇偶性周期性
例 例 2
(1)(2021 德州联考) 已知定义 R 数 奇函数 f(x) 满足 f(x ＋2) ＝－f(x) 0 x 1 时f(x) ＝x 2 f(2 023) 等(
) A ．2 019 2
B ．1
C ．0
D ．－1 答案D 解析数 根题意函数 f(x) 满足 f(x ＋2)＝－f(x) f(x ＋4) ＝－f(x ＋2) ＝f(x) 函数周期 4 周期函数 f(2 023)＝ ＝f( －1 ＋2 024) ＝f( －1) 函数 y ＝f(x) 奇函数 x [01] 时f(x) ＝x 2 f(－ －1) ＝－f(1) ＝－1 f(2 023) ＝－1
(2)(2021 济南模拟) 已知定义 R 奇数 函数 f(x) 满足 f(x －4) ＝－f(x) 区间[02] 增 加 (
) A ．f(2 019) ＝f(2 017)
B ．f(2 019) ＝f(2 020) C ．f(2 020)f(2 019)
D ．f(2 020)f(2 018) 答案A 解析 f(x) 满足 f(x －4) ＝－f(x) f(x －8) ＝f(x) f(x) 8 周期函数 f(2 017)＝ ＝f(1) f(2 018) ＝f(2) f(x －4) ＝－f(x) f(2 019) ＝f(3) ＝－f( －3) ＝－f(1 －4) ＝f(1) f(2 020) ＝f(4)＝ ＝－ －f(0) ＝0 f(x) [02] 增 加 f(2)f(1)f(0) ＝0 f(2 019) ＝f(2 017) f(2 020)f(2 019) f(2 020)f(2 018)． ． 思维升华
已知函数周期性奇偶性求函数值常利奇偶性周期性进行变换函数值变量转化已知解析式函数定义域未知区间函数性质转化已知区间函数性质求解． 练 踪训练2
(1) 已知f(x) R 奇函数 f(x ＋2) ＝f(x) f(2 020) ＋f(2 021)＝ ＝________ 答案0
解析意 题意 f(x) 奇函数周期2 f(2 020) ＋f(2 021) ＝f(0) ＋f(1) ∵ ∵f(x) 奇函数f(0) ＝0 f( －1) ＝－f(1) ① ① 周期 2 f( －1) ＝f(1) ② ② ①② 解 f(1) ＝f( －1) ＝0 f(2 020) ＋f(2 021) ＝0 (2) 已知 f(x) 定义 R 3 周期偶 函数 f(1)1 f(5) ＝2a －3 实数 a取值范围________ ． 答案(－ － 2) 解析∵ ∵f(x) 偶函数周期 3 f(5) ＝f(5 －6) ＝f( －1) ＝f(1) ∵ ∵f(1)1 f(5) ＝2a －31 a2
题型三 函数奇偶性称性
例 例 3
(1) 已知函数 f(x) 定义域 R 奇足 函数满足 f(4 －x) ＝－f(x) f(x) 周期(
) A ．－4
B ．2
C ．4
D ．6 答案C 解析∵ ∵f(4 －x) ＝－f(x) f(x) 图 关点(20) 称 f( －x) ＝－f(x ＋4) ∵ ∵f( －x) ＝－f(x) f(x ＋4) ＝f(x) ． T ＝4 (2) 函数 y ＝f(x) 意 x R f(x ＋2)＝ ＝f( －x) 成立函数 y ＝f(x －1) 图 关点(10) 称f(1) ＝4 f(2 020) ＋f(2 021) ＋f(2 022) 值________ ． 答案4 解析数 函数 y ＝f(x －1) 图 关点 点(10) 称 数 函数 y ＝f(x) 图 关原点称数 函数 f(x) R 奇函数 f(x ＋2) ＝－f(x) f(x ＋4) ＝－f(x＋ ＋2) ＝f(x) f(x) 周期 4 f(2 021) ＝f(505 4 ＋1) ＝f(1) ＝4 f(2 020) ＋f(2 022) ＝f(2 020) ＋f(2 020
＋ ＋2) ＝ ＝f(2 020) ＋f( －2 020) ＝f(2 020) －f(2 020)＝ ＝0 f(2 020) ＋f(2 021) ＋f(2 022) ＝4 思维升华
函数奇偶性称性求函数性质种思路奇偶性称性定义推导出周期性二利奇偶性称性画草图利图 判断周期性． 练 踪训练 3
函数 f(x) 满足 f(x －1) 奇函数f(x ＋1) 偶函数列说法正确 ________ ．( 填序号) ① ①f(x) 周期 8 ② ②f(x) 关点( －10) 称 ③ ③f(x) 偶函数 ④ ④f(x ＋7) 奇函数． 答案
①②④ 解析∵ ∵f(x －1) 奇函数 f(x －1) 图 关(00) 称 f(x) 图 关点( －10) 称 f(x ＋1) 偶函数 f(x ＋1) 图 线 关直线 x ＝0 称 f(x) 图 线 关直线 x ＝1 称 f(x) 图 关点( －10) 直线 x ＝1 称 f(x) 周期 8 ①② 正确 ③ 正确．
∵ ∵T ＝8 f(x ＋7) ＝f(x －1) f(x －1) 奇函数 f(x ＋7) 奇函数 ④ 正确．
题型四 函数周期性称性
例 例 4
已知 f(x) 定义域 R 函数图线 关直线 x ＝－3 称 f(x ＋3) ＝f(x－ －3) x [03] 时f(x) ＝2 x ＋ ＋1 列结正确________ ．( 填序号) ① ①f(x) 偶函数 ② ②f(x) [ －6 －3] 减 少 ③ ③f(x) 关直线 x ＝3 称 ④ ④f(100) ＝5 答案
①③④
解析f(x) 图 线 关直线 x ＝－3 称 f( －x) ＝f(x －6) f(x ＋3) ＝f(x －3) f(x) 周期 T ＝6 f( －x) ＝f(x －6) ＝f(x) f(x) 偶函数 ① 正确 x [03] 时f(x) ＝2 x ＋ ＋1 增 加 ∵ ∵T ＝6 f(x) [ －6 －3] 增 加 ② 正确 f(x) 关直线 x ＝－3 称 T ＝6 f(x) 关直线 x ＝3 称 ③ 正确 f(100) ＝f(16 6 ＋4) ＝f(4) ＝f( －2) ＝f(2)＝ ＝5 ④ 正确．
思维升华
函数奇偶性称性周期性单调性函数四性质高考中常常综合起命题解题时需助函数奇偶性称性周期性确定区间单调性实现区间转换利单调性解决相关问题． 练 踪训练 4
函数 f(x) 定义域 R 奇足 函数满足 f(x －4) ＝－f(x) f(x －4) ＝f(－ －x) x [02] 时f(x) ＝2 x ＋ ＋log 2 x f( －80) f( －25) f(11) 关系________ ． 答案f( －25)f( －80)f(11) 解析
题意f(x) 周期 8 f(x)奇函数图 关 x ＝2 称x [02] 时f(x) 增 加 f(x) [ －22] 增 加 f( －80) ＝f(0) f( －25) ＝f( －1) f(11)＝ ＝f(3) ＝f(1) f( －1)f(0)f(1) ． f( －25)f( －80)f(11) ．
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第 第 3 课时
函数性质综合问题
题型 函数单调性奇偶性
例 例 1
(1)设 设 f(x) 定义 R 偶函数 x0 时f(x) ＝ln x ＋e x a ＝f( －) b＝ ＝f(log 2 3) c ＝f(2－ 02 ) a b c 关系(
) A ．bac
B ．cba C ．abc
D ．acb 答案C 解析 x0 时f(x) ＝ln x ＋e x 增函数 f(x) 图 关 y 轴称(－ － 0) 减 少 (0 ＋ ) 增 加 a ＝f( －) ＝f() 3log 2 312－ 02 0 f()f(log 2 3)f(2－ 02 ) abc (2)(2021 新高考全国 Ⅰ 改编) 定义 R数 奇函数 f(x) (－ － 0) 减 少 f(2) ＝0 满足 xf(x －1) 0 x 取值范围(
) A ．[ －11] [3 ＋ )
B ．[ －3 －1] [01]
C． ．[ －10] [1 ＋ )
D． ．[ －10] [13] 答案D 解析数 函数 f(x) 定义 R 奇函数 f(0) ＝0 f(x) (－ － 0) 减 少 f(2) ＝0 数 画出函数 f(x) 致图 图(1) 示 数 函数 f(x －1) 致图 图(2) 示．
x 0 时满足 xf(x －1) 0 f(x－ －1) 0 －1 x 0 x0 时满足 xf(x －1) 0 f(x－ －1) 0 1 x 3 足 满足 xf(x －1) 0 x 取值范围[－ －10] [13] ． [ 高考改编题] 函数 f(x) 定义域 R 奇函数f(2) ＝0 (0 ＋ ) 增 加足 满足 f(x －1) 0 x 取值范围______ 满足 f( (x) )x0 x 取值范围______ ．
答案[ －11] [3 ＋ )
( －20) (02)
解析数 函数 f(x) 性质作出函数 f(x)致图 图示
∵ ∵f(x －1) 0 －2 x －1 0 x－ －1 2 解－1 x 1 x 3 f( (x) )x0 时xf(x)0 f(x) 图 二四象限 －2x0 0x2 思维升华
解决等式问题定充分利已知条件已知等式化成f(x 1 )f(x 2 ) f(x 1 )f(x 2 ) 形式利单调性解等式二利函数性质画出 出 f(x) 图 利图 解等式． 练 踪训练 1
(1) 已知函数 f(x) 满足两：
条件：
①意 意 x 1 x 2 (0 ＋ ) x 1 x 2 (x 1 － －x 2 )[f(x 1 ) －f(x 2 )]0 ② 定义域意 意 x f(x) ＋f( －x) ＝0 符合条件函数(
) A ．f(x) ＝2x
B ．f(x) ＝1 －|x| C ．f(x) ＝－x 3
D ．f(x) ＝ln(x 2 ＋ ＋3) 答案C 解析
①知 知 f(x) (0 ＋ ) 减 少 ②知 知 f(x) 奇函数．
(2) 已知偶函数 f(x) 区间[0 ＋ ) 增加 满足 f(2x －1)f è èæ æø øö ö13 x 取值范围________ ． 答案
è èæ æø øö ö13 23 解析 题意 f(x) [0 ＋ ) 增加 (－ － 0] 减 少 |2x－ －1| 13 － 13 2x －1 13 解 13 x23
题型二 函数奇偶性周期性
例 例 2
(1)(2021 德州联考) 已知定义 R 数 奇函数 f(x) 满足 f(x ＋2) ＝－f(x) 0 x 1 时f(x) ＝x 2 f(2 023) 等(
) A ．2 019 2
B ．1
C ．0
D ．－1 答案D 解析数 根题意函数 f(x) 满足 f(x ＋2)＝－f(x) f(x ＋4) ＝－f(x ＋2) ＝f(x) 函数周期 4 周期函数 f(2 023)＝ ＝f( －1 ＋2 024) ＝f( －1) 函数 y ＝f(x) 奇函数 x [01] 时f(x) ＝x 2 f(－ －1) ＝－f(1) ＝－1 f(2 023) ＝－1
(2)(2021 济南模拟) 已知定义 R 奇数 函数 f(x) 满足 f(x －4) ＝－f(x) 区间[02] 增 加 (
) A ．f(2 019) ＝f(2 017)
B ．f(2 019) ＝f(2 020) C ．f(2 020)f(2 019)
D ．f(2 020)f(2 018) 答案A 解析 f(x) 满足 f(x －4) ＝－f(x) f(x －8) ＝f(x) f(x) 8 周期函数 f(2 017)＝ ＝f(1) f(2 018) ＝f(2) f(x －4) ＝－f(x) f(2 019) ＝f(3) ＝－f( －3) ＝－f(1 －4) ＝f(1) f(2 020) ＝f(4)＝ ＝－ －f(0) ＝0 f(x) [02] 增 加 f(2)f(1)f(0) ＝0 f(2 019) ＝f(2 017) f(2 020)f(2 019) f(2 020)f(2 018)． ． 思维升华
已知函数周期性奇偶性求函数值常利奇偶性周期性进行变换函数值变量转化已知解析式函数定义域未知区间函数性质转化已知区间函数性质求解． 练 踪训练2
(1) 已知f(x) R 奇函数 f(x ＋2) ＝f(x) f(2 020) ＋f(2 021)＝ ＝________ 答案0
解析意 题意 f(x) 奇函数周期2 f(2 020) ＋f(2 021) ＝f(0) ＋f(1) ∵ ∵f(x) 奇函数f(0) ＝0 f( －1) ＝－f(1) ① ① 周期 2 f( －1) ＝f(1) ② ② ①② 解 f(1) ＝f( －1) ＝0 f(2 020) ＋f(2 021) ＝0 (2) 已知 f(x) 定义 R 3 周期偶 函数 f(1)1 f(5) ＝2a －3 实数 a取值范围________ ． 答案(－ － 2) 解析∵ ∵f(x) 偶函数周期 3 f(5) ＝f(5 －6) ＝f( －1) ＝f(1) ∵ ∵f(1)1 f(5) ＝2a －31 a2
题型三 函数奇偶性称性
例 例 3
(1) 已知函数 f(x) 定义域 R 奇足 函数满足 f(4 －x) ＝－f(x) f(x) 周期(
) A ．－4
B ．2
C ．4
D ．6 答案C 解析∵ ∵f(4 －x) ＝－f(x) f(x) 图 关点(20) 称 f( －x) ＝－f(x ＋4) ∵ ∵f( －x) ＝－f(x) f(x ＋4) ＝f(x) ． T ＝4 (2) 函数 y ＝f(x) 意 x R f(x ＋2)＝ ＝f( －x) 成立函数 y ＝f(x －1) 图 关点(10) 称f(1) ＝4 f(2 020) ＋f(2 021) ＋f(2 022) 值________ ． 答案4 解析数 函数 y ＝f(x －1) 图 关点 点(10) 称 数 函数 y ＝f(x) 图 关原点称数 函数 f(x) R 奇函数 f(x ＋2) ＝－f(x) f(x ＋4) ＝－f(x＋ ＋2) ＝f(x) f(x) 周期 4 f(2 021) ＝f(505 4 ＋1) ＝f(1) ＝4 f(2 020) ＋f(2 022) ＝f(2 020) ＋f(2 020
＋ ＋2) ＝ ＝f(2 020) ＋f( －2 020) ＝f(2 020) －f(2 020)＝ ＝0 f(2 020) ＋f(2 021) ＋f(2 022) ＝4 思维升华
函数奇偶性称性求函数性质种思路奇偶性称性定义推导出周期性二利奇偶性称性画草图利图 判断周期性． 练 踪训练 3
函数 f(x) 满足 f(x －1) 奇函数f(x ＋1) 偶函数列说法正确 ________ ．( 填序号) ① ①f(x) 周期 8 ② ②f(x) 关点( －10) 称 ③ ③f(x) 偶函数 ④ ④f(x ＋7) 奇函数． 答案
①②④ 解析∵ ∵f(x －1) 奇函数 f(x －1) 图 关(00) 称 f(x) 图 关点( －10) 称 f(x ＋1) 偶函数 f(x ＋1) 图 线 关直线 x ＝0 称 f(x) 图 线 关直线 x ＝1 称 f(x) 图 关点( －10) 直线 x ＝1 称 f(x) 周期 8 ①② 正确 ③ 正确．
∵ ∵T ＝8 f(x ＋7) ＝f(x －1) f(x －1) 奇函数 f(x ＋7) 奇函数 ④ 正确．
题型四 函数周期性称性
例 例 4
已知 f(x) 定义域 R 函数图线 关直线 x ＝－3 称 f(x ＋3) ＝f(x－ －3) x [03] 时f(x) ＝2 x ＋ ＋1 列结正确________ ．( 填序号) ① ①f(x) 偶函数 ② ②f(x) [ －6 －3] 减 少 ③ ③f(x) 关直线 x ＝3 称 ④ ④f(100) ＝5 答案
①③④
解析f(x) 图 线 关直线 x ＝－3 称 f( －x) ＝f(x －6) f(x ＋3) ＝f(x －3) f(x) 周期 T ＝6 f( －x) ＝f(x －6) ＝f(x) f(x) 偶函数 ① 正确 x [03] 时f(x) ＝2 x ＋ ＋1 增 加 ∵ ∵T ＝6 f(x) [ －6 －3] 增 加 ② 正确 f(x) 关直线 x ＝－3 称 T ＝6 f(x) 关直线 x ＝3 称 ③ 正确 f(100) ＝f(16 6 ＋4) ＝f(4) ＝f( －2) ＝f(2)＝ ＝5 ④ 正确．
思维升华
函数奇偶性称性周期性单调性函数四性质高考中常常综合起命题解题时需助函数奇偶性称性周期性确定区间单调性实现区间转换利单调性解决相关问题． 练 踪训练 4
函数 f(x) 定义域 R 奇足 函数满足 f(x －4) ＝－f(x) f(x －4) ＝f(－ －x) x [02] 时f(x) ＝2 x ＋ ＋log 2 x f( －80) f( －25) f(11) 关系________ ． 答案f( －25)f( －80)f(11) 解析
题意f(x) 周期 8 f(x)奇函数图 关 x ＝2 称x [02] 时f(x) 增 加 f(x) [ －22] 增 加 f( －80) ＝f(0) f( －25) ＝f( －1) f(11)＝ ＝f(3) ＝f(1) f( －1)f(0)f(1) ． f( －25)f( －80)f(11) ．
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