23个典型的数列专题

23 典型数列专题
第 1 页
23 典型数列专题解答
1等差数列  na 中前三项次
xxx
16
51
1

求： 105 a 
解：等差数列中项公式： 5 1 12 61x x x   
： 2x 
首项： 1
11
13a x
公差： 15151
621212d xx
数列通项： 1
113(1) 31212n
nnaand  ： 105
31053 91212
na 
等差数列公式通解
2前 100 然数（1 100）中 7 余 2 数 S ？
解：数构成数列： 7(1)275nann
100 n 数 m ：100 7 5m 15m 
数 S ：
15
1
(115)15(75)7515765 2k
Sn

 
余数常数问题转化等差数列问题
3等差数列  na 中前 n 项 nS 1 0a  16 0S  17 0S 
nS 时 n 
解：等差数列通项： 1 (1)naand 求公式： 1
(1)
2n
nnSnad 
： 161
1615160 2Sad  ： 1
15 02ad 1 70ad： 8 0a 
17 1
17 1617 02S a d   ： 1 80ad： 9 0a  nS 时 8n 
通项公式求公式熟啊
4数列 通项公式 1
1na
nn


前 n 项 9nS  求： n 
解：通项： 1 1
1nann
nn
 


：  
1
11 1 9
n
n
k
Skkn

    ： 99n 
相裂项法 23 典型数列专题
第 2 页
5等差数列  na 公差 0中 2a 3a 6a 次构成等数列求公 q 
解：等差数列通项： 1 ( 1 )na a n d   ： 32a a d 624a a d
构成等数列： 2
3 2 6a a a ： 2
222()(4)adaad
： 2 2 2
2 2 2 224a a d d a a d    0d  ： 22da
： 3 22
222
3 3a adaq aaa

例中项直接列式导出 d 2a 关系
6已知等差数列  na 前 n 项 nS 1 1a  11 33S  设 1
4
na
nb  

求证：  nb 等数列求前 n 项 nT
证明：通项： 1 ( 1 )na a n d   求公式： 1
(1)
2n
nnSnad 
： 11
11101133 2Sd ：115533d： 2
5d 
： 2231(1)55n
nan ：
23
51
4
n
nb

 

2(1)3
5
1
1
4
n
nb


 

：
2(1) 3232
5551 11
44
nn
n
n
b
b
 
 

首项 1
1
4b  公
2
51 1
4
n
n
bq b
 

等数列通项：
23
51
4
n
nb

 

求公式：
2
5
1 4
5
111111 4 11143 1 24
n
n
n n
qTb q
          

7 xy 两数列： 12x a a y 1 2 3x b b b y 均等差数列求： 1
3
ax
yb
 

解：设两等差数列公差分： 1d 2d
113
yxa x d    32 4
yxy b d    23 典型数列专题
第 3 页
： 1
3
1 ()43
1 3()4
yxax
yb yx
  

利等差数列等差性质求题
8已知正项数列  na 前 n 项 nS 满足： 21056nnnSaa 1a 3a 15a 成等数
列求数列 通项 na 
解：已知： 2
+1+1+11056nnnSaa  ①
21056nnnSaa ②
①②： 22
11110()5()nnnnnaaaaa
移项合： 22
11()5()0nnnnaaaa ： 11()(5)0nnnnaaaa
正项数列 1( ) 0nnaa ： 1 50nnaa    ： 1 5nnaa 
 na 公差 5 等差数列
设： 1 5(1)naan ： 3110aa 151 70aa
成等数列： 2
3115aaa ： 2
111(10)(70)aaa
： 22
1111 2010070aaaa ： 1 2a  ： 25(1)53nann
题等式条件出公差 5等条件确定首项
9已知数列  na 前 n 项 1 (1)(2)3nSnnn 试求数列 1
na



前 n 项 nT 
解：已知： 1111(1)(2)(1)(24)(1)(21)(1)3662nSn nnn nnn nnn n 
： 2
1
1 ( 1)(2 1)6
n
k
k n n n

   ：
1
1 (1)2
n
k
kn n


面求公式分成两部分 2
nan 求 nan 求
： 2 (1)nannn n ： 1 1 1 1
( 1) 1na n n n n  

：
1
1 1 1( ) 11 1 1
n
n
k
nT k k n n
       23 典型数列专题
第 4 页
熟悉基求公式裂项求方法
10已知数列  na 前 n 项 nS首项 1 1a  满足 3 ( 2 )nnS n a 求通项 na 
解：已知： ①
113 ( 1 )nnS n a ②
①－②： 13 ( 2) ( 1)n n na n a n a    
移项合： 1(1)(1) nnnana  ： 1
1
1nn
naan 
 

递推：
 
12
1
1 1 1 2 1 1 2 1 2
1 1 ( 1) ( 1)1 1 2 2
n n n k
k
n n n n n ka a a an n n n n k
n n n nn n a akk

                
       

递推进行底
11果数列 中相邻两项 na 1na 二次方程 2 30nnnxnxc(n123…)两
根 1 2a  时试求 100 c 
解：韦达定理： 1 3nnaan   ① 1nnnaac  ②
①式： 121()()3nnnnaaaa  ： 2 3nnaa  ③
③式表明： 13521 kaaaa  2462 kaaaa 公差3 等差数列
代入①式： 2 5a  等差数列：
211 (1)( 3)23353kaakkk 
22(1)( 3)5 332 3kaakkk    
： 100 23 50152a      101 5 3 51 148a     
代入②式： 100 100 101 ( 152) ( 148) 22496c a a      
题韦达定理出  na 等差数列算出首项 na 计算出 nc
12两穷等数列  nb 公 绝值 1项分23 典型数列专题
第 5 页
1
1nk
k
Sa



1
2nk
k
Tb


 切然数： 2
nnab 求两数列首项公

解： 1 11
aS q
1 21
bT r
： 1 1aq 1 2 (1 )br 数列首项
设两等数列通项公式分：
11
1 (1)nn
naaqqq  ①
11
1 2(1)nn
nbb rrr  ②
①②两式代入 采赋值法分令 1n  2n  ：
2
11ab ： 2( 1 ) 2 ( 1 )qr   ③
2
22ab ： 22(1)2(1)qqrr ④
③④： 2rq ⑤
⑤式代入③式： 22(1)2(1)qq
： 1q  式化简：1 2(1 )qq   ： 1
3q 
代入⑤式： 1
9r  两数列公
分代入①式②式：
 
1
11 4114(1)41 3333
nn
nn
n naq q

    

1
1 81162(1)2 999
n
n
n nbr r

  

题采赋值法求解
13已知数列  na 前 n 项 nS 1
1
2a  2n  时满足： 120n n na S S 求证：
数列 1
nS



等差数列求  nS 通项公式 nS 
解： ： 1120n n n nSSSS   ：
1
1120
nnSS
   23 典型数列专题
第 6 页
：
1
112
nnSS

11
112Sa
式表明： 1
nS



首项 2公差 2 等差数列
： 1 2 2( 1) 2
n
nnS     ： 1
2nS n 1
1
2 ( 1 )nS n  

： 1
1 1 1
2 2( 1) 2 ( 1)n n na S S n n n n     
：
1 (1)2
1 (2)2(1)
n
n
a
nnn
  


注意求化通项方法
14已知等数列  na 首项 1
1
2a  满足： 1010
3020102(21)0SSS
（1）求 通项（2）求  nnS 前 n 项 nT
解：
30
30 1
1
1
qSa q
 

20
20 1
1
1
qSa q
 

10
10 1
1
1
qSa q
 
代入面等式：
10301020102(1)(21)(1)(1)0qqq
化简： 10102010102(1)(21)(1)10qqq
： 10 10 10 20 10 10 102(1 )2 2(1 )(1 )10q q q q       
整理： 10201020qq： 1
2q 
：
1
1
1
111
222
n
n
n naa q

  

1
11
1
111 (1)222
n
nn
n naa q

 

注意求化通项方法
第 14 题第(2)问解答：
(2)A等数列： 1
2
an n 求公式：
11
112 112 21 2
n
Sn n

 


： 1(1 )
221 1 1 1
n n n n kT kS k knk kkk k k k
        
   
23 典型数列专题
第 7 页
1> ( 1 )
21
n nnk
k



2> 23
123 222221
n n
n knR kk
 

①
： 2 3 1
2 3 42 2 1 2 2 2 221
n n
n knR kk

       

②
②①：
223311
21324311()()()()222222222n nnn
nnnR 

231
1231122222 nn
n

11 122 2(1)21 22221 2
n
nnnn
nnn 


综合 1> 2>： (1)2 222211
n
nnknnnTkn kkk
 


(2)B等数列： 1 1(1) 2
n
n na 
求公式：
11()11111 ( 1)2 [1( 1)]12333 221() 2
n
n
nSn nn
  


： 11[1 ( 1)]( 1)333 221111
kknnnn kkkTkSnk kkkkkk
   


1> ( 1)
361
n k n n
k



2> 23
11 1 2 3( 1) ( 1)33 2 2 2221
kn
n n
n knU kk
         
③
： 1 2 1
1 1 2 32 ( 1)3 1 2 2 2
n
n n
nU 
      
④
③+④：
1 2 2 1 1
1 2 1 3 2 13 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)3 2 2 2 2 2 2 2
nn
n n n n
n n nU 
  

21
1 1 1 11 ( 1) ( 1)3 2 2 2 2
nn
nn
n

        
23 典型数列专题
第 8 页
21
111111(1)(1)322232
nn
nn
n



(1)1112 (1)13321() 2
n
n n
n
n



2(1)1[1](1)9232
n
n
nn
n 
： 2(1)[1](1)322
n
n
n nn
nU  
： 1(1)2(1)(1)[1](1)336322 211
n
kn
nn
nnkkn nnTn kkk
 


15等差数列  2l og nx 第 m 项等 k第 k 项等 m(中 mk )求数列  nx 前
mk 项
解：等差数列通项： 221loglog+(n1)dnxx
： 221loglog(1)mxkxmd ①
2 2 1log log ( 1)kx m x k d    ②
两式相减： ()kmmkd ： 1d 
首项： 21log1xmk 
通项： 2log1(1)nxmknmkn
通项： 2mkn
nx 
前 项求：
1111222121 1221 2
mkm km km k
mk mkS

 
  

求公差求首项求通项关键
16果数列  na 中 1
5
6a 
1
1
11
32
n
nnaa



求通项 na 
解：整式递推数列定系数法
令： 1
1
111( )[( ) ]232
nn
nnaa
  ： 1
1 1 1 1 1()()()3 3 2 2 2 3 6 2
n n n
n n na a a  
     

1
1
1 1 1 1 1
3 2 3 2 2
nn
n n na a a


             
较： 3  23 典型数列专题
第 9 页
令： 1
11
13()2
n
nnba 
 ： 13 ( )2
n
nnba 1
11
15323() 2623ba 
： 1 1
3
n
n
b
b
   nb 首项 1
2
3b  公 1
3q  等数列
通项： 1212()()333
n
n nb 
：  na 通项： 1233() 232
n
nn nnab
定系数法确定新构建等数列通项
17设数列 1 4a  2n  时满足： 1321nnaan  求通项 na 
解：整式递推数列定系数法
令： 13[(1)]nnancanc
： 1133333232nnnaancncanc 
较： 1  1c 
令： 1nnnbancan  ： 11nnban 111 1 6ba   
：  nb 首项 1 6b  公 3 等数列
11
1 6323nnn
nbbq 
： 1231 n
nnabnn
定系数法构造等数列？
18设数列 1 1a  2 2a  满足： 2132nnnaaa*()nN 求通项
解：题二阶递推数列解：
定系数法：令： 211 ()nnnnaaaa 
： 2111 ()nnnnnnaaaaaa  
较系数： 3
2



 

  成元二次方程两根韦达定理方程：
2 3 2 0xx   正采特征根法特征方程
述方程解： 1 2： 2 1两组解推出数列通项结果23 典型数列专题
第 10 页
样 取 2 1
令： 1nnnb a a  121nnnb a a 121 1b a a  
： 1 2n
n
b
b   nb 首 项 1 公 2 等数列通项：
11
1 2nn
nb b q    ： 1
1 2 n
nnnaab 
  ： 1
1 2n
nnaa 
 
定系数法令： 1
1 2(2)nn
nnarpar 
 
： 1
1 222(24)2nnn
nnnapaprrpaprr 
 
较： 1p  1
2r 
令： 11222 2
nnn
nnnncaraa  ： 1
1120nca   
： 111 0nnncccc
： 120n
nnac   ： 12 n
na 
现特征根法求解：
特征方程： 2 320xx 两根： 1 1x  2 2x 
代入特征根法二异根解： 1 12212 2nnn
nac xc xcc
1 1a  2 2a  代入式确定 1c 2c
： 112 12acc 2
212 22acc 解： 2
1
2c  1 0c 
： 1
1 1 2 2 1 2 22n n n n
na c x c x c c      
二阶递推数列采特征根法较简洁
19已知正项数列  na 满足： 1
1 (4)2nnnaaa 求通项 na 
解： 2
1
11(4 ) ( 2) 222n n n na a a a       ： 2
1
12(2) 2nnaa  
令： 112nnba： 2nnba 1121ba    2
1 1b 
代入式： 2
1
1
2nnbb   
： 2
21
11
22bb   
23 典型数列专题
第 11 页
23
2
32
1111
2222bb

67
2
43
1 1 1 1
2 2 2 2bb                            

1415
2
54
1111
2222bb

……
11212
2
1
111 2222
nn
nnbb


 

：
121222 2
n
nnab

 

递推数列递推法 ：取数做
20已知数列  na 中 1 2a  满足： 1
21
46
n
n
n
aa a
 
*()nN 求通项 na 
解： 1
21
46
n
n
n
aa a
 
化简： 116 2 1 0n n n na a a a    ①
动点法解动点方程： 21
46
xx x
 

： 24410xx 方程根二重根： 12
1
2xx
二重根动点解：
112
11
nn
caxax

（c 定常数） ②
通分化简：      2 1 1 2 1 1n n n na x a x c a x a x     
： 11
1 1 1 1
2 2 2 2n n n na a c a a
                       

：    114 2 4 2 4 0n n n nca a c a c a c      ③
③式①式： 1c 
令： 1
11
1
11
1
2
n
n
n
b axa



 
：
2
11
1
2
n
n
n
b ax a
 
1
1
12
1 5
2
b
a



代入②式： 1 1nnbb  23 典型数列专题
第 12 页
：  nb 首项 2
5
公差 1 等差数列 ： 253(1)55n
nbn 
代入： 1
1
2
n
n
b
a


： 11511053135
2532106106n
n
nna bnnn
 

动点法根二重根时构造等差数列解
21已知数列  na 中 1 3a  满足： 1
42
1
n
n
n
aa a
 
求通项 na 
解： 1
42
1
n
n
n
aa a
 
化简： 11420nnnnaaaa ①
动点法解动点方程： 42
1
xx x
 

： 2 3 2 0xx方程根二异根： 1 1x  2 2x 
设二异根解式满足： 111
122
nn
nn
axax
axax 


： 1
1
11
22
nn
nn
aa
aa


②
化简：       1112212 10n nnna aaa 
： 11
221 2011nnnna aaa 


③
较①③两式： 3
2 
令： 111
1
121
1
2
nn
n
nn
axab axa




： 1
2
n
n
n
ab a
 
1
1
1
1 22
ab a


代入②式： 1
3
2nnbb 
：  nb 首项 1 2b  公 3
2  等数列
：
1 1
2
332 22
n n
n nb
 

 
代入 1
2
n
n
n
ab a
 
：
12
12
212 32
132
nn
n
n nn
n
ba b


 

动点法根二异根时构造等数列求
22已知数列 中 1 5a  满足： 1
23n
n
n
aa a
 求通项 na 
解： 1
23n
n
n
aa a
 化简： 1 2 3 0n n na a a    ①
动点法解动点方程： 23xx x
 23 典型数列专题
第 13 页
： 2 2 3 0xx   方程二异根： 1 1x  2 3x 
设二异根解式满足： 111
122
nn
nn
axax
axax 


： 1
1
11
33
nn
nn
aa
aa


②
化简： 11
331 3011nnnnaaaa 


③
较①③两式 3 
令： 1
1
1
1
3
n
n
n
ab a



 
： 1
3
n
n
n
ab a
 
1
1
1
1 33
ab a


代入②式： 1 3nnbb 
：  nb 首项 1 3b  公 3  等数列
：    113313 nnn
nb 
代入 1
3
n
n
n
ab a
 
： 31
1
n
n
n
ba b
 
：  
 
1 1
1
131
131
n n
n n na
 



 
 
11
1
31
31
nn
n nna





动点法二异根时构造等数列求
23已知数列  na 中 1 4a  满足：
2
1 2( 1)
n
n
n
aa a  
2n
n
n
ab a
 求通项 nb 
解： 2 21n
n
nn
ab aa
   ： 11
2
n
n
b
a
 2
1n
n
a b 

代入
2
1 2( 1)
n
n
n
aa a  
：  
  
2
2
2
1
42
1 1222
1111 1221211
n n
nnnn n
nn
b b
bbbb b
bb


   

： 2
1nnbb 
： 1
1
1
2 4 2 1
42
ab a
   
2
2
21
1
2bb

4
2
32
1
2bb
23 典型数列专题
第 14 页
8
2
43
1
2bb 

16
2
54
1
2bb

……
1
1
2
2
1 2
11
2 2
n
nnnbb


 

递推找规律
吧中数列题
吧题 1设数列  na 中项 0证明  na 等差数列充条件
*nN ：
1223111
111
nnn
n
aaaaaaaa 

证明：  na 等差数列设： 1 ( 1)na a n d  
0d  时： 121 naaa 
成立
0d  时 1
111
11111 kk
kkkkkk
aa
a ada adaa


 

1111
1111nn
kkkkkka adaa


12231
1 11 1111
kka aa aa ad 
 11
111
naad 


11
11
1 n
n
aa
d a a



1 1 1 1
1
nn
nd n
d a a a a
  
充分条件成立 23 典型数列专题
第 15 页

1223111
111
nnn
n
aaaaaaaa 
 1 2 1 na a a    时满足式
时 na 公差 0 等差数列
121 na a a  互相等时设
1kkkd a a 式变：
1
111 111
11111nnn kk
kkk kkkkkkkk
aa
a ada adaa

 
   

11
111111
111
11n
nnn
nnn kkk
kkk
aannnn
a aa aaa ddd






：
1 1 11
11
1 1 1 11n
nnk k k k nkk
kk
nn
d a a aadd  

      

：
112121
11
1111111 0nn
nnkk
kk
nn
daddadadd


    

*nN 成立：
21
110
dd

32
110
dd
…
1
1
1 0n
k
k
n
d d




1
1 0n
nk
k
n
dd




： 11
12 n
n
aad d d n
    
： 等差数列 必条件成立 23 典型数列专题
第 16 页
吧题 2：正整数 a 存正整数 ( )b c b c  2 2 2abc成等差数列
证明：设： b m a c n a ( )m n N 
： 成等差数列： 2 2 22b a c： 2221mn ①
①式： 2 1n  偶数n 奇数 设： 21nk()kN
代入①式： 2 2 22 (2 1) 1 4 4 2m k k k     
： 222 2 1m k k   ②
②式： m 奇数 设： 21mj()jN
代入②式： 22(21)221jkk ： 22441221jjkk
： 2 ( 1) ( 1)j j k k   ③
③式 4 种情况：
1> jk偶数时 ( 1) ( 1)jk   2 jk 0jk
2> 奇数时 jk 2(1)1jk 1jk
3> j 奇数 k 偶数时 1jk 2(1)jk
： 12(1)123jkjj ： 3j  4k 
： 212315mj 212417nk
： 5b ma a 7c na a
4> 偶数 奇数时 1jk 21jk
：212jkj ： 2j  3k
符合
综合述 4 条：1> 2>满足()bc 4>满足()jkN  3>满足求
： 5ba 7ca 证毕
吧题 3：设数列 na 满足 2
1
1( 1)4nnaa中 1 1a  *()nN
求证： 12n
na  23 典型数列专题
第 17 页
证明：设： 1n
na   ： 1
n
na  
代入 2
1
1 ( 1)4nnaa：代入 2
141nnaa： 1241nn 
等式两边 n ：
4 1 122nn
nn      ： 2 
代入 ： 12 n
na  证毕
吧题 4：已知数列  na 意正整数 n ： 1
11
nn
naann
 1 0a  求该数列
通项 na 
解： 等号两边时 ( 1)n  ：
1 1111
1(1)1
nn
n
aaa
nnn nnnn
 


： 1 111
11
n
n
a a
nnnn
 

： 1 11
1
nnaa
nn
 

①
令： 1n
n
ab
n
 ： 1
1
1
1
n
n
ab
n




1
1
101 1
11
ab 
代入①式： 111 1nnnbbbb
：  nb 首项 1公 1 等数列
： 1 1n
n
ab
n
： 1nan
数列通项： 等差数列
吧题 5：已知数列 意正整数 n ： 12 (21)n
n
aaa nan
  1
1
3a 
求该数列通项
解： 12 (2 1)nn
n
a a a S na
nn
      ： (2 1)nnS n n a ① 23 典型数列专题
第 18 页
①式： 111 (1)[2(1)1](1)(23)nnnSnnanna ②
①②式： 11(21)(1)(23)nnnnnaSSnnanna
： 2
1( 1)(2 3) (2 1) ( 1)(2 1)n n nn n a n n a n n a       
：
1
(1)(23)23
(1)(21)21
n
n
a nnn
annn


④
④式：
132
11221
23 25 27(1)(3)
21212331
nnn
nn
aaaa annn
aaaaannn





： 1
1 22
331
(21)(21) 4141n
aaa
nn nn

 


《香当网》用户分享的内容，不代表《香当网》观点或立场，请自行判断内容的真实性和可靠性！
该内容是文档的文本内容，更好的格式请下载文档