2020届高三上学期第一次模拟考试数学（理）试卷（PDF版—附答案）

数学（理科）
注意事项：
I全部答案答题卡完成答试题卷效．
2考试结束文答题卡．
选择题：题12题题5分60分题出四选项中
项符合题目求．
I知集合A { x I x2 x 6 < 0｝集合B{xlx>l｝A门B
A [3�） B (13] C (13) D (3倒）
2复数z满足 Z·ili 中i虚数单位z虚部
A 0 B 1
3 设x εR lgx ＜ 2z 1 < I
A充分必条件
C充条件
C i D 2
B必充分条件
D充分必条件
4行四边形 ABCD 中 4乙BAD60°
AB 斗 AD3 否＝3昂万 ·AB
A5 B6 C 7 · D 10
5 函数f( x) x2 { ex ex ） 致图象
YI +Y
X X
A ’ B ’ C
y
6图网格纸正方形边长1粗实线画出某体
三视图中俯视图扇形该体体积
A 2r 4π ．̍ B ̍3 3
C 14r 16r ̍ D ̍3 9
7四色猜想世界三数学猜想1976年数学家阿佩尔哈肯
证明称四色定理．容： 意 张面图四种颜色
具边界国家涂颜色 ．数学语言表示
面意细分相重叠区域区域总 1234
四数字 标记会相邻两区域相数字．
y
X
rkLJ ＇
i l I
lffiI 第7题图•
图网格纸正方形边长1粗实线围成区域分标数字123 4囚
色图符合四色定理区域A 区域B标记数字丢失．该四色图机取点
恰取标记1区域概率值中
A 土 B 土 c __
15 10 3
8知数列｛a＂｝前n项Sa1 l 2 S n a+1anS10
D 旦－
30
A 100 B 110 C 50 D 55
9 偶函数f(x
y g (x）图象 g (x）
单调递减区间
（－－�） B （） C （） D～（生）
1r 7r 1r 2 万
3 6 12 12 6 3 · 3 6
10知F(c 0）双曲线C ： 三 ＿ i_ 1（α＞ Ob > 0）右焦点圆F (x c )2
+ y2 a2
’
a2 b2
恰三点双曲线C
条渐线距离双曲线离心率2
J13 A 王 B 亟 C 亚Jo
2 2 2 2
11正方体ABCD A 1BP1D 1 中EF分棱BBl ＇DD l中点G侧面ABBAi
动点．D 1GII面AEC IFD IG面ABB I码成角正切值值
A 豆 B I · C 2 _ ·_ D JS’ ·
5
12函数y f(x）存勺f(xo ) i(xo ）称点 （xo f(xo ））点 （－xof(xo ))
llnx x>O 函数f(x）


隐称点

．函数f(x） 斗’ 图恰2

隐lmx
2
mxx 三0
称点

实数m取值范围
A （吵 B C （＿月）e D (1+«>)
二填空题：题4题题 5分20分．
12x1 �o
13知实数x y满足忖 － y三0 目标函数z 3x+y值
lx+y2sO · ·
14 (I+ xXI x)5
展开式中含x2
项系数
15面直角坐标系x命中点A0圆心单位圆第象限点B(lO)
LB OA f单位阳时针方旋转角α 点 川 I ＞ cosa＝� 5 5
16 知直线l抛物线C x2 2py(p > 0）焦点F交CAB两点交C准线点
MAFFMJ_IBFI 三解答题：题6题70分轔应写出文字说明证明程演算步骤．第17
题 ～ 第 2 1题 必考题试题 考生必须作答 第2223题选考题考生根求
作答．
（ － 〉必做题：60 分 ．
17 （ 题满分 12 分〉图6ABC 中角ABC边分 abc
bcosA asin B 0
(1）求ζBAC
(2） AB l AD AC 2fi CD Js求 AD 长
C
B
D A
1 8 （题满分12分〉 等腰梯形 ABCD中 AB I CDζA BC60 AB 2CD 4点
E AB 中点．现 BF£ 线段 EC 翻折四棱锥 PAECD二面 角
PECD直二面角．
(1）求证： EC lPD
(2）求二面角PAEC 余弦值．
19 （题满分12 分〉已知椭圆 c兰＋ il (a>b>O）点(1马短轴 端 点右焦点· a2 b2 • 2 二．＼·
距离2 －� ’· ． V卢 r 二 ’ ffi 飞二 ＇� ＇ ••
( 1)求椭圆C方程：
(2）设定点M〔02）直线l椭圆交两点AL B 坐标原点线段
AB直径圆外求直线l斜率k取值范围．＼ 啡
邀
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件
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版
川
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AU 句－
－ · · 121
82 87
42
5』
永州市2020年高考第 次模拟考试试卷·数学（理科）第3页（4页）(3）商场 推广款产品现 面意客户推出 玩游戏送奖 活动客户根
抛硬 ．币结果操控机 器础行进已知硬 币出现 正反面概率 i·
方格图标第0格第1格第2格．．．．第50格．机器开始第0格
客户掷 次硬币机器前移动次掷出正面机器前移动格（
k k +1）掷出反面机器前移动两格〈kk+2）直机器移
第49格（胜利营）第50格（失败营）时游戏结束机器停胜
利营获优惠券．设机器移第n格概率马（0 三 n 豆 50 n e N•)
试证明｛－ P_l}{l 三 n三 49n εN•）等数列解释方案否吸引顾客购买
＆
该款产品．
21 （题满分1 2分〉知函数 f ( x) ex a 1n x ( a > 0)
(l）试求函数 f(x）极值点数：
(2）aεN• f(x) > 0恒成立求α值．
参考数：
X 16 17 174
ex 5474 5697
lnx I 0410 0531 0554
18 10
6050 22026
0558 2303
1 �
「
’－ r霄．句 ＇
（二）选考题：IO分．请考生第2223题中题作答．果做做第˜计分．
22 （题满分10分〉选修牛4：坐标系参数方程
܏ 3x＝㜝－t+m
面直角坐标系x句中直线l参数方程｛
1
2
• (t＿ 参数）0极
y 2t
点x轴正半轴极轴极坐标系中曲线 C极坐标方程ρ2 2
’ cos 2 0 + 2sin 2 θ
(1）求曲线C直角坐标方程：
4� I句ω 设直线l X 轴交点p曲线C交A B 两点IABI＝子求实数m值
23 C题满分10分〉选修45：等式选讲
知函数 f(x)lx1卜 lx+tl
(I）求等式 f(x) < 1解集：
(2）等式 f(x)Sx2 +x+m 恒成立求实数m取值范围．
(


数学（理科）参考答案

选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
项符合题目求．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D A B C D C A D B

二填空题：题 4 题题 5 分 20 分 答案填答题卡中应题号
横线
13．2 14．5 15．
10
433  16．
2
3
三解答题：题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（题满分 12 分）
解：（1） ABCD 中正弦定理sin cos sin sin 0BAAB ……………2 分
sin 0B  tan 1A ……………4 分
(0 )A 
4A  ……………6
分
（2） AB AD
4BAC 
4CAD   ……………7 分
ACDD 中 22AC 5CD
4CAD 
余弦定理 2 2 2 2 cosCD AC AD AC AD CAD + 鬃 ……………9 分
2 25 8 2 2 2 2AD AD + 创 解： 1AD  3AD  …………11 分
AD＼ 长 1 3 ……………12 分
18．（题满分 12 分）
解：（1）图连接 DE 易知 ΔDCE CEP 均正三角形取CE 中点 Q
连接 PQ DQ CEPQ⊥ CEDQ⊥ ……………2 分
QPQDQ  DQPQ 面 DPQ
EC 面 PDQ ……………4 分
PD 面 PDQ PDEC⊥ ……………5 分
（2）二面角 P EC D直二面角面 PEC 面 AECD
面 PEC 面 ECAECD ECPQ⊥ ⊥PQ 面 AEC
DQEC⊥ 点Q 坐标原点 QPQDQC 直线分 x 轴
y 轴 z 轴建立图示空间直角坐标系 xyzQ  ……………6 分





( 2 30)A  ( 100)E  (00 3)P (1 3 )AE  0 (2 3 3)AP 
设面 PAC 法量 )( zyxm  0
0
m AE
m AP
ì ïíï î
30
2 3 3 0
xy
x y z
ì ïíï + î


取 1z ( 3 )m 11 ……………9 分
直线 PQ ^ 面 AEC (00 3)PQ 面 AEC 法量
35cos 553
m PQm PQ
m PQ
< >
´×
……………11 分
二面角 P AE C锐二面角
二面角 余弦值 5
5
……………12 分
19．（题满分 12 分）
解：（1）题意知 22
3
1 4 1
2
ab
a

 


解 2
1
a
b

 

椭圆C 方程
2
2 14
x y ……………4 分
（2）显然直线 0x  满足题设条件设直线    1 2 2 2 +2 l y kx A x y B x y
联立 2
2
+2
14
y kx
x y
 
消 y 整理： 221 4 3 04k x kx   

∴ 1 2 1 2
22
4311
44
kx x x x
kk
    


……………6 分
 2 2214 4 3 4 3 04k k k       
： 3
2k  3
2k  …………7 分
坐标原点O 线段 AB 直径圆外
∴ 1 2 1 2 0OA OB x x y y   

……………9 分
    2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4yy kx kx kxx kxx      
2 2 2
2 2 2
3 8 141 1 1
4 4 4
k k k
k k k
     
  

∵
2
22
31011
44
k
kk


2 4k  ∴ 22k   ……………11 分
32 2k    3 22 k

……………12 分

20．（题满分 12 分）
解：（1）根条形图知优等品频率
2
1
500
4287121  频率估计概率
取件产品优等品概率
2
1P

……………2 分
（2）（1）取件产品优等品概率
2
1
题意 47000425080)10001600( X
39000425080)10001500( X ……………3 分
16
5)2
1()2
1()47000( 43
4
44
4  CCXP ……………4 分
16
11)2
1()2
1()2
1()39000( 42
4
41
4
40
4  CCCXP

……………5 分

X 分布列：




数学期 4150016
113900016
547000 EX

……………6 分
（3）机器第 0 格必然事件 10 P第次掷硬币出现正面机器移
第 1 格概率
2
1
1 P机器移第 )492(  nn 格情况两种：
①先第 2n 格出现反面概率 22
1
nP
②先第 1n 格出现正面概率 12
1
nP
21 2
1
2
1
  nnn PPP )(2
1
211   nnnn PPPP

……………8 分
1 49n 时数列 }{ 1 nn PP 首项
2
1
01  PP
公
2
1 等数列

2
1
01  PP 2
12 )2
1( PP 3
23 )2
1( PP 
n
nn PP)2
1(1   ……………9 分

X 47000 39000
P
16
5
16
11

式累加 n
nP)2
1()2
1()2
1(1 21  
)4910]()2
1(1[3
2)2
1()2
1()2
1(1 121    nP nn
n

…10 分
获胜概率 ])2
1(1[3
2])2
1(1[3
2 5050
49 P
失败概率 ])2
1(1[3
1])2
1(1[3
1
2
1 4949
4850  PP

……………11 分
0])2
1(1[3
1])2
1(1[3
1])2
1(1[3
2 484950
5049  PP获胜概率更
方案吸引顾客购买该款产品 ……………12 分
21．（题满分 12 分）
解：（1）函数  fx定义域 0 ．  ＇ex afx x …………1 分
0a  时  ＇ex afx x 0 单调递增
 ＇ e 1 0afa   0x  时  ＇fx
∴存唯正数 0x  0＇0fx ……………3 分
函数  fx  00 x 单调递减 0x  单调递增
∴函数  fx唯极值点 0x 没极值点
∴ 0a  时  fx唯极值点没极值点． ……………5 分
（2）（1）知 0a  时 唯极值点 0x
∴     0
00m e lnx
inf x f x a x     0fx 恒成立  0 0fx
∵ 0
0
exa
x  ∴  0 0 0
00
1ln ln 0af x a x a xxx
    


∴ 0
0
1 ln 0xx ． ……………6 分
令   1 lnh x xx  hx 0 单调递减
  1174 ln174 0174h      118 ln18 018h   
∴存唯正数  17418m   0hm  0 0xm ．……8 分
  0
00e ln 0xf x a x  恒成立
①  0 01x  时   0
00e ln 0xf x a x  成立

②  0 1xm 时 0
0e ln 0x ax∴
0
0
e
ln
x
a x ．
令   e
ln
x
gx x  1xm 时    2
1e ln
0
ln
x x xgx
x
 
∴  1 m 单调递减  a g m ．
∵    174g m g  
174e174 103ln174g  a N
∴ 10a  ． ……………10 分
面证明 10a  时   e 10ln 0xf x x   ．
  10exfx x
   fx  0 单调递增  ＇ 174 0f   ＇ 18 0f 
∴存唯  0 17418x    0
0
0
10＇ e 0xfx x  
∴      0
0 0 0 0min
00
10 1e 10ln 10 ln10 10( ln10)xf x f x x x xxx         ．
令   0
0
110( ln10)u x x x    17418x 易知  ux 17418 单调递增
∴      1174 10(174 ln10) 10 231 2303 0174u x u      
∴    00min
0
110( ln10) 0f x f x x x     10a  时   e 10ln 0xf x x ．
∴ a 值 10． ……………12 分

22．（题满分 10 分）
解：（1）曲线 C 极坐标方程化 2 2 2cos 2sin 2  （） ……………………2 分
cos sinxy    代入式 22+2 2xy
曲线 C 直角坐标方程
2
2+12
x y  ………………………………5 分
（2）直线l 参数方程代入 22+2 2xy
2231( ) 2 ( ) 222t m t    化简 225 3 2 04t mt m    ………6 分
2 2 25(3)4 ( 2) 2 1004m m m          55m  
2
1 2 1 2
4 3 4 ( 2)55t t m t t m      ………………………8 分
2222
1 2 1 2 1 2
32 32 32( ) 4 5 25 25AB t t t t t t m      
2m  ………………………………10 分
23 （题满分 10 分）

解：（1）
2 1
( ) 1 1 2 1 1
2 1
x
f x x x x x
x

        

……2 分
1x  时 ( ) 1fx 解
11x   时 ( ) 1fx 21x解 1 12 x  
1x  时 ( ) 1fx 恒成立 1x 
综述等式 ( ) 1fx 解集 1()2  …………………………5 分
（2）等式 2()f x x x m   恒成立
 2()m f x x x   恒成立 ………………………………7 分
1x  时 22( ) 2 2f x x x x x      
11x   时 2 2 2( ) 2 3 2f x x x x x x x x         
1x  时 22( ) 2 4f x x x x x       
 2( ) 2f x x x   ………………………………9 分
 2m  实数 m 取值范围 2m  ………………………………10 分

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