2020届江苏省南京市、盐城市高三第一次模拟考试 数学（理）（PDF版含答案）

高三数学试题第 1 页（ 4 页）

数 学 理 试 题
(总分 160 分考试时间 120 分钟)
注意事项：
1．试卷考试时间 120 分钟试卷满分 160 分考试形式闭卷．
2．试卷中试题必须作答答题卡规定位置否分．
3．答题前务必姓名准考证号 05 毫米黑色墨水签字笔填写试卷答题
卡．
参考公式：
柱体体积公式：V Sh 锥体体积公式： 1
3V Sh 中 S 底面积 h高
样数 12 nx x x 方差 22
1
1 ()
n
i
i
s x xn 
 中
1
1 n
i
i
xxn 
 

填空题（题 14 题题 5 分计 70 分 需写出解答程请答案写答
题纸指定位置）
1．已知集合 (0 )A   全集UR UA ▲ ．
2．设复数 2zi中i 虚数单位 zz ▲ ．
3．学校准备甲乙丙三位学生中机选两位学生参加问卷调查甲
选中概率 ▲ ．
4．命题 R cos sin 1否定 ▲ 命题(填真
假)
5．运行图示伪代码输出 I 值 ▲ ．
6．已知样 yx987 均数9 110xy 样方差
▲ ．
7．面直角坐标系 xOy 中抛物线 2 4yx 点 P 焦点距离3 点
点O 距离 ▲ ．
0
0
10
1

S
I
While S
SSI
II
End For
Print I





(第 5 题图)
高三数学试题第 2 页（ 4 页）
8．数列{}na 公差 0 等差数列 1ln a 2ln a 5ln a 成等差数列 2
1
a
a
值 ▲ ．
9．三棱柱 1 1 1ABC A B C 中点 P 棱 1CC 点记三棱柱 四棱锥
11P ABB A 体积分 1V 2V 2
1
V
V  ▲ ．
10．设函数 ( ) sin( )f x x（ 00 2
   ）图象 y 轴交点坐标 3
2

轴右侧第低点横坐标
6
  值 ▲ ．
11．已知 H △ ABC 垂心（三角形三条高直线交点） 11
42AH AB AC
uuur uuur uuur

cos BAC 值 ▲
12．穷数列 cos( )n ()R  等差数列前 10 项 ▲ ．
13．已知集合 {( ) 16}P x y x x y y   集合 12{( ) }Q x y kx b y kx b    
PQ 12
2 1
bb
k


值 ▲ ．
14．意实数 ]1(x 1122  axx
ex
成立实数 a 值 ▲
二解答题（题 6 题计 90 分解答应写出必文字说明证明程演算步骤
请答案写答题纸指定区域）
15．(题满分 14 分)
已知 ABC 满足sin( ) 2cos6BB ．
（1） 6cos 3C  3AC  求 AB
（2） 0 3A 
  4cos 5BA求sin A．
高三数学试题第 3 页（ 4 页）
16．(题满分 14 分)
图长方体 1111 DCBAABCD 中已知底面 ABCD 正方形点 P 侧棱 1CC
点．
（1） 1AC 面 PBD求
PC
PC1 值
（2）求证： PABD 1 ．

(第 16 题图)
17．(题满分 14 分)
图块半径 4 米圆形铁皮现算利块铁皮做圆柱形油桶．具体做
法 Oe 中裁剪出两块全等圆形铁皮 Pe Qe 做圆柱底面裁剪出矩形
ABCD 做圆柱侧面（接缝忽略计） AB 圆柱条母线点 AB
点 PQ 条直径 分直线 BC AD 相切 切．
（1）求圆形铁皮 半径取值范围
（2）请确定圆形铁皮 半径值油桶体积．(取似值)

(第 17 题图)
高三数学试题第 4 页（ 4 页）
18．(题满分 16 分)
设椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab    左右焦点分 12FF离心率e 动点 00()P x y
椭圆C 运动 2PF x 轴时 0 1x  0ye ．
（1）求椭圆 方程
（2）延长 12PF PF 分交椭圆 点 AB（ 重合）设 11AF F P
uuur uuur

22BF F P
uuuur uuuur
求 值．

(第 18 题图)


19．(题满分 16 分)
定义穷数列 na 满足 1nnaa  公 q 等数列称数列  Mq
数列．设数列 nb 中 1 1b  3 7b  ．
（1） 2 4b  数列 nb  Mq数列求数列 nb 通项公式
（2）设数列 nb 前 n 项 nS 1
12 2nnb S n     请判断数列 nb 否
 Mq数列说明理
（3）数列 nb  2M 数列否存正整数 mn 4039 4040
2019 2019
m
n
b
b 存
请求出满足条件正整数 存请说明理．



20．(题满分 16 分)
函数 () xxf x e ae mx   ()mR 奇函数 0xx 时 ()fx极值 0()fx ．
（1）求实数 a 值
（2）求实数 m 取值范围
（3） 0
2()fx e 恒成立求实数 取值范围．




y
高三数学试题第 5 页（ 4 页）

数学附加题部分
（部分满分 40 分考试时间 30 分钟）
21．[选做题]（ ABC 三题中选做 2 题题 10 分计 20 分．请答案写
答题纸指定区域）
A（选修 42：矩阵变换）
已知圆C 矩阵 3
32
aM  
变换圆 22 13C x y 求实数 a 值




B．（选修 44：坐标系参数方程）
极坐标系中直线 cos 2 sin m   曲线 4sin 截弦 AB
长弦时求实数 m 值





C．(选修 45：等式选讲）
已知正实数 abc满足 1 2 3 1abc   求 23a b c值


高三数学试题第 6 页（ 4 页）
[必做题]（第 2223 题题 10 分计 20 分．请答案写答题纸指定区域）
22．（题满分 10 分）
图 1AA 1BB 圆柱两条母线 11AB AB 分底面圆圆心 1OO
CD 底面 垂直直径 2CD 
（1） 1 3AA  求异面直线 1AC 1BD成角余弦值
（2）二面角 11A CD B
3
 求母线 长




23．（题满分 10 分）
设
2
22
0 1 2 2
1
(1 2 )
n
in
n
i
x a a x a x a x

      L( nN )记 0 2 4 2nnS a a a a    L
（1）求 nS
（2）记 1 2 3
1 2 3 ( 1)nn
n n n n n nTSCSCSCSC      L求证： 3| | 6nTn 恒成立












高三数学试题第 7 页（ 4 页）

数学参考答案
填空题：题 14 题题 5 分计 70 分
1． ( 0] 2． 5 3． 2
3 4．真 5． 6 6． 2
7． 23
8．3 9． 10．7 11． 3
3 12．10 13．4 14． 1
2
二解答题：题 6 题计 90 分解答应写出必文字说明证明程演算步骤
请答案写答题纸指定区域
15．解：（1）sin( ) 2cos6BB 知 BBB cos2cos2
1sin2
3 
移项 3tan B )0( B 3
B ……………………………………………2
分
6cos 3C  )0( C 知 3
3cos1sin 2  CC ……………………………
4 分
ABC 中 正 弦 定 理 C
c
B
b
sinsin 
C
ABAC
sin
3sin

2AB ………………7 分
（2）（1）知 3
B 0 3A 
时 )30(3
  A
  4cos 5BA 5
4)3cos(  A 5
3)3(cos1)3sin( 2  AA  ……………
10 分
∴
10
334
5
3
2
1
5
4
2
3)3sin(3cos)3cos(3sin))3(3sin(sin  AAAA 
…14 分


16．（1）证明：连结 AC 交 BD 点O连结OP
1 AC 面 PBD 1AC 面 1ACC
高三数学试题第 8 页（ 4 页）
面 1ACC  面 OPBDP  1 AC OP ……………3 分
四边形 ABCD正方形角线 AC 交 BD 点O
点 中点 AO OC
1ACC 中 1 1PC AO
PC OC ……………6 分
（2）证明：连结 11AC
1 1 1 1ABCD A B C D 直四棱柱侧棱 1CC垂直底面 ABCD
BD  面 1CC BD ．…………………………………………………………………8 分
底面 正方形 AC BD ． ……………………………………………………10
分
1AC CC CI AC  面 11ACC A 1CC  面
BD 面 ……………………………………… …………………………………………12 分
1 1 1 1P CC CC ACC A面 11P ACC A面 1 1 1A ACC A面
A1P 面 ACC1A1 1BD A P ． ………………………………………………
14 分


17．解：（1）设 Pe 半径 r )2(4 rAB 
周长 2)2(41622 rBCr  ………………………………………………
4 分
解
4
16
2  r 半 径 取 值 范 围
]4
160( 2  ……………………………………………6 分
（2）（1）条件油桶体积 )2(4 22 rrABrV   ……………………………………
8 分
设函数 )2()( 2 xxxf  ]4
160( 2  x
234)( xxxf 
3
4
4
16
2 
( ) 0fx  定义域恒成立
()fx定义域单调递增
4
16
2  r 时体积取值 ………………………………………………
13 分
高三数学试题第 9 页（ 4 页）
答： Pe 半 径 取 值 范 围 ]4
160( 2  4
16
2  r 时 体 积 取
值 ………………………14 分

18解：（1） 2PF x 轴时 0 1x  知 1c  …………………………………………………2
分
0ye 代入椭圆方程
2
22
1 1e
ab（※）
1ce aa 2 2 2 2 1b a c a    代入（※）式 2 2 2
111( 1)a a a
解 2 2a  2 1b  ∴椭圆C 方程
2
2 12
x y…………………………………………………4
分
（2）方法：设 11()A x y 11AF F P
uuur uuur
10
10
1 ( 1)xx
yy


   

10
10
1xx
yy


   
 

代入椭圆方程
2
20
0
( 1) ( ) 12
x y       （＃） ………………………………………………8
分

2
20
0 12
x y
2
2 0
0 1 2
xy  代入（＃）式 2 2 2
00
1( 1) 2 (1 ) 22xx      
化简 2
03 2 1 2 ( 1) 0x        0( 1)(3 1 2 ) 0x      显然 10 
∴ 03 1 2 0x  
0
1
32x   ……………………………………………………………………12 分
理
0
1
32u x  2
0 0 0
1 1 6 2
3 2 3 2 9 4 3x x x      
仅 0 0x  时取等号  值 2
3 ………………………………………………16
分
方法二：点 AB 重合知直线 PA x 轴重合设直线 方程 1x my
联立
2
2 12
1
x y
x my
 
 
消 x 22( 2) 2 1 0m y my    （☆）
设 1y 0y 方程（☆）两实根
求根公式
2
01 2
22
2
mmy m
  01 2
1
2yy m
 
高三数学试题第 10 页（ 4 页）
1 2
0
1
( 2)y my
  ……………………8 分

点 00()P x y 代入椭圆方程
2
20
0 12
x y
代入直线 PA 方程 001x my∴ 0
0
1xm y

11AF F P
uuur uuur
10yy 1
0
y
y  22
2200
0
0
11
1( 2) [( ) 2]xmy yy
 

22
220 0 0
00
1 1 1
1( 1) 2 3 2( 1) 2(1 )2
x y xxx
      
…………………………………………………12
分

理
0
1
32u x  2
0 0 0
1 1 6 2
3 2 3 2 9 4 3x x x      
仅 0 0x  时取等号  值 2
3 ………………………………………………16
分
注：（1）设 ( 2 cos sin )P  1
3 2 2 cos




余理
（2） 116运基等式求解 值
19．解：（1）∵ 2 4b  数列 nb  Mq数列
∴ 32
21
74141
bbq bb
   ∴ 1
1
1nn
nn
bb
bb


  ∴ 11n n n nb b b b ………………………………2
分
数列 nb 等差数列公差 213bb
通项公式 1 ( 1) 3nbn    32nbn ………………………………………………4
分
（2） 1
12 2nnb S n     2
3
2b  3 4 3 7b    1 
方法： 1
1212nnb S n    21
12 ( 1) 12nnb S n   
两式作差 2 1 1
12 2n n nb b b     21
13 2nnbb
高三数学试题第 11 页（ 4 页）
2
5
2b  ∴ 21
13 2bb∴ 1
13 2nnbb  nN 恒成立……………………6 分
1
113( )44nnbb    1
13044b    ∴ 1 04nb ∴
1
1
4 31
4
n
n
b
b
 



∴ 1{}4nb  等数列 ………………………………………………………………………………8 分
∴ 11 1 1(1 ) 3 34 4 4
nn
nb       ∴ 11344
n
nb    ∴
21
21
11
1 1 1 1( 3 ) ( 3 )4 4 4 4 31 1 1 1( 3 ) ( 3 )4 4 4 4
nn
nn
nnnn
bb
bb



          

∴ 1nnbb  公3 等数列数列 nb  Mq数列………………………………10
分

方法二：方法 恒成立
21
13 2nnbb两式作差 2 1 13( )n n n nb b b b     21
3 02bb  
∴ 1 0nnbb ∴ 21
1
3nn
nn
bb
bb


  方法 ……………………………………10
分
（3）数列 nb  2M 数列 1
1 2 1( ) 2n
nnb b b b 
    
32
21
2bb
bb
  ∴ 2
2
7 21
b
b
  ∴ 2 3b  ∴ 212bb∴ 1 2n
nnbb 
∴ 2n  时 1 1 2 2 1 1()()()n n n n nb b b b b b b b         L
122 2 2 1 2 1n n n      L
1n  时式成立 21n
nb  ……………………………………12
分
假设存正整数 mn 4039 4040
2019 2019
m
n
b
b 4039 2 1 4040
2019 2 1 2019
m
n

2 1 4039 12 1 2019
m
n
  知 2 1 2 1mn   ∴ mn 正整数∴ 1mn

高三数学试题第 12 页（ 4 页）
2 12(21)2 1 2 1404022 1 2 1 2 1 2019
m m n n m n m n
mn
n n n
  
         
∴ 4040232019
mn ∴ 1mn∴ 2 1 122 1 2 1
m
nn
 ∴ 4039 1 404022019 2 1 2019n  
∴ 202022
2021  n ∴ 10n  ∴ 11m 
存满足条件正整数 mn ……………………………………
16 分

20．解：（1）函数 )(xf 奇函数 0)()(  xfxf 定义域恒成立
0  mxaeemxaee xxxx
化简 0)()1(  xx eea 1a ………………………………………………3
分
（2）法：（1） mxeexf xx  )(
x
xx
xx
e
meemeexf 1)(
2  
中 2m 时 012  xx mee 恒成立
0)(  xf 恒成立存极值 ………………………………………………5
分
2m 时方程 012  mtt 两等正根 )( 2121 tttt 
知函数 mxeexf xx  )( )(ln)ln( 21  tt 单调递增
)ln(ln 21 tt 单调递减 2ln t 处取极值
m 取值范围 )2(  ………………………………………………9
分
法二：（1）
令 meexfxg xx  )()(
x
x
xx
e
eeexg 1)(
2  
0x 时 0)(  xg 0x 时 0)(  xg …………………………………………5
分
)(xg )0( 递减 )0(  递增
∴ mgxg  2)0()(min
02  m 0)( xg 恒成立 )(xf 单调递增极值点

02)0(  mg 解 2m
高三数学试题第 13 页（ 4 页）
取 mt ln 01)(  mtg
函数 )(xg 图象区间 ]0[ t 连续间断函数零点存性定理知区间 )0( t
存 0x 函数 零点 )( 0xf )(xf 极值
m 取值范围 )2(  ………………………………………………
9 分
（3） 0x 满足 mee xx   00
代入 mxeexf xx  )(
消 m 00 )1()1()( 000
xx exexxf  ……………………………………
11 分
构造函数 xx exexxh  )1()1()(
)()( xx eexxh   0x 时 01 2

x
x
xx
e
eee
时 0)(  xh 恒成立 h(x)[0+ )单调减函数中 eh 2)1(  ……
13 分
0
2()fx e 转化 0( ) (1)h x h
10 x 设 xx eey 
时 0 xx eey ]10( 递增 eem 1
综m 取值范围 ]12( ee  ………………………………………………16
分
附加题答案
21（A）解：设圆C 点()xy矩阵 M 变换圆C 点()xy

3
32
a x x
yy
               

3
32
ax y x
x y y

 
………………………………………………………5 分
圆 22 13C x y 圆 方程 22( 3 ) (3 2 ) 13ax y x y   
化简 2 2 2( 9) (6 12) 13 13a x a xy y    

2 9 13
6 12 0
a
a
 
 
解 2a  ………………………………………………………10 分
高三数学试题第 14 页（ 4 页）

21（B）解：极点原点极轴 x 轴正半轴（单位长度相）建立面直角坐标系
直线 cos 2 sin m   直角坐标方程 20x y m  
曲线 4sin 2 4 sin   直角坐标方程 22( 2) 4xy   ………………
5 分
曲线 (02) 圆心 2 半径圆
直线曲线（圆）截弦 AB 长直线圆心
0 2 2 0m    解 4m  ……………………………………………………10 分

21（C）解： 1 2 3 1abc   1 4 9 123a b c  
柯西等式 21 4 923 ( 23)( )(123)23a b c a b c a b c         
2 3 36a b c   …………………………………………………………………………………5 分
仅
1 4 9
23
23
a b c
a b c abc时取等号解 6abc  
仅 时 23a b c取值 36 ……………………………………10 分


22．解：（1）CD AB 1OO 直线建立图示空间直角坐标系O xyz
2CD  1 3AA  (0 10)A  (010)B( 100)C  (100)D 1(0 13)A  1(013)B
1 ( 11 3)AC  
uuuur
1 (1 1 3)BD  
uuuur

11 2 2 2 2 2 2
111(1)(3)(3) 7cos 11(1) 1 (3) 1 (1) (3)
ACBD           
        
uuuuruuuur

异 面 直 线 1AC 1BD 成 角 余 弦 值
高三数学试题第 15 页（ 4 页）
7
11 …………………………………………4 分
（2）设 1 0AA m 1(0 1 )Am 1(01 )Bm
1 ( 11 )AC m  
uuuur
1 (1 1 )B D m  
uuuur
(200)CD 
uuur

设面 1ACD 法量 1 1 1 1()n x y z
uur

11
1 1 1 1 1
20
0
n CD x
n AC x y mz
         
uur uuur
uur uuuur
1 0x  令 1 1z  1ym
面 法量 1 (0 1)nm
uur

理面 1B CD 法量 2 (0 1)nm
uur

二面角 11A CD B 3
 12 2 2 2 2
( ) 1 1 1cos 21 ( ) 1
mmnn
mm
      
   
uur uur

解 3m  3
3m 
图 形 知 二 面 角 时
…………………………………10 分
注：传统方法请参评分
23．解：（1）令 1x 0 1 2 2 0na a a a    L
令 1x 1 2 2
0 1 2 3 2 1 2
33 3 3 (9 1)2
nn
nna a a a a a  LL
两式相加 0 2 4 2
32( ) (9 1)2
n
na a a a     L∴ 3 (9 1)4
n
nS …………………………………
3 分
（2） 1 2 3
1 2 3 ( 1)nn
n n n n n nTSCSCSCSC      L
高三数学试题第 16 页（ 4 页）
 1 1 2 2 3 3 1 2 33 [9 9 9 (1)9][ (1)]4
n n n n n
n n n n n n n nCCCCCCCC    LL
 00112233 01233 [9 99 9 (1)9][ (1)]4
n n n n n
n n n n n n n n n nCCCCCCCCCC    LL
0 0 1 1 2 2 3 33[9 9 9 9 ( 1) 9 ]4
n n n
n n n n nCCCCC      L
0 0 1 1 2 23[(9) (9) (9) (9)]4
nn
n n n nCCCC        L
33[1 ( 9)] ( 8)44
nn      …………………………………………………………………………………7 分
证 3| | 6nTn 证 3 84
n 36n 需证明 138n n  证 12n n 
12n  时 12n n  显然成立
3n  时 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 12 1 ( 1)nn
n n n n nC C C C C n n
             L
∴ *nN 恒成立
综 恒成立……………………………………………………………………………………10 分
注：数学纳法数列单调性证明 恒成立请参评分



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