1
算术
例 1 解析：基公式法
年龄足 6 岁次相差 6 岁
∴ 51117 满足求
∴ 5 + 11 + 17 33
题选 C
例 2 解析：基公式法
770 7 × 11 × 2 × 5
∴ 7 + 11 + 2 + 5 25
题选 E
例 3 解析：基公式法
相邻合数 89
题选 E
例 4 解析：基公式法
奇数合数两数：915
∴ 9 × 15 135
题选 B
例 5 解析： 基公式法
∵ (√5 + 2)푚 + (3 − 2√5)푛 + 7 0푚 푛理数
∴ 化简：√5푚 + 2푚 + 3푛 − 2√5푛 + 7 0
(푚 − 2푛)√5 + 2푚 + 3푛 + 7 0
令 {(푚 − 2푛)√5 0
2푚 + 3푛 + 7 0 解：{푚 −2
푛 −1
∴ 푚 + 푛 −3
题选 B
2
例 6 解析： 基公式法
(√5 + 2)푚 + (3 − 2√5)푛 + 7 0푚 푛理数
∴ 化简：√5푚 + 2푚 + 3푛 − 2√5푛 + 7 0
(푚 − 2푛)√5 + 2푚 + 3푛 + 7 0
令 {(푚 − 2푛)√5 0
2푚 + 3푛 + 7 0 解：{푚 −2
푛 −1
∴ 푚 + 푛 −3
题选 B
例 7 解析： 基公式法
3푚 + 2푛 偶数3푚偶数푚偶数成立
3푚2 + 2푛2偶数3푚2偶数푚2偶数푚偶数成立
题选 D
例 8 解析：基公式法
푚푛单独奇数
确定푚2푛2奇偶性
∴ 单独（1）（2）成立
联立（1）（2）奇× 奇 奇
奇1偶
∴ 푚2푛2 − 1 2 整
题联合选 C
例 9 解析： 基公式法
∵ |푥 − 3|恒等 0
3
∴ 3 − 푥 ≥ 0 푥 ≤ 3
∴ 푥取值范围（∞3]
题选 D
例 10 解析：基公式法
|푎| 3
2푎 ± 3
2
|푏| 2푏 ±2
∴ 푎 ± 3
2 푏 ±2分代入|푎 − 푏|
∴ |푎 − 푏| 1
27
2
题选 C
例 11 解析：基公式法
根绝值方数开偶次根号非负性：
{
|푎 − 3| 0
√3푏 + 5 0
(5푐 − 4)2 0
{
푎 − 3 0
3푏 + 5 0
5푐 − 4 0
解：{
푎 3
푏 − 5
3
푐 4
5
∴ 푎푏푐 −4
题选 A
例 12 解析：基公式法
根绝值方数非负性：
{ |푎 − 1| 0
(푏 + 2)2 0{푎 − 1 0
푏 + 2 0解：{ 푎 1
푏 −2
∴ 2푎
푏 −1(2푎
푏 )
2018
(−1)2018 1
题选 B
例 13 解析：基公式法
∵ 푎 푏 푐非零实数푎 + 푏 + 푐 0
∴ 푎 + 푏 + 푐两正负两负正
4
∴ 分两种情况①푎 푏 푐两正负
푎
|푎| + 푏
|푏| + 푐
|푐| 1 푎푏푐
|푎푏푐| −1
∴ 푎
|푎| + 푏
|푏| + 푐
|푐| + 푎푏푐
|푎푏푐| 1 + (−1) 0
②푎 푏 푐两负正
푎
|푎| + 푏
|푏| + 푐
|푐| −1 푎푏푐
|푎푏푐| 1
∴ 푎
|푎| + 푏
|푏| + 푐
|푐| + 푎푏푐
|푎푏푐| (−1) + 1 0
∴ 综述取值 0
题选 A
例 14 解析：基公式法
甲 ∶ 乙 ∶ 丙 1
2 ∶ 1
3 ∶ 2
5
∴ 乙占例
1
3
1
2+1
3+2
5
∴ 乙应：3700 ∙
1
3
1
2+1
3+2
5
1000元
题选 A
例 15 解析：基公式法
푎 + 푏 − 푐 푐푘 푎 − 푏 + 푐 푏푘 −푎 + 푏 + 푐 푎푘
相加：푎 + 푏 + 푐 (푎 + 푏 + 푐)푘
푎 + 푏 + 푐 ≠ 0 ∴ 푘 1
푎 + 푏 + 푐 0 푎 + 푏 −푐
∴ 푎 + 푏 − 푐
푐 −푐 − 푐
푐 −2 푘
∴ 푘 1 푘 −2
题选 B
例 16 解析：基公式法
5
甲均分6×10+7×10+8×10+9×10
40 75
乙均分6×15+7×15+8×10+9×20
60 76
丙均分6×10+7×10+8×15+9×15
50 77
∴丙乙甲
题选 E
例 17 解析：基公式法
푥1푥2푥3三数算术均值 5
푥1+푥2+푥3
3 5 ⟹ 푥1 + 푥2 + 푥3 15
푥1+2+푥2−3+푥3+6+8
4 28
4 7
题选 C
例 18 解析：基公式法
푓(푥) 2푥 + 푎
푥2 푥 + 푥 + 푎
푥2 ≥ 3√푥 ∙ 푥 ∙ 푎
푥2
3 3√푎3 12
∴ 푎 64
仅푥 푥 푎
푥2时取值
푥3 푎 64 ∴ 푥 4
题选 B
6
代数式
例 1 解析：基公式法
利配方法：푥2 + 푦2 + 2푥 − 4푦 − 4
푥2 + 2푥 + 1 + 푦2 − 4푦 + 2 − 9
(푥 + 1)2 + (푦 − 2)2 − 9 0
圆心坐标（12）
题选 C
例 2 解析：基公式法
已知푥 + 푦 + 푧 푎2 + 푏2 + 푐2 − 푎푏 − 푏푐 − 푎푐
(푎−푏)2+(푎−푐)2+(푏−푐)2
2 ≥ 0
出푥 푦 푧中少零
题选 B
测 1 解析：基公式法
1
푎 + 1
푏 + 1
푐 푏푐+푎푐+푎푏
푎푏푐 0푏푐 + 푎푐 + 푎푏 0
条件（1）(푎 + 푏 + 푐)2 푎2 + 푏2 + 푐2
：푎2 + 푏2 + 푐2 + 2푎푏 + 2푏푐 + 2푎푐 푎2 + 푏2 + 푐2
：2푎푏 + 2푏푐 + 2푎푐 0：푎푏 + 푏푐 + 푎푐 0
条件（1）成立
条件（2）푏(푎 + 푐) −푎푐：푏푎 + 푏푐 + 푎푐 0
条件（2）成立
题选 D
测 2 解析：基公式法
3(푎2 + 푏2 + 푐2) (푎 + 푏 + 푐)2
7
：3(푎2 + 푏2 + 푐2) 푎2 + 푏2 + 푐2 + 2푎푏 + 2푏푐 + 2푎푐
：2(푎2 + 푏2 + 푐2 − 푎푏 − 푏푐 − 푎푐) 0
：2(푎2 + 푏2 + 푐2 − 푎푏 − 푏푐 − 푎푐)
(푎 − 푏)2 + (푎 − 푐)2 + (푏 − 푐)2
：(푎 − 푏)2 + (푎 − 푐)2 + (푏 − 푐)2 0
：(푎 − 푏)2 0(푎 − 푐)2 0(푏 − 푐)2 0
：푎 푏 푐
题选 C
升级公式：已知：푥 + 1
푥 4(푥 + 1
푥)2 푥2 + 1
푥2 + 2 42 16
푥2 + 1
푥2 16 − 2 14
(푥 − 1
푥)2 푥2 + 1
푥2 − 2 14 − 2 12
푥 − 1
푥 ±√12 ±2√3
푥3 + 1
푥3 (푥 + 1
푥)(푥2 − 1 + 1
푥2) 4 × (14 − 1) 52（立方公式）
(푥2 + 1
푥2)2 푥4 + 1
푥4 + 2 142 196푥4 + 1
푥4 196 − 2 194
例 3 解析：基公式法
푥2
푥4+푥2+1 1
푥2+1+ 1
푥2
（푥2）
已知푥 + 1
푥 3两边方：
푥2 + 1
푥2 + 2 9
푥2 + 1
푥2 7
푥2
푥4+푥2+1 1
푥2+1+ 1
푥2
1
7+1 1
8
题选 E
测 3 解析：基公式法
8
푥2 − 3푥 + 1 0
푥 0方程两边푥
→ ⇒ 푥 + 1
푥 3
(푥 + 1
푥)2 푥2 + 2 + (1
푥)2
⇒ 푥2 + 1
푥2 (푥 + 1
푥)2 − 2 32 − 2 7
⇒ 푥4 + 1
푥4 (푥2 + 1
푥2)2 − 2 72 − 2 47
题选 D
测 4 解析：基公式法
条件（1）： 푥2 + 1
푥2 (푥 + 1
푥)2 − 2 2
(푥 + 1
푥)2 2 + 2 4푥 + 1
푥 ±2
푥非负实数푥 + 1
푥 −2(舍)푥 + 1
푥 2
条件（1）成立
条件（2）： 푥3 + 1
푥3 (푥 + 1
푥)(푥2 − 푥 ∙ 1
푥 + 1
푥2) 2
：(푥 + 1
푥)[(푥 + 1
푥)2 − 3] (푥 + 1
푥)3 − 3(푥 + 1
푥) 2
令푥 + 1
푥 푡：푡3 − 3푡 − 2 (푡 + 1)2(푡 − 2) 0
：푡 −1푡 2푥 + 1
푥 −1푥 + 1
푥 2
푥非负实数푥 + 1
푥 −1(舍)푥 + 1
푥 2
条件（2）成立
题选 D
例 4 解析：基公式法
设푓(푥) 푥3 + 5푥2 + 7푥 + 푎题意：
푓(−1) 0−1 + 5 − 7 + 푎 0푎 3
푓(푥) 푥3 + 5푥2 + 7푥 + 3
利高阶法：푓(푥) (푥 + 1)(푥2 + 4푥 + 3)
9
(푥 + 1)(푥 + 1)(푥 + 3)
式(푥 + 3)
题选 E
测 5 解析：基公式法
设푓(푥) 푥3 + 푎푥2 + 푏푥 − 6题意：
푓(1) 0푓(2) 0
{ 푎 + 푏 − 5 0
4푎 + 2푏 + 2 0解：{푎 −6
푏 11
푓(푥) 푥3 − 6푥2 + 11푥 − 6
令푓(푥) (푥 − 1)(푥 − 2)(푥 + 푚)
利常数项应相等：(−1)(−2)푚 −6
푚 −3
第三次式(푥 − 3)
题选 B
测 6 解析：基公式法
푥2 − 5푥 + 6 (푥 − 2)(푥 − 3)
푓(푥) 3푥3 + 푎푥2 + 푏푥 + 42(푥 − 2)(푥 − 3)整
푓(2) 0 푓(3) 0
{ 4푎 + 2푏 + 66 0
9푎 + 3푏 + 123 0解：{ 푎 −8
푏 −17
푎 − 푏 −8 + 17 9
题选 C
测 7 解析：基公式法
题意：푓(−1) 0
10
푎2 − 푎 − 2 0解：푎 2푎 −1
题选 A
例 5 解析：基公式法
题意：푓(1) 9 푓(2) 16
设푓(푥) (푥 − 1)(푥 − 2)余式：푎푥 + 푏
：{ 푎 + 푏 9
2푎 + 푏 16解：{푎 7
푏 2
푓(푥) (푥 − 1)(푥 − 2)余式7푥 + 2
题选 A
测 8 解析：基公式法
题意：푓(1) 2
푥 1时求余式2
푥 1次代入选项 B 选项：
−4푥2 + 12푥 − 6 −4 + 12 − 6 2
题选 B
例 6 解析：基公式法
（1）푥2 − 5푥 + 6 푥2 + [(−2) + (−3)]푥 + [(−2) × (−3)]
(푥 − 2)(푥 − 3)
（2）푥2 − 푥 − 6 푥2 + [(−3) + 2]푥 + [(−3) × 2]
(푥 − 3)(푥 + 2)
（3）2푥2 − 6푥 + 4 2(푥2 − 3푥 + 2)
2{푥2 + [(−1) + (−2)]푥 + [(−1) × (−2)]}
2(푥 − 1)(푥 − 2) (2푥 − 2)(푥 − 2)
测 9 解析：基公式法
令푥 − 3 푡：푡2 − 3푡 + 2 0(푡 − 1)(푡 − 2) 0
11
解：푡 1푡 2
：푥 − 3 1푥 − 3 2푥 4푥 5
题选 C
测 10 解析：基公式法
7(푥 + 푦)3 − 5(푥 + 푦)2 − 2(푥 + 푦) 0
(푥 + 푦)[7(푥 + 푦)2 − 5(푥 + 푦) − 2] 0
(푥 + 푦)(푥 + 푦 − 1)(푥 + 푦 + 2
7) 0
푥 + 푦 0 푥 + 푦 1 푥 + 푦 − 2
7
题选 D
12
二次函数
例 1 解析：根二次函数定义：푚2 + 푚 − 6 ≠ 0 ⟹ 푚 ≠ 2 푚 ≠ −3
例 2 解析：根二次函数定义
{ 푚2 + 푚 ≠ 0
푚2 − 2푚 − 1 2 ⟹ {
푚 ≠ 0 푚 ≠ −1
푚 3 푚 −1
综푚 3
题选 D
例 3 解析：根配方法
푦 푥2 − 2푥 − 1 푥2 − 2푥 + 1 − 2 (푥 − 1)2 − 2
例 4 解析：根十字相法：푦 푥2 + 4푥 + 3 (푥 + 1)(푥 + 3)
例 5 解析：根图知
开口푎＜0称轴푦轴左侧− 푏
2푎 < 0 ⟹ 푏 < 0
抛物线푦轴交푥轴方푐＞0
题选 A
测 1 解析：根图知
푎＞0 푏＜0 푐 < 0 ⇒ 푎푏푐 > 0排 A
− 푏
2푎 1 ⇒ 2푎 + 푏 0排 B
图(30)点称轴知(10)点
푎 − 푏 + 푐 0排 C
图푥轴两交点∆ 푏2 − 4푎푐 > 0 ⇒ 4푎푐 − 푏2 < 0
题选 D
例 6 解析：抛物线顶点(− 푏
2푎 4푎푐−푏2
4푎 )顶点第三象限
− −2푚
2 푚 < 0 4(푚+2)−4푚2
4 < 0 ⟹ 푚 < −1푚 > 2
题选 D
13
测 2 解析：称轴直线푥 1点P(30)
抛物线(−10) 푎 − 푏 + 푐 0
题选 A
例 7 解析：푓(푥) 푎푥2 + 푏푥 + 푐 0 ∆ 푏2 − 4푎푐
（1）푎 + 푐 0 푎 −푐∆ 푏2 − 4푐2 > 0成立
（2）푎 + 푏 + 푐 0推出푎푐关系 ∴ 成立
题选 A
测 3 解析：푘 ≠ 0函数푥轴交点
∆ (−6)2 − 4 × 3푘 ≥ 0 ⟹ 푘 ≤ 3
푘 0푦 −6푥 + 3函数푥轴交点
题选 C
例 8 解析：푎 0时푓(푥) 2푥 − 1区间(−∞ 6)单调递增
푎 ≠ 0时函数푓(푥)称轴푥 − 2
2푎 − 1
푎푓(푥)区间
(−∞ 6)单调递增
푎 < 0− 1
푎 ≥ 6求解− 1
6 ≤ 푎 < 0综− 1
6 ≤ 푎 ≤ 0
题选 D
测 4 解析：函数푓(푥)称轴푥 − (2푎−1)
2 1−2푎
2
푓(푥)区间(−∞ 2)单调递减1−2푎
2 ≥ 2 ⟹ 푎 ≤ − 3
2
题选 A
例 9 解析：푓(푥) 푥2 + 2푥 + 2 (푥 + 1)2 + 1푓푚푖푛(푥) 푓(−1) 1
题选 A
测 5 解析：函数푓(푥)称轴−2函数[−22]单调递增
14
푓푚푎푥(푥) 14
题选 A
例 10 解析：（1）푦 푓(푥)(00)(11){ 푐 0
푎 + 푏 1
（2）푦 푓(푥)直线푦 푎 + 푏相切4푎푐−푏2
4푎 푎 − 푏
∴ −푏2 4푎2 − 4푎푏(2푎 − 푏)2 0
联立{ 푎 + 푏 1
2푎 − 푏 0∴ 푎 1
3 b 2
3
题选 C
测 6 解析：二次函数푦 푎푥2 + 푏푥 + 푐푥值恒负值
二次函数图开口푥轴没交点푎 < 0 ∆< 0
题选 D
测 7 解析：图
二次函数푦轴交点（03）푂퐶 3
푥轴交点 AB 푥2 − 4푥 + 3 (푥 − 1)(푥 − 3) 0
A（10）B（30）퐴퐵 2
푆∆퐴퐵퐶 1
2 × 퐴퐵 × 푂퐶 1
2 × 2 × 3 3
题选 C
A B
C
푥
푦
O
15
方程
例 1 解析：基公式法
方程实根Δ 푎2 − 4(푏 − 1) 푎2 − 4푏 + 4
条件（1） 푎 + 푏 0 푎 −푏代入푏2 − 4푏 + 4 (푏 − 2)2 ≥ 0
充分
条件（2） 푎 − 푏 0푎 푏代入푏2 − 4푏 + 4 (푏 − 2)2 ≥ 0
充分
题选 D
测 1 解析：基公式法
条件（1） 푎 푏 푐等边三角形三条边设푎 푏 푐 1
显然成立
条件（2）设푎 푐 1푏确定条件定成立
题选 A
例 2 解析：基公式法
元次方程特点푚 − 2 1푚 3方程
3푥 0 푥 0
题选 A
测 2 解析：基公式法
푥2 − 2푥 − 5|푥 − 1| + 7 0 ⟹ 푥2 − 2푥 + 1 − 5|푥 − 1| + 6 0
⟹ |푥 − 1|2 − 5|푥 − 1| + 6 0
式分解|푥 − 1| 2 3 ⟹ 푥 −2 −134根 4
题选 D
例 3 解析：基公式法：
16
푥
2 + 푥
3 + 푥
6 −1两边 6 ：3푥 + 2푥 + 푥 −6
6푥 −6∴ 푥 −1
题选 B
特殊技巧法——特值代入：
푥 012时푥
2 + 푥
3 + 푥
6 ≥ 0
푥 −2 时푥
2 + 푥
3 + 푥
6 < −1
∴ 푥
2 + 푥
3 + 푥
6 −1 푥1
题选 B
例 4 解析：基公式法
1
푥−2 + 3 1−푥
2−푥增根푥 2
푥+1
푥−|푎| 2 − 3
|푎|−푥增根푥 |푎|
푎 ±2时两方程增根相
题选 D
测 3 解析：基公式法
令푥 − 3 0解푥 3分式方程增根푥 3
题选 D
测 4 解析：基公式法
方程两边(푥 + 4)(푥 − 4)(푥 − 4) + (푥 + 4) 푘
原方程增根简公分母(푥 + 4)(푥 − 4) 0
解푥 −4푥 4
푥 −4时푘 −8푥 4时푘 8
푘值−88
17
题选 E
例 5 解析：基公式法：
푥1 푥2푥2 − 푎푥 − 1 0两根 ∴ 푥1 + 푥2 푎푥1푥2 −1
푥1
2 + 푥2
2 (푥1 + 푥2)2 − 2푥1푥2 푎2 + 2
题选 A
例 6 解析：基公式法
αβ3푥2 + 푏푥 + 푐 0两根
∴ α + β − b
3α ∙ β 푐
3
α + βαβ3푥2 − 푏푥 + 푐 0两根
∴ (훼 + 훽) + 훼훽 − 푏
3 + 푐
3 푏
3
(훼 + 훽) ∙ 훼훽 (− 푏
3) ∙ 푐
3 − 푏푐
9 푐
3
：푏 −3 푐 −6
题选 D
测 5 解析：基公式法
푎 푏方程푥2 − 3푥 + 1 0两根푎푏 1푎 + 푏 3
1
푎2 + 1
푏2 (푎+푏)2−2푎푏
(푎푏)2 9 − 2 7
题选 B
测 6 解析：基公式法
|푥1 − 푥2| |√∆
푎 | √푝2 − 4 1 ⇒ 푝 ±√5(푝 > 0) ⇒ 푝 √5
题选 D
测 7 解析：基公式法
푥1 푥2方程푥2 − (푘 − 2)푥 + (푘2 + 3푘 + 5) 0两实根
18
知∆≥ 0∆ (푘 − 2)2 − 4(푘2 + 3푘 + 5)
−3푘2 − 16푘 − 16 −(3푘 + 4)(푘 + 4) ≥ 0
解：−4 ≤ 푘 ≤ − 4
3
푥1
2 + 푥2
2 (푥1 + 푥2)2 − 2푥1푥2 (푘 − 2)2 − 2(푘2 + 3푘 + 5)
−푘2 − 10푘 − 6
푘 −4时取值值16+40618
题选 A
测 8 解析：基公式法
设푥1푥2方程两根韦达定理：
푥1 + 푥2 −2(푚 − 2)푥1푥2 푚2 + 4
푥1
2 + 푥2
2 − 푥1푥2 (푥1 + 푥2)2 − 3푥1푥2 21
[−2(m − 2)]2 − 3(푚2 + 4) 21
푚2 − 16푚 − 17 0解푚 −1푚 17
푚 −1时方程푥2 − 6푥 + 5 0Δ > 0符合题意
푚 17时方程푥2 + 30푥 + 293 0
Δ 302 − 4 × 1 × 293 < 0合题意舍
题选 A
例 7 解析：基公式法
푚푥2 − (푚 − 1)푥 + 푚 − 5 0两实根훼훽
−1 < α < 0 0 < β < 1
说明−10根α01根훽
∴ {푓(−1) ∙ 푓(0) < 0
푓(0) ∙ 푓(1) < 0 {(3푚 − 6)(푚 − 5) < 0
(푚 − 5)(푚 − 4) < 0
解：{2 < 푚 < 5
4 < 푚 < 5 ∴ 4 < 푚 < 5
19
题选 B
例 8 解析：基公式法
2푎푓(1) < 0푎(3 − 푎) < 0푎 < 0푎 > 3
题选 D
例 9 解析：基公式法
二次方程两根 2充条件
{
(푚 − 2)2 − 4(5 − 푚) ≥ 0 (1)
4 + 2(푚 − 2) + 5 − 푚 > 0 (2)
− 푚−2
2 > 2 (3)
（1）푚2 − 16 ≥ 0解集(−∞ −4] ∪ [4 +∞)
（2）푚 + 5 > 0解集(−5 +∞)
（3）解集(−∞ −2)
푚取值范围(−5 −4]
题选 A
例 10 解析：基公式法
二次方程两根 1充条件
{
(2푚 − 1)2 + 4푚(푚 − 2) ≥ 0 (1)
푚[푚 + (2푚 − 1) − 푚 + 2] > 0 (2)
− 2푚−1
2푚 < 1 (3)
（1）8푚2 − 12푚 + 1 ≥ 0解集(−∞ 3−√7
4 ] ∪ [3+√7
4 +∞)
（2）푚(2푚 + 1) > 0解集(−∞ − 1
2) ∪ (0 +∞)
（3）解集(−∞ 0) ∪ (1
4 +∞)
푚取值范围(−∞ − 1
2) ∪ [3+√7
4 +∞)
题选 A
20
等式
例 1 解析：基公式法
（1）푥 > 2014 푥 ≥ 2014成立
（2）푥 2014 푥 ≥ 2014成立
题选 B
例 2 解析：푎 −1 푏 0 푐 1时时满足条件（1）（2）
푎푏2 푐푏2 0
题选 E
测 1 解析：基公式法
（1）푎2 > 푏2 令푎 −2푏 1显然푎 > 푏成立
（2）푎2 > 푏令푎 −2푏 1显然成立
显然联立成立
题选 E
例 3 解析：基公式法
푎푥2 + (푎 − 6)푥 + 2 > 0 实数푥成立
等价 {푎 > 0
∆< 0
{ 푎 > 0
(푎 − 6)2 − 8푎 < 0 ⇒ { 푎 > 0
푎2 − 20푎 + 36 < 0
∴ ：2 < 푎 < 18
（1）0 < 푎 < 3显然成立
（2）1 < 푎 < 5成立
联立（1）（ 2）：1 < 푎 < 3成立
题选 E
21
测 2 解析：基公式法
等式恒成立푓(1) ≤ 0 푓(2) ≤ 0
：{ 푚 + 5 ≤ 0
2푚 + 8 ≤ 0 解：{푚 ≤ −5
푚 ≤ −4푚 ≤ −5
题选 A
例 4 解析：基公式法
2푥2 + 푥 + 3∆ 1 − 4 × 2 × 3 −23 < 0
∴ 2푥2 + 푥 + 3恒 0
∴ (2푥2 + 푥 + 3)(−푥2 + 2푥 + 3) < 0 等价 − 푥2 + 2푥 + 3 < 0
∴ 푥 < −1푥 > 3
显然（1）푥 ∈ [−3 −2]（2）푥 ∈ (45）子集
题选 D
例 5 解析：基公式法
2푥 − 2푥2 − 6 −2(푥2 − 푥 + 3)
∆ 1 − 4 × 3 −11 < 0∴ 2푥 − 2푥2 − 6 恒 0
(푥2 − 2푥 − 8)(2 − 푥)(2푥 − 2푥2 − 6) > 0
等价(푥2 − 2푥 − 8)(푥 − 2) > 0(换 2 次符号)
∴ (푥 − 4)(푥 + 2)(푥 − 2) > 0
∴ 푥 > 4−2 < 푥 < 2
（1）푥 ∈ (−3 −2)
（2）푥 ∈ [23]
显然成立
题选 E
测 3 解析：基公式法
22
(푥 + 1)(3 − 푥)(푥 − 5) 0根分푥 −1 푥 3 푥 5
根石氏穿针引线法取푥 6（取根 5 数）代入等式
(6 + 1)(3 − 6)(6 − 5) < 0边开始穿
(푥 + 1)(3 − 푥)(푥 − 5) ≥ 0解集푥 ≤ −13 ≤ 푥 ≤ 5
题选 C
测 4 解析：基公式法
(−2푥2 + 5푥 − 6) −(2푥2 − 5푥 + 6)
∆ 22 − 4 × 2 × 6 −44 < 0∴ −2푥2 + 5푥 − 6 恒 0
(푥2 − 5푥 + 4)(푥2 − 5푥 + 6)(−2푥2 + 5푥 − 6) > 0
等价(푥2 − 5푥 + 4)(푥2 − 5푥 + 6) < 0
(푥 − 1)(푥 − 4)(푥 − 2)(푥 − 3) < 0
(푥 − 1)(푥 − 4)(푥 − 2)(푥 − 3) 0 根分푥 1234
根石氏穿针引线法取푥 5（ 4）代入等式
：(5 − 1)(5 − 4)(5 − 2)(5 − 3) > 0边开始穿
(푥 − 1)(푥 − 4)(푥 − 2)(푥 − 3) < 0解集1 < 푥 < 23 < 푥 < 4
显然条件（1）成立条件（2）成立
题选 B
例 6 解析：基公式法
푥2−2푥+3
푥2−5푥+6 푥2−2푥+3
(푥−2)(푥−3) ≥ 0
푥2 − 2푥 + 3 (푥 − 1)2 + 2 ≥ 2
∴ 原等式等价(푥 − 2)(푥 − 3) > 0
∴ 푥 < 2푥 > 3
题选 E
23
特殊技巧法——特值代入
푥 2 푥 3时分母 0 ∴成立 ∴BCD 错
푥 0 时 푥2−2푥+3
푥2−5푥+6 3
6 ≥ 0 ∴成立 ∴A 错
题选 E
测 5 解析：基公式法
分母푥 − 1 ≠ 0푥 ≠ 1
分子푥2 − 푥 − 6 (푥 + 2)(푥 − 3)
等式转化(푥 + 2)(푥 − 3)(푥 − 1) ≥ 0푥 ≠ 1
(푥 + 2)(푥 − 3)(푥 − 1) 0 根分푥 −213
根石氏穿针引线法取푥 4（ 3）代入等式
：(4 + 2)(4 − 3)(4 − 1) > 0边开始穿
(푥 + 2)(푥 − 3)(푥 − 1) ≥ 0解集−2 ≤ 푥 ≤ 1푥 ≥ 3
푥 ≠ 1原等式解集−2 ≤ 푥 < 1푥 ≥ 3
题选 C
例 7 解析：基公式法
移项：3푥+1
푥−3 − 1 < 0
通分：2푥+4
푥−3 < 0푥+2
푥−3 < 0
原等式转化(푥 + 2)(푥 − 3) < 0
(푥 + 2)(푥 − 3) 0 根分푥 −23
根石氏穿针引线法取푥 4（ 3）代入等式
：(4 + 2)(4 − 3) > 0边开始穿
(푥 + 2)(푥 − 3) < 0解集−2 < 푥 < 3
24
题选 B
例 8 解析：基公式法
移项：2푥−1
푥−1 − 푥+3
푥+1 > 0
通分： 푥2−푥+2
(푥−1)(푥+1) > 0
分子푥2 − 푥 + 2∆ (−1)2 − 4 × 1 × 2 −7 < 0
分母푥2 − 푥 + 2恒 0
原等式等价(푥 − 1)(푥 + 1) > 0
原等式解集푥 < −1푥 > 1
解集包含质数数
题选 E
测 6 解析：基公式法
移项： 3푥−7
푥2+2푥−3 − 2 ≥ 0
通分：−2푥2−푥−1
푥2+2푥−3 ≥ 0 −2푥2−푥−1
(푥+3)(푥−1) ≥ 0
分子−2푥2 − 푥 − 1∆ (−1)2 − 4 × (−2) × (−1) −7 < 0
分子−2푥2 − 푥 − 1恒 0
原等式等价(푥 + 3)(푥 − 1) < 0（分子 0）
原等式解集−3 < 푥 < 1
题选 A
测 7 解析：基公式法
移项：2푥+1
푥−3 − 2푥+1
3푥−2 > 0
通分： (2푥+1)2
(푥−3)(3푥−2) > 0
分子(2푥 + 1)2恒等 0
25
原等式等价(푥 − 3)(3푥 − 2) > 0(2푥 + 1)2 ≠ 0
原等式解集푥 < − 1
2− 1
2 < 푥 < 2
3푥 > 3
题选 D
例 9 解析：基公式法
（1）푎 < 0取푎 −1|푥2 + 2푥 − 1| ≤ 1解푥 0
条件（1）成立
（2）|푥2 + 2푥 + 푎| |(푥 + 1)2 + (푎 − 1)| ≥ |푎 − 1|
푎 > 2时|푎 − 1| > 1|푥2 + 2푥 + 푎| > 1恒成立
∴ |푥2 + 2푥 + 푎| ≤ 1解集空集成立
题选 B
例 10 解析：基公式法
푥2 − 푥 − 5 > |2푥 − 1|等价
{
푥2 − 푥 − 5 > 0
2푥 − 1 ≥ 0
푥2 − 푥 − 5 > 2푥 − 1
{
푥2 − 푥 − 5 > 0
2푥 − 1 < 0
푥2 − 푥 − 5 > 1 − 2푥
解：푥 > 4푥 < −3
（1）푥 > 4显然成立
（2）푥 < −1显然成立
题选 A
例 11 解析： |푥 − 1| + 푥 ≤ 2
푥 ≥ 1时化简：푥 − 1 + 푥 ≤ 22푥 ≤ 3
푥 ≤ 3
21 ≤ 푥 ≤ 3
2
푥 < 1时化简1 − 푥 + 푥 ≤ 21 ≤ 2恒成立
26
综푥 ≤ 3
2
题选 B
特殊技巧法特值代入法
利答案差异化代入푥 0代入时|0 − 1| + 0 1 < 2成
立排 CDE
푥 11代入时|11 − 1| + 11 12 < 2成立排 A
题选 B
27
数列
例 1 解析：已知푎1 + 푎2 + 푎3 + 푎4 12
푎4 − 3푑 + 푎4 − 2푑 + 푎4 − 푑 + 푎4 124푎4 − 6푑 12
（1） 푑 −2代入：푎4 0充分
（2）푎2 + 푎4 4푎4 − 2푑 + 푎4 4푑 푎4 − 2
代入：푎4 0充分
题选 D
测 1 解析：等差数列通项公式法
푎푛 푎1 + (푛 − 1)푑 푑푛 + 푎1 − 푑
等差数列通项公式푎푛成关푛次函数
题选 D
例 2 解析：等差数列标相等公式：
푎5 + 푎7 푎2 + 푎10
푎2푎10方程푥2 − 10푥 − 9 0两根
韦达定理（푥1 + 푥2 − 푏
푎）：푎2 + 푎10 − (−10)
1 10
푎5 + 푎7 10
题选 D
测 2 解析：根等差数列标相等公式：
푎2 + 푎8 푎5 + 푎5
푎2 + 푎8 − 푎5 푎5 9
푎1 + 푎2 + ⋯ + 푎9 9(푎1+푎9)
2 9푎5 81
题选 D
特殊技巧法——常数列法（项相等）
令푎n 푡푡 − 푡 + 푡 9 푡 9푆9 9푡 9 × 9 81
题选 D
28
例 3 解析：根等差数列前 푛 项公式푆푛 퐴푛2 + 퐵푛퐴 퐵全体实数
条件（1）充分条件（2）充分
题选 A
测 3 解析：根等差数列前 푛 项公式：
푆9 9(푎1+푎9)
2 9푎5
条件（1）成立条件（2）成立
题选 B
例 4 解析：利等差数列片段公式：
푆3푆6 − 푆3푆9 − 푆6三组新等差数列公差푛2푑
：(푆6 − 푆3) − 푆3 32푑(24 − 3) − 3 9푑푑 2
题选 B
测 4 解析：利等差数列片段公式：
푆4푆8 − 푆4푆12 − 푆8三组新等差数列
：(푆8 − 푆4) − 푆4 (푆12 − 푆8) − (푆8 − 푆4)
：(90 − 30) − 30 (푆12 − 90) − (90 − 30)푆12 180
题选 C
例 5 解析：等数列通项公式法
条件（1）{푎2 + 푎4 20
푞 2
푎3 + 푎5 푎2푞 + 푎4푞 (푎2 + 푎4)푞 40成立
条件（2）{푎2 + 푎4 20
푎1 + 푎3 10 {푎1푞 + 푎3푞 20
푎1 + 푎3 10
푞 2 成立
题选 D
29
特殊技巧法
条件（1）푞 2 条件（2）{푎2 + 푎4 20
푎1 + 푎3 10 等价푞 2
条件（1）条件（2）等价条件
题选 D
例 6 解析：根等数列标相等公式：
푎2푎4 푎3
2푎2푎8 푎5
2
푎3
2 + 2푎3푎5 + 푎5
2 (푎3 + 푎5)2 25
∵ 푎1 > 0푎3 + 푎5 5
题选 B
特殊技巧法——常数列法
令푎푛 푡푡2 + 2푡2 + 푡2 25
푡 5
2 2푡 5
题选 B
测 5 解析：等数列标相等公式韦达定理：
푎4푎7 푎3푎8 − 18
3 −6
题选 C
例 7 解析：等数列前 푛 项公式푆푛 퐴 − 퐴푞푛：
푆푛 푎 − 2푛+1 푎 − 2 ∙ 2푛
푎 2
题选 A
测 6 解析：根等数列前 푛 项公式：
푎1 + 푎2 + 푎3 푎1 + 푎1푞 + 푎1푞2 21 ⇒ 푞2 + 푞 − 6 0
解：푞 2푞 −3（舍）
30
푎3 + 푎4 + 푎5 푎1푞2 + 푎1푞3 + 푎1푞4 3(4 + 8 + 16) 84
题选 C
例 8 解析：利片段公式：
푆푛푆2푛 − 푆푛푆3푛 − 푆2푛三组新等数列
：푆2푛−푆푛
푆푛
푆3푛−푆2푛
푆2푛−푆푛
60−48
48 푆3푛−60
60−48
解：푆3푛 63
题选 A
例 9 解析：根题意：
푎푛+1 − 2푎푛 1푎푛+1 2푎푛 + 1两边时加 1
푎푛+1 + 1 2푎푛 + 2 2(푎푛 + 1) 푎푛+1+1
푎푛+1 2
{푎푛+1 + 1}푎1 + 1 1首2 公等数列
푎푛 + 1 1 ∙ 2푛−1푎푛 2푛−1 − 1
푎100 299 − 1
题选 A
测 7 解析：根푎푛푆푛关系：
푎푛 푆푛 − 푆푛−1 4푛2 + 푛 − 2 − [4(푛 − 1)2 + (푛 − 1) − 2]
8푛 − 3 (푛 ≥ 2)
푛 1 时푎1 푆1 3
题选 E
例 10 解析：裂项相消法
1
1×2 1 − 1
2
1
2×3 1
2 − 1
3
1
3×4 1
3 − 1
4
31
⋮
1
99×100 1
99 − 1
100
累加： 1
1×2 + 1
2×3 + 1
3×4 + ⋯ 1
99×100 1 − 1
100 99
100
题选 A
测 8 解析：裂项相消法
푎2 4푎4 8푎푛 2푛
1
푎푘푎푘+1
1
2푘(2푘+2) 1
4 (1
푘 − 1
푘+1)
∑ 1
푎푘푎푘+1
1
4
푛
푘1 ∑ (1
푘 − 1
푘+1) 1
4 (1 − 1
푛+1)푛
푘1 1
4 × 푛
푛+1 5
21
푛 20
题选 D
32
面
例 1 解析：퐴퐵 ∥ 퐶퐷 ∠퐴퐵퐸 66°∠퐶퐹퐸 66°
∠퐷퐹퐸 180° − 66° 114°
∠퐷 54°∠퐸 180° − 114° − 54° 12°
例 2 解析：构成三角形必须时满足意两边第三边
：{
푎 + 푏 > 푐
푏 + 푐 > 푎
푎 + 푐 > 푏
显然（1）푎 + 푏 > 푐（ 2）푏 − 푐 < 푎成立联立够
题选 E
例 3 解析：
根海伦公式：S √푝(푝 − 푎)(푝 − 푏)(푝 − 푐)（中푝 푎+푏+푐
2 ）
푆∆퐴퐵퐶 √9 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 1 3√15푆∆퐴퐵퐷 1
2 푆∆퐴퐵퐶 3
2 √15
令AD 푥p 4+4+푥
2 4 + 푥
2
∴ 3
2 √15 √(4 + 푥
2) ∙ 푥
2 ∙ 푥
2 ∙ (4 − 푥
2) √푥2
4 ∙ (16 − 푥2
4 )
：9
4 ∙ 15 푥2
4 ∙ (16 − 푥2
4 )
解：푥2 10푥 √10
题选 B
A
B C D
4 6
4 4
33
例 4 解析：题意：
푆△푃푄퐷 Q 位置相关关
푆△퐴푂퐷 1
2 푆퐴퐵퐶퐷
푆△푂푃퐷 1
2 푆△퐴푂퐷 1
4 푆퐴퐵퐶퐷
条件（2） Q OD 三等分点
푆△푃푄퐷 1
3 푆△푂푃퐷 1
12 푆퐴퐵퐶퐷
条件（1） O 位置影响푆△퐴푂퐷关
题选 B
例 5 解析：连接 OAOBOC
令三角形 AOBAOCBOC 分푆1푆2푆3
三角形周长푐切圆半径푟
푆1 + 푆2 + 푆3 퐴퐵 ∙ 푟 ∙ 1
2 + 퐴퐶 ∙ 푟 ∙ 1
2 + 퐵퐶 ∙ 푟 ∙ 1
2 1
2 ∙ 푐 ∙ 푟 S
题干说面积周长 12：
푠
푐 1
2 ⟹ c 2s
푟 2푠
푐 2푠
2푠 1S π푟2 π
题选 A
例 6 解析：（1）(푐2 − 푎2 − 푏2)(푎2 − 푏2) 0
等价푐2 푎2 + 푏2푎2 푏2
∆퐴퐵퐶直角三角形等腰三角形成立
（2）푆 1
2 푎푏显然成立（直角三角形面积公式）
题选 B
例 7 解析：连接퐴퐸
O
A
B C
34
퐴퐵 퐴퐶 ∴ 퐴퐸⊥퐵퐶퐴퐸 √52 − 32 4
퐸퐹⊥퐴퐶∆CFE~∆CEA
퐴퐸
퐴퐶 퐸퐹
퐸퐶：4
5 퐸퐹
3 퐸퐹 12
5 24
题选 D
例 8 解析：根题意：
∆퐴퐷퐸~∆퐶퐵퐸 ∴ 퐷퐸
퐵퐸 5
7 ∴ {
퐵퐸
퐵퐷 7
12
퐷퐸
퐵퐷 5
12
∆퐵푀퐸~∆퐵퐴퐷 ∴ 푀퐸
퐴퐷 퐵퐸
퐵퐷 7
12
∆퐷퐸푁~∆퐷퐵퐶 ∴ 퐸푁
퐵퐶 퐷퐸
퐷퐵 5
12
∴ 푀푁 푀퐸 + 푁퐸 퐴퐷 ∙ 7
12 + 퐵퐶 ∙ 5
12 35
6
题选 C
例 9 解析：题意：
∠BED 150° ∠AEB 30°
∠EBC ∠AEB 30° (错角) ∠A 180° − 2 × 30° 120°
题选 C
例 10 解析：题意：
푆1
2 × 6 × 8 24
边长 √32 + 42 5푐 4 × 5 20
题选 D
例 11 解析：显然单独周长角线确定面积
联立（1）（2）设长푎宽푏
{ 푎 + 푏 60
푎2 + 푏2 ≤ 2500
35
S 푎푏 (푎+푏)2−(푎2+푏2)
2 ≥ 3600−2500
2 550
题联合选 C
例 12 解析：퐴퐵퐶퐷△ 퐴퐵퐸~ △ 퐶퐷퐸
푆△퐴퐵퐸
푆△퐶퐷퐸
(퐴퐵
퐶퐷)
2
1
4푆△퐶퐷퐸 16
푆△퐴퐵퐸푆△퐶퐵퐸等高푆△퐴퐵퐸
푆△퐶퐵퐸
퐴퐸
퐶퐸 퐴퐵
퐶퐷 1
2
푆△퐶퐵퐸 8理푆△퐴퐷퐸 8
∴ 푆퐴퐵퐶퐷 4 + 16 + 8 + 8 36
题选 D
例 13 解析：퐴퐵圆푂直径퐴퐶 ⊥ 퐵퐶푂퐷 ⊥ 퐴퐶
푂퐷 퐴퐶푂퐷 1
2 퐵퐶
（1）已知퐵퐶长显然确定푂퐷长
（2）已知퐴푂长显然푂퐷关系成立
题选 A
例 14 解析：∠퐴퐶푂 ∠퐶퐴푂 휋
6（푂퐴 푂퐶等腰三角形）
∠퐶푂퐵 휋
3
弧퐵퐶长度： 푛
180 휋푟 1
3 ∙ 휋 ∙ 3 휋
题选 B
例 15 解析：푆 휋푟2
8 − 1
2 ∙ 퐴퐶 ∙ 푂퐶
휋∙12
8 − 1
2 ∙ √2
2 ∙ √2
2 （等腰直角三角形斜边 1直角边√2
2 ）
휋
8 − 1
4
题选 A
36
解析
例 1 解析：（1）푎 −1푏 1푦 −푥 + 1二四象限
（2）푎 1푏 −1푦 푥 − 1三四象限
题选 A
测 1 解析：（1）푎 < 0
直线二四象限二三四象限二四象限
（2）푏 > 0
直线二三象限二四象限
联立（1）（2）푎 < 0푏 > 0
直线二三四象限
题联合选 C
例 2 解析：（1）퐿：2푥 − 3푦 1
已知2푥 + 3푦 1关푥轴称（푥变푦变反）
（2）퐿：3푥 + 2푦 1关푦 푥称（푦푥互换）
题选 A
例 3 解析：根题意：
称点퐴（푥0푦0）中点푀（푥0
2 푦0+4
2 ）
：{
2 ∙ 푥0
2 + 푦0+4
2 + 1 0
푦0−4
푥0
1
2
：(42)
题选 E
测 2 解析：根题意：
37
点P点P′中点坐标肯定直线
利中点公式知验证选项点P(−3 −1)中点
直线
代入法：点（37）点P(−3 −1)中点（03）满足直线方
程3푥 + 4푦 − 12 0
题选 D
例 4 解析：根直线圆位置关系：
直线圆相切푑 푟
푑 2푘
√1+푘2 1（点直线距离푑 |퐴푥0+퐵푦0+퐶|
√퐴2+퐵2 ）
4푘2 푘2 + 1
푘 ± √3
3
显然（1）푘 1
2成立（2）푘 √3
3 成立
题选 B
例 5 解析：根直线圆位置关系：
直线圆相交푑 > 푟
푥2 + 푦2 − 2푦 0 ⟹ 푥2 + (푦 − 1)2 1
圆心(01)푟 1푥 + 푎푦 − 푏 0
푑 |푎−푏|
√1+푎2 > 1|푎 − 푏| > √1 + 푎2
题选 A
测 3 解析：根直线圆位置关系：
푑 |푎2−0|
√푎2+1 1푎4 − 푎2 − 1 0
푎2 1+√5
2 푎2 1−√5
2 (舍)
38
题选 E
测 4 解析：根题意：
圆푥2 + 푦2 − 4푥 + 3 0(푥 − 2)2 + 푦2 1
圆心(20)푟 1
直线圆两交点푑 < 푟
푑 |2푘−0|
√1+푘2 < 1方： 4푘
1+푘2 < 1
− √3
3 < 푘 < √3
3
显然条件（1）− √3
3 < 푘 < 0成立
条件（2）0 < 푘 < √2
2 成立
题选 A
例 6 解析：根题意：
圆푥2 + 푦2 + 2푥 − 3 0(푥 + 1)2 + 푦2 4
：圆心（10）푟1 2
圆푥2 + 푦2 − 6푦 + 6 0푥2 + (푦 − 3)2 3
：圆心（03）푟2 √3
两圆心距离：푑 √(−11 − 0)2 + (0 − 3)2 √10
푟1 − 푟2 < 푑 < 푟1 + 푟2两圆相交
题选 C
例 7 解析：根题意：
푥2 + 푦2 ≥ 1表示单位圆外部
（1）4푦 − 3푥 ≥ 5表示直线푦 3
4 푥 + 5
4方
39
圆心直线距离푑 |5
4|
√1+(3
4)
2 1直线圆相切
直线方点定满足푥2 + 푦2 ≥ 1成立
（2）(푥 − 1)2 + (푦 − 1)2 5圆푥2 + 푦2 1相交
圆心距푑 √(0 − 1)2 + (0 − 1)2 √2
满足푥2 + 푦2 ≥ 1恒成立成立
题选 A
测 5 解析：根题意：
圆A 푥 2 + 푦2 + 4푥 + 2푦 + 1 0
：(푥 + 2)2 + (푦 + 1)2 4圆心：(−2 −1)푟1 2
（1）圆B 푥 2 + 푦2 − 2푥 − 6푦 + 1 0
：(푥 − 1)2 + (푦 − 3)2 9圆心：(13)푟2 3
两圆心距离푑 √(−2 − 1)2 + (−1 − 3)2 5 푟1 + 푟2
两圆外切
（2）圆B 푥 2 + 푦2 − 6푥 0
：(푥 − 3)2 + 푦2 9圆心：(30)푟2 3
两圆心距离푑 √(−2 − 3)2 + (−1 − 0 )2 √26 ≠ 푟1 + 푟2
≠ |푟1 − 푟2|
两圆相切
题选 A
例 8 解析：根题意：
圆称实际圆心称半径变圆心(50)关푦 2푥
称点(푥0 푦0)
40
根称关系{
푦0−0
푥0−5 − 1
2
푦0+0
2 2 ∙ 푥0+5
2
解：{푥0 −3
푦0 4
圆心(−34)푟 √2
方程(푥 + 3)2 + (푦 − 4)2 2
题选 E
41
立体
例 1 解析：设竖式盖箱子푥横式盖箱子푦
题意：{4푥 + 3푦 340
푥 + 2푦 160
：{푥 40
푦 60
题选 E
测 1 解析：设长方体长宽高三边分푚푛푝푚 > 푛 > 푝
根题意知：푝 푎푚 + 푎 2푛푚 + 푛 + 푝 6푎
푚 3푎푛 2푎푝 푎
S 2(푚푛 + 푚푝 + 푛푝) 2 × (6푎2 + 2푎2 + 3푎2) 22푎2
题选 D
例 2 解析：利公式(棱长
4 )2 (体角线)2 + 全面积知：
(48
4 )2 (体角线)2 + 94 ⇒ 体角线 5√2
题选 C
测 2 解析：设长方体长宽高三边分푎푏푐
利公式(푎 + 푏 + 푐)2 푙2 + S푎 + 푏 + 푐 24
4 6
62 푙2 + 22푙 √14
题选 D
例 3 解析： 连接A퐷′ AD′ √22 + 22 2√2
퐴퐹 √(2√2)2 + 12 3
题选 A
测 3 解析：四边形퐴′퐴퐷퐷′四边形퐶′퐶퐷퐷′展开面连接EF
短距离EF √22 + 22 √8
42
题选 C
例 4 解析：题意：
截掉部分体积 (퐶퐷弧线扇形面积 −
CD 底边三角形 CDO 面积) × 3
푆 4휋
6 − 1
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ √3
2 2휋
3 − √3
푉 3푆 2휋 − 3√3
题选 D
测 4 解析：题意：
半径18
2 09米外半径09 + 01 1米
长方体体积：π × 12 × 2 − π × 092 × 2 038휋 ≈ 119
题选 C
例 5 解析：设需锭子푛根体积相等：
10000 × [4
3 휋 ∙ (5 + 001)3 − 4
3 휋 ∙ 53] 푛 ∙ 203
：푛 ≈ 39
少需 4
题选 C
测 5 解析：题意球体体积表面积公式：
푉 4휋 + 32휋 36휋푉 4
3 휋푟3 36휋
：푟 3
푆 4휋푟2 36휋
题选 B
43
排列组合
例 1 解析：加法原理西安北京3 + 4 7种方法
例 2 解析：法原理西安东京4 × 5 20种方法
题型 1：解析：住店法策略学生时夺푛项冠军学生重复
排列七名学生作 7 家店五项冠军作 5 名客
客 7 种住宿法法原理75种
题型 2：解析：完成事分六步：第名实生分配车间 5 种分法
第二名实生分配车间 5 种分法
类推分步计数原理57种分法
测 1 解析： 3 种选择 5 35 243种报法
例 3 解析：3 3 口家采先整体分离思想
家庭部(3)3种
家庭成整体 3 家庭间(3)种
总计(3)4种
题选 D
例 4 解析：相邻元素捆绑策略
先甲乙两元素捆绑成整体成复合元素时丙丁
成复合元素元素进行排列时相邻元素部进
行排分步计数原理퐴5
5퐴2
2퐴2
2种排法
测 2 解析：相邻元素捆绑策略
先三名男歌唱家中选名排两名女歌唱家间퐶3
1种选法
两名女歌唱家进行排퐴2
2种排法
44
两女男捆绑成整体成元素两元素进行
排列퐴3
3种排法
퐶3
1퐴2
2퐴3
3 36种出场方式
题选 A
例 5 解析：分两步进行第步：排 2 相声 3 独唱퐴5
5种
第二步 4 舞蹈插入第步排 5 元素中间包含首尾两
空位 6 位置퐴6
4种方法
分步计数原理节目序퐴5
5퐴6
4 43200种
测 3 解析：先 5 盏亮着灯排成排 3 盏熄灭灯插入排 5 盏
亮着灯形成包括首尾 6 空位中퐶6
3 20种方法
例 6 解析：4 理 4 部门职实际全排列错排问
题列举法设퐴퐵퐶퐷 4 部门푎푏푐푑 4
理列举：
퐴 퐵 퐶 퐷
푏 푎 푑 푐
푐 푑 푎
푑 푎 푐
理푐푑퐴 33 × 3 9
题选 D
测 4 解析：全排列错排问题
两种外聘员퐴3
3
2퐴3
3 12种安排方式
题选 C
例 7 解析：考察组合定义
45
商店营 15 种商品次陈列 5 种
求两次商品完全相（全部重复）
퐶15
5 3003种
题选 B
例 8 解析： 10 名额没差排成排相邻名额间形成 9
空隙 9 空档中选 6 位置插隔板名额分成 7
份应分 7 班级种插板方法应种分法퐶9
6
种分法
测 5 解析：隔板法应
10 相球放入 4 盒子中相分 4 堆
10 球放排9 空放 3 板正分 4 堆
퐶9
3 9∙8∙7
3∙2 84 种
题选 B
例 9 解析：6 分成 3 组组 2
总计：퐶62퐶42퐶22
퐴3
3 15种分组方式
题选 B
测 6 解析：组名称定序需消序
：퐶12
3 퐶9
3퐶6
6 18480种分法
例 10 解析：第步 5 球中选出 2 组成复合元素퐶5
2种方法 4
元素(包含复合元素)装入 4 盒퐴4
4种方法根
分步计数原理装球方法퐶5
2퐴4
4种
例 11 解析：10 演员中 5 会唱歌2 会跳舞 3 全演员选
46
唱歌员标准进行研究会唱 5 中没选唱歌员
퐶3
2퐶3
2种会唱 5 中 1 选唱歌员퐶5
1퐶3
1퐶4
2种
会唱 5 中 2 选唱歌员퐶5
2퐶5
2种分类计数原
理퐶3
2퐶3
2 + 퐶5
1퐶3
1퐶4
2 + 퐶5
2퐶5
2种
例 12 解析：问题中果直接求 10 偶数困难总体淘汰法
十数字中 5 偶数 5 奇数取三数含 3 偶数
取法퐶5
3含 1 偶数取法퐶5
1퐶5
2偶数取法
퐶5
1퐶5
2 + 퐶5
3淘汰 10 偶数 9 种符合条件取法
퐶5
1퐶5
2 + 퐶5
3 − 9
47
概率
例 1 解析：数学 4 页总计 12 页푃(数学) 4
12 1
3
题选 E
测 1 解析：09 组成 3 数字密码퐴10
3 10 × 9 × 8 720种
次成功概率 1
720
3 次机会푃 1
720 × 3 1
240
题选 C
例 2 解析：푃 满足求
全部
3 张 10
6 张机取 3 张
136145235
퐶6
3 3
20 015
题选 C
例 3 解析：푃 满足求
全部
5 名理4 名济1 名财会 1
10 中选 3
퐶5
1퐶41퐶11
퐶10
3 5×4
10×9×8
3×2×1
1
6
题选 E
测 2 解析：푃 满足求
全部
5 整+ 7 整
100 20+14
100 34
100
里面 35 70 重复푃 32
100 032
题选 D
测 3 解析：9 名工程师抽调 4 퐶9
4种
张三必须参加剩余 8 抽 3 퐶8
3种
푃 满足求
全部
퐶83
퐶94 4
9
题选 D
48
测 4 解析：全 A 型 퐶12
2 全 B 型 퐶10
2 全 AB 型 퐶8
2全 O 型 퐶6
2
푃(血型相) 퐶122 +퐶102 +퐶82+퐶62
퐶362 77
315
题选 A
例 4 解析： 푃 满足求
全部
乙盒少红球
3 球机放 3 盒子中
乙盒 1 红 0 白(퐶21∗22)+1 红 1 白(퐶21∗2)+2 红 0 白(퐶22∗2)+2 红 1 白(1)
33
8+4+2+1
27 15
27 5
9
题选 D
例 5 解析：甲 8 会2 会甲合格：2 会 1 会+3 会퐶82퐶21
퐶10
3 + 퐶83
퐶10
3 14
15
乙 6 会4 会乙合格1乙合格
乙合格：1 会 2 会+3 会퐶61퐶42
퐶10
3 + 퐶43
퐶10
3 1
3乙合格1 − 1
3 2
3
甲乙合格14
15 × 2
3 28
45
题选 A
测 5 解析：（1） 命中率 06中 04
（2） 时发射 4 枚
命中概率 1 − 中概率 1 − (04)4 1 − 00256
09744 ≠ 99
题选 E
例 6 解析：正面概率2
3反面概率1
3
49
掷 4 次三次1 次
푃 퐶4
3 (2
3)
3
(1
3)
1
32
81
题选 C
例 7 解析：（1）答概率2
3
格 2 道+ 3 道 푐3
2 (2
3)
2
(1
3) + (2
3)
3
4
9 + 8
27 20
27
（2）全错概率 1
27(1 − 푝)3 1
27푝 2
3
相题概率2
3（1）等价
题选 D
测 6 解析：甲 41 获胜前 4 局甲 31 领先
푃(甲 3 1) C4
3(07)3 12 × 073
第五局甲获胜 07
푃(甲 4 1) 07 × 12 × 073 084 × 073
题选 A
测 7 解析：（1）命中率 02
命中 7 次푝 푐10
7 (02)7(08)3 120×64
510
（2）命中 05
命中 7 次∴ 푝 푐10
7 (1
2)7(1
2)3 120
210 15
128
题选 B
50
数描述
例 1 解析：十公式均数定义根题意：
푥̅男 23+26+28+30+32+34+36+38+41
9 288
9 32
푥̅全 288+23+25+27+27+29+31
15 450
15 30
题选 A
测 1 解析：甲均分6×10+7×10+8×10+9×10
40 75
乙均分6×15+7×15+8×10+9×20
60 76
丙均分6×10+7×10+8×15+9×15
50 77
均分高低排名序丙乙甲
题选 E
例 2 解析：数字：34343536363637373737
中位数 36众数 37
题选 A
例 3 解析：采匀匀方法组数减 90：
语文：0242453113
均值： 5
10 05퐸1 905
数学：42630561088
均值：−10
10 −1퐸2 89퐸1 > 퐸2
方差表示数稳定性波动幅度显然数学波动幅度较
数学方差较휎1 < 휎2
题选 B
例 4 解析：甲：258 甲均值2+5+8
3 5
51
乙：525 乙均值5+2+5
3 4
丙：849 丙均值8+4+9
3 7
σ1 1
3 [(2 − 5)2 + (5 − 5)2 + (8 − 5)2] 6
σ2 1
3 [(5 − 4)2 + (2 − 4)2 + (5 − 4)2] 2
σ3 1
3 [(8 − 7)2 + (4 − 7)2 + (9 − 7)2] 14
3
σ1 > σ3 > σ2
题选 B
特殊技巧法估值法
甲：258 乙：525 丙 849
方差意义表示数值波动幅度波动越方差越
先较乙丙显然丙波动幅度乙波动幅度
（丙幅度 5乙幅度 3）
甲致增长σ1 > σ3 > σ2
题选 B
测 2 解析：（1）푆1푆2均值相等3+4+5+6+7
5 4+5+6+7+푎
5
푎 3唯成立
（2）S1
2 1
5 [(3 − 5)2 + (4 − 5)2 + (5 − 5)2 + (6 − 5)2 +
(7 − 5)2] 2
푆2
2 1
5 [42 + 52 + 62 + 72 + 푎2] − (4+5+6+7+푎
5 )
2
2
푎 3 8唯确定
题选 A
测 3 解析：条件（1）푎푏푐푑푒均值 10
52
显然确定푎푏푐푑푒具体值
条件（2）显然成立
联立（1）（2）
{
푎 + 푏 + 푐 + 푑 + 푒 50
(10−푎)2+(10−푏)2+(10−푐)2+(10−푑)2+(10−푒)2
5 2
(10 − 푎)2 + (10 − 푏)2 + (10 − 푐)2 + (10 − 푑)2 + (10 − 푒)2 10
푎 8 푏 9 푐 10 푑 11 푒 12确定
题联合选 C
例 5 解析：新方案段交税：1500 × 3 45天
3000 × 10 300天
税费正 345 元
工资：3500 + 1500 + 3000 8000元
原方案交税：500 × 5 + 1500 × 10 + 3000 × 15 +
1000 × 20 25 + 150 + 450 + 200 825元
现减少825 − 345 480元
题选 B
例 6 解析：图知男士数：5W + 4W + 3W 12W
女士数：6W + 3W + 4W 13W
男女数：12 13
题选 C
例 7 解析：푣 − 푡图中围成面积路程
S (06+1)∙푣0
2 72解 푣0 90
题选 C
53
应题
例 1 解析：根题干获奖数 10+30+80120
获奖率 30总数120÷30400
题选 B
例 2 解析：午 9 名学咨询占午学生 10
午： 9
10 90名学咨询
总计：45 + 90 − 9 126名
题选 E
测 1 解析：子女教育
生活资料
3
8文化娱乐
子女教育
1
2 15
3 文化娱乐
生活资料
15
8
文化占 105生活资料105×8
15 56
题选 D
测 2 解析：甲 ∶ 乙 ∶ 丙 1
2 ∶ 1
3 ∶ 2
5
乙占例：1
3 (1
2 + 1
3 + 2
5⁄ )
乙应：3700 ∙ 1
3 (1
2 + 1
3 + 2
5⁄ ) 1000元
题选 A
54
应题
例 1 解析：设甲部门푥乙部门푦根题意：
{
푦+10
푥−10 2
푥 + 푦
5 4
5 푦
解：{ 푥 90
푦 150푥 + 푦 240
题选 D
例 2 解析：设甲载重量푎吨乙푏吨丙푐吨根题意：
{
2푏 푎 + 푐
2푎 + 푏 95
푎 + 3푐 150
解： {
푎 30
푏 35
푐 40
푎 + 푏 + 푐 105
题选 E
测 1 解析：4 未知数少 4 条件条件够
甲：푥件푚元 乙：푦件푛元
{
푥 + 푦 50
푚 2푛
푚푥 + 100 푛푦
⟹ 求出푥
题选 E
例 2 解析：设甲乙工作效率分푥 푦
甲乙天工时费分푎 푏
{6푥 + 6푦 1
4푥 + 9푦 1{
푥 1
10
푦 1
15
{ 6푎 + 6푏 24푊
4푎 + 9푏 235푊{푎 025푊
푏 015푊
甲单独做工时费10 × 025W 25W
题选 E
测 2 解析：法①应
设总工作量1
55
题意效率：甲 1
60 甲 + 乙 1
28 乙 + 丙 1
35
丙 甲 + (乙 + 丙) − (甲 + 乙) 1
60 + 1
35 − 1
28 1
105
丙单独需 105 天
题选 E
例 3 解析：푉货 90푘푚ℎ푉客 100푘푚ℎ
两车相 3 时相遇푆 3（90 + 100） 570푘푚
相遇时客车走300 푘푚货车走270 푘푚
相遇客车达甲需时间푡 270
100 27ℎ
时货车走 푆 27 × 90 243푘푚
货车距乙：300 − 243 571푘푚
题选 E
例 4 解析：푉乙 400
8 50푚푚𝑖푛
25 ∙ 푉甲 − 25푉乙 400
푉甲 푉乙 + 400
25 50 + 16 66푚푚𝑖푛
题选 C
例 5 解析：设火车长度푙速度푣根题意：
{
1+250
푣 10
1+450
푣 15
解：푙 150푚푣 40푚푠
通1050푚需时间푡 1050+150
40 30푠
题选 D
例 6 解析：返次水+逆水
푡 푡1 + 푡2 78
28+2 + 78
28−2 26 + 3 56ℎ
56
题选 B
例 7 解析：浓度 30溶液푎 푔浓度 20溶液푏 푔根题意：
{푎 ∙ 30 + 푏 ∙ 20 500 ∙ 24
푎 + 푏 500 解：푎 200푏 300
题选 E
特殊技巧法——十字交叉法
甲 30 4
24
乙 20 6
：甲
乙
4
6 2
3
甲占2
5乙占3
5
甲：500 × 2
5 200푔乙：500 × 3
5 300푔
题选 E
例 8 解析：设容积푣第次倒出 1L
剩余酒精：09푣 − 09 × 1 09(푣 − 1)
水注满时浓度09(푣−1)
푣
第二次倒出 1L 剩余酒精：09(푣−1)2
푣
水注满时浓度09(푣−1)2
푣2 09(푣−1)2
푣2 04
解：푣 3者푣 06（舍 1）
题先 B
特殊技巧法—浓度超级公式
利浓度超级公式：09 ∙ 푣−1
푣 ∙ 푣−1
푣 04解：푣 3(퐿)
57
题选 B
例 11 解析：题中车辆数相参加分配总数
（1）（ 30－0）÷（45－40）＝6（辆）
（2） 40×6＋30＝270（）
例 9 解析：题中原定完成务天数相参加分配总数
参加分配总数＝（亏－亏）÷分配差数量关系
知原定完成务天数(260×8－300×4)÷(300260)＝22
（天）条路全长 300×(22＋4)＝7800（米）
例 10 解析：设甲成푥푥(1 + 20) 480
乙成푦푦(1 − 20) 480
总盈亏：480 × 2 − 480
1+20 − 480
1−20 40元
题选 E
例 11 解析：根题意：
月付款：100 + (1100 − 100) ∙ 1
100 100 + 1000 ∙ 1
100
二月付款： 50 + (1100 − 150) ∙ 1
100 50 + 950 ∙ 1
100
三月付款：50 + (1100 − 200) ∙ 1
100 50 + 900 ∙ 1
100
四月付款：50 + (1100 − 250) ∙ 1
100 50 + 850 ∙ 1
100
⋮
付 21 月
利息总计：(1000 ∙ 1
100 + 950 ∙ 1
100 + 900 ∙ 1
100 + ⋯ + 50 ∙ 1
100 )
1
100 ∙ (50+1000)∙20
2 105万元
总付：1100+1051205 万元
58
题选 C
例 12 解析：设冰箱定价푥元售出台数 (8 + 2400−푥
50 ∙ 4)台
利润 销售－成 (푥 − 2000)(8 + 2400−푥
50 ∙ 4)
(푥 − 2000)(200 − 2
25 푥) − 2
25 푥2 + 360푥 + 400000
二次函数开口仅푥 − 푏
2푎时取
：푥 − 360
2∙(− 2
25)
90 ∙ 25 2205
题选 B
例 13 解析：푓(푥) 2푥 + 푎
푥2 푥 + 푥 + 푎
푥2 ≥ 3√푥 ∙ 푥 ∙ 푎
푥2
3 3√푎3 12푎 64
仅푥 푥 푎
푥2时取值
푥3 푎 64푥 4
题选 B
例 14 解析：设室푥车位室外푦车位根题意：
{5000푥 + 1000푦 ≤ 150000
2푥 ≤ 푦 ≤ 3푥 化简：{5푥 + 푦 ≤ 150
2푥 ≤ 푦 ≤ 3푥
想车位越室外越总数越（室外便宜）
取푦 3푥15 万元全部完解：푥 1875
取整修 19+5574
题选 B
特殊技巧法——极限思想
设室푥车位室外푦车位求푦3푥
室外越总数越
室外室 3：1 例修建
3 室外 1 室总费：3000+50008000 元
59
150000
8000 1875取整 18 套计 18×472
时剩：15000018×80006000 元
正修建 1 室1 室外
时计 19 室55 室外正满足条件
计 19+5574
题选 B
60
超纲题型预测
例 1 푙표푔3(3
7) + 푙표푔3 7 푙표푔3(3
7 ∙ 7) 푙표푔3 3 1
푙표푔2(5
3) − 푙표푔2(10
3 ) 푙표푔2( 5
3
10
3⁄ ) 푙표푔2(1
2) −1
푙표푔8 9
푙표푔√2 3 푙표푔23 32
푙표푔
2
1
2
31
2
3 푙표푔2 3
1
1 2⁄ 푙표푔2 3
1
3
푙표푔8 32 푙표푔23 25 5
3
例 2 解析：根数函数图：푎 < 0푏 > 0푐 > 0
根数函数单调性：
푏 푙표푔03 02 > 푙표푔03 03 1푐 푙표푔3 2 < 푙표푔3 3 1
푎 < 푐 < 푏
题选 B
例 3 解析：（1）푎2 > 푏2|푎| > |푏|取푎 −2푏 0푎 < 푏
（2）(1
2)
푎
< (1
2)
푏
指数函数减函数（푎 1
2 < 1）
푎 > 푏
题选 B
例 4 解析：푓(푥)值− 푎2
4 푓(푓(푥)) (푥2 + 푎푥)2 + 푎(푥2 + 푎푥)
令푥2 + 푎푥 푡푓(푓(푥)) 푡2 + 푎푡值− 푎2
4
푎取值关
题选 D
例 5 解析：想푥2 2 种形式：
第种：푥2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
第二种：(3푥) ∙ (3푥) ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
61
第种情况：퐶5
1푥2 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 5푥2（1 出푥2余出 1 5 种）
第二种情况：퐶5
2(3푥)(3푥) ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 90푥2（2 出3푥퐶5
2种余
出 1）
푥2系数 95
题选 E
例 6 解析：想푥2 2 种形式：
第种：1 ∙ (−푥) ∙ (−푥) ∙ 1 ∙ 1第二种：(2푥) ∙ (−푥) ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1
第种情况：1 ∙ 퐶4
2(−푥)2 ∙ 1 ∙ 1 6푥2
第二种情况：(2푥) ∙ 퐶4
1(−푥) ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 −8푥2
푥2系数−2
例 7 解析：设室푥车位室外푦车位根题意：
{5000푥 + 1000푦 ≤ 150000
2푥 ≤ 푦 ≤ 3푥 化简：{5푥 + 푦 ≤ 150
2푥 ≤ 푦 ≤ 3푥
想车位越室外越总数越（室外便宜）
取푦 3푥15 万元全部完解：푥 1875
取整修 19+5574
题选 B
特殊技巧法——极限思想
设室푥车位室外푦车位求푦3푥
室外越总数越
室外室 3：1 例修建
3 室外 1 室总费：3000+50008000 元
150000
8000 1875取整 18 套计 18×472
62
时剩：15000018×80006000 元
正修建 1 室1 室外
时计 19 室55 室外正满足条件
计 19+5574
题选 B
例 8 解析：设生产甲푥吨生产乙푦吨
根题意知：甲产品生产越利润越
等式{
3푥 + 푦 ≤ 13
2푥 + 3푦 ≤ 18
푥 ≥ 10
푦 ≤ 0
⇒ {0 ≤ 푥 ≤ 3
0 ≤ 푦 ≤ 4
知甲生产 3 吨乙生产 4 吨时该企业获利润
利润3 × 6 + 4 × 3 30万元
题选 D
例 9 解析：正弦定理： 푎
푠푖푛퐴 푐
푠푖푛퐶 √3
푠푖푛60° 1
푠푖푛퐶
푠𝑖푛퐶 푠푖푛60°
√3
√3
2
√3 1
2∠C 30°
例 10 解析：△ ABC中根余弦定理：푐표푠퐵 퐴퐵2+퐵퐶2−퐴퐶2
2∙퐴퐵∙퐵퐶
푐표푠퐵 42+82−62
2∙4∙8 11
16
△ ABD中根余弦定理：푐표푠퐵 퐴퐵2+퐵퐷2−퐴퐷2
2∙퐴퐵∙퐵퐷
퐴퐷2 퐴퐵2 + 퐵퐷2 − 2 ∙ 퐴퐵 ∙ 퐵퐷푐표푠퐵
42 + 42 − 2 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 11
16 10
퐴퐷 √10
题选 B
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