数学运算
第 01 讲 直接代入
题型评述
数学运算试题四选客观单项选择题选项直接代入进行验证显然种准
确高效易操作重方法试题正面求解相困难结合选项相
容易答案选项永远整试题机组成部分孤立题干忽略选项考生答题
时误区
二破题密钥
直接代入法广泛运位数问题定方程问题余问题年龄问题周期问
题复杂行程问题差倍问题等等种方法仅单独达招制胜效果
方法进行结合
三例题精析
例 1（ 深圳 201347）王旅行箱密码 3 位数三数字全非 0 偶数
三位数恰王年年龄方数王年（ ）岁
A 17 B 20 C 22 D 34
例 2（浙江 201350）某市场运苹果香蕉柚子梨四种水果中苹果柚子
30 吨香蕉柚子梨 50 吨柚子占水果总数 14运水果少吨？( )
A 56 吨 B 64 吨 C 80 吨 D 120 吨
例 3(江苏 2013B91)三位数 A 51商 a（a 正整数）余数商半
A 值
A 927 B 928 C 929 D 990
例 4（山东 201362）甲乙两仓库放集装箱干第天甲仓库移出乙仓
库集装箱总数样集装箱乙仓库第二天乙仓库移出甲仓库集装箱总数样
集装箱甲仓库循环第四天甲乙两仓库集装箱总数 48 问甲仓
库原少集装箱？
A 33 B 36 C 60 D 63
例 5（河北 201344）金鱼缸现已注满水中三假山第次
假山沉入水中第二次假山取出中假山沉入水中第三次中假山取出假
山假山起沉入水中现知道次金鱼缸中溢出水量情况：第次第二次
13第三次第二次 2 倍问三假山体积（ ）
A 1∶3∶5 B 1∶4∶9 C 3∶6∶7 D 6∶7∶8 第 02 讲 倍数特性
题型评述
倍数特性法种特殊代入排法代入排法中重容种
方法通正确答案应该满足某种倍数特性直接锁定答案熟练运方法关键
点牢牢掌握种倍数关系性质判定方法
二破题密钥
①248 整余数判定基法
1 数 2（ 5）整仅末位数 2（ 5）整
2 数 4（ 25）整仅末两位数 4（ 25）整
3 数 8（ 125）整仅末三位数 8（ 125）整
②39 整余数判定基法
1 数 3 整仅位数字 3 整
2 数 9 整仅位数字 9 整
③7 整判定基法
1 数 7 倍数仅末位两倍剩数差 7 倍数
2 数 7 倍数仅末三位数剩数差 7 倍数
示例∵362 末位2 2 倍36差32 7 整 ∴362 7 整
示例∵12047 末三位04712差35 7 整 ∴12047 7 整
④11 整判定基法
1 数 11 倍数仅奇数位偶数位做差 11 倍数
示例∵7394 奇数位7+9＝16偶数位3+4＝7做差167＝9
11 倍数 ∴7394 11 整
三例题精析
● 题型：直接倍数
例 1（海 2011A61）某收集邮票干张中 14 2007 年前国外
发行邮票18 2008 年国发行119 2009 年国发行外尚足 100 张
国外邮票该（ ）张邮票
A 87 B 127 C 152 D 239
例 2（2011 年 424 联考43）某单位招录 10 名新员工应聘成绩排名 1
10 10 连续四位然数次作工号凑巧工号
成绩排名整问排名第三员工工号数字少（ ）
A 9 B 12 C 15 D 18
● 题型二：子倍数
例 3（北京 201475）甲工厂天生产零件数乙工厂 15 倍 40 乙工
厂天生产零件数甲工厂半 20 两工厂天生产少零件？
A 400 B 420 C 440 D 460
例 4（2012 年 421 联考－61）某公司三名销售员 2011 年销售业绩：甲销
售额乙丙销售额 15 倍甲乙销售额丙销售额 5 倍已知乙销售额 56
万元问甲销售额：（ ）
A 140 万元 B 144 万元 C 98 万元 D 112 万元
● 题型三：例倍数
核心提示
()a b m n m n 互质 说明 a 占 m 份 m 倍数b 占 n 份 n 倍数
a+b 占 m+n 份 m+n 倍数ab 占 mn 份 mn 倍数
例 5（广州 201326）少年宫学美术舞蹈唱歌专业学生 90 美术
舞蹈专业学生例 2∶3舞蹈唱歌专业学生例 3∶4学生数专业
少？
A 25 B 30 C 35 D 40
例 6（ 2012 年 915 联考－49）甲乙两种商品价格 3∶5果价格分
降 50 元价格 4∶7两种商品原价格（ ）
A 300 元 500 元 B 375 元 625 元
C 450 元 750 元 D 525 元 875 元
第 03 讲 化
题型评述
果试题中没涉某具体量具体量影响终结果
时候化法量设某利计算数值简化计
算种方法设 1 法者设 1 思想
般工程问题混合配问题加权均问题流水行船问题返行程问
题问题济利润问题差倍问题等等诸问题中化法
二破题密钥
化法中般设1设中某量公倍数
避免分数简化计算
三例题精析
例 1（ 重庆 201390）甲乙两烧杯装盐水甲杯中盐水质量乙杯 2
倍甲杯盐水浓度乙杯 12两烧杯中盐水混合盐水浓度甲杯
浓度少倍？（ ）
A 32 B 43 C 65 D 76
核心提示
化法时家困惑：什样量便设什样量行？总说某类量题目中关重时便便设方便计算数字
样量般需满足两条件：
1 首先类量题目中没提具体数字
2 次类量通具体数字量计算
面两条件非常抽象举例子简单譬行程问题中想假设某
速度 1必须次满足两条件：
1 题目中没提速度具体数字
2 题目中没时提路程时间具体数字知道两类量
计算出速度具体
题目中路程者时间具体时假设速度 1 者数字
会影响结果理济利润问题中果题目中单价具体数字没件数
总价具体数字假设某件数 1者假设总价 1时
做两件事情
例 2（江苏 2013A33）现需购买三种调料加工成种新调料三种调料价格分
千克 20 元30 元60 元果购买三种调料花钱样千克调料成
A30 元 B35 元 C40 元 D60 元
例 3（河北 201348）王收购台旧电视机然转手卖出赚取 30利润
1 月客户求退货王客户达成协议时交易价格 90回收台电视机
王初收购价格卖出问王台电视机交易中利润率（ ）
A 13 B 17 C 20 D 27
例 4（ 新疆 201344）甲乙两家高科技公司合持甲公司 30股份陈先生
合持新公司股份 12赵先生拥甲公司 15股份乙公司 5股份合
公司中拥少例股份？（ ）
A 9 B 10 C 11 D 12
例 5（广州 201330）某社区服务中心月均居民进行社区工作满意度调查
发现2 月份居民满意度 85 分 1 月份升 203 月份居民满意度
2 月份降 20 3 月份居民满意度 1 月份相（ ）
A 两月持 B 3 月份 1 月份高 4
C 1 月份 3 月份高 4 D 3 月份 1 月份低 4
例 6（贵州 2012－40）某调查队男女队员数 3∶2分甲乙丙三
调查组已知甲乙丙三组数 10∶8∶7甲组中男女队员数 3∶
1乙组中男女队员数 5∶3丙组中男女队员数（ ）
A 4∶9 B 5∶9 C 4∶7 D 5∶7 第 04 讲 例假设
题型评述
前面化法中学题目中某未知量影响终结果时方
便计算设某特殊值简化计算
然题目中然非常希假设中某量方便计算数值意
假设会题干中某已知数字矛盾时例假设法
二破题密钥
假设数字会已知条件矛盾然强行假设某数字然
推出矛盾双方间倍关系例放者缩
三例题精析
例 1（广东 2012－8）某企业员工定制工作服请服装公司裁缝量体裁衣裁缝
时 52 名男员工 35 名女员工量体时刚量完女员工尺寸时
24 名男员工没量体男女员工例 117该企业少名员工？（ ）
A 720 B 810 C 900 D 1080
例 2（北京 201275）商场销售某种商品加价幅度进货价 40现商场决定
加价幅度降低半促销商品售价前降低 54 元问该商品原售价少元？
A 324 B 270 C 135 D 378
例 3（海 2013A60）某高速公路收费站车辆收费标准：型车 30 元
辆中型车 15 元辆型车 10 元辆某天通收费站型车中型车数量 5∶
6中型车型车数量 4∶11型车通行费总数型车 270 元天
收费总额（ ）
A 7280 元 B 7290 元
C 7300 元 D 7350 元
例 4(江苏 2013B87)甲乙丙三商城购物甲花钱 12 等乙花钱
13乙花钱 34 等丙花钱 47结果丙甲花 93 元三花钱
（ ）？
A 432 元 B 422 元 C 429 元 D 430 元
例 5（浙江 201357）总额 100 万项目分甲乙丙丁四公司
完成甲乙丙丁分项目额例 12131416请问甲分项目额少
万？( )
A 35 万 B 40 万 C 45 万 D 50 万 第 05 讲 工程问题
题型评述
工程问题研究工作量工作时间工作效率间关系年考题中重常
考重点题型
二破题密钥
基础公式：工作量工作时间工作效率
核心思想：化法（设1法）例假设法
三例题精析
● 题型：基础计算型
例 1（天津 20139）某项工程计划 300 天完工开工 100 天施工员减少
工作效率降 20问完成该项工程原计划推迟少天？（ ）
A 40 B 50 C 60 D 70
例 2（安徽 20119）某工厂生产组工岗位工作9 时
完成项生产务果交换工甲乙岗位变提前 1 时完成务
果交换工丙丁岗位变提前 1 时完成务果时交换甲
乙丙丁岗位变提前少时完成？（ ）
A 14 B 18 C 22 D 26
● 题型二：时合作型
例 3（ 重庆 201399）甲乙丙三完成项工程 6 时果甲乙
效率 1∶2乙丙效率 3∶4乙单独完成项工程需少时？（ ）
A 10 B 17 C 24 D 31
例 4（山东 201361）2 台型收割机 4 台型收割机天收完全部麦 310
8 台型收割机 10 台型收割机天收完全部麦果单独型收割机单
独型收割机进行较天收完麦型收割机型收割机少台
A 8 B 10 C 18 D 20
● 题型三：交合作型
核心提示
交合作型工程问题新考查重点题型考生易错难点题型
合作交性简单基础公式进行计算注重工作周期性
例 5（2010 年 425 联考94）单独完成某项工作甲需 16 时乙需 12 时
果甲乙甲乙……序轮流工作次 1 时完成项工作需长时
间（ ）
A 13 时 40 分钟 B 13 时 45 分钟 C 13 时 50 分钟 D 14 时 ● 题型四：撤出加入型
例 6（ 四川 201360）建筑公司安排 100 名工修某条路工作 2 天抽调 30 名
工工作 5 天抽走 20 名工总时十二天修完果整条路希 10 天
修完中途增减手安排少名工
A 80 B 90 C 100 D 120
● 题型五：两项工程型
例 7（国考 201475）甲乙两工程队完成 A B 两项目已知甲队单独完
成 A 项目需 13 天单独完成 B 项目需 7 天乙队单独完成 A 项目需 11 天单独完成 B 项目
需 9 天果两队合作短时间完成两项目天两队需工作长时间
完成务？（ ）
A 112 天 B 19 天 C 17 天 D 16 天
第 06 讲 十字交叉
题型评述
十字交叉法数学运算题中种典技巧符合条件试题秒杀
效果
二破题密钥
十字交叉法实际种简化方程形式符合图左边方程形式
右边十字交叉形式简化：
()A r bAa Bb A B r B a r
A
B
a
b
r
ar
rb
è A
B ar
rb
考生疑惑种题型十字交叉法知道例两量例
时列出面形式式子判断然时积累果考场法判断
话建议种方法直接列方程更快更准确
三例题精析
例 1（山东 201360）某单位职工 72 年底考核均分数 85 分根考核分
数90 分职工评优秀职工已知优秀职工均分数 92 分职工均分
数 80 分问优秀职工数少？
A 12 B 24 C 30 D 42
核心提示
十字交叉法时候点技巧非常重计算
例应该算实际数值
譬例中例 5：7然需原题中实际数字：果原题中告诉优秀员工 15 正 5 3 倍 57 例分子分母
时 3 15：21果原题中告诉员工 56 正 7 8 倍
5：7 例分子分母时 8 40：56事实原题两者
725：7 例分子分母 12 72 六分应该 5：7
例分子分母时 6 30：42两数字分两部分实际数字
例 2(甘肃 201326)甲乙两种商品原单价 100 元市场变化甲商品
降价 10乙商品提价 40调价两种商品单价原单价提高 20乙商品
提价少元？（ ）
A 40 B 60 C 36 D 84
例 3（江苏 2013B90） 100 克溶液第次加入 20 克水溶液浓度变成 50
第二次加入 80 克浓度 40种溶液溶液浓度变？（ ）
A45 B47 C48 D46
例 4（海 2013A63）某养鸡场计划购买甲乙两种鸡苗 2000 进行饲养已
知甲种鸡苗 2 元乙种鸡苗 3 元相关资料表明：甲乙两种鸡苗成活率
分 94 99批鸡苗成活率低 96买鸡苗总费
应选购甲乙两种鸡苗（ ）
A 500 1500 B 800 1200
C 1100 900 D 1200 800
例 5（国考 201464）烧杯中装 100 克浓度 10盐水次该烧杯中加入
超 14 克浓度 50盐水问少加少次烧杯中盐水浓度达 25？（假设
烧杯中盐水会溢出）（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3
第 07 讲 极端思维
题型评述
极端思维日常生活学工作中普遍运思维方式年考题
热点容量相关考题出现年试卷中位考生务必引起足够重视
二破题密钥
试题中出现少少快
慢高低等字样时通常需考虑极端思维法需分析题意
构造出满足题意求极端情形质讲极端思维种构造设定法
三例题精析
例 1（江苏 2013A27）5 名学生参加某学科竞赛 91 分已知分相
高 21 分低分低少？（ ）
A 14 B 16 C 13 D 15
例 2（国考 201465）某连锁企业 10 城市 100 家专卖店城市专卖
店数量果专卖店数量排名第 5 城市 12 家专卖店专卖店数量排名
城市家专卖店？（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
例 3（河北 2012－42） 21 棵桃树栽街心公园里 5 处面积草坪果
求块草坪必须树栽棵数面积相面积草坪少栽
棵（ ）
A 7 B 8 C 10 D 11
例 4（春季联考 201346）60 名员工投票甲乙丙三中评选佳员工选举
时投票选举票选开票中途累计前 30 张选票中甲 15
票乙 10 票丙 5 票问尚未统计选票中甲少少票定选？（ ）
A 15 B 13 C 10 D 8
例 5（浙江 201258）班里 30 名学生 12 会跳拉丁舞 8 会跳肚皮
舞 10 会跳芭蕾舞问会跳两种舞蹈？
A12 B14 C15 D16
例 6（ 深圳 201346）偷藏匿某商场三名保安甲乙丙分头行动搜查商场
100 家商铺已知甲检查 80 家乙检查 70 家丙检查 60 家三检查
商铺少（ ）家
A 5 B 10 C 20 D 30
第 08 讲 基方程
题型评述
方程方程组解答文字应题重工具数学运算试题需
应该方程方法解答样会耗量精力然着相部分
问题采方程法简单果数学运算第重方法方程法
愧
二破题密钥
数学运算部分题型方程法解答中盈亏问题鸡兔
笼问题差倍问题牛吃草问题般应该方程法外
济利润问题浓度问题年龄问题行程问题等差数列均数问题容
斥问题工程问题等等题型中相部分试题需利方程求解
三例题精析
● 题型：巧设未知数
核心提示 设未知数时候应该首先考虑未知数设出便理解便表示量便列
出方程某情况定直接设求量设中间量 x设某种倍数
关系（ 12x5x 等）未知数消方程中分数形式
例 1甲乙丙丁 48 书原基础做变动：甲增加 3
乙减少 3 丙增加原 3 倍丁减少原 13时四书样原书
（ ）书
A18 B24 C27 D36
例 2（北京 201380）某服装果降价 200 元 8 折出售件亏 50 元
果直接 6 折出售赚亏果销售该服装想获 100利润需原价
基础加价少元？（ ）
A 90 B 110 C 130 D 150
例 3（海 2013A58）某公司针 ABC 三种岗位招聘 35 中胜 B
岗位数等胜 C 岗位数 2 倍胜 A 岗位数兼职岗位
1 胜岗位群中半胜 A 岗位招聘 35 中兼
职岗位（ ）
A 10 B 11 C 12 D 13
● 题型二：快速解方程
核心提示
样列出方程考生快解答案考生着方程头痛求解方程（组）
身技巧包括限：
1 方程中数分数计算复杂时应首先考虑两边数化整数
2 方程组中存未知数量消关未知数保留关心未知数
3 方程组中关未知数完全作整体直接消
4 例型方程形式化简方法
例 4（海 2012A64）某农场批米需运市中心超市销售现租辆
货运卡车第次运走总数五分 60 袋第二次运走总数四分少 60
袋剩 220 袋没运走批米_____袋
A．400 B．450 C．500 D．640
核心提示
方程出现例形式时候通面转换进行简化：
1 a
b
c
d
Þ a
b
c
d
a+c
b+d
ac
b d
（两分子两分母差常数时）
2 a
b
c
d
Þ a±b
b
c±d
d
Þ a
b±a
c
d ±c
（分数分子分母差常
数时）
例 5（国考 201466）某单位原 45 名职工级单位调入 5 名员职工该单位员数占总数重升 6 百分点果该单位 2 名职工入该
单位现员数占总数重少？（ ）
A 50 B 40 C 70 D 60
第 09 讲 定方程
题型评述
解题程中常会遇含 1 未知数方程遇含 2 未知数
2 方程方程组者 3 未知数 3 方程方程组方程者方程组般确定
解然遇 2 未知数 1 方程等式者 3 未知数 2 方程
等式等等样形式称定方程者定方程组种题型考察够
突出体现应试者数字控逻辑素质成新考题热点
二破题密钥
元定方程组：特值代入法
二元定方程：代入试值法
三例题精析
● 题型：元定方程组
核心提示
方程组中方程数果少未知数数没譬整数类限制
说明未知数完全确定种情形般直接设定种特殊情
况（譬假设中 1 未知数 0）简化计算程
例 1（ 深圳 201111）刚买 3 支钢笔1 笔记2 瓶墨水花 35 元钱强
家店买样 5 支钢笔1 笔记3 瓶墨水花 52 元钱买 1 支钢笔1 笔
记1 瓶墨水需（）元
A9 B12 C15 D18
例 2（江苏 2013A26）项工程甲乙合作 12 天完成乙丙合作 9 天丙丁
合作 12 天完成果甲丁合作完成项工程需天数？
A 16 B 18 C 24 D 26
例 3某工程甲队单独做需天数乙丙两队合作天数 a 倍乙队单独需天
数甲丙两队合作天数 b 倍丙队单独做需天数甲乙两队合作天数 c 倍
1
1
1
1
1
1
cba
值（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
● 题型二：二元定方程
核心提示 果两未知数方程关系（者方程组化成种形式）两未知数
完成确定果未知数限定正整数范围便利整数
倍数关系范围进行代入试值利类似枚举办法确定唯满足题目求解
题型元定方程组题型二元定方程区：前者方程具
体解唯确定种解题目求数字确定者直接方程
解确定加正整数类似条件解唯确定
例 4（山东 201354）某单位希工程捐款中部门领导捐 50 元普通员
工捐 20 元该单位员捐款 320 元已知该单位总数超 10 问该单位
名部门领导？（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
例 5（国考 201473）王李张周 4 某希学捐赠 25 书
包数量少序分王李张周已知王捐赠书包数量李
张捐赠书包数量李捐赠书包数量张周捐赠书包数量问
王捐赠少书包？（ ）
A 9 B 10 C 11 D 12
例 6（ 北京 201481）张购买 2 苹果3 根香蕉4 面包 5 块蛋糕消
费 58 元果四种商品单价正整数相块蛋糕价格高少
元？
A 5 B 6 C 7 D 8
第 10 讲 容斥原理
题型评述
容斥原理种历年常考题型出现频率高题目难度中等广考生分
重点
二破题密钥
节讲述容斥原理五种题型分五种思路解答首
先懂题型区分样选合适方法
两集合容斥原理：
1 果题目涉样五量①满足条件 A 数目②满足条件 B 数目③时满
足条件 A B 数目④条件 AB 满足数目⑤总数选两集合标准
型标准公式作答
2 果题目涉满足条件 A 数目者满足条件 B 数目标准公
式法解答般选两集合图示标数完成答题
三集合容斥原理：
1 关满足两条件描述果题目涉①满足条件 AB 数目②满足条件 B
C 数目③满足条件 CA 数目般选三集合标准型标准公式作答
2 果题目涉满足条件 AB 数目般选三集合图示标数作答 3 果题目涉满足条件数目满足两条件数目
总数分项数字般选三集合整体重复型公式作答
三例题精析
● 题型：两集合标准型
核心公式
满足条件 I 数+满足条件 II 数两者满足数总数两者满足
数
例 1（浙江 201354）某班 50 名学生进行体检 20 视12 超重4
视超重该班少视超重？( )
A 22 B 24 C 26 D 28
例 2（天津 201312） 70 名学生参加数学语文考试数学考试 60 分
56 语文考试 60 分 62 格 4 两门考试 60 分
少？（ ）
A 50 B 51 C 52 D 53
● 题型二：两集合图示标数型
核心公式
涉两集合容斥原理问题时果题目提满足某 1 条件数目
法通标准两集合容斥原理公式答案时推荐家利简洁文氏
图标数求结果
图示标数关键：中间两条件满足数字入手
例 3（北京 201373）批游客中 AB 两景点中少 A
游客没 A 游客数量相两者两景点数 3 倍
景点数占游客总数重（ ）
A 23 B 34 C 45 D 56
例 4（国考 201467）工厂组织职工参加周末公益活动 80职工报名参加报
名参加周六活动数报名参加周日活动数 2：1两天活动报名参加
数报名参加周日活动数 50问未报名参加活动数报名参加周六活动
数？
A 20 B 30 C 40 D 50
● 题型三：三集合标准型
核心公式
特注意：式左边代表少满足三条件情况等总数减三条件
满足情况
例 5（安徽 201115）图示：ABC 分面积 60170
150 三张形状卡片部分重叠放起盖桌面总盖住
面积 280 A BB CC A 重叠部分面积分 226035
问阴影部分面积少？（ ）
A15 B16 C17 D18
例 6（ 2012 年 421 联考－54）某公司招聘员工规定投考两职位
结果 42 报名甲乙丙三职位报名数分 22 16 25 中时报
甲乙职位数 8 时报甲丙职位数 6 时报乙丙职位数
：
A 7 B 8 C 5 D 6
● 题型四：三集合图示标数型
核心点
题目条件直接代入标准公式时考虑利图示配合标数解答
1 特注意满足某条件仅满足某条件区分
2 特注意没三条件满足情形
3 标数时注意中间外围标记
例 7外语学校英语法语日语教师 27 中教英语 8
教日语 6 教英日语 5 教法日语 3 教英法语 4
三种教 2 教法语少（ ）
A4 B5 C6 D7
● 题型五：三集合整体重复型
核心公式
三集合题型中假设满足三条件元素数量分
ABC少满足三条件元素总量 W中：
满足条件元素数量 x满足两条件元素数量 y
满足三条件元素数量 z根右图面两等式：
1 2 3
W x y z
A B C x y z
图中明显出x y 分包含 3 部分 3 部分总
题目关心样总单独部分数值时应该两公式
例 8（陕西 201378）五年级班 55 学生暑假期间参加特长培训班
35 参加书法班28 参加美术班31 参加舞蹈班中三种特长培训班参加
6 （ ）参加种特长培训班
A45 B33 C29 D22
例 9（北京 201480）某旅行团 48 名游客报名参观三景点中少
中参观景点数少参观两景点数相参观三景点
AC
B数 4 倍需游客购买少张景点门票？
A 48 B 72 C 78 D 84
例 10（春季联考 201342） 100 参加运动会三赛项目少参加
项中未参加跳远 50 未参加跳高 60 未参加赛跑 70 问少
少参加止项目？（ ）
A 7 B 10 C 15 D 20
第 11 讲 排列组合
题型评述
毫疑问排列组合广考生头疼难点题型次必考重点
题型否部分突破终否取高分关键
二破题密钥
排列公式： An
m n
(nm) n´(n1)´(n 2)´ ´(n m+1)
组合公式：Cn
m n
(n m)´m n´(n1)´(n2)´ ´(n m+1)
m´(m1)´(m2)´ ´1
逆公式：满足条件情况数＝总情况数满足条件情况数
三例题精析
● 题型：基础公式型
例 1（ 浙江 201254）南阳中学语文教师 8 名数学教师 7 名英语教师 5 名体
育教师 2 名现四科教师中选出 1 名教师参加培训问种选法？
A96 B124 C382 D560
例 2（海 2013A61）甲乙天直达班车 4 班甲丙天直
达班车 5 班丙乙天直达班车 3 班甲乙（ ）车
法
A 12 种 B 19 种 C 32 种 D 60 种
● 题型二：分类讨型
例 3（秋季联考 201334）某单位职工 15 中业务员 9 现整单
位选出 3 参加培训求中业务员数少非业务员数问少种
选方法？（ ）
A 156 B 216 C 240 D 300 ● 题型三：分步计算型
例 4（秋季联考 201333）某科室 8 现需抽出两 2 组
级单位检查工作问少种安排方案？（ ）
A 210 B 260 C 420 D 840
例 5（国考 201471）次会议某单位邀请 10 名专家该单位预定 10 房间
中层 5 间二层 5 间已知邀请专家中 4 求住二层3 求住层余 3 住
层均满足住房求 1 间少种安排方案？（
）
A 43200 B 7200 C 450 D 75
● 题型四：逆计算型
例 6（天津 201313） 1—9 组成 3 位数肯定数字重复组合少种？
（ ）
A 220 B 255 C 280 D 225
第 12 讲 概率问题
题型评述
概率问题类排列组合衍生出新题型种题型基排列组合
特征知识点年考试新热点题型
二破题密钥
概率＝满足条件情况数÷总情况数
三例题精析
● 题型：基础计算型
例 1（春季联考 201349）某种密码锁界面组汉字键重复遗漏
次界面汉字开中种序正确次密码锁进行
破解成功率万分密码锁界面少设置少汉字键？（ ）
A 5 B 6 C 7 D 8
● 题型二：分步法型
核心提示
分步概率＝满足条件步骤概率积
例 2（北京 201374） 4 数字(09 间整数)组成密码连续两位
相问意猜符合该规律数字组合猜中密码概率（ ）
A15040 B17290 C19000 D110000
例 3（ 2012 年 915 联考－48）甲某电话时忘记方电话号码位数字
记数字0甲某尝试数字代位数字恰第二次尝试成功概
率（ ）
A 19 B 18 C 17 D 29
● 题型三：分类加法型
核心提示
总体概率＝满足条件种情况概率
例 4（ 新疆兵团 201357）甲乙两进行乒乓球赛赛采取三局两胜制
方先胜两局赛结束甲局获胜概率 23乙局获胜概率 13问甲
取胜概率少？（ ）
A2027 B23 C49 D827
例 5（春季联考 201354）某次抽奖活动三箱子中均放红黄绿蓝紫
橙白黑 8 种颜色球奖励规：三箱子中分摸出球摸出 3
球均红球等奖摸出 3 球中少绿球二等奖摸出 3 球均
彩色球(黑白外)三等奖问中奖概率少（ ）
A 0~25％间 B 25~50％间
C 50~75％间 D 75~100％间
● 题型四：逆计算型
核心公式
某条件成立概率＝1－该条件成立概率
例 6（山东 201357）桌子中编号 110 10 球次中抽出 1 记
放回重复 3 次 3 次记球编号积 5 倍数概率少？
A432 B488 C512 D568
● 题型五：拓展技巧型
例 7（浙江 2009 52）孙口袋里四颗糖颗巧克力味颗果味两
颗牛奶味孙意口袋里取出两颗糖说中颗牛奶味问孙
取出颗糖牛奶味性（概率）少？
A 13 B14 C 15 D 16
例 8（吉林 2012 乙－7）某军训部队靶场进行射击训练队员甲次射击命
中率 50队员乙次射击命中率 80教练规定天训练规队员射
击直未中靶次停止射击队员甲天均射击次数（ ）
A 2 次 B 123 次 C 25 次 D 15 次 第 13 讲 溶液问题
题型评述
溶液问题种非常典型例型计算问题抓住溶液溶质溶
剂三者关系解题基础关键外出题溶液模型基础衍生出特殊
题型需专门技巧者总结公式高速效完成类题型便前考
查重点
二破题密钥
溶液＝溶质+溶剂浓度＝溶质÷溶液溶质＝溶液×浓度溶液＝溶质÷浓度
三例题精析
例 1（ 深圳 201355）化学实验中需现浓度 AB 两种氯化钠溶液
配置新浓度 15氯化钠溶液已知 A 溶液浓度 B 溶液 5 倍 50 克 A 溶
液 250 克 B 溶液混合完成配置 A 溶液浓度（ ）
A 45 B 40 C 35 D 30
例 2（天津 201310）甲容器浓度 3盐水 190 克乙容器中浓度 9盐
水干克乙容器中取出 210 克盐水倒入甲容器中甲容器中盐水浓度少？（ ）
A 545 B 615 C 735 D 595
例 3（安徽 2012－62）某状态 28g 某种溶质放入 99g 水中恰配成饱溶
液中取出 14 溶液加入 4g 溶质 11g 水请问时浓度变少？（ ）
A 2161 B 2205 C 2353 D 2415
例 4两相桶空杯子甲桶装牛奶乙桶装糖水先甲桶取出
杯牛奶倒入乙桶乙桶中取出杯糖水牛奶混合液倒入甲桶请问时甲桶
糖水乙桶牛奶？（ ）
A 法判定 B 甲桶糖水 C 乙桶牛奶 D 样
例 5（江苏 2012B89C30）某盐溶液浓度 20加入水溶液浓度变
15果加入样水溶液浓度变（）
A13 B125 C12 D10
第 14 讲 牛吃草
题型评述
牛吃草问题类典常考衰数学运算题型常方法公式法
方程法表格法三种方法质完全致
种题型源学奥数效做题方法学奥数中公式法
利核心公式通方程法解题实践中发现利表格法代方程然质样效率更高
里强烈推荐家表格法解答牛吃草问题节例题时配
方程法表格法请家利方程强化理解利表格迅速答题旦掌握
熟练请直接表格法解答
请务必耐心学开始会较郁闷掌握熟练意想效果中
题型：基公式型节重点家首先掌握部分知识
二破题密钥
核心公式： ()y N x T
1 y代表原存量（原草量）
2 N代表促原存量减少变量（牛数）
3 x代表存量然增长速度（草长速度）
4 T代表存量完全消失耗时间
三例题精析
● 题型：基公式型
表格法解题方法点津
首先明确题中第二种表格方法质第种方程方法
种简化形式操作程实际原解方程组程家时训练时候
定两种方法联合真正体会第二种方法精髓等熟练单独表格方
法旦遇疑问应该先列方程
面介绍表格位置数字含义：
N3 N3x T3
N1 N1x T1 N1×T1
N2 N2x T2 N2×T2
x右两项商 两项差 两项差
面第列代表牛吃草问题牛数第三列代表时间字母 NT 含义前
面公式中完全致
基础型牛吃草问题表格法具体操作步骤样：
1 面表格中带框 5 数字题目条件填进注意四细节
说列表法实际考试时候定画出表格表格位置写数
字行
第列填牛数第三列填时间中间空出列
已知两种情况填第二三行未知需求解种情况填第行
未知第行中 N3 未知 T3 已知 T3 位置填数
字 N3 位置空出
2 第二三行已四数字两两应相放第四列表示
3 步两数字相减放第四列行第三列两已知时
间相减放第三列行表示
4 步两数字相第四列数字第三列数字放第二列
行数字 x代表草长速度
5 第列三牛数减 x放第二列相应位置时前三行第二三列相应该样数值(N3x)×T3(N1x)×T1(N2x)×T2y
数值正原草量利条件便求出需变量
例 1（浙江 201257）某演唱会检票钱干分钟观众开始排队等候入场分
钟观众数样开始检票等候队伍消失时开 4 入场口需 50 分钟
时开 6 入场口需 30 分钟问果时开 7 入场口需分钟？
A18 分钟 B20 分钟 C22 分钟 D25 分钟
例 2船发现漏水时已进水水匀速进入船果 10 掏水3
时掏完 5 掏水8 时掏完果求 2 时掏完安排少掏水？
A11 B12 C13 D14
例 3（贵州 2012－73）某水库 10 泄洪闸 10 泄洪闸全部开时8
时水位警戒水位降安全水位开 6 泄洪闸时程 24 时水库
时入库量稳定问果开 8 泄洪闸时需少时水位降安全水位？
A 10 B 12 C 14 D 16
例 4（国家 2013－68）某河段中沉积河沙供 80 连续开采 6 月 60 连续
开采 10 月果保证该河段河沙开采枯竭问供少进行连续间断
开采？（假定该河段河沙沉积速度相稳定）
A 25 B 30 C 35 D 40
例 5（北京 201181）假设某森林资源增长速度定受然灾害
等影响年开采 110 万立方米开采 90 年年开采 90 万立方米开采
210 年片森林持续开发年开采少万立方米？（ ）
A 30 B 50 C 60 D 75
● 题型二：牛羊混吃型
核心提示
题目中牛羊时需全部转换牛者羊代入公式进行计算
例 6块草天草生长速度相现片牧草供 16 头牛吃 20 天
者供 80 羊吃 12 天果头牛天吃草量相 4 羊天吃草量片草
供 10 头牛 60 羊起吃少天？
A6 天 B8 天 C12 天 D15 天
● 题型三：然消亡型
核心提示
果解方程组算 x 负说明存量然增长然消亡
例 7（贵州 2012－44）天气干旱村委会决定抽水机抽取水库中剩余水浇
灌农田假天水库水均匀速度蒸发计算 20 台抽水机全力抽水水库
中水 5 周 16 台抽水机水库中水 6 周 11 台抽水机水库中水少周？（ ）
A 7 B 8 C 9 D 11
例 8（河北 201345）某医院氧气罐匀速漏气该氧气罐充满时供 40 吸
氧60 分钟氧气耗次充满该氧气罐时供 60 吸氧 45 分钟氧气耗
问果该氧气罐充满吸氧氧气耗需长时间？（ ）
A 半时 B 两时 C 两半时 D 三时
第 15 讲 基础行程
题型评述
行程问题历年考察重点题型次考试会涉常考题型更
考生生畏难点题型
二破题密钥
核心公式：路程速度时间
常方法：列方程解方程
解题关键：部分固定公式题型行程问题求家方程方法解答
构造似巧妙炫丽方法行程问题变化较程会较复杂
唯变两维度关系：1段行程单元 Svt2行程单元间S
间关系v 间关系t 间关系握住两维度关系方程（组）
容易列出
三例题精析
例 1（ 四川 201361）甲乙时 A 出发匀速跑 B 跑完全程分 3
时 4 时午 4 点时甲正位乙 B 间中点问两午什时候
出发
A1 点 24 分 B 1 点 30 分
C 1 点 36 分 D 1 点 42 分
核心提示
考生知道什时候变量设成意数字简化计算行程问题
里果 Svt 三种变量种出现具体外两变量意假
设中意值果三种变量中两种出现具体
做
例 2（广州 2012－84）甲公司马理公司坐车乙公司洽谈 30 千米时
速度出发 20 分钟马理发现文件忘带便司机原 15 倍速度回甲公司
5 千米时速度步行乙公司结果司机马理时达乙公司甲乙两
公司距离（ ）千米
A 125 B 13 C 135 D 14
例 3（ 新疆兵团 201353）长 146 公里山区公路分坡坡三段
中坡距离相等某越野车坡 20 公里时 30 公里时坡 50 公
里时速度行驶跑完该条公路正时 5 时问该山路中路程少公里？
A 40 B 55 C 66 D 75
例 4（江苏 2013A38）李驾车甲乙果原车速提高 25原定
时间提前 30 分钟达 原车速行驶 120 千米车速提高 25提前 15 分钟达
原车速？（ ）
A 84 千米时 B 108 千米时
C 96 千米时 D 110 千米时
第 16 讲 相速度
题型评述
行程问题中类问题基速度合成衍生出相速度问题
整行程问题重分支
二破题密钥
相速度问题中代入公式进行计算速度两速度者差
三例题精析
● 题型：相遇追型
核心公式
相遇问题：相遇距离＝（速度+速度）×相遇时间
追问题：追距离＝（速度速度）×追时间
背离问题：背离距离＝（速度+速度）×背离时间
例 1(江苏 2013C31)甲乙两分 AB 两时出发相行匀速前进
果定速度前进4 时相遇果时原计划少走 1 千米5 时相
遇甲乙两距离？（ ）
A40 千米 B20 千米 C30 千米 D10 千米
例 2（河北 201343）猎豹锁定距离 200 米远羚羊 108 千米／
时速度发起进攻2 秒钟羚羊意识危险 72 千米／时速度快速逃命问
猎豹捕捉羚羊时羚羊跑少路程？（ ）
A 520 米 B 360 米 C 280 米 D 240 米
例 3（ 重庆 201393）保持赛道清洁隔 10 分钟会辆清扫车起点出发
匀速清扫赛道甲乙两名车手分驾驶电动车行车考察赛道甲隔 5 分钟追辆
清扫车隔 20 分钟辆清扫车追乙问甲速度乙少倍？（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6 ● 题型二：环形运动型
核心公式
反运动：第 N 次相遇路程 N 周长环形周长（速度+速度）×相遇时间
运动：第 N 次相遇路程差 N 财长环形周长（速度速度）×相遇时间
例 4（江苏 2011B 类90）甲乙两运动场起点时出发甲跑速度
200 米分钟乙步行甲第 5 次超越乙时乙正走完第三圈 1 分钟时甲
乙前方少米？
A 105 B 115 C 120 D 125
例 5（北京 201377）甲乙长 400 米环形跑道匀速跑步两时
点出发相行第次相遇位置距离出发点 150 米路程两时点出
发行问跑快第次追时跑少米？（ ）
A 600 B 800 C 1000 D 1200
● 题型三：流水行船型
核心公式
流路程 流速度×流时间 (船速+水速)×流时间
逆流路程 逆流速度×逆流时间 (船速水速)×逆流时间
例 6 (江苏 2013B92)长江游 A 港游 S 港相距 270 千米轮船恒定速度
A 港 S 港需 675 时返回需 9 时长江水流速度
A7 千米时 B6 千米时
C5 千米时 D45 千米时
例 7（ 四川 201354）艘货船第次流航行 420 千米逆流航行 80 千米
11 时第二次样时间流航行 240 千米逆流航行 140 千米问水流速度
少千米时
A12 B16 C20 D24
第 17 讲 公式
题型评述
问题般涉图形边长周长面积表面积体积等相关变量中
基础类题型关规基图形（三角形长方形正方形圆形扇形球形
柱形锥形等）直接计算问题类题型般应该直接利公式进行求解整
问题基础
二破题密钥
定位相应公式直接代入求解 三例题精析
● 题型：长度
周长核心公式
正方形 C 正方形4a长方形 C 长方形2（a+b）圆形 C 圆2π R扇形 C 扇形 n
360°
2π R
例 1（国家 2013－62）阳光电线杆影子投射墙面面中墙面部分
高度 1 米面部分长度 7 米甲某身高 18 米时刻面形成影子长 09
米该电线杆高度：（ ）
A 12 米 B 14 米 C 15 米 D 16 米
● 题型二：面积
面积核心公式
正方形 S 正方形a2菱形（包括正方形）面积等角线积半长方形 S 长方形ab
圆形 S 圆π R2三角形 S 三角形 1
2
ah＝ absinC行四边形面积 S 行四边形ah
梯形面积 S 梯形 （a+b）h 扇形面积 S 扇形 π R2
正方体表面积6a2
长方体表面积2ab+2bc+2ac 球表面积4π R2π D2
例 2（ 重庆 201388）正方形铁片面积 1 方米剪出
圆然圆中剪出正方形问新正方形面积原正方
形面积少？（ ）
A14 方米 B12 方米
Cπ 8 方米 Dπ 16 方米
例 3（ 北京 201473）正方形草坪正中长方形池塘池塘周长草坪
半面积池塘外草坪面积 13池塘长宽？
A 11 B 21 C 41 D √2(2√2)
例 4(广州 201335)右图示长方形场分割成 4
块长方形区域进行分区活动测量知区域 ABC 面积分 15
2736 方米块长方形场总面积（ ）方米
A 84 B 92 C 98 D 100
● 题型三：体积
体积核心公式
正方体体积a3长方体体积abc球体积 4
3
π R3
棱柱圆柱体积Sh 棱锥圆锥体积 1
3 Sh
例 5（陕西 201385）边长 1 木质正方体削余部分成
木质圆球削部分体积（ ）
A π
6
B1 1
6
π C 1
16
π 2 D1 1
16
π 2
例 6（海 2013B65）圆柱形容器放长方体铁块现开水龙头
容器中注水 3 分钟时水恰没长方体铁块顶面 18 分钟容器注满
水已知容器高 50 厘米长方体铁块高 20 厘米长方体铁块底面面积圆
柱形容器底面面积（ ）
A56 B 34 C23 D 12
第 18 讲 割补移
题型评述
节涉图形规范图形直接代入公式求解
然数学运算题型中相题型规范者利公式
求解较麻烦时候需利割补移方法求解
二破题密钥
割补移三种基操作组合操作解答节题型关键
三例题精析
例 1（海 2013A62）图工厂道路面图
天班保卫科长 P 点处开始重复道路检查圈
分钟走 70 米中间停留走圈需（ ）
A 24 分钟 B 19 分钟
C 18 分钟 D 15 分钟
例 2（深圳 2012－9）正方形画中两正方形三
正方形具公顶点样正方形分割成正方形区域甲 L 形区
域乙丙已知三块区域甲乙丙周长 4∶5∶7区域丙
面积 48求正方形面积（ ）
A 96 B 98 C 200 D 102
例 3(广州 201331)右图示块长 100 米宽 30 米长方形
空需铺草皮空中间预留条宽 2 米走道铺设水泥板已知草皮
方米 50 元水泥板方米 40 元草皮水泥板均切割拼装购买铺完
块空需水泥板草皮需花费（ ）元
A 147440 B 147400 C 146860 D 146820
例 4（海 2013B62）图示ABCDEF 圆六等分圆接正三角形已知阴影部分面积 100 方米圆面积（ ）
A 180 方米 B 200 方米
C 220 方米 D 240 方米
第 19 讲 赛问题
题型评述
赛问题种非常灵活考试题型涉循环赛淘汰赛计分场次胜负等
综合概念
二破题密钥
循环赛：N 支队伍进行循环赛支队伍意队伍进行场赛支队伍
需进行N1 场赛场赛2队伍进行总场次应该N×(N1)2
淘汰赛：场赛淘汰支队伍轮赛淘汰半队伍（果总数偶数
说 13 支队伍淘汰 6 支队伍留 7 支队伍）
三例题精析
例 1（秋季联考 201336甘肃 201331）某高校组织篮球赛中机械学院队
外语学院队材料学院队理学院队分组两队间进行场赛
局结果机械学院队赢理学院队机械学院队外语学院队材料学院队胜利场数
相理学院队胜少场？（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
例 2（北京 201376）张王刘李四进行象棋赛两间赛局
已知张胜两局王三局问刘李加起胜局？（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
例 3（国考 201472）某羽毛球赛 23 支队伍报名参赛赛事安排 23 支队伍抽签
两两争夺轮出线权没抽手队伍轮空直接进入轮次羽毛球
赛会遇少次轮空情况？（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
例 4（ 北京 201484）某单位组织羽毛球男单赛 48 名选手报名参加赛
采淘汰赛制赛中负场选手淘汰直决出冠军名选手天
参加场赛赛少需举行天？
A 4 B 5 C 6 D 7
例 5（山东 201358）某单位举办象棋赛规胜场 4 分负场1 分
场分轮赛中参赛员 100 两两配分別赛总分
126 分问该轮赛中局少场？
A4 B8 C12 D16 第 20 讲 济利润
题型评述
日常济生活中常会碰关收入成利润相关问题类问
题贴生活够考察考生综合素质成历年考题热点重点
二破题密钥
题型三重点：
1 利润率定义计算公式：利润率＝利润÷成＝（售价成）÷成
2 折扣概念：二折现价原价 20九折现价原价 90
3 绝部分济利润问题应该通方程者方程组解答
三例题精析
例 1（春季联考 201351）某产品售价 671 元采新技术生产节约 10成
售价变利润原翻番问该产品初成少元？（ ）
A 512 B 549 C 61 D 625
例 2（北京 201474）某件商品果九折销售利润原价销售时 23：果
八折降价 50 元销售利润原价销售时 14该商品果八八折销售利润
少元？
A 240 B 300 C 360 D 480
例 3（江苏 2013C35）某单位商店订购定价 100 元商品 80 件单位订货员商
店理提出：果商店肯降价降价 1 元单位订购 4 件商店理算
降价 5订货员订货获利润反原利润 100 元该商品件成
？
A71 元 B70 元 C68 元 D67 元
例 4（国家 2013－65）某种汉堡包成 45 元售价 105 元天卖完汉
堡包出售十天里餐厅天会准备 200 汉堡包中六天正卖完
四天剩余 25 问十天该餐厅卖汉堡包赚少元？（ ）
A 10850 B 10950 C 11050 D 11350
例 5（国考 201474）两学需托运行李托运收费标准 10 公斤 6 元／公斤
超出 10 公斤部分公斤收费标准略低已知甲乙两托运费分 1095 元78 元
甲行李乙重 50超出 10 公斤部分公斤收费标准 10 公斤低少
元？
A 15 元 B 25 元 C 3 5 元 D 4 5 元
例题答案
例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 第 01 讲 C B A D B
第 02 讲 C B C B D C
第 03 讲 B A A A D B
第 04 讲 A D B C B
第 05 讲 B B B C B A D
第 06 讲 C D D D B
第 07 讲 C C A B C B
第 08 讲 C B B A A
第 09 讲 D B A B C D
第 10 讲 A C B C C A B D C B
第 11 讲 D B D C A D
第 12 讲 D B A A B B C A
第 13 讲 A B B D C
第 14 讲 D D B B D B B D
第 15 讲 C A C C
第 16 讲 A C D D C C C
第 17 讲 C B A C B B
第 18 讲 C B A B
第 19 讲 D B B C B
第 20 讲 C C B B A
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第 01 讲 直接代入
题型评述
数学运算试题四选客观单项选择题选项直接代入进行验证显然种准
确高效易操作重方法试题正面求解相困难结合选项相
容易答案选项永远整试题机组成部分孤立题干忽略选项考生答题
时误区
二破题密钥
直接代入法广泛运位数问题定方程问题余问题年龄问题周期问
题复杂行程问题差倍问题等等种方法仅单独达招制胜效果
方法进行结合
三例题精析
例 1（ 深圳 201347）王旅行箱密码 3 位数三数字全非 0 偶数
三位数恰王年年龄方数王年（ ）岁
A 17 B 20 C 22 D 34
例 2（浙江 201350）某市场运苹果香蕉柚子梨四种水果中苹果柚子
30 吨香蕉柚子梨 50 吨柚子占水果总数 14运水果少吨？( )
A 56 吨 B 64 吨 C 80 吨 D 120 吨
例 3(江苏 2013B91)三位数 A 51商 a（a 正整数）余数商半
A 值
A 927 B 928 C 929 D 990
例 4（山东 201362）甲乙两仓库放集装箱干第天甲仓库移出乙仓
库集装箱总数样集装箱乙仓库第二天乙仓库移出甲仓库集装箱总数样
集装箱甲仓库循环第四天甲乙两仓库集装箱总数 48 问甲仓
库原少集装箱？
A 33 B 36 C 60 D 63
例 5（河北 201344）金鱼缸现已注满水中三假山第次
假山沉入水中第二次假山取出中假山沉入水中第三次中假山取出假
山假山起沉入水中现知道次金鱼缸中溢出水量情况：第次第二次
13第三次第二次 2 倍问三假山体积（ ）
A 1∶3∶5 B 1∶4∶9 C 3∶6∶7 D 6∶7∶8 第 02 讲 倍数特性
题型评述
倍数特性法种特殊代入排法代入排法中重容种
方法通正确答案应该满足某种倍数特性直接锁定答案熟练运方法关键
点牢牢掌握种倍数关系性质判定方法
二破题密钥
①248 整余数判定基法
1 数 2（ 5）整仅末位数 2（ 5）整
2 数 4（ 25）整仅末两位数 4（ 25）整
3 数 8（ 125）整仅末三位数 8（ 125）整
②39 整余数判定基法
1 数 3 整仅位数字 3 整
2 数 9 整仅位数字 9 整
③7 整判定基法
1 数 7 倍数仅末位两倍剩数差 7 倍数
2 数 7 倍数仅末三位数剩数差 7 倍数
示例∵362 末位2 2 倍36差32 7 整 ∴362 7 整
示例∵12047 末三位04712差35 7 整 ∴12047 7 整
④11 整判定基法
1 数 11 倍数仅奇数位偶数位做差 11 倍数
示例∵7394 奇数位7+9＝16偶数位3+4＝7做差167＝9
11 倍数 ∴7394 11 整
三例题精析
● 题型：直接倍数
例 1（海 2011A61）某收集邮票干张中 14 2007 年前国外
发行邮票18 2008 年国发行119 2009 年国发行外尚足 100 张
国外邮票该（ ）张邮票
A 87 B 127 C 152 D 239
例 2（2011 年 424 联考43）某单位招录 10 名新员工应聘成绩排名 1
10 10 连续四位然数次作工号凑巧工号
成绩排名整问排名第三员工工号数字少（ ）
A 9 B 12 C 15 D 18
● 题型二：子倍数
例 3（北京 201475）甲工厂天生产零件数乙工厂 15 倍 40 乙工
厂天生产零件数甲工厂半 20 两工厂天生产少零件？
A 400 B 420 C 440 D 460
例 4（2012 年 421 联考－61）某公司三名销售员 2011 年销售业绩：甲销
售额乙丙销售额 15 倍甲乙销售额丙销售额 5 倍已知乙销售额 56
万元问甲销售额：（ ）
A 140 万元 B 144 万元 C 98 万元 D 112 万元
● 题型三：例倍数
核心提示
()a b m n m n 互质 说明 a 占 m 份 m 倍数b 占 n 份 n 倍数
a+b 占 m+n 份 m+n 倍数ab 占 mn 份 mn 倍数
例 5（广州 201326）少年宫学美术舞蹈唱歌专业学生 90 美术
舞蹈专业学生例 2∶3舞蹈唱歌专业学生例 3∶4学生数专业
少？
A 25 B 30 C 35 D 40
例 6（ 2012 年 915 联考－49）甲乙两种商品价格 3∶5果价格分
降 50 元价格 4∶7两种商品原价格（ ）
A 300 元 500 元 B 375 元 625 元
C 450 元 750 元 D 525 元 875 元
第 03 讲 化
题型评述
果试题中没涉某具体量具体量影响终结果
时候化法量设某利计算数值简化计
算种方法设 1 法者设 1 思想
般工程问题混合配问题加权均问题流水行船问题返行程问
题问题济利润问题差倍问题等等诸问题中化法
二破题密钥
化法中般设1设中某量公倍数
避免分数简化计算
三例题精析
例 1（ 重庆 201390）甲乙两烧杯装盐水甲杯中盐水质量乙杯 2
倍甲杯盐水浓度乙杯 12两烧杯中盐水混合盐水浓度甲杯
浓度少倍？（ ）
A 32 B 43 C 65 D 76
核心提示
化法时家困惑：什样量便设什样量行？总说某类量题目中关重时便便设方便计算数字
样量般需满足两条件：
1 首先类量题目中没提具体数字
2 次类量通具体数字量计算
面两条件非常抽象举例子简单譬行程问题中想假设某
速度 1必须次满足两条件：
1 题目中没提速度具体数字
2 题目中没时提路程时间具体数字知道两类量
计算出速度具体
题目中路程者时间具体时假设速度 1 者数字
会影响结果理济利润问题中果题目中单价具体数字没件数
总价具体数字假设某件数 1者假设总价 1时
做两件事情
例 2（江苏 2013A33）现需购买三种调料加工成种新调料三种调料价格分
千克 20 元30 元60 元果购买三种调料花钱样千克调料成
A30 元 B35 元 C40 元 D60 元
例 3（河北 201348）王收购台旧电视机然转手卖出赚取 30利润
1 月客户求退货王客户达成协议时交易价格 90回收台电视机
王初收购价格卖出问王台电视机交易中利润率（ ）
A 13 B 17 C 20 D 27
例 4（ 新疆 201344）甲乙两家高科技公司合持甲公司 30股份陈先生
合持新公司股份 12赵先生拥甲公司 15股份乙公司 5股份合
公司中拥少例股份？（ ）
A 9 B 10 C 11 D 12
例 5（广州 201330）某社区服务中心月均居民进行社区工作满意度调查
发现2 月份居民满意度 85 分 1 月份升 203 月份居民满意度
2 月份降 20 3 月份居民满意度 1 月份相（ ）
A 两月持 B 3 月份 1 月份高 4
C 1 月份 3 月份高 4 D 3 月份 1 月份低 4
例 6（贵州 2012－40）某调查队男女队员数 3∶2分甲乙丙三
调查组已知甲乙丙三组数 10∶8∶7甲组中男女队员数 3∶
1乙组中男女队员数 5∶3丙组中男女队员数（ ）
A 4∶9 B 5∶9 C 4∶7 D 5∶7 第 04 讲 例假设
题型评述
前面化法中学题目中某未知量影响终结果时方
便计算设某特殊值简化计算
然题目中然非常希假设中某量方便计算数值意
假设会题干中某已知数字矛盾时例假设法
二破题密钥
假设数字会已知条件矛盾然强行假设某数字然
推出矛盾双方间倍关系例放者缩
三例题精析
例 1（广东 2012－8）某企业员工定制工作服请服装公司裁缝量体裁衣裁缝
时 52 名男员工 35 名女员工量体时刚量完女员工尺寸时
24 名男员工没量体男女员工例 117该企业少名员工？（ ）
A 720 B 810 C 900 D 1080
例 2（北京 201275）商场销售某种商品加价幅度进货价 40现商场决定
加价幅度降低半促销商品售价前降低 54 元问该商品原售价少元？
A 324 B 270 C 135 D 378
例 3（海 2013A60）某高速公路收费站车辆收费标准：型车 30 元
辆中型车 15 元辆型车 10 元辆某天通收费站型车中型车数量 5∶
6中型车型车数量 4∶11型车通行费总数型车 270 元天
收费总额（ ）
A 7280 元 B 7290 元
C 7300 元 D 7350 元
例 4(江苏 2013B87)甲乙丙三商城购物甲花钱 12 等乙花钱
13乙花钱 34 等丙花钱 47结果丙甲花 93 元三花钱
（ ）？
A 432 元 B 422 元 C 429 元 D 430 元
例 5（浙江 201357）总额 100 万项目分甲乙丙丁四公司
完成甲乙丙丁分项目额例 12131416请问甲分项目额少
万？( )
A 35 万 B 40 万 C 45 万 D 50 万 第 05 讲 工程问题
题型评述
工程问题研究工作量工作时间工作效率间关系年考题中重常
考重点题型
二破题密钥
基础公式：工作量工作时间工作效率
核心思想：化法（设1法）例假设法
三例题精析
● 题型：基础计算型
例 1（天津 20139）某项工程计划 300 天完工开工 100 天施工员减少
工作效率降 20问完成该项工程原计划推迟少天？（ ）
A 40 B 50 C 60 D 70
例 2（安徽 20119）某工厂生产组工岗位工作9 时
完成项生产务果交换工甲乙岗位变提前 1 时完成务
果交换工丙丁岗位变提前 1 时完成务果时交换甲
乙丙丁岗位变提前少时完成？（ ）
A 14 B 18 C 22 D 26
● 题型二：时合作型
例 3（ 重庆 201399）甲乙丙三完成项工程 6 时果甲乙
效率 1∶2乙丙效率 3∶4乙单独完成项工程需少时？（ ）
A 10 B 17 C 24 D 31
例 4（山东 201361）2 台型收割机 4 台型收割机天收完全部麦 310
8 台型收割机 10 台型收割机天收完全部麦果单独型收割机单
独型收割机进行较天收完麦型收割机型收割机少台
A 8 B 10 C 18 D 20
● 题型三：交合作型
核心提示
交合作型工程问题新考查重点题型考生易错难点题型
合作交性简单基础公式进行计算注重工作周期性
例 5（2010 年 425 联考94）单独完成某项工作甲需 16 时乙需 12 时
果甲乙甲乙……序轮流工作次 1 时完成项工作需长时
间（ ）
A 13 时 40 分钟 B 13 时 45 分钟 C 13 时 50 分钟 D 14 时 ● 题型四：撤出加入型
例 6（ 四川 201360）建筑公司安排 100 名工修某条路工作 2 天抽调 30 名
工工作 5 天抽走 20 名工总时十二天修完果整条路希 10 天
修完中途增减手安排少名工
A 80 B 90 C 100 D 120
● 题型五：两项工程型
例 7（国考 201475）甲乙两工程队完成 A B 两项目已知甲队单独完
成 A 项目需 13 天单独完成 B 项目需 7 天乙队单独完成 A 项目需 11 天单独完成 B 项目
需 9 天果两队合作短时间完成两项目天两队需工作长时间
完成务？（ ）
A 112 天 B 19 天 C 17 天 D 16 天
第 06 讲 十字交叉
题型评述
十字交叉法数学运算题中种典技巧符合条件试题秒杀
效果
二破题密钥
十字交叉法实际种简化方程形式符合图左边方程形式
右边十字交叉形式简化：
()A r bAa Bb A B r B a r
A
B
a
b
r
ar
rb
è A
B ar
rb
考生疑惑种题型十字交叉法知道例两量例
时列出面形式式子判断然时积累果考场法判断
话建议种方法直接列方程更快更准确
三例题精析
例 1（山东 201360）某单位职工 72 年底考核均分数 85 分根考核分
数90 分职工评优秀职工已知优秀职工均分数 92 分职工均分
数 80 分问优秀职工数少？
A 12 B 24 C 30 D 42
核心提示
十字交叉法时候点技巧非常重计算
例应该算实际数值
譬例中例 5：7然需原题中实际数字：果原题中告诉优秀员工 15 正 5 3 倍 57 例分子分母
时 3 15：21果原题中告诉员工 56 正 7 8 倍
5：7 例分子分母时 8 40：56事实原题两者
725：7 例分子分母 12 72 六分应该 5：7
例分子分母时 6 30：42两数字分两部分实际数字
例 2(甘肃 201326)甲乙两种商品原单价 100 元市场变化甲商品
降价 10乙商品提价 40调价两种商品单价原单价提高 20乙商品
提价少元？（ ）
A 40 B 60 C 36 D 84
例 3（江苏 2013B90） 100 克溶液第次加入 20 克水溶液浓度变成 50
第二次加入 80 克浓度 40种溶液溶液浓度变？（ ）
A45 B47 C48 D46
例 4（海 2013A63）某养鸡场计划购买甲乙两种鸡苗 2000 进行饲养已
知甲种鸡苗 2 元乙种鸡苗 3 元相关资料表明：甲乙两种鸡苗成活率
分 94 99批鸡苗成活率低 96买鸡苗总费
应选购甲乙两种鸡苗（ ）
A 500 1500 B 800 1200
C 1100 900 D 1200 800
例 5（国考 201464）烧杯中装 100 克浓度 10盐水次该烧杯中加入
超 14 克浓度 50盐水问少加少次烧杯中盐水浓度达 25？（假设
烧杯中盐水会溢出）（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3
第 07 讲 极端思维
题型评述
极端思维日常生活学工作中普遍运思维方式年考题
热点容量相关考题出现年试卷中位考生务必引起足够重视
二破题密钥
试题中出现少少快
慢高低等字样时通常需考虑极端思维法需分析题意
构造出满足题意求极端情形质讲极端思维种构造设定法
三例题精析
例 1（江苏 2013A27）5 名学生参加某学科竞赛 91 分已知分相
高 21 分低分低少？（ ）
A 14 B 16 C 13 D 15
例 2（国考 201465）某连锁企业 10 城市 100 家专卖店城市专卖
店数量果专卖店数量排名第 5 城市 12 家专卖店专卖店数量排名
城市家专卖店？（ ）
A 2 B 3 C 4 D 5
例 3（河北 2012－42） 21 棵桃树栽街心公园里 5 处面积草坪果
求块草坪必须树栽棵数面积相面积草坪少栽
棵（ ）
A 7 B 8 C 10 D 11
例 4（春季联考 201346）60 名员工投票甲乙丙三中评选佳员工选举
时投票选举票选开票中途累计前 30 张选票中甲 15
票乙 10 票丙 5 票问尚未统计选票中甲少少票定选？（ ）
A 15 B 13 C 10 D 8
例 5（浙江 201258）班里 30 名学生 12 会跳拉丁舞 8 会跳肚皮
舞 10 会跳芭蕾舞问会跳两种舞蹈？
A12 B14 C15 D16
例 6（ 深圳 201346）偷藏匿某商场三名保安甲乙丙分头行动搜查商场
100 家商铺已知甲检查 80 家乙检查 70 家丙检查 60 家三检查
商铺少（ ）家
A 5 B 10 C 20 D 30
第 08 讲 基方程
题型评述
方程方程组解答文字应题重工具数学运算试题需
应该方程方法解答样会耗量精力然着相部分
问题采方程法简单果数学运算第重方法方程法
愧
二破题密钥
数学运算部分题型方程法解答中盈亏问题鸡兔
笼问题差倍问题牛吃草问题般应该方程法外
济利润问题浓度问题年龄问题行程问题等差数列均数问题容
斥问题工程问题等等题型中相部分试题需利方程求解
三例题精析
● 题型：巧设未知数
核心提示 设未知数时候应该首先考虑未知数设出便理解便表示量便列
出方程某情况定直接设求量设中间量 x设某种倍数
关系（ 12x5x 等）未知数消方程中分数形式
例 1甲乙丙丁 48 书原基础做变动：甲增加 3
乙减少 3 丙增加原 3 倍丁减少原 13时四书样原书
（ ）书
A18 B24 C27 D36
例 2（北京 201380）某服装果降价 200 元 8 折出售件亏 50 元
果直接 6 折出售赚亏果销售该服装想获 100利润需原价
基础加价少元？（ ）
A 90 B 110 C 130 D 150
例 3（海 2013A58）某公司针 ABC 三种岗位招聘 35 中胜 B
岗位数等胜 C 岗位数 2 倍胜 A 岗位数兼职岗位
1 胜岗位群中半胜 A 岗位招聘 35 中兼
职岗位（ ）
A 10 B 11 C 12 D 13
● 题型二：快速解方程
核心提示
样列出方程考生快解答案考生着方程头痛求解方程（组）
身技巧包括限：
1 方程中数分数计算复杂时应首先考虑两边数化整数
2 方程组中存未知数量消关未知数保留关心未知数
3 方程组中关未知数完全作整体直接消
4 例型方程形式化简方法
例 4（海 2012A64）某农场批米需运市中心超市销售现租辆
货运卡车第次运走总数五分 60 袋第二次运走总数四分少 60
袋剩 220 袋没运走批米_____袋
A．400 B．450 C．500 D．640
核心提示
方程出现例形式时候通面转换进行简化：
1 a
b
c
d
Þ a
b
c
d
a+c
b+d
ac
b d
（两分子两分母差常数时）
2 a
b
c
d
Þ a±b
b
c±d
d
Þ a
b±a
c
d ±c
（分数分子分母差常
数时）
例 5（国考 201466）某单位原 45 名职工级单位调入 5 名员职工该单位员数占总数重升 6 百分点果该单位 2 名职工入该
单位现员数占总数重少？（ ）
A 50 B 40 C 70 D 60
第 09 讲 定方程
题型评述
解题程中常会遇含 1 未知数方程遇含 2 未知数
2 方程方程组者 3 未知数 3 方程方程组方程者方程组般确定
解然遇 2 未知数 1 方程等式者 3 未知数 2 方程
等式等等样形式称定方程者定方程组种题型考察够
突出体现应试者数字控逻辑素质成新考题热点
二破题密钥
元定方程组：特值代入法
二元定方程：代入试值法
三例题精析
● 题型：元定方程组
核心提示
方程组中方程数果少未知数数没譬整数类限制
说明未知数完全确定种情形般直接设定种特殊情
况（譬假设中 1 未知数 0）简化计算程
例 1（ 深圳 201111）刚买 3 支钢笔1 笔记2 瓶墨水花 35 元钱强
家店买样 5 支钢笔1 笔记3 瓶墨水花 52 元钱买 1 支钢笔1 笔
记1 瓶墨水需（）元
A9 B12 C15 D18
例 2（江苏 2013A26）项工程甲乙合作 12 天完成乙丙合作 9 天丙丁
合作 12 天完成果甲丁合作完成项工程需天数？
A 16 B 18 C 24 D 26
例 3某工程甲队单独做需天数乙丙两队合作天数 a 倍乙队单独需天
数甲丙两队合作天数 b 倍丙队单独做需天数甲乙两队合作天数 c 倍
1
1
1
1
1
1
cba
值（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
● 题型二：二元定方程
核心提示 果两未知数方程关系（者方程组化成种形式）两未知数
完成确定果未知数限定正整数范围便利整数
倍数关系范围进行代入试值利类似枚举办法确定唯满足题目求解
题型元定方程组题型二元定方程区：前者方程具
体解唯确定种解题目求数字确定者直接方程
解确定加正整数类似条件解唯确定
例 4（山东 201354）某单位希工程捐款中部门领导捐 50 元普通员
工捐 20 元该单位员捐款 320 元已知该单位总数超 10 问该单位
名部门领导？（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
例 5（国考 201473）王李张周 4 某希学捐赠 25 书
包数量少序分王李张周已知王捐赠书包数量李
张捐赠书包数量李捐赠书包数量张周捐赠书包数量问
王捐赠少书包？（ ）
A 9 B 10 C 11 D 12
例 6（ 北京 201481）张购买 2 苹果3 根香蕉4 面包 5 块蛋糕消
费 58 元果四种商品单价正整数相块蛋糕价格高少
元？
A 5 B 6 C 7 D 8
第 10 讲 容斥原理
题型评述
容斥原理种历年常考题型出现频率高题目难度中等广考生分
重点
二破题密钥
节讲述容斥原理五种题型分五种思路解答首
先懂题型区分样选合适方法
两集合容斥原理：
1 果题目涉样五量①满足条件 A 数目②满足条件 B 数目③时满
足条件 A B 数目④条件 AB 满足数目⑤总数选两集合标准
型标准公式作答
2 果题目涉满足条件 A 数目者满足条件 B 数目标准公
式法解答般选两集合图示标数完成答题
三集合容斥原理：
1 关满足两条件描述果题目涉①满足条件 AB 数目②满足条件 B
C 数目③满足条件 CA 数目般选三集合标准型标准公式作答
2 果题目涉满足条件 AB 数目般选三集合图示标数作答 3 果题目涉满足条件数目满足两条件数目
总数分项数字般选三集合整体重复型公式作答
三例题精析
● 题型：两集合标准型
核心公式
满足条件 I 数+满足条件 II 数两者满足数总数两者满足
数
例 1（浙江 201354）某班 50 名学生进行体检 20 视12 超重4
视超重该班少视超重？( )
A 22 B 24 C 26 D 28
例 2（天津 201312） 70 名学生参加数学语文考试数学考试 60 分
56 语文考试 60 分 62 格 4 两门考试 60 分
少？（ ）
A 50 B 51 C 52 D 53
● 题型二：两集合图示标数型
核心公式
涉两集合容斥原理问题时果题目提满足某 1 条件数目
法通标准两集合容斥原理公式答案时推荐家利简洁文氏
图标数求结果
图示标数关键：中间两条件满足数字入手
例 3（北京 201373）批游客中 AB 两景点中少 A
游客没 A 游客数量相两者两景点数 3 倍
景点数占游客总数重（ ）
A 23 B 34 C 45 D 56
例 4（国考 201467）工厂组织职工参加周末公益活动 80职工报名参加报
名参加周六活动数报名参加周日活动数 2：1两天活动报名参加
数报名参加周日活动数 50问未报名参加活动数报名参加周六活动
数？
A 20 B 30 C 40 D 50
● 题型三：三集合标准型
核心公式
特注意：式左边代表少满足三条件情况等总数减三条件
满足情况
例 5（安徽 201115）图示：ABC 分面积 60170
150 三张形状卡片部分重叠放起盖桌面总盖住
面积 280 A BB CC A 重叠部分面积分 226035
问阴影部分面积少？（ ）
A15 B16 C17 D18
例 6（ 2012 年 421 联考－54）某公司招聘员工规定投考两职位
结果 42 报名甲乙丙三职位报名数分 22 16 25 中时报
甲乙职位数 8 时报甲丙职位数 6 时报乙丙职位数
：
A 7 B 8 C 5 D 6
● 题型四：三集合图示标数型
核心点
题目条件直接代入标准公式时考虑利图示配合标数解答
1 特注意满足某条件仅满足某条件区分
2 特注意没三条件满足情形
3 标数时注意中间外围标记
例 7外语学校英语法语日语教师 27 中教英语 8
教日语 6 教英日语 5 教法日语 3 教英法语 4
三种教 2 教法语少（ ）
A4 B5 C6 D7
● 题型五：三集合整体重复型
核心公式
三集合题型中假设满足三条件元素数量分
ABC少满足三条件元素总量 W中：
满足条件元素数量 x满足两条件元素数量 y
满足三条件元素数量 z根右图面两等式：
1 2 3
W x y z
A B C x y z
图中明显出x y 分包含 3 部分 3 部分总
题目关心样总单独部分数值时应该两公式
例 8（陕西 201378）五年级班 55 学生暑假期间参加特长培训班
35 参加书法班28 参加美术班31 参加舞蹈班中三种特长培训班参加
6 （ ）参加种特长培训班
A45 B33 C29 D22
例 9（北京 201480）某旅行团 48 名游客报名参观三景点中少
中参观景点数少参观两景点数相参观三景点
AC
B数 4 倍需游客购买少张景点门票？
A 48 B 72 C 78 D 84
例 10（春季联考 201342） 100 参加运动会三赛项目少参加
项中未参加跳远 50 未参加跳高 60 未参加赛跑 70 问少
少参加止项目？（ ）
A 7 B 10 C 15 D 20
第 11 讲 排列组合
题型评述
毫疑问排列组合广考生头疼难点题型次必考重点
题型否部分突破终否取高分关键
二破题密钥
排列公式： An
m n
(nm) n´(n1)´(n 2)´ ´(n m+1)
组合公式：Cn
m n
(n m)´m n´(n1)´(n2)´ ´(n m+1)
m´(m1)´(m2)´ ´1
逆公式：满足条件情况数＝总情况数满足条件情况数
三例题精析
● 题型：基础公式型
例 1（ 浙江 201254）南阳中学语文教师 8 名数学教师 7 名英语教师 5 名体
育教师 2 名现四科教师中选出 1 名教师参加培训问种选法？
A96 B124 C382 D560
例 2（海 2013A61）甲乙天直达班车 4 班甲丙天直
达班车 5 班丙乙天直达班车 3 班甲乙（ ）车
法
A 12 种 B 19 种 C 32 种 D 60 种
● 题型二：分类讨型
例 3（秋季联考 201334）某单位职工 15 中业务员 9 现整单
位选出 3 参加培训求中业务员数少非业务员数问少种
选方法？（ ）
A 156 B 216 C 240 D 300 ● 题型三：分步计算型
例 4（秋季联考 201333）某科室 8 现需抽出两 2 组
级单位检查工作问少种安排方案？（ ）
A 210 B 260 C 420 D 840
例 5（国考 201471）次会议某单位邀请 10 名专家该单位预定 10 房间
中层 5 间二层 5 间已知邀请专家中 4 求住二层3 求住层余 3 住
层均满足住房求 1 间少种安排方案？（
）
A 43200 B 7200 C 450 D 75
● 题型四：逆计算型
例 6（天津 201313） 1—9 组成 3 位数肯定数字重复组合少种？
（ ）
A 220 B 255 C 280 D 225
第 12 讲 概率问题
题型评述
概率问题类排列组合衍生出新题型种题型基排列组合
特征知识点年考试新热点题型
二破题密钥
概率＝满足条件情况数÷总情况数
三例题精析
● 题型：基础计算型
例 1（春季联考 201349）某种密码锁界面组汉字键重复遗漏
次界面汉字开中种序正确次密码锁进行
破解成功率万分密码锁界面少设置少汉字键？（ ）
A 5 B 6 C 7 D 8
● 题型二：分步法型
核心提示
分步概率＝满足条件步骤概率积
例 2（北京 201374） 4 数字(09 间整数)组成密码连续两位
相问意猜符合该规律数字组合猜中密码概率（ ）
A15040 B17290 C19000 D110000
例 3（ 2012 年 915 联考－48）甲某电话时忘记方电话号码位数字
记数字0甲某尝试数字代位数字恰第二次尝试成功概
率（ ）
A 19 B 18 C 17 D 29
● 题型三：分类加法型
核心提示
总体概率＝满足条件种情况概率
例 4（ 新疆兵团 201357）甲乙两进行乒乓球赛赛采取三局两胜制
方先胜两局赛结束甲局获胜概率 23乙局获胜概率 13问甲
取胜概率少？（ ）
A2027 B23 C49 D827
例 5（春季联考 201354）某次抽奖活动三箱子中均放红黄绿蓝紫
橙白黑 8 种颜色球奖励规：三箱子中分摸出球摸出 3
球均红球等奖摸出 3 球中少绿球二等奖摸出 3 球均
彩色球(黑白外)三等奖问中奖概率少（ ）
A 0~25％间 B 25~50％间
C 50~75％间 D 75~100％间
● 题型四：逆计算型
核心公式
某条件成立概率＝1－该条件成立概率
例 6（山东 201357）桌子中编号 110 10 球次中抽出 1 记
放回重复 3 次 3 次记球编号积 5 倍数概率少？
A432 B488 C512 D568
● 题型五：拓展技巧型
例 7（浙江 2009 52）孙口袋里四颗糖颗巧克力味颗果味两
颗牛奶味孙意口袋里取出两颗糖说中颗牛奶味问孙
取出颗糖牛奶味性（概率）少？
A 13 B14 C 15 D 16
例 8（吉林 2012 乙－7）某军训部队靶场进行射击训练队员甲次射击命
中率 50队员乙次射击命中率 80教练规定天训练规队员射
击直未中靶次停止射击队员甲天均射击次数（ ）
A 2 次 B 123 次 C 25 次 D 15 次 第 13 讲 溶液问题
题型评述
溶液问题种非常典型例型计算问题抓住溶液溶质溶
剂三者关系解题基础关键外出题溶液模型基础衍生出特殊
题型需专门技巧者总结公式高速效完成类题型便前考
查重点
二破题密钥
溶液＝溶质+溶剂浓度＝溶质÷溶液溶质＝溶液×浓度溶液＝溶质÷浓度
三例题精析
例 1（ 深圳 201355）化学实验中需现浓度 AB 两种氯化钠溶液
配置新浓度 15氯化钠溶液已知 A 溶液浓度 B 溶液 5 倍 50 克 A 溶
液 250 克 B 溶液混合完成配置 A 溶液浓度（ ）
A 45 B 40 C 35 D 30
例 2（天津 201310）甲容器浓度 3盐水 190 克乙容器中浓度 9盐
水干克乙容器中取出 210 克盐水倒入甲容器中甲容器中盐水浓度少？（ ）
A 545 B 615 C 735 D 595
例 3（安徽 2012－62）某状态 28g 某种溶质放入 99g 水中恰配成饱溶
液中取出 14 溶液加入 4g 溶质 11g 水请问时浓度变少？（ ）
A 2161 B 2205 C 2353 D 2415
例 4两相桶空杯子甲桶装牛奶乙桶装糖水先甲桶取出
杯牛奶倒入乙桶乙桶中取出杯糖水牛奶混合液倒入甲桶请问时甲桶
糖水乙桶牛奶？（ ）
A 法判定 B 甲桶糖水 C 乙桶牛奶 D 样
例 5（江苏 2012B89C30）某盐溶液浓度 20加入水溶液浓度变
15果加入样水溶液浓度变（）
A13 B125 C12 D10
第 14 讲 牛吃草
题型评述
牛吃草问题类典常考衰数学运算题型常方法公式法
方程法表格法三种方法质完全致
种题型源学奥数效做题方法学奥数中公式法
利核心公式通方程法解题实践中发现利表格法代方程然质样效率更高
里强烈推荐家表格法解答牛吃草问题节例题时配
方程法表格法请家利方程强化理解利表格迅速答题旦掌握
熟练请直接表格法解答
请务必耐心学开始会较郁闷掌握熟练意想效果中
题型：基公式型节重点家首先掌握部分知识
二破题密钥
核心公式： ()y N x T
1 y代表原存量（原草量）
2 N代表促原存量减少变量（牛数）
3 x代表存量然增长速度（草长速度）
4 T代表存量完全消失耗时间
三例题精析
● 题型：基公式型
表格法解题方法点津
首先明确题中第二种表格方法质第种方程方法
种简化形式操作程实际原解方程组程家时训练时候
定两种方法联合真正体会第二种方法精髓等熟练单独表格方
法旦遇疑问应该先列方程
面介绍表格位置数字含义：
N3 N3x T3
N1 N1x T1 N1×T1
N2 N2x T2 N2×T2
x右两项商 两项差 两项差
面第列代表牛吃草问题牛数第三列代表时间字母 NT 含义前
面公式中完全致
基础型牛吃草问题表格法具体操作步骤样：
1 面表格中带框 5 数字题目条件填进注意四细节
说列表法实际考试时候定画出表格表格位置写数
字行
第列填牛数第三列填时间中间空出列
已知两种情况填第二三行未知需求解种情况填第行
未知第行中 N3 未知 T3 已知 T3 位置填数
字 N3 位置空出
2 第二三行已四数字两两应相放第四列表示
3 步两数字相减放第四列行第三列两已知时
间相减放第三列行表示
4 步两数字相第四列数字第三列数字放第二列
行数字 x代表草长速度
5 第列三牛数减 x放第二列相应位置时前三行第二三列相应该样数值(N3x)×T3(N1x)×T1(N2x)×T2y
数值正原草量利条件便求出需变量
例 1（浙江 201257）某演唱会检票钱干分钟观众开始排队等候入场分
钟观众数样开始检票等候队伍消失时开 4 入场口需 50 分钟
时开 6 入场口需 30 分钟问果时开 7 入场口需分钟？
A18 分钟 B20 分钟 C22 分钟 D25 分钟
例 2船发现漏水时已进水水匀速进入船果 10 掏水3
时掏完 5 掏水8 时掏完果求 2 时掏完安排少掏水？
A11 B12 C13 D14
例 3（贵州 2012－73）某水库 10 泄洪闸 10 泄洪闸全部开时8
时水位警戒水位降安全水位开 6 泄洪闸时程 24 时水库
时入库量稳定问果开 8 泄洪闸时需少时水位降安全水位？
A 10 B 12 C 14 D 16
例 4（国家 2013－68）某河段中沉积河沙供 80 连续开采 6 月 60 连续
开采 10 月果保证该河段河沙开采枯竭问供少进行连续间断
开采？（假定该河段河沙沉积速度相稳定）
A 25 B 30 C 35 D 40
例 5（北京 201181）假设某森林资源增长速度定受然灾害
等影响年开采 110 万立方米开采 90 年年开采 90 万立方米开采
210 年片森林持续开发年开采少万立方米？（ ）
A 30 B 50 C 60 D 75
● 题型二：牛羊混吃型
核心提示
题目中牛羊时需全部转换牛者羊代入公式进行计算
例 6块草天草生长速度相现片牧草供 16 头牛吃 20 天
者供 80 羊吃 12 天果头牛天吃草量相 4 羊天吃草量片草
供 10 头牛 60 羊起吃少天？
A6 天 B8 天 C12 天 D15 天
● 题型三：然消亡型
核心提示
果解方程组算 x 负说明存量然增长然消亡
例 7（贵州 2012－44）天气干旱村委会决定抽水机抽取水库中剩余水浇
灌农田假天水库水均匀速度蒸发计算 20 台抽水机全力抽水水库
中水 5 周 16 台抽水机水库中水 6 周 11 台抽水机水库中水少周？（ ）
A 7 B 8 C 9 D 11
例 8（河北 201345）某医院氧气罐匀速漏气该氧气罐充满时供 40 吸
氧60 分钟氧气耗次充满该氧气罐时供 60 吸氧 45 分钟氧气耗
问果该氧气罐充满吸氧氧气耗需长时间？（ ）
A 半时 B 两时 C 两半时 D 三时
第 15 讲 基础行程
题型评述
行程问题历年考察重点题型次考试会涉常考题型更
考生生畏难点题型
二破题密钥
核心公式：路程速度时间
常方法：列方程解方程
解题关键：部分固定公式题型行程问题求家方程方法解答
构造似巧妙炫丽方法行程问题变化较程会较复杂
唯变两维度关系：1段行程单元 Svt2行程单元间S
间关系v 间关系t 间关系握住两维度关系方程（组）
容易列出
三例题精析
例 1（ 四川 201361）甲乙时 A 出发匀速跑 B 跑完全程分 3
时 4 时午 4 点时甲正位乙 B 间中点问两午什时候
出发
A1 点 24 分 B 1 点 30 分
C 1 点 36 分 D 1 点 42 分
核心提示
考生知道什时候变量设成意数字简化计算行程问题
里果 Svt 三种变量种出现具体外两变量意假
设中意值果三种变量中两种出现具体
做
例 2（广州 2012－84）甲公司马理公司坐车乙公司洽谈 30 千米时
速度出发 20 分钟马理发现文件忘带便司机原 15 倍速度回甲公司
5 千米时速度步行乙公司结果司机马理时达乙公司甲乙两
公司距离（ ）千米
A 125 B 13 C 135 D 14
例 3（ 新疆兵团 201353）长 146 公里山区公路分坡坡三段
中坡距离相等某越野车坡 20 公里时 30 公里时坡 50 公
里时速度行驶跑完该条公路正时 5 时问该山路中路程少公里？
A 40 B 55 C 66 D 75
例 4（江苏 2013A38）李驾车甲乙果原车速提高 25原定
时间提前 30 分钟达 原车速行驶 120 千米车速提高 25提前 15 分钟达
原车速？（ ）
A 84 千米时 B 108 千米时
C 96 千米时 D 110 千米时
第 16 讲 相速度
题型评述
行程问题中类问题基速度合成衍生出相速度问题
整行程问题重分支
二破题密钥
相速度问题中代入公式进行计算速度两速度者差
三例题精析
● 题型：相遇追型
核心公式
相遇问题：相遇距离＝（速度+速度）×相遇时间
追问题：追距离＝（速度速度）×追时间
背离问题：背离距离＝（速度+速度）×背离时间
例 1(江苏 2013C31)甲乙两分 AB 两时出发相行匀速前进
果定速度前进4 时相遇果时原计划少走 1 千米5 时相
遇甲乙两距离？（ ）
A40 千米 B20 千米 C30 千米 D10 千米
例 2（河北 201343）猎豹锁定距离 200 米远羚羊 108 千米／
时速度发起进攻2 秒钟羚羊意识危险 72 千米／时速度快速逃命问
猎豹捕捉羚羊时羚羊跑少路程？（ ）
A 520 米 B 360 米 C 280 米 D 240 米
例 3（ 重庆 201393）保持赛道清洁隔 10 分钟会辆清扫车起点出发
匀速清扫赛道甲乙两名车手分驾驶电动车行车考察赛道甲隔 5 分钟追辆
清扫车隔 20 分钟辆清扫车追乙问甲速度乙少倍？（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6 ● 题型二：环形运动型
核心公式
反运动：第 N 次相遇路程 N 周长环形周长（速度+速度）×相遇时间
运动：第 N 次相遇路程差 N 财长环形周长（速度速度）×相遇时间
例 4（江苏 2011B 类90）甲乙两运动场起点时出发甲跑速度
200 米分钟乙步行甲第 5 次超越乙时乙正走完第三圈 1 分钟时甲
乙前方少米？
A 105 B 115 C 120 D 125
例 5（北京 201377）甲乙长 400 米环形跑道匀速跑步两时
点出发相行第次相遇位置距离出发点 150 米路程两时点出
发行问跑快第次追时跑少米？（ ）
A 600 B 800 C 1000 D 1200
● 题型三：流水行船型
核心公式
流路程 流速度×流时间 (船速+水速)×流时间
逆流路程 逆流速度×逆流时间 (船速水速)×逆流时间
例 6 (江苏 2013B92)长江游 A 港游 S 港相距 270 千米轮船恒定速度
A 港 S 港需 675 时返回需 9 时长江水流速度
A7 千米时 B6 千米时
C5 千米时 D45 千米时
例 7（ 四川 201354）艘货船第次流航行 420 千米逆流航行 80 千米
11 时第二次样时间流航行 240 千米逆流航行 140 千米问水流速度
少千米时
A12 B16 C20 D24
第 17 讲 公式
题型评述
问题般涉图形边长周长面积表面积体积等相关变量中
基础类题型关规基图形（三角形长方形正方形圆形扇形球形
柱形锥形等）直接计算问题类题型般应该直接利公式进行求解整
问题基础
二破题密钥
定位相应公式直接代入求解 三例题精析
● 题型：长度
周长核心公式
正方形 C 正方形4a长方形 C 长方形2（a+b）圆形 C 圆2π R扇形 C 扇形 n
360°
2π R
例 1（国家 2013－62）阳光电线杆影子投射墙面面中墙面部分
高度 1 米面部分长度 7 米甲某身高 18 米时刻面形成影子长 09
米该电线杆高度：（ ）
A 12 米 B 14 米 C 15 米 D 16 米
● 题型二：面积
面积核心公式
正方形 S 正方形a2菱形（包括正方形）面积等角线积半长方形 S 长方形ab
圆形 S 圆π R2三角形 S 三角形 1
2
ah＝ absinC行四边形面积 S 行四边形ah
梯形面积 S 梯形 （a+b）h 扇形面积 S 扇形 π R2
正方体表面积6a2
长方体表面积2ab+2bc+2ac 球表面积4π R2π D2
例 2（ 重庆 201388）正方形铁片面积 1 方米剪出
圆然圆中剪出正方形问新正方形面积原正方
形面积少？（ ）
A14 方米 B12 方米
Cπ 8 方米 Dπ 16 方米
例 3（ 北京 201473）正方形草坪正中长方形池塘池塘周长草坪
半面积池塘外草坪面积 13池塘长宽？
A 11 B 21 C 41 D √2(2√2)
例 4(广州 201335)右图示长方形场分割成 4
块长方形区域进行分区活动测量知区域 ABC 面积分 15
2736 方米块长方形场总面积（ ）方米
A 84 B 92 C 98 D 100
● 题型三：体积
体积核心公式
正方体体积a3长方体体积abc球体积 4
3
π R3
棱柱圆柱体积Sh 棱锥圆锥体积 1
3 Sh
例 5（陕西 201385）边长 1 木质正方体削余部分成
木质圆球削部分体积（ ）
A π
6
B1 1
6
π C 1
16
π 2 D1 1
16
π 2
例 6（海 2013B65）圆柱形容器放长方体铁块现开水龙头
容器中注水 3 分钟时水恰没长方体铁块顶面 18 分钟容器注满
水已知容器高 50 厘米长方体铁块高 20 厘米长方体铁块底面面积圆
柱形容器底面面积（ ）
A56 B 34 C23 D 12
第 18 讲 割补移
题型评述
节涉图形规范图形直接代入公式求解
然数学运算题型中相题型规范者利公式
求解较麻烦时候需利割补移方法求解
二破题密钥
割补移三种基操作组合操作解答节题型关键
三例题精析
例 1（海 2013A62）图工厂道路面图
天班保卫科长 P 点处开始重复道路检查圈
分钟走 70 米中间停留走圈需（ ）
A 24 分钟 B 19 分钟
C 18 分钟 D 15 分钟
例 2（深圳 2012－9）正方形画中两正方形三
正方形具公顶点样正方形分割成正方形区域甲 L 形区
域乙丙已知三块区域甲乙丙周长 4∶5∶7区域丙
面积 48求正方形面积（ ）
A 96 B 98 C 200 D 102
例 3(广州 201331)右图示块长 100 米宽 30 米长方形
空需铺草皮空中间预留条宽 2 米走道铺设水泥板已知草皮
方米 50 元水泥板方米 40 元草皮水泥板均切割拼装购买铺完
块空需水泥板草皮需花费（ ）元
A 147440 B 147400 C 146860 D 146820
例 4（海 2013B62）图示ABCDEF 圆六等分圆接正三角形已知阴影部分面积 100 方米圆面积（ ）
A 180 方米 B 200 方米
C 220 方米 D 240 方米
第 19 讲 赛问题
题型评述
赛问题种非常灵活考试题型涉循环赛淘汰赛计分场次胜负等
综合概念
二破题密钥
循环赛：N 支队伍进行循环赛支队伍意队伍进行场赛支队伍
需进行N1 场赛场赛2队伍进行总场次应该N×(N1)2
淘汰赛：场赛淘汰支队伍轮赛淘汰半队伍（果总数偶数
说 13 支队伍淘汰 6 支队伍留 7 支队伍）
三例题精析
例 1（秋季联考 201336甘肃 201331）某高校组织篮球赛中机械学院队
外语学院队材料学院队理学院队分组两队间进行场赛
局结果机械学院队赢理学院队机械学院队外语学院队材料学院队胜利场数
相理学院队胜少场？（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
例 2（北京 201376）张王刘李四进行象棋赛两间赛局
已知张胜两局王三局问刘李加起胜局？（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
例 3（国考 201472）某羽毛球赛 23 支队伍报名参赛赛事安排 23 支队伍抽签
两两争夺轮出线权没抽手队伍轮空直接进入轮次羽毛球
赛会遇少次轮空情况？（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
例 4（ 北京 201484）某单位组织羽毛球男单赛 48 名选手报名参加赛
采淘汰赛制赛中负场选手淘汰直决出冠军名选手天
参加场赛赛少需举行天？
A 4 B 5 C 6 D 7
例 5（山东 201358）某单位举办象棋赛规胜场 4 分负场1 分
场分轮赛中参赛员 100 两两配分別赛总分
126 分问该轮赛中局少场？
A4 B8 C12 D16 第 20 讲 济利润
题型评述
日常济生活中常会碰关收入成利润相关问题类问
题贴生活够考察考生综合素质成历年考题热点重点
二破题密钥
题型三重点：
1 利润率定义计算公式：利润率＝利润÷成＝（售价成）÷成
2 折扣概念：二折现价原价 20九折现价原价 90
3 绝部分济利润问题应该通方程者方程组解答
三例题精析
例 1（春季联考 201351）某产品售价 671 元采新技术生产节约 10成
售价变利润原翻番问该产品初成少元？（ ）
A 512 B 549 C 61 D 625
例 2（北京 201474）某件商品果九折销售利润原价销售时 23：果
八折降价 50 元销售利润原价销售时 14该商品果八八折销售利润
少元？
A 240 B 300 C 360 D 480
例 3（江苏 2013C35）某单位商店订购定价 100 元商品 80 件单位订货员商
店理提出：果商店肯降价降价 1 元单位订购 4 件商店理算
降价 5订货员订货获利润反原利润 100 元该商品件成
？
A71 元 B70 元 C68 元 D67 元
例 4（国家 2013－65）某种汉堡包成 45 元售价 105 元天卖完汉
堡包出售十天里餐厅天会准备 200 汉堡包中六天正卖完
四天剩余 25 问十天该餐厅卖汉堡包赚少元？（ ）
A 10850 B 10950 C 11050 D 11350
例 5（国考 201474）两学需托运行李托运收费标准 10 公斤 6 元／公斤
超出 10 公斤部分公斤收费标准略低已知甲乙两托运费分 1095 元78 元
甲行李乙重 50超出 10 公斤部分公斤收费标准 10 公斤低少
元？
A 15 元 B 25 元 C 3 5 元 D 4 5 元
例题答案
例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 例 7 例 8 例 9 例 10 第 01 讲 C B A D B
第 02 讲 C B C B D C
第 03 讲 B A A A D B
第 04 讲 A D B C B
第 05 讲 B B B C B A D
第 06 讲 C D D D B
第 07 讲 C C A B C B
第 08 讲 C B B A A
第 09 讲 D B A B C D
第 10 讲 A C B C C A B D C B
第 11 讲 D B D C A D
第 12 讲 D B A A B B C A
第 13 讲 A B B D C
第 14 讲 D D B B D B B D
第 15 讲 C A C C
第 16 讲 A C D D C C C
第 17 讲 C B A C B B
第 18 讲 C B A B
第 19 讲 D B B C B
第 20 讲 C C B B A
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