难点32 极限运算
极限概念渗透思想数学中占重位研究许问题工具旧教材中原数列极限直历年高考中重点考查容节容指导考生深入理解极限概念基础正确熟练进行关极限运算问题
●难点磁场
(★★★★)求
●案例探究
［例1］已知(－ax－b)0确定ab值
命题意图：数列函数极限运算法中应遵循规利规律章循法题重点考查考生种力知识系统掌握力属★★★★★级题目
知识托：解决题闪光点式子进行理化处理求极限中带理号式子常种方法
错解分析：题难点式子整理程繁琐稍注意出错
技巧方法：理化处理
解：
式极限存1－a20
1－a20时
∴ 解
［例2］设数列a1a2…an…前n项Snan关系Sn1－ban－中bn关常数b≠－1
(1)求anan－1关系式
(2)写出nb表示an表达式
(3)0＜b＜1时求极限Sn
命题意图：历年高考中出现题目数列通项公式前n项Sn等紧密联系时题目先条件确定数列通项公式求极限先求出前n项Sn求极限题考查学生综合力属★★★★★级题目
知识托：解答题闪光点分析透题目中条件间相互关系
错解分析：题难点第(2)中(1)中关系式猜想通项n1n2时式子统性
技巧方法：抓住第步递推关系式寻找规律
解：(1)anSn－Sn－1－b(an－an－1)－－b(an－an－1)+ (n≥2)
解an (n≥2)
●锦囊妙计
1学数列极限关键真正数列项变化趋势理解数列极限
学函数极限关键真正函数值图象点变化趋势理解函数极限
2运算法中极限应存推广意限极限情况推广限商运算法中注意式子恒等变形题目分母直接求极限
3注意时学中积累方法技巧：
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)an(1+x)n展开式中含x2项系数等( )
A2 B0 C1 D－1
2(★★★★)三数a1c成等差数列a21c2成等数列值( )
A0 B1 C01 D存
二填空题
3(★★★★) _________
4(★★★★)1ab值_________
三解答题
5(★★★★★)数列{an}中已知a1a2数列{an+1－an}公等数列数列{lg(an+1－an}公差－1等差数列
(1)求数列{an}通项公式
(2)Sna1+a2+…+an(n≥1)求Sn
6(★★★★)设f(x)x三次项式已知1试求值(a非零常数)
7(★★★★)已知数列{an}{bn}正数组成等数列公式分pq中p＞qp≠1q≠1设cnan+bnSn数列{cn}前n项求值
8(★★★★★)已知数列{an}公差d等差数列d≠0a10bn2 (n∈N*)Sn{bn}前n项Tn (n∈N*)
(1)求{Tn}通项公式
(2)d＞0时求Tn
参考答案
难点磁场
歼灭难点训练
1解析：
答案：A
2解析：
答案：C
二3解析：
答案：
4解析：原式
∴a·b8
答案：8
三5解：(1){an+1－an}公等数列a1a2
∴an+1－an(a2－a1)()n1(－×)()n1
∴an+1an+ ①
数列{lg(an+1－an)}公差－1等差数列首项lg(a2－a1)
lg(－×)－2
∴通项lg(an+1－an)－2+(n－1)(－1)－(n+1)
∴an+1－an10－(n+1)an+1an+10－(n+1) ②
①②联立解an［()n+1－()n+1］
(2)Sn
6解：1知f(2a)0 ①
理f(4a)0 ②
①②知f(x)必含(x－2a)(x－4a)式f(x)x三次项式设f(x)A(x－2a)(x－4a)(x－C)里AC均定常数
4a2A－2aCA－1 ③
理1A(4a－2a)(4a－C)18a2A－2aCA1 ④
③④C3aAf(x) (x－2a)(x－4a)(x－3a)
数列{an}{bn}正数组成等数列知p＞0q＞0
p＜1时q＜1
8解：(1)an(n－1)dbn22(n－1)d
Snb1+b2+b3+…+bn20+2d+22d+…+2(n－1)d
d≠02d≠1∴Sn
∴Tn
(2)d＞0时2d＞1
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极限概念渗透思想数学中占重位研究许问题工具旧教材中原数列极限直历年高考中重点考查容节容指导考生深入理解极限概念基础正确熟练进行关极限运算问题
●难点磁场
(★★★★)求
●案例探究
［例1］已知(－ax－b)0确定ab值
命题意图：数列函数极限运算法中应遵循规利规律章循法题重点考查考生种力知识系统掌握力属★★★★★级题目
知识托：解决题闪光点式子进行理化处理求极限中带理号式子常种方法
错解分析：题难点式子整理程繁琐稍注意出错
技巧方法：理化处理
解：
式极限存1－a20
1－a20时
∴ 解
［例2］设数列a1a2…an…前n项Snan关系Sn1－ban－中bn关常数b≠－1
(1)求anan－1关系式
(2)写出nb表示an表达式
(3)0＜b＜1时求极限Sn
命题意图：历年高考中出现题目数列通项公式前n项Sn等紧密联系时题目先条件确定数列通项公式求极限先求出前n项Sn求极限题考查学生综合力属★★★★★级题目
知识托：解答题闪光点分析透题目中条件间相互关系
错解分析：题难点第(2)中(1)中关系式猜想通项n1n2时式子统性
技巧方法：抓住第步递推关系式寻找规律
解：(1)anSn－Sn－1－b(an－an－1)－－b(an－an－1)+ (n≥2)
解an (n≥2)
●锦囊妙计
1学数列极限关键真正数列项变化趋势理解数列极限
学函数极限关键真正函数值图象点变化趋势理解函数极限
2运算法中极限应存推广意限极限情况推广限商运算法中注意式子恒等变形题目分母直接求极限
3注意时学中积累方法技巧：
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)an(1+x)n展开式中含x2项系数等( )
A2 B0 C1 D－1
2(★★★★)三数a1c成等差数列a21c2成等数列值( )
A0 B1 C01 D存
二填空题
3(★★★★) _________
4(★★★★)1ab值_________
三解答题
5(★★★★★)数列{an}中已知a1a2数列{an+1－an}公等数列数列{lg(an+1－an}公差－1等差数列
(1)求数列{an}通项公式
(2)Sna1+a2+…+an(n≥1)求Sn
6(★★★★)设f(x)x三次项式已知1试求值(a非零常数)
7(★★★★)已知数列{an}{bn}正数组成等数列公式分pq中p＞qp≠1q≠1设cnan+bnSn数列{cn}前n项求值
8(★★★★★)已知数列{an}公差d等差数列d≠0a10bn2 (n∈N*)Sn{bn}前n项Tn (n∈N*)
(1)求{Tn}通项公式
(2)d＞0时求Tn
参考答案
难点磁场
歼灭难点训练
1解析：
答案：A
2解析：
答案：C
二3解析：
答案：
4解析：原式
∴a·b8
答案：8
三5解：(1){an+1－an}公等数列a1a2
∴an+1－an(a2－a1)()n1(－×)()n1
∴an+1an+ ①
数列{lg(an+1－an)}公差－1等差数列首项lg(a2－a1)
lg(－×)－2
∴通项lg(an+1－an)－2+(n－1)(－1)－(n+1)
∴an+1－an10－(n+1)an+1an+10－(n+1) ②
①②联立解an［()n+1－()n+1］
(2)Sn
6解：1知f(2a)0 ①
理f(4a)0 ②
①②知f(x)必含(x－2a)(x－4a)式f(x)x三次项式设f(x)A(x－2a)(x－4a)(x－C)里AC均定常数
4a2A－2aCA－1 ③
理1A(4a－2a)(4a－C)18a2A－2aCA1 ④
③④C3aAf(x) (x－2a)(x－4a)(x－3a)
数列{an}{bn}正数组成等数列知p＞0q＞0
p＜1时q＜1
8解：(1)an(n－1)dbn22(n－1)d
Snb1+b2+b3+…+bn20+2d+22d+…+2(n－1)d
d≠02d≠1∴Sn
∴Tn
(2)d＞0时2d＞1
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