第十六讲 等数列
答案部分
2019 年
1解析:等数列中 2
46aa 265
110a q a q > 1
1
3a 解 3q
()() 55
1
5
1 131 1213
1133S q
aq −
−
−
−
2解析 设等数列 {}na 公 ( 0 )qq 前 4 项 15 531 34a a a+
()4
1
42
1 1 1
1
151
34
aq
q
a q a q a
−
−
+
解 1 1
2
a
q
2
3 24a .选 C.
3解析:(1)题设 114()2()nn nnabab++++ 11
1 ()2nn nnabab++++ .
a1+b1l nnab+ 首项1公 1
2
等数列.
题设 114()4()8nn nnabab++−−+
11 2nnnnabab++−−+ .
a1–b1l nnab− 首项1公差2等差数列.
(2)(1)知 1
1
2nn nab −+ 21nnabn−− .
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n na a b a b n + + − + −
1 1 1[( ) ( )]2 2 2n n n n n nb a b a b n + − − − + . 20102018 年
1.D解析第二单音起单音频率前单音频率等 12 2
第单音频率 f 等数列概念知十三单音频率构成首项
f 公12 2 等数列记 {}na
第八单音频率 1281712
8 (2)2aff − 选 D.
2.B解析解法 l n 1xx−≤ ( 0x ) 1234123 ln()aaaaaaa+++++
123 1a a a+ + −≤ 4 1a −≤ 1 1a 等数列公 0q .
1q −≤ 2
12341 (1)(10aaaaaqq+++++ )≤
1231 1aaaa++ ≥ 123ln()0aaa++
1231234ln()0aaaaaaa+++++ ≤ 矛盾
10q− 2
131 (1)0aaaq−− 2
241 (1)0aaa qq−−
13aa 24aa 选 B.
解法二 1xex+≥
1234
1231234 1a a a aeaaaaaaa+ + + ++++++ ≥ 4 1a −≤
等数列公 .
1 2 3ln( ) 0a a a+ +
矛盾
13aa 选 B.
3.B解析设塔顶灯 1a 盏根题意层等数构成 首项2 公等数列∴
7
71
71
(12) (21)38112
aSa−−−
解 1 3a .选 B.
4.B解析 24
1 (1)21aqq 1 3a 4260qq 2 2q
( 2 3q 舍) 3 6a 5 12a 7 24a 357 42a a a .
5.D解析等数列性质 2
396 0a a a 2 6 9a a a 定成等数列.
6.C解析设等数列 na 公 q ∵ 321 10S a a+ ∴ 12321 10aaaaa+++
319aa ∴ 2 9q 5 9a 4
1 9aq ∴ 1
1
9a .
7.B解析取特殊值排 ACD均值等式 222
13132 22aaaaa+ .
8.B解析 1 16 n
nnaa+ 1
1216 n
nnaa +
++ 两式相
1
12
1
16 1616
n
nn
n
nn
aa
aa
+
++
+
∴ 2 16q ∵ 知公 q 正数∴ 4q .
9.C解析设{ na }公 q 等数列性质知 23141 2aaaaa
4 2a . 4a 2 7a 等差中项 5
4
知 47
5224aa+
74
15(2)24aa− 1
4 .∴ 3 7
4
1
8
aq a 1
2q . 3
411
1 28aa qa
1 16a
5
5
116(1) 2 3111 2
S
−
−
.
10.A解析通 2580aa+设公 q 该式转化 08 3
22 + qaa
解 -2
5
5
2
2
1 1 32 111 1 4
S q
Sq
−+ −−−
.
11.D解析取等数列124 令 1n 1 3 7XYZ 代入验算选项 D 满足.
12.C解析 2 3 4 10 10
1 2 3 4 5 1ma aaaaa qqqq q aq 11m .
13.B解析两式相减 3433aaa− 4
43
3
4 4aa a q a . 14.C解析显然 q 1
36
39(1 ) 1 1 211
qq qqqq
−− + −−
1{}
na
首项
1公 1
2
等数列 前 5 项
5
5
11() 312
1 161 2
T
−
−
.
15. 8− 解析设 {}na 首项 1a 公 q 11
2
11
1
3
a a q
a a q
+ −
− −
解 1 1
2
a
q
−
3
41 8a a q − .
16.32解析设{}na 公 q 题意 1q
6
36
3
3
1 191
S q qSq
−+−
2q
3
1
3
(1) 7
14
aqS q
−−
1
1
4a 775
81
1 22324aaq .
17.1解析设 na 公差 d nb 公 q 题意 31 3 8dq− + −
3d 2q − 2
2
13 1( 2)
a
b
−+−− .
18.64 解析设 {}na 公 q 1310aa+ 245aa+ 1
18 2aq
2 4a 3 2a 4 1a 5
1
2a 121234 64na aaa a a a .
19.1 121 解析 12
21
4
21
aa
aa
+
+
解 1 1a 11 21nnnnaSSS++−+
1
113()22nnSS+ ++ 1{}2nS + 3
2
首项3 公等数列
113322
n
nS −+ 5 121S .
20. 21n 解析题意 14
2 3 1 4
9
8
aa
a a a a
+
解 141 8aa 148 1aa
数列{}na 递增等数列 3 4
1
8aq a 2q
数列 前 n 项 1(1 ) 12 211 1 2
n n
n
n
aqS q
− − −−−
. 21.5解析等数列性质知 2
15243a a a a a 15 4aa 3 2a
12345 32a a a a a 2122232425log+log+log+log+logaaaaa
2123452log()log325aaaaa .
22.50解析 na 等数列∴ 1201011912aaaaaa 5
1291110 2eaaaa +
∴ 5
1 2 0a a e ∴ 1220lnlnlnaaa+++ 10
1220120ln()ln()aaaaa 50.
23.4解析 设等数列 }{ na 公 q 0q . 864 2a a a+
42
444 2a q a q a+解 2 2q (负值舍) 2 1a 4
624a a q .
24.15解析 1234 1248aaaa−− ∴ 1234||||aaaa+++ 15.
25. 12 2 2n + − 解析 35aa+ ()24q a a + 2q ()()3
2 4 1a a a q q+ + 20
1 2a ∴ () 1212
2212
n
n
nS +−
− −
.
26.12解析设正项等数列 }{ na 首项 1a 公 q:
+
3)1(
2
1
51
41
qqa
qa
: 1a = 1
32
q=2 62 n
na − .记 521 2
12 −+++
n
nn aaaT
2
)1(
21 2
nn
nn aaa
−
. nnT 2
)1(
5 22
12 nnn −
−
化简:
5
2
11
2
1 2
212 +−
− nnn 52
11
2
1 2 +− nnn 时 122
12113 +n .
n=12 时 1212 T n=13 时 1313 T max 12n .
27.11解析 2120n n na a a+++ − 2 20n n na q a q a+ −
1 1a 知 01naq求公 2q − 5S 11.
28.2解析 22
21
12( )5 2(1 )52(1 )5 2 2n n n n naa a aqaq qqqq+++ + + 解
数列递增数列 1 0 1 2a q q . 29. 3
2
解析题意
2
1
1 2
1 1 1
4 4 3
31 1 1 1
1
(1 ) 32 2 3 2 2 01
(1 ) 2 3 2 2 0321
aq aq a q a q a qq
a q a q a q a qaqq
− + − + + − −− − + + − + −
两式相减 423
111122330a qa qa qa q−−+ 42322330qqqq−−+
解 1q (舍) 0q 3
2q 0q .
30.2 1 12 2
n − − 解析 3
41a a q 314 2 q 解 2q
1
12
1 (1 2 ) 12 21 2 2
n
n
na a a −
−
+ ++ −−
.
31.解析(1)设 {}na 公 q 题设 1n
naq− .
已知 424qq 解 0q (舍) 2q − 2q .
1( 2 ) n
na −− 12 n
na − .
(2) 1(2)
3
n
nS −− . 63mS (2)188m−− 方程没正整
数解.
21n
nS −. 2 64m 解 6m .
综 .
32.解析(Ⅰ)设数列 {}nx 公 q 已知 0q .
题意 11
2
11
3
2
x x q
x q x q
+
−
23520qq−−
0q 121qx
数列 通项公式 12n
nx −
(Ⅱ) 1 2 3PPP… 1nP + x 轴作垂线垂足分 123QQQ… 1nQ +
(Ⅰ) 11
1 2 2 2 n n n
nnxx −−
+ − −
记梯形 11n n n nPPQQ++ 面积 nb . 题意 12(1) 2(21)22
nn
n
nnbn−−+++
123nT b b b + + + …+ nb
101325272−+++ …+ 32(21)2(21)2nnnn−−−++ ①
0122325272nT +++ …+ 21(21)2(21)2nnnn−−−++ ②
① − ②
121132(222)(21)2 nn
nTn−−−−++++−+
1
132(12) (21)2212
n
nn
−
−−+−+ −
(21)21 2
n
n
nT −+
33.解析(Ⅰ)题意 111 1 aSa + 1
− 1
1
1a 01 a
nn aS +1 11 1 ++ + nn aS nnn aaa − ++ 11 nn aa −+ )1(1 .
0 1 0na
1
1
−+
n
n
a
a
}{ na 首项
−1
1 公
1−
等数列 1)1(1
1 −
−− n
na
.
(Ⅱ)(Ⅰ) n
nS)1(1 −−
32
31
5 S
32
31)1(1 5 −−
−
5)1(
32
1 解 1 − .
34.解析(I) 1 31nnaa+ + 1
113()22nnaa+ ++ .
1
13
22a + 1
2na+
首项 3
2
公 3 等数列.
13
22
n
na + na 通项公式 31
2
n
na − .
(Ⅱ)(I)知 12
31n
na −
1n 时 13 1 2 3nn−− 1
11
3 1 2 3nn−−
. 1
12
1 1 1 1 1 3 1 3 1 (1 )3 3 2 3 2nn
na a a −+ + + + + + − .
12
1113 2naaa+++ .
35.解析(Ⅰ)设 {}na 公 q 题意 1
4
1
3
81
aq
aq
解 1 1
3
a
q
13n
na −
(Ⅱ) 3log 1nnb a n − ∴数列{}nb 前 n 项
2
1()
22
n
n
n b b nnS + −
36.解析(Ⅰ)
23
2n
nnS − 1a 1 1S 2n 时 1 32nnnaSSn −−−
1n 时数列 na 通项公式 3 2 nan−
(Ⅱ) mn aaa 1 成等数列需 2
1nma a a
22(32)1(32)342nmmnn−−−+ 时 Nm mn
意 1n 成等数列
37.解析题意知 21
213
2
43
aa
aaa
−
+
11
2
111
2
43+
a qa
a qaa q
−
解 11
3
a
q
1331
132
nn
nS −−−
.
1 1a 3q 31
2
n
nS − .
38. 解析(Ⅰ)设等数列 na 公 q 22 S− 3S 44 S 成等差数列
3 2 4 324SSSS+ − 4 3 2 4SSSS− − 432aa−
4
3
1
2
aq a − . 1
3
2a 等数列 通项公式
1
13 1 3( 1)2 2 2
n
n
n na
−
− − −
. (Ⅱ) 11 2
n
nS − −
122 (21)111 1 12 11 2 (21)2
n nn
n n
n
nn
n
SS
+ ++−−+ −− −
奇数
2+n 偶数
n 奇数时 1
n
n
SS+ n 增减 1
1
1113
6n
n
SSSS++ .
偶数时 增减 2
2
1125
12n
n
SSSS++ .
*nN 1 13
6n
n
SS+.
39. 解析(Ⅰ)设数列 na 公 q 2
326 9a a a 32
349aa 2 1
9q .
条件知 0c 1
3q .
12231aa+ 12231aaq+ 1
1
3a .
数列 通项式 na 1
3n .
(Ⅱ ) 31323nlogloglognbaaa+++
(12)
(1)
2
n
nn
−+++
+−
1 2 1 12( )( 1) 1nb n n n n − − −++
12
1 111 1 11 122((1 ) () ())2 2 311n
n
b bbn nn+ ++ − − + −++ −−++
数列 1{}
nb
前 n 项 2
1
n
n− +
.
40.解析(Ⅰ)设{}na 公 q
22
1 2 31 2 2 2 3 3b a b aq q b aq q+ ++ + + 1 2 3b b b 成等数列 22(2)2(3)qq++
2
124202222qqqq−++− 解
{}na 通项公式 11(22)(22)nn
nnaa−−+−
(Ⅱ )设 {}na 公 q 22(2)(1)(3)aqaaq+++
2 4310(*)aqaqa−+−
20440aaa+ 方程(*)两实根
{}na 唯知方程(*)必根 0代入(*) 1 3a
41. 解析(Ⅰ)设 221 +nlll 构成等数列中 10 01 21 +ntt
2121 ++ nnn ttttT ①
1221 ttttT nnn ++ ②
①×②利 )21(102
2131 + +−+ nitttt nin
12lg10)()()()()2(2
12211221
2 + +
++++ nnTattttttttT nn
n
nnnnn
(Ⅱ)题意(Ⅰ)中计算结果知 1)3tan()2tan( ++ nnnbn
方面利 tan)1tan(1
tan)1tan())1tan((1tan kk
kkkk ++
−+−+
11tan
tan)1tan(tan)1tan( −−++ kkkk
+
+
2
31
tan)1tan(
n
k
n
k
kn kkbS
1tan
3tan)3tan(
)11tan
tan)1tan((
2
3
nn
kkn
k
−−+
−−+
+
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