专题九 解析
第二十七讲 抛物线
2019年
1（2019全国II文9）抛物线y22px（p>0）焦点椭圆焦点p
A．2 B．3
C．4 D．8
2（2019浙江21）图已知点抛物线焦点点F直线交抛物线AB两点点C抛物线重心Gx轴直线AC交x轴点QQ点F右侧记面积
（1）求p值抛物线准线方程
（2）求值时点G坐标
3(2019全国III文21）已知曲线C：yD直线y动点D作C两条切线切点分AB
（1）证明：直线AB定点：
（2）E(0)圆心圆直线AB相切切点线段AB中点求该圆方程
1解析（1）设
切线DA斜率 整理
设理
直线AB方程
直线AB定点
（2）（1）直线AB方程
设M线段AB中点
量行解t0
0时2求圆方程
时求圆方程
20102018年
选择题
1．（2017新课标Ⅱ）抛物线：焦点斜率直线交点(轴方)准线点⊥直线距离
A． B． C． D．
2．（2016年全国II卷）设F抛物线C：y24x焦点曲线y（k>0）C交点PPF⊥x轴k
A． B．1 C． D．2
3．（2015陕西）已知抛物线()准线点该抛物线焦点坐标
A．(－10) B．(10) C．(0－1) D．(01)
4．（2015四川）设直线抛物线相交两点圆相切点线段中点．样直线恰4条取值范围
A． B． C． D．
5．（2014新课标1）已知抛物线：焦点准线点直线焦点
A． B． C．3 D．2
6．（2014新课标2）设抛物线C：焦点倾斜角30°直线交两点 坐标原点△面积
A． B． C． D．
7．（2014辽宁）已知点抛物线C：准线点A直线C第象限相切点B记C焦点F直线BF斜率
A． B． C． D．
8．（2013新课标1）坐标原点抛物线焦点点面积
A． B． C． D．
9．（2013江西）已知点抛物线焦点F射线FA抛物线C相交点M准线相交点N|FM|：|MN|
A．2 B．12 C．1 D．13
10．（2012新课标）等轴双曲线中心原点焦点轴抛物线准线交两点实轴长
A． B． C．4 D．8
11．（2012山东）已知双曲线：离心率2．抛物线焦点双曲线渐线距离2抛物线方程
A． B． C． D．
12．（2011新课标）已知直线抛物线C焦点C称轴垂直C交两点C准线点面积
A．18 B．24 C．36 D．48
二填空题
13．(2018北京)已知直线点垂直轴抛物线截线段长4抛物线焦点坐标_________．
14．（2015陕西）抛物线准线双曲线焦点
15．（2014湖南）图正方形边长分原点中点抛物线 ．
16．（2013北京）抛物线焦点坐标 准线方程 ．
17．（2012陕西）右图抛物线形拱桥水面时拱顶离水面2米水面宽4米水位降1米水面宽 米．
18．（2010浙江）设抛物线焦点点．线段中点抛物线该抛物线准线距离_____________．
三解答题
19．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线焦点斜率直线交两点．
(1)求方程
(2)求点准线相切圆方程．
20．（2018浙江）图已知点轴左侧(含轴)点抛物线：存两点满足中点均．
(1)设中点证明：垂直轴
(2)半椭圆()动点求面积取值范围．
21．（2017新课标Ⅰ）设曲线：两点横坐标4．
(1)求直线斜率
(2)设曲线点处切线直线行求直线方程．
22．（2017浙江）图已知抛物线．点抛物线点点作直线垂线垂足．
（Ⅰ）求直线斜率取值范围
（Ⅱ）求值．
23．（2016年全国I卷）直角坐标系中直线：交轴点交抛物线：点关点称点连结延长交点．
（I）求
（II）外直线否公点？说明理．
24．（2016年全国III卷）已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（I）线段中点证明
（II）面积面积两倍求中点轨迹方程．
25．（2016年浙江）图设抛物线焦点F抛物线点Ay轴距离等．
（I）求p值
（II）直线AF交抛物线点BBx轴行直线FAB垂直直线交点NANx轴交点M求M横坐标取值范围．
26．（2015浙江）图已知抛物线：圆：点作原点直线分抛物线圆相切切点．
（Ⅰ）求点坐标
（Ⅱ）求面积．
注：直线抛物线公点抛物线称轴行该直线抛物线相切称该公点切点．
27．（2015福建）已知点抛物线（）焦点点抛物线．
（Ⅰ）求抛物线方程
（Ⅱ）已知点延长交抛物线点证明：点圆心直线相切圆必直线相切．
28．（2014山东）已知抛物线焦点异原点意点点直线交点交轴正半轴点点横坐标3时正三角形
（Ⅰ）求方程
（Ⅱ）直线公点
（ⅰ）证明直线定点求出定点坐标
（ⅱ）面积否存值？存请求出值存请说明理．
29．（2014陕西）图曲线半椭圆部分抛物线连接成公点中离心率．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）点直线分交（均异点）求直线方程．
30．（2013广东）已知抛物线顶点原点焦点直线距离．设直线点点作抛物线两条切线中切点．
（Ⅰ）求抛物线方程
（Ⅱ）点直线定点时求直线方程
（Ⅲ）点直线移动时求值．
31．（2012新课标）设抛物线：焦点准线点已知圆心半径圆交点．
（Ⅰ）面积求值圆方程
（Ⅱ）三点直线直线行公点求坐标原点距离值．
32．（2011新课标）面直角坐标系中 已知点点直线点满足点轨迹曲线C．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）C动点C点处切线求点距离值．
专题九 解析
第二十七讲 抛物线
答案部分
2019年
1解析：题意：解．选D．
2（I）题意p2
抛物线准线方程x−1
（Ⅱ）设重心令
直线ABF直线AB方程代入
重心Gx轴
直线AC方程
Q焦点F右侧
令m>0
时取值时G（20）
3解析（1）设
切线DA斜率 整理
设理
直线AB方程
直线AB定点
（2）（1）直线AB方程
设M线段AB中点
量行解t0
0时2求圆方程
时求圆方程
20102018年
1．C解析题意知图抛物线定义 等边三角形三角形中距离等边三角形中边高易知．选C．
2．D解析易知抛物线焦点设轴代入抛物线方程舍)代入曲线选D．
3．B解析抛物线准线方程∴∴焦点坐标．
4．D 解析直线斜率存时样直线恰2条直线斜率存时样直线2条．设
．
两式相减．
设圆心直线圆相切
解
选D．
5．C解析点作交点焦点准线距离4．选C．
6．D解析易知抛物线中焦点直线斜率直线方程代入抛物线方程整理．
设物线定义弦长
结合图象直线距离
面积．
7．D解析∵抛物线准线∴．∴∴
设直线方程①①联立
②△
解（舍）
代入①②解∴选D．
8．C解析∵抛物线定义点坐标
∴面积．
9．C解析题意AF直线方程代入x24y
|FM|：|MN|（1y）：（1+y）＝1．
10．C解析设交准线
：
11．D解析∵双曲线：离心率2
渐线方程双曲线渐线方程
抛物焦点坐标
选D．
12．C解析设抛物线方程易知
∵点准线∴距离面积36选C．
13．解析题意知时抛物线截线段长4抛物线焦点坐标．
14．解析准线方程必双曲线左焦点．
15．解析正方形定义知BC CD结合抛物线定义点D抛物线焦点D点F坐标代入抛物线方程变形
解（舍）．
16．2解析准线．
17．解析建立直角坐标系拱桥顶点O坐标（00）设抛物线方程抛物线交点AB
根题意知A（–2–2）B（2–2）
∴
∴抛物线解析式
水位降1米y–3时
∴时水面宽米．
18．解析题意值B点坐标（）点B抛物线准线距离．
19．解析(1)题意方程．
设
．
．
．
题设知解（舍）．
方程．
(2)(1)中点坐标垂直分线方程
．
设求圆圆心坐标
解
求圆方程．
20．解析(1)设．
中点抛物线方程
两实数根．
．
垂直轴．
(2)(1)知
．
面积．
．
面积取值范围．
21．解析（1）设x1+x24
直线斜率．
（2）．
设题设知解．
设直线方程线段中点．
代入．
时．
．
题设知解．
直线AB方程．
22．解析（Ⅰ）设直线AP斜率
直线AP斜率取值范围
（Ⅱ）联立直线APBQ方程
解点Q横坐标
令
区间单调递增单调递减
时取值．
23．解析（Ⅰ）已知
关点称点方程
代入整理解
．中点．
（Ⅱ）直线外没公点理：
直线方程
代入解直线公点外直线没公点
24．解析（Ⅰ）题设设
记两点直线方程
（Ⅰ）线段
记斜率斜率
（Ⅱ）设轴交点
题设（舍）
设满足条件中点
轴垂直时
轴垂直时重合．求轨迹方程
25．解析(Ⅰ)题意抛物线点A焦点F距离等点A直线距离．
抛物线第
(Ⅱ)(Ⅰ)抛物线方程设
AF垂直y轴设直线AF消
直线AB斜率直线FN斜率
直线FN：直线BN：
设M(0)AMN三点线：
检验满足题意
综点M横坐标取值范围
26．解析（Ⅰ）题意知直线斜率存设直线方程．
消．整理：．
直线抛物线相切解
点．设圆圆心
点坐标题意知点关直线称
解．点．
（Ⅱ）（Ⅰ）知
直线方程
点直线距离．
面积．
27．解析解法：（Ⅰ）抛物线定义．
解
抛物线方程．
（Ⅱ）点抛物线
抛物线称性妨设．
直线方程．
解．
表明点直线距离相等圆心直线相切圆必直线相切．
解法二：（Ⅰ）解法．
（Ⅱ）设点圆心直线相切圆半径．
点抛物线：
抛物线称性妨设．
直线方程．
解．
直线方程
．
直线方程
点直线距离．
表明点圆心直线相切圆必直线相切．
28．解析（Ⅰ）题意知设中点
抛物线定义知
解（舍）
解．抛物线方程．
（Ⅱ）（ⅰ）（Ⅰ）知设．
直线斜率
直线直线行
设直线方程代入抛物线方程
题意
设
时
直线方程
整理直线恒点
时直线方程点直线定点．
（ⅱ）（ⅰ）知直线定点
设直线方程点直线
．设直线方程
代入抛物线方程
求
点直线距离
面积
仅时等号成立
面积值．
29．解析（Ⅰ）方程中令b1半椭圆 左右顶点
设半焦距解
（Ⅱ）（Ⅰ）知半椭圆方程
易知直线轴重合垂直设方程
代入方程中整理： （*）
设点坐标韦达定理
求
点坐标．
理点坐标
解
检验符合题意直线方程
30．解析（Ⅰ）题意解（负根舍）
抛物线方程．
（Ⅱ）设点
．
∴抛物线点处切线方程
．
∵ ∴．
∵点切线 ∴ ①
理 ②
综合①②点坐标满足方程
∵两点直线唯
∴直线 方程．
（Ⅲ）抛物线定义知
联立消
时取值．
31．解析（Ⅰ）称性知：等腰直角斜边
点准线距离
圆方程
（Ⅱ）称性设
点关点称：
：直线
切点
直线
坐标原点距离值．
32．解析（Ⅰ）设已知．
(0) (2)
题意知（+）• 0 （）• (－2)0．
曲线C方程式．
（Ⅱ）设曲线C：点斜率
直线方程．
点距离．
0时取等号点距离值2．
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第二十七讲 抛物线
2019年
1（2019全国II文9）抛物线y22px（p>0）焦点椭圆焦点p
A．2 B．3
C．4 D．8
2（2019浙江21）图已知点抛物线焦点点F直线交抛物线AB两点点C抛物线重心Gx轴直线AC交x轴点QQ点F右侧记面积
（1）求p值抛物线准线方程
（2）求值时点G坐标
3(2019全国III文21）已知曲线C：yD直线y动点D作C两条切线切点分AB
（1）证明：直线AB定点：
（2）E(0)圆心圆直线AB相切切点线段AB中点求该圆方程
1解析（1）设
切线DA斜率 整理
设理
直线AB方程
直线AB定点
（2）（1）直线AB方程
设M线段AB中点
量行解t0
0时2求圆方程
时求圆方程
20102018年
选择题
1．（2017新课标Ⅱ）抛物线：焦点斜率直线交点(轴方)准线点⊥直线距离
A． B． C． D．
2．（2016年全国II卷）设F抛物线C：y24x焦点曲线y（k>0）C交点PPF⊥x轴k
A． B．1 C． D．2
3．（2015陕西）已知抛物线()准线点该抛物线焦点坐标
A．(－10) B．(10) C．(0－1) D．(01)
4．（2015四川）设直线抛物线相交两点圆相切点线段中点．样直线恰4条取值范围
A． B． C． D．
5．（2014新课标1）已知抛物线：焦点准线点直线焦点
A． B． C．3 D．2
6．（2014新课标2）设抛物线C：焦点倾斜角30°直线交两点 坐标原点△面积
A． B． C． D．
7．（2014辽宁）已知点抛物线C：准线点A直线C第象限相切点B记C焦点F直线BF斜率
A． B． C． D．
8．（2013新课标1）坐标原点抛物线焦点点面积
A． B． C． D．
9．（2013江西）已知点抛物线焦点F射线FA抛物线C相交点M准线相交点N|FM|：|MN|
A．2 B．12 C．1 D．13
10．（2012新课标）等轴双曲线中心原点焦点轴抛物线准线交两点实轴长
A． B． C．4 D．8
11．（2012山东）已知双曲线：离心率2．抛物线焦点双曲线渐线距离2抛物线方程
A． B． C． D．
12．（2011新课标）已知直线抛物线C焦点C称轴垂直C交两点C准线点面积
A．18 B．24 C．36 D．48
二填空题
13．(2018北京)已知直线点垂直轴抛物线截线段长4抛物线焦点坐标_________．
14．（2015陕西）抛物线准线双曲线焦点
15．（2014湖南）图正方形边长分原点中点抛物线 ．
16．（2013北京）抛物线焦点坐标 准线方程 ．
17．（2012陕西）右图抛物线形拱桥水面时拱顶离水面2米水面宽4米水位降1米水面宽 米．
18．（2010浙江）设抛物线焦点点．线段中点抛物线该抛物线准线距离_____________．
三解答题
19．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线焦点斜率直线交两点．
(1)求方程
(2)求点准线相切圆方程．
20．（2018浙江）图已知点轴左侧(含轴)点抛物线：存两点满足中点均．
(1)设中点证明：垂直轴
(2)半椭圆()动点求面积取值范围．
21．（2017新课标Ⅰ）设曲线：两点横坐标4．
(1)求直线斜率
(2)设曲线点处切线直线行求直线方程．
22．（2017浙江）图已知抛物线．点抛物线点点作直线垂线垂足．
（Ⅰ）求直线斜率取值范围
（Ⅱ）求值．
23．（2016年全国I卷）直角坐标系中直线：交轴点交抛物线：点关点称点连结延长交点．
（I）求
（II）外直线否公点？说明理．
24．（2016年全国III卷）已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（I）线段中点证明
（II）面积面积两倍求中点轨迹方程．
25．（2016年浙江）图设抛物线焦点F抛物线点Ay轴距离等．
（I）求p值
（II）直线AF交抛物线点BBx轴行直线FAB垂直直线交点NANx轴交点M求M横坐标取值范围．
26．（2015浙江）图已知抛物线：圆：点作原点直线分抛物线圆相切切点．
（Ⅰ）求点坐标
（Ⅱ）求面积．
注：直线抛物线公点抛物线称轴行该直线抛物线相切称该公点切点．
27．（2015福建）已知点抛物线（）焦点点抛物线．
（Ⅰ）求抛物线方程
（Ⅱ）已知点延长交抛物线点证明：点圆心直线相切圆必直线相切．
28．（2014山东）已知抛物线焦点异原点意点点直线交点交轴正半轴点点横坐标3时正三角形
（Ⅰ）求方程
（Ⅱ）直线公点
（ⅰ）证明直线定点求出定点坐标
（ⅱ）面积否存值？存请求出值存请说明理．
29．（2014陕西）图曲线半椭圆部分抛物线连接成公点中离心率．
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）点直线分交（均异点）求直线方程．
30．（2013广东）已知抛物线顶点原点焦点直线距离．设直线点点作抛物线两条切线中切点．
（Ⅰ）求抛物线方程
（Ⅱ）点直线定点时求直线方程
（Ⅲ）点直线移动时求值．
31．（2012新课标）设抛物线：焦点准线点已知圆心半径圆交点．
（Ⅰ）面积求值圆方程
（Ⅱ）三点直线直线行公点求坐标原点距离值．
32．（2011新课标）面直角坐标系中 已知点点直线点满足点轨迹曲线C．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）C动点C点处切线求点距离值．
专题九 解析
第二十七讲 抛物线
答案部分
2019年
1解析：题意：解．选D．
2（I）题意p2
抛物线准线方程x−1
（Ⅱ）设重心令
直线ABF直线AB方程代入
重心Gx轴
直线AC方程
Q焦点F右侧
令m>0
时取值时G（20）
3解析（1）设
切线DA斜率 整理
设理
直线AB方程
直线AB定点
（2）（1）直线AB方程
设M线段AB中点
量行解t0
0时2求圆方程
时求圆方程
20102018年
1．C解析题意知图抛物线定义 等边三角形三角形中距离等边三角形中边高易知．选C．
2．D解析易知抛物线焦点设轴代入抛物线方程舍)代入曲线选D．
3．B解析抛物线准线方程∴∴焦点坐标．
4．D 解析直线斜率存时样直线恰2条直线斜率存时样直线2条．设
．
两式相减．
设圆心直线圆相切
解
选D．
5．C解析点作交点焦点准线距离4．选C．
6．D解析易知抛物线中焦点直线斜率直线方程代入抛物线方程整理．
设物线定义弦长
结合图象直线距离
面积．
7．D解析∵抛物线准线∴．∴∴
设直线方程①①联立
②△
解（舍）
代入①②解∴选D．
8．C解析∵抛物线定义点坐标
∴面积．
9．C解析题意AF直线方程代入x24y
|FM|：|MN|（1y）：（1+y）＝1．
10．C解析设交准线
：
11．D解析∵双曲线：离心率2
渐线方程双曲线渐线方程
抛物焦点坐标
选D．
12．C解析设抛物线方程易知
∵点准线∴距离面积36选C．
13．解析题意知时抛物线截线段长4抛物线焦点坐标．
14．解析准线方程必双曲线左焦点．
15．解析正方形定义知BC CD结合抛物线定义点D抛物线焦点D点F坐标代入抛物线方程变形
解（舍）．
16．2解析准线．
17．解析建立直角坐标系拱桥顶点O坐标（00）设抛物线方程抛物线交点AB
根题意知A（–2–2）B（2–2）
∴
∴抛物线解析式
水位降1米y–3时
∴时水面宽米．
18．解析题意值B点坐标（）点B抛物线准线距离．
19．解析(1)题意方程．
设
．
．
．
题设知解（舍）．
方程．
(2)(1)中点坐标垂直分线方程
．
设求圆圆心坐标
解
求圆方程．
20．解析(1)设．
中点抛物线方程
两实数根．
．
垂直轴．
(2)(1)知
．
面积．
．
面积取值范围．
21．解析（1）设x1+x24
直线斜率．
（2）．
设题设知解．
设直线方程线段中点．
代入．
时．
．
题设知解．
直线AB方程．
22．解析（Ⅰ）设直线AP斜率
直线AP斜率取值范围
（Ⅱ）联立直线APBQ方程
解点Q横坐标
令
区间单调递增单调递减
时取值．
23．解析（Ⅰ）已知
关点称点方程
代入整理解
．中点．
（Ⅱ）直线外没公点理：
直线方程
代入解直线公点外直线没公点
24．解析（Ⅰ）题设设
记两点直线方程
（Ⅰ）线段
记斜率斜率
（Ⅱ）设轴交点
题设（舍）
设满足条件中点
轴垂直时
轴垂直时重合．求轨迹方程
25．解析(Ⅰ)题意抛物线点A焦点F距离等点A直线距离．
抛物线第
(Ⅱ)(Ⅰ)抛物线方程设
AF垂直y轴设直线AF消
直线AB斜率直线FN斜率
直线FN：直线BN：
设M(0)AMN三点线：
检验满足题意
综点M横坐标取值范围
26．解析（Ⅰ）题意知直线斜率存设直线方程．
消．整理：．
直线抛物线相切解
点．设圆圆心
点坐标题意知点关直线称
解．点．
（Ⅱ）（Ⅰ）知
直线方程
点直线距离．
面积．
27．解析解法：（Ⅰ）抛物线定义．
解
抛物线方程．
（Ⅱ）点抛物线
抛物线称性妨设．
直线方程．
解．
表明点直线距离相等圆心直线相切圆必直线相切．
解法二：（Ⅰ）解法．
（Ⅱ）设点圆心直线相切圆半径．
点抛物线：
抛物线称性妨设．
直线方程．
解．
直线方程
．
直线方程
点直线距离．
表明点圆心直线相切圆必直线相切．
28．解析（Ⅰ）题意知设中点
抛物线定义知
解（舍）
解．抛物线方程．
（Ⅱ）（ⅰ）（Ⅰ）知设．
直线斜率
直线直线行
设直线方程代入抛物线方程
题意
设
时
直线方程
整理直线恒点
时直线方程点直线定点．
（ⅱ）（ⅰ）知直线定点
设直线方程点直线
．设直线方程
代入抛物线方程
求
点直线距离
面积
仅时等号成立
面积值．
29．解析（Ⅰ）方程中令b1半椭圆 左右顶点
设半焦距解
（Ⅱ）（Ⅰ）知半椭圆方程
易知直线轴重合垂直设方程
代入方程中整理： （*）
设点坐标韦达定理
求
点坐标．
理点坐标
解
检验符合题意直线方程
30．解析（Ⅰ）题意解（负根舍）
抛物线方程．
（Ⅱ）设点
．
∴抛物线点处切线方程
．
∵ ∴．
∵点切线 ∴ ①
理 ②
综合①②点坐标满足方程
∵两点直线唯
∴直线 方程．
（Ⅲ）抛物线定义知
联立消
时取值．
31．解析（Ⅰ）称性知：等腰直角斜边
点准线距离
圆方程
（Ⅱ）称性设
点关点称：
：直线
切点
直线
坐标原点距离值．
32．解析（Ⅰ）设已知．
(0) (2)
题意知（+）• 0 （）• (－2)0．
曲线C方程式．
（Ⅱ）设曲线C：点斜率
直线方程．
点距离．
0时取等号点距离值2．
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