2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设复数z满足z复面应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）集合B＝{x|﹣1＜x＜2}A∩B＝（ ）
A．[﹣22） B．（﹣11] C．（﹣11） D．（﹣12）
3．（5分）已知双曲线（a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x点P（4）双曲线方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）△ABC中＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）表某电器销售公司2018年度类电器营业收入占净利润占统计表：
空调类
冰箱类
家电类
类
营业收入占
9010
498
382
110
净利润占
9580
﹣048
382
086
列判断中正确（ ）
A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2018年度家电类电器营业收入净利润相
C．该公司2018年度净利润空调类电器销售提供
D．剔冰箱类电器销售数该公司2018年度空调类电器销售净利润占会降低
6．（5分）函数图象点横坐标缩短原（坐标变）函数g（x）图象列说法正确（ ）
A．函数g（x）图象关点称
B．函数g（x）周期
C．函数g（x）单调递增
D．函数g（x）值1
7．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）左右焦点分F1F2右顶点A顶点B线段F1A直径圆交线段F1B延长线点PF2B∥AP该椭圆离心率（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）某部队次军演中先执行六项务求：务A必须排前三项执行执行务A需立执行务E务B务C相邻执行方案（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
9．（5分）函数f（x）＝x2+xsinx图象致（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）图正方形网格纸中实线图形面体三视图该面体表面面互相垂直（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）垛积术（隙积术）北宋科学家沈括梦溪笔谈中首创南宋数学家杨辉元代数学家朱世杰丰富发展类数列求方法茭草垛方垛刍童垛三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成图示茭草垛：第层1件层层1件层n件．已知第层货物单价1万元第二层起货物单价层单价．堆货物总价万元n值（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（5分）函数f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|（01）两零点实数b取值范围（ ）
A． B．（1﹣e0）∪（0e﹣1）
C． D．
二填空题：题4题题5分答案填答题卡相应位置
13．（5分）设等差数列{an}前n项Sna2＝3S4＝16数列{an}公差d＝ ．
14．（5分）cos2α+cosα＝ ．
15．（5分）a+b≠0值 ．
16．（5分）已知半径4球面两点AB球心O球面动点C满足二面角C﹣AB﹣O60o四面体OABC外接球半径 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（12分）△ABC中角ABC边分abcsin2A+sin2B+sinAsinB＝2csinC△ABC面积S＝abc．
（Ⅰ）求角C
（Ⅱ）求△ABC周长取值范围．
18．（12分）图三棱台ABC﹣EFG底面正三角形面ABC⊥面BCGFCB＝2GFBF＝CF．
（Ⅰ）求证：AB⊥CG
（Ⅱ）BC＝CF求直线AE面BEG成角正弦值．
19．（12分）某种型医疗检查机器生产商次性购买2台机器客户推出两种超质保期两年延保维修优惠方案：
方案：交纳延保金7000元延保两年免费维修2次超2次次收取维修费2000元
方案二：交纳延保金10000元延保两年免费维修4次超4次次收取维修费1000元．
某医院准备次性购买2台种机器．现需决策购买机器时应购买种延保方案搜集整理50台种机器超质保期延保两年维修次数表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
50台机器维修次数频率代1台机器维修次数发生概率．记X表示2台机器超质保期延保两年需维修次数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）需延保金维修费期值决策医院选择种延保方案更合算？
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）点M（m9）焦点F距离10．
（Ⅰ）求抛物线C方程
（Ⅱ）设焦点F直线l抛物线C交AB两点抛物线AB两点处切线分交x轴PQ两点求|AP|•|BQ|取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+1）ln（x+1）﹣x2﹣ax（a＞0）减函数．
（Ⅰ）试确定a值
（Ⅱ）已知数列{an}Tn＝a1a2a3•…•an（n∈N*）求证：．
请考生第2223题中选题作答注意：做选定题目果做做第题目计分作答时请2B铅笔答题卡选题号应方框涂黑[选修44：坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（θ参数）．原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2＝4ρsinθ﹣3．
（Ⅰ）写出曲线C1C2直角坐标方程
（Ⅱ）PQ分曲线C1C2动点求|PQ|值．
[选修45：等式选讲]
23．已知f（x）＝|3x+2|．
（Ⅰ）求f（x）≤1解集
（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立求实数a值．
2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设复数z满足z复面应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点A4：复数代数表示法意义A5：复数运算．菁优网版权
专题38：应思想4A：数学模型法5N：数系扩充复数．
分析直接利复数代数形式运算化简答案．
解答解：∵＝
∴z复面应点（22）位第象限．
选：A．
点评题考查复数代数形式运算考查复数代数表示法意义基础题．
2．（5分）集合B＝{x|﹣1＜x＜2}A∩B＝（ ）
A．[﹣22） B．（﹣11] C．（﹣11） D．（﹣12）
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题37：集合思想49：综合法5J：集合．
分析求出集合A然进行交集运算．
解答解：A＝{x|﹣2≤x＜1}B＝{x|﹣1＜x＜2}
∴A∩B＝（﹣11）．
选：C．
点评考查描述法区间定义分式等式解法交集运算．
3．（5分）已知双曲线（a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x点P（4）双曲线方程（ ）
A． B．
C． D．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题34：方程思想48：分析法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析求双曲线渐线方程＝2代入点P坐标ab方程组解方程求双曲线方程．
解答解：双曲线（a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x
＝2
双曲线点P（4）﹣＝1
解a＝b＝2
双曲线方程﹣＝1．
选：C．
点评题考查双曲线方程性质渐线方程运考查方程思想运算力属基础题．
4．（5分）△ABC中＝（ ）
A． B． C． D．
考点9E：量数线性运算．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想41：量法5A：面量应．
分析根出：解出量．
解答解：∵
∴
∴．
选：B．
点评考查量减法意义量数运算．
5．（5分）表某电器销售公司2018年度类电器营业收入占净利润占统计表：
空调类
冰箱类
家电类
类
营业收入占
9010
498
382
110
净利润占
9580
﹣048
382
086
列判断中正确（ ）
A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2018年度家电类电器营业收入净利润相
C．该公司2018年度净利润空调类电器销售提供
D．剔冰箱类电器销售数该公司2018年度空调类电器销售净利润占会降低
考点B7：分布频率分布表．菁优网版权
专题38：应思想44：数形结合法5I：概率统计．
分析根题意分析表中数出正确选项．
解答解：根表中数知该公司2018年度冰箱类电器销售净利润占﹣048亏损A正确
家电类电器营业收入占净利润占相收入净利润定相B错误
该公司2018年度净利润空调类电器销售占9580利润源C正确
剔冰箱类电器销售数该公司2018年度空调类电器销售净利润占会降低D正确．
选：B．
点评题考查数分析统计知识应问题基础题．
6．（5分）函数图象点横坐标缩短原（坐标变）函数g（x）图象列说法正确（ ）
A．函数g（x）图象关点称
B．函数g（x）周期
C．函数g（x）单调递增
D．函数g（x）值1
考点HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）图象变换．菁优网版权
专题35：转化思想56：三角函数求值57：三角函数图象性质．
分析直接利函数图象伸缩变换应求出函数关系式进步利正弦型函数性质应求出结果．
解答解：函数图象点横坐标缩短原（坐标变）
函数g（x）＝2sin（2x+）﹣1图象
：
①函数g（x）图象关点称
选项A错误．
②函数正周期π
选项B错误．
③时
函数值取1．
选项D错误．
选：C．
点评题考查知识点：三角函数关系式恒等变变换正弦型函数性质应考查学生运算力转化力属基础题型．
7．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）左右焦点分F1F2右顶点A顶点B线段F1A直径圆交线段F1B延长线点PF2B∥AP该椭圆离心率（ ）
A． B． C． D．
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题34：方程思想4R：转化法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析图示线段F1A直径圆方程：+y2＝化：x2﹣（a﹣c）x+y2﹣ac0．直线F1B方程：bx﹣cy+bc＝0联立解P点坐标利
F2B∥AP斜率计算公式离心率计算公式出．
解答解：图示
线段F1A直径圆方程：+y2＝化：x2﹣（a﹣c）x+y2﹣ac0．
直线F1B方程：bx﹣cy+bc＝0
联立解P．
kAP＝＝﹣．
∵F2B∥AP
∴＝﹣
化：e2＝e∈（01）．
解．
解：F1A圆直径∴∠F1PA＝90°．
∵F2B∥AP
∴∠F1BF2＝90°．
∴2a2＝（2c）2解e＝．
选：D．
点评题考查椭圆标准方程性质斜率离心率计算公式圆标准方程考查推理力计算力属中档题．
8．（5分）某部队次军演中先执行六项务求：务A必须排前三项执行执行务A需立执行务E务B务C相邻执行方案（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
考点D9：排列组合简单计数问题．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想35：转化思想5O：排列组合．
分析根题意分3种情况讨：①务A排第位E排第二位②务A排第二位E排第三位③务A排第三位E排第四位加法原理计算答案．
解答解：根题意务A必须排前三项执行分3种情况讨：
①务A排第位E排第二位剩2项务全排列排3空位BC安排3空位中A22A32＝12种执行方案
②务A排第二位E排第三位BC安排方法4×A22＝8种剩2项务全排列安排剩位置A22＝2种安排方法8×2＝16种安排方法
③务A排第三位E排第四位BC安排方法4×A22＝8种剩2项务全排列安排剩位置A22＝2种安排方法8×2＝16种安排方法
执行方案12+16+16＝44种
选：B．
点评题考查排列组合应涉分类计数原理应注意优先分析受限制元素属基础题．
9．（5分）函数f（x）＝x2+xsinx图象致（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题11：计算题33：函数思想44：数形结合法51：函数性质应．
分析根函数奇偶性排B根函数单调性排CD问题解决．
解答解：函数f（x）＝x2+xsinx偶函数关y轴称排B
令g（x）＝x+sinx
∴g′（x）＝1+cosx≥0恒成立
∴g（x）R单调递增
∵g（0）＝0
∴f（x）＝xg（x）≥0排D
x＞0时f（x）＝xg（x）单调递增x＜0时f（x）＝xg（x）单调递减排C．
选：A．
点评题考查函数图象识应考查导数函数单调性关系属中档题．
10．（5分）图正方形网格纸中实线图形面体三视图该面体表面面互相垂直（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题31：数形结合5F：空间位置关系距离．
分析首先三视图转换体进步利面面垂直判定应求出结果．
解答解：根体三视图转换体：
根体：
面SAD⊥面SCD面SBC⊥面SCD
面SCD⊥面ABCD面SAD⊥面SBC．
选：C．
点评题考查知识点：三视图体转换面面垂直判定定理应考查学生运算力转化力属基础题型．
11．（5分）垛积术（隙积术）北宋科学家沈括梦溪笔谈中首创南宋数学家杨辉元代数学家朱世杰丰富发展类数列求方法茭草垛方垛刍童垛三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成图示茭草垛：第层1件层层1件层n件．已知第层货物单价1万元第二层起货物单价层单价．堆货物总价万元n值（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
考点89：等数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题38：应思想4R：转化法54：等差数列等数列．
分析题意第n层货物价格an＝n•（）n﹣1根错位相减法求求出．
解答解：题意第n层货物价格an＝n•（）n﹣1
设堆货物总价Sn＝1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1①
①×Sn＝1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n②
①﹣②Sn＝1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n＝10﹣（10+n）•（）n
∴Sn＝100﹣10（10+n）•（）n
∵堆货物总价万元
∴n＝10
选：D．
点评题考查错位相减法求考查运算力分析问题解决问题力属中档题．
12．（5分）函数f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|（01）两零点实数b取值范围（ ）
A． B．（1﹣e0）∪（0e﹣1）
C． D．
考点52：函数零点判定定理．菁优网版权
专题31：数形结合32：分类讨35：转化思想4R：转化法51：函数性质应．
分析利换元法设t＝x﹣函数等价y＝﹣﹣2b|t|条件转化﹣＝2b|t|研究函数 单调性结合绝值应利数形结合进行求解．
解答解：f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣2b|x﹣|
设t＝x﹣x＝t+
∵0＜x＜1∴﹣＜t＜
函数f（x）等价y＝﹣﹣2b|t|
等价y＝﹣﹣2b|t|﹣＜t＜两零点
﹣＝2b|t|两根
设h（t）＝﹣
h（﹣t）＝﹣＝﹣（﹣）＝﹣h（t）函数h（t）奇函数
h′（t）＝+＞0函数h（t）﹣≤t≤增函数
h（0）＝0h（）＝e﹣1h（﹣）＝1﹣e
0≤t≤
b＝0函数f（x）零点满足条件．
b＞0g（t）＝2bx
设原点直线g（t）h（t）相切切点（a﹣）
h′（t）＝+h′（a）＝+
切线方程y﹣（﹣）＝（+）（x﹣a）
切线原点
﹣（﹣）＝﹣a（+）
﹣+＝﹣a﹣a
（a+1）＝（﹣a+1）
a＝0切点（00）时切线斜率k＝h′（0）＝＝2
2＝2bb＝＝时切线y＝2xh（t）相切交点满足条件．
直线点（e﹣1）时e﹣1＝2b×＝b
时直线g（t）＝2（e﹣1）x
g（t）h（t）两交点＜b＜e﹣1
b＜0时t＜0时g（t）＝﹣2bx
﹣2b＝2
b＝﹣直线点（﹣1﹣e）时1﹣e＝﹣2b（﹣）＝b
g（t）h（t）两交点1﹣e＜b＜﹣
综1﹣e＜b＜﹣＜b＜e﹣1
实数b取值范围
选：D．
点评题考查函数方程应利条件转化两函数图象问题解决题关键．综合性较强难度较．
二填空题：题4题题5分答案填答题卡相应位置
13．（5分）设等差数列{an}前n项Sna2＝3S4＝16数列{an}公差d＝ 2 ．
考点85：等差数列前n项．菁优网版权
专题34：方程思想49：综合法54：等差数列等数列．
分析利等差数列通项公式求公式出．
解答解：a2＝3S4＝16
∴a1+d＝34a1+6d＝16
联立解a1＝1d＝2
答案：2．
点评题考查等差数列通项公式求公式考查推理力计算力属中档题．
14．（5分）cos2α+cosα＝ ．
考点GS：二倍角三角函数．菁优网版权
专题38：应思想4O：定义法56：三角函数求值．
分析根三角函数诱导公式求出cosα值结合二倍角公式进行转化求解．
解答解：∵
∴cosα＝
cos2α+cosα＝2cos2α﹣1+cosα＝2×﹣1+＝﹣
答案：﹣．
点评题考查三角函数值化简求值利诱导公式二倍角公式解决题关键．
15．（5分）a+b≠0值 ．
考点7F：基等式应．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想35：转化思想5T：等式．
分析根题意基等式性质a2+b2≥进≥+结合基等式性质分析答案．
解答解：根题意a+b≠0a≠﹣ba2+b2≥
≥+≥2＝
值
答案：
点评题考查基等式性质应关键构造基等式成立条件．
16．（5分）已知半径4球面两点AB球心O球面动点C满足二面角C﹣AB﹣O60o四面体OABC外接球半径 ．
考点LG：球体积表面积LR：球接面体．菁优网版权
专题15：综合题34：方程思想5Q：立体．
分析球面动点C想O顶点ABC球圆O′底面圆锥作出图形取AB中点E∠OEO′＝60°进求高底面半径列方程求解难．
解答解：
图设ABC球圆圆O′
取AB中点E连接OEO′E
∠OEO′二面角C﹣AB﹣O面角60°
OA＝OB＝4AB＝
△AOB等腰直角三角形
∴OE＝
∴
∴
设O﹣ABC外接球球心M半径r
利Rt△BO′M列方程：
解：r＝．
答案：．
点评题考查圆锥外接球二面角等综合性较强难度较．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（12分）△ABC中角ABC边分abcsin2A+sin2B+sinAsinB＝2csinC△ABC面积S＝abc．
（Ⅰ）求角C
（Ⅱ）求△ABC周长取值范围．
考点HP：正弦定理HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法58：解三角形．
分析（Ⅰ）已知利三角形面积公式2c＝sinC正弦定理化简已知等式a2+b2+ab＝c2．余弦定理解C值．
（Ⅱ）（Ⅰ）知2c＝sinC正弦定理三角函数恒等变换应a+b+c＝sin（A+）+范围求利正弦函数图象性质求△ABC周长取值范围．
解答（题满分12分）
解：（Ⅰ）知：2c＝sinC
∴sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C．正弦定理a2+b2+ab＝c2．
∴余弦定理
∴．…………………………（5分）
（Ⅱ）（Ⅰ）知2c＝sinC
∴2a＝sinA2b＝sinB．
∴△ABC周长
＝
∵
∴
∴
∴△ABC周长取值范围．……………………………（12分）
点评题考查三角形面积公式正弦定理余弦定理三角函数恒等变换应正弦函数图象性质解三角形中综合应考查计算力转化思想属中档题．
18．（12分）图三棱台ABC﹣EFG底面正三角形面ABC⊥面BCGFCB＝2GFBF＝CF．
（Ⅰ）求证：AB⊥CG
（Ⅱ）BC＝CF求直线AE面BEG成角正弦值．
考点MI：直线面成角．菁优网版权
专题14：证明题35：转化思想41：量法5F：空间位置关系距离5G：空间角．
分析（Ⅰ）取BC中点D连结DF推导出四边形CDFG行四边形CG∥DFDF⊥BCCG⊥BC．进CG⊥面ABC证明CG⊥AB．
（Ⅱ）连结AD．△ABC正三角形D中点AD⊥BC．CG⊥面ABCCG∥DFDF⊥ADDF⊥BCDBDFDA分xyz轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．利量法求出直线AE面BEG成角正弦值．
解答证明：（Ⅰ）取BC中点D连结DF．
ABC﹣EFG三棱台面ABC∥面EFGBC∥FG．
∵CB＝2GF∴
∴四边形CDFG行四边形∴CG∥DF．
∵BF＝CFDBC中点
∴DF⊥BC∴CG⊥BC．
∵面ABC⊥面BCGF交线BCCG⊂面BCGF
∴CG⊥面ABCAB⊂面ABC
∴CG⊥AB．
解：（Ⅱ）连结AD．△ABC正三角形D中点AD⊥BC．
（Ⅰ）知CG⊥面ABCCG∥DF
∴DF⊥ADDF⊥BC
∴DBDFDA两两垂直．
DBDFDA分xyz轴建立图示空间直角坐标系D﹣xyz．
设BC＝2A（）E（）B（100）G（﹣10）
∴．
设面BEG法量．
．
令y＝2z＝﹣1∴．
设AE面BEG成角θ
直线AE面BEG成角正弦值．
点评题考查线线垂直证明考查线面角正弦值求法考查空间中线线线面面面间位置关系等基础知识考查运算求解力中档题．
19．（12分）某种型医疗检查机器生产商次性购买2台机器客户推出两种超质保期两年延保维修优惠方案：
方案：交纳延保金7000元延保两年免费维修2次超2次次收取维修费2000元
方案二：交纳延保金10000元延保两年免费维修4次超4次次收取维修费1000元．
某医院准备次性购买2台种机器．现需决策购买机器时应购买种延保方案搜集整理50台种机器超质保期延保两年维修次数表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
50台机器维修次数频率代1台机器维修次数发生概率．记X表示2台机器超质保期延保两年需维修次数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）需延保金维修费期值决策医院选择种延保方案更合算？
考点CG：离散型机变量分布列CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5I：概率统计．
分析（Ⅰ）X取值0123456分求出相应概率求出X分布列．
（Ⅱ）选择延保方案求出需费Y1元分布列数学期选择延保方案二求出需费Y2元分布列数学期求出该医院选择延保方案二较合算．
解答（题满分12分）
解：（Ⅰ）X取值0123456．
∴X分布列
X
0
1
2
3
4
5
6
P
（Ⅱ）选择延保方案需费Y1元分布列：
Y1
7000
9000
11000
13000
15000
P
（元）．
选择延保方案二需费Y2元分布列：
Y2
10000
11000
12000
P
（元）．
∵EY1＞EY2∴该医院选择延保方案二较合算．
点评题考查离散型机变量分布列数学期求法考查相互独立事件概率法性质等基础知识考查运算求解力中档题．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）点M（m9）焦点F距离10．
（Ⅰ）求抛物线C方程
（Ⅱ）设焦点F直线l抛物线C交AB两点抛物线AB两点处切线分交x轴PQ两点求|AP|•|BQ|取值范围．
考点K8：抛物线性质．菁优网版权
专题34：方程思想49：综合法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析（Ⅰ）抛物线准线∴解p＝2抛物线方程．
（Ⅱ）设l：y＝kx+1．设A（）B（x2）．．理|AP|•|BQ|取值范围．
解答解：（Ⅰ）已知M（m9）焦点F距离10点M准线距离10．
∵抛物线准线∴
解p＝2∴抛物线方程x2＝4y．…………………………（5分）
（Ⅱ）已知判断直线l斜率存设斜率kF（01）l：y＝kx+1．
设A（）B（x2）消yx2﹣4kx﹣4＝0
∴x1+x2＝4kx1x2＝﹣4．
抛物线C函数图象．
令y＝0解∴P．
理
∴＝＝．
∵k2≥0∴|AP|•|BQ|取值范围[2+∞）．……………………………（12分）
点评题考查抛物线简单性质直线抛物线位置关系综合应考查转化思想计算力属中档题
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+1）ln（x+1）﹣x2﹣ax（a＞0）减函数．
（Ⅰ）试确定a值
（Ⅱ）已知数列{an}Tn＝a1a2a3•…•an（n∈N*）求证：．
考点6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题33：函数思想4R：转化法53：导数综合应55：点列递数列数学纳法．
分析（Ⅰ）求出原函数定义域求出原函数导函数f（x）定义域减函数转化f′（x）＝aln（x+1）﹣2x≤0恒成立．利导数求导函数值值等0求a值
（Ⅱ）f（x）减函数f（0）＝0x＞0时f（x）＜0f（n）＜02（n+1）ln（1+n）＜n2+2n．两边2（n+1）2．Tn＜．然利导数证明
．
解答解：（Ⅰ）f（x）定义域（﹣1+∞）f′（x）＝aln（x+1）﹣2x．
f（x）减函数意x∈（﹣1+∞）f′（x）＝aln（x+1）﹣2x≤0恒成立．
设g（x）＝aln（x+1）﹣2x．
∵a＞0知
∴时g'（x）＞0时g'（x）＜0
∴g（x）单调递增单调递减
∴g（x）时取值．
∵g（0）＝0∴意x∈（﹣1+∞）g（x）≤g（0）恒成立g（x）值g（0）．
∴解a＝2
（Ⅱ）f（x）减函数f（0）＝0x＞0时f（x）＜0
∴f（n）＜02（n+1）ln（1+n）＜n2+2n．
两边2（n+1）2．
∴①．
面证．
记x∈[1+∞）．
∴
∵[2+∞）单调递增
∴h'（x）[2+∞）单调递减
∴x∈[2+∞）时h'（x）＜0恒成立
∴h（x）[2+∞）单调递减x∈[2+∞）h（x）≤h（2）＝2ln4﹣ln3﹣3ln2＝ln2﹣ln3＜0
∴n≥2时h（n）＜0．
∵
∴n∈N*时h（n）＜0②．
综①②．
点评题考查利导数求函数值训练利导数证明数列等式考查化转化思想方法考查逻辑思维力推理证力属难题．
请考生第2223题中选题作答注意：做选定题目果做做第题目计分作答时请2B铅笔答题卡选题号应方框涂黑[选修44：坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（θ参数）．原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2＝4ρsinθ﹣3．
（Ⅰ）写出曲线C1C2直角坐标方程
（Ⅱ）PQ分曲线C1C2动点求|PQ|值．
考点Q4：简单曲线极坐标方程QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
专题11：计算题5S：坐标系参数方程．
分析（Ⅰ）根方关系式C1 直角坐标方程根x＝ρcosθy＝ρsinθC2直角坐标方程
（2）|PQ|值C1点圆心C2值加半径．
解答解：（Ⅰ）曲线C1直角坐标方程
曲线C2直角坐标方程x2+y2＝4y﹣3x2+（y﹣2）2＝1．…………………………（5分）
（Ⅱ）设P点坐标（2cosθsinθ）．|PQ|≤|PC2|+1＝
时|PQ|max＝．…………………………（10分）
点评题考查简单曲线极坐标方程属中档题．
[选修45：等式选讲]
23．已知f（x）＝|3x+2|．
（Ⅰ）求f（x）≤1解集
（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立求实数a值．
考点R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题38：应思想4R：转化法59：等式解法应．
分析（Ⅰ）掉绝值求出等式解集
（Ⅱ）问题转化根基等式性质求出a值．
解答解：（Ⅰ）f（x）≤1|3x+2|≤1
﹣1≤3x+2≤1解
f（x）≤1解集．…………………………（5分）
（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立3x2+2≥a|x|恒成立．
x＝0时a∈R
x≠0时．
（仅时等号成立）
a值．…………………………（10分）
点评题考查解绝值等式问题考查基等式性质转化思想道常规题．
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选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设复数z满足z复面应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）集合B＝{x|﹣1＜x＜2}A∩B＝（ ）
A．[﹣22） B．（﹣11] C．（﹣11） D．（﹣12）
3．（5分）已知双曲线（a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x点P（4）双曲线方程（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）△ABC中＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）表某电器销售公司2018年度类电器营业收入占净利润占统计表：
空调类
冰箱类
家电类
类
营业收入占
9010
498
382
110
净利润占
9580
﹣048
382
086
列判断中正确（ ）
A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2018年度家电类电器营业收入净利润相
C．该公司2018年度净利润空调类电器销售提供
D．剔冰箱类电器销售数该公司2018年度空调类电器销售净利润占会降低
6．（5分）函数图象点横坐标缩短原（坐标变）函数g（x）图象列说法正确（ ）
A．函数g（x）图象关点称
B．函数g（x）周期
C．函数g（x）单调递增
D．函数g（x）值1
7．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）左右焦点分F1F2右顶点A顶点B线段F1A直径圆交线段F1B延长线点PF2B∥AP该椭圆离心率（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）某部队次军演中先执行六项务求：务A必须排前三项执行执行务A需立执行务E务B务C相邻执行方案（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
9．（5分）函数f（x）＝x2+xsinx图象致（ ）
A． B．
C． D．
10．（5分）图正方形网格纸中实线图形面体三视图该面体表面面互相垂直（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）垛积术（隙积术）北宋科学家沈括梦溪笔谈中首创南宋数学家杨辉元代数学家朱世杰丰富发展类数列求方法茭草垛方垛刍童垛三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成图示茭草垛：第层1件层层1件层n件．已知第层货物单价1万元第二层起货物单价层单价．堆货物总价万元n值（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．（5分）函数f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|（01）两零点实数b取值范围（ ）
A． B．（1﹣e0）∪（0e﹣1）
C． D．
二填空题：题4题题5分答案填答题卡相应位置
13．（5分）设等差数列{an}前n项Sna2＝3S4＝16数列{an}公差d＝ ．
14．（5分）cos2α+cosα＝ ．
15．（5分）a+b≠0值 ．
16．（5分）已知半径4球面两点AB球心O球面动点C满足二面角C﹣AB﹣O60o四面体OABC外接球半径 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（12分）△ABC中角ABC边分abcsin2A+sin2B+sinAsinB＝2csinC△ABC面积S＝abc．
（Ⅰ）求角C
（Ⅱ）求△ABC周长取值范围．
18．（12分）图三棱台ABC﹣EFG底面正三角形面ABC⊥面BCGFCB＝2GFBF＝CF．
（Ⅰ）求证：AB⊥CG
（Ⅱ）BC＝CF求直线AE面BEG成角正弦值．
19．（12分）某种型医疗检查机器生产商次性购买2台机器客户推出两种超质保期两年延保维修优惠方案：
方案：交纳延保金7000元延保两年免费维修2次超2次次收取维修费2000元
方案二：交纳延保金10000元延保两年免费维修4次超4次次收取维修费1000元．
某医院准备次性购买2台种机器．现需决策购买机器时应购买种延保方案搜集整理50台种机器超质保期延保两年维修次数表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
50台机器维修次数频率代1台机器维修次数发生概率．记X表示2台机器超质保期延保两年需维修次数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）需延保金维修费期值决策医院选择种延保方案更合算？
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）点M（m9）焦点F距离10．
（Ⅰ）求抛物线C方程
（Ⅱ）设焦点F直线l抛物线C交AB两点抛物线AB两点处切线分交x轴PQ两点求|AP|•|BQ|取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+1）ln（x+1）﹣x2﹣ax（a＞0）减函数．
（Ⅰ）试确定a值
（Ⅱ）已知数列{an}Tn＝a1a2a3•…•an（n∈N*）求证：．
请考生第2223题中选题作答注意：做选定题目果做做第题目计分作答时请2B铅笔答题卡选题号应方框涂黑[选修44：坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（θ参数）．原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2＝4ρsinθ﹣3．
（Ⅰ）写出曲线C1C2直角坐标方程
（Ⅱ）PQ分曲线C1C2动点求|PQ|值．
[选修45：等式选讲]
23．已知f（x）＝|3x+2|．
（Ⅰ）求f（x）≤1解集
（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立求实数a值．
2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1．（5分）设复数z满足z复面应点位（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点A4：复数代数表示法意义A5：复数运算．菁优网版权
专题38：应思想4A：数学模型法5N：数系扩充复数．
分析直接利复数代数形式运算化简答案．
解答解：∵＝
∴z复面应点（22）位第象限．
选：A．
点评题考查复数代数形式运算考查复数代数表示法意义基础题．
2．（5分）集合B＝{x|﹣1＜x＜2}A∩B＝（ ）
A．[﹣22） B．（﹣11] C．（﹣11） D．（﹣12）
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题37：集合思想49：综合法5J：集合．
分析求出集合A然进行交集运算．
解答解：A＝{x|﹣2≤x＜1}B＝{x|﹣1＜x＜2}
∴A∩B＝（﹣11）．
选：C．
点评考查描述法区间定义分式等式解法交集运算．
3．（5分）已知双曲线（a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x点P（4）双曲线方程（ ）
A． B．
C． D．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题34：方程思想48：分析法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析求双曲线渐线方程＝2代入点P坐标ab方程组解方程求双曲线方程．
解答解：双曲线（a＞0b＞0）条渐线方程y＝2x
＝2
双曲线点P（4）﹣＝1
解a＝b＝2
双曲线方程﹣＝1．
选：C．
点评题考查双曲线方程性质渐线方程运考查方程思想运算力属基础题．
4．（5分）△ABC中＝（ ）
A． B． C． D．
考点9E：量数线性运算．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想41：量法5A：面量应．
分析根出：解出量．
解答解：∵
∴
∴．
选：B．
点评考查量减法意义量数运算．
5．（5分）表某电器销售公司2018年度类电器营业收入占净利润占统计表：
空调类
冰箱类
家电类
类
营业收入占
9010
498
382
110
净利润占
9580
﹣048
382
086
列判断中正确（ ）
A．该公司2018年度冰箱类电器销售亏损
B．该公司2018年度家电类电器营业收入净利润相
C．该公司2018年度净利润空调类电器销售提供
D．剔冰箱类电器销售数该公司2018年度空调类电器销售净利润占会降低
考点B7：分布频率分布表．菁优网版权
专题38：应思想44：数形结合法5I：概率统计．
分析根题意分析表中数出正确选项．
解答解：根表中数知该公司2018年度冰箱类电器销售净利润占﹣048亏损A正确
家电类电器营业收入占净利润占相收入净利润定相B错误
该公司2018年度净利润空调类电器销售占9580利润源C正确
剔冰箱类电器销售数该公司2018年度空调类电器销售净利润占会降低D正确．
选：B．
点评题考查数分析统计知识应问题基础题．
6．（5分）函数图象点横坐标缩短原（坐标变）函数g（x）图象列说法正确（ ）
A．函数g（x）图象关点称
B．函数g（x）周期
C．函数g（x）单调递增
D．函数g（x）值1
考点HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）图象变换．菁优网版权
专题35：转化思想56：三角函数求值57：三角函数图象性质．
分析直接利函数图象伸缩变换应求出函数关系式进步利正弦型函数性质应求出结果．
解答解：函数图象点横坐标缩短原（坐标变）
函数g（x）＝2sin（2x+）﹣1图象
：
①函数g（x）图象关点称
选项A错误．
②函数正周期π
选项B错误．
③时
函数值取1．
选项D错误．
选：C．
点评题考查知识点：三角函数关系式恒等变变换正弦型函数性质应考查学生运算力转化力属基础题型．
7．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）左右焦点分F1F2右顶点A顶点B线段F1A直径圆交线段F1B延长线点PF2B∥AP该椭圆离心率（ ）
A． B． C． D．
考点K4：椭圆性质．菁优网版权
专题34：方程思想4R：转化法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析图示线段F1A直径圆方程：+y2＝化：x2﹣（a﹣c）x+y2﹣ac0．直线F1B方程：bx﹣cy+bc＝0联立解P点坐标利
F2B∥AP斜率计算公式离心率计算公式出．
解答解：图示
线段F1A直径圆方程：+y2＝化：x2﹣（a﹣c）x+y2﹣ac0．
直线F1B方程：bx﹣cy+bc＝0
联立解P．
kAP＝＝﹣．
∵F2B∥AP
∴＝﹣
化：e2＝e∈（01）．
解．
解：F1A圆直径∴∠F1PA＝90°．
∵F2B∥AP
∴∠F1BF2＝90°．
∴2a2＝（2c）2解e＝．
选：D．
点评题考查椭圆标准方程性质斜率离心率计算公式圆标准方程考查推理力计算力属中档题．
8．（5分）某部队次军演中先执行六项务求：务A必须排前三项执行执行务A需立执行务E务B务C相邻执行方案（ ）
A．36种 B．44种 C．48种 D．54种
考点D9：排列组合简单计数问题．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想35：转化思想5O：排列组合．
分析根题意分3种情况讨：①务A排第位E排第二位②务A排第二位E排第三位③务A排第三位E排第四位加法原理计算答案．
解答解：根题意务A必须排前三项执行分3种情况讨：
①务A排第位E排第二位剩2项务全排列排3空位BC安排3空位中A22A32＝12种执行方案
②务A排第二位E排第三位BC安排方法4×A22＝8种剩2项务全排列安排剩位置A22＝2种安排方法8×2＝16种安排方法
③务A排第三位E排第四位BC安排方法4×A22＝8种剩2项务全排列安排剩位置A22＝2种安排方法8×2＝16种安排方法
执行方案12+16+16＝44种
选：B．
点评题考查排列组合应涉分类计数原理应注意优先分析受限制元素属基础题．
9．（5分）函数f（x）＝x2+xsinx图象致（ ）
A． B．
C． D．
考点3A：函数图象图象变换．菁优网版权
专题11：计算题33：函数思想44：数形结合法51：函数性质应．
分析根函数奇偶性排B根函数单调性排CD问题解决．
解答解：函数f（x）＝x2+xsinx偶函数关y轴称排B
令g（x）＝x+sinx
∴g′（x）＝1+cosx≥0恒成立
∴g（x）R单调递增
∵g（0）＝0
∴f（x）＝xg（x）≥0排D
x＞0时f（x）＝xg（x）单调递增x＜0时f（x）＝xg（x）单调递减排C．
选：A．
点评题考查函数图象识应考查导数函数单调性关系属中档题．
10．（5分）图正方形网格纸中实线图形面体三视图该面体表面面互相垂直（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题31：数形结合5F：空间位置关系距离．
分析首先三视图转换体进步利面面垂直判定应求出结果．
解答解：根体三视图转换体：
根体：
面SAD⊥面SCD面SBC⊥面SCD
面SCD⊥面ABCD面SAD⊥面SBC．
选：C．
点评题考查知识点：三视图体转换面面垂直判定定理应考查学生运算力转化力属基础题型．
11．（5分）垛积术（隙积术）北宋科学家沈括梦溪笔谈中首创南宋数学家杨辉元代数学家朱世杰丰富发展类数列求方法茭草垛方垛刍童垛三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成图示茭草垛：第层1件层层1件层n件．已知第层货物单价1万元第二层起货物单价层单价．堆货物总价万元n值（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
考点89：等数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题38：应思想4R：转化法54：等差数列等数列．
分析题意第n层货物价格an＝n•（）n﹣1根错位相减法求求出．
解答解：题意第n层货物价格an＝n•（）n﹣1
设堆货物总价Sn＝1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n﹣1①
①×Sn＝1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n②
①﹣②Sn＝1+（）1+（）2+（）3+…+（）n﹣1﹣n•（）n＝﹣n•（）n＝10﹣（10+n）•（）n
∴Sn＝100﹣10（10+n）•（）n
∵堆货物总价万元
∴n＝10
选：D．
点评题考查错位相减法求考查运算力分析问题解决问题力属中档题．
12．（5分）函数f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|（01）两零点实数b取值范围（ ）
A． B．（1﹣e0）∪（0e﹣1）
C． D．
考点52：函数零点判定定理．菁优网版权
专题31：数形结合32：分类讨35：转化思想4R：转化法51：函数性质应．
分析利换元法设t＝x﹣函数等价y＝﹣﹣2b|t|条件转化﹣＝2b|t|研究函数 单调性结合绝值应利数形结合进行求解．
解答解：f（x）＝ex﹣e1﹣x﹣2b|x﹣|
设t＝x﹣x＝t+
∵0＜x＜1∴﹣＜t＜
函数f（x）等价y＝﹣﹣2b|t|
等价y＝﹣﹣2b|t|﹣＜t＜两零点
﹣＝2b|t|两根
设h（t）＝﹣
h（﹣t）＝﹣＝﹣（﹣）＝﹣h（t）函数h（t）奇函数
h′（t）＝+＞0函数h（t）﹣≤t≤增函数
h（0）＝0h（）＝e﹣1h（﹣）＝1﹣e
0≤t≤
b＝0函数f（x）零点满足条件．
b＞0g（t）＝2bx
设原点直线g（t）h（t）相切切点（a﹣）
h′（t）＝+h′（a）＝+
切线方程y﹣（﹣）＝（+）（x﹣a）
切线原点
﹣（﹣）＝﹣a（+）
﹣+＝﹣a﹣a
（a+1）＝（﹣a+1）
a＝0切点（00）时切线斜率k＝h′（0）＝＝2
2＝2bb＝＝时切线y＝2xh（t）相切交点满足条件．
直线点（e﹣1）时e﹣1＝2b×＝b
时直线g（t）＝2（e﹣1）x
g（t）h（t）两交点＜b＜e﹣1
b＜0时t＜0时g（t）＝﹣2bx
﹣2b＝2
b＝﹣直线点（﹣1﹣e）时1﹣e＝﹣2b（﹣）＝b
g（t）h（t）两交点1﹣e＜b＜﹣
综1﹣e＜b＜﹣＜b＜e﹣1
实数b取值范围
选：D．
点评题考查函数方程应利条件转化两函数图象问题解决题关键．综合性较强难度较．
二填空题：题4题题5分答案填答题卡相应位置
13．（5分）设等差数列{an}前n项Sna2＝3S4＝16数列{an}公差d＝ 2 ．
考点85：等差数列前n项．菁优网版权
专题34：方程思想49：综合法54：等差数列等数列．
分析利等差数列通项公式求公式出．
解答解：a2＝3S4＝16
∴a1+d＝34a1+6d＝16
联立解a1＝1d＝2
答案：2．
点评题考查等差数列通项公式求公式考查推理力计算力属中档题．
14．（5分）cos2α+cosα＝ ．
考点GS：二倍角三角函数．菁优网版权
专题38：应思想4O：定义法56：三角函数求值．
分析根三角函数诱导公式求出cosα值结合二倍角公式进行转化求解．
解答解：∵
∴cosα＝
cos2α+cosα＝2cos2α﹣1+cosα＝2×﹣1+＝﹣
答案：﹣．
点评题考查三角函数值化简求值利诱导公式二倍角公式解决题关键．
15．（5分）a+b≠0值 ．
考点7F：基等式应．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想35：转化思想5T：等式．
分析根题意基等式性质a2+b2≥进≥+结合基等式性质分析答案．
解答解：根题意a+b≠0a≠﹣ba2+b2≥
≥+≥2＝
值
答案：
点评题考查基等式性质应关键构造基等式成立条件．
16．（5分）已知半径4球面两点AB球心O球面动点C满足二面角C﹣AB﹣O60o四面体OABC外接球半径 ．
考点LG：球体积表面积LR：球接面体．菁优网版权
专题15：综合题34：方程思想5Q：立体．
分析球面动点C想O顶点ABC球圆O′底面圆锥作出图形取AB中点E∠OEO′＝60°进求高底面半径列方程求解难．
解答解：
图设ABC球圆圆O′
取AB中点E连接OEO′E
∠OEO′二面角C﹣AB﹣O面角60°
OA＝OB＝4AB＝
△AOB等腰直角三角形
∴OE＝
∴
∴
设O﹣ABC外接球球心M半径r
利Rt△BO′M列方程：
解：r＝．
答案：．
点评题考查圆锥外接球二面角等综合性较强难度较．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．（12分）△ABC中角ABC边分abcsin2A+sin2B+sinAsinB＝2csinC△ABC面积S＝abc．
（Ⅰ）求角C
（Ⅱ）求△ABC周长取值范围．
考点HP：正弦定理HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法58：解三角形．
分析（Ⅰ）已知利三角形面积公式2c＝sinC正弦定理化简已知等式a2+b2+ab＝c2．余弦定理解C值．
（Ⅱ）（Ⅰ）知2c＝sinC正弦定理三角函数恒等变换应a+b+c＝sin（A+）+范围求利正弦函数图象性质求△ABC周长取值范围．
解答（题满分12分）
解：（Ⅰ）知：2c＝sinC
∴sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C．正弦定理a2+b2+ab＝c2．
∴余弦定理
∴．…………………………（5分）
（Ⅱ）（Ⅰ）知2c＝sinC
∴2a＝sinA2b＝sinB．
∴△ABC周长
＝
∵
∴
∴
∴△ABC周长取值范围．……………………………（12分）
点评题考查三角形面积公式正弦定理余弦定理三角函数恒等变换应正弦函数图象性质解三角形中综合应考查计算力转化思想属中档题．
18．（12分）图三棱台ABC﹣EFG底面正三角形面ABC⊥面BCGFCB＝2GFBF＝CF．
（Ⅰ）求证：AB⊥CG
（Ⅱ）BC＝CF求直线AE面BEG成角正弦值．
考点MI：直线面成角．菁优网版权
专题14：证明题35：转化思想41：量法5F：空间位置关系距离5G：空间角．
分析（Ⅰ）取BC中点D连结DF推导出四边形CDFG行四边形CG∥DFDF⊥BCCG⊥BC．进CG⊥面ABC证明CG⊥AB．
（Ⅱ）连结AD．△ABC正三角形D中点AD⊥BC．CG⊥面ABCCG∥DFDF⊥ADDF⊥BCDBDFDA分xyz轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．利量法求出直线AE面BEG成角正弦值．
解答证明：（Ⅰ）取BC中点D连结DF．
ABC﹣EFG三棱台面ABC∥面EFGBC∥FG．
∵CB＝2GF∴
∴四边形CDFG行四边形∴CG∥DF．
∵BF＝CFDBC中点
∴DF⊥BC∴CG⊥BC．
∵面ABC⊥面BCGF交线BCCG⊂面BCGF
∴CG⊥面ABCAB⊂面ABC
∴CG⊥AB．
解：（Ⅱ）连结AD．△ABC正三角形D中点AD⊥BC．
（Ⅰ）知CG⊥面ABCCG∥DF
∴DF⊥ADDF⊥BC
∴DBDFDA两两垂直．
DBDFDA分xyz轴建立图示空间直角坐标系D﹣xyz．
设BC＝2A（）E（）B（100）G（﹣10）
∴．
设面BEG法量．
．
令y＝2z＝﹣1∴．
设AE面BEG成角θ
直线AE面BEG成角正弦值．
点评题考查线线垂直证明考查线面角正弦值求法考查空间中线线线面面面间位置关系等基础知识考查运算求解力中档题．
19．（12分）某种型医疗检查机器生产商次性购买2台机器客户推出两种超质保期两年延保维修优惠方案：
方案：交纳延保金7000元延保两年免费维修2次超2次次收取维修费2000元
方案二：交纳延保金10000元延保两年免费维修4次超4次次收取维修费1000元．
某医院准备次性购买2台种机器．现需决策购买机器时应购买种延保方案搜集整理50台种机器超质保期延保两年维修次数表：
维修次数
0
1
2
3
台数
5
10
20
15
50台机器维修次数频率代1台机器维修次数发生概率．记X表示2台机器超质保期延保两年需维修次数．
（Ⅰ）求X分布列
（Ⅱ）需延保金维修费期值决策医院选择种延保方案更合算？
考点CG：离散型机变量分布列CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5I：概率统计．
分析（Ⅰ）X取值0123456分求出相应概率求出X分布列．
（Ⅱ）选择延保方案求出需费Y1元分布列数学期选择延保方案二求出需费Y2元分布列数学期求出该医院选择延保方案二较合算．
解答（题满分12分）
解：（Ⅰ）X取值0123456．
∴X分布列
X
0
1
2
3
4
5
6
P
（Ⅱ）选择延保方案需费Y1元分布列：
Y1
7000
9000
11000
13000
15000
P
（元）．
选择延保方案二需费Y2元分布列：
Y2
10000
11000
12000
P
（元）．
∵EY1＞EY2∴该医院选择延保方案二较合算．
点评题考查离散型机变量分布列数学期求法考查相互独立事件概率法性质等基础知识考查运算求解力中档题．
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）点M（m9）焦点F距离10．
（Ⅰ）求抛物线C方程
（Ⅱ）设焦点F直线l抛物线C交AB两点抛物线AB两点处切线分交x轴PQ两点求|AP|•|BQ|取值范围．
考点K8：抛物线性质．菁优网版权
专题34：方程思想49：综合法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析（Ⅰ）抛物线准线∴解p＝2抛物线方程．
（Ⅱ）设l：y＝kx+1．设A（）B（x2）．．理|AP|•|BQ|取值范围．
解答解：（Ⅰ）已知M（m9）焦点F距离10点M准线距离10．
∵抛物线准线∴
解p＝2∴抛物线方程x2＝4y．…………………………（5分）
（Ⅱ）已知判断直线l斜率存设斜率kF（01）l：y＝kx+1．
设A（）B（x2）消yx2﹣4kx﹣4＝0
∴x1+x2＝4kx1x2＝﹣4．
抛物线C函数图象．
令y＝0解∴P．
理
∴＝＝．
∵k2≥0∴|AP|•|BQ|取值范围[2+∞）．……………………………（12分）
点评题考查抛物线简单性质直线抛物线位置关系综合应考查转化思想计算力属中档题
21．（12分）已知函数f（x）＝a（x+1）ln（x+1）﹣x2﹣ax（a＞0）减函数．
（Ⅰ）试确定a值
（Ⅱ）已知数列{an}Tn＝a1a2a3•…•an（n∈N*）求证：．
考点6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题33：函数思想4R：转化法53：导数综合应55：点列递数列数学纳法．
分析（Ⅰ）求出原函数定义域求出原函数导函数f（x）定义域减函数转化f′（x）＝aln（x+1）﹣2x≤0恒成立．利导数求导函数值值等0求a值
（Ⅱ）f（x）减函数f（0）＝0x＞0时f（x）＜0f（n）＜02（n+1）ln（1+n）＜n2+2n．两边2（n+1）2．Tn＜．然利导数证明
．
解答解：（Ⅰ）f（x）定义域（﹣1+∞）f′（x）＝aln（x+1）﹣2x．
f（x）减函数意x∈（﹣1+∞）f′（x）＝aln（x+1）﹣2x≤0恒成立．
设g（x）＝aln（x+1）﹣2x．
∵a＞0知
∴时g'（x）＞0时g'（x）＜0
∴g（x）单调递增单调递减
∴g（x）时取值．
∵g（0）＝0∴意x∈（﹣1+∞）g（x）≤g（0）恒成立g（x）值g（0）．
∴解a＝2
（Ⅱ）f（x）减函数f（0）＝0x＞0时f（x）＜0
∴f（n）＜02（n+1）ln（1+n）＜n2+2n．
两边2（n+1）2．
∴①．
面证．
记x∈[1+∞）．
∴
∵[2+∞）单调递增
∴h'（x）[2+∞）单调递减
∴x∈[2+∞）时h'（x）＜0恒成立
∴h（x）[2+∞）单调递减x∈[2+∞）h（x）≤h（2）＝2ln4﹣ln3﹣3ln2＝ln2﹣ln3＜0
∴n≥2时h（n）＜0．
∵
∴n∈N*时h（n）＜0②．
综①②．
点评题考查利导数求函数值训练利导数证明数列等式考查化转化思想方法考查逻辑思维力推理证力属难题．
请考生第2223题中选题作答注意：做选定题目果做做第题目计分作答时请2B铅笔答题卡选题号应方框涂黑[选修44：坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C1参数方程（θ参数）．原点O极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2＝4ρsinθ﹣3．
（Ⅰ）写出曲线C1C2直角坐标方程
（Ⅱ）PQ分曲线C1C2动点求|PQ|值．
考点Q4：简单曲线极坐标方程QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
专题11：计算题5S：坐标系参数方程．
分析（Ⅰ）根方关系式C1 直角坐标方程根x＝ρcosθy＝ρsinθC2直角坐标方程
（2）|PQ|值C1点圆心C2值加半径．
解答解：（Ⅰ）曲线C1直角坐标方程
曲线C2直角坐标方程x2+y2＝4y﹣3x2+（y﹣2）2＝1．…………………………（5分）
（Ⅱ）设P点坐标（2cosθsinθ）．|PQ|≤|PC2|+1＝
时|PQ|max＝．…………………………（10分）
点评题考查简单曲线极坐标方程属中档题．
[选修45：等式选讲]
23．已知f（x）＝|3x+2|．
（Ⅰ）求f（x）≤1解集
（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立求实数a值．
考点R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题38：应思想4R：转化法59：等式解法应．
分析（Ⅰ）掉绝值求出等式解集
（Ⅱ）问题转化根基等式性质求出a值．
解答解：（Ⅰ）f（x）≤1|3x+2|≤1
﹣1≤3x+2≤1解
f（x）≤1解集．…………………………（5分）
（Ⅱ）f（x2）≥a|x|恒成立3x2+2≥a|x|恒成立．
x＝0时a∈R
x≠0时．
（仅时等号成立）
a值．…………………………（10分）
点评题考查解绝值等式问题考查基等式性质转化思想道常规题．
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