第节 相似形相似三角形
基概念： 1相似形：应角相等应边成例两边形称互相似形
2相似三角形：应角相等应边成例两三角形做相似三角形
1．重概念性质（行线分线段成例定理）
（1）行线分线段成例定理三条行线截两条直线应线段成例
已知a∥b∥c
A D a
B E b
C F c
等
（2）推行三角形边直线截两边(两边延长线)应线段成例 A
D E
B C
DE∥BC：推较原定理应更加广泛条件行
（3）推逆定理：果条直线截三角形两边(两边延长线)应线段成例条直线行三角形第三边
定理出种证明两直线行方法：利例式证行线
（4）定理行三角形边两边相交直线截三角形三边原三角形三边应成例
（5）①行三角形边直线两边相交构成三角形原三角形相似
②例线段：四条线段abcd中果ab等cd＝四条线段abcd做成例线段简称例线段
2．例关性质
①例基性质：果adbc果adbc（abcd等0）
②合性质：果
③等性质：果(b+d++n≠0)
④b线段ad例中项b2＝ad
典例剖析
例1：① 例尺1：38000南京交通游览图玄武湖隧道长约7cm实际长度约______Km
② __________
③ a：b__________
3． 相似三角形判定
（1） 果两三角形两角分三角形两角应相等两三角形相似
（2） 两边应成例夹角相等两三角形相似
（3） 三边应成例两三角形相似
补充：相似三角形识方法
(1)定义法：三角应相等三边应成例两三角形相似
(2)行线法：行三角形边直线两边(两边延长线)相交构成三角形原三角形相似
注意：适方法基图形(简记A型X型)
(3)三边应成例两三角形相似
(4)两边应成例夹角相等两三角形相似
(5)两角应相等两三角形相似
(6)条直角边斜边长应成例两直角三角形相似
(7)斜边高分成两直角三角形原直角三角形相似
基础练
（1）图1 时△ABC∽ △ADE
（2）图2 时 △ABC∽ △AED
（3）图3 时 △ABC∽ △ACD
结：三类基图形：母子型A型
（3）图4图1AB∥ED时△ ∽△
（4）图5 时△ ∽△
结：类图开基图开：兄弟型X型
典例剖析
例1：判断
①等腰三角形相似． （ ）
②直角三角形相似． （ ）
③等边三角形相似． （ ）
④等腰直角三角形相似． （ ）
例2：图△ABC中AD∠BAC分线AD垂直分线交ADE交BC延长线F
求证： △ABF∽ △CAF
例3：图：Rt △ ABC中 ∠ABC90°BD⊥ACD AB6 AD2 AC BD BC
例3：图：Rt △ ABC中 ∠ABC90°BD⊥ACD EBC中点ED延长线交BA延长线F
求证：AB ACDF BF
第二节 相似三角形判定
()相似三角形：定义
1应角相等应边成例两三角形做相似三角形．
温馨提示：
①仅三角形三角()三角形三角应相等三条应边相等时两()三角形做相似三角形定义中两条件缺
②相似三角形特征：形状样定相等
③应中线应高应角线等相似
④两钝角三角形否相似首先满足两钝角相等条件
2相似三角形应边做相似．
温馨提示：
①全等三角形定相似三角形相似k1．全等三角形相似三角形特例．区全等求应边相等相似求应边成例．
②相似具序性．例△ABC∽△A′B′C′应边相似k△A′B′C′∽△ABC相似仅全等时kk′1．
③相似重概念继学时出现频率较高实质图形放缩倍数点助相似三角形观察出．
3果两边数相边形应角相等应边成例两边形做相似边形．
4相似三角形预备定理：果条直线行三角形条边条直线原三角形两条边(延长线)分相交构成三角形原三角形相似．
温馨提示：
①定理基图形三种情况图符号语言：
∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE
②定理相似三角形定义推导出三角形相似判定定理．身着广泛应时证明节相似三角形三判定定理基础称预备定理
③预备定理解题时想节见行想例想见行想相似．
(二)相似三角形判定
1相似三角形判定：
判定定理(1)：两角应相等两三角形相似．
判定定理(2)：两边应成例夹角相等两三角形相似．
判定定理(3)：三边应成例两三角形相似．
温馨提示：
①行线时节学预备定理
②已应角相等(包括隐含公角顶角)时考虑利判定定理1判定定理2
③已两边应成例时考虑利判定定理2判定定理3．选择利判定定理2时应角相等必须成例两边夹角应相等．
例1图三角形ABC中点EBC中点点E作条直线交ABD 点AC延长线F点FD3ED求证：AF3CF
2直角三角形相似判定：
斜边条直角边应成例两直角三角形相似．
温馨提示：
①直角三角形角直角判定两直角三角形相似时需找应角相等判定定理1两条直角边应成例判定定理2般判定定理3判定两直角三角形相似
②图十分重相似三角形基图形图中三角形称母子相似三角形应较广泛．
③图简单记：Rt△ABC中CD⊥AB△ABC∽△CBD∽△ACD．
直角三角形身射影定理：AC2AD*AB CD2AD*BD BC2BD*AB
总结：寻找相似三角形应元素方法技巧
正确寻找相似三角形应元素分析解决相似三角形问题项基功．通常种方法：
(1)相似三角形公角顶角时公角顶角明显应角相似三角形中角(角)定应角相似三角形中相等角应角应角边应边应角夹边应边
(2)相似三角形中长边(短边)定应边应边角应角应边夹角应角．
2常见相似三角形基图形：
学三角形相似判定三角形全等判定相较证明三角形全等思想方法迁移相似三角形中出现频率较高图形善纳记忆相似三角形判定思路善总结形成整套完整判定方法．：
(1)行线型相似三角形基图形见节图．见行想相似解类题基思路
(2)相交线型相似三角形图．中图中公角顶角．见等角找等角夹等角两边成例解类题基思路
(3)旋转型相似三角形图．图中∠1∠2∠B∠D(∠C∠E)△ADE∽△ABC该图成第图中△ADE绕点A旋转某角度形成．
第三节 相似三角形中辅助线
作行线
例1 图AB边AC边取点DEAD＝AEDE延长线BC延长线相交F求证：
例2 图△ABC中AB
二作垂线
例3 图 ABCD顶点CABAD延长线引垂线CECF垂足分EF求证：
三作延长线
例4 图梯形ABCD中AD∥BC∠BCD分线CH⊥AB点HBH3AH四边形AHCD面积21求△HBC面积
例5 图RtABC中CD斜边AB高ECD中点AE延长线交BCFFGABG求证：FGCFBF
四作中线
例6 图中AB⊥ACAE⊥BCEDAC边BDDCEC1求AC
五渡法（代换法）
题构造出相似三角形考虑灵活运渡类型三种面分情况说明．
1 等量渡法（等线段代换法）
遇三点定形法法解决欲证问题时果线段例式中四条线段图形中条直线组成三角形四条线段然组成两三角形两三角形相似需根已知条件找例式中某条线段相等条线段代条线段果没考虑添加简单辅助线然应三点定形法确定相似三角形代换问题解决然注意代换线段代换回
例1：图3△ABC中AD分∠BAC AD垂直分线FE交BC延长线E．求证：DE2＝BE·CE．
2 等渡法（等代换法）
三点定形法确定三角形时等线段代换时考虑等代换法考虑利第三组线段例式搭桥通已知条件图形深入分析找求证结中某相等进行代换然三点定形法确定三角形
例2：图4△ABC中∠BAC90°AD⊥BCEAC中点ED交AB延长线点F．求证：．
3等积渡法（等积代换法）
思考问题基途径：三点定形法确定两三角形然通三角形相似推出线段成例三点定形法确定两相似三角形考虑等量（线段）代换等代换然三点定形法确定相似三角形三种方法行通时考虑等积代换法
例3：图5△ABC中∠ACB90°CD斜边AB高GDC延长线点B作BE⊥AG垂足E交CD点F．
求证：CD2＝DF·DG．
六证例式等积式方法：
线段例式等积式证明：常三点定形法等线段换法中间渡法面积法等．例式等积式涉线段直线时应线段转移(必时需添辅助线)分构成两相似三角形证明．
A
E
F
B
D
G
C
H
例
图
C
E
D
A
F
M
B
例3 图△ABC顶点C作直线边AB中线AD分交点FE．点D作DM∥FC交AB点M．(1)S△AEF：S四边形MDEF＝2：3求AE：ED
(2)求证：AE×FB＝2AF×ED
第四节 相似三角形难题集
相似三角形中动点问题：
1图Rt△ABC中∠ACB90°AC3BC4点B作射线BB1∥AC．动点D点A出发射线AC方秒5单位速度运动时动点E点C射线AC方秒3单位速度运动．点D作DH⊥ABH点E作EF⊥AC交射线BB1FGEF中点连接DG．设点D运动时间t秒． （1）t值时ADAB求出时DE长度 （2）△DEG△ACB相似时求t值．
2图△ABC中ABC＝90°AB6mBC8m动点P2ms速度A点出发AC点C移动．时动点Q1ms速度C点出发CB点B移动．中点达终点时停止移动．设移动时间t秒． （1）①t25s时求△CPQ面积 ②求△CPQ面积S（方米）关时间t（秒）函数解析式 （2）PQ移动程中△CPQ等腰三角形时求出t值．
3图1Rt△ABC中ACB＝90°AC＝6BC＝8点D边AB运动DE分CDB交边BC点EEM⊥BD垂足MEN⊥CD垂足N． （1）AD＝CD时求证：DE∥AC （2）探究：AD值时△BME△CNE相似？
4图示△ABC中BA＝BC＝20cmAC＝30cm点PA点出发着AB秒4cm速度B点运动时点QC点出发CA秒3cm速度A点运动P点达B点时Q点停止运动．设运动时间x． （1）x值时PQ∥BC？ （2）△APQ△CQB否相似？求出AP长说明理．
5图矩形ABCD中AB12cmBC6cm点PAB边A开始点B2cms速度移动点QDA边点D开始点A1cms速度移动．果PQ时出发t（s）表示移动时间（0＜t＜6）
（1）t值时△QAP等腰直角三角形？ （2）t值时点QAP顶点三角形△ABC相似？
三构造相似辅助线——双垂直模型
6面直角坐标系xOy中点A坐标(21)正例函数ykx图象线段OA夹角45°求正例函数表达式．
7△ABC中ABAC4BC2AB边C点异侧作△ABD△ABD等腰直角三角形求线段CD长．
8△ABC中ACBC∠ACB90°点MAC点点NBC点着直线MN折叠点C恰落边ABP点．求证：MC：NCAP：PB．
9图直角坐标系中矩形ABCO边OAx轴边OCy轴点B坐标（13）矩形角线AC翻折B点落D点位置AD交y轴点E．D点坐标（）
A B C D
10已知图直线y﹣2x＋2坐标轴交AB两点．AB短边第象限做矩形ABCD矩形两边1﹕2 求CD两点坐标
四构造相似辅助线——AX字型
11图：△ABC中DAB点ADACBC边中线AE交CDF求证：
12四边形ABCD中ACABAD例中项AC分∠DAB 求证：
13梯形ABCD中AB∥CDAB＝bCD＝aEAD边意点EF∥ABEF交BC点F某学研究问题时发现事实： (1)时EF(2)时EF (3)时EF．时参述研究结请猜想abk表示EF般结出证明．
14已知：图△ABC中MAC中点EFBC两点BE＝EF＝FC 求BN：NQ：QM．
15证明：（1）重心定理：三角形顶点重心距离等该顶点边中线长．（注：重心三角形三条中线交点） （2）角分线定理：三角形角分线分边成两条线段角两邻边应成例．
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基概念： 1相似形：应角相等应边成例两边形称互相似形
2相似三角形：应角相等应边成例两三角形做相似三角形
1．重概念性质（行线分线段成例定理）
（1）行线分线段成例定理三条行线截两条直线应线段成例
已知a∥b∥c
A D a
B E b
C F c
等
（2）推行三角形边直线截两边(两边延长线)应线段成例 A
D E
B C
DE∥BC：推较原定理应更加广泛条件行
（3）推逆定理：果条直线截三角形两边(两边延长线)应线段成例条直线行三角形第三边
定理出种证明两直线行方法：利例式证行线
（4）定理行三角形边两边相交直线截三角形三边原三角形三边应成例
（5）①行三角形边直线两边相交构成三角形原三角形相似
②例线段：四条线段abcd中果ab等cd＝四条线段abcd做成例线段简称例线段
2．例关性质
①例基性质：果adbc果adbc（abcd等0）
②合性质：果
③等性质：果(b+d++n≠0)
④b线段ad例中项b2＝ad
典例剖析
例1：① 例尺1：38000南京交通游览图玄武湖隧道长约7cm实际长度约______Km
② __________
③ a：b__________
3． 相似三角形判定
（1） 果两三角形两角分三角形两角应相等两三角形相似
（2） 两边应成例夹角相等两三角形相似
（3） 三边应成例两三角形相似
补充：相似三角形识方法
(1)定义法：三角应相等三边应成例两三角形相似
(2)行线法：行三角形边直线两边(两边延长线)相交构成三角形原三角形相似
注意：适方法基图形(简记A型X型)
(3)三边应成例两三角形相似
(4)两边应成例夹角相等两三角形相似
(5)两角应相等两三角形相似
(6)条直角边斜边长应成例两直角三角形相似
(7)斜边高分成两直角三角形原直角三角形相似
基础练
（1）图1 时△ABC∽ △ADE
（2）图2 时 △ABC∽ △AED
（3）图3 时 △ABC∽ △ACD
结：三类基图形：母子型A型
（3）图4图1AB∥ED时△ ∽△
（4）图5 时△ ∽△
结：类图开基图开：兄弟型X型
典例剖析
例1：判断
①等腰三角形相似． （ ）
②直角三角形相似． （ ）
③等边三角形相似． （ ）
④等腰直角三角形相似． （ ）
例2：图△ABC中AD∠BAC分线AD垂直分线交ADE交BC延长线F
求证： △ABF∽ △CAF
例3：图：Rt △ ABC中 ∠ABC90°BD⊥ACD AB6 AD2 AC BD BC
例3：图：Rt △ ABC中 ∠ABC90°BD⊥ACD EBC中点ED延长线交BA延长线F
求证：AB ACDF BF
第二节 相似三角形判定
()相似三角形：定义
1应角相等应边成例两三角形做相似三角形．
温馨提示：
①仅三角形三角()三角形三角应相等三条应边相等时两()三角形做相似三角形定义中两条件缺
②相似三角形特征：形状样定相等
③应中线应高应角线等相似
④两钝角三角形否相似首先满足两钝角相等条件
2相似三角形应边做相似．
温馨提示：
①全等三角形定相似三角形相似k1．全等三角形相似三角形特例．区全等求应边相等相似求应边成例．
②相似具序性．例△ABC∽△A′B′C′应边相似k△A′B′C′∽△ABC相似仅全等时kk′1．
③相似重概念继学时出现频率较高实质图形放缩倍数点助相似三角形观察出．
3果两边数相边形应角相等应边成例两边形做相似边形．
4相似三角形预备定理：果条直线行三角形条边条直线原三角形两条边(延长线)分相交构成三角形原三角形相似．
温馨提示：
①定理基图形三种情况图符号语言：
∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE
②定理相似三角形定义推导出三角形相似判定定理．身着广泛应时证明节相似三角形三判定定理基础称预备定理
③预备定理解题时想节见行想例想见行想相似．
(二)相似三角形判定
1相似三角形判定：
判定定理(1)：两角应相等两三角形相似．
判定定理(2)：两边应成例夹角相等两三角形相似．
判定定理(3)：三边应成例两三角形相似．
温馨提示：
①行线时节学预备定理
②已应角相等(包括隐含公角顶角)时考虑利判定定理1判定定理2
③已两边应成例时考虑利判定定理2判定定理3．选择利判定定理2时应角相等必须成例两边夹角应相等．
例1图三角形ABC中点EBC中点点E作条直线交ABD 点AC延长线F点FD3ED求证：AF3CF
2直角三角形相似判定：
斜边条直角边应成例两直角三角形相似．
温馨提示：
①直角三角形角直角判定两直角三角形相似时需找应角相等判定定理1两条直角边应成例判定定理2般判定定理3判定两直角三角形相似
②图十分重相似三角形基图形图中三角形称母子相似三角形应较广泛．
③图简单记：Rt△ABC中CD⊥AB△ABC∽△CBD∽△ACD．
直角三角形身射影定理：AC2AD*AB CD2AD*BD BC2BD*AB
总结：寻找相似三角形应元素方法技巧
正确寻找相似三角形应元素分析解决相似三角形问题项基功．通常种方法：
(1)相似三角形公角顶角时公角顶角明显应角相似三角形中角(角)定应角相似三角形中相等角应角应角边应边应角夹边应边
(2)相似三角形中长边(短边)定应边应边角应角应边夹角应角．
2常见相似三角形基图形：
学三角形相似判定三角形全等判定相较证明三角形全等思想方法迁移相似三角形中出现频率较高图形善纳记忆相似三角形判定思路善总结形成整套完整判定方法．：
(1)行线型相似三角形基图形见节图．见行想相似解类题基思路
(2)相交线型相似三角形图．中图中公角顶角．见等角找等角夹等角两边成例解类题基思路
(3)旋转型相似三角形图．图中∠1∠2∠B∠D(∠C∠E)△ADE∽△ABC该图成第图中△ADE绕点A旋转某角度形成．
第三节 相似三角形中辅助线
作行线
例1 图AB边AC边取点DEAD＝AEDE延长线BC延长线相交F求证：
例2 图△ABC中AB
二作垂线
例3 图 ABCD顶点CABAD延长线引垂线CECF垂足分EF求证：
三作延长线
例4 图梯形ABCD中AD∥BC∠BCD分线CH⊥AB点HBH3AH四边形AHCD面积21求△HBC面积
例5 图RtABC中CD斜边AB高ECD中点AE延长线交BCFFGABG求证：FGCFBF
四作中线
例6 图中AB⊥ACAE⊥BCEDAC边BDDCEC1求AC
五渡法（代换法）
题构造出相似三角形考虑灵活运渡类型三种面分情况说明．
1 等量渡法（等线段代换法）
遇三点定形法法解决欲证问题时果线段例式中四条线段图形中条直线组成三角形四条线段然组成两三角形两三角形相似需根已知条件找例式中某条线段相等条线段代条线段果没考虑添加简单辅助线然应三点定形法确定相似三角形代换问题解决然注意代换线段代换回
例1：图3△ABC中AD分∠BAC AD垂直分线FE交BC延长线E．求证：DE2＝BE·CE．
2 等渡法（等代换法）
三点定形法确定三角形时等线段代换时考虑等代换法考虑利第三组线段例式搭桥通已知条件图形深入分析找求证结中某相等进行代换然三点定形法确定三角形
例2：图4△ABC中∠BAC90°AD⊥BCEAC中点ED交AB延长线点F．求证：．
3等积渡法（等积代换法）
思考问题基途径：三点定形法确定两三角形然通三角形相似推出线段成例三点定形法确定两相似三角形考虑等量（线段）代换等代换然三点定形法确定相似三角形三种方法行通时考虑等积代换法
例3：图5△ABC中∠ACB90°CD斜边AB高GDC延长线点B作BE⊥AG垂足E交CD点F．
求证：CD2＝DF·DG．
六证例式等积式方法：
线段例式等积式证明：常三点定形法等线段换法中间渡法面积法等．例式等积式涉线段直线时应线段转移(必时需添辅助线)分构成两相似三角形证明．
A
E
F
B
D
G
C
H
例
图
C
E
D
A
F
M
B
例3 图△ABC顶点C作直线边AB中线AD分交点FE．点D作DM∥FC交AB点M．(1)S△AEF：S四边形MDEF＝2：3求AE：ED
(2)求证：AE×FB＝2AF×ED
第四节 相似三角形难题集
相似三角形中动点问题：
1图Rt△ABC中∠ACB90°AC3BC4点B作射线BB1∥AC．动点D点A出发射线AC方秒5单位速度运动时动点E点C射线AC方秒3单位速度运动．点D作DH⊥ABH点E作EF⊥AC交射线BB1FGEF中点连接DG．设点D运动时间t秒． （1）t值时ADAB求出时DE长度 （2）△DEG△ACB相似时求t值．
2图△ABC中ABC＝90°AB6mBC8m动点P2ms速度A点出发AC点C移动．时动点Q1ms速度C点出发CB点B移动．中点达终点时停止移动．设移动时间t秒． （1）①t25s时求△CPQ面积 ②求△CPQ面积S（方米）关时间t（秒）函数解析式 （2）PQ移动程中△CPQ等腰三角形时求出t值．
3图1Rt△ABC中ACB＝90°AC＝6BC＝8点D边AB运动DE分CDB交边BC点EEM⊥BD垂足MEN⊥CD垂足N． （1）AD＝CD时求证：DE∥AC （2）探究：AD值时△BME△CNE相似？
4图示△ABC中BA＝BC＝20cmAC＝30cm点PA点出发着AB秒4cm速度B点运动时点QC点出发CA秒3cm速度A点运动P点达B点时Q点停止运动．设运动时间x． （1）x值时PQ∥BC？ （2）△APQ△CQB否相似？求出AP长说明理．
5图矩形ABCD中AB12cmBC6cm点PAB边A开始点B2cms速度移动点QDA边点D开始点A1cms速度移动．果PQ时出发t（s）表示移动时间（0＜t＜6）
（1）t值时△QAP等腰直角三角形？ （2）t值时点QAP顶点三角形△ABC相似？
三构造相似辅助线——双垂直模型
6面直角坐标系xOy中点A坐标(21)正例函数ykx图象线段OA夹角45°求正例函数表达式．
7△ABC中ABAC4BC2AB边C点异侧作△ABD△ABD等腰直角三角形求线段CD长．
8△ABC中ACBC∠ACB90°点MAC点点NBC点着直线MN折叠点C恰落边ABP点．求证：MC：NCAP：PB．
9图直角坐标系中矩形ABCO边OAx轴边OCy轴点B坐标（13）矩形角线AC翻折B点落D点位置AD交y轴点E．D点坐标（）
A B C D
10已知图直线y﹣2x＋2坐标轴交AB两点．AB短边第象限做矩形ABCD矩形两边1﹕2 求CD两点坐标
四构造相似辅助线——AX字型
11图：△ABC中DAB点ADACBC边中线AE交CDF求证：
12四边形ABCD中ACABAD例中项AC分∠DAB 求证：
13梯形ABCD中AB∥CDAB＝bCD＝aEAD边意点EF∥ABEF交BC点F某学研究问题时发现事实： (1)时EF(2)时EF (3)时EF．时参述研究结请猜想abk表示EF般结出证明．
14已知：图△ABC中MAC中点EFBC两点BE＝EF＝FC 求BN：NQ：QM．
15证明：（1）重心定理：三角形顶点重心距离等该顶点边中线长．（注：重心三角形三条中线交点） （2）角分线定理：三角形角分线分边成两条线段角两邻边应成例．
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