相似形专题
1．（2017•阿坝州）图△ABC△ADE公顶点等腰直角三角形∠BAC∠DAE90°点P射线BDCE交点．
（1）求证：BDCE
（2）AB2AD1△ADE绕点A旋转∠EAC90°时求PB长
解答解：（1）∵△ABC△ADE等腰直角三角形∠BAC∠DAE90°
∴ABACADAE∠DAB∠CAE．
∴△ADB≌△AEC．
∴BDCE．
（2）解：①点EAB时BEAB﹣AE1．
∵∠EAC90°
∴CE．
（1）证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA∠ECA．
∵∠PEB∠AEC
∴△PEB∽△AEC．
∴．
∴．
∴PB．
②点EBA延长线时BE3．
∵∠EAC90°
∴CE．
（1）证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA∠ECA．
∵∠BEP∠CEA
∴△PEB∽△AEC．
∴．
∴．
∴PB．
综述PB长．
2．（2017•常德）图直角△ABC中∠BAC90°DBC连接AD作BF⊥AD分交ADEACF．
（1）图1BDBA求证：△ABE≌△DBE
（2）图2BD4DC取AB中点G连接CG交ADM求证：①GM2MC②AG2AF•AC．
解答证明：（1）Rt△ABERt△DBE中
∴△ABE≌△DBE
（2）①G作GH∥AD交BCH
∵AGBG
∴BHDH
∵BD4DC
设DC1BD4
∴BHDH2
∵GH∥AD
∴
∴GM2MC
②C作CN⊥AC交AD延长线NCN∥AG
∴△AGM∽△NCM
∴
①知GM2MC
∴2NCAG
∵∠BAC∠AEB90°
∴∠ABF∠CAN90°﹣∠BAE
∴△ACN∽△BAF
∴
∵AB2AG
∴
∴2CN•AGAF•AC
∴AG2AF•AC．
3．（2017•杭州）图锐角三角形ABC中点DE分边ACABAG⊥BC点GAF⊥DE点F∠EAF∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC
（2）AD3AB5求值．
解答解：（1）∵AG⊥BCAF⊥DE
∴∠AFE∠AGC90°
∵∠EAF∠GAC
∴∠AED∠ACB
∵∠EAD∠BAC
∴△ADE∽△ABC
（2）（1）知：△ADE∽△ABC
∴
（1）知：∠AFE∠AGC90°
∴∠EAF∠GAC
∴△EAF∽△CAG
∴
∴
4．（2017•眉山）图点E正方形ABCD边BC延长线点连结DE顶点B作BF⊥DE垂足FBF分交ACH交CDG．
（1）求证：BGDE
（2）点GCD中点求值．
解答解：（1）∵BF⊥DE
∴∠GFD90°
∵∠BCG90°∠BGC∠DGF
∴∠CBG∠CDE
△BCG△DCE中
∴△BCG≌△DCE（ASA）
∴BGDE
（2）设CG1
∵GCD中点
∴GDCG1
（1）知：△BCG≌△DCE（ASA）
∴CGCE1
∴勾股定理知：DEBG
∵sin∠CDE
∴GF
∵AB∥CG
∴△ABH∽△CGH
∴
∴BHGH
∴
5．（2017•河池）（1）图1正方形ABCD中点EF分BCCDAE⊥BF点M求证：AEBF
（2）图2 （1）中正方形ABCD改矩形ABCDAB2BC3AE⊥BF点M探究AEBF数量关系证明结．
解答（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴∠ABC∠CABBC．
∵AE⊥BF
∴∠AMB∠BAM+∠ABM90°
∵∠ABM+∠CBF90°
∴∠BAM∠CBF．
△ABE△BCF中
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴AEBF
（2）解：AEBF
理：∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC∠C
∵AE⊥BF
∴∠AMB∠BAM+∠ABM90°
∵∠ABM+∠CBF90°
∴∠BAM∠CBF
∴△ABE∽△BCF
∴
∴AEBF．
6．（2017•泰安）图四边形ABCD中ABACADAC分∠BAD点PAC延长线点PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC∠PDC
（2）ACBD相交点EAB1CE：CP2：3求AE长．
解答（1）证明：∵ABADAC分∠BAD
∴AC⊥BD
∴∠ACD+∠BDC90°
∵ACAD
∴∠ACD∠ADC
∴∠ADC+∠BDC90°
∵PD⊥AD
∴∠ADC+∠PDC90°
∴∠BDC∠PDC
（2）解：点C作CM⊥PD点M
∵∠BDC∠PDC
∴CECM
∵∠CMP∠ADP90°∠P∠P
∴△CPM∽△APD
∴
设CMCEx
∵CE：CP2：3
∴PCx
∵ABADAC1
∴
解：x
AE1﹣．
7．（2017•天水）△ABC△DEF两全等等腰直角三角形∠BAC∠EDF90°△DEF顶点E△ABC斜边BC中点重合△DEF绕点E旋转旋转程中线段DE线段AB相交点P线段EF射线CA相交点Q．
（1）图①点Q线段ACAPAQ时求证：△BPE≌△CQE
（2）图②点Q线段CA延长线时求证：△BPE∽△CEQ求BP2CQ9时BC长．
解答（1）证明：∵△ABC等腰直角三角形
∴∠B∠C45°ABAC
∵APAQ
∴BPCQ
∵EBC中点
∴BECE
△BPE△CQE中
∵
∴△BPE≌△CQE（SAS）
（2）解：∵△ABC△DEF两全等等腰直角三角形
∴∠B∠C∠DEF45°
∵∠BEQ∠EQC+∠C
∠BEP+∠DEF∠EQC+∠C
∴∠BEP+45°∠EQC+45°
∴∠BEP∠EQC
∴△BPE∽△CEQ
∴
∵BP2CQ9BECE
∴BE218
∴BECE3
∴BC6．
8．（2017•绥化）图矩形ABCD中EAB边点EC分∠DEBFCE中点连接AFBF点E作EH∥BC分交AFCDGH两点．
（1）求证：DEDC
（2）求证：AF⊥BF
（3）AF•GF28时请直接写出CE长．
解答解：（1）∵四边形ABCD矩形
∴AB∥CD
∴∠DCE∠CEB
∵EC分∠DEB
∴∠DEC∠CEB
∴∠DCE∠DEC
∴DEDC
（2）图连接DF
∵DEDCFCE中点
∴DF⊥EC
∴∠DFC90°
矩形ABCD中ABDC∠ABC90°
∴BFCFEFEC
∴∠ABF∠CEB
∵∠DCE∠CEB
∴∠ABF∠DCF
△ABF△DCF中
∴△ABF≌△DCF（SAS）
∴∠AFB∠DFC90°
∴AF⊥BF
（3）CE4．
理：∵AF⊥BF
∴∠BAF+∠ABF90°
∵EH∥BC∠ABC90°
∴∠BEH90°
∴∠FEH+∠CEB90°
∵∠ABF∠CEB
∴∠BAF∠FEH
∵∠EFG∠AFE
∴△EFG∽△AFE
∴EF2AF•GF
∵AF•GF28
∴EF2
∴CE2EF4．
9．（2017•雨城区校级招生）Rt△ABC中∠BAC90°点B直线MN∥ACDBC边点连接AD作DE⊥AD交MN点E连接AE．
（1）图1∠ABC45°时求证：ADDE
（2）图2∠ABC30°时线段ADDE数量关系？请说明理．
解答（1）证明：图1点D作DF⊥BC交AB点F
∠BDE+∠FDE90°
∵DE⊥AD
∴∠FDE+∠ADF90°
∴∠BDE∠ADF
∵∠BAC90°∠ABC45°
∴∠C45°
∵MN∥AC
∴∠EBD180°﹣∠C135°
∵∠BFD45°DF⊥BC
∴∠BFD45°BDDF
∴∠AFD135°
∴∠EBD∠AFD
△BDE△FDA中
∴△BDE≌△FDA（ASA）
∴ADDE
（2）解：DEAD
理：图2点D作DG⊥BC交AB点G
∠BDE+∠GDE90°
∵DE⊥AD
∴∠GDE+∠ADG90°
∴∠BDE∠ADG
∵∠BAC90°∠ABC30°
∴∠C60°
∵MN∥AC
∴∠EBD180°﹣∠C120°
∵∠ABC30°DG⊥BC
∴∠BGD60°
∴∠AGD120°
∴∠EBD∠AGD
∴△BDE∽△GDA
∴
Rt△BDG中tan30°
∴DEAD．
10．（2017•深圳模拟）图1边长2正方形ABCD中EBA延长线点AEAB点P点D出发秒1单位长度D→C→B终点B运动直线EP交AD点F点F作直线FG⊥DE点G交AB点R．
（1）求证：AFAR
（2）设点P运动时间t
①求t值时四边形PRBC矩形？
②图2连接PB．请直接写出△PRB等腰三角形时t值．
解答（1）证明：图正方形ABCD中ADAB2
∵AEAB
∴ADAE
∴∠AED∠ADE45°
∵FG⊥DE
∴Rt△EGR中∠GER∠GRE45°
∴Rt△ARF中∠FRA∠AFR45°
∴∠FRA∠RFA45°
∴AFAR
（2）解：①图四边形PRBC矩形时
PR∥BC
∴AF∥PR
∴△EAF∽△ERP
∴：（1）AFAR
∴
解：（合题意舍）
∴
∵点P点D出发秒1单位长度D→C→B终点B运动
∴（秒）
②PRPB
点P作PK⊥ABK
设FAxRKBR（2﹣x）
∵△EFA∽△EPK
∴
：
解：x±﹣3（舍负值）
∴t（秒）
PBRB
△EFA∽△EPB
∴
∴
∴BPAB×2
∴CPBC﹣BP2﹣
∴（秒）．
综述PRPB时tPBRB时秒．
11．（2017•江汉区校级模拟）图正方形ABCD角线ACBD相交点O延长CB点FCFCA连接AF∠ACF分线分交AFABBD点ENM连接EO．
（1）已知BD求正方形ABCD边长
（2）猜想线段EMCN数量关系加证明．
解答解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴△ABD等腰直角三角形
∴2AB2BD2
∵BD
∴AB1
∴正方形ABCD边长1
（2）CN2EM
证明方法理：∵四边形ABCD正方形
∴AC⊥BDOAOC
∵CFCACE∠ACF分线
∴CE⊥AFAEFE
∴EO△AFC中位线
∴EO∥BC
∴
∴Rt△AEN中OAOC
∴EOOCAC
∴CMEM
∵CE分∠ACF
∴∠OCM∠BCN
∵∠NBC∠COM90°
∴△CBN∽△COM
∴
∴CNCM
CN2EM．
证明方法二∵四边形ABCD正方形
∴∠BAC45°∠DBC
（1）知Rt△ACE中EOACCO
∴∠OEC∠OCE
∵CE分∠ACF
∴∠OCE∠ECB∠OEC
∴EO∥BC
∴∠EOM∠DBC45°
∵∠OEM∠OCE
∴△EOM∽△CAN
∴
∴CN2CM．
12．（2017•济宁二模）两块全等三角板图1摆放中∠A1CB1∠ACB90°∠A1∠A30°．
（1）图1中△A1B1C绕点C时针旋转45°图2点P1A1CAB交点点QA1B1BC交点求证：CP1CQ
（2）图2中AP1aCQ等少？
（3）图2中△A1B1C绕点C时针旋转△A2B2C（图3）点P2A2CAP1交点．旋转角少度时△AP1C∽△CP1P2？时线段CP1P1P2间存样数量关系？．
解答（1）证明：∵∠B1CB45°∠B1CA190°
∴∠B1CQ∠BCP145°
B1CBC∠B1∠B
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQCP1
（2）解：图：作P1D⊥ACD
∵∠A30°
∴P1DAP1
∵∠P1CD45°
∴sin45°
∴CP1P1DAP1
AP1aCQCP1
∴CQa
（3）解：∠P1CP2∠P1AC30°时∠CP1P2∠AP1C△AP1C∽△CP1P2
图2中△A1B1C绕点C时针旋转30°△A2B2C时△AP1C∽△CP1P2．
时
∴P1P2CP1．
13．（2017•惠阳区模拟）Rt△ABCRt△DEF图（1）摆放（点CE重合）点BC（E）F条直线．已知：∠ACB∠EDF90°∠DEF45°AC8cmBC6cmEF10cm．图（2）△DEF图（1）位置出发1cms速度CB△ABC匀速移动△DEF移动时点P△ABC顶点A出发2cms速度AB点B匀速移动点P移动点B时点P停止移动△DEF停止移动．DEAC交点Q连接PQ设移动时间t（s）．
（1）含t代数式表示线段APAQ长写出t取值范围
（2）连接PE设四边形APEQ面积y（cm2）试探究y值
（3）t值时△APQ等腰三角形．
解答（1）解：AP2t
∵∠EDF90°∠DEF45°
∴∠CQE45°∠DEF
∴CQCEt
∴AQ8﹣t
t取值范围：0≤t≤5
（2）点P作PG⊥x轴G求AB10SinBPB10﹣2tEB6﹣t
∴PGPBSinB（10﹣2t）
∴yS△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE
∴（0≤t≤5）y值y值（cm2）
（3）APAQ2t8﹣t解：（s）
APPQ图①：点P作PH⊥ACAHQHPH∥BC
∴△APH∽△ABC
∴
解：（s）
AQPQ图②：点Q作QI⊥ABAIPIAPt
∵∠AIQ∠ACB90°∠A∠A
∴△AQI∽△ABC
∴
解：（s）
综述时△APQ等腰三角形．
14．（2017•庐阳区模）△ABC∠A∠B∠C边分abc条直线DE边AC相交点D边AB相交点E．
（1）图①DE△ABC分成周长相等两部分AD+AE等少（abc表示）
（2）图②AC3AB5BC4．DE△ABC分成周长面积相等两部分求AD
（3）图③DE△ABC分成周长面积相等两部分DE∥BCabc满足什关系？
解答解：（1）∵DE△ABC分成周长相等两部分
∴AD+AECD+BC+BE（AB+AC+BC）（a+b+c）
（2）设ADxAE6﹣x
∵S△ADEAD•AE•sinA3
：x（6﹣x）•3
解：x1（舍）x2
∴AD
（3）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴ADbAEc
∴bc（a+b+c）
∴﹣1．
15．（2017•嘉兴模拟）已知：图四边形ABCD正方形∠PAQ45°∠PAQ绕着正方形顶点A旋转正方形ABCD两外角∠EBC∠FDC分线分交点MN连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA
（2）连接BD∠BAM度数少时四边形BMND矩形加证明．
解答（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴∠ABC∠ADC∠BAD90°
∵BMDN分正方形两外角分线
∴∠ABM∠ADN135°
∵∠MAN45°
∴∠BAM∠AND45°﹣∠DAN
∴△ABM∽△NDA
（2）解：∠BAM225°时四边形BMND矩形理：
∵∠BAM225°∠EBM45°
∴∠AMB225°
∴∠BAM∠AMB
∴ABBM
理ADDN
∵ABAD∴BMDN
∵四边形ABCD正方形
∴∠ABD∠ADB45°
∴∠BDN∠DBM90°
∴∠BDN+∠DBM180°
∴BM∥DN
∴四边形BMND行四边形
∵∠BDN90°
∴四边形BMND矩形．
16．（2017•肥城市三模）图锐角△ABC中DE分ABBC中点FAC点∠AFE∠ADM∥EF交AC点M．
（1）点GBE∠BDG∠C求证：DG•CFDM•EG
（2）图中取CE点H∠CFH∠BBG1求EH长．
解答（1）证明：图1示
∴DE分ABBC中点
∴DE∥AC
∵DM∥EF
∴四边形DEFM行四边形
∴DMEF
图2示
∵DE分ABBC中点
∴DE∥AC
∴∠BDE∠A∠DEG∠C
∵∠AFE∠A
∴∠BDE∠AFE
∴∠BDG+∠GDE∠C+∠FEC
∵∠BDG∠C
∴∠GDE∠FEC
∴△DEG∽△ECF
∴
∴
∴
∴DG•CFDM•EG
（2）解：图3示
∵∠BDG∠C∠DEB∠B∠B
∴△BDG∽△BED
∴
∴BD2BG•BE
∵∠AFE∠A∠CFH∠B
∴∠C180°﹣∠A﹣∠B180°﹣∠AFE﹣∠CFH∠EFH
∵∠FEH∠CEF
∴△EFH∽△ECF
∴
∴EF2EH•EC
∵DE∥ACDM∥EF
∴四边形DEFM行四边形
∴EFDMDABD
∴BG•BEEH•EC
∵BEEC
∴EHBG1．
17．（2017•肥城市模拟）△ABC中ABAC点DEF分BCABAC∠EDF∠B．
（1）图1求证：DE•CDDF•BE
（2）DBC中点图2连接EF．
①求证：ED分∠BEF
②四边形AEDF菱形求∠BAC度数值．
解答（1）证明：∵△ABC中ABAC
∴∠B∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB180°∠BDE+∠EDF+∠FDC180°∠EDF∠B
∴∠FDC∠DEB
∴△BDE∽△CFD
∴
DE•CDDF•BE
（2）解：①（1）证△BDE∽△CFD
∴
∵DBC中点
∴BDCD
∴
∵∠B∠EDF
∴△BDE～△DFE
∴∠BED∠DEF
∴ED分∠BEF
②∵四边形AEDF菱形
∴∠AEF∠DEF
∵∠BED∠DEF
∴∠AEF60°
∵AEAF
∴∠BAC60°
∵∠BAC60°
∴△ABC等边三角形
∴∠B60°
∴△BED等边三角形
∴BEDE
∵AEDE
∴AEAB
∴．
18．（2017•长宁区二模）图△ABC 中点PAC边点点P作BC行直线PQ交AB点Q点D线段 BC联接AD交线段PQ点E点GBC延长线∠ACG分线交直线PQ点F．
（1）求证：PCPE
（2）P边AC中点时求证：四边形AECF矩形．
解答（1）证明：∵PQ∥BC
∴△AQE∽△ABD△AEP∽△ADC
∴
∴
∵
∴
∴PCPE
（2）∵PF∥DG
∴∠PFC∠FCG
∵CF分∠PCG
∴∠PCF∠FCG
∴∠PFC∠FCG
∴PFPC
∴PFPE
∵P边AC中点
∴APCP
∴四边形AECF行四边形
∵PQ∥CD
∴∠PEC∠DCE
∴∠PCE∠DCE
∴∠PCE+∠PCF（∠PCD+∠PCG）90°
∴∠ECF90°
∴行四边形AECF矩形．
19．（2017•安徽模拟）图已知△ABC中ACBC点DEF分线段ACBCAD中点BFED延长线交点G连接GC．
（1）求证：ABGD
（2）图2CGEG时求值．
解答解：（1）∵DE分线段ACBC中点
∴DE△ABC中位线
∴DE∥ABEG∥AB
∴∠FDG∠A
∵点F线段AD中点
∴AFDF
△ABF△DGF中
∴△ABF≌△DGF（ASA）
∴ABGD
（2）∵DE△ABC中位线
∴DEABCEBCAC
∵DGAB
∴EGDE+DG
∴EGAB
∵DE∥AB
∴∠GEC∠CBA
∵ACBCCGEG
∴△GEC∽△CBA
∴
∴
20．（2017•蜀山区二模）图△ABC中DE分ABAC点线段BECD相交点O∠DCB∠EBC∠A．
（1）求证：△BOD∽△BAE
（2）求证：BDCE
（3）MN分BECE中点MN直线交ABP交ACQ线段APAQ相等？什？
解答（1）证明：∵∠BCO∠CBO
∴∠DOB∠BCO+CBO2∠BCO
∵∠A2∠BCO
∴∠DOB∠A
∵∠ABE∠ABE
∴△BOD∽△BAE
（2）解：延长CDCD延长线取点FBFBD
∴∠BDF∠BFD
∵∠BDF∠ABO+∠DOB∠BEC∠ABO+∠A
（1）∠BOD∠A
∴∠BDF∠BEC
∴∠BFD∠BEC
△BFC△CEB中
∴△BFC≌△CEB
∴BDBF
∴BDCE
（3）解：APAQ
理：取BC中点G连接GMGN
∵MN分BECD中点
∴GMGN中位线
∴GM∥CEGMCEGN∥BDGNBD
∵BDCE
∴GMGN
∴∠3∠4
∵GM∥CE
∴∠2∠4
∵GN∥BD
∴∠3∠1
∴∠1∠2
∴APAQ．
21．（2017•石家庄二模）图矩形ABCD矩形PEFG中AB8BC6PE2PG4．PEAC交点MEFAC交点N动点P点A出发AB秒1单位长速度点B匀速运动伴点P运动矩形PEFG射线AB滑动动点K点P出发折线PE﹣﹣EF秒1单位长速度匀速运动．点PK时开始运动点K达点F时停止运动点P停止．设点PK运动时间t秒（t＞0）．
（1）t1时KE 1 EN
（2）t值时△APM面积△MNE面积相等？
（3）点K达点N时求出t值
（4）t值时△PKB直角三角形？
解答解：（1）t1时根题意AP1PK1
∵PE2
∴KE2﹣11
∵四边形ABCDPEFG矩形
∴△APM∽△ABC△APM∽△NEM
∴
∴MPME
∴NE
答案：1
（2）（1）结合题意
APtPMtME2﹣tNE﹣t
∴t×t（2﹣t）×（﹣t）
解t
（3）点K达点N时PE+NEAP
（2）﹣t+2t
解t
（4）①KPE边意点时△PKB直角三角形
0＜t≤2
②点kEF时
KEt﹣2BP8﹣t
∵△BPK∽△PKE
∴PK2BP×KEPK2PE2+KE2
∴4+（t﹣2）2（8﹣t）（t﹣2）
解t3t4
③t5时点KBC边∠KBP90°．
综0＜t≤2t3t45时△PKB直角三角形．
22．（2017•农安县模拟）图（1）△ABC中ADBC边中线A点作AE∥BCD点作DE∥AB交点E连接CE．
（1）求证：四边形ADCE行四边形．
（2）连接BEAC分BEDE交点FG图（2）AC6求FG长．
解答（1）证明：∵AE∥BCDE∥AB．
∴四边形ABDE行四边形
∴AEBD
∵BDDC
∴AEDC
∵AE∥DC
∴四边形ADCE行四边形．
（2）解：∵四边形ADCE行四边形AC6
∴AGGC3
∵AE∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴
∴AF2
∴FGAG﹣AF1．
23．（2017•杨浦区三模）已知：正方形ABCD中点EF分CBCD延长线点BEDF联结AEAFDEDE交AB点M．
（1）图1EAF直线时求证：点MED中点
（2）图2AF∥ED求证：AM2AB•BM．
解答（1）连接AC∵四边形ABCD正方形
∴∠DAM∠BEM∠BCD90°∠BCA∠DCA45°ABBCCDDA
∵BEDF∴CECF
∴∠AEB∠F45°
∴BEBAAD
△ADM△BEM中
∴△ADM△BEM
∴DMEM点MED中点
（2）解：∵四边形ABCD正方形
∴∠DAM∠EBM90°ADAB
∴△ADM∽△BEM
∴
∵AM∥DFAF∥DE
∴四边形AMDF行四边形
∴AMDF
∵BEDF
∴AMBE
∴
∴AM2AB•BM．
24．（2017•杭州模拟）已知图1点DE分ABAC．
（1）求证：DE∥BC．
（2）已知图2△ABC中点D边AC意点连结BD取BD中点E连结CE延长CE交边AB点F求证：．
（3）（2）条件ABACAFCD求值．
解答解：（1）∵∠A∠A
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE∠B
∴DE∥BC
（2）点D作DG∥AB交CF点G
∴△CDG∽△CAF
∴
∵EBD中点
∴BEED
∵DG∥AB
∴∠FBE∠EDG
△DEG△CAF中
∴△DEG≌△BEF（AAS）
∴DGBF
∴
（3）（2）：
∵ABACAFCD
∴
∴BF2+BF•AF﹣AF20
∴（）2+﹣10
∴解：
∴
25．（2017•岱岳区二模）已知△ABCACBC点EF直线AB∠ECF∠A．
（1）图1点EFAB时求证：AC2AF•BE
（2）图2点EFAB延长线∠A60°AB4BE3求BF长．
解答解：（1）∵ACBC
∴∠A∠B
∵∠BEC∠ACE+∠A
∠ACF∠ACE+∠ECF
∴∠ACF∠BEC
∴△ACF∽△BEC
∴
∴AC2AF•BE
（2）∵∠A60°
∴△ABC等边三角形
∴∠A∠ABC∠ACB60°∠ECF
∵∠ECB∠ACB﹣∠ACE∠F∠ABC﹣∠FCB
∠ACE∠FCB
∴∠ECB∠F
∵∠ABC∠A
∴△ACF∽△BEC
∴
∴AF
∴BFAF﹣AB
26．（2017•硚口区模拟）图正方形ABCD∠EAF45°．交BCCDEF交BDHG．
（1）求证：AD2BG•DH
（2）求证：CEDG
（3）求证：EFHG．
解答证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴∠ABD∠ADB45°ABAD
∵∠EAF45°
∴∠BAG45°+∠BAH∠AHD45°+∠BAH
∴∠BAG∠AHD
∵∠ABD∠ADB45°
∴△ABG∽△HDA
∴
∴BG•DHAB•ADAD2
（2）图连接AC
∵四边形ABCD正方形
∴∠ACE∠ADB∠CAD45°
∴ACAD
∵∠EAF45°
∴∠EAF∠CAD
∴∠EAF﹣∠CAF∠CAD﹣∠CAF
∴∠EAC∠GAD
∴△EAC∽△GAD
∴
∴CEDG
（3）（2）：△EAC∽△GAD
∴
理：△AFC∽△AHB
∴
∴
∴
∵∠GAH∠EAF
∴△GAH∽△EAF
∴
∴EFGH．
27．（2017•岱岳区模）图C线段BD动点BD分作BD垂线ABBCDEDB连接ADACBEB作AD垂线垂足F连接CEEF．
（1）求证：AC•DFBF•BD
（2）点C运动程中∠CFE度数保持变求出度数
（3）点C运动什位置时CE∥BF？说明理．
解答解：（1）∵BF⊥AD
∴∠AFB∠BFD90°
∴∠ABF+∠BAF90°
∵AB⊥BC
∴∠ABF+∠DBF90°
∴∠BAF∠DBF
∴△ABF∽△BDF
∴AB•DFBF•BD
ABBCAB⊥BC
∴ABAC
∴AC•DFBF•BD
（2）∵ABBCBDDE
∴
∵∠FBC+∠BDF90°∠BDF+∠EDF90°
∴∠FBC∠EDF
∴△FBC∽△FDE
∴∠BFC∠DFE
∠BFD∠BFC+∠CFD90°
∴∠DFE+∠CFD90°∠CFE90°
∠CFE度数保持变始终等90°．
（3）CBD中点时CE∥BF
理：
∵CBD中点
∴ABBCCDBDDE
△ABD△CDE中
∵
∴△ABD≌△CDE（SAS）
∴∠ADB∠CED
∵∠CED+∠ECD90°
∴∠ADB+∠ECD90°
∴CE⊥AD
∵BF⊥AD
∴CE∥BF．
28．（2017•长春模拟）图△ABC中点D边AB（AB重合）DE∥BC交AC点E△ADE直线DE翻折△A′DE直线DA′EA′分交直线BC点MN．
（1）求证：DBDM．
（2）2DE6求线段MN长．
（3）n（n≠1）DEa线段MN长 a﹣（n＞1）﹣a（0＜n＜1） （含n代数式表示）．
解答解：（1）∵DE∥BC
∴∠ADE∠B∠A′DE∠DMB
翻折知：∠ADE∠A′DE
∵∠B∠DMB
∴DBDM
（2）翻折知：A′DAD
∵DBDM
∴
∴
∵DE∥BC
∴△A′MN∽△A′DE
∴
∵DE6
∴MNDE3
（3）翻折知：A′DAD
∵nDBDM
∴n
n＞1时
∴
∵DE∥BC
∴△A′MN∽△A′DE
∴
∵DEa
∴MNDEa﹣
理：0＜n＜1时
时∴
∴MN
综述MNa﹣（n＞1）﹣a（0＜n＜1）
答案：（3）MNa﹣（n＞1）﹣a（0＜n＜1）
29．（2017•武汉）已知四边形ABCD组边ADBC延长线交点E．
（1）图1∠ABC∠ADC90°求证：ED•EAEC•EB
（2）图2∠ABC120°cos∠ADCCD5AB12△CDE面积6求四边形ABCD面积
（3）图3组边ABDC延长线相交点F．cos∠ABCcos∠ADCCD5CFEDn直接写出AD长（含n式子表示）
解答解：（1）图1中
∵∠ADC90°∠EDC+∠ADC180°
∴∠EDC90°
∵∠ABC90°
∴∠EDC∠ABC
∵∠E∠E
∴△EDC∽△EBA
∴
∴ED•EAEC•EB．
（2）图2中C作CF⊥ADFAG⊥EBG．
Rt△CDF中cos∠ADC
∴∵CD5
∴DF3
∴CF4
∵S△CDE6
∴•ED•CF6
∴ED3EFED+DF6
∵∠ABC120°∠G90°∠G+∠BAG∠ABC
∴∠BAG30°
∴Rt△ABG中BGAB6AG6
∵CF⊥ADAG⊥EB
∴∠EFC∠G90°∵∠E∠E
∴△EFC∽△EGA
∴
∴
∴EG9
∴BEEG﹣BG9﹣6
∴S四边形ABCDS△ABE﹣S△CDE（9﹣6）×6﹣675﹣18．
（3）图3中作CH⊥ADHCH4DH3
∴tan∠E
作AG⊥DF点G设AD5aDG3aAG4a
∴FGDF﹣DG5+n﹣3a
∵CH⊥ADAG⊥DF∠E∠F
易证△AFG∽△CEH
∴
∴
∴a
∴AD5a．
30．（2017•冶市模拟）图△ABC中点EF分边ABACBFCE相交点P∠1∠2∠A．
（1）图1ABAC求证：BECF
（2）图2AB≠AC
①（1）中结否成立？请出判断说明理
②求证：．
解答解：（1）∵ABAC
∴∠EBC∠FCB
△BCE△CBF中
∴△BCE≌△CBF
∴BECF
（2）①成立理：作∠A分线交BC点D连结DEDF
∠DAF∠DAE∠A
∵∠1∠2∠A
∴∠DAF∠DAE∠1∠2
∴ABDF四点AEDC四点分圆
∴BDDFDEDC
∵∠BDE∠A∠CDF∠A
∴∠BDE∠CDF
△DEB△DCF中
∴△DEB≌△DCF
∴BECF
②面证明易知△DFB△DEC均等腰三角形
∵∠1∠2
∴△DFB∽△DEC
∴
∵AD△ABC角分线
∴
∴．
31．（2017•东区二模）图1锐角△ABC中DE分ABBC中点点FAC满足∠AFE∠ADM∥EF交AC点M．
（1）证明：DMDA
（2）点GBE∠BDG∠C图2求证：△DEG∽△ECF
（3）图2中取CE点H∠CFH∠BBG5求EH长．
解答（1）证明：图1示
∵DM∥EF
∴∠AMD∠AFE
∵∠AFE∠A
∴∠AMD∠A
∴DMDA
（2）证明：图2示
∵DE分ABBC中点
∴DE∥AC
∴∠BDE∠A∠DEG∠C
∵∠AFE∠A
∴∠BDE∠AFE
∴∠BDG+∠GDE∠C+∠FEC
∵∠BDG∠C
∴∠GDE∠FEC
∴△DEG∽△ECF
（3）解：图3示
∵∠BDG∠C∠DEB∠B∠B
∴△BDG∽△BED
∴
∴BD2BG•BE
∵∠AFE∠A∠CFH∠B
∴∠C180°﹣∠A﹣∠B180°﹣∠AFE﹣∠CFH∠EFH
∵∠FEH∠CEF
∴△EFH∽△ECF
∴
∴EF2EH•EC
∵DE∥ACDM∥EF
∴四边形DEFM行四边形
∴EFDMDABD
∴BG•BEEH•EC
∵BEEC
∴EHBG5．
32．（2017•州）图分活动菱形行四边形学具已知行四边形较短边菱形边长相等．
（1）次数学活动中某组学生菱形边行四边形较短边重合摆拼成图1示图形AF点C连接DE交AF点M观察发现：点MDE中点．
面两位学生代表性证明思路：
思路1：需作辅助线直接证三角形全等
思路2：证三角形全等连接BD交AF点H．…
请参考面思路证明点MDE中点（需种方法证明）
（2）图2（1）前提∠ABE135°时延长ADEF交点N求值
（3）（2）条件k（k常数）直接含k代数式表示值．
解答解：（1）图1
证法：∵四边形ABCD菱形
∴ABCDAB∥CD
∵四边形ABEF行四边形
∴ABEFAB∥EF
∴CDEFCD∥EF
∴∠CDM∠FEM
△CDM△FEM中
∴△CDM≌△FEM
∴DMEM
点MDE中点
证法二：∵四边形ABCD菱形
∴DHBH
∵四边形ABEF行四边形
∴AF∥BE
∵HM∥BE
∴1
∴DMEM
点MDE中点
（2）∵△CDM≌△FEM
∴CMFM
设ADaCMb
∵∠ABE135°
∴∠BAF45°
∵四边形ABCD菱形
∴∠NAF45°
∴四边形ABCD正方形
∴ACADa
∵AB∥EF
∴∠AFN∠BAF45°
∴△ANF等腰直角三角形
∴NFAF（a+b+b）a+b
∴NENF+EFa+b+a2a+b
∴
（4）∵+2•k
∴（k﹣）
∴
∴•+1•+1．
33．（2016秋•城县期末）图已知△ABC中P边AB点连接CPMCP中点连接BM延长交AC点DNAP中点连接MN．∠ACP∠ABD．
（1）求证：AC•MNBN•AP
（2）AB3AC2求AP长．
解答解：（1）∵MCP中点NAP中点
∴MN△ACP中位线
∴NM∥ACMNAC
∴∠A∠BNM
∵∠ACP∠ABD
∴△ACP∽△NBM
∴
∴AC•MNBN•AP
（2）∵AC2
∴MNAC1
设ANxAP2x
∵AC•MNBN•AP
∴2×1（3﹣x）×2x
解x1x2
∴AP3+（舍）AP3﹣
∴AP长3﹣．
34．（2016秋•召陵区期末）图已知ACEC分四边形ABCDEFCG角线点E△ABC∠CAE+∠CBE90°四边形ABCDEFCG均正方形时连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF
（2）BE1AE2求CE长．
解答解：（1）∵四边形ABCDEFCG均正方形
∴
∵∠ACE+∠BCE∠BCF+∠BCE45°
∴∠ACE∠BCF
∴△CAE∽△CBF．
（2）：∵△CAE∽△CBF
∴∠CAE∠CBF
∵∠CAE+∠CBE90°
∴∠CBF+∠CBE90°
∴∠EBF90°
∵AE2
∴
∴BF
∴EF2BE2+BF23
∴EF
∵CE22EF26
∴CE．
35．（2016秋•舆县期末）图①矩形ABCD中AB2BC5BP1∠MPN90°∠MPN绕点PPB处开始时针方旋转PM交边AB（AD）点EPN交边AD（CD）点FPN旋转PC处时∠MPN旋转停止．
（1）特殊情形：图②发现PM点A时PN恰巧点D时△ABP ∽ △PCD（填≌～）
（2）类探究：图③旋转程中值否定值？请求出该定值请说明理．
解答解：（1）图②示∵∠MPN90°∠B90°
∴∠BAP+∠APB90°∠CPD+∠APB
∴∠BAP∠CPD
∵∠B∠C
∴△ABP∽△PCD
答案：∽
（2）旋转程中值定值．
证明：图③示点F作FG⊥BCG∠B∠FGP
∵∠MPN90°∠B90°
∴∠BEP+∠EPB90°∠CPF+∠EPB
∴∠BEP∠CPF
∴△EBP∽△GPF
∴
∵矩形ABGF中FGAB2PB1
∴
∴
值定值．
36．（2016秋•瑶海区期末）图点M△ABC点点M分作直线行△ABC边形成三三角形△1△2△3（图中阴影部分）面积分1425．△ABC面积 64 ．
解答解：图
M作BC行线交ABACDEM作AC行线交ABBCFHM作AB行线交ACBCIG
根题意△1∽△2∽△3
∵△1：△21：4△1：△31：25
∴边长1：2：5
∵四边形BDMG四边形CEMH行四边形
∴DMBGEMCH
设DMx
BCBG+GH+CHx+5x+2x8x
∴BC：DM8：1
∴S△ABC：S△FDM64：1
∴S△ABC1×6464．
答案：64．
37．（2016•南通）图△ABC中∠ACB90°AC5BC12CO⊥AB点OD线段OB点DE2ED∥AC（∠ADE＜90°）连接BECD．设BECD中点分PQ．
（1）求AO长
（2）求PQ长
（3）设PQAB交点M请直接写出|PM﹣MQ|值．
解答解：（1）图1中
∵CO⊥AB
∴∠AOC∠ACB90°∵∠A∠A
∴△ABC∽△ACO
∴
∵AB13
∴OA．
（2）图2中取BD中点FCD中点Q连接PFQF
PF∥EDFQ∥BCPF⊥FQPFED1FQBC6
Rt△PFQ中PQ．
（3）图3中取AD中点G连接GQ
∵GQ∥ACED∥ACPF∥ED
∴PF∥GQ
∴△PMF∽△QMG
∴
∵PM+QM
∴PMMQ
∴|PM﹣QM|．
38．（2016•邵阳）尤秀学遇样问题：图1示已知AFBE△ABC中线AF⊥BE垂足P设BCaACbABc．
求证：a2+b25c2
该学仔细分析解题思路：
先连接EF利EF△ABC中位线△EPF∽△BPA设PFmPEnmnPAPB分表示出Rt△APERt△BPF中利勾股定理计算消mn证
（1）请根解题思路帮尤秀学写出证明程．
（2）利题中结解答列问题：
边长3菱形ABCD中O角线ACBD交点EF分线段AODO中点连接BECF延长交点MBMCM分交AD点GH图2示求MG2+MH2值．
解答解：（1）设PFmPEn连结EF图1
∵AFBE△ABC中线
∴EF△ABC中位线AEbBFa
∴EF∥ABEFc
∴△EFP∽△BPA
∴
∴PB2nPA2m
Rt△AEP中∵PE2+PA2AE2
∴n2+4m2b2①
Rt△AEP中∵PF2+PB2BF2
∴m2+4n2a2②
①+②5（n2+m2）（a2+b2）
Rt△EFP中∵PE2+PF2EF2
∴n2+m2EF2c2
∴5•c2（a2+b2）
∴a2+b25c2
（2）∵四边形ABCD菱形
∴BD⊥AC
∵EF分线段AODO中点
（1）结MB2+MC25BC25×3245
∵AG∥BC
∴△AEG∽△CEB
∴
∴AG1
理DH1
∴GH1
∴GH∥BC
∴
∴MB3GMMC3MH
∴9MG2+9MH245
∴MG2+MH25．
39．（2016•杭州）图△ABC中点DE分边ABAC∠AED∠B射线AG分交线段DEBC点FG．
（1）求证：△ADF∽△ACG
（2）求值．
解答（1）证明：∵∠AED∠B∠DAE∠DAE
∴∠ADF∠C
∵
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG
∴
∵
∴
∴1．
40．（2016•黄冈校级招生）图四边形中ABCD中EF分ABCD中点P角线AC延长线意点PF交ADMPE交BCNEF交MNK．
求证：K线段MN中点．
解答证明：取AC中点Q连接QFAEC点作CR∥QF交MP点R连接NR．
∵QFE分ACCDAB中点
∴QF∥ADQE∥NC
∴
∵AQCQ
∴．
∵QF∥ADCR∥QF
∴CR∥AD
∴1
∴FMFR
∴
∴EF∥RN．
∵FK∥RNFMFR
∴KMKNK线段MN中点．
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1．（2017•阿坝州）图△ABC△ADE公顶点等腰直角三角形∠BAC∠DAE90°点P射线BDCE交点．
（1）求证：BDCE
（2）AB2AD1△ADE绕点A旋转∠EAC90°时求PB长
解答解：（1）∵△ABC△ADE等腰直角三角形∠BAC∠DAE90°
∴ABACADAE∠DAB∠CAE．
∴△ADB≌△AEC．
∴BDCE．
（2）解：①点EAB时BEAB﹣AE1．
∵∠EAC90°
∴CE．
（1）证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA∠ECA．
∵∠PEB∠AEC
∴△PEB∽△AEC．
∴．
∴．
∴PB．
②点EBA延长线时BE3．
∵∠EAC90°
∴CE．
（1）证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA∠ECA．
∵∠BEP∠CEA
∴△PEB∽△AEC．
∴．
∴．
∴PB．
综述PB长．
2．（2017•常德）图直角△ABC中∠BAC90°DBC连接AD作BF⊥AD分交ADEACF．
（1）图1BDBA求证：△ABE≌△DBE
（2）图2BD4DC取AB中点G连接CG交ADM求证：①GM2MC②AG2AF•AC．
解答证明：（1）Rt△ABERt△DBE中
∴△ABE≌△DBE
（2）①G作GH∥AD交BCH
∵AGBG
∴BHDH
∵BD4DC
设DC1BD4
∴BHDH2
∵GH∥AD
∴
∴GM2MC
②C作CN⊥AC交AD延长线NCN∥AG
∴△AGM∽△NCM
∴
①知GM2MC
∴2NCAG
∵∠BAC∠AEB90°
∴∠ABF∠CAN90°﹣∠BAE
∴△ACN∽△BAF
∴
∵AB2AG
∴
∴2CN•AGAF•AC
∴AG2AF•AC．
3．（2017•杭州）图锐角三角形ABC中点DE分边ACABAG⊥BC点GAF⊥DE点F∠EAF∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC
（2）AD3AB5求值．
解答解：（1）∵AG⊥BCAF⊥DE
∴∠AFE∠AGC90°
∵∠EAF∠GAC
∴∠AED∠ACB
∵∠EAD∠BAC
∴△ADE∽△ABC
（2）（1）知：△ADE∽△ABC
∴
（1）知：∠AFE∠AGC90°
∴∠EAF∠GAC
∴△EAF∽△CAG
∴
∴
4．（2017•眉山）图点E正方形ABCD边BC延长线点连结DE顶点B作BF⊥DE垂足FBF分交ACH交CDG．
（1）求证：BGDE
（2）点GCD中点求值．
解答解：（1）∵BF⊥DE
∴∠GFD90°
∵∠BCG90°∠BGC∠DGF
∴∠CBG∠CDE
△BCG△DCE中
∴△BCG≌△DCE（ASA）
∴BGDE
（2）设CG1
∵GCD中点
∴GDCG1
（1）知：△BCG≌△DCE（ASA）
∴CGCE1
∴勾股定理知：DEBG
∵sin∠CDE
∴GF
∵AB∥CG
∴△ABH∽△CGH
∴
∴BHGH
∴
5．（2017•河池）（1）图1正方形ABCD中点EF分BCCDAE⊥BF点M求证：AEBF
（2）图2 （1）中正方形ABCD改矩形ABCDAB2BC3AE⊥BF点M探究AEBF数量关系证明结．
解答（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴∠ABC∠CABBC．
∵AE⊥BF
∴∠AMB∠BAM+∠ABM90°
∵∠ABM+∠CBF90°
∴∠BAM∠CBF．
△ABE△BCF中
∴△ABE≌△BCF（ASA）
∴AEBF
（2）解：AEBF
理：∵四边形ABCD矩形
∴∠ABC∠C
∵AE⊥BF
∴∠AMB∠BAM+∠ABM90°
∵∠ABM+∠CBF90°
∴∠BAM∠CBF
∴△ABE∽△BCF
∴
∴AEBF．
6．（2017•泰安）图四边形ABCD中ABACADAC分∠BAD点PAC延长线点PD⊥AD．
（1）证明：∠BDC∠PDC
（2）ACBD相交点EAB1CE：CP2：3求AE长．
解答（1）证明：∵ABADAC分∠BAD
∴AC⊥BD
∴∠ACD+∠BDC90°
∵ACAD
∴∠ACD∠ADC
∴∠ADC+∠BDC90°
∵PD⊥AD
∴∠ADC+∠PDC90°
∴∠BDC∠PDC
（2）解：点C作CM⊥PD点M
∵∠BDC∠PDC
∴CECM
∵∠CMP∠ADP90°∠P∠P
∴△CPM∽△APD
∴
设CMCEx
∵CE：CP2：3
∴PCx
∵ABADAC1
∴
解：x
AE1﹣．
7．（2017•天水）△ABC△DEF两全等等腰直角三角形∠BAC∠EDF90°△DEF顶点E△ABC斜边BC中点重合△DEF绕点E旋转旋转程中线段DE线段AB相交点P线段EF射线CA相交点Q．
（1）图①点Q线段ACAPAQ时求证：△BPE≌△CQE
（2）图②点Q线段CA延长线时求证：△BPE∽△CEQ求BP2CQ9时BC长．
解答（1）证明：∵△ABC等腰直角三角形
∴∠B∠C45°ABAC
∵APAQ
∴BPCQ
∵EBC中点
∴BECE
△BPE△CQE中
∵
∴△BPE≌△CQE（SAS）
（2）解：∵△ABC△DEF两全等等腰直角三角形
∴∠B∠C∠DEF45°
∵∠BEQ∠EQC+∠C
∠BEP+∠DEF∠EQC+∠C
∴∠BEP+45°∠EQC+45°
∴∠BEP∠EQC
∴△BPE∽△CEQ
∴
∵BP2CQ9BECE
∴BE218
∴BECE3
∴BC6．
8．（2017•绥化）图矩形ABCD中EAB边点EC分∠DEBFCE中点连接AFBF点E作EH∥BC分交AFCDGH两点．
（1）求证：DEDC
（2）求证：AF⊥BF
（3）AF•GF28时请直接写出CE长．
解答解：（1）∵四边形ABCD矩形
∴AB∥CD
∴∠DCE∠CEB
∵EC分∠DEB
∴∠DEC∠CEB
∴∠DCE∠DEC
∴DEDC
（2）图连接DF
∵DEDCFCE中点
∴DF⊥EC
∴∠DFC90°
矩形ABCD中ABDC∠ABC90°
∴BFCFEFEC
∴∠ABF∠CEB
∵∠DCE∠CEB
∴∠ABF∠DCF
△ABF△DCF中
∴△ABF≌△DCF（SAS）
∴∠AFB∠DFC90°
∴AF⊥BF
（3）CE4．
理：∵AF⊥BF
∴∠BAF+∠ABF90°
∵EH∥BC∠ABC90°
∴∠BEH90°
∴∠FEH+∠CEB90°
∵∠ABF∠CEB
∴∠BAF∠FEH
∵∠EFG∠AFE
∴△EFG∽△AFE
∴EF2AF•GF
∵AF•GF28
∴EF2
∴CE2EF4．
9．（2017•雨城区校级招生）Rt△ABC中∠BAC90°点B直线MN∥ACDBC边点连接AD作DE⊥AD交MN点E连接AE．
（1）图1∠ABC45°时求证：ADDE
（2）图2∠ABC30°时线段ADDE数量关系？请说明理．
解答（1）证明：图1点D作DF⊥BC交AB点F
∠BDE+∠FDE90°
∵DE⊥AD
∴∠FDE+∠ADF90°
∴∠BDE∠ADF
∵∠BAC90°∠ABC45°
∴∠C45°
∵MN∥AC
∴∠EBD180°﹣∠C135°
∵∠BFD45°DF⊥BC
∴∠BFD45°BDDF
∴∠AFD135°
∴∠EBD∠AFD
△BDE△FDA中
∴△BDE≌△FDA（ASA）
∴ADDE
（2）解：DEAD
理：图2点D作DG⊥BC交AB点G
∠BDE+∠GDE90°
∵DE⊥AD
∴∠GDE+∠ADG90°
∴∠BDE∠ADG
∵∠BAC90°∠ABC30°
∴∠C60°
∵MN∥AC
∴∠EBD180°﹣∠C120°
∵∠ABC30°DG⊥BC
∴∠BGD60°
∴∠AGD120°
∴∠EBD∠AGD
∴△BDE∽△GDA
∴
Rt△BDG中tan30°
∴DEAD．
10．（2017•深圳模拟）图1边长2正方形ABCD中EBA延长线点AEAB点P点D出发秒1单位长度D→C→B终点B运动直线EP交AD点F点F作直线FG⊥DE点G交AB点R．
（1）求证：AFAR
（2）设点P运动时间t
①求t值时四边形PRBC矩形？
②图2连接PB．请直接写出△PRB等腰三角形时t值．
解答（1）证明：图正方形ABCD中ADAB2
∵AEAB
∴ADAE
∴∠AED∠ADE45°
∵FG⊥DE
∴Rt△EGR中∠GER∠GRE45°
∴Rt△ARF中∠FRA∠AFR45°
∴∠FRA∠RFA45°
∴AFAR
（2）解：①图四边形PRBC矩形时
PR∥BC
∴AF∥PR
∴△EAF∽△ERP
∴：（1）AFAR
∴
解：（合题意舍）
∴
∵点P点D出发秒1单位长度D→C→B终点B运动
∴（秒）
②PRPB
点P作PK⊥ABK
设FAxRKBR（2﹣x）
∵△EFA∽△EPK
∴
：
解：x±﹣3（舍负值）
∴t（秒）
PBRB
△EFA∽△EPB
∴
∴
∴BPAB×2
∴CPBC﹣BP2﹣
∴（秒）．
综述PRPB时tPBRB时秒．
11．（2017•江汉区校级模拟）图正方形ABCD角线ACBD相交点O延长CB点FCFCA连接AF∠ACF分线分交AFABBD点ENM连接EO．
（1）已知BD求正方形ABCD边长
（2）猜想线段EMCN数量关系加证明．
解答解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴△ABD等腰直角三角形
∴2AB2BD2
∵BD
∴AB1
∴正方形ABCD边长1
（2）CN2EM
证明方法理：∵四边形ABCD正方形
∴AC⊥BDOAOC
∵CFCACE∠ACF分线
∴CE⊥AFAEFE
∴EO△AFC中位线
∴EO∥BC
∴
∴Rt△AEN中OAOC
∴EOOCAC
∴CMEM
∵CE分∠ACF
∴∠OCM∠BCN
∵∠NBC∠COM90°
∴△CBN∽△COM
∴
∴CNCM
CN2EM．
证明方法二∵四边形ABCD正方形
∴∠BAC45°∠DBC
（1）知Rt△ACE中EOACCO
∴∠OEC∠OCE
∵CE分∠ACF
∴∠OCE∠ECB∠OEC
∴EO∥BC
∴∠EOM∠DBC45°
∵∠OEM∠OCE
∴△EOM∽△CAN
∴
∴CN2CM．
12．（2017•济宁二模）两块全等三角板图1摆放中∠A1CB1∠ACB90°∠A1∠A30°．
（1）图1中△A1B1C绕点C时针旋转45°图2点P1A1CAB交点点QA1B1BC交点求证：CP1CQ
（2）图2中AP1aCQ等少？
（3）图2中△A1B1C绕点C时针旋转△A2B2C（图3）点P2A2CAP1交点．旋转角少度时△AP1C∽△CP1P2？时线段CP1P1P2间存样数量关系？．
解答（1）证明：∵∠B1CB45°∠B1CA190°
∴∠B1CQ∠BCP145°
B1CBC∠B1∠B
∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）
∴CQCP1
（2）解：图：作P1D⊥ACD
∵∠A30°
∴P1DAP1
∵∠P1CD45°
∴sin45°
∴CP1P1DAP1
AP1aCQCP1
∴CQa
（3）解：∠P1CP2∠P1AC30°时∠CP1P2∠AP1C△AP1C∽△CP1P2
图2中△A1B1C绕点C时针旋转30°△A2B2C时△AP1C∽△CP1P2．
时
∴P1P2CP1．
13．（2017•惠阳区模拟）Rt△ABCRt△DEF图（1）摆放（点CE重合）点BC（E）F条直线．已知：∠ACB∠EDF90°∠DEF45°AC8cmBC6cmEF10cm．图（2）△DEF图（1）位置出发1cms速度CB△ABC匀速移动△DEF移动时点P△ABC顶点A出发2cms速度AB点B匀速移动点P移动点B时点P停止移动△DEF停止移动．DEAC交点Q连接PQ设移动时间t（s）．
（1）含t代数式表示线段APAQ长写出t取值范围
（2）连接PE设四边形APEQ面积y（cm2）试探究y值
（3）t值时△APQ等腰三角形．
解答（1）解：AP2t
∵∠EDF90°∠DEF45°
∴∠CQE45°∠DEF
∴CQCEt
∴AQ8﹣t
t取值范围：0≤t≤5
（2）点P作PG⊥x轴G求AB10SinBPB10﹣2tEB6﹣t
∴PGPBSinB（10﹣2t）
∴yS△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE
∴（0≤t≤5）y值y值（cm2）
（3）APAQ2t8﹣t解：（s）
APPQ图①：点P作PH⊥ACAHQHPH∥BC
∴△APH∽△ABC
∴
解：（s）
AQPQ图②：点Q作QI⊥ABAIPIAPt
∵∠AIQ∠ACB90°∠A∠A
∴△AQI∽△ABC
∴
解：（s）
综述时△APQ等腰三角形．
14．（2017•庐阳区模）△ABC∠A∠B∠C边分abc条直线DE边AC相交点D边AB相交点E．
（1）图①DE△ABC分成周长相等两部分AD+AE等少（abc表示）
（2）图②AC3AB5BC4．DE△ABC分成周长面积相等两部分求AD
（3）图③DE△ABC分成周长面积相等两部分DE∥BCabc满足什关系？
解答解：（1）∵DE△ABC分成周长相等两部分
∴AD+AECD+BC+BE（AB+AC+BC）（a+b+c）
（2）设ADxAE6﹣x
∵S△ADEAD•AE•sinA3
：x（6﹣x）•3
解：x1（舍）x2
∴AD
（3）∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴
∵
∴ADbAEc
∴bc（a+b+c）
∴﹣1．
15．（2017•嘉兴模拟）已知：图四边形ABCD正方形∠PAQ45°∠PAQ绕着正方形顶点A旋转正方形ABCD两外角∠EBC∠FDC分线分交点MN连接MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA
（2）连接BD∠BAM度数少时四边形BMND矩形加证明．
解答（1）证明：∵四边形ABCD正方形
∴∠ABC∠ADC∠BAD90°
∵BMDN分正方形两外角分线
∴∠ABM∠ADN135°
∵∠MAN45°
∴∠BAM∠AND45°﹣∠DAN
∴△ABM∽△NDA
（2）解：∠BAM225°时四边形BMND矩形理：
∵∠BAM225°∠EBM45°
∴∠AMB225°
∴∠BAM∠AMB
∴ABBM
理ADDN
∵ABAD∴BMDN
∵四边形ABCD正方形
∴∠ABD∠ADB45°
∴∠BDN∠DBM90°
∴∠BDN+∠DBM180°
∴BM∥DN
∴四边形BMND行四边形
∵∠BDN90°
∴四边形BMND矩形．
16．（2017•肥城市三模）图锐角△ABC中DE分ABBC中点FAC点∠AFE∠ADM∥EF交AC点M．
（1）点GBE∠BDG∠C求证：DG•CFDM•EG
（2）图中取CE点H∠CFH∠BBG1求EH长．
解答（1）证明：图1示
∴DE分ABBC中点
∴DE∥AC
∵DM∥EF
∴四边形DEFM行四边形
∴DMEF
图2示
∵DE分ABBC中点
∴DE∥AC
∴∠BDE∠A∠DEG∠C
∵∠AFE∠A
∴∠BDE∠AFE
∴∠BDG+∠GDE∠C+∠FEC
∵∠BDG∠C
∴∠GDE∠FEC
∴△DEG∽△ECF
∴
∴
∴
∴DG•CFDM•EG
（2）解：图3示
∵∠BDG∠C∠DEB∠B∠B
∴△BDG∽△BED
∴
∴BD2BG•BE
∵∠AFE∠A∠CFH∠B
∴∠C180°﹣∠A﹣∠B180°﹣∠AFE﹣∠CFH∠EFH
∵∠FEH∠CEF
∴△EFH∽△ECF
∴
∴EF2EH•EC
∵DE∥ACDM∥EF
∴四边形DEFM行四边形
∴EFDMDABD
∴BG•BEEH•EC
∵BEEC
∴EHBG1．
17．（2017•肥城市模拟）△ABC中ABAC点DEF分BCABAC∠EDF∠B．
（1）图1求证：DE•CDDF•BE
（2）DBC中点图2连接EF．
①求证：ED分∠BEF
②四边形AEDF菱形求∠BAC度数值．
解答（1）证明：∵△ABC中ABAC
∴∠B∠C．
∵∠B+∠BDE+∠DEB180°∠BDE+∠EDF+∠FDC180°∠EDF∠B
∴∠FDC∠DEB
∴△BDE∽△CFD
∴
DE•CDDF•BE
（2）解：①（1）证△BDE∽△CFD
∴
∵DBC中点
∴BDCD
∴
∵∠B∠EDF
∴△BDE～△DFE
∴∠BED∠DEF
∴ED分∠BEF
②∵四边形AEDF菱形
∴∠AEF∠DEF
∵∠BED∠DEF
∴∠AEF60°
∵AEAF
∴∠BAC60°
∵∠BAC60°
∴△ABC等边三角形
∴∠B60°
∴△BED等边三角形
∴BEDE
∵AEDE
∴AEAB
∴．
18．（2017•长宁区二模）图△ABC 中点PAC边点点P作BC行直线PQ交AB点Q点D线段 BC联接AD交线段PQ点E点GBC延长线∠ACG分线交直线PQ点F．
（1）求证：PCPE
（2）P边AC中点时求证：四边形AECF矩形．
解答（1）证明：∵PQ∥BC
∴△AQE∽△ABD△AEP∽△ADC
∴
∴
∵
∴
∴PCPE
（2）∵PF∥DG
∴∠PFC∠FCG
∵CF分∠PCG
∴∠PCF∠FCG
∴∠PFC∠FCG
∴PFPC
∴PFPE
∵P边AC中点
∴APCP
∴四边形AECF行四边形
∵PQ∥CD
∴∠PEC∠DCE
∴∠PCE∠DCE
∴∠PCE+∠PCF（∠PCD+∠PCG）90°
∴∠ECF90°
∴行四边形AECF矩形．
19．（2017•安徽模拟）图已知△ABC中ACBC点DEF分线段ACBCAD中点BFED延长线交点G连接GC．
（1）求证：ABGD
（2）图2CGEG时求值．
解答解：（1）∵DE分线段ACBC中点
∴DE△ABC中位线
∴DE∥ABEG∥AB
∴∠FDG∠A
∵点F线段AD中点
∴AFDF
△ABF△DGF中
∴△ABF≌△DGF（ASA）
∴ABGD
（2）∵DE△ABC中位线
∴DEABCEBCAC
∵DGAB
∴EGDE+DG
∴EGAB
∵DE∥AB
∴∠GEC∠CBA
∵ACBCCGEG
∴△GEC∽△CBA
∴
∴
20．（2017•蜀山区二模）图△ABC中DE分ABAC点线段BECD相交点O∠DCB∠EBC∠A．
（1）求证：△BOD∽△BAE
（2）求证：BDCE
（3）MN分BECE中点MN直线交ABP交ACQ线段APAQ相等？什？
解答（1）证明：∵∠BCO∠CBO
∴∠DOB∠BCO+CBO2∠BCO
∵∠A2∠BCO
∴∠DOB∠A
∵∠ABE∠ABE
∴△BOD∽△BAE
（2）解：延长CDCD延长线取点FBFBD
∴∠BDF∠BFD
∵∠BDF∠ABO+∠DOB∠BEC∠ABO+∠A
（1）∠BOD∠A
∴∠BDF∠BEC
∴∠BFD∠BEC
△BFC△CEB中
∴△BFC≌△CEB
∴BDBF
∴BDCE
（3）解：APAQ
理：取BC中点G连接GMGN
∵MN分BECD中点
∴GMGN中位线
∴GM∥CEGMCEGN∥BDGNBD
∵BDCE
∴GMGN
∴∠3∠4
∵GM∥CE
∴∠2∠4
∵GN∥BD
∴∠3∠1
∴∠1∠2
∴APAQ．
21．（2017•石家庄二模）图矩形ABCD矩形PEFG中AB8BC6PE2PG4．PEAC交点MEFAC交点N动点P点A出发AB秒1单位长速度点B匀速运动伴点P运动矩形PEFG射线AB滑动动点K点P出发折线PE﹣﹣EF秒1单位长速度匀速运动．点PK时开始运动点K达点F时停止运动点P停止．设点PK运动时间t秒（t＞0）．
（1）t1时KE 1 EN
（2）t值时△APM面积△MNE面积相等？
（3）点K达点N时求出t值
（4）t值时△PKB直角三角形？
解答解：（1）t1时根题意AP1PK1
∵PE2
∴KE2﹣11
∵四边形ABCDPEFG矩形
∴△APM∽△ABC△APM∽△NEM
∴
∴MPME
∴NE
答案：1
（2）（1）结合题意
APtPMtME2﹣tNE﹣t
∴t×t（2﹣t）×（﹣t）
解t
（3）点K达点N时PE+NEAP
（2）﹣t+2t
解t
（4）①KPE边意点时△PKB直角三角形
0＜t≤2
②点kEF时
KEt﹣2BP8﹣t
∵△BPK∽△PKE
∴PK2BP×KEPK2PE2+KE2
∴4+（t﹣2）2（8﹣t）（t﹣2）
解t3t4
③t5时点KBC边∠KBP90°．
综0＜t≤2t3t45时△PKB直角三角形．
22．（2017•农安县模拟）图（1）△ABC中ADBC边中线A点作AE∥BCD点作DE∥AB交点E连接CE．
（1）求证：四边形ADCE行四边形．
（2）连接BEAC分BEDE交点FG图（2）AC6求FG长．
解答（1）证明：∵AE∥BCDE∥AB．
∴四边形ABDE行四边形
∴AEBD
∵BDDC
∴AEDC
∵AE∥DC
∴四边形ADCE行四边形．
（2）解：∵四边形ADCE行四边形AC6
∴AGGC3
∵AE∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴
∴AF2
∴FGAG﹣AF1．
23．（2017•杨浦区三模）已知：正方形ABCD中点EF分CBCD延长线点BEDF联结AEAFDEDE交AB点M．
（1）图1EAF直线时求证：点MED中点
（2）图2AF∥ED求证：AM2AB•BM．
解答（1）连接AC∵四边形ABCD正方形
∴∠DAM∠BEM∠BCD90°∠BCA∠DCA45°ABBCCDDA
∵BEDF∴CECF
∴∠AEB∠F45°
∴BEBAAD
△ADM△BEM中
∴△ADM△BEM
∴DMEM点MED中点
（2）解：∵四边形ABCD正方形
∴∠DAM∠EBM90°ADAB
∴△ADM∽△BEM
∴
∵AM∥DFAF∥DE
∴四边形AMDF行四边形
∴AMDF
∵BEDF
∴AMBE
∴
∴AM2AB•BM．
24．（2017•杭州模拟）已知图1点DE分ABAC．
（1）求证：DE∥BC．
（2）已知图2△ABC中点D边AC意点连结BD取BD中点E连结CE延长CE交边AB点F求证：．
（3）（2）条件ABACAFCD求值．
解答解：（1）∵∠A∠A
∴△ADE∽△ABC
∴∠ADE∠B
∴DE∥BC
（2）点D作DG∥AB交CF点G
∴△CDG∽△CAF
∴
∵EBD中点
∴BEED
∵DG∥AB
∴∠FBE∠EDG
△DEG△CAF中
∴△DEG≌△BEF（AAS）
∴DGBF
∴
（3）（2）：
∵ABACAFCD
∴
∴BF2+BF•AF﹣AF20
∴（）2+﹣10
∴解：
∴
25．（2017•岱岳区二模）已知△ABCACBC点EF直线AB∠ECF∠A．
（1）图1点EFAB时求证：AC2AF•BE
（2）图2点EFAB延长线∠A60°AB4BE3求BF长．
解答解：（1）∵ACBC
∴∠A∠B
∵∠BEC∠ACE+∠A
∠ACF∠ACE+∠ECF
∴∠ACF∠BEC
∴△ACF∽△BEC
∴
∴AC2AF•BE
（2）∵∠A60°
∴△ABC等边三角形
∴∠A∠ABC∠ACB60°∠ECF
∵∠ECB∠ACB﹣∠ACE∠F∠ABC﹣∠FCB
∠ACE∠FCB
∴∠ECB∠F
∵∠ABC∠A
∴△ACF∽△BEC
∴
∴AF
∴BFAF﹣AB
26．（2017•硚口区模拟）图正方形ABCD∠EAF45°．交BCCDEF交BDHG．
（1）求证：AD2BG•DH
（2）求证：CEDG
（3）求证：EFHG．
解答证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴∠ABD∠ADB45°ABAD
∵∠EAF45°
∴∠BAG45°+∠BAH∠AHD45°+∠BAH
∴∠BAG∠AHD
∵∠ABD∠ADB45°
∴△ABG∽△HDA
∴
∴BG•DHAB•ADAD2
（2）图连接AC
∵四边形ABCD正方形
∴∠ACE∠ADB∠CAD45°
∴ACAD
∵∠EAF45°
∴∠EAF∠CAD
∴∠EAF﹣∠CAF∠CAD﹣∠CAF
∴∠EAC∠GAD
∴△EAC∽△GAD
∴
∴CEDG
（3）（2）：△EAC∽△GAD
∴
理：△AFC∽△AHB
∴
∴
∴
∵∠GAH∠EAF
∴△GAH∽△EAF
∴
∴EFGH．
27．（2017•岱岳区模）图C线段BD动点BD分作BD垂线ABBCDEDB连接ADACBEB作AD垂线垂足F连接CEEF．
（1）求证：AC•DFBF•BD
（2）点C运动程中∠CFE度数保持变求出度数
（3）点C运动什位置时CE∥BF？说明理．
解答解：（1）∵BF⊥AD
∴∠AFB∠BFD90°
∴∠ABF+∠BAF90°
∵AB⊥BC
∴∠ABF+∠DBF90°
∴∠BAF∠DBF
∴△ABF∽△BDF
∴AB•DFBF•BD
ABBCAB⊥BC
∴ABAC
∴AC•DFBF•BD
（2）∵ABBCBDDE
∴
∵∠FBC+∠BDF90°∠BDF+∠EDF90°
∴∠FBC∠EDF
∴△FBC∽△FDE
∴∠BFC∠DFE
∠BFD∠BFC+∠CFD90°
∴∠DFE+∠CFD90°∠CFE90°
∠CFE度数保持变始终等90°．
（3）CBD中点时CE∥BF
理：
∵CBD中点
∴ABBCCDBDDE
△ABD△CDE中
∵
∴△ABD≌△CDE（SAS）
∴∠ADB∠CED
∵∠CED+∠ECD90°
∴∠ADB+∠ECD90°
∴CE⊥AD
∵BF⊥AD
∴CE∥BF．
28．（2017•长春模拟）图△ABC中点D边AB（AB重合）DE∥BC交AC点E△ADE直线DE翻折△A′DE直线DA′EA′分交直线BC点MN．
（1）求证：DBDM．
（2）2DE6求线段MN长．
（3）n（n≠1）DEa线段MN长 a﹣（n＞1）﹣a（0＜n＜1） （含n代数式表示）．
解答解：（1）∵DE∥BC
∴∠ADE∠B∠A′DE∠DMB
翻折知：∠ADE∠A′DE
∵∠B∠DMB
∴DBDM
（2）翻折知：A′DAD
∵DBDM
∴
∴
∵DE∥BC
∴△A′MN∽△A′DE
∴
∵DE6
∴MNDE3
（3）翻折知：A′DAD
∵nDBDM
∴n
n＞1时
∴
∵DE∥BC
∴△A′MN∽△A′DE
∴
∵DEa
∴MNDEa﹣
理：0＜n＜1时
时∴
∴MN
综述MNa﹣（n＞1）﹣a（0＜n＜1）
答案：（3）MNa﹣（n＞1）﹣a（0＜n＜1）
29．（2017•武汉）已知四边形ABCD组边ADBC延长线交点E．
（1）图1∠ABC∠ADC90°求证：ED•EAEC•EB
（2）图2∠ABC120°cos∠ADCCD5AB12△CDE面积6求四边形ABCD面积
（3）图3组边ABDC延长线相交点F．cos∠ABCcos∠ADCCD5CFEDn直接写出AD长（含n式子表示）
解答解：（1）图1中
∵∠ADC90°∠EDC+∠ADC180°
∴∠EDC90°
∵∠ABC90°
∴∠EDC∠ABC
∵∠E∠E
∴△EDC∽△EBA
∴
∴ED•EAEC•EB．
（2）图2中C作CF⊥ADFAG⊥EBG．
Rt△CDF中cos∠ADC
∴∵CD5
∴DF3
∴CF4
∵S△CDE6
∴•ED•CF6
∴ED3EFED+DF6
∵∠ABC120°∠G90°∠G+∠BAG∠ABC
∴∠BAG30°
∴Rt△ABG中BGAB6AG6
∵CF⊥ADAG⊥EB
∴∠EFC∠G90°∵∠E∠E
∴△EFC∽△EGA
∴
∴
∴EG9
∴BEEG﹣BG9﹣6
∴S四边形ABCDS△ABE﹣S△CDE（9﹣6）×6﹣675﹣18．
（3）图3中作CH⊥ADHCH4DH3
∴tan∠E
作AG⊥DF点G设AD5aDG3aAG4a
∴FGDF﹣DG5+n﹣3a
∵CH⊥ADAG⊥DF∠E∠F
易证△AFG∽△CEH
∴
∴
∴a
∴AD5a．
30．（2017•冶市模拟）图△ABC中点EF分边ABACBFCE相交点P∠1∠2∠A．
（1）图1ABAC求证：BECF
（2）图2AB≠AC
①（1）中结否成立？请出判断说明理
②求证：．
解答解：（1）∵ABAC
∴∠EBC∠FCB
△BCE△CBF中
∴△BCE≌△CBF
∴BECF
（2）①成立理：作∠A分线交BC点D连结DEDF
∠DAF∠DAE∠A
∵∠1∠2∠A
∴∠DAF∠DAE∠1∠2
∴ABDF四点AEDC四点分圆
∴BDDFDEDC
∵∠BDE∠A∠CDF∠A
∴∠BDE∠CDF
△DEB△DCF中
∴△DEB≌△DCF
∴BECF
②面证明易知△DFB△DEC均等腰三角形
∵∠1∠2
∴△DFB∽△DEC
∴
∵AD△ABC角分线
∴
∴．
31．（2017•东区二模）图1锐角△ABC中DE分ABBC中点点FAC满足∠AFE∠ADM∥EF交AC点M．
（1）证明：DMDA
（2）点GBE∠BDG∠C图2求证：△DEG∽△ECF
（3）图2中取CE点H∠CFH∠BBG5求EH长．
解答（1）证明：图1示
∵DM∥EF
∴∠AMD∠AFE
∵∠AFE∠A
∴∠AMD∠A
∴DMDA
（2）证明：图2示
∵DE分ABBC中点
∴DE∥AC
∴∠BDE∠A∠DEG∠C
∵∠AFE∠A
∴∠BDE∠AFE
∴∠BDG+∠GDE∠C+∠FEC
∵∠BDG∠C
∴∠GDE∠FEC
∴△DEG∽△ECF
（3）解：图3示
∵∠BDG∠C∠DEB∠B∠B
∴△BDG∽△BED
∴
∴BD2BG•BE
∵∠AFE∠A∠CFH∠B
∴∠C180°﹣∠A﹣∠B180°﹣∠AFE﹣∠CFH∠EFH
∵∠FEH∠CEF
∴△EFH∽△ECF
∴
∴EF2EH•EC
∵DE∥ACDM∥EF
∴四边形DEFM行四边形
∴EFDMDABD
∴BG•BEEH•EC
∵BEEC
∴EHBG5．
32．（2017•州）图分活动菱形行四边形学具已知行四边形较短边菱形边长相等．
（1）次数学活动中某组学生菱形边行四边形较短边重合摆拼成图1示图形AF点C连接DE交AF点M观察发现：点MDE中点．
面两位学生代表性证明思路：
思路1：需作辅助线直接证三角形全等
思路2：证三角形全等连接BD交AF点H．…
请参考面思路证明点MDE中点（需种方法证明）
（2）图2（1）前提∠ABE135°时延长ADEF交点N求值
（3）（2）条件k（k常数）直接含k代数式表示值．
解答解：（1）图1
证法：∵四边形ABCD菱形
∴ABCDAB∥CD
∵四边形ABEF行四边形
∴ABEFAB∥EF
∴CDEFCD∥EF
∴∠CDM∠FEM
△CDM△FEM中
∴△CDM≌△FEM
∴DMEM
点MDE中点
证法二：∵四边形ABCD菱形
∴DHBH
∵四边形ABEF行四边形
∴AF∥BE
∵HM∥BE
∴1
∴DMEM
点MDE中点
（2）∵△CDM≌△FEM
∴CMFM
设ADaCMb
∵∠ABE135°
∴∠BAF45°
∵四边形ABCD菱形
∴∠NAF45°
∴四边形ABCD正方形
∴ACADa
∵AB∥EF
∴∠AFN∠BAF45°
∴△ANF等腰直角三角形
∴NFAF（a+b+b）a+b
∴NENF+EFa+b+a2a+b
∴
（4）∵+2•k
∴（k﹣）
∴
∴•+1•+1．
33．（2016秋•城县期末）图已知△ABC中P边AB点连接CPMCP中点连接BM延长交AC点DNAP中点连接MN．∠ACP∠ABD．
（1）求证：AC•MNBN•AP
（2）AB3AC2求AP长．
解答解：（1）∵MCP中点NAP中点
∴MN△ACP中位线
∴NM∥ACMNAC
∴∠A∠BNM
∵∠ACP∠ABD
∴△ACP∽△NBM
∴
∴AC•MNBN•AP
（2）∵AC2
∴MNAC1
设ANxAP2x
∵AC•MNBN•AP
∴2×1（3﹣x）×2x
解x1x2
∴AP3+（舍）AP3﹣
∴AP长3﹣．
34．（2016秋•召陵区期末）图已知ACEC分四边形ABCDEFCG角线点E△ABC∠CAE+∠CBE90°四边形ABCDEFCG均正方形时连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF
（2）BE1AE2求CE长．
解答解：（1）∵四边形ABCDEFCG均正方形
∴
∵∠ACE+∠BCE∠BCF+∠BCE45°
∴∠ACE∠BCF
∴△CAE∽△CBF．
（2）：∵△CAE∽△CBF
∴∠CAE∠CBF
∵∠CAE+∠CBE90°
∴∠CBF+∠CBE90°
∴∠EBF90°
∵AE2
∴
∴BF
∴EF2BE2+BF23
∴EF
∵CE22EF26
∴CE．
35．（2016秋•舆县期末）图①矩形ABCD中AB2BC5BP1∠MPN90°∠MPN绕点PPB处开始时针方旋转PM交边AB（AD）点EPN交边AD（CD）点FPN旋转PC处时∠MPN旋转停止．
（1）特殊情形：图②发现PM点A时PN恰巧点D时△ABP ∽ △PCD（填≌～）
（2）类探究：图③旋转程中值否定值？请求出该定值请说明理．
解答解：（1）图②示∵∠MPN90°∠B90°
∴∠BAP+∠APB90°∠CPD+∠APB
∴∠BAP∠CPD
∵∠B∠C
∴△ABP∽△PCD
答案：∽
（2）旋转程中值定值．
证明：图③示点F作FG⊥BCG∠B∠FGP
∵∠MPN90°∠B90°
∴∠BEP+∠EPB90°∠CPF+∠EPB
∴∠BEP∠CPF
∴△EBP∽△GPF
∴
∵矩形ABGF中FGAB2PB1
∴
∴
值定值．
36．（2016秋•瑶海区期末）图点M△ABC点点M分作直线行△ABC边形成三三角形△1△2△3（图中阴影部分）面积分1425．△ABC面积 64 ．
解答解：图
M作BC行线交ABACDEM作AC行线交ABBCFHM作AB行线交ACBCIG
根题意△1∽△2∽△3
∵△1：△21：4△1：△31：25
∴边长1：2：5
∵四边形BDMG四边形CEMH行四边形
∴DMBGEMCH
设DMx
BCBG+GH+CHx+5x+2x8x
∴BC：DM8：1
∴S△ABC：S△FDM64：1
∴S△ABC1×6464．
答案：64．
37．（2016•南通）图△ABC中∠ACB90°AC5BC12CO⊥AB点OD线段OB点DE2ED∥AC（∠ADE＜90°）连接BECD．设BECD中点分PQ．
（1）求AO长
（2）求PQ长
（3）设PQAB交点M请直接写出|PM﹣MQ|值．
解答解：（1）图1中
∵CO⊥AB
∴∠AOC∠ACB90°∵∠A∠A
∴△ABC∽△ACO
∴
∵AB13
∴OA．
（2）图2中取BD中点FCD中点Q连接PFQF
PF∥EDFQ∥BCPF⊥FQPFED1FQBC6
Rt△PFQ中PQ．
（3）图3中取AD中点G连接GQ
∵GQ∥ACED∥ACPF∥ED
∴PF∥GQ
∴△PMF∽△QMG
∴
∵PM+QM
∴PMMQ
∴|PM﹣QM|．
38．（2016•邵阳）尤秀学遇样问题：图1示已知AFBE△ABC中线AF⊥BE垂足P设BCaACbABc．
求证：a2+b25c2
该学仔细分析解题思路：
先连接EF利EF△ABC中位线△EPF∽△BPA设PFmPEnmnPAPB分表示出Rt△APERt△BPF中利勾股定理计算消mn证
（1）请根解题思路帮尤秀学写出证明程．
（2）利题中结解答列问题：
边长3菱形ABCD中O角线ACBD交点EF分线段AODO中点连接BECF延长交点MBMCM分交AD点GH图2示求MG2+MH2值．
解答解：（1）设PFmPEn连结EF图1
∵AFBE△ABC中线
∴EF△ABC中位线AEbBFa
∴EF∥ABEFc
∴△EFP∽△BPA
∴
∴PB2nPA2m
Rt△AEP中∵PE2+PA2AE2
∴n2+4m2b2①
Rt△AEP中∵PF2+PB2BF2
∴m2+4n2a2②
①+②5（n2+m2）（a2+b2）
Rt△EFP中∵PE2+PF2EF2
∴n2+m2EF2c2
∴5•c2（a2+b2）
∴a2+b25c2
（2）∵四边形ABCD菱形
∴BD⊥AC
∵EF分线段AODO中点
（1）结MB2+MC25BC25×3245
∵AG∥BC
∴△AEG∽△CEB
∴
∴AG1
理DH1
∴GH1
∴GH∥BC
∴
∴MB3GMMC3MH
∴9MG2+9MH245
∴MG2+MH25．
39．（2016•杭州）图△ABC中点DE分边ABAC∠AED∠B射线AG分交线段DEBC点FG．
（1）求证：△ADF∽△ACG
（2）求值．
解答（1）证明：∵∠AED∠B∠DAE∠DAE
∴∠ADF∠C
∵
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG
∴
∵
∴
∴1．
40．（2016•黄冈校级招生）图四边形中ABCD中EF分ABCD中点P角线AC延长线意点PF交ADMPE交BCNEF交MNK．
求证：K线段MN中点．
解答证明：取AC中点Q连接QFAEC点作CR∥QF交MP点R连接NR．
∵QFE分ACCDAB中点
∴QF∥ADQE∥NC
∴
∵AQCQ
∴．
∵QF∥ADCR∥QF
∴CR∥AD
∴1
∴FMFR
∴
∴EF∥RN．
∵FK∥RNFMFR
∴KMKNK线段MN中点．
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