相似三角形圆综合考题
1已知：图AB⊙O直径EAB延长线点E作⊙O切线ED切点CAD⊥ED交ED点D交⊙O点FCG⊥AB交AB点G．
求证：BG•AGDF•DA．
2已知：图AB⊙O直径AB⊥ACBC交⊙ODEAC中点EDAB延长线相交点F．
(1)求证：DE⊙O切线．
(2)求证：AB：ACBF：DF．
3(南通)已知：图AB⊙O直径ABACBC交⊙O点DDE⊥ACE垂足．
(1)求证：∠ADE∠B
(2)点O作OF∥ADED延长线相交点F求证：FD•DAFO•DE．
4图AB⊙O直径BF切⊙O点BAF交⊙O点D点CDFBC交⊙O点E∠BAF2∠CBFCG⊥BF点G连接AE．
(1)直接写出AEBC位置关系
(2)求证：△BCG∽△ACE
(3)∠F60°GF1求⊙O半径长．
5图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
6图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
7⊙O直径CBCD分切⊙OBD两点点ECD延长线CEAE+BC
(1)求证：AE⊙O切线
(2)点D作DF⊥AB点F连接BE交DF点M求证：DMMF．
8已知：图AB⊙O直径D⊙O点连结BD延长CDBD连结AC点D作DE⊥
AC垂足点E．点B作BE⊥AB交ED延长线点F连结OF
求证：(1)EF⊙O切线
(2)△OBF∽△DEC
9图已知AB⊙O直径C⊙O点OD⊥BC点D点C作⊙O
切线交OD延长线点E连结BE．
(1)求证：BE⊙O相切
(2)连结AD延长交BE点FOB＝6sin∠ABC＝求BF长．
10图AB⊙O直径AC弦∠BAC分线AD交⊙O点DDE⊥AC交AC延长线点EOE交AD点 F
(1)求证：DE⊙O切线
(2)求值
(3)(2)条件⊙O直径10求△EFD面积．
11已知：图Rt△ABC中∠A90°AB直径作⊙OBC交⊙O点DE边AC中点EDAB延长线相交点F．
求证：
(1)DE⊙O切线．
(2)AB•DFAC•BF．
12图△ABC边AB直径⊙O边BC交点D点D作DE⊥AC垂足E延长ABED交点FAD分∠BAC．
(1)求证：EF⊙O切线
(2)AE3AB4求图中阴影部分面积．
13知AB⊙O直径直线l⊙O相切点C弦CD交ABEBF⊥l垂足FBF交⊙OG
(1)求证：CE2FG·FB
(2)tan∠CBFAE3求⊙O直径
14图圆接四边形ABCD角线AC分∠BCDBD交AC点F点A作圆切线AE交CB延长线E
求证：①AE∥BD ②AD 2 DF·AE
15已知：□ABCD点D作直线交ACE交BCF交AB延长线GBGF三点作⊙OE作⊙O切线ETT切点
求证：ET ED
16图△ABC中AB ACOBC点O圆心OB长半径圆AC相切点A点C作CD⊥BA垂足D
求证：（1） ∠DAC 2∠B
（2） CA 2 CD·CO
相似三角形圆综合考题（教师版）
1已知：图AB⊙O直径EAB延长线点E作⊙O切线ED切点CAD⊥ED交ED点D交⊙O点FCG⊥AB交AB点G．
求证：BG•AGDF•DA．
证明：连接BCFCCO
∵E作⊙O切线ED
∴∠DCF∠CAD
∠D∠D
∴△CDF∽△ADC
∴
∴CD2AD×DF
∵CG⊥ABAB直径
∴∠BCA∠AGC∠BGC90°
∴∠GBC+∠BCG90°∠BCG+∠GCA90°
∴∠GBC∠ACG
∴△BGC∽△CGA
∴ ∴CG2BG×AG
∵E作⊙O切线ED∴OC⊥DE
∵AD⊥DE∴CO∥AD
∴∠OCA∠CAD
∵AOCO
∴∠OAC∠OCA
∴∠OAC∠CAD
△AGC△ADC中
∴△AGC≌△ADC（AAS）
∴CGCD
∴BG×AGAD×DF．
2已知：图AB⊙O直径AB⊥ACBC交⊙ODEAC中点EDAB延长线相交点F．
(1)求证：DE⊙O切线．
(2)求证：AB：ACBF：DF．
3(南通)已知：图AB⊙O直径ABACBC交⊙O点DDE⊥ACE垂足．
(1)求证：∠ADE∠B
(2)点O作OF∥ADED延长线相交点F求证：FD•DAFO•DE．
解：（1）方法：
证明：连接OD
∵OAOD
∴∠OAD∠ODA．
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°AD⊥BC．
∵ABAC
∴AD分∠BAC∠OAD∠CAD．
∴∠ODA∠DAE∠OAD．
∵∠ADE+∠DAE90°
∴∠ADE+∠ODA90°∠ODE90°OD⊥DE．
∵OD⊙O半径
∴EF⊙O切线．
∴∠ADE∠B．
方法二：
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°DE⊥AC
∴∠DEA90°
∴∠ADB∠DEA
∵△ABC中ABACAD⊥BC
∴AD分∠BAC∠DAE∠BAD．
∴△DAE∽△BAD．
∴∠ADE∠B．
（2）证明：∵OF∥AD
∴∠F∠ADE．
∵∠DEA∠FDO（已证）
∴△FDO∽△DEA．
∴FD：DEFO：DAFD•DAFO•DE．
点评：题考查切线判定弦切角定理圆周角定理相似三角形判定性质（2）题积形式通常转化例形式通相似三角形性质证明．
4图AB⊙O直径BF切⊙O点BAF交⊙O点D点CDF
BC交⊙O点E∠BAF2∠CBFCG⊥BF点G连接AE．
(1)直接写出AEBC位置关系
(2)求证：△BCG∽△ACE
(3)∠F60°GF1求⊙O半径长．
解：（1）图1
∵AB⊙O直径
∴∠AEB90°．
∴AE⊥BC．
（2）图1
∵BF⊙O相切
∴∠ABF90°．
∴∠CBF90°∠ABE∠BAE．
∵∠BAF2∠CBF．
∴∠BAF2∠BAE．
∴∠BAE∠CAE．
∴∠CBF∠CAE．
∵CG⊥BFAE⊥BC
∴∠CGB∠AEC90°．
∵∠CBF∠CAE∠CGB∠AEC
∴△BCG∽△ACE．
（3）连接BD图2示．
∵∠DAE∠DBE∠DAE∠CBF
∴∠DBE∠CBF．
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC∠CBFBD⊥AFCG⊥BF
∴CDCG．
∵∠F60°GF1∠CGF90°
∴tan∠FCGtan60°
∵CG
∴CD．
∵∠AFB60°∠ABF90°
∴∠BAF30°．
∵∠ADB90°∠BAF30°
∴AB2BD．
∵∠BAE∠CAE∠AEB∠AEC
∴∠ABE∠ACE．
∴ABAC．
设⊙O半径rACAB2rBDr．
∵∠ADB90°
∴ADr．
∴DCACAD2rr（2）r．
∴r2+3．
∴⊙O半径长2+3．
解析：
（1）AB⊙O直径AEBC垂直．
（2）易证∠CBF∠BAE结合条件∠BAF2∠CBF证∠CBF∠CAE易证∠CGB∠AEC证△BCG∽△ACE．
（3）∠F60°GF1求出CG连接BD容易证∠DBC∠CBF根角分线性质DCCG设圆O半径r易证ACAB∠BAD30°AC2rADrDCACAD求出⊙O半径长．
5图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
分析：（1）连接OC证明∠OCP90°．
（2）积形式通常转化例形式通证明三角形相似出．
（3）先根勾股定理求出DH通证明△OGA≌△OHD出AC2AG2DH求出弦AC长．
解答：（1）证明：连接OC．
∵PCPFOAOC
∴∠PCA∠PFC∠OCA∠OAC
∵∠PFC∠AFHDE⊥AB
∴∠AHF90°
∴∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH90°
∴PC⊙O切线．
（2）解：点D劣弧AC中点位置时AD2DE•DF理：
连接AE．
∵点D劣弧AC中点位置
∴∠DAF∠DEA
∵∠ADE∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：EDFD：AD
∴AD2DE•DF．
（3）解：连接OD交ACG．
∵OH1AH2
∴OA3OD3
∴DH2．
∵点D劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA∠OHD90°
△OGA△OHD中
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AGDH
∴AC4．
点评：题考查切线判定．证某线圆切线已知线圆某点连接圆心点（半径）证垂直．时考查相似三角形性质全等三角形性质．
6图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
（1）证明：连接OC．
∵PCPFOAOC
∴∠PCA∠PFC∠OCA∠OAC
∵∠PFC∠AFHDE⊥AB
∴∠AHF90°
∴∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH90°
∴PC⊙O切线．
（2）解：点D劣弧AC中点位置时AD2DE•DF理：
连接AE．
∵点D劣弧AC中点位置
∴∠DAF∠DEA
∵∠ADE∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：EDFD：AD
∴AD2DE•DF．
（3）解：连接OD交ACG．
∵OH1AH2
∴OA3OD3
∴DH2．
∵点D劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA∠OHD90°
△OGA△OHD中
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AGDH
∴AC4．
解析：
（1）连接OC证明∠OCP90°．
（2）积形式通常转化例形式通证明三角形相似出．
（3）先根勾股定理求出DH通证明△OGA≌△OHD出AC2AG2DH求出弦AC长
7图AB⊙O直径CBCD分切⊙OBD两点点ECD延长线CEAE+BC
(1)求证：AE⊙O切线
(2)点D作DF⊥AB点F连接BE交DF点M求证：DMMF．
证明：（1）连接ODOE
∵CBCD分切⊙OBD两点
∴∠ODE90°CDCE
∵CEAE+BCCECD+DE
∴AEDE
∵ODOAOEOE
∴△ODE≌△OAE（SSS）
∴∠OAE∠ODE90°
∴OA⊥AE
∴AE⊙O切线
（2）∵DF⊥ABAE⊥ABBC⊥AB
∴AE∥DF∥BC
∴△BMF∽△BEA
∴
∴
∴
∵△EDM∽△ECB
∴
∴
∴DMMF．
解析：
（1）首先连接ODOECBCD分切⊙OBD两点∠ODE90°CDCECEAE+BCCECD+DE证AEDE△ODE≌△OAE证AE⊙O切线
（2）首先易证AE∥DF∥BC然行线分线段成例定理求例线段例线段变形求DMMF．
8已知：图AB⊙O直径D⊙O点连结BD延长CDBD连结AC点D作DE⊥
AC垂足点E．点B作BE⊥AB交ED延长线点F连结OF
求证：(1)EF⊙O切线
(2)△OBF∽△DEC
证明：（1）连结OD
∵AB⊙O直径
∴OAOB
∵CDBD
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴∠DEC90°∠ODE90°
∵点D⊙O点
∴EF⊙O切线
（2）∵BF⊥ABAB⊙O直径
∴BF⊙O切线
∵EF⊙O切线
∴∠BFO∠DFOFBFD
∴OF⊥BD
∵∠FDB∠CDE
∴∠OFD∠C
∴∠C∠OFB
∵∠CED∠FBO90°
∴△OBF∽△DEC
9图已知AB⊙O直径C⊙O点OD⊥BC点D点C作⊙O
切线交OD延长线点E连结BE．
(1)求证：BE⊙O相切
(2)连结AD延长交BE点FOB＝6sin∠ABC＝求BF长．
解：（1）连结CO∵OD⊥BC∴∠1＝∠2CO＝OBOE公
∴△OCE≌△OBE（SAS ）
∴∠OCE＝∠OBE
CE切线∠OCE＝90°∴∠OBE＝90°∴BE⊙O相切
（2）备图中作DH⊥OBHH垂足
∵Rt△ODB中OB＝6sin∠ABC＝∴OD＝4
理Rt△ODH∽Rt△ODB∴DH＝OH＝
∵Rt△ABF∽Rt△AHD∴FB︰DH＝AB︰AH
∴FB＝
考点：切线定义全等三角形判定相似三角形性质判定
点评：熟知定义性质根已知求题定难度需做辅助线解法唯属中档题
10图AB⊙O直径AC弦∠BAC分线AD交⊙O点DDE⊥AC交AC延长线点EOE交AD点 F
(1)求证：DE⊙O切线
(2)求值
(3)(2)条件⊙O直径10求△EFD面积．
试题分析：
（1）连接OD根角分线定义等腰三角形性质∠CAD∠ODA推出OD∥AC根行线性质切线判定推出
（2）先（1）OD∥AE结合行线分线段成例定理答案
（3）根三角形面积公式结合圆基性质求解
（1）连接OD
OA OD
∠OAD ∠ODA
已知∠OAD ∠DAE
∠ODA ∠DAE
OD‖AC
已知DE⊥AC
DE⊥OD
DE⊙O切线
（2）（1）OD∥AE
（3）
考点：圆综合题
点评：类问题初中数学重点难点中考中极常见般压轴题形式出现难度较
11已知：图Rt△ABC中∠A90°AB直径作⊙OBC交⊙O点DE边AC中点EDAB延长线相交点F．
求证：
(1)DE⊙O切线．
(2)AB•DFAC•BF．
证明：（1）图连接ODAD．
∵ODOA
∴∠2∠3
∵AB⊙O直径
∴∠BDA90°
∴∠CDA90°．
∵E边AC中点
∴DEAEAC
∴∠1∠4
∴∠4+∠3∠1+∠290°°．
∵AB⊙O直径
∴DE⊙O切线
（2）图∵AB⊥ACAD⊥BC
∴∠3∠C（角余角相等）．
∵∠ADB∠CDA90°
∴△ABD∽△CAD
∴
易证△FAD∽△FDB
∴
∴
∴AB•DFAC•BF．
解析：
（1）连接ODAD求出CDA∠BDA90°点EAC中点求出∠1∠4∠2∠3推出∠4+∠3∠1+∠290°根切线判定
（2）证△ABD∽△CAD推出证△FAD∽△FDB推出出AB•DFAC•BF．
12图△ABC边AB直径⊙O边BC交点D点D作DE⊥AC垂足E延长ABED交点FAD分∠BAC．
(1)求证：EF⊙O切线
(2)AE3AB4求图中阴影部分面积．
解：（1）连接OD．
∵OAOD
∴∠OAD∠ODA
∵AD分∠BAC
∴∠OAD∠CAD
∴∠ODA∠CAD
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴∠DEA90°
∴∠ODF∠DEA90°
∵OD半径
∴EF⊙O切线．
（2）∵AB⊙O直径DE⊥AC
∴∠BDA∠DEA90°
∵∠BAD∠CAD
∴△BAD∽△DAE
∴
∴AD2
∴cos∠BAD
∴∠BAD30°∠BOD2∠BAD60°
∴BDAB2
∴S△BODS△ABD××2×2
∴S阴影S扇形BODS△BOD
解析：
（1）根等腰三角形性质角分线性质出∠OAD∠ODA∠DAE推出OD∥AC推出OD⊥EF根切线判定推出
（2）证△BAD∽△DAE求出AD长根锐角三角函数定义求出∠BAD30°求出∠BOD60°求出BD2OBOD求出扇形BOD△BOD面积相减．
13知AB⊙O直径直线l⊙O相切点C弦CD交ABEBF⊥l垂足FBF交⊙OG
(1)求证：CE2FG·FB
(2)tan∠CBFAE3求⊙O直径
解：（1）证明：连结AC
∵AB直径∠ACB90°
∵AB直径
∴AB⊥CDCERt△ABC高
∴∠A∠ECB∠ACE∠EBC
∵CE⊙O切线
∴∠FCB∠ACF2FG·FB
∴∠FCB∠ECB
∵∠BFC∠CEB90°CBCB
∴△BCF≌△BCE
∴CECF∠FBC∠CBE
∴CE2FG·FB
（2）∵∠CBF∠CBE∠CBE∠ACE
∴∠ACE∠CBF
∴tan∠CBFtan∠ACE
∵AE3
∴CE6
Rt△ABC中CE高
∴CE2AE·EB623EB
∴EB12
∴⊙O直径：12+315
14图圆接四边形ABCD角线AC分∠BCDBD交AC点F点A作圆切线AE交CB延长线E
求证：①AE∥BD ②AD 2 DF·AE
证明：①∵AE圆切线
∴∠EAB∠ACE（弦切角等夹弧圆周角）
∵CA∠BCD分线
∴∠ACE∠ACD
∵∠ABD∠ACD
∴∠EAB∠ABD
∴AE∥BD
②∵AE∥BD
∴∠AEC∠DBC
∵∠DBC∠DAC
∴∠AEC∠DAC
∵∠EAB∠ADB（弦切角等夹弧圆周角）
∴△ABE∽△DFA
∴
∵∠ACE∠ACD
∴
∴ADAB
AD•ABAD2AE•DF．
15已知：□ABCD点D作直线交ACE交BCF交AB延长线GBGF三点作⊙OE作⊙O切线ETT切点
求证：ET ED
证明：四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∴∠EAD∠ECF
∠EDA∠EFC
∴△AED∽△CEF(AA)
∴
∵AB行DC
∴∠EAG∠ECD
∠G∠EDC
∴△AEG∽△CED（AA)
∴
∴
∵ET⊙O相切点T
∴
∴
∴
16图△ABC中AB ACOBC点O圆心OB长半径圆AC相切点A点C作CD⊥BA垂足D
求证：
（1） ∠DAC 2∠B
（2） CA 2 CD·CO
证明：（1）图已知△ABC中ABAC
△ABC等腰三角形∠B∠ACB
外角∠1∠B+∠ACB2∠B
已知OBC点O圆心OB长半径圆AC相切点A
△OAB等腰三角形∠B∠OABOA⊥AC
外角∠2∠B+∠OAB2∠B
∠OAC90°∠1∠2△OAC直角三角形
已知C作CD⊥BA延长线D∠ADC90°△ADC直角三角形
直角三角形△OAC△ADC中
∠1∠2∠OAC∠ADC90°
∴△OAC∽△ADC
CACOCDCA∴CA²CD·CO
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1已知：图AB⊙O直径EAB延长线点E作⊙O切线ED切点CAD⊥ED交ED点D交⊙O点FCG⊥AB交AB点G．
求证：BG•AGDF•DA．
2已知：图AB⊙O直径AB⊥ACBC交⊙ODEAC中点EDAB延长线相交点F．
(1)求证：DE⊙O切线．
(2)求证：AB：ACBF：DF．
3(南通)已知：图AB⊙O直径ABACBC交⊙O点DDE⊥ACE垂足．
(1)求证：∠ADE∠B
(2)点O作OF∥ADED延长线相交点F求证：FD•DAFO•DE．
4图AB⊙O直径BF切⊙O点BAF交⊙O点D点CDFBC交⊙O点E∠BAF2∠CBFCG⊥BF点G连接AE．
(1)直接写出AEBC位置关系
(2)求证：△BCG∽△ACE
(3)∠F60°GF1求⊙O半径长．
5图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
6图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
7⊙O直径CBCD分切⊙OBD两点点ECD延长线CEAE+BC
(1)求证：AE⊙O切线
(2)点D作DF⊥AB点F连接BE交DF点M求证：DMMF．
8已知：图AB⊙O直径D⊙O点连结BD延长CDBD连结AC点D作DE⊥
AC垂足点E．点B作BE⊥AB交ED延长线点F连结OF
求证：(1)EF⊙O切线
(2)△OBF∽△DEC
9图已知AB⊙O直径C⊙O点OD⊥BC点D点C作⊙O
切线交OD延长线点E连结BE．
(1)求证：BE⊙O相切
(2)连结AD延长交BE点FOB＝6sin∠ABC＝求BF长．
10图AB⊙O直径AC弦∠BAC分线AD交⊙O点DDE⊥AC交AC延长线点EOE交AD点 F
(1)求证：DE⊙O切线
(2)求值
(3)(2)条件⊙O直径10求△EFD面积．
11已知：图Rt△ABC中∠A90°AB直径作⊙OBC交⊙O点DE边AC中点EDAB延长线相交点F．
求证：
(1)DE⊙O切线．
(2)AB•DFAC•BF．
12图△ABC边AB直径⊙O边BC交点D点D作DE⊥AC垂足E延长ABED交点FAD分∠BAC．
(1)求证：EF⊙O切线
(2)AE3AB4求图中阴影部分面积．
13知AB⊙O直径直线l⊙O相切点C弦CD交ABEBF⊥l垂足FBF交⊙OG
(1)求证：CE2FG·FB
(2)tan∠CBFAE3求⊙O直径
14图圆接四边形ABCD角线AC分∠BCDBD交AC点F点A作圆切线AE交CB延长线E
求证：①AE∥BD ②AD 2 DF·AE
15已知：□ABCD点D作直线交ACE交BCF交AB延长线GBGF三点作⊙OE作⊙O切线ETT切点
求证：ET ED
16图△ABC中AB ACOBC点O圆心OB长半径圆AC相切点A点C作CD⊥BA垂足D
求证：（1） ∠DAC 2∠B
（2） CA 2 CD·CO
相似三角形圆综合考题（教师版）
1已知：图AB⊙O直径EAB延长线点E作⊙O切线ED切点CAD⊥ED交ED点D交⊙O点FCG⊥AB交AB点G．
求证：BG•AGDF•DA．
证明：连接BCFCCO
∵E作⊙O切线ED
∴∠DCF∠CAD
∠D∠D
∴△CDF∽△ADC
∴
∴CD2AD×DF
∵CG⊥ABAB直径
∴∠BCA∠AGC∠BGC90°
∴∠GBC+∠BCG90°∠BCG+∠GCA90°
∴∠GBC∠ACG
∴△BGC∽△CGA
∴ ∴CG2BG×AG
∵E作⊙O切线ED∴OC⊥DE
∵AD⊥DE∴CO∥AD
∴∠OCA∠CAD
∵AOCO
∴∠OAC∠OCA
∴∠OAC∠CAD
△AGC△ADC中
∴△AGC≌△ADC（AAS）
∴CGCD
∴BG×AGAD×DF．
2已知：图AB⊙O直径AB⊥ACBC交⊙ODEAC中点EDAB延长线相交点F．
(1)求证：DE⊙O切线．
(2)求证：AB：ACBF：DF．
3(南通)已知：图AB⊙O直径ABACBC交⊙O点DDE⊥ACE垂足．
(1)求证：∠ADE∠B
(2)点O作OF∥ADED延长线相交点F求证：FD•DAFO•DE．
解：（1）方法：
证明：连接OD
∵OAOD
∴∠OAD∠ODA．
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°AD⊥BC．
∵ABAC
∴AD分∠BAC∠OAD∠CAD．
∴∠ODA∠DAE∠OAD．
∵∠ADE+∠DAE90°
∴∠ADE+∠ODA90°∠ODE90°OD⊥DE．
∵OD⊙O半径
∴EF⊙O切线．
∴∠ADE∠B．
方法二：
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°DE⊥AC
∴∠DEA90°
∴∠ADB∠DEA
∵△ABC中ABACAD⊥BC
∴AD分∠BAC∠DAE∠BAD．
∴△DAE∽△BAD．
∴∠ADE∠B．
（2）证明：∵OF∥AD
∴∠F∠ADE．
∵∠DEA∠FDO（已证）
∴△FDO∽△DEA．
∴FD：DEFO：DAFD•DAFO•DE．
点评：题考查切线判定弦切角定理圆周角定理相似三角形判定性质（2）题积形式通常转化例形式通相似三角形性质证明．
4图AB⊙O直径BF切⊙O点BAF交⊙O点D点CDF
BC交⊙O点E∠BAF2∠CBFCG⊥BF点G连接AE．
(1)直接写出AEBC位置关系
(2)求证：△BCG∽△ACE
(3)∠F60°GF1求⊙O半径长．
解：（1）图1
∵AB⊙O直径
∴∠AEB90°．
∴AE⊥BC．
（2）图1
∵BF⊙O相切
∴∠ABF90°．
∴∠CBF90°∠ABE∠BAE．
∵∠BAF2∠CBF．
∴∠BAF2∠BAE．
∴∠BAE∠CAE．
∴∠CBF∠CAE．
∵CG⊥BFAE⊥BC
∴∠CGB∠AEC90°．
∵∠CBF∠CAE∠CGB∠AEC
∴△BCG∽△ACE．
（3）连接BD图2示．
∵∠DAE∠DBE∠DAE∠CBF
∴∠DBE∠CBF．
∵AB⊙O直径
∴∠ADB90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC∠CBFBD⊥AFCG⊥BF
∴CDCG．
∵∠F60°GF1∠CGF90°
∴tan∠FCGtan60°
∵CG
∴CD．
∵∠AFB60°∠ABF90°
∴∠BAF30°．
∵∠ADB90°∠BAF30°
∴AB2BD．
∵∠BAE∠CAE∠AEB∠AEC
∴∠ABE∠ACE．
∴ABAC．
设⊙O半径rACAB2rBDr．
∵∠ADB90°
∴ADr．
∴DCACAD2rr（2）r．
∴r2+3．
∴⊙O半径长2+3．
解析：
（1）AB⊙O直径AEBC垂直．
（2）易证∠CBF∠BAE结合条件∠BAF2∠CBF证∠CBF∠CAE易证∠CGB∠AEC证△BCG∽△ACE．
（3）∠F60°GF1求出CG连接BD容易证∠DBC∠CBF根角分线性质DCCG设圆O半径r易证ACAB∠BAD30°AC2rADrDCACAD求出⊙O半径长．
5图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
分析：（1）连接OC证明∠OCP90°．
（2）积形式通常转化例形式通证明三角形相似出．
（3）先根勾股定理求出DH通证明△OGA≌△OHD出AC2AG2DH求出弦AC长．
解答：（1）证明：连接OC．
∵PCPFOAOC
∴∠PCA∠PFC∠OCA∠OAC
∵∠PFC∠AFHDE⊥AB
∴∠AHF90°
∴∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH90°
∴PC⊙O切线．
（2）解：点D劣弧AC中点位置时AD2DE•DF理：
连接AE．
∵点D劣弧AC中点位置
∴∠DAF∠DEA
∵∠ADE∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：EDFD：AD
∴AD2DE•DF．
（3）解：连接OD交ACG．
∵OH1AH2
∴OA3OD3
∴DH2．
∵点D劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA∠OHD90°
△OGA△OHD中
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AGDH
∴AC4．
点评：题考查切线判定．证某线圆切线已知线圆某点连接圆心点（半径）证垂直．时考查相似三角形性质全等三角形性质．
6图ABAC分⊙O直径弦点D劣弧AC点弦DE⊥AB分交⊙OE交ABH交ACF．PED延长线点PCPF．
(1)求证：PC⊙O切线
(2)点D劣弧AC什位置时AD2DE•DF什？
(3)(2)条件OH1AH2求弦AC长．
（1）证明：连接OC．
∵PCPFOAOC
∴∠PCA∠PFC∠OCA∠OAC
∵∠PFC∠AFHDE⊥AB
∴∠AHF90°
∴∠PCO∠PCA+∠ACO∠AFH+∠FAH90°
∴PC⊙O切线．
（2）解：点D劣弧AC中点位置时AD2DE•DF理：
连接AE．
∵点D劣弧AC中点位置
∴∠DAF∠DEA
∵∠ADE∠ADE
∴△DAF∽△DEA
∴AD：EDFD：AD
∴AD2DE•DF．
（3）解：连接OD交ACG．
∵OH1AH2
∴OA3OD3
∴DH2．
∵点D劣弧AC中点位置
∴AC⊥DO
∴∠OGA∠OHD90°
△OGA△OHD中
∴△OGA≌△OHD（AAS）
∴AGDH
∴AC4．
解析：
（1）连接OC证明∠OCP90°．
（2）积形式通常转化例形式通证明三角形相似出．
（3）先根勾股定理求出DH通证明△OGA≌△OHD出AC2AG2DH求出弦AC长
7图AB⊙O直径CBCD分切⊙OBD两点点ECD延长线CEAE+BC
(1)求证：AE⊙O切线
(2)点D作DF⊥AB点F连接BE交DF点M求证：DMMF．
证明：（1）连接ODOE
∵CBCD分切⊙OBD两点
∴∠ODE90°CDCE
∵CEAE+BCCECD+DE
∴AEDE
∵ODOAOEOE
∴△ODE≌△OAE（SSS）
∴∠OAE∠ODE90°
∴OA⊥AE
∴AE⊙O切线
（2）∵DF⊥ABAE⊥ABBC⊥AB
∴AE∥DF∥BC
∴△BMF∽△BEA
∴
∴
∴
∵△EDM∽△ECB
∴
∴
∴DMMF．
解析：
（1）首先连接ODOECBCD分切⊙OBD两点∠ODE90°CDCECEAE+BCCECD+DE证AEDE△ODE≌△OAE证AE⊙O切线
（2）首先易证AE∥DF∥BC然行线分线段成例定理求例线段例线段变形求DMMF．
8已知：图AB⊙O直径D⊙O点连结BD延长CDBD连结AC点D作DE⊥
AC垂足点E．点B作BE⊥AB交ED延长线点F连结OF
求证：(1)EF⊙O切线
(2)△OBF∽△DEC
证明：（1）连结OD
∵AB⊙O直径
∴OAOB
∵CDBD
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴∠DEC90°∠ODE90°
∵点D⊙O点
∴EF⊙O切线
（2）∵BF⊥ABAB⊙O直径
∴BF⊙O切线
∵EF⊙O切线
∴∠BFO∠DFOFBFD
∴OF⊥BD
∵∠FDB∠CDE
∴∠OFD∠C
∴∠C∠OFB
∵∠CED∠FBO90°
∴△OBF∽△DEC
9图已知AB⊙O直径C⊙O点OD⊥BC点D点C作⊙O
切线交OD延长线点E连结BE．
(1)求证：BE⊙O相切
(2)连结AD延长交BE点FOB＝6sin∠ABC＝求BF长．
解：（1）连结CO∵OD⊥BC∴∠1＝∠2CO＝OBOE公
∴△OCE≌△OBE（SAS ）
∴∠OCE＝∠OBE
CE切线∠OCE＝90°∴∠OBE＝90°∴BE⊙O相切
（2）备图中作DH⊥OBHH垂足
∵Rt△ODB中OB＝6sin∠ABC＝∴OD＝4
理Rt△ODH∽Rt△ODB∴DH＝OH＝
∵Rt△ABF∽Rt△AHD∴FB︰DH＝AB︰AH
∴FB＝
考点：切线定义全等三角形判定相似三角形性质判定
点评：熟知定义性质根已知求题定难度需做辅助线解法唯属中档题
10图AB⊙O直径AC弦∠BAC分线AD交⊙O点DDE⊥AC交AC延长线点EOE交AD点 F
(1)求证：DE⊙O切线
(2)求值
(3)(2)条件⊙O直径10求△EFD面积．
试题分析：
（1）连接OD根角分线定义等腰三角形性质∠CAD∠ODA推出OD∥AC根行线性质切线判定推出
（2）先（1）OD∥AE结合行线分线段成例定理答案
（3）根三角形面积公式结合圆基性质求解
（1）连接OD
OA OD
∠OAD ∠ODA
已知∠OAD ∠DAE
∠ODA ∠DAE
OD‖AC
已知DE⊥AC
DE⊥OD
DE⊙O切线
（2）（1）OD∥AE
（3）
考点：圆综合题
点评：类问题初中数学重点难点中考中极常见般压轴题形式出现难度较
11已知：图Rt△ABC中∠A90°AB直径作⊙OBC交⊙O点DE边AC中点EDAB延长线相交点F．
求证：
(1)DE⊙O切线．
(2)AB•DFAC•BF．
证明：（1）图连接ODAD．
∵ODOA
∴∠2∠3
∵AB⊙O直径
∴∠BDA90°
∴∠CDA90°．
∵E边AC中点
∴DEAEAC
∴∠1∠4
∴∠4+∠3∠1+∠290°°．
∵AB⊙O直径
∴DE⊙O切线
（2）图∵AB⊥ACAD⊥BC
∴∠3∠C（角余角相等）．
∵∠ADB∠CDA90°
∴△ABD∽△CAD
∴
易证△FAD∽△FDB
∴
∴
∴AB•DFAC•BF．
解析：
（1）连接ODAD求出CDA∠BDA90°点EAC中点求出∠1∠4∠2∠3推出∠4+∠3∠1+∠290°根切线判定
（2）证△ABD∽△CAD推出证△FAD∽△FDB推出出AB•DFAC•BF．
12图△ABC边AB直径⊙O边BC交点D点D作DE⊥AC垂足E延长ABED交点FAD分∠BAC．
(1)求证：EF⊙O切线
(2)AE3AB4求图中阴影部分面积．
解：（1）连接OD．
∵OAOD
∴∠OAD∠ODA
∵AD分∠BAC
∴∠OAD∠CAD
∴∠ODA∠CAD
∴OD∥AC
∵DE⊥AC
∴∠DEA90°
∴∠ODF∠DEA90°
∵OD半径
∴EF⊙O切线．
（2）∵AB⊙O直径DE⊥AC
∴∠BDA∠DEA90°
∵∠BAD∠CAD
∴△BAD∽△DAE
∴
∴AD2
∴cos∠BAD
∴∠BAD30°∠BOD2∠BAD60°
∴BDAB2
∴S△BODS△ABD××2×2
∴S阴影S扇形BODS△BOD
解析：
（1）根等腰三角形性质角分线性质出∠OAD∠ODA∠DAE推出OD∥AC推出OD⊥EF根切线判定推出
（2）证△BAD∽△DAE求出AD长根锐角三角函数定义求出∠BAD30°求出∠BOD60°求出BD2OBOD求出扇形BOD△BOD面积相减．
13知AB⊙O直径直线l⊙O相切点C弦CD交ABEBF⊥l垂足FBF交⊙OG
(1)求证：CE2FG·FB
(2)tan∠CBFAE3求⊙O直径
解：（1）证明：连结AC
∵AB直径∠ACB90°
∵AB直径
∴AB⊥CDCERt△ABC高
∴∠A∠ECB∠ACE∠EBC
∵CE⊙O切线
∴∠FCB∠ACF2FG·FB
∴∠FCB∠ECB
∵∠BFC∠CEB90°CBCB
∴△BCF≌△BCE
∴CECF∠FBC∠CBE
∴CE2FG·FB
（2）∵∠CBF∠CBE∠CBE∠ACE
∴∠ACE∠CBF
∴tan∠CBFtan∠ACE
∵AE3
∴CE6
Rt△ABC中CE高
∴CE2AE·EB623EB
∴EB12
∴⊙O直径：12+315
14图圆接四边形ABCD角线AC分∠BCDBD交AC点F点A作圆切线AE交CB延长线E
求证：①AE∥BD ②AD 2 DF·AE
证明：①∵AE圆切线
∴∠EAB∠ACE（弦切角等夹弧圆周角）
∵CA∠BCD分线
∴∠ACE∠ACD
∵∠ABD∠ACD
∴∠EAB∠ABD
∴AE∥BD
②∵AE∥BD
∴∠AEC∠DBC
∵∠DBC∠DAC
∴∠AEC∠DAC
∵∠EAB∠ADB（弦切角等夹弧圆周角）
∴△ABE∽△DFA
∴
∵∠ACE∠ACD
∴
∴ADAB
AD•ABAD2AE•DF．
15已知：□ABCD点D作直线交ACE交BCF交AB延长线GBGF三点作⊙OE作⊙O切线ETT切点
求证：ET ED
证明：四边形ABCD行四边形
∴AD∥BC
∴∠EAD∠ECF
∠EDA∠EFC
∴△AED∽△CEF(AA)
∴
∵AB行DC
∴∠EAG∠ECD
∠G∠EDC
∴△AEG∽△CED（AA)
∴
∴
∵ET⊙O相切点T
∴
∴
∴
16图△ABC中AB ACOBC点O圆心OB长半径圆AC相切点A点C作CD⊥BA垂足D
求证：
（1） ∠DAC 2∠B
（2） CA 2 CD·CO
证明：（1）图已知△ABC中ABAC
△ABC等腰三角形∠B∠ACB
外角∠1∠B+∠ACB2∠B
已知OBC点O圆心OB长半径圆AC相切点A
△OAB等腰三角形∠B∠OABOA⊥AC
外角∠2∠B+∠OAB2∠B
∠OAC90°∠1∠2△OAC直角三角形
已知C作CD⊥BA延长线D∠ADC90°△ADC直角三角形
直角三角形△OAC△ADC中
∠1∠2∠OAC∠ADC90°
∴△OAC∽△ADC
CACOCDCA∴CA²CD·CO
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