2020届市高三第次诊断性检测数学（文）试题
单选题
1．复数（虚数单位）复面应点关实轴称（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析直接利复面称答案
详解
数（虚数单位）复面应点关实轴称
选：
点睛
题考查复面称问题属简单题
2．已知集合实数值( )
A． B．
C． D．
答案D
解析根集合集定义答案
详解
集合
选：D
点睛
题考查集合集基运算属基础题．
3．（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析根利二倍角公式答案
详解
选：
点睛
题考查二倍角公式意考查学生计算力
4．已知命题：（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析直接利全称命题否定定义答案
详解
命题：：
选：
点睛
题考查全称命题否定意考查学生推断力
5．某校机抽取100名学进行垃圾分类问卷测试测试结果发现100名学分[50100]分分成5组：[5060）[6070）[7080）[8090）[90100]图示频率分布直方图100名学分中位数( )
A． B．
C． D．
答案A
解析根频率分布直方图求中位数
详解
频率分步直方图中正方形面积表示组数频率中位数：
选：A
点评
题考查频率分布直方图相关知识直方图中矩形面积代表频率矩形面积1考查中位数属基础题．
6．设等差数列前项( )
A． B．
C． D．
答案D
解析S9S5转化a5a3表达算式结
详解
等差数列前项＝＝∴＝×3＝
选：D．
点睛
题考查等差数列前n项等差中项性质考查计算力属基础题．
7．已知空间中两面空间中两条直线列说法正确( )
A．
B．
C．
D．
答案C
解析空间中直线直线直线面面面位置关系逐核四选项答案．
详解
m∥αn∥βα∥βm∥nmn异面A错误
m∥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面B错误
m⊥αα∥βm⊥βn∥βm⊥nC正确
m⊥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面D错误．
选：C．
点睛
题考查命题真假判断应考查空间中直线直线直线面面面位置关系判定应考查空间想象力思维力属中档题．
8．函数图象点横坐标伸长原倍（坐标变）图象左移单位长度函数图象函数解析式( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利函数图象移变换伸缩变换应求出结果
详解
函数图象点横坐标伸长原2倍（坐标变）图象
图象左移单位长度函数f（x）＝图象
选：A．
点睛
题考查函数图象移伸缩变换应考查学生运算力转换力思维力属基础题．
9．已知抛物线焦点抛物线两点线段中点轴距离( )
A． B．
C． D．
答案B
解析抛物线焦点距离转化准线距离求出横坐标进求出中点横坐标求出结果
详解
抛物线方程准线方程：设
抛物线性质中点横坐标
线段中点轴距离：
选：B．
点睛
题考查抛物线定义应属基础题．
10．已知( )
A． B．
C． D．
答案C
解析利根式运算性质幂函数单调性ab关系利数函数单调性出c＜1．
详解
∵＝＝∴．∴．
选：C．
点睛
题考查根式运算性质幂函数单调性数函数单调性属基础题．
11．已知直线双曲线：相交两点双曲线左焦点满足（坐标原点）双曲线离心率（ ）
A． B． C．2 D．
答案B
解析图示：双曲线右焦点连接计算利余弦定理化简答案
详解
图示：双曲线右焦点连接根称性知
中分利余弦定理：
两式相加
选：
点睛
题考查双曲线离心率根条件计算出解题关键
12．已知定义函数满足时．关方程三相等实数根实数取值范围（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析根函数单调性称性画出函数图定点计算直线曲线相切情况计算斜率答案
详解
时
函数单调递减单调递增
函数关称定点
图示画出函数图：
相切时设切点
根称性考虑左边图根图验证知方程唯解时
答案
选：
点睛
题考查零点问题称问题函数单调性画出函数图解题关键
二填空题
13．已知实数满足约束条件值_______
答案6
解析作出等式应面区域利线性规划知识通移求z值．
详解
作出实数xy满足约束条件应面区域图：（阴影部分）
y＝﹣x+z移直线y＝﹣x+z
图象知直线y＝﹣x+z点A时直线y＝﹣x+z截距时z．
解A（22）代入目标函数z＝x+2yz＝2×2+2＝6
答案：6．
点睛
题考查线性规划应利图象行求目标函数值值利数形结合解决线性规划问题中基方法属基础题．
14．设正项等数列满足_______
答案
解析已知条件转化基量a1q方程组解方程组a1q进an．
详解
正项等数列中
解∴an＝＝3•3n﹣1＝3n
答案：3n
点睛
题考查等数列通项公式考查计算力属基础题．
15．已知面量满足量夹角______
答案
解析根计算答案
详解
设量夹角
答案：
点睛
题考查量夹角意考查学生计算力
16．图边长2正方形中边中点分现分折起点重合重合记点三棱锥．三棱锥外接球体积____________
答案
解析根两两垂直代入体积公式计算答案
详解
易知两两垂直
三棱锥放入应长方体
答案：
点睛
题考查三棱锥外接球问题三棱锥放入应长方体解题关键
三解答题
17．中角边分
（1）求值
（2）面积求周长
答案（1）（2）
解析（1）已知条件结合余弦定理求cosA值进根角三角函数基关系式求sinA值．
（2）利三角形面积公式求bc值正弦定理化简已知等式b＝3c解bc值根余弦定理求a值求解三角形周长．
详解
（1）∵∴余弦定理2bccosA＝bc∴cosA＝
∴△ABC中sinA＝＝．
（2）∵△ABC面积bcsinA＝bc＝∴bc＝6
∵sinB＝3sinC正弦定理b＝3c∴b＝3c＝2a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6
周长
点睛
题考查余弦定理角三角函数基关系式三角形面积公式正弦定理解三角形中综合应考查计算力转化思想属中档题．
18．某公司l000名员工中男性员工400名采分层抽样方法机抽取100名员工进行5G手机购买意调查计划年购买5G手机员工称追光族计划明年明年购买5G手机员工称观者调查结果发现抽取100名员工中属追光族女性员工男性员工20
（Ⅰ）完成列列联表判断否握认该公司员工属追光族性关
属追光族
属观者
合计
女性员工
男性员工
合计
100
（Ⅱ）已知抽取l00名员工中6名事部员工6名中3名属追光族现6名中机抽取3名求抽取3名中恰1名属追光族概率．
附：中
015
010
005
0025
0010
0005
0001
2072
2706
3841
5024
6635
7879
10828
答案（Ⅰ）表见解析没握认该公司员工属追光族性別关（Ⅱ）
解析（Ⅰ）完善列联表计算结
（Ⅱ）设事部6名中3名追光族分3名观者分列出情况计算答案
详解
（Ⅰ）题列联表：
属追光族
属观者
合计
女性员工
20
40
60
男性员工
20
20
40
合计
40
60
100
∵
∴没握认该公司员工属追光族性別关
（Ⅱ）设事部6名中3名追光族分3名观者分事部6名中机抽取3名情况20种
中抽取3名中恰1名属追光族情况9种
∴抽取3名中恰1名属追光族概率
点睛
题考查列联表概率计算意考查学生计算力应力
19．图四棱锥中面底面菱形分中点．
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）点棱证明：面．
答案（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析
解析（Ⅰ）证明面
（Ⅱ）根相似证明面
详解
（Ⅰ）图连接∵底面菱形
∴三角形正三角形
∵中点∴∵面面
∴
∵面∴面
（Ⅱ）连接交点连接
∵中点∴底面中∴
∴∴三角形中
∵面面
∴面
点睛
题考查线面垂直线面行意考查学生空间想象力推断力
20．已知函数函数导函数
（Ⅰ）讨函数单调性
（Ⅱ）时证明意成立
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）证明见解析
解析（Ⅰ）求导讨四种情况答案
（Ⅱ）证明求导函数
证明
详解
（Ⅰ）
∵
∴时函数单调递减单调递增
时函数单调递增
单调递减单调递增
时函数单调递增
时函数单调递增单调递减
单调递增
（Ⅱ）时
∴
令
令∵函数单调递增
∴存唯
∵时时
∴函数单调递减单调递增
∵
∴意成立
点睛
题考查函数单调性恒成立问题恒成立问题转化函数值解题关键
21．已知椭圆：右焦点点直线（轴重合）椭圆相交两点直线：轴相交点线段中点直线直线交点
（Ⅰ）求四边形（坐标原点）面积取值范围
（Ⅱ）证明直线轴行
答案（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析
解析（Ⅰ）令直线：联立方程利韦达定理换元带入化简答案
（Ⅱ）直线方程令代入（Ⅰ）中式子化简答案
详解
（Ⅰ）题令直线：
联立消
∵
∴
∴四边形面积
令∴∴
∵（仅时取等号）∴
∴四边形面积取值范围
（Ⅱ）∵∴
∴直线斜率直线方程
令……①
（Ⅰ）
∴
化简①
∴直线轴行
点睛
题考查面积范围直线行问题意考查学生计算力综合应力
22．面直角坐标系中已知曲线：动点绕点时针旋转设点轨迹曲线坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系
（1）求曲线极坐标方程
（2）极坐标系中点射线曲线分相交异极点两点求面积
答案（1）曲线：曲线：（2）
解析（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆写出普通方程结合ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ曲线C1C2极坐标方程
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2求|AB|＝|ρ1﹣ρ2|求出M（3）射线距离h＝求△MAB面积．
详解
（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆曲线C2：
∵ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ∴曲线C1极坐标方程ρ＝4sinθ曲线C2极坐标方程ρ＝4cosθ
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2
点射线距离
面积
点睛
题考查简单曲线极坐标方程考查参数方程化普通方程考查计算力属中档题．
23．已知函数
（1）解等式
（2）求证：
答案（1）（2）见解析
解析（1）原等式化：|x﹣3|≥4﹣|2x+1||2x+1|+|x﹣3|≥4分段讨求出
（2）基等式值转化|x+|﹣f（x）≤恒成立．
详解
（1）原等式化
①时等式化解
②时等式化解
③时等式化解
综：原等式解集
（2）
仅时取等号
仅时取等号
点睛
考查绝值等式解法绝值等式性质利分类讨思想结合绝值性质基等式应属中档题．
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单选题
1．复数（虚数单位）复面应点关实轴称（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析直接利复面称答案
详解
数（虚数单位）复面应点关实轴称
选：
点睛
题考查复面称问题属简单题
2．已知集合实数值( )
A． B．
C． D．
答案D
解析根集合集定义答案
详解
集合
选：D
点睛
题考查集合集基运算属基础题．
3．（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析根利二倍角公式答案
详解
选：
点睛
题考查二倍角公式意考查学生计算力
4．已知命题：（ ）
A． B．
C． D．
答案D
解析直接利全称命题否定定义答案
详解
命题：：
选：
点睛
题考查全称命题否定意考查学生推断力
5．某校机抽取100名学进行垃圾分类问卷测试测试结果发现100名学分[50100]分分成5组：[5060）[6070）[7080）[8090）[90100]图示频率分布直方图100名学分中位数( )
A． B．
C． D．
答案A
解析根频率分布直方图求中位数
详解
频率分步直方图中正方形面积表示组数频率中位数：
选：A
点评
题考查频率分布直方图相关知识直方图中矩形面积代表频率矩形面积1考查中位数属基础题．
6．设等差数列前项( )
A． B．
C． D．
答案D
解析S9S5转化a5a3表达算式结
详解
等差数列前项＝＝∴＝×3＝
选：D．
点睛
题考查等差数列前n项等差中项性质考查计算力属基础题．
7．已知空间中两面空间中两条直线列说法正确( )
A．
B．
C．
D．
答案C
解析空间中直线直线直线面面面位置关系逐核四选项答案．
详解
m∥αn∥βα∥βm∥nmn异面A错误
m∥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面B错误
m⊥αα∥βm⊥βn∥βm⊥nC正确
m⊥αn∥βα⊥βm∥nmn相交mn异面D错误．
选：C．
点睛
题考查命题真假判断应考查空间中直线直线直线面面面位置关系判定应考查空间想象力思维力属中档题．
8．函数图象点横坐标伸长原倍（坐标变）图象左移单位长度函数图象函数解析式( )
A． B．
C． D．
答案A
解析利函数图象移变换伸缩变换应求出结果
详解
函数图象点横坐标伸长原2倍（坐标变）图象
图象左移单位长度函数f（x）＝图象
选：A．
点睛
题考查函数图象移伸缩变换应考查学生运算力转换力思维力属基础题．
9．已知抛物线焦点抛物线两点线段中点轴距离( )
A． B．
C． D．
答案B
解析抛物线焦点距离转化准线距离求出横坐标进求出中点横坐标求出结果
详解
抛物线方程准线方程：设
抛物线性质中点横坐标
线段中点轴距离：
选：B．
点睛
题考查抛物线定义应属基础题．
10．已知( )
A． B．
C． D．
答案C
解析利根式运算性质幂函数单调性ab关系利数函数单调性出c＜1．
详解
∵＝＝∴．∴．
选：C．
点睛
题考查根式运算性质幂函数单调性数函数单调性属基础题．
11．已知直线双曲线：相交两点双曲线左焦点满足（坐标原点）双曲线离心率（ ）
A． B． C．2 D．
答案B
解析图示：双曲线右焦点连接计算利余弦定理化简答案
详解
图示：双曲线右焦点连接根称性知
中分利余弦定理：
两式相加
选：
点睛
题考查双曲线离心率根条件计算出解题关键
12．已知定义函数满足时．关方程三相等实数根实数取值范围（ ）
A． B．
C． D．
答案A
解析根函数单调性称性画出函数图定点计算直线曲线相切情况计算斜率答案
详解
时
函数单调递减单调递增
函数关称定点
图示画出函数图：
相切时设切点
根称性考虑左边图根图验证知方程唯解时
答案
选：
点睛
题考查零点问题称问题函数单调性画出函数图解题关键
二填空题
13．已知实数满足约束条件值_______
答案6
解析作出等式应面区域利线性规划知识通移求z值．
详解
作出实数xy满足约束条件应面区域图：（阴影部分）
y＝﹣x+z移直线y＝﹣x+z
图象知直线y＝﹣x+z点A时直线y＝﹣x+z截距时z．
解A（22）代入目标函数z＝x+2yz＝2×2+2＝6
答案：6．
点睛
题考查线性规划应利图象行求目标函数值值利数形结合解决线性规划问题中基方法属基础题．
14．设正项等数列满足_______
答案
解析已知条件转化基量a1q方程组解方程组a1q进an．
详解
正项等数列中
解∴an＝＝3•3n﹣1＝3n
答案：3n
点睛
题考查等数列通项公式考查计算力属基础题．
15．已知面量满足量夹角______
答案
解析根计算答案
详解
设量夹角
答案：
点睛
题考查量夹角意考查学生计算力
16．图边长2正方形中边中点分现分折起点重合重合记点三棱锥．三棱锥外接球体积____________
答案
解析根两两垂直代入体积公式计算答案
详解
易知两两垂直
三棱锥放入应长方体
答案：
点睛
题考查三棱锥外接球问题三棱锥放入应长方体解题关键
三解答题
17．中角边分
（1）求值
（2）面积求周长
答案（1）（2）
解析（1）已知条件结合余弦定理求cosA值进根角三角函数基关系式求sinA值．
（2）利三角形面积公式求bc值正弦定理化简已知等式b＝3c解bc值根余弦定理求a值求解三角形周长．
详解
（1）∵∴余弦定理2bccosA＝bc∴cosA＝
∴△ABC中sinA＝＝．
（2）∵△ABC面积bcsinA＝bc＝∴bc＝6
∵sinB＝3sinC正弦定理b＝3c∴b＝3c＝2a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6
周长
点睛
题考查余弦定理角三角函数基关系式三角形面积公式正弦定理解三角形中综合应考查计算力转化思想属中档题．
18．某公司l000名员工中男性员工400名采分层抽样方法机抽取100名员工进行5G手机购买意调查计划年购买5G手机员工称追光族计划明年明年购买5G手机员工称观者调查结果发现抽取100名员工中属追光族女性员工男性员工20
（Ⅰ）完成列列联表判断否握认该公司员工属追光族性关
属追光族
属观者
合计
女性员工
男性员工
合计
100
（Ⅱ）已知抽取l00名员工中6名事部员工6名中3名属追光族现6名中机抽取3名求抽取3名中恰1名属追光族概率．
附：中
015
010
005
0025
0010
0005
0001
2072
2706
3841
5024
6635
7879
10828
答案（Ⅰ）表见解析没握认该公司员工属追光族性別关（Ⅱ）
解析（Ⅰ）完善列联表计算结
（Ⅱ）设事部6名中3名追光族分3名观者分列出情况计算答案
详解
（Ⅰ）题列联表：
属追光族
属观者
合计
女性员工
20
40
60
男性员工
20
20
40
合计
40
60
100
∵
∴没握认该公司员工属追光族性別关
（Ⅱ）设事部6名中3名追光族分3名观者分事部6名中机抽取3名情况20种
中抽取3名中恰1名属追光族情况9种
∴抽取3名中恰1名属追光族概率
点睛
题考查列联表概率计算意考查学生计算力应力
19．图四棱锥中面底面菱形分中点．
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）点棱证明：面．
答案（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）证明见解析
解析（Ⅰ）证明面
（Ⅱ）根相似证明面
详解
（Ⅰ）图连接∵底面菱形
∴三角形正三角形
∵中点∴∵面面
∴
∵面∴面
（Ⅱ）连接交点连接
∵中点∴底面中∴
∴∴三角形中
∵面面
∴面
点睛
题考查线面垂直线面行意考查学生空间想象力推断力
20．已知函数函数导函数
（Ⅰ）讨函数单调性
（Ⅱ）时证明意成立
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）证明见解析
解析（Ⅰ）求导讨四种情况答案
（Ⅱ）证明求导函数
证明
详解
（Ⅰ）
∵
∴时函数单调递减单调递增
时函数单调递增
单调递减单调递增
时函数单调递增
时函数单调递增单调递减
单调递增
（Ⅱ）时
∴
令
令∵函数单调递增
∴存唯
∵时时
∴函数单调递减单调递增
∵
∴意成立
点睛
题考查函数单调性恒成立问题恒成立问题转化函数值解题关键
21．已知椭圆：右焦点点直线（轴重合）椭圆相交两点直线：轴相交点线段中点直线直线交点
（Ⅰ）求四边形（坐标原点）面积取值范围
（Ⅱ）证明直线轴行
答案（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析
解析（Ⅰ）令直线：联立方程利韦达定理换元带入化简答案
（Ⅱ）直线方程令代入（Ⅰ）中式子化简答案
详解
（Ⅰ）题令直线：
联立消
∵
∴
∴四边形面积
令∴∴
∵（仅时取等号）∴
∴四边形面积取值范围
（Ⅱ）∵∴
∴直线斜率直线方程
令……①
（Ⅰ）
∴
化简①
∴直线轴行
点睛
题考查面积范围直线行问题意考查学生计算力综合应力
22．面直角坐标系中已知曲线：动点绕点时针旋转设点轨迹曲线坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系
（1）求曲线极坐标方程
（2）极坐标系中点射线曲线分相交异极点两点求面积
答案（1）曲线：曲线：（2）
解析（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆写出普通方程结合ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ曲线C1C2极坐标方程
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2求|AB|＝|ρ1﹣ρ2|求出M（3）射线距离h＝求△MAB面积．
详解
（1）题意点Q轨迹（20）圆心2半径圆曲线C2：
∵ρ2＝x2+y2x＝ρcosθy＝ρsinθ∴曲线C1极坐标方程ρ＝4sinθ曲线C2极坐标方程ρ＝4cosθ
（2）极坐标系中设AB极径分ρ1ρ2
点射线距离
面积
点睛
题考查简单曲线极坐标方程考查参数方程化普通方程考查计算力属中档题．
23．已知函数
（1）解等式
（2）求证：
答案（1）（2）见解析
解析（1）原等式化：|x﹣3|≥4﹣|2x+1||2x+1|+|x﹣3|≥4分段讨求出
（2）基等式值转化|x+|﹣f（x）≤恒成立．
详解
（1）原等式化
①时等式化解
②时等式化解
③时等式化解
综：原等式解集
（2）
仅时取等号
仅时取等号
点睛
考查绝值等式解法绝值等式性质利分类讨思想结合绝值性质基等式应属中档题．
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