2020届1月市模数学（理）试题
单选题
1．设集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析先求出集合集合结
详解
题意
∴．
选：B．
点睛
题考查交集求法交集定义等式性质等基础知识考查运算求解力属基础题．
2．计算（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利复数运算法出．
详解
复数运算法：．
选：D．
点睛
题考查复数运算法考查推理力计算力属基础题．
3．已知直线面直线( )
A．充分必条件 B．必充分条件 C．充条件 D．充分必条件
答案B
解析时（直线面位置关系确定）充分性成立时直线做面面交直线必性成立选
4．海铁号线早高峰时隔分钟班中含列车车站停留分钟假设客达站台时刻机该客达站台立车概率（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析根概型概率计算问题求出应时间．
详解
分钟班列车中列车车站停留分钟根概型概率公式该客达站台立车概率
选：C．
点睛
题考查概型概率计算问题应时间值解题关键属基础题．
5．张丘建算卷题女善织日益功疾初日织五尺月日织九匹三丈意思：现善织布女子第天开始天前天织相量步（变常量）第天织五尺月（天计算）织九匹三丈（匹四丈丈十尺）该女子第天第天织布尺数（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析设该女子第天织布利等差数列结
详解
记该女子月中第天织布尺数
选：A．
点睛
题考查等差数列计算解题时认真审题注意等差数列性质合理运属基础题．
6．已知函数求余数函数表示余数例图某算法程序框图输入值输出值（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析模拟执行程序框图根题意约数：解
详解
模拟执行程序框图：
满足条件
满足条件
满足条件
满足条件
…
程序框图功统计约数数约数：．
选：C．
点睛
题考查循环结构程序框图次正确写出次循环值解题关键属基础题．
7．已知线量三点线满足（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利三点线结
详解
三点线
线量
选：B
点睛
题考查三点线量线定理属基础题．
8．已知变量满足值（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析确定等式表示面区域明确目标函数意义求值
详解
画出表示行域图
移直线直线点时直线截距
值
选：A．
点睛
题考查线性规划知识考查数形结合数学思想考查学生计算力属基础题
9．已知函数值递增值（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利正弦函数单调性求值进值
详解
题意知
选：D．
点睛
题考查正弦函数图象性质等式解法属基础题．
10．已知等式成立取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析易证奇函数单调递减利函数性质等式进解
详解
奇函数单调递减
等式：
结合函数单调性：
选：A．
点睛
题考查等式恒成立问题利奇函数性质等式关键属中档题
11．直角坐标系中分双曲线左右焦点点双曲线右支点满足点横坐标取值范围双曲线离心率取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析计算利离心率取值范围
详解
选：C．
点睛
题考查双曲线简单性质量数量积运算考查计算力属中档题．
12．已知意实数等式（中）解集中恰两整数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析进根图较点四点连线斜率答案
详解
取极值
根图欲解集中恰两整数较点四点连线斜率
选：C．
点睛
题考查利导数研究函数单调性极值值等式解法数形结合方法等价转化方法考查推理力计算力属难题．
二填空题
13．直线抛物线条切线__________．
答案
解析根题意联立方程答案
详解
联立直线抛物线．
答案：
点睛
题考查直线抛物线位置关系属基础题
14．棱长正方体中实心圆柱体圆柱底面正方体底面侧面正方体侧面相切正方体圆柱空隙中够放置球半径__________．
答案
解析正方体圆柱空隙中够放置球放置球正方体相切圆柱体相切球心圆柱体底面行面截该图形面图利关系计算
详解
图球心圆柱体底面行面截该图形面图
设球半径圆柱体底面圆半径正方形边长题意
解球半径
答案：
点睛
题考查球半径求法图形转化属基础题
15．已知等数列前项__________．
答案
解析等数列前项通项公式进值
详解
等数列前项已知知．
答案：
点睛
题考查等数列前项代数表达式利等数列定义关键属基础题
16．蚂蚁正四面体顶点出发次顶点爬行顶点蚂蚁爬行五次点爬行方法种数__________．
答案
解析方法：根题意蚂蚁第次爬行点利第二次爬行进行分类计算次计算
方法二：设点出发爬行次点爬行方法种数题意递推关系进结
详解
解法：第次爬行点第二次爬行分第二次第三次爬行分．爬行方法总数（种）．
解法二：设点出发爬行次点爬行方法种数
．（递推式第二项递推出第五项值）
答案：
点睛
题考查计数原理应构造数列利递推关系解决问题属中档题
三解答题
17．已知角边分锐角
（1）求角
（2）求面积
答案（1）（2）
解析（1）利诱导公式倍角公式函数解析式化简代入答案
（2）利余弦定理求值代入三角形面积公式求三角形面积
详解
（1）函数
：
锐角
（2）余弦定理
点睛
题考查正弦定理余弦定理运求学生正弦定理余弦定理公式变形公式熟练应属基础题
18．图四棱锥中底面直角梯形等边三角形侧面底面点点分棱棱点线段意点
（1）求证：面
（2）求二面角
答案（1）证明见解析（2）
解析（1）先证面证面进面面答案
（2）建立空间直角坐标系求出面法量取面法量利量法求出二面角
详解
（1）连接
面
四边形行四边形
面
面面
面
面
（2）图中点原点中垂线轴直线轴行直线轴建立空间直角坐标系
面中法量
设面法量
令
二面角
点睛
题考查线面行判定利量法求法量求二面角属中档题．
19．贯彻中中央国务院关精准扶贫政策程中某单位某市定点帮扶某村户贫困户做精准帮扶工作组户村民年收入情况危旧房情况患病情况等进行调查调查结果转化户贫困指标指标分成五组图示频率分布直方图规定认定该户绝贫困户否认定该户相贫困户时认定该户亟帮住户工作组户家庭受教育水进行评测家庭受教育水记良两种
（1）完成面列联表判断否握认绝贫困户数受教育水关：
受教育水良
受教育水
总计
绝贫困户
相贫困户
总计
（2）级部门调查村特困户分布情况贫困指标处贫困户中机选取两户表示选两户中亟帮助户户数求分布列数学期
附：中
答案（1）列联表见解析（2）分布列见解析
解析（1）根题意填写列联表计算界值出结
（2）根题意贫困指标贫困户（户）亟帮助户（户）
值列出分布列计算期值
详解
（1）题意知绝贫困户（户）出列联表：
受教育水
良
受教育水
总计
绝贫困户
相贫困户
总计
．
握认绝贫困户数受教育水关．
（2）贫困指标贫困户（户）
亟帮助户（户）
题意值
分布列
．
点睛
题考查列联表独立性检验应问题考查离散型机变量分布列期属中档题．
20．已知椭圆离心率右顶点顶点定点面积点作轴重合直线交椭圆两点直线分轴交两点
（1）求椭圆方程
（2）试探究横坐标积否定值说明理
答案（1）（2）理见解析
解析（1）求出代入
（2）设直线方程坐标分求出横坐标利直线椭圆联立韦达定理求出
详解
（1）已知坐标分面积
解：（舍）
椭圆方程
（2）设直线方程坐标分
直线方程令点横坐标
直线方程令点横坐标
直线代入椭圆
韦达定理
∴定值．
点睛
题考查椭圆方程直线椭圆综合圆锥曲线定值问题属中档题．
21．已知函数
（1）时求函数单调区间
（2）设时意存求实数取值范围
答案（1）时单调减区间单调增区间时单调增区间没单调减区间（2）
解析（1）先求函数定义域利函数导函数时分讨答案
（2）时（1）知单调递减单调递增
值题意令求新函数值实数取值范围
详解
（1）函数定义域
时
时时
时单调减区间单调增区间
时单调增区间没单调减区间
（2）时（1）知单调递减单调递增
值
意存
存值超区间值
令时
时时
单调递减
点睛
题考查利导数研究函数单调性极值值方程等式解法等价转化方法分类讨方法考查推理力计算力属难题．
22．直角坐标系中直线参数方程（参数）坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系圆极坐标方程
（1）求圆直角坐标方程
（2）直线圆交两点定点求值
答案（1）（2）
解析（1）圆直角坐标方程
（2）直线参数方程代入圆直角坐标方程化简整理韦达定理意义求
详解
（1）代入：
圆直角坐标方程
（2）设点应参数
直线l参数方程代入
：
化简
．
点睛
题考查极坐标方程直角坐标方程互化时考查直线圆位置关系考查直线参数方程运属基础题
23．[选修45：等式选讲]
已知实数正数x y满足．
（1）解关x等式
（2）证明：
答案(1)(2)见解析
解析（1）利零点分段法求解
（2）利1转换基等式证明
详解
（1）
解等式解集
（2）解法1：
仅时等号成立
解法2：
仅时等号成立
点睛
考查绝值等式求解等式证明基等式应属中档题绝值等式求解运零点分段法运图法等式证明关键灵活运等式性质基等式
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单选题
1．设集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析先求出集合集合结
详解
题意
∴．
选：B．
点睛
题考查交集求法交集定义等式性质等基础知识考查运算求解力属基础题．
2．计算（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利复数运算法出．
详解
复数运算法：．
选：D．
点睛
题考查复数运算法考查推理力计算力属基础题．
3．已知直线面直线( )
A．充分必条件 B．必充分条件 C．充条件 D．充分必条件
答案B
解析时（直线面位置关系确定）充分性成立时直线做面面交直线必性成立选
4．海铁号线早高峰时隔分钟班中含列车车站停留分钟假设客达站台时刻机该客达站台立车概率（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析根概型概率计算问题求出应时间．
详解
分钟班列车中列车车站停留分钟根概型概率公式该客达站台立车概率
选：C．
点睛
题考查概型概率计算问题应时间值解题关键属基础题．
5．张丘建算卷题女善织日益功疾初日织五尺月日织九匹三丈意思：现善织布女子第天开始天前天织相量步（变常量）第天织五尺月（天计算）织九匹三丈（匹四丈丈十尺）该女子第天第天织布尺数（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析设该女子第天织布利等差数列结
详解
记该女子月中第天织布尺数
选：A．
点睛
题考查等差数列计算解题时认真审题注意等差数列性质合理运属基础题．
6．已知函数求余数函数表示余数例图某算法程序框图输入值输出值（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析模拟执行程序框图根题意约数：解
详解
模拟执行程序框图：
满足条件
满足条件
满足条件
满足条件
…
程序框图功统计约数数约数：．
选：C．
点睛
题考查循环结构程序框图次正确写出次循环值解题关键属基础题．
7．已知线量三点线满足（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析利三点线结
详解
三点线
线量
选：B
点睛
题考查三点线量线定理属基础题．
8．已知变量满足值（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析确定等式表示面区域明确目标函数意义求值
详解
画出表示行域图
移直线直线点时直线截距
值
选：A．
点睛
题考查线性规划知识考查数形结合数学思想考查学生计算力属基础题
9．已知函数值递增值（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析利正弦函数单调性求值进值
详解
题意知
选：D．
点睛
题考查正弦函数图象性质等式解法属基础题．
10．已知等式成立取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案A
解析易证奇函数单调递减利函数性质等式进解
详解
奇函数单调递减
等式：
结合函数单调性：
选：A．
点睛
题考查等式恒成立问题利奇函数性质等式关键属中档题
11．直角坐标系中分双曲线左右焦点点双曲线右支点满足点横坐标取值范围双曲线离心率取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析计算利离心率取值范围
详解
选：C．
点睛
题考查双曲线简单性质量数量积运算考查计算力属中档题．
12．已知意实数等式（中）解集中恰两整数取值范围（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析进根图较点四点连线斜率答案
详解
取极值
根图欲解集中恰两整数较点四点连线斜率
选：C．
点睛
题考查利导数研究函数单调性极值值等式解法数形结合方法等价转化方法考查推理力计算力属难题．
二填空题
13．直线抛物线条切线__________．
答案
解析根题意联立方程答案
详解
联立直线抛物线．
答案：
点睛
题考查直线抛物线位置关系属基础题
14．棱长正方体中实心圆柱体圆柱底面正方体底面侧面正方体侧面相切正方体圆柱空隙中够放置球半径__________．
答案
解析正方体圆柱空隙中够放置球放置球正方体相切圆柱体相切球心圆柱体底面行面截该图形面图利关系计算
详解
图球心圆柱体底面行面截该图形面图
设球半径圆柱体底面圆半径正方形边长题意
解球半径
答案：
点睛
题考查球半径求法图形转化属基础题
15．已知等数列前项__________．
答案
解析等数列前项通项公式进值
详解
等数列前项已知知．
答案：
点睛
题考查等数列前项代数表达式利等数列定义关键属基础题
16．蚂蚁正四面体顶点出发次顶点爬行顶点蚂蚁爬行五次点爬行方法种数__________．
答案
解析方法：根题意蚂蚁第次爬行点利第二次爬行进行分类计算次计算
方法二：设点出发爬行次点爬行方法种数题意递推关系进结
详解
解法：第次爬行点第二次爬行分第二次第三次爬行分．爬行方法总数（种）．
解法二：设点出发爬行次点爬行方法种数
．（递推式第二项递推出第五项值）
答案：
点睛
题考查计数原理应构造数列利递推关系解决问题属中档题
三解答题
17．已知角边分锐角
（1）求角
（2）求面积
答案（1）（2）
解析（1）利诱导公式倍角公式函数解析式化简代入答案
（2）利余弦定理求值代入三角形面积公式求三角形面积
详解
（1）函数
：
锐角
（2）余弦定理
点睛
题考查正弦定理余弦定理运求学生正弦定理余弦定理公式变形公式熟练应属基础题
18．图四棱锥中底面直角梯形等边三角形侧面底面点点分棱棱点线段意点
（1）求证：面
（2）求二面角
答案（1）证明见解析（2）
解析（1）先证面证面进面面答案
（2）建立空间直角坐标系求出面法量取面法量利量法求出二面角
详解
（1）连接
面
四边形行四边形
面
面面
面
面
（2）图中点原点中垂线轴直线轴行直线轴建立空间直角坐标系
面中法量
设面法量
令
二面角
点睛
题考查线面行判定利量法求法量求二面角属中档题．
19．贯彻中中央国务院关精准扶贫政策程中某单位某市定点帮扶某村户贫困户做精准帮扶工作组户村民年收入情况危旧房情况患病情况等进行调查调查结果转化户贫困指标指标分成五组图示频率分布直方图规定认定该户绝贫困户否认定该户相贫困户时认定该户亟帮住户工作组户家庭受教育水进行评测家庭受教育水记良两种
（1）完成面列联表判断否握认绝贫困户数受教育水关：
受教育水良
受教育水
总计
绝贫困户
相贫困户
总计
（2）级部门调查村特困户分布情况贫困指标处贫困户中机选取两户表示选两户中亟帮助户户数求分布列数学期
附：中
答案（1）列联表见解析（2）分布列见解析
解析（1）根题意填写列联表计算界值出结
（2）根题意贫困指标贫困户（户）亟帮助户（户）
值列出分布列计算期值
详解
（1）题意知绝贫困户（户）出列联表：
受教育水
良
受教育水
总计
绝贫困户
相贫困户
总计
．
握认绝贫困户数受教育水关．
（2）贫困指标贫困户（户）
亟帮助户（户）
题意值
分布列
．
点睛
题考查列联表独立性检验应问题考查离散型机变量分布列期属中档题．
20．已知椭圆离心率右顶点顶点定点面积点作轴重合直线交椭圆两点直线分轴交两点
（1）求椭圆方程
（2）试探究横坐标积否定值说明理
答案（1）（2）理见解析
解析（1）求出代入
（2）设直线方程坐标分求出横坐标利直线椭圆联立韦达定理求出
详解
（1）已知坐标分面积
解：（舍）
椭圆方程
（2）设直线方程坐标分
直线方程令点横坐标
直线方程令点横坐标
直线代入椭圆
韦达定理
∴定值．
点睛
题考查椭圆方程直线椭圆综合圆锥曲线定值问题属中档题．
21．已知函数
（1）时求函数单调区间
（2）设时意存求实数取值范围
答案（1）时单调减区间单调增区间时单调增区间没单调减区间（2）
解析（1）先求函数定义域利函数导函数时分讨答案
（2）时（1）知单调递减单调递增
值题意令求新函数值实数取值范围
详解
（1）函数定义域
时
时时
时单调减区间单调增区间
时单调增区间没单调减区间
（2）时（1）知单调递减单调递增
值
意存
存值超区间值
令时
时时
单调递减
点睛
题考查利导数研究函数单调性极值值方程等式解法等价转化方法分类讨方法考查推理力计算力属难题．
22．直角坐标系中直线参数方程（参数）坐标原点极点轴正半轴极轴建立极坐标系圆极坐标方程
（1）求圆直角坐标方程
（2）直线圆交两点定点求值
答案（1）（2）
解析（1）圆直角坐标方程
（2）直线参数方程代入圆直角坐标方程化简整理韦达定理意义求
详解
（1）代入：
圆直角坐标方程
（2）设点应参数
直线l参数方程代入
：
化简
．
点睛
题考查极坐标方程直角坐标方程互化时考查直线圆位置关系考查直线参数方程运属基础题
23．[选修45：等式选讲]
已知实数正数x y满足．
（1）解关x等式
（2）证明：
答案(1)(2)见解析
解析（1）利零点分段法求解
（2）利1转换基等式证明
详解
（1）
解等式解集
（2）解法1：
仅时等号成立
解法2：
仅时等号成立
点睛
考查绝值等式求解等式证明基等式应属中档题绝值等式求解运零点分段法运图法等式证明关键灵活运等式性质基等式
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