题型综述
导数研究超越方程
超越方程包含超越函数方程方程中法变数项式开方表示函数超越方程相代数方程．超越方程求解法利代数进行．部分超越方程求解没般公式难求解析解．
探求诸方程根问题时利导数工具数形结合数学思想解决．
类题般解题步骤：
1构造函数求定义域．
2求导数单调区间极值点．
3画出函数草图．
4数形结合挖掘隐含条件确定函数图象轴交点情况求解．
典例指引
例1．已知函数处取极值．
（1）求实数值
（2）设导函数图象交轴两点设线段中点试问否根？说明理．
思路引导
（1）先求导数根解列表验证（2）研究否成立利0转化．中利导数研究函数单调性确定方程解情况
（2）（1）知函数．
∵函数图象轴交两点（ ）
∴．
两式相减
．学*科网
．
解．．
令∵∴．
令．
∴
∴増函数
知成立．
根．学*科网
例2．设函数
（1）时求函数单调区间[源ZxxkCom]
（2）令图象意点处切线斜率恒成立求实数取值范围．
（3）时方程区间唯实数解求实数取值范围．
思路引导
（1）先求导数然函数定义域解等式区间单调增区间 区间单调减区间（2）先构造函数图象意点切点切线斜率恒成立知导函数恒成立转化求解（3）先握唯实数解转化唯实数解利单调函数求解．
[源ZxxkCom]
方法点晴题考查利导数研究函数单调性利导数研究方程根等式恒成立导数意义属难题．利导数研究函数单调性步骤：①确定函数定义域②求导③令解等式范围递增区间令解等式范围递减区间．
例3．已知函数（）
（1）讨单调性
（2）关等式解集中两整数求实数取值范围．
思路引导
（1）求出分两种情况讨分令 增区间令减区间（2） 令利导数研究单调性结合零点定理结果．
试题解析：
（1）时单调递减单调递增时单调递增单调递减
（2）题意
令学*科网
令单调递增．
存唯．
单调递增
单调递减．
时
．学*科网
等式解集中两整数取值范围应．
步训练
1．已知函数（）导数．
（Ⅰ）定义域增函数求实数取值范围
（Ⅱ）方程3实数根求实数取值范围．
思路引导
（Ⅰ）需恒成立求出结果（Ⅱ）原方程等价研究函数单调性结合图象结果．
令解．
列表：
1
0
0
增
极值
减
极值
增
表知时 取极值
时 取极值．
时时．学*科网
时时时 实数取值范围．
2．已知函数图象条切线轴．（1）求实数值（2）令存相等两实数满足求证： ．
思路引导
（1）函数求导题设切点坐标原函数切线斜率方程组解方程组值（2）题知构造绝值函数利导数函数单调性关系判断单调性构造函数利导数判断出单调性令利单调性结．
单调递减单调递增
时 学*科网
记
记函数导函数
3．已知函数（）．
（1）图象处切线恰图象切线．
①求实数值[源学*科*网Z*X*X*K]
②方程区间唯实数解求实数取值范围．
（2）时求证：区间意两相等实数 成立．
思路引导
（1）①首先求函数图象处切线 切点切线方程问题转化直线函数图象相切根直线抛物线相切进行解题②问题转化方程区间唯实数解参变量分离设 研究单调性极值转化直线交点（2）时 单调递增 单调递增设 问题转化构造函数通函数单调递减求出取值范围．
∵∴ 函数单调递增 函数单调递减
∵ 时
∴
证明：（2）妨设
∴化
∴
设∴单调递减
∴恒成立恒成立
∵∴
时命题成立．
4．已知函数．
（1）设
①记导函数求
②方程两实根求实数取值范围
（2）存点成立求实数取值范围．
思路引导
（1）①进行求导代入值②进行二次求导判断单调性符号单调性结合图象致形状取值范围（2）题意转化令题意等价值0进行求导导函数进行分类讨判断单调性值．
（2）题∴∴
令值0
1时 递减解
2 递增∴解
3时求
时成立
综．学*科网
点睛：题考查导数运：求考查函数方程联系单调区间值时考查等式存性转化求函数值问题正确求导解题关键．正确求导基础利导数关系函数单调区间高考中必考容基础容注意存性问题恒成立问题区．
5．已知函数．[源Z&xx&kCom]
（1）试确定取值范围函数单调函数
（2）然数取值时方程三相等实数根求出相应实数取值范围．
思路引导
（1）先求函数导数根导函数零点确定函数单调区间根某单调区间子集取值范围（2）结合三次函数图确定取值范围：时方程三等实根根端点值确定实数满足条件： 解等式实数取值范围．
需满足．
学*科网
综述时满足题意时实数取值范围．
6．已知函数直线函数条切线．
（1）求值
（2）意存求取值范围
（3）已知方程两根求证 ．
思路引导
（1）函数求导 设直线函数相切点根导数意义 解求出（2）意 存需值域值域子集利导数方法分求值域求出取值范围（3）根题意两式相减 令令求导判断单调证明．
(2) （1） 时 单调递减 时 时 单调递增时 题意 解．
(3) 题意两式相减方程转化
7．已知函数（然数底数）．
（1）求值表达式
（2）时方程恰两相异实根求实根取值范围
（3）求图象恒图象方正整数．
思路引导
(1)先求函数导数根定义域 取值分类讨导函数否变号确定函数单调性进确定函数值(2)作差函数求导原函数先减增两相异实根需极值零两端点值零解等式取值范围 (3)实际等式恒成立问题先转化应函数值问题（利导数求差函数值）研究值恒零问题继续求导研究函数单调性结合零点存定理限制估计极点范围范围确定正整数．
试题解析：
(1) 时
①时增函数时
②时增函数
增函数时
③时增函数减函数
时增函数减函数
时
时增函数时
综述：
（2）
∴单调递减单调递增
∴恰两相异实根
实数取值范围
8．设函数．
（1）求函数单调区间
（2）函数两零点求满足条件正整数值
（3）方程两相等实数根较0．
思路引导
(1)先求函数导数求导函数零点 根定义域舍进行讨 时单调增区间．时增减(2) 函数两零点函数必单调值零 转化研究值负条件函数单调递增需利零点存定理探求取两相邻整数点代入研究取值范围进确定整数值（3）根需判定解代入分析需较 设构造函数利导数值判定．
(3)证明：方程两等实根(1)知．
妨设．
两式相减
．[源ZxxkCom]
．
点睛：利导数证明等式常见类型解题策略(1) 构造差函数．根差函数导函数符号确定差函数单调性利单调性等量关系进证明等式．（2）根条件寻找目标函数．般思路利条件求问题转化应项间关系利放缩等量代换元函数转化元函数．
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导数研究超越方程
超越方程包含超越函数方程方程中法变数项式开方表示函数超越方程相代数方程．超越方程求解法利代数进行．部分超越方程求解没般公式难求解析解．
探求诸方程根问题时利导数工具数形结合数学思想解决．
类题般解题步骤：
1构造函数求定义域．
2求导数单调区间极值点．
3画出函数草图．
4数形结合挖掘隐含条件确定函数图象轴交点情况求解．
典例指引
例1．已知函数处取极值．
（1）求实数值
（2）设导函数图象交轴两点设线段中点试问否根？说明理．
思路引导
（1）先求导数根解列表验证（2）研究否成立利0转化．中利导数研究函数单调性确定方程解情况
（2）（1）知函数．
∵函数图象轴交两点（ ）
∴．
两式相减
．学*科网
．
解．．
令∵∴．
令．
∴
∴増函数
知成立．
根．学*科网
例2．设函数
（1）时求函数单调区间[源ZxxkCom]
（2）令图象意点处切线斜率恒成立求实数取值范围．
（3）时方程区间唯实数解求实数取值范围．
思路引导
（1）先求导数然函数定义域解等式区间单调增区间 区间单调减区间（2）先构造函数图象意点切点切线斜率恒成立知导函数恒成立转化求解（3）先握唯实数解转化唯实数解利单调函数求解．
[源ZxxkCom]
方法点晴题考查利导数研究函数单调性利导数研究方程根等式恒成立导数意义属难题．利导数研究函数单调性步骤：①确定函数定义域②求导③令解等式范围递增区间令解等式范围递减区间．
例3．已知函数（）
（1）讨单调性
（2）关等式解集中两整数求实数取值范围．
思路引导
（1）求出分两种情况讨分令 增区间令减区间（2） 令利导数研究单调性结合零点定理结果．
试题解析：
（1）时单调递减单调递增时单调递增单调递减
（2）题意
令学*科网
令单调递增．
存唯．
单调递增
单调递减．
时
．学*科网
等式解集中两整数取值范围应．
步训练
1．已知函数（）导数．
（Ⅰ）定义域增函数求实数取值范围
（Ⅱ）方程3实数根求实数取值范围．
思路引导
（Ⅰ）需恒成立求出结果（Ⅱ）原方程等价研究函数单调性结合图象结果．
令解．
列表：
1
0
0
增
极值
减
极值
增
表知时 取极值
时 取极值．
时时．学*科网
时时时 实数取值范围．
2．已知函数图象条切线轴．（1）求实数值（2）令存相等两实数满足求证： ．
思路引导
（1）函数求导题设切点坐标原函数切线斜率方程组解方程组值（2）题知构造绝值函数利导数函数单调性关系判断单调性构造函数利导数判断出单调性令利单调性结．
单调递减单调递增
时 学*科网
记
记函数导函数
3．已知函数（）．
（1）图象处切线恰图象切线．
①求实数值[源学*科*网Z*X*X*K]
②方程区间唯实数解求实数取值范围．
（2）时求证：区间意两相等实数 成立．
思路引导
（1）①首先求函数图象处切线 切点切线方程问题转化直线函数图象相切根直线抛物线相切进行解题②问题转化方程区间唯实数解参变量分离设 研究单调性极值转化直线交点（2）时 单调递增 单调递增设 问题转化构造函数通函数单调递减求出取值范围．
∵∴ 函数单调递增 函数单调递减
∵ 时
∴
证明：（2）妨设
∴化
∴
设∴单调递减
∴恒成立恒成立
∵∴
时命题成立．
4．已知函数．
（1）设
①记导函数求
②方程两实根求实数取值范围
（2）存点成立求实数取值范围．
思路引导
（1）①进行求导代入值②进行二次求导判断单调性符号单调性结合图象致形状取值范围（2）题意转化令题意等价值0进行求导导函数进行分类讨判断单调性值．
（2）题∴∴
令值0
1时 递减解
2 递增∴解
3时求
时成立
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点睛：题考查导数运：求考查函数方程联系单调区间值时考查等式存性转化求函数值问题正确求导解题关键．正确求导基础利导数关系函数单调区间高考中必考容基础容注意存性问题恒成立问题区．
5．已知函数．[源Z&xx&kCom]
（1）试确定取值范围函数单调函数
（2）然数取值时方程三相等实数根求出相应实数取值范围．
思路引导
（1）先求函数导数根导函数零点确定函数单调区间根某单调区间子集取值范围（2）结合三次函数图确定取值范围：时方程三等实根根端点值确定实数满足条件： 解等式实数取值范围．
需满足．
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综述时满足题意时实数取值范围．
6．已知函数直线函数条切线．
（1）求值
（2）意存求取值范围
（3）已知方程两根求证 ．
思路引导
（1）函数求导 设直线函数相切点根导数意义 解求出（2）意 存需值域值域子集利导数方法分求值域求出取值范围（3）根题意两式相减 令令求导判断单调证明．
(2) （1） 时 单调递减 时 时 单调递增时 题意 解．
(3) 题意两式相减方程转化
7．已知函数（然数底数）．
（1）求值表达式
（2）时方程恰两相异实根求实根取值范围
（3）求图象恒图象方正整数．
思路引导
(1)先求函数导数根定义域 取值分类讨导函数否变号确定函数单调性进确定函数值(2)作差函数求导原函数先减增两相异实根需极值零两端点值零解等式取值范围 (3)实际等式恒成立问题先转化应函数值问题（利导数求差函数值）研究值恒零问题继续求导研究函数单调性结合零点存定理限制估计极点范围范围确定正整数．
试题解析：
(1) 时
①时增函数时
②时增函数
增函数时
③时增函数减函数
时增函数减函数
时
时增函数时
综述：
（2）
∴单调递减单调递增
∴恰两相异实根
实数取值范围
8．设函数．
（1）求函数单调区间
（2）函数两零点求满足条件正整数值
（3）方程两相等实数根较0．
思路引导
(1)先求函数导数求导函数零点 根定义域舍进行讨 时单调增区间．时增减(2) 函数两零点函数必单调值零 转化研究值负条件函数单调递增需利零点存定理探求取两相邻整数点代入研究取值范围进确定整数值（3）根需判定解代入分析需较 设构造函数利导数值判定．
(3)证明：方程两等实根(1)知．
妨设．
两式相减
．[源ZxxkCom]
．
点睛：利导数证明等式常见类型解题策略(1) 构造差函数．根差函数导函数符号确定差函数单调性利单调性等量关系进证明等式．（2）根条件寻找目标函数．般思路利条件求问题转化应项间关系利放缩等量代换元函数转化元函数．
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