题型综述
导数研究方程根等式解集
利导数探讨方程解存性通常方程转化通确认函数值域确定参数变量范围
类似等式仿效法．
[源ZxxkCom]
典例指引
例1．已知函数．
（1）关方程解求实数值
（2）否存成立？存求出存说明理
思路引导
（1）方程解等价解需求值（2）假设存推导出矛盾证明存．[源学科网ZXXK]
例2．已知函数值 图象关轴称．
(Ⅰ)求实数值[源Z*xx*kCom]
(Ⅱ)设否存区间函数区间值域？存求实数取值范围存请说明理．
思路引导
(Ⅰ) 题意单调递增单调递减值图象关轴称 (Ⅱ)题知递增假设存区间函数值域问题转化关方程区间否存两相等实根问题区间否存两相等实根令区间单调递增存两等实根
问题转化关方程区间否存两相等实根
方程区间否存两相等实根
令
设
递增学&科网
区间单调递增
方程区间存两相等实根
综存区间函数区间值域．
点睛：（1）解决导数综合题时函数单调性极值解题基础单调性基础分析问题解决
（2）探索性问题求解程中先假设结成立然基础进行推理否矛盾矛盾说明假设成立矛盾出现说明假设成立说明证明题成立
例3．已知函数常数
（1）处取极值时关x方程 恰两相等实数根求实数b取值范围
（2）意总存等式 成立求实数 取值范围．
思路引导
（1）函数令值利导数研究单调性然求值取值范围（2）利导数求出值问题等价意等式成立然构造新函数求导然讨出单调性求出取值范围．
时区间单调递减时
恒成立必
知区间单调递增区间满足求
知区间递减区间恒成立相矛盾实数取值范围．学&科网
点睛：题考查函数单调性恒成立问题涉函数等式证明综合性强难度较属难题．处理导数题时注意分层分原般涉求函数单调性时较容易入手求导含参数问题注意分类讨恒成立问题般构造新函数利导数求出函数单调性值涉技巧较需加体会．
步训练
1．设函数 已知曲线点处切线直线行．
（1）求值
（2）否存然数方程存唯根？果存求出果存请说明理．
思路引导
（1）求出导数求切线斜率两直线行条件：斜率相等解方程
（2）求出导数单调区间值零点存定理判断存k1．
存．
时 时 学&科网
时 单调递增
时方程存唯根．
点睛：题考查函数单调性极值时考查零点存定理分段函数值考查运算力涉函数等式证明综合性强难度属难题．处理导数题时注意分层分原力争第二问答第三问争取写点般涉求函数单调性极值时较容易入手求导注意分类讨恒成立问题般分离参数然利函数导数求函数值值含等式函数问题般构造函数利函数单调性解决涉技巧较需加体会．
2．已知函数．
（1）函数定义域增函数求实数取值范围
（3）设函数少存点成立求实数取值范围．
思路引导
（1）题意导函数定义域恒非负根二次方程恒成立条件实数取值范围（2）等式解问题利参变分离法转化应函数值问题利导数求应函数值实数取值范围．
原问题转化少存点．
①时
∵∴ 符合条件
②时
知学&科网
单调递增 整理．
综述 ．
点睛：求等式成立时参数范围问题情况参数分离出等式端含参数等式端区间具体函数样问题转化端函数端参数等式便问题解决．注意分离参数法万果分离参数出函数解析式较复杂性质难研究分离参数法．
3．已知函数中
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）存成立求取值范围．
思路引导
（1）函数单调区间导数符号相关函数导数根符号讨导数符号函数单调区间．（2）等式 解 ．单调性确定需分 三种情况讨．
（2）存成立值．
①时（1）知单调递增 值
②时（1）知单调递减 值 学&科网
③时（1）知单调递减单调递增 值满足题意舍．
综述实数取值范围．
点睛：函数单调性需考虑导数符号通常情况需导函数变形找出决定导数正负核心代数式然参数取值范围分类讨．等式恒成立问题解问题常常转化函数值讨： 解转化 恒成立转化 ．
4．已知函数．
（1）递增求取值范围
（2）少成立求取值范围（参考数： ）
思路引导
（1）题意 递增递增解求（2）结合（1）中结条件 分两种情况求．
（2）（1）知 单调递减单调递增
∴
∴
时显然成立学&科网
时
∴
∵
∴
∴
综．学&科网
取值范围
点睛：已知函数单调性求参数取值范围方法
（1）函数单调区间容易求出转化集合间包含关系基础关参数等式（组）求解
（2）函数单调区间易求出利区间恒成立解决解题时根分离参数方法求解出参数范围
5．已知函数．
求函数极值
设函数求函数单调区间
区间存成立求实数取值范围．
思路引导
（1）先求导数求导函数零点列表分析导数符号确定极值（2）先求导数求导函数零点讨零根导数符号确定函数单调性（3）正难反先求存点成立时实数取值范围存性问题转化应函数值问题结合（2）单调性实数取值范围取补集结果
∴
时 递减递增
令
递减 解
解学&科网
综：存点成立实数取值范围： ．
存点成立实数取值范围．
点睛：函数单调性问题转化导函数符号否变号样变号问题转化方程等式解问题（解恒成立解等）等式解恒成立问题通适变量分离转化应函数值问题．
6．已知函数 (实常数)．
(1)求曲线处切线方程
(2)讨函数单调性
(3)存成立求实数取值范围．
思路引导
(1)求出切线斜率 出切线方程(2) [1e]分三种情况讨导数符号出结(3)分三种情况讨函数单调性求出值易结．
⑶时 单调增 值
时 单调减单调增
值．[源学科网ZXXK]
学&科网
．
时 单调减
值学&科网[源Z_xx_kCom]
综
7．已知中．
（1）求函数极值点
（2）时少存点成立求取值范围．
思路引导
（1）求导进行四类讨极值情况（2）少存点成立等价时 结合（1）单调性情况求取值范围．
8．已知函数（）
（1）求极值
（2）存成立求实数取值范围．
思路引导
（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值（2）问题转化 成立设根函数单调性求出a范围．
试题解析：
（2）存成立
等价（ ）成立
设
令解： （舍）
① 递减
∴
令解： 学&科网
②时 递减递增
∴矛盾
综
9．已知函数．
（1）求函数单调区间
（2）关方程实数根求实数取值范围．
思路引导
（1）函数求导单调区间
（2）方程实数根函数存零点分类讨函数单调性零点时参数范围．
（2）题 ．
题意方程实数根
函数存零点．
．
令．
时．
函数区间单调递减
．
函数存零点
点睛：已知函数零点求参数常方法思路：
（1）直接法：直接根题设条件构建关参数等式通解等式确定参数范围
（2）分离参数法：先参数分离转化成函数值域问题解决
（3）数形结合法：先解析式变形面直角坐标系中画出函数图然数形结合求解．
10．已知函数直线函数条切线．
（1）求值
（2）意存求取值范围
（3）已知方程两根求证 ．
思路引导
（1）函数求导 设直线函数相切点根导数意义 解求出（2）意 存需值域值域子集利导数方法分求值域求出取值范围（3）根题意两式相减 令令求导判断单调证明．
(2) （1） 时 单调递减 时 时 单调递增时 题意 解．
(3) 题意两式相减方程转化
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导数研究方程根等式解集
利导数探讨方程解存性通常方程转化通确认函数值域确定参数变量范围
类似等式仿效法．
[源ZxxkCom]
典例指引
例1．已知函数．
（1）关方程解求实数值
（2）否存成立？存求出存说明理
思路引导
（1）方程解等价解需求值（2）假设存推导出矛盾证明存．[源学科网ZXXK]
例2．已知函数值 图象关轴称．
(Ⅰ)求实数值[源Z*xx*kCom]
(Ⅱ)设否存区间函数区间值域？存求实数取值范围存请说明理．
思路引导
(Ⅰ) 题意单调递增单调递减值图象关轴称 (Ⅱ)题知递增假设存区间函数值域问题转化关方程区间否存两相等实根问题区间否存两相等实根令区间单调递增存两等实根
问题转化关方程区间否存两相等实根
方程区间否存两相等实根
令
设
递增学&科网
区间单调递增
方程区间存两相等实根
综存区间函数区间值域．
点睛：（1）解决导数综合题时函数单调性极值解题基础单调性基础分析问题解决
（2）探索性问题求解程中先假设结成立然基础进行推理否矛盾矛盾说明假设成立矛盾出现说明假设成立说明证明题成立
例3．已知函数常数
（1）处取极值时关x方程 恰两相等实数根求实数b取值范围
（2）意总存等式 成立求实数 取值范围．
思路引导
（1）函数令值利导数研究单调性然求值取值范围（2）利导数求出值问题等价意等式成立然构造新函数求导然讨出单调性求出取值范围．
时区间单调递减时
恒成立必
知区间单调递增区间满足求
知区间递减区间恒成立相矛盾实数取值范围．学&科网
点睛：题考查函数单调性恒成立问题涉函数等式证明综合性强难度较属难题．处理导数题时注意分层分原般涉求函数单调性时较容易入手求导含参数问题注意分类讨恒成立问题般构造新函数利导数求出函数单调性值涉技巧较需加体会．
步训练
1．设函数 已知曲线点处切线直线行．
（1）求值
（2）否存然数方程存唯根？果存求出果存请说明理．
思路引导
（1）求出导数求切线斜率两直线行条件：斜率相等解方程
（2）求出导数单调区间值零点存定理判断存k1．
存．
时 时 学&科网
时 单调递增
时方程存唯根．
点睛：题考查函数单调性极值时考查零点存定理分段函数值考查运算力涉函数等式证明综合性强难度属难题．处理导数题时注意分层分原力争第二问答第三问争取写点般涉求函数单调性极值时较容易入手求导注意分类讨恒成立问题般分离参数然利函数导数求函数值值含等式函数问题般构造函数利函数单调性解决涉技巧较需加体会．
2．已知函数．
（1）函数定义域增函数求实数取值范围
（3）设函数少存点成立求实数取值范围．
思路引导
（1）题意导函数定义域恒非负根二次方程恒成立条件实数取值范围（2）等式解问题利参变分离法转化应函数值问题利导数求应函数值实数取值范围．
原问题转化少存点．
①时
∵∴ 符合条件
②时
知学&科网
单调递增 整理．
综述 ．
点睛：求等式成立时参数范围问题情况参数分离出等式端含参数等式端区间具体函数样问题转化端函数端参数等式便问题解决．注意分离参数法万果分离参数出函数解析式较复杂性质难研究分离参数法．
3．已知函数中
（Ⅰ）求单调区间
（Ⅱ）存成立求取值范围．
思路引导
（1）函数单调区间导数符号相关函数导数根符号讨导数符号函数单调区间．（2）等式 解 ．单调性确定需分 三种情况讨．
（2）存成立值．
①时（1）知单调递增 值
②时（1）知单调递减 值 学&科网
③时（1）知单调递减单调递增 值满足题意舍．
综述实数取值范围．
点睛：函数单调性需考虑导数符号通常情况需导函数变形找出决定导数正负核心代数式然参数取值范围分类讨．等式恒成立问题解问题常常转化函数值讨： 解转化 恒成立转化 ．
4．已知函数．
（1）递增求取值范围
（2）少成立求取值范围（参考数： ）
思路引导
（1）题意 递增递增解求（2）结合（1）中结条件 分两种情况求．
（2）（1）知 单调递减单调递增
∴
∴
时显然成立学&科网
时
∴
∵
∴
∴
综．学&科网
取值范围
点睛：已知函数单调性求参数取值范围方法
（1）函数单调区间容易求出转化集合间包含关系基础关参数等式（组）求解
（2）函数单调区间易求出利区间恒成立解决解题时根分离参数方法求解出参数范围
5．已知函数．
求函数极值
设函数求函数单调区间
区间存成立求实数取值范围．
思路引导
（1）先求导数求导函数零点列表分析导数符号确定极值（2）先求导数求导函数零点讨零根导数符号确定函数单调性（3）正难反先求存点成立时实数取值范围存性问题转化应函数值问题结合（2）单调性实数取值范围取补集结果
∴
时 递减递增
令
递减 解
解学&科网
综：存点成立实数取值范围： ．
存点成立实数取值范围．
点睛：函数单调性问题转化导函数符号否变号样变号问题转化方程等式解问题（解恒成立解等）等式解恒成立问题通适变量分离转化应函数值问题．
6．已知函数 (实常数)．
(1)求曲线处切线方程
(2)讨函数单调性
(3)存成立求实数取值范围．
思路引导
(1)求出切线斜率 出切线方程(2) [1e]分三种情况讨导数符号出结(3)分三种情况讨函数单调性求出值易结．
⑶时 单调增 值
时 单调减单调增
值．[源学科网ZXXK]
学&科网
．
时 单调减
值学&科网[源Z_xx_kCom]
综
7．已知中．
（1）求函数极值点
（2）时少存点成立求取值范围．
思路引导
（1）求导进行四类讨极值情况（2）少存点成立等价时 结合（1）单调性情况求取值范围．
8．已知函数（）
（1）求极值
（2）存成立求实数取值范围．
思路引导
（1）求出函数导数解关导函数等式求出函数单调区间求出函数极值（2）问题转化 成立设根函数单调性求出a范围．
试题解析：
（2）存成立
等价（ ）成立
设
令解： （舍）
① 递减
∴
令解： 学&科网
②时 递减递增
∴矛盾
综
9．已知函数．
（1）求函数单调区间
（2）关方程实数根求实数取值范围．
思路引导
（1）函数求导单调区间
（2）方程实数根函数存零点分类讨函数单调性零点时参数范围．
（2）题 ．
题意方程实数根
函数存零点．
．
令．
时．
函数区间单调递减
．
函数存零点
点睛：已知函数零点求参数常方法思路：
（1）直接法：直接根题设条件构建关参数等式通解等式确定参数范围
（2）分离参数法：先参数分离转化成函数值域问题解决
（3）数形结合法：先解析式变形面直角坐标系中画出函数图然数形结合求解．
10．已知函数直线函数条切线．
（1）求值
（2）意存求取值范围
（3）已知方程两根求证 ．
思路引导
（1）函数求导 设直线函数相切点根导数意义 解求出（2）意 存需值域值域子集利导数方法分求值域求出取值范围（3）根题意两式相减 令令求导判断单调证明．
(2) （1） 时 单调递减 时 时 单调递增时 题意 解．
(3) 题意两式相减方程转化
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