题型综述
等式恒成立转化策略般种：①分离参数＋函数值②直接化值＋分类讨③缩范围＋证明等式④分离函数＋数形结合分类参数优势函数含参数缺点函数结构复杂般函数积商结构复杂导函数超越函数需次求导存值需求极限会传说中洛必达法求极限（超出教学纲求）直接化值优点函数结构简单等式恒成立性通法高考参考答案般种解法出缺点般需分类讨解题程较长解题层级数较易掌握分类标准缩参数范围优点函数结构简单分类范围较分类情况较少难点寻找特殊值种解法流行容易误判分离函数针选择填空题图形难微观层面解释清楚图交点图高低涉图连续性凸凹性构作函数图时实际特殊般特殊点整函数图实际种猜测 俗话说形缺数时难入微
典例指引
例1 知函数
（1）函数处取极值求
（2）函数单调递増求取值范围
法二（直接化值＋分类讨）：令令
①时单调递减恒成立相矛盾
②时开口
(方案）：Ⅰ时递增
Ⅱ时时合题意
法三（缩范围＋证明等式）：令
方面时令开口称轴增函数增函数适合题意学科&网
例2 (2016全国新课标Ⅱ文20)知函数
（Ⅰ）时求曲线处切线方程
（Ⅱ）时求取值范围
法二（直接化值）：恒成立 (导函数超越函数）增函数（1）时(仅时取)增函数恒成立适合题意
（2） 时唯实根减函数增函数存适合题意综实数取值范围学科&网
法三（分离参数）：恒成立恒成立（端点动成立）设令增函数增函数实数取值范围
法四（缩范围）：恒成立存增函数恒成立令
时增函数(仅(仅时取)增函数恒成立适合题意
综实数取值范围学科&网
点评：端点刚适合题意时分离参数法般会传说中洛必达法缩范围利端点值导数符号求出参数范围两种转化方式超出教学纲求嫌疑
2(重庆市2015届诊理20)已知曲线点处切线斜率1
（1）函数减函数求取值范围
（2）时等式恒成立求取值范围
时单减单增矛盾
综
法二（分离参数）恒成立（端点动成立）
设令[源学科网ZXXK]
减函数减函数实数取值范围
（2）时单减单增矛盾学科&网
综实数取值范围
点评：（1)端点处恰适合题意分离参数函数时确界值留意
（2）缩范围参数范围定恰具充分性需分类讨时减少分类层级数缩短解题步骤
（3）构造反例寻找合适特殊值具强技巧性函数分解二次函数数函数构造特殊值反例时分考虑二次函数数函数零点数函数零点二次函数零点知时零点易导出矛盾
扩展链接
洛必达法简介：
法1 函数满足列条件：（1) （2）点心邻域导（3）
法2 函数满足列条件：（1) （2）导（3）
法3 函数满足列条件：（1) （2）点心邻域导（3）
利洛必达法求未定式极限微分学中重点解题中应注意：
①面公式中换成洛必达法成立
②洛必达法处理型
③着手求极限前首先检查否满足型定式否滥洛必达法会
出错满足三前提条件时洛必达法时称洛必达法适应外途径求极限
④条件符合洛必达法连续次直求出极限止
步训练
1．已知函数
（1）求证：时
（2）存求实数取值范围[源学科网ZXXK]
思路引导
(1)题意函数求导然构造函数结合函数性质证题中结
(2)结合题意构造函数结合导函数性质实数a取值范围
设h（x）（x≥e）h’（x）
ulnxu’[e+∞）递增
xe时u1＞0u＞0[e+00）恒成立
h’（x）＞0[e+00）恒成立h（x）[e+∞）递增
x≥e时h（x）minh（e）ee
需ea＞eea＞e学科&网
2．已知 导函数．
（Ⅰ）求极值
（Ⅱ）时恒成立求实数取值范围．
思路引导
（Ⅰ）求函数f（x）导数g（x）g(x)进行求导g’(x)求出极值（Ⅱ）讨时应函数f（x）单调性求出满足时恒成立时a取值范围．
详细解析
时（）（）
时
时 成立
综 取值范围．学科&网
3．已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数．意成立求实数取值范围．
思路引导
(Ⅰ) 求出切线斜率根点斜式切线方程（Ⅱ）讨三种情况分令增区间 减区间 （Ⅲ）意成立等价恒成立利导数研究函数单调性求出值进结果
详细解析
（3）时 恒成立
函数增区间减区间
综述：
时函数增区间 减区间
时函数增区间 减区间
时函数增区间减区间
（Ⅲ）意成立
等价
令时
时 单调递增
学科&网
4．已知函数
(Ⅰ)时求证：点三条直线曲线相切
(Ⅱ)时求实数取值范围
思路引导
(1)设直线曲线相切切点求出切线方程切线点判断方程三根结易
(2) 易时设设分两种情况讨函数单调性求出值出结
法二：
(1)法设求导判断函数单调性判断函数零点数出结
(2)法
详细解析
(Ⅱ)时时
时学科&网
设
设
(1)时(仅时等号成立)
单调递增
时时
单调递减
时
时
单调递增
时学科&网
时
综合取值范围
变化时变化情况表：
极值
极值
恰三根
点三条直线曲线相切
(Ⅱ)解法 学科&网
5．已知函数（）
（1）曲线点处切线斜率时求函数单调区间
（2） 恒成立求取值范围（提示：）
思路引导
(1)考查函数定义域 分类讨：
时单调递增区间
时单调递减区间
(2)构造新函数令
分类讨：
①时
②时
综述
详细解析
②时令
时单调递增时单调递减
时取值
需
化简
令（）
令 （）
令
单调递增单调递减递增
恒
时
综述学科&网
6．已知函数点处切线方程
(Ⅰ)求函数极值
(Ⅱ)恒成立求正整数值
思路引导
(Ⅰ)函数解析式结合导函数极值关系极值
(Ⅱ)题意结合恒成立条件正整数值5
详细解析
∴区间递增区间递减
∵
∴时恒时恒
∴命题成立正整数值学科&网
7．已知函数 中
（1）极值点求单调区间极值
（2）时 极值求取值范围
思路引导
（1）求导题意求函数单调区间极值般步骤求解
（2）时 求导酒红色单调性进
分类讨时 极值
通讨单调性 取值范围
详细解析
单调递增区间单调递减区间
极值
8．已知函数
(1)求函数图象处切线方程
(2)意等式恒成立求实数取值范围
(3)设
证明：
思路引导
(1) 求导易结果
(2) 原等式等价令令分 三种情况讨函数单调性结
(3) 利定积分求出m值(2)知时 令 求导判断函数单调性求出 恒成立 令结易
详细解析
时 ∴递增∴ (符合题意)
综：
9．已知函数 然数底数)
(1)讨函数单调性
(2)时 恒成立求实数取值范围
思路引导
(1) 分两种情况讨符号结(2) 时原等式化令令进判断函数单调性求出值结
详细解析
(1)
① 单调递增
②时 单调递减
时 单调递增
10．设函数
（1）时求函数点处切线方程
（2）意函数恒成立求实数取值范围
思路引导
（1）代入函数解析式求导函数点处切线斜率然利直线方程点斜式答案（2）求出函数导函数导函数处导数零然导函数导函数零求范围满足函数恒成立实数取值范围
详细解析
（1）时
函数点处切线方程
[源学科网]
11．设函数中 然数底数
（Ⅰ）增函数求取值范围
（Ⅱ）证明：
思路引导
（I）函数单调递增导函数恒非负数分离常数利导数求值取值范围（II）原等式转化令求出导数分成两类讨函数值证证
详细解析
（Ⅱ）
令（）证明时 值0
求导
①时
②时 令
取
12．已知函数（）函数公切线．
（Ⅰ）求取值范围
（Ⅱ）等式切值恒成立求取值范围．
思路引导
（1）函数公切线 函数图象相切交点找两曲线相切时界值求出参数取值范围（2）等价恒成立令x>0继续求导令知值>0式成解关a等式利函数导数解决
详细解析[源Z#xx#kCom]
（Ⅰ）．
∵函数公切线∴函数图象相切交点．
两函数图象相切时设切点横坐标（）
（Ⅱ）等价恒成立
令
令
极值
值
令
令[源学科网ZXXK]
极值
时值
时值
．
综取值范围．
13．已知函数
（1）求证：（）
（2）设时求实数取值范围
思路引导
（1）证恒成立令求导证（2）
． 时恒成立需考虑证符合
详细解析
②时
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等式恒成立转化策略般种：①分离参数＋函数值②直接化值＋分类讨③缩范围＋证明等式④分离函数＋数形结合分类参数优势函数含参数缺点函数结构复杂般函数积商结构复杂导函数超越函数需次求导存值需求极限会传说中洛必达法求极限（超出教学纲求）直接化值优点函数结构简单等式恒成立性通法高考参考答案般种解法出缺点般需分类讨解题程较长解题层级数较易掌握分类标准缩参数范围优点函数结构简单分类范围较分类情况较少难点寻找特殊值种解法流行容易误判分离函数针选择填空题图形难微观层面解释清楚图交点图高低涉图连续性凸凹性构作函数图时实际特殊般特殊点整函数图实际种猜测 俗话说形缺数时难入微
典例指引
例1 知函数
（1）函数处取极值求
（2）函数单调递増求取值范围
法二（直接化值＋分类讨）：令令
①时单调递减恒成立相矛盾
②时开口
(方案）：Ⅰ时递增
Ⅱ时时合题意
法三（缩范围＋证明等式）：令
方面时令开口称轴增函数增函数适合题意学科&网
例2 (2016全国新课标Ⅱ文20)知函数
（Ⅰ）时求曲线处切线方程
（Ⅱ）时求取值范围
法二（直接化值）：恒成立 (导函数超越函数）增函数（1）时(仅时取)增函数恒成立适合题意
（2） 时唯实根减函数增函数存适合题意综实数取值范围学科&网
法三（分离参数）：恒成立恒成立（端点动成立）设令增函数增函数实数取值范围
法四（缩范围）：恒成立存增函数恒成立令
时增函数(仅(仅时取)增函数恒成立适合题意
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点评：端点刚适合题意时分离参数法般会传说中洛必达法缩范围利端点值导数符号求出参数范围两种转化方式超出教学纲求嫌疑
2(重庆市2015届诊理20)已知曲线点处切线斜率1
（1）函数减函数求取值范围
（2）时等式恒成立求取值范围
时单减单增矛盾
综
法二（分离参数）恒成立（端点动成立）
设令[源学科网ZXXK]
减函数减函数实数取值范围
（2）时单减单增矛盾学科&网
综实数取值范围
点评：（1)端点处恰适合题意分离参数函数时确界值留意
（2）缩范围参数范围定恰具充分性需分类讨时减少分类层级数缩短解题步骤
（3）构造反例寻找合适特殊值具强技巧性函数分解二次函数数函数构造特殊值反例时分考虑二次函数数函数零点数函数零点二次函数零点知时零点易导出矛盾
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洛必达法简介：
法1 函数满足列条件：（1) （2）点心邻域导（3）
法2 函数满足列条件：（1) （2）导（3）
法3 函数满足列条件：（1) （2）点心邻域导（3）
利洛必达法求未定式极限微分学中重点解题中应注意：
①面公式中换成洛必达法成立
②洛必达法处理型
③着手求极限前首先检查否满足型定式否滥洛必达法会
出错满足三前提条件时洛必达法时称洛必达法适应外途径求极限
④条件符合洛必达法连续次直求出极限止
步训练
1．已知函数
（1）求证：时
（2）存求实数取值范围[源学科网ZXXK]
思路引导
(1)题意函数求导然构造函数结合函数性质证题中结
(2)结合题意构造函数结合导函数性质实数a取值范围
设h（x）（x≥e）h’（x）
ulnxu’[e+∞）递增
xe时u1＞0u＞0[e+00）恒成立
h’（x）＞0[e+00）恒成立h（x）[e+∞）递增
x≥e时h（x）minh（e）ee
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2．已知 导函数．
（Ⅰ）求极值
（Ⅱ）时恒成立求实数取值范围．
思路引导
（Ⅰ）求函数f（x）导数g（x）g(x)进行求导g’(x)求出极值（Ⅱ）讨时应函数f（x）单调性求出满足时恒成立时a取值范围．
详细解析
时（）（）
时
时 成立
综 取值范围．学科&网
3．已知函数．
（Ⅰ）求曲线点处切线方程
（Ⅱ）求函数单调区间
（Ⅲ）设函数．意成立求实数取值范围．
思路引导
(Ⅰ) 求出切线斜率根点斜式切线方程（Ⅱ）讨三种情况分令增区间 减区间 （Ⅲ）意成立等价恒成立利导数研究函数单调性求出值进结果
详细解析
（3）时 恒成立
函数增区间减区间
综述：
时函数增区间 减区间
时函数增区间 减区间
时函数增区间减区间
（Ⅲ）意成立
等价
令时
时 单调递增
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4．已知函数
(Ⅰ)时求证：点三条直线曲线相切
(Ⅱ)时求实数取值范围
思路引导
(1)设直线曲线相切切点求出切线方程切线点判断方程三根结易
(2) 易时设设分两种情况讨函数单调性求出值出结
法二：
(1)法设求导判断函数单调性判断函数零点数出结
(2)法
详细解析
(Ⅱ)时时
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设
设
(1)时(仅时等号成立)
单调递增
时时
单调递减
时
时
单调递增
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时
综合取值范围
变化时变化情况表：
极值
极值
恰三根
点三条直线曲线相切
(Ⅱ)解法 学科&网
5．已知函数（）
（1）曲线点处切线斜率时求函数单调区间
（2） 恒成立求取值范围（提示：）
思路引导
(1)考查函数定义域 分类讨：
时单调递增区间
时单调递减区间
(2)构造新函数令
分类讨：
①时
②时
综述
详细解析
②时令
时单调递增时单调递减
时取值
需
化简
令（）
令 （）
令
单调递增单调递减递增
恒
时
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6．已知函数点处切线方程
(Ⅰ)求函数极值
(Ⅱ)恒成立求正整数值
思路引导
(Ⅰ)函数解析式结合导函数极值关系极值
(Ⅱ)题意结合恒成立条件正整数值5
详细解析
∴区间递增区间递减
∵
∴时恒时恒
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7．已知函数 中
（1）极值点求单调区间极值
（2）时 极值求取值范围
思路引导
（1）求导题意求函数单调区间极值般步骤求解
（2）时 求导酒红色单调性进
分类讨时 极值
通讨单调性 取值范围
详细解析
单调递增区间单调递减区间
极值
8．已知函数
(1)求函数图象处切线方程
(2)意等式恒成立求实数取值范围
(3)设
证明：
思路引导
(1) 求导易结果
(2) 原等式等价令令分 三种情况讨函数单调性结
(3) 利定积分求出m值(2)知时 令 求导判断函数单调性求出 恒成立 令结易
详细解析
时 ∴递增∴ (符合题意)
综：
9．已知函数 然数底数)
(1)讨函数单调性
(2)时 恒成立求实数取值范围
思路引导
(1) 分两种情况讨符号结(2) 时原等式化令令进判断函数单调性求出值结
详细解析
(1)
① 单调递增
②时 单调递减
时 单调递增
10．设函数
（1）时求函数点处切线方程
（2）意函数恒成立求实数取值范围
思路引导
（1）代入函数解析式求导函数点处切线斜率然利直线方程点斜式答案（2）求出函数导函数导函数处导数零然导函数导函数零求范围满足函数恒成立实数取值范围
详细解析
（1）时
函数点处切线方程
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11．设函数中 然数底数
（Ⅰ）增函数求取值范围
（Ⅱ）证明：
思路引导
（I）函数单调递增导函数恒非负数分离常数利导数求值取值范围（II）原等式转化令求出导数分成两类讨函数值证证
详细解析
（Ⅱ）
令（）证明时 值0
求导
①时
②时 令
取
12．已知函数（）函数公切线．
（Ⅰ）求取值范围
（Ⅱ）等式切值恒成立求取值范围．
思路引导
（1）函数公切线 函数图象相切交点找两曲线相切时界值求出参数取值范围（2）等价恒成立令x>0继续求导令知值>0式成解关a等式利函数导数解决
详细解析[源Z#xx#kCom]
（Ⅰ）．
∵函数公切线∴函数图象相切交点．
两函数图象相切时设切点横坐标（）
（Ⅱ）等价恒成立
令
令
极值
值
令
令[源学科网ZXXK]
极值
时值
时值
．
综取值范围．
13．已知函数
（1）求证：（）
（2）设时求实数取值范围
思路引导
（1）证恒成立令求导证（2）
． 时恒成立需考虑证符合
详细解析
②时
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