难点3 运量法解题
面量新教材改革增加容年全国新教材高考试题逐渐加部分容考查力度节容帮助考生运量法分析解决相关问题
●难点磁场
(★★★★★)三角形ABC中A(5－1)B(－17)C(12)求：(1)BC边中线
AM长(2)∠CAB分线AD长(3)cosABC值
●案例探究
［例1］图已知行六面体ABCD—A1B1C1D1底面ABCD菱形∠C1CB∠C1CD∠BCD
(1)求证：C1C⊥BD
(2)值少时A1C⊥面C1BD？请出证明
命题意图：题考查考生应量法解决量垂直夹角等问题立体图形解读力
知识托：解答题闪光点量证立体中垂直问题问题代数化繁琐证变简单
错解分析：题难点考生理清题目中线面位置关系数量关系相互转化清楚已知条件中提供角量夹角区联系
技巧方法：利a⊥ba·b0证明两直线垂直证明两直线应量数量积零
(1)证明：设a bc题意|a||b|中两两成夹角θa－bc(a－b)c·a－c·b|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ0∴C1C⊥BD
(2)解：A1C⊥面C1BD须证A1C⊥BDA1C⊥DC1
(a+b+c)·(a－c)|a|2+a·b－b·c－|c|2|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ0
|a||c|时A1C⊥DC1理证|a||c|时A1C⊥BD
∴1时A1C⊥面C1BD
［例2］图直三棱柱ABC—A1B1C1底面△ABC中CACB1∠BCA90°AA12MN分A1B1A1A中点
(1)求长
(2)求cos<>值
(3)求证：A1B⊥C1M
命题意图：题考查考生运量法中坐标运算方法解决立体问题属
★★★★级题目
知识托：解答题闪光点建立恰空间直角坐标系O－xyz进找点坐标求出量坐标
错解分析：题难点建系考生正确找点坐标
技巧方法：先找底面坐标面xOyABC点坐标然利量模方找出点坐标
(1)解：图C原点建立空间直角坐标系O－xyz
题意：B(010)N(101)
∴||
(2)解：题意：A1(102)C(000)B1(012)
∴(012)
1×0+(－1)×1+2×23
||
(3)证明：题意：C1(002)M()
∴
∴A1B⊥C1M
●锦囊妙计
1解决关量问题时善运量移伸缩合成分解等变换正确进行量种运算加深量质认识二量坐标运算体现数形互相转化密切结合思想
2量数量积常关量相等两量垂直射影夹角等问题中常量直角坐标运算证明量垂直行问题利量夹角公式距离公式求解空间两条直线夹角两点间距离问题
3空间量解决立体问题般程进行思考：
(1)解决问题什量知识解决？需量？
(2)需量否已知？未知否已知条件转化成量直接表示？
(3)需量直接已知条件转化成量表示分易未知量表示？未知量已知条件转化量关系？
(4)样已表示出需量进行运算需结？
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)设ABCD四点坐标次(－10)(02)(43)(31)四边形ABCD( )
A正方形 B矩形
C菱形 D行四边形
2(★★★★)已知△ABC中aba·b<0S△ABC|a|3|b|5ab夹角( )
A30° B－150° C150° D30°150°
二填空题
3(★★★★★)二次函数yx2图象量a移图象次函数y2x－5图象公点(31)量a_________
4(★★★★)等腰△ABC等腰Rt△ABD公底边AB面成60°角AB16 cmAC17 cmCD_________
三解答题
5(★★★★★)图△ABC中设a b c λa(0<λ<1) μb(0<μ<1)试量ab表示c
6(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1底面边长a侧棱长a
(1)建立适坐标系写出ABA1C1坐标
(2)求AC1侧面ABB1A1成角
7(★★★★★)已知两点M(－10)N(10)点P成公差零等差数列
(1)点P轨迹什曲线？
(2)点P坐标(x0y0)Q夹角求tanθ
8(★★★★★)已知EFGH分空间四边形ABCD边ABBCCDDA中点
(1)量法证明EFGH四点面
(2)量法证明：BD∥面EFGH
(3)设MEGFH交点求证：空间点O
参考答案
难点磁场
解：(1)点M坐标xM
D点分2
∴xD
(3)∠ABC夹角(68）(2－5）
歼灭难点训练
1解析： (12） (12）∴∴∥线段AB线段DC公点∴AB∥DC|AB||DC|∴ABCD行四边形|| (53）||∴||≠|}∴ABCD菱形更正方形(41）
∴1·4+2·16≠0∴垂直∴ABCD矩形选D
答案：D
2解析：∵·3·5sinαsinαα30°α150°
∵a·b＜0∴α150°
答案：C
二3(20) 413 cm
三5解：∵线∴mm(－)m(μb－a)
∴+a+m(μb－a)(1－m)a+mμb ①
线∴nn(－)n(λa－b)
∴+b+n(λa－b)nλa+(1－n)b ②
①②(1－m）a+μmbλna+(1－n)b
∵ab线∴ ③
解方程组③：m代入①式c(1－m)a+mμb［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］
6解：(1)点A坐标原点OAB直线Oy轴AA1直线Oz轴原点面ABB1A1垂直直线Ox轴建立空间直角坐标系
已知A(000）B(0a0）A1(00a)C1(－a)
(2)取A1B1中点MM(0a）连AMMC1(－a00）
(0a0）(00a)
·0·0MC1⊥面ABB1A1∴AC1AM成角AC1侧面ABB1A1成角
∵
成角AC1侧面ABB1A1成角30°
7解：(1)设P(xy）M(－10）N(10） －(－1－x－y） (1－x－y) －(20)∴·2(1+x) ·x2+y2－1 2(1－x)公差零等差数列等价
点P轨迹原点圆心半径右半圆
(2)点P坐标(x0y0)
8证明：(1）连结BG
面量定理推知：EFGH四点面(中）
(2）
EH∥BDEH面EFGHBD面EFGH
BD∥面EFGH
(3）连OMOAOBOCODOEOG
(2）知理EHFGEGFH交点MM分
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面量新教材改革增加容年全国新教材高考试题逐渐加部分容考查力度节容帮助考生运量法分析解决相关问题
●难点磁场
(★★★★★)三角形ABC中A(5－1)B(－17)C(12)求：(1)BC边中线
AM长(2)∠CAB分线AD长(3)cosABC值
●案例探究
［例1］图已知行六面体ABCD—A1B1C1D1底面ABCD菱形∠C1CB∠C1CD∠BCD
(1)求证：C1C⊥BD
(2)值少时A1C⊥面C1BD？请出证明
命题意图：题考查考生应量法解决量垂直夹角等问题立体图形解读力
知识托：解答题闪光点量证立体中垂直问题问题代数化繁琐证变简单
错解分析：题难点考生理清题目中线面位置关系数量关系相互转化清楚已知条件中提供角量夹角区联系
技巧方法：利a⊥ba·b0证明两直线垂直证明两直线应量数量积零
(1)证明：设a bc题意|a||b|中两两成夹角θa－bc(a－b)c·a－c·b|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ0∴C1C⊥BD
(2)解：A1C⊥面C1BD须证A1C⊥BDA1C⊥DC1
(a+b+c)·(a－c)|a|2+a·b－b·c－|c|2|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ0
|a||c|时A1C⊥DC1理证|a||c|时A1C⊥BD
∴1时A1C⊥面C1BD
［例2］图直三棱柱ABC—A1B1C1底面△ABC中CACB1∠BCA90°AA12MN分A1B1A1A中点
(1)求长
(2)求cos<>值
(3)求证：A1B⊥C1M
命题意图：题考查考生运量法中坐标运算方法解决立体问题属
★★★★级题目
知识托：解答题闪光点建立恰空间直角坐标系O－xyz进找点坐标求出量坐标
错解分析：题难点建系考生正确找点坐标
技巧方法：先找底面坐标面xOyABC点坐标然利量模方找出点坐标
(1)解：图C原点建立空间直角坐标系O－xyz
题意：B(010)N(101)
∴||
(2)解：题意：A1(102)C(000)B1(012)
∴(012)
1×0+(－1)×1+2×23
||
(3)证明：题意：C1(002)M()
∴
∴A1B⊥C1M
●锦囊妙计
1解决关量问题时善运量移伸缩合成分解等变换正确进行量种运算加深量质认识二量坐标运算体现数形互相转化密切结合思想
2量数量积常关量相等两量垂直射影夹角等问题中常量直角坐标运算证明量垂直行问题利量夹角公式距离公式求解空间两条直线夹角两点间距离问题
3空间量解决立体问题般程进行思考：
(1)解决问题什量知识解决？需量？
(2)需量否已知？未知否已知条件转化成量直接表示？
(3)需量直接已知条件转化成量表示分易未知量表示？未知量已知条件转化量关系？
(4)样已表示出需量进行运算需结？
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)设ABCD四点坐标次(－10)(02)(43)(31)四边形ABCD( )
A正方形 B矩形
C菱形 D行四边形
2(★★★★)已知△ABC中aba·b<0S△ABC|a|3|b|5ab夹角( )
A30° B－150° C150° D30°150°
二填空题
3(★★★★★)二次函数yx2图象量a移图象次函数y2x－5图象公点(31)量a_________
4(★★★★)等腰△ABC等腰Rt△ABD公底边AB面成60°角AB16 cmAC17 cmCD_________
三解答题
5(★★★★★)图△ABC中设a b c λa(0<λ<1) μb(0<μ<1)试量ab表示c
6(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1底面边长a侧棱长a
(1)建立适坐标系写出ABA1C1坐标
(2)求AC1侧面ABB1A1成角
7(★★★★★)已知两点M(－10)N(10)点P成公差零等差数列
(1)点P轨迹什曲线？
(2)点P坐标(x0y0)Q夹角求tanθ
8(★★★★★)已知EFGH分空间四边形ABCD边ABBCCDDA中点
(1)量法证明EFGH四点面
(2)量法证明：BD∥面EFGH
(3)设MEGFH交点求证：空间点O
参考答案
难点磁场
解：(1)点M坐标xM
D点分2
∴xD
(3)∠ABC夹角(68）(2－5）
歼灭难点训练
1解析： (12） (12）∴∴∥线段AB线段DC公点∴AB∥DC|AB||DC|∴ABCD行四边形|| (53）||∴||≠|}∴ABCD菱形更正方形(41）
∴1·4+2·16≠0∴垂直∴ABCD矩形选D
答案：D
2解析：∵·3·5sinαsinαα30°α150°
∵a·b＜0∴α150°
答案：C
二3(20) 413 cm
三5解：∵线∴mm(－)m(μb－a)
∴+a+m(μb－a)(1－m)a+mμb ①
线∴nn(－)n(λa－b)
∴+b+n(λa－b)nλa+(1－n)b ②
①②(1－m）a+μmbλna+(1－n)b
∵ab线∴ ③
解方程组③：m代入①式c(1－m)a+mμb［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］
6解：(1)点A坐标原点OAB直线Oy轴AA1直线Oz轴原点面ABB1A1垂直直线Ox轴建立空间直角坐标系
已知A(000）B(0a0）A1(00a)C1(－a)
(2)取A1B1中点MM(0a）连AMMC1(－a00）
(0a0）(00a)
·0·0MC1⊥面ABB1A1∴AC1AM成角AC1侧面ABB1A1成角
∵
成角AC1侧面ABB1A1成角30°
7解：(1)设P(xy）M(－10）N(10） －(－1－x－y） (1－x－y) －(20)∴·2(1+x) ·x2+y2－1 2(1－x)公差零等差数列等价
点P轨迹原点圆心半径右半圆
(2)点P坐标(x0y0)
8证明：(1）连结BG
面量定理推知：EFGH四点面(中）
(2）
EH∥BDEH面EFGHBD面EFGH
BD∥面EFGH
(3）连OMOAOBOCODOEOG
(2）知理EHFGEGFH交点MM分
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