难点27 求空间角
空间角空间图形素异面直线成角线面角二面角等知识点较考查学生逻辑推理力化数学思想
●难点磁场
(★★★★★)图α—l—β60°二面角等腰直角三角形MPN直角顶点PlM∈αN∈βMPβ成角等NPα成角
(1)求证：MN分αβ成角相等
(2)求MNβ成角
●案例探究
［例1］棱长a正方体ABCD—A′B′C′D′中EF分BCA′D′中点
(1)求证：四边形B′EDF菱形
(2)求直线A′CDE成角
(3)求直线AD面B′EDF成角
(4)求面B′EDF面ABCD成角
命题意图：题考查异面直线成角线面角二面角般求法综合性较强属★★★★★级题目
知识托：移法求异面直线成角利三垂线定理求作二面角面角
错解分析：第(1)问仅B′EEDDFFB′断定B′EDF菱形错误存着四边相等空间四边形必须证明B′EDF四点面
技巧方法：求线面角关键作垂线找射影求异面直线成角采移法求二面角应面积射影法
(1)证明：图示勾股定理B′EEDDFFB′a证B′EDF四点面取AD中点G连结A′GEGEGABA′B′知B′EGA′行四边形
∴B′E∥A′GA′F DG∴A′GDF行四边形
∴A′G∥FD∴B′EDF四点面
四边形B′EDF菱形
(2)解：图示面ABCDC作CP∥DE交直线ADP
∠A′CP(补角)异面直线A′CDE成角
△A′CP中易A′CaCPDEaA′Pa
余弦定理cosA′CP
A′CDE成角arccos
(3)解：∵∠ADE∠ADF∴AD面B′EDF射影∠EDF分线图示
∵B′EDF菱形∴DB′∠EDF分线
直线AD面B′EDF成角∠ADB′
Rt△B′AD中ADaAB′aB′Da
cosADB′
AD面B′EDF成角arccos
(4)解：图连结EFB′D交O点显然OB′D中点O正方形ABCD—A′B′C′D中心
作OH⊥面ABCDH正方形ABCD中心
作HM⊥DE垂足M连结OMOM⊥DE
∠OMH二面角B′—DE′—A面角
Rt△DOE中OEaODa斜边DEa
面积关系OMa
Rt△OHM中sinOMH
面B′EDF面ABCD成角arcsin
［例2］图已知行六面体ABCD—A1B1C1D1中底面ABCD边长a正方形侧棱AA1长bAA1ABAD夹角120°
求：(1)AC1长
(2)直线BD1AC成角余弦值
命题意图：题考查利量法解决立体问题属★★★★★级题目
知识托：量加减量数量积
错解分析：注意＜＞＜＞120°60°＜＞90°
技巧方法：数量积公式量模公式巧变形
∴BD1AC成角余弦值
●锦囊妙计
空间角计算步骤：作二证三算
1异面直线成角 范围：0°＜θ≤90°
方法：①移法②补形法
2直线面成角 范围：0°≤θ≤90°
方法：关键作垂线找射影
3二面角
方法：①定义法②三垂线定理逆定理③垂面法
注：二面角计算利射影面积公式S′Scosθ计算
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)正方体ABCD—A1B1C1D1中MDD1中点O底面ABCD中心P棱A1B1意点直线OP直线AM成角( )
A B C D
2(★★★★★)设△ABC△DBC两面互相垂直ABBCBDa∠CBA
∠CBD120°AD面BCD成角( )
A30° B45° C60° D75°
二填空题
3(★★★★★)已知∠AOB90°O点引∠AOB面斜线OCOAOB分成45°60°OC棱二面角A—OC—B余弦值等_________
4(★★★★)正三棱锥侧面面积底面积2∶3三棱锥侧面底面成二面角度数_________
三解答题
5(★★★★★)已知四边形ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC90°PA⊥面ACPAADAB1BC2
(1)求PC长
(2)求异面直线PCBD成角余弦值
(3)求证：二面角B—PC—D直二面角
6(★★★★)设△ABC△DBC两面互相垂直ABBCBD∠ABC
∠DBC120°
求：(1)直线AD面BCD成角
(2)异面直线ADBC成角
(3)二面角A—BD—C
7(★★★★★)副三角板拼成四边形ABCD图然BC折成直二面角
(1)求证：面ABD⊥面ACD
(2)求ADBC成角
(3)求二面角A—BD—C
8(★★★★★)设D△ABCBC边点△ACDAD折起C点处新位置C′面ABD射影H恰AB
(1)求证：直线C′D面ABD面AHC′成两角超90°
(2)∠BAC90°二面角C′—AD—H60°求∠BAD正切值
参考答案
难点磁场
(1)证明：作NA⊥αAMB⊥βB连接APPBBNAM作AC⊥lCBD⊥lD连接NCMD
∵NA⊥αMB⊥β∴∠MPB∠NPA分MPβ成角NPα成角∠MNB∠NMA分MNβα成角∴∠MPB∠NPA
Rt△MPBRt△NPA中PMPN∠MPB∠NPA∴△MPB≌△NPA∴MBNA
Rt△MNBRt△NMA中MBNAMN公边∴△MNB≌△NMA∴∠MNB∠NMA(1)结成立
(2)解：设∠MNBθMNaPBPNaMBNAasinθNBacosθ∵MB⊥βBD⊥l∴MD⊥l∴∠MDB二面角α—l—β面角
∴∠MDB60°理∠NCA60°
∴BDACasinθCNDMasinθ
∵MB⊥βMP⊥PN∴BP⊥PN
∵∠BPN90°∠DPB∠CNP∴△BPD∽△PNC∴
整理16sin4θ－16sin2θ+30
解sin2θsinθsinθ时CNasinθ a＞PN合理舍
∴sinθ∴MNβ成角30°
歼灭难点训练
1解析：(特殊位置法）P点取A1作OE⊥ADE连结A1EA1EOA1射影AM⊥A1E∴AM⊥OA1AMOP成90°角
答案：D
2解析：作AO⊥CB延长线连ODODAD面BCD射影
∵AOODa∴∠ADO45°
答案：B
二3解析：OC取点COC1C分作CA⊥OC交OAACB⊥OC交OBBAC1OABCOB2Rt△AOB中AB26△ABC中余弦定理cosACB－
答案：－
4解析：设侧面面积S1底面面积S侧面底面射影面积题设设侧面底面成二面角θcosθ∴θ60°
答案：60°
三5(1)解：PA⊥面ACAB⊥BC∴PB⊥BC∠PBC90°勾股定理PB
∴PC
(2)解：图点C作CE∥BD交AD延长线E连结PEPCBD成角∠PCE补角
∵CEBDPE
∴余弦定理cosPCE
∴PCBD成角余弦值
(3）证明：设PBPC中点分GF连结FGAGDFGF∥BC∥ADGFBC1AD四边形ADFG行四边形
AD⊥面PAB∴AD⊥AGADFG矩形DF⊥FG
△PCD中PDCDFBC中点∴DF⊥PC
DF⊥面PBC面PDC⊥面PBC二面角B—PC—D直二面角
6解：(1)图面ABCA作AH⊥BC垂足HAH⊥面DBC
∴∠ADH直线AD面BCD成角题设知△AHB≌△AHDDH⊥BHAHDH
∴∠ADH45°
(2)∵BC⊥DHDHAD面BCD射影
∴BC⊥ADADBC成角90°
(3)H作HR⊥BD垂足R连结AR三垂线定理知AR⊥BD∠ARH二面角A—BD—C面角补角设BCa题设知AHDH△HDB中HRa∴tanARH2
二面角A—BD—Cπ－arctan2
7(1)证明：取BC中点E连结AE∵ABAC∴AE⊥BC
∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD
∵BC⊥CD三垂线定理知AB⊥CD
∵AB⊥AC∴AB⊥面BCD∵AB面ABD
∴面ABD⊥面ACD
(2)解：面BCDD作DF∥BCE作EF⊥DF交DFF三垂线定理知AF⊥DF∠ADFADBC成角
设ABmBCmCEDFmCDEFm
ADBC成角arctan
(3)解：∵AE⊥面BCDE作EG⊥BDG连结AG三垂线定理知AG⊥BD
∴∠AGE二面角A—BD—C面角
∵∠EBG30°BEm∴EGm
AEm∴tanAGE2∴∠AGEarctan2
二面角A—BD—Carctan2
8(1)证明：连结DH∵C′H⊥面ABD∴∠C′DHC′D面ABD成角面C′HA⊥面ABDD作DE⊥AB垂足EDE⊥面C′HA
∠DC′EC′D面C′HA成角
∵sinDC′E≤sinDC′H
∴∠DC′E≤∠DC′H
∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE90°
(2)解：作HG⊥AD垂足G连结C′G
C′G⊥AD∠C′GH二面角C′—AD—H面角
∠C′GH60°计算tanBAD
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空间角空间图形素异面直线成角线面角二面角等知识点较考查学生逻辑推理力化数学思想
●难点磁场
(★★★★★)图α—l—β60°二面角等腰直角三角形MPN直角顶点PlM∈αN∈βMPβ成角等NPα成角
(1)求证：MN分αβ成角相等
(2)求MNβ成角
●案例探究
［例1］棱长a正方体ABCD—A′B′C′D′中EF分BCA′D′中点
(1)求证：四边形B′EDF菱形
(2)求直线A′CDE成角
(3)求直线AD面B′EDF成角
(4)求面B′EDF面ABCD成角
命题意图：题考查异面直线成角线面角二面角般求法综合性较强属★★★★★级题目
知识托：移法求异面直线成角利三垂线定理求作二面角面角
错解分析：第(1)问仅B′EEDDFFB′断定B′EDF菱形错误存着四边相等空间四边形必须证明B′EDF四点面
技巧方法：求线面角关键作垂线找射影求异面直线成角采移法求二面角应面积射影法
(1)证明：图示勾股定理B′EEDDFFB′a证B′EDF四点面取AD中点G连结A′GEGEGABA′B′知B′EGA′行四边形
∴B′E∥A′GA′F DG∴A′GDF行四边形
∴A′G∥FD∴B′EDF四点面
四边形B′EDF菱形
(2)解：图示面ABCDC作CP∥DE交直线ADP
∠A′CP(补角)异面直线A′CDE成角
△A′CP中易A′CaCPDEaA′Pa
余弦定理cosA′CP
A′CDE成角arccos
(3)解：∵∠ADE∠ADF∴AD面B′EDF射影∠EDF分线图示
∵B′EDF菱形∴DB′∠EDF分线
直线AD面B′EDF成角∠ADB′
Rt△B′AD中ADaAB′aB′Da
cosADB′
AD面B′EDF成角arccos
(4)解：图连结EFB′D交O点显然OB′D中点O正方形ABCD—A′B′C′D中心
作OH⊥面ABCDH正方形ABCD中心
作HM⊥DE垂足M连结OMOM⊥DE
∠OMH二面角B′—DE′—A面角
Rt△DOE中OEaODa斜边DEa
面积关系OMa
Rt△OHM中sinOMH
面B′EDF面ABCD成角arcsin
［例2］图已知行六面体ABCD—A1B1C1D1中底面ABCD边长a正方形侧棱AA1长bAA1ABAD夹角120°
求：(1)AC1长
(2)直线BD1AC成角余弦值
命题意图：题考查利量法解决立体问题属★★★★★级题目
知识托：量加减量数量积
错解分析：注意＜＞＜＞120°60°＜＞90°
技巧方法：数量积公式量模公式巧变形
∴BD1AC成角余弦值
●锦囊妙计
空间角计算步骤：作二证三算
1异面直线成角 范围：0°＜θ≤90°
方法：①移法②补形法
2直线面成角 范围：0°≤θ≤90°
方法：关键作垂线找射影
3二面角
方法：①定义法②三垂线定理逆定理③垂面法
注：二面角计算利射影面积公式S′Scosθ计算
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)正方体ABCD—A1B1C1D1中MDD1中点O底面ABCD中心P棱A1B1意点直线OP直线AM成角( )
A B C D
2(★★★★★)设△ABC△DBC两面互相垂直ABBCBDa∠CBA
∠CBD120°AD面BCD成角( )
A30° B45° C60° D75°
二填空题
3(★★★★★)已知∠AOB90°O点引∠AOB面斜线OCOAOB分成45°60°OC棱二面角A—OC—B余弦值等_________
4(★★★★)正三棱锥侧面面积底面积2∶3三棱锥侧面底面成二面角度数_________
三解答题
5(★★★★★)已知四边形ABCD直角梯形AD∥BC∠ABC90°PA⊥面ACPAADAB1BC2
(1)求PC长
(2)求异面直线PCBD成角余弦值
(3)求证：二面角B—PC—D直二面角
6(★★★★)设△ABC△DBC两面互相垂直ABBCBD∠ABC
∠DBC120°
求：(1)直线AD面BCD成角
(2)异面直线ADBC成角
(3)二面角A—BD—C
7(★★★★★)副三角板拼成四边形ABCD图然BC折成直二面角
(1)求证：面ABD⊥面ACD
(2)求ADBC成角
(3)求二面角A—BD—C
8(★★★★★)设D△ABCBC边点△ACDAD折起C点处新位置C′面ABD射影H恰AB
(1)求证：直线C′D面ABD面AHC′成两角超90°
(2)∠BAC90°二面角C′—AD—H60°求∠BAD正切值
参考答案
难点磁场
(1)证明：作NA⊥αAMB⊥βB连接APPBBNAM作AC⊥lCBD⊥lD连接NCMD
∵NA⊥αMB⊥β∴∠MPB∠NPA分MPβ成角NPα成角∠MNB∠NMA分MNβα成角∴∠MPB∠NPA
Rt△MPBRt△NPA中PMPN∠MPB∠NPA∴△MPB≌△NPA∴MBNA
Rt△MNBRt△NMA中MBNAMN公边∴△MNB≌△NMA∴∠MNB∠NMA(1)结成立
(2)解：设∠MNBθMNaPBPNaMBNAasinθNBacosθ∵MB⊥βBD⊥l∴MD⊥l∴∠MDB二面角α—l—β面角
∴∠MDB60°理∠NCA60°
∴BDACasinθCNDMasinθ
∵MB⊥βMP⊥PN∴BP⊥PN
∵∠BPN90°∠DPB∠CNP∴△BPD∽△PNC∴
整理16sin4θ－16sin2θ+30
解sin2θsinθsinθ时CNasinθ a＞PN合理舍
∴sinθ∴MNβ成角30°
歼灭难点训练
1解析：(特殊位置法）P点取A1作OE⊥ADE连结A1EA1EOA1射影AM⊥A1E∴AM⊥OA1AMOP成90°角
答案：D
2解析：作AO⊥CB延长线连ODODAD面BCD射影
∵AOODa∴∠ADO45°
答案：B
二3解析：OC取点COC1C分作CA⊥OC交OAACB⊥OC交OBBAC1OABCOB2Rt△AOB中AB26△ABC中余弦定理cosACB－
答案：－
4解析：设侧面面积S1底面面积S侧面底面射影面积题设设侧面底面成二面角θcosθ∴θ60°
答案：60°
三5(1)解：PA⊥面ACAB⊥BC∴PB⊥BC∠PBC90°勾股定理PB
∴PC
(2)解：图点C作CE∥BD交AD延长线E连结PEPCBD成角∠PCE补角
∵CEBDPE
∴余弦定理cosPCE
∴PCBD成角余弦值
(3）证明：设PBPC中点分GF连结FGAGDFGF∥BC∥ADGFBC1AD四边形ADFG行四边形
AD⊥面PAB∴AD⊥AGADFG矩形DF⊥FG
△PCD中PDCDFBC中点∴DF⊥PC
DF⊥面PBC面PDC⊥面PBC二面角B—PC—D直二面角
6解：(1)图面ABCA作AH⊥BC垂足HAH⊥面DBC
∴∠ADH直线AD面BCD成角题设知△AHB≌△AHDDH⊥BHAHDH
∴∠ADH45°
(2)∵BC⊥DHDHAD面BCD射影
∴BC⊥ADADBC成角90°
(3)H作HR⊥BD垂足R连结AR三垂线定理知AR⊥BD∠ARH二面角A—BD—C面角补角设BCa题设知AHDH△HDB中HRa∴tanARH2
二面角A—BD—Cπ－arctan2
7(1)证明：取BC中点E连结AE∵ABAC∴AE⊥BC
∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD
∵BC⊥CD三垂线定理知AB⊥CD
∵AB⊥AC∴AB⊥面BCD∵AB面ABD
∴面ABD⊥面ACD
(2)解：面BCDD作DF∥BCE作EF⊥DF交DFF三垂线定理知AF⊥DF∠ADFADBC成角
设ABmBCmCEDFmCDEFm
ADBC成角arctan
(3)解：∵AE⊥面BCDE作EG⊥BDG连结AG三垂线定理知AG⊥BD
∴∠AGE二面角A—BD—C面角
∵∠EBG30°BEm∴EGm
AEm∴tanAGE2∴∠AGEarctan2
二面角A—BD—Carctan2
8(1)证明：连结DH∵C′H⊥面ABD∴∠C′DHC′D面ABD成角面C′HA⊥面ABDD作DE⊥AB垂足EDE⊥面C′HA
∠DC′EC′D面C′HA成角
∵sinDC′E≤sinDC′H
∴∠DC′E≤∠DC′H
∴∠DC′E+∠C′DE≤∠DC′H+∠C′DE90°
(2)解：作HG⊥AD垂足G连结C′G
C′G⊥AD∠C′GH二面角C′—AD—H面角
∠C′GH60°计算tanBAD
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