难点41 应性问题
数学应题指利数学知识解决领域中问题高考应题考查已逐步成熟体三道左右题道题注重问题方法新颖性提高适应陌生情境力求
●难点磁场
1（★★★★★）船10 ms速度南北匀速驶湖面离湖面高20米桥辆汽车西东20 ms速度前进（图）现船水P点南40米处汽车桥西Q点30米处（中PQ⊥水面）船汽车间短距离 （考虑汽车船身）
2（★★★★★）宁中午放学回家煮面条吃面道工序：（1）洗锅盛水2分钟（2）洗菜6分钟（3）准备面条佐料2分钟（4）锅水烧开10分钟（5）煮面条菜3分钟道工序（4）外次进行道工序宁面条煮少分钟
3（★★★★★）某产品生产厂家根生产销售验面关销售统计规律：生产产品x（百台）总成G（x）万元中固定成2万元生产100台生产成1万元（总成固定成+生产成）销售收入R(x)满足R(x)假定该产品销售衡根述统计规律
（1）工厂盈利产品x应控制什范围？
（2）工厂生产少台产品时赢利？求时台产品售价少？
●案例探究
［例1］处理含某种杂质污水制造底宽2米盖长方体沉淀箱（图）污水A孔流入沉淀B孔流出设箱体长度a米高度b米已知流出水中该杂质质量分数ab积ab成反现制箱材料60方米问ab少米时沉淀流出水中该杂质质量分数（AB孔面积忽略计）？
命题意图：题考查建立函数关系等式性质值求法等基知识综合应数学知识思想方法解决实际问题力属★★★★级题目
知识托：重等式导数应建立函数关系式
错解分析：理解题意导致关系式列出ab间等量关系找
技巧方法：关键求出函数值条件值应重等式利导数解决
解法：设沉淀流出水中该杂质质量分数y条件y(k＞0例系数)中ab满足2a+4b+2ab60 ①
求y值须求ab值
①(a+2)(b+1)32(a＞0b＞0)ab30–(a+2b)
应重等式a+2b(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18仅a2b时等号成立
a2b代入①a6b3
仅a6b3时沉淀流出水中该杂质质量分数
解法二：2a+4b+2ab60
记(0＜a＜30)求y值须求u值
令u′0a6
0＜a＜6时u′＞06＜u＜30时u′＜0
∴a6时取值时b3
仅a6b3时y取值
［例2］某城市2001年末汽车保量30万辆预计年报废年末汽车保量6年新增汽车数量相等保护城市环境求该城市汽车保量超60万辆年新增汽车数量应超少辆？
命题意图：题考查等数列数列求解等式等知识极限思想方法运数学知识解决实际问题力属★★★★★级题目
知识托：数列极限等数列解等式
错解分析：①读懂题意找解题突破口②写出bn+1x关系进步转化极限问题③运算出错准确结果
技巧方法：建立第n年汽车保量年新增汽车数量间函数关系式关键题入手容易解题程中准确性求较高
解：设2001年末汽车保量b1万辆年汽车保量次b2万辆b3万辆……年新增汽车x万辆
b130b2b1×094+x…
n＞1bn+1bn×094+xbn–1×0942+(1+094)x…
bn+1b1×094n+x(1+094+0942+…+094n–1)
b1×094n+
≥0x≤18时bn+1≤bn≤…≤b130
＜0x＞18时
数列{bn}逐项递增意
果求汽车保量超60万辆
bn≤60(n12…)≤60x≤36
综年新增汽车应超36万辆
●锦囊妙计
1解应题般思路表示
2解应题般程序
（1）读：阅读理解文字表达题意分清条件结理数量关系关基础
（2）建：文字语言转化数学语言利数学知识建立相应数学模型熟悉基数学模型正确进行建模关键关
（3）解：求解数学模型数学结充分注意数学模型中元素实际意义更注意巧思妙作优化程
（4）答：数学结原实际问题结果
3中学数学中常见应问题数学模型
（1）优化问题实际问题中优选控制等问题常需建立等式模型线性规划问题解决
（2）预测问题：济计划市场预测类问题通常设计成数列模型解决
（3）（极）值问题：工农业生产建设实际生活中极限问题常设计成函数模型转化求函数值
（4）等量关系问题：建立方程模型解决
（5）测量问题：设计成图形模型利知识解决
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）某商场顾客实行购物优惠活动规定次购物付款总额：①果超200元予优惠②果超200元超500元标价予9折优惠③果超500元500元②条予优惠超500元部分予7折优惠某两次购物分付款168元423元假设次购买述样商品应付款( )
A4137元 B5137元 C5466元 D5487元
2（★★★★）某体育彩票规定：013636号码中抽出7号码注注2元某想先选定吉利号18然0117中选3连续号1929中选2连续号3036中选1号组成注种求号买全少花( )
A1050元 B1052元 C2100元 D2102元
二填空题
3（★★★★）球100米高处落次着跳回原高度半落静止面时 米
4（★★★★）广告气球直径6米放公司楼空（图）某行A观测气球时中心仰角∠BAC30°测气球视角β2°θ时取sinθθ试估计气球高BC值约 米
三解答题
5（★★★★★）运输批海鲜汽车火车飞机三种运输工具中选择速度分
v千米时2v千米时10v千米时千米运费分a元b元c元b＜a＜c批海鲜运输程中损耗m元时三种运输工具分运输时总费（运费损耗）互相等试确定种运输工具总费省（题中字母均正已知量）
6（★★★★）已知某海滨浴场海浪高度y（米）时间t(0≤t≤24单位时）函数记作yf(t)表某日时浪高数
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
15
10
05
10
149
1
051
099
15
长期观测yf(t)曲线似成函数yAcosωt+b
（1）根数求出函数yAcosωt+b正周期T振幅A函数表达式
（2）规定海浪高度高1米时浪爱者开放请（1）结判断天午8：00晚20：00间少时间供浪者进行运动
7（★★★★★）某外商开放区投资72万美元建起座蔬菜加工厂第年种费12万美元年增加4万美元年销售蔬菜收入50万美元
（1）扣投资种费第年开始获取纯利润？
（2）干年外商开发新项目两种处理方案：①年均利润时48万美元出售该厂②纯利润总时16万元出售该厂问种方案合算？
8（★★★★★）某厂两种零件AB装配两种产品PQ该厂生产力月产P产品2500件月产Q产品1200件组装件P产品4A2B组装件Q产品6A8B该厂某月A零件14000B零件12000已知P产品件利润1000元Q产品件2000元欲月利润需组装PQ产品少件？利润少万元
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：设时间t汽车A点船B点（图）AQ30–20tBP40–10tPQ20AQ⊥BPPQ⊥AQPQ⊥PB设船面αAQQP确定面β记α∩βlAQ∥αAQβAQ∥lAQ⊥PQPQ⊥lPQ⊥PBl∩PBPPQ⊥α作AC∥PQAC⊥α连CBAC⊥CB进AQ⊥BPCP∥AQCP⊥BP∴AB2AC2+BC2PQ2+PB2+PC2202+（40–10t）2+(30–20t)2100［5(t–2)2+9］t2时AB短短距离
30 m
答案：30 m
2解析：工序操作需时间少①④（时完成②③⑤）时间2+10+315分钟
答案：15
3解：题意G（x)x+2设利润函数f(x)
(1)工厂赢利f(x)>0
0≤x≤5时–04x2+32x–28>01x>5时82–x>0x<82∴5综工厂赢利应满足1（2）0≤x≤5时f(x)–04(x–4)2+36
x4时f(x)值36
x>5时f(x)<82–532
工厂生产400台产品时赢利时须求x4时台产品售价24（万元百台）240（元台）
●歼灭难点训练
1解析：购买商品原价168+423÷90638元次购买样商品应付款500×90+（638–500）×70450+9655466元
答案：C
2解析：0117中选连续3号15种方法1929中选连续2号10种选法3036中选17种选法购买注数1050注少花1050×22100元
答案：C
二3解析：球路程：
m
答案：300
4提示：sin2°
答案：86 m
三5解：设运输路程S（千米）汽车火车飞机三种运输工具运输时总费分y1(元)y2(元)y3(元)题意
a>b字母均正值y1–y2>0y20c>b字母正值c>b+c>b+时y26解：（1）表中数知T12ω
t0y15A+b15
t3y10b10A05b1振幅A
∴y
(2)题意知y>1时浪者开放∴>1 >0∴2kπ–
12k–30≤t≤24令k0120≤t<39∴规定时间6时供浪者运动午9：00午15：00
7解：题意知年费12首项4公差等差数列设纯利润年数关系f(n)f(n)50n–［12n+×4］–72–2n2+40n–72
(1)获纯利润求f(n)>0∴–2n2+40n–72>0解2（2）①年均利润40–2(n+)≤16仅n6时取等号方案先获利6×16+48144（万美元）时n6②f(n)–2(n–10)2+128
n10时f(n)|max128第②种方案获利128+16144（万美元）
较两种方案获利144万美元第①种方案需6年第②种方案需10年选择第①种方案
8解：设分生产PQ产品x件y件
设利润S1000x+2000y1000(x+2y)
利润S需求x+2y值
x+2ym(2x+3y)+n(x+4y)x(2m+n)+y(3m+4n)
∴ ∴
x+2y(2x+3y)+(x+4y)≤×7000+×6000
仅解时取等号时利润Smax1000(x+2y)
4000000400(万元)
外题运线性规划模型解决
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难点41 应性问题
数学应题指利数学知识解决领域中问题高考应题考查已逐步成熟体三道左右题道题注重问题方法新颖性提高适应陌生情境力求
●难点磁场
1（★★★★★）船10 ms速度南北匀速驶湖面离湖面高20米桥辆汽车西东20 ms速度前进（图）现船水P点南40米处汽车桥西Q点30米处（中PQ⊥水面）船汽车间短距离 （考虑汽车船身）
2（★★★★★）宁中午放学回家煮面条吃面道工序：（1）洗锅盛水2分钟（2）洗菜6分钟（3）准备面条佐料2分钟（4）锅水烧开10分钟（5）煮面条菜3分钟道工序（4）外次进行道工序宁面条煮少分钟
3（★★★★★）某产品生产厂家根生产销售验面关销售统计规律：生产产品x（百台）总成G（x）万元中固定成2万元生产100台生产成1万元（总成固定成+生产成）销售收入R(x)满足R(x)假定该产品销售衡根述统计规律
（1）工厂盈利产品x应控制什范围？
（2）工厂生产少台产品时赢利？求时台产品售价少？
●案例探究
［例1］处理含某种杂质污水制造底宽2米盖长方体沉淀箱（图）污水A孔流入沉淀B孔流出设箱体长度a米高度b米已知流出水中该杂质质量分数ab积ab成反现制箱材料60方米问ab少米时沉淀流出水中该杂质质量分数（AB孔面积忽略计）？
命题意图：题考查建立函数关系等式性质值求法等基知识综合应数学知识思想方法解决实际问题力属★★★★级题目
知识托：重等式导数应建立函数关系式
错解分析：理解题意导致关系式列出ab间等量关系找
技巧方法：关键求出函数值条件值应重等式利导数解决
解法：设沉淀流出水中该杂质质量分数y条件y(k＞0例系数)中ab满足2a+4b+2ab60 ①
求y值须求ab值
①(a+2)(b+1)32(a＞0b＞0)ab30–(a+2b)
应重等式a+2b(a+2)+(2b+2)–4≥
∴ab≤18仅a2b时等号成立
a2b代入①a6b3
仅a6b3时沉淀流出水中该杂质质量分数
解法二：2a+4b+2ab60
记(0＜a＜30)求y值须求u值
令u′0a6
0＜a＜6时u′＞06＜u＜30时u′＜0
∴a6时取值时b3
仅a6b3时y取值
［例2］某城市2001年末汽车保量30万辆预计年报废年末汽车保量6年新增汽车数量相等保护城市环境求该城市汽车保量超60万辆年新增汽车数量应超少辆？
命题意图：题考查等数列数列求解等式等知识极限思想方法运数学知识解决实际问题力属★★★★★级题目
知识托：数列极限等数列解等式
错解分析：①读懂题意找解题突破口②写出bn+1x关系进步转化极限问题③运算出错准确结果
技巧方法：建立第n年汽车保量年新增汽车数量间函数关系式关键题入手容易解题程中准确性求较高
解：设2001年末汽车保量b1万辆年汽车保量次b2万辆b3万辆……年新增汽车x万辆
b130b2b1×094+x…
n＞1bn+1bn×094+xbn–1×0942+(1+094)x…
bn+1b1×094n+x(1+094+0942+…+094n–1)
b1×094n+
≥0x≤18时bn+1≤bn≤…≤b130
＜0x＞18时
数列{bn}逐项递增意
果求汽车保量超60万辆
bn≤60(n12…)≤60x≤36
综年新增汽车应超36万辆
●锦囊妙计
1解应题般思路表示
2解应题般程序
（1）读：阅读理解文字表达题意分清条件结理数量关系关基础
（2）建：文字语言转化数学语言利数学知识建立相应数学模型熟悉基数学模型正确进行建模关键关
（3）解：求解数学模型数学结充分注意数学模型中元素实际意义更注意巧思妙作优化程
（4）答：数学结原实际问题结果
3中学数学中常见应问题数学模型
（1）优化问题实际问题中优选控制等问题常需建立等式模型线性规划问题解决
（2）预测问题：济计划市场预测类问题通常设计成数列模型解决
（3）（极）值问题：工农业生产建设实际生活中极限问题常设计成函数模型转化求函数值
（4）等量关系问题：建立方程模型解决
（5）测量问题：设计成图形模型利知识解决
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）某商场顾客实行购物优惠活动规定次购物付款总额：①果超200元予优惠②果超200元超500元标价予9折优惠③果超500元500元②条予优惠超500元部分予7折优惠某两次购物分付款168元423元假设次购买述样商品应付款( )
A4137元 B5137元 C5466元 D5487元
2（★★★★）某体育彩票规定：013636号码中抽出7号码注注2元某想先选定吉利号18然0117中选3连续号1929中选2连续号3036中选1号组成注种求号买全少花( )
A1050元 B1052元 C2100元 D2102元
二填空题
3（★★★★）球100米高处落次着跳回原高度半落静止面时 米
4（★★★★）广告气球直径6米放公司楼空（图）某行A观测气球时中心仰角∠BAC30°测气球视角β2°θ时取sinθθ试估计气球高BC值约 米
三解答题
5（★★★★★）运输批海鲜汽车火车飞机三种运输工具中选择速度分
v千米时2v千米时10v千米时千米运费分a元b元c元b＜a＜c批海鲜运输程中损耗m元时三种运输工具分运输时总费（运费损耗）互相等试确定种运输工具总费省（题中字母均正已知量）
6（★★★★）已知某海滨浴场海浪高度y（米）时间t(0≤t≤24单位时）函数记作yf(t)表某日时浪高数
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
15
10
05
10
149
1
051
099
15
长期观测yf(t)曲线似成函数yAcosωt+b
（1）根数求出函数yAcosωt+b正周期T振幅A函数表达式
（2）规定海浪高度高1米时浪爱者开放请（1）结判断天午8：00晚20：00间少时间供浪者进行运动
7（★★★★★）某外商开放区投资72万美元建起座蔬菜加工厂第年种费12万美元年增加4万美元年销售蔬菜收入50万美元
（1）扣投资种费第年开始获取纯利润？
（2）干年外商开发新项目两种处理方案：①年均利润时48万美元出售该厂②纯利润总时16万元出售该厂问种方案合算？
8（★★★★★）某厂两种零件AB装配两种产品PQ该厂生产力月产P产品2500件月产Q产品1200件组装件P产品4A2B组装件Q产品6A8B该厂某月A零件14000B零件12000已知P产品件利润1000元Q产品件2000元欲月利润需组装PQ产品少件？利润少万元
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：设时间t汽车A点船B点（图）AQ30–20tBP40–10tPQ20AQ⊥BPPQ⊥AQPQ⊥PB设船面αAQQP确定面β记α∩βlAQ∥αAQβAQ∥lAQ⊥PQPQ⊥lPQ⊥PBl∩PBPPQ⊥α作AC∥PQAC⊥α连CBAC⊥CB进AQ⊥BPCP∥AQCP⊥BP∴AB2AC2+BC2PQ2+PB2+PC2202+（40–10t）2+(30–20t)2100［5(t–2)2+9］t2时AB短短距离
30 m
答案：30 m
2解析：工序操作需时间少①④（时完成②③⑤）时间2+10+315分钟
答案：15
3解：题意G（x)x+2设利润函数f(x)
(1)工厂赢利f(x)>0
0≤x≤5时–04x2+32x–28>01
x4时f(x)值36
x>5时f(x)<82–532
工厂生产400台产品时赢利时须求x4时台产品售价24（万元百台）240（元台）
●歼灭难点训练
1解析：购买商品原价168+423÷90638元次购买样商品应付款500×90+（638–500）×70450+9655466元
答案：C
2解析：0117中选连续3号15种方法1929中选连续2号10种选法3036中选17种选法购买注数1050注少花1050×22100元
答案：C
二3解析：球路程：
m
答案：300
4提示：sin2°
答案：86 m
三5解：设运输路程S（千米）汽车火车飞机三种运输工具运输时总费分y1(元)y2(元)y3(元)题意
a>b字母均正值y1–y2>0y2
t0y15A+b15
t3y10b10A05b1振幅A
∴y
(2)题意知y>1时浪者开放∴>1 >0∴2kπ–
12k–3
7解：题意知年费12首项4公差等差数列设纯利润年数关系f(n)f(n)50n–［12n+×4］–72–2n2+40n–72
(1)获纯利润求f(n)>0∴–2n2+40n–72>0解2
n10时f(n)|max128第②种方案获利128+16144（万美元）
较两种方案获利144万美元第①种方案需6年第②种方案需10年选择第①种方案
8解：设分生产PQ产品x件y件
设利润S1000x+2000y1000(x+2y)
利润S需求x+2y值
x+2ym(2x+3y)+n(x+4y)x(2m+n)+y(3m+4n)
∴ ∴
x+2y(2x+3y)+(x+4y)≤×7000+×6000
仅解时取等号时利润Smax1000(x+2y)
4000000400(万元)
外题运线性规划模型解决
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