难点35 导数应问题
利导数求函数极()值求函数连续区间［ab］值利求导法解决实际应问题函数容继续延伸种解决问题方法复杂问题变简单化已逐渐成新高考热点节容指导考生种方法应
●难点磁场
(★★★★★)已知f(x)x2+cf［f(x)］f(x2+1)
(1)设g(x)f［f(x)］求g(x)解析式
(2)设φ(x)g(x)－λf(x)试问：否存实数λφ(x)(－∞－1)减函数
(－10)增函数
●案例探究
［例1］已知f(x)ax3+bx2+cx(a≠0)x±1时取极值f(1)－1
(1)试求常数abc值
(2)试判断x±1函数极值极值说明理
命题意图：利阶导数求函数极值极值方法导数研究函数性质方面继续深入导数应关键知识点通函数极值判定学生加深函数单调性导数关系理解属★★★★★级题目
知识托：解题成功正确思路选择题逆思维角度出发根题设结构进行逆联想合理实现问题转化抽象问题具体化解答题闪光点
错解分析：题难点求导会应f′(±1)0隐含条件造成解决问题思维障碍
技巧方法：考查函数f(x)实数域导函数先求导确定极值通极值点导数关系建立极值点x±1确定相等关系式运定系数法求值
解：(1)f′(x)3ax2+2bx+c
∵x±1函数f(x)极值点
∴x±1方程f′(x)03ax2+2bx+c0两根
①
②
根系数关系
f(1)－1∴a+b+c－1 ③
①②③解a
(2)f(x)x3－x
∴f′(x)x2－(x－1)(x+1)
x＜－1x＞1时f′(x)＞0
－1＜x＜1时f′(x)＜0
∴函数f(x)(－∞－1)(1+∞)增函数(－11)减函数
∴x－1时函数取极值f(－1)1
x1时函数取极值f(1)－1
［例2］甲乙两工厂甲厂位直线河岸岸边A处乙厂甲厂河侧乙厂位离河岸40 km
B处乙厂河岸垂足DA相距50 km两厂岸边合建供水站C供水站甲厂乙厂水费分千米3a元5a元问供水站C建岸边处水费省？
命题意图：学目会实际应题考查学生运导数知识解决实际问题意识思想方法力
知识托：解决实际应问题关键建立数学模型目标函数问题情景译数学语言找出问题关系问题关系似化形式化抽象成数学问题划常规问题选择合适数学方法求解
错解分析：题难点实际问题中涉变量转化成函数关系式
技巧方法：根题设条件作出图形分析已知条件间关系助图形特征合理选择条件间联系方式适选定变化构造相应函数关系
解法：根题意知点C线段AD某适位置总运费省设C点距D点x km
∵BD40AC50－x
∴BC
设总水费y元题意：
y30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′－3a+令y′0解x30
(050)y极值点根实际问题意义
函数x30(km)处取值时AC50－x20(km)
∴供水站建AD间距甲厂20 km处水费省
解法二：设∠BCDQBCCD40cotθ(0＜θ＜)∴AC50－40cotθ
设总水费f(θ)题意
f(θ)3a(50－40·cotθ)+5a·
150a+40a·
∴f′(θ)40a·
令f′(θ)0cosθ
根问题实际意义cosθ时函数取值时sinθ∴cotθ
∴AC50－40cotθ20(km)供水站建AD间距甲厂20 km处水费省
●锦囊妙计
1f(x)某区间导f′(x)＞0f(x)增函数f′(x)＜0f(x)减函数
2求函数极值点应先求导然令y′0出全部导数0点(导数0点定极值点例：yx3x0时导数0非极值点)导数0点否极值点取决点左右两边增减性两边
y′符号改变符号该点极值点改变符号非极值点函数极值点定导数0点处取函数极值点定导数0
3导函数值通(ab)极值端点函数值较求导函数极值时函数导点处取般连续函数必须导数存点函数值进行较y|x|x0处导值点
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)设f(x)导f′(0)0－1f(0)( )
Af(x)极值 B定f(x)极值
C定f(x)极值 D等0
2(★★★★)设函数fn(x)n2x2(1－x)n(n正整数)fn(x)［01］值( )
A0 B1
C D
二填空题
3(★★★★)函数f(x)loga(3x2+5x－2)(a＞0a≠1)单调区间_________
4(★★★★)半径R圆作接等腰三角形底边高_________时面积
三解答题
5(★★★★★)设f(x)ax3+x恰三单调区间试确定a取值范围求单调区间
6(★★★★)设x1x2函数f(x)alnx+bx2+x两极值点
(1)试确定常数ab值
(2)试判断x1x2函数f(x)极值极值说明理
7(★★★★)已知ab实数b＞a＞e中e然数底求证：ab＞ba
8(★★★★)设关x方程2x2－ax－20两根αβ(α＜β)函数f(x)
(1)求f(α)·f(β)值
(2)证明f(x)［αβ］增函数
(3)a值时f(x)区间［αβ］值值差？
［科普美文］新教材中思维观点
数学科学具高度综合性强实践性断发展性中学数学新教材破原教材框架体系新增添工具性实践性强知识容正发展产物新教材具更高综合性灵活样性更具气活力握新教材脉搏培养深刻严谨灵活数学思维提高数学素质成燃眉需
新教材提升增添容包括简易逻辑面量空间量线性规划概率统计导数研究型课题实作业等新教材中知识容立体交叉联系更加密切联通渠道更富含更高实性高考复中通总结编织科学知识网络求知识融会贯通揭示知识间联系做点：
深刻领会数学思想方法立足点放提高数学素质数学思想方法数学精髓运数学思想方法数学知识技转化分析问题解决问题力形成数学素质知识力载体领悟逐步学会运蕴含知识发生发展深化程中贯穿发现问题解决问题程中数学思想方法根提高素质提高数学科力必路通数学思想方法断积累断总结验知识型力型转化断提高学力学水
二培养化（转化）思想处理数学问题意识数学问题作系列知识形成关系链处理数学问题实质实现新问题旧问题转化复杂问题简单问题转化实现未知已知转化然解决问题程相思考方式讲通常解决问题通次次转化直化类已解决容易解决问题求原问题解答
三提高函数方程思想方法分析问题解决问题力函数思想实质抛开研究象非数学特性联系变化观点建立变量间固函数关系种思想相联系方程思想解决数学问题时求量（求量相关量）设成未知数表示问题中量根题中隐含等量关系列方程求问题解决
数学思维科学思维核心思维基石逻辑推理逻辑思维力数学力核心逻辑推理数学思维基方法
国著名数学家华罗庚先生认学两程：薄厚厚薄前者量积累者质飞跃雄关漫道真铁迈步头越学学中断积累断探索断创新定高考中取骄战绩
参考答案
难点磁场
解：(1)题意f［f(x)］f(x2+c)(x2+c)2+c
f(x2+1)(x2+1)2+c∵f［f(x)］f(x2+1)
∴(x2+c)2+c(x2+1)2+c
∴x2+cx2+1∴c1
∴f(x)x2+1g(x)f［f(x)］f(x2+1)(x2+1)2+1
(2)φ(x)g(x)－λf(x)x4+(2－λ)x2+(2－λ)
满足条件λ存φ′(x)4x3+2(2－λ)x
∵函数φ(x)(－∞－1)减函数
∴x＜－1时φ′(x)＜0
4x3+2(2－λ)x＜0x∈(－∞－1)恒成立
∴2(2－λ)＞－4x2
∵x＜－1∴－4x2＜－4
∴2(2－λ)≥－4解λ≤4
函数φ(x)(－10)增函数
∴－1＜x＜0时φ′(x)＞0
4x2+2(2－λ)x＞0x∈(－10)恒成立
∴2(2－λ)＜－4x2
∵－1＜x＜0∴－4＜4x2＜0
∴2(2－λ)≤－4解λ≥4
λ4时φ(x)(－∞－1)减函数(－10)增函数满足条件λ存
歼灭难点训练
1解析：－1存含0区间(ab)x∈(ab)x≠0时＜0x∈(a0)时f′(0)＞0x∈(0b)时f′(0)＜0样f(x)(a0)单增(0b)单减
答案：B
2解析：∵f′n(x)2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n1n2x(1－x)n1［2(1－x)－nx］令f′n(x)0x10x21x3易知fn(x)x时取值值fn()n2()2(1－)n4·()n+1
答案：D
二3解析：函数定义域x＞x＜－2f′(x)(3x2+5x－2)′
①a＞1x＞时logae＞06x+5＞0(3x－1)(x+2)＞0∴f′(x)＞0∴函数f(x)(
+∞)增函数x＜－2时f′(x)＜0∴函数f(x)(－∞－2)减函数
②0＜a＜1x＞时f′(x)＜0∴f(x)(+∞)减函数x＜－2时f′(x)＞0∴f(x)(－∞－2)增函数
答案：(－∞－2)
4解析：设圆接等腰三角形底边长2x高hhAO+BOR+解
x2h(2R－h)接三角形面积
Sx·h
令S′0解hR考虑存情况区间(02R)列表：
h
(0R)
R
(2R)
S′
+
0
－
S
增函数
值
减函数
表知xR时等腰三角形面积
答案：R
三5解：f′(x)3ax2+1
a＞0f′(x)＞0x∈(－∞+∞)恒成立时f(x)单调区间矛盾
a0f′(x)1＞0∴x∈(－∞+∞)f(x)单调区间矛盾
a＜0∵f′(x)3a(x+)·(x－)时f(x)恰三单调区间
∴a＜0单调减区间(－∞－)(+∞)单调增区间(－ )
6解：f′(x)+2bx+1
(1)极值点必条件知：f′(1)f′(2)0a+2b+10+4b+10解方程组a－b－∴f(x)－lnx－x2+x
(2)f′(x)－x1－x+1x∈(01)时f′(x)＜0x∈(12)时f′(x)＞0x∈(2+∞)时f′(x)＜0x1处函数f(x)取极值x2处函数取极值－ln2
7证法：∵b＞a＞e∴证ab＞ba证blna＞alnb设f(b)blna－alnb(b＞e)
f′(b)lna－∵b＞a＞e∴lna＞1＜1∴f′(b)＞0∴函数f(b)blna－alnb(e+∞)增函数∴f(b)＞f(a)alna－alna0blna－alnb＞0∴blna＞alnb∴ab＞ba
证法二：证ab＞ba证blna＞alnb(e＜a＜b证设f(x)(x＞e)f′(x)＜0∴函数f(x)(e+∞)减函数∵e＜a＜b
∴f(a)＞f(b)∴ab＞ba
8解：(1)f(α)f(β) f(α)f(β)4
(2)设φ(x)2x2－ax－2α＜x＜β时φ(x)＜0
∴函数f(x)(αβ)增函数
(3)函数f(x)［αβ］值f(β)＞0值f(α)＜0
∵|f(α)·f(β)|4∴仅f(β)－f(α)2时f(β)－f(α)|f(β)|+|f(α)|取值4时a0f(β)2
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难点35 导数应问题
利导数求函数极()值求函数连续区间［ab］值利求导法解决实际应问题函数容继续延伸种解决问题方法复杂问题变简单化已逐渐成新高考热点节容指导考生种方法应
●难点磁场
(★★★★★)已知f(x)x2+cf［f(x)］f(x2+1)
(1)设g(x)f［f(x)］求g(x)解析式
(2)设φ(x)g(x)－λf(x)试问：否存实数λφ(x)(－∞－1)减函数
(－10)增函数
●案例探究
［例1］已知f(x)ax3+bx2+cx(a≠0)x±1时取极值f(1)－1
(1)试求常数abc值
(2)试判断x±1函数极值极值说明理
命题意图：利阶导数求函数极值极值方法导数研究函数性质方面继续深入导数应关键知识点通函数极值判定学生加深函数单调性导数关系理解属★★★★★级题目
知识托：解题成功正确思路选择题逆思维角度出发根题设结构进行逆联想合理实现问题转化抽象问题具体化解答题闪光点
错解分析：题难点求导会应f′(±1)0隐含条件造成解决问题思维障碍
技巧方法：考查函数f(x)实数域导函数先求导确定极值通极值点导数关系建立极值点x±1确定相等关系式运定系数法求值
解：(1)f′(x)3ax2+2bx+c
∵x±1函数f(x)极值点
∴x±1方程f′(x)03ax2+2bx+c0两根
①
②
根系数关系
f(1)－1∴a+b+c－1 ③
①②③解a
(2)f(x)x3－x
∴f′(x)x2－(x－1)(x+1)
x＜－1x＞1时f′(x)＞0
－1＜x＜1时f′(x)＜0
∴函数f(x)(－∞－1)(1+∞)增函数(－11)减函数
∴x－1时函数取极值f(－1)1
x1时函数取极值f(1)－1
［例2］甲乙两工厂甲厂位直线河岸岸边A处乙厂甲厂河侧乙厂位离河岸40 km
B处乙厂河岸垂足DA相距50 km两厂岸边合建供水站C供水站甲厂乙厂水费分千米3a元5a元问供水站C建岸边处水费省？
命题意图：学目会实际应题考查学生运导数知识解决实际问题意识思想方法力
知识托：解决实际应问题关键建立数学模型目标函数问题情景译数学语言找出问题关系问题关系似化形式化抽象成数学问题划常规问题选择合适数学方法求解
错解分析：题难点实际问题中涉变量转化成函数关系式
技巧方法：根题设条件作出图形分析已知条件间关系助图形特征合理选择条件间联系方式适选定变化构造相应函数关系
解法：根题意知点C线段AD某适位置总运费省设C点距D点x km
∵BD40AC50－x
∴BC
设总水费y元题意：
y30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′－3a+令y′0解x30
(050)y极值点根实际问题意义
函数x30(km)处取值时AC50－x20(km)
∴供水站建AD间距甲厂20 km处水费省
解法二：设∠BCDQBCCD40cotθ(0＜θ＜)∴AC50－40cotθ
设总水费f(θ)题意
f(θ)3a(50－40·cotθ)+5a·
150a+40a·
∴f′(θ)40a·
令f′(θ)0cosθ
根问题实际意义cosθ时函数取值时sinθ∴cotθ
∴AC50－40cotθ20(km)供水站建AD间距甲厂20 km处水费省
●锦囊妙计
1f(x)某区间导f′(x)＞0f(x)增函数f′(x)＜0f(x)减函数
2求函数极值点应先求导然令y′0出全部导数0点(导数0点定极值点例：yx3x0时导数0非极值点)导数0点否极值点取决点左右两边增减性两边
y′符号改变符号该点极值点改变符号非极值点函数极值点定导数0点处取函数极值点定导数0
3导函数值通(ab)极值端点函数值较求导函数极值时函数导点处取般连续函数必须导数存点函数值进行较y|x|x0处导值点
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★)设f(x)导f′(0)0－1f(0)( )
Af(x)极值 B定f(x)极值
C定f(x)极值 D等0
2(★★★★)设函数fn(x)n2x2(1－x)n(n正整数)fn(x)［01］值( )
A0 B1
C D
二填空题
3(★★★★)函数f(x)loga(3x2+5x－2)(a＞0a≠1)单调区间_________
4(★★★★)半径R圆作接等腰三角形底边高_________时面积
三解答题
5(★★★★★)设f(x)ax3+x恰三单调区间试确定a取值范围求单调区间
6(★★★★)设x1x2函数f(x)alnx+bx2+x两极值点
(1)试确定常数ab值
(2)试判断x1x2函数f(x)极值极值说明理
7(★★★★)已知ab实数b＞a＞e中e然数底求证：ab＞ba
8(★★★★)设关x方程2x2－ax－20两根αβ(α＜β)函数f(x)
(1)求f(α)·f(β)值
(2)证明f(x)［αβ］增函数
(3)a值时f(x)区间［αβ］值值差？
［科普美文］新教材中思维观点
数学科学具高度综合性强实践性断发展性中学数学新教材破原教材框架体系新增添工具性实践性强知识容正发展产物新教材具更高综合性灵活样性更具气活力握新教材脉搏培养深刻严谨灵活数学思维提高数学素质成燃眉需
新教材提升增添容包括简易逻辑面量空间量线性规划概率统计导数研究型课题实作业等新教材中知识容立体交叉联系更加密切联通渠道更富含更高实性高考复中通总结编织科学知识网络求知识融会贯通揭示知识间联系做点：
深刻领会数学思想方法立足点放提高数学素质数学思想方法数学精髓运数学思想方法数学知识技转化分析问题解决问题力形成数学素质知识力载体领悟逐步学会运蕴含知识发生发展深化程中贯穿发现问题解决问题程中数学思想方法根提高素质提高数学科力必路通数学思想方法断积累断总结验知识型力型转化断提高学力学水
二培养化（转化）思想处理数学问题意识数学问题作系列知识形成关系链处理数学问题实质实现新问题旧问题转化复杂问题简单问题转化实现未知已知转化然解决问题程相思考方式讲通常解决问题通次次转化直化类已解决容易解决问题求原问题解答
三提高函数方程思想方法分析问题解决问题力函数思想实质抛开研究象非数学特性联系变化观点建立变量间固函数关系种思想相联系方程思想解决数学问题时求量（求量相关量）设成未知数表示问题中量根题中隐含等量关系列方程求问题解决
数学思维科学思维核心思维基石逻辑推理逻辑思维力数学力核心逻辑推理数学思维基方法
国著名数学家华罗庚先生认学两程：薄厚厚薄前者量积累者质飞跃雄关漫道真铁迈步头越学学中断积累断探索断创新定高考中取骄战绩
参考答案
难点磁场
解：(1)题意f［f(x)］f(x2+c)(x2+c)2+c
f(x2+1)(x2+1)2+c∵f［f(x)］f(x2+1)
∴(x2+c)2+c(x2+1)2+c
∴x2+cx2+1∴c1
∴f(x)x2+1g(x)f［f(x)］f(x2+1)(x2+1)2+1
(2)φ(x)g(x)－λf(x)x4+(2－λ)x2+(2－λ)
满足条件λ存φ′(x)4x3+2(2－λ)x
∵函数φ(x)(－∞－1)减函数
∴x＜－1时φ′(x)＜0
4x3+2(2－λ)x＜0x∈(－∞－1)恒成立
∴2(2－λ)＞－4x2
∵x＜－1∴－4x2＜－4
∴2(2－λ)≥－4解λ≤4
函数φ(x)(－10)增函数
∴－1＜x＜0时φ′(x)＞0
4x2+2(2－λ)x＞0x∈(－10)恒成立
∴2(2－λ)＜－4x2
∵－1＜x＜0∴－4＜4x2＜0
∴2(2－λ)≤－4解λ≥4
λ4时φ(x)(－∞－1)减函数(－10)增函数满足条件λ存
歼灭难点训练
1解析：－1存含0区间(ab)x∈(ab)x≠0时＜0x∈(a0)时f′(0)＞0x∈(0b)时f′(0)＜0样f(x)(a0)单增(0b)单减
答案：B
2解析：∵f′n(x)2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n1n2x(1－x)n1［2(1－x)－nx］令f′n(x)0x10x21x3易知fn(x)x时取值值fn()n2()2(1－)n4·()n+1
答案：D
二3解析：函数定义域x＞x＜－2f′(x)(3x2+5x－2)′
①a＞1x＞时logae＞06x+5＞0(3x－1)(x+2)＞0∴f′(x)＞0∴函数f(x)(
+∞)增函数x＜－2时f′(x)＜0∴函数f(x)(－∞－2)减函数
②0＜a＜1x＞时f′(x)＜0∴f(x)(+∞)减函数x＜－2时f′(x)＞0∴f(x)(－∞－2)增函数
答案：(－∞－2)
4解析：设圆接等腰三角形底边长2x高hhAO+BOR+解
x2h(2R－h)接三角形面积
Sx·h
令S′0解hR考虑存情况区间(02R)列表：
h
(0R)
R
(2R)
S′
+
0
－
S
增函数
值
减函数
表知xR时等腰三角形面积
答案：R
三5解：f′(x)3ax2+1
a＞0f′(x)＞0x∈(－∞+∞)恒成立时f(x)单调区间矛盾
a0f′(x)1＞0∴x∈(－∞+∞)f(x)单调区间矛盾
a＜0∵f′(x)3a(x+)·(x－)时f(x)恰三单调区间
∴a＜0单调减区间(－∞－)(+∞)单调增区间(－ )
6解：f′(x)+2bx+1
(1)极值点必条件知：f′(1)f′(2)0a+2b+10+4b+10解方程组a－b－∴f(x)－lnx－x2+x
(2)f′(x)－x1－x+1x∈(01)时f′(x)＜0x∈(12)时f′(x)＞0x∈(2+∞)时f′(x)＜0x1处函数f(x)取极值x2处函数取极值－ln2
7证法：∵b＞a＞e∴证ab＞ba证blna＞alnb设f(b)blna－alnb(b＞e)
f′(b)lna－∵b＞a＞e∴lna＞1＜1∴f′(b)＞0∴函数f(b)blna－alnb(e+∞)增函数∴f(b)＞f(a)alna－alna0blna－alnb＞0∴blna＞alnb∴ab＞ba
证法二：证ab＞ba证blna＞alnb(e＜a＜b证设f(x)(x＞e)f′(x)＜0∴函数f(x)(e+∞)减函数∵e＜a＜b
∴f(a)＞f(b)∴ab＞ba
8解：(1)f(α)f(β) f(α)f(β)4
(2)设φ(x)2x2－ax－2α＜x＜β时φ(x)＜0
∴函数f(x)(αβ)增函数
(3)函数f(x)［αβ］值f(β)＞0值f(α)＜0
∵|f(α)·f(β)|4∴仅f(β)－f(α)2时f(β)－f(α)|f(β)|+|f(α)|取值4时a0f(β)2
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