难点28 求空间距离
空间中距离求法历年高考考查重点中点点点线点面距离基础求种距离般化三种距离
●难点磁场
(★★★★)图已知ABCD矩形ABaADbPA⊥面ABCDPA2cQPA中点
求：(1)QBD距离
(2)P面BQD距离
●案例探究
［例1］正方形ABCD角线AC折起成直二面角点EF分ADBC中点点O原正方形中心求：
(1)EF长
(2)折起∠EOF
命题意图：考查利空间量坐标运算解决立体问题属★★★★级题目
知识托：空间量坐标运算数量积公式
错解分析：建立正确空间直角坐标系中必须保证x轴y轴z轴两两互相垂直
技巧方法：建系方式种中O点原点方分x轴y轴z轴正方简单
解：图O点原点建立空间直角坐标系O—xyz设正方形ABCD边长aA(0－a0)B(a00)C(0 a0)D(00 a)E(0－a a)F(a a0)
∴∠EOF120°
［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1棱长1求异面直线A1C1AB1间距离
命题意图：题考查异面直线间距离求法属★★★★级题目
知识托：求异面直线距离求两异面直线公垂线转化求线面距离面面距离值法求
错解分析：题容易错误认O1BA1CAB1距离异面直线定义熟悉异面直线距离两条异面直线垂直相交直线垂足间距离
技巧方法：求异面直线距离时较难作出公垂线通常采化思想转化求线面距面面距值法求
解法：图连结AC1正方体AC1中∵A1C1∥AC∴A1C1∥面AB1C∴A1C1面AB1C间距离等异面直线A1C1AB1间距离
连结B1D1BD设B1D1∩A1C1O1BD∩ACO
∵AC⊥BDAC⊥DD1∴AC⊥面BB1D1D
∴面AB1C⊥面BB1D1D连结B1O面AB1C∩面BB1D1DB1O
作O1G⊥B1OGO1G⊥面AB1C
∴O1G直线A1C1面AB1C间距离异面直线A1C1AB1间距离
Rt△OO1B1中∵O1B1OO11∴OB1
∴O1G异面直线A1C1AB1间距离
解法二：图A1C取点M作MN⊥AB1N作MR⊥A1B1R连结RN
∵面A1B1C1D1⊥面A1ABB1∴MR⊥面A1ABB1MR⊥AB1
∵AB1⊥RN设A1RxRB11－x
∵∠C1A1B1∠AB1A145°
∴MRxRNNB1
(0＜x＜1
∴x时MN值异面直线A1C1AB1距离
●锦囊妙记
空间中距离指七种：
(1)两点间距离
(2)点直线距离
(3)点面距离
(4)两条行线间距离
(5)两条异面直线间距离
(6)面行直线面间距离
(7)两行面间距离
七种距离指两点集间含两点距离中距离七种距离间密切联系相互转化两条行线距离转化求点直线距离行线面间距离行面间距离转化成点面距离
七种距离中求点面距离重点求两条异面直线间距离难点
求点面距离：(1)直接法直接点作垂线求垂线段长(2)转移法转化成求点该面距离(3)体积法
求异面直线距离：(1)定义法求公垂线段长(2)转化成求直线面距离(3)函数极值法两条异面直线距离分两条异面直线两点间距离中
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)正方形ABCD边长2EF分ABCD中点正方形EF折成直二面角(图)M矩形AEFD点果∠MBE∠MBCMB面BCF成角正切值点M直线EF距离( )
2(★★★★)三棱柱ABC—A1B1C1中AA11AB4BC3∠ABC90°设面A1BC1面ABC交线lA1C1l距离( )
A B C26 D24
二填空题
3(★★★★)左图空间四点ABCD中两点连线段长等a动点P线段AB动点Q线段CDPQ短距离_________
4(★★★★)右图ABCDABEF均正方形果二面角E—AB—C度数
30°EF面ABCD距离_________
三解答题
5(★★★★★)长方体ABCD—A1B1C1D1中AB4BC3CC12图：
(1)求证：面A1BC1∥面ACD1
(2)求(1)中两行面间距离
(3)求点B1面A1BC1距离
6(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1点E棱D1D截面EAC∥D1B面EAC底面ABCD成角45°ABa求：
(1)截面EAC面积
(2)异面直线A1B1AC间距离
(3)三棱锥B1—EAC体积
7(★★★★)图已知三棱柱A1B1C1—ABC底面边长2正三角形侧棱A1AABAC均成45°角A1E⊥B1BEA1F⊥CC1F
(1)求点A面B1BCC1距离
(2)AA1长时点A1面ABC面B1BCC1距离相等
8(★★★★★)图梯形ABCD中AD∥BC∠ABCAB ADa
∠ADCarccosPA⊥面ABCDPAa
(1)求异面直线ADPC间距离
(2)线段AD否存点F点A面PCF距离
参考答案
难点磁场
解：(1)矩形ABCD中作AE⊥BDE垂足
连结QE∵QA⊥面ABCD三垂线定理QE⊥BE
∴QE长QBD距离
矩形ABCD中ABaADb
∴AE
Rt△QAE中QAPAc
∴QE
∴QBD距离
(2)解法：∵面BQD线段PA中点
∴P面BQD距离等A面BQD距离
△AQE中作AH⊥QEH垂足
∵BD⊥AEBD⊥QE∴BD⊥面AQE ∴BD⊥AH
∴AH⊥面BQEAHA面BQD距离
Rt△AQE中∵AQcAE
∴AH
∴P面BD距离
解法二：设点A面QBD距离h
VA—BQDVQ—ABDS△BQD·hS△ABD·AQ
h
歼灭难点训练
1解析：点M作MM′⊥EFMM′⊥面BCF
∵∠MBE∠MBC
∴BM′∠EBC角分线
∴∠EBM′45°BM′MN
答案：A
2解析：交线lBAC行作CD⊥lD连C1DC1DA1C1l距离CD等AC高CDRt△C1CD中易求C1D26
答案：C
二3解析：ABCD顶点四边形空间四边形正四面体取PQ分ABCD中点AQBQa∴PQ⊥AB理PQ⊥CD线段PQ
长PQ两点间短距离Rt△APQ中PQa
答案：a
4解析：显然∠FAD二面角E—AB—C面角∠FAD30°F作FG⊥面ABCDGG必ADEF∥面ABCD
∴FGEF面ABCD距离FG
答案：
三5(1)证明：BC1∥AD1BC1∥面ACD1
理A1B∥面ACD1面A1BC1∥面ACD1
(2)解：设两行面A1BC1ACD1间距离dd等D1面A1BC1距离易求A1C15A1B2BC1cosA1BC1sinA1BC1SS·d·BB1代入求d两行面间距离
(3)解：线段B1D1面A1BC1分B1D1面A1BC1距离相等(2)知点B1面A1BC1距离等
6解：(1)连结DB交ACO连结EO
∵底面ABCD正方形
∴DO⊥ACED⊥面ABCD
∴EO⊥AC∠EOD45°
DOaACaEOa∴S△EACa
(2)∵A1A⊥底面ABCD∴A1A⊥ACA1A⊥A1B1
∴A1A异面直线A1B1AC间公垂线
EO∥BD1OBD中点∴D1B2EO2a
∴D1Da∴A1B1AC距离a
(3)连结B1D交D1BP交EOQ推证出B1D⊥面EAC
∴B1Q三棱锥B1—EAC高B1Qa
7解：(1)∵BB1⊥A1ECC1⊥A1FBB1∥CC1
∴BB1⊥面A1EF
面A1EF⊥面BB1C1C
Rt△A1EB1中
∵∠A1B1E45°A1B1a
∴A1Ea理A1FaEFa∴A1Ea
理A1FaEFa
∴△EA1F等腰直角三角形∠EA1F90°
A1作A1N⊥EFNEF中点A1N⊥面BCC1B1
A1N点A1面BCC1B1距离
∴A1N
∵AA1∥面BCC1BA面BCC1B1距离
∴a2∴求距离2
(2)设BCB1C1中点分DD1连结ADDD1A1D1DD1必点N易证ADD1A1行四边形
∵B1C1⊥D1DB1C1⊥A1N
∴B1C1⊥面ADD1A1
∴BC⊥面ADD1A1
面ABC⊥面ADD1A1A1作A1M⊥面ABC交ADM
A1MA1N∠A1AM∠A1D1N∠AMA1∠A1ND190°
∴△AMA1≌△A1ND1∴AA1A1D1AA1时满足条件
8解：(1)∵BC∥ADBC面PBC∴AD∥面PBC
ADPC间距离直线AD面PBC间距离
A作AE⊥PBAE⊥BC
∴AE⊥面PBCAE求
等腰直角三角形PAB中PAABa
∴AEa
(2)作CM∥AB已知cosADC
∴tanADCCMDM
∴ABCM正方形ACaPCa
A作AH⊥PCRt△PAC中AH
面AD找点FPC⊥CF
取MD中点F△ACM△FCM均等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM45°+45°90°
∴FC⊥ACFC⊥PC∴AD存满足条件点F
［学法指导］立体中策略思想方法
立体中策略思想方法
年高考立体考查然注重空间观点建立空间想象力培养题目起点低步步升高层次学生发挥力余题综合性强组合体中深层次考查空间线面关系高考复应抓基概念定理表述语言基础总结空间线面关系体中确定方法入手突出数学思想方法解题中指导作积极探寻解答类立体问题效策略思想方法
领悟解题基策略思想
高考改革稳中变运基数学思想转化类函数观点考查中心选择典型例题基数学思想指导纳套合般思维规律解题模式受学生欢迎学生通熟练运逐步化验解决般基数学问题会然流畅
二探寻立体图形中基面
立体图形必须助面衬托点线面位置关系显露立起具体问题中证明计算常附某种特殊辅助面基面辅助面获取正解题关键通面截延展构造纲举目张问题迎刃解
三重视模型解题中应
学生学立体认识具体模型抽象出空间点线面关系培养空间想象力数学问题中许图形数量关系熟悉模型存着某种联系引导模型找出起关键作关系数量数学问题中题设条件突出特性设法原图形补形拼凑构造嵌入转化熟知形象直观模型利特征规律获取优解
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难点28 求空间距离
空间中距离求法历年高考考查重点中点点点线点面距离基础求种距离般化三种距离
●难点磁场
(★★★★)图已知ABCD矩形ABaADbPA⊥面ABCDPA2cQPA中点
求：(1)QBD距离
(2)P面BQD距离
●案例探究
［例1］正方形ABCD角线AC折起成直二面角点EF分ADBC中点点O原正方形中心求：
(1)EF长
(2)折起∠EOF
命题意图：考查利空间量坐标运算解决立体问题属★★★★级题目
知识托：空间量坐标运算数量积公式
错解分析：建立正确空间直角坐标系中必须保证x轴y轴z轴两两互相垂直
技巧方法：建系方式种中O点原点方分x轴y轴z轴正方简单
解：图O点原点建立空间直角坐标系O—xyz设正方形ABCD边长aA(0－a0)B(a00)C(0 a0)D(00 a)E(0－a a)F(a a0)
∴∠EOF120°
［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1棱长1求异面直线A1C1AB1间距离
命题意图：题考查异面直线间距离求法属★★★★级题目
知识托：求异面直线距离求两异面直线公垂线转化求线面距离面面距离值法求
错解分析：题容易错误认O1BA1CAB1距离异面直线定义熟悉异面直线距离两条异面直线垂直相交直线垂足间距离
技巧方法：求异面直线距离时较难作出公垂线通常采化思想转化求线面距面面距值法求
解法：图连结AC1正方体AC1中∵A1C1∥AC∴A1C1∥面AB1C∴A1C1面AB1C间距离等异面直线A1C1AB1间距离
连结B1D1BD设B1D1∩A1C1O1BD∩ACO
∵AC⊥BDAC⊥DD1∴AC⊥面BB1D1D
∴面AB1C⊥面BB1D1D连结B1O面AB1C∩面BB1D1DB1O
作O1G⊥B1OGO1G⊥面AB1C
∴O1G直线A1C1面AB1C间距离异面直线A1C1AB1间距离
Rt△OO1B1中∵O1B1OO11∴OB1
∴O1G异面直线A1C1AB1间距离
解法二：图A1C取点M作MN⊥AB1N作MR⊥A1B1R连结RN
∵面A1B1C1D1⊥面A1ABB1∴MR⊥面A1ABB1MR⊥AB1
∵AB1⊥RN设A1RxRB11－x
∵∠C1A1B1∠AB1A145°
∴MRxRNNB1
(0＜x＜1
∴x时MN值异面直线A1C1AB1距离
●锦囊妙记
空间中距离指七种：
(1)两点间距离
(2)点直线距离
(3)点面距离
(4)两条行线间距离
(5)两条异面直线间距离
(6)面行直线面间距离
(7)两行面间距离
七种距离指两点集间含两点距离中距离七种距离间密切联系相互转化两条行线距离转化求点直线距离行线面间距离行面间距离转化成点面距离
七种距离中求点面距离重点求两条异面直线间距离难点
求点面距离：(1)直接法直接点作垂线求垂线段长(2)转移法转化成求点该面距离(3)体积法
求异面直线距离：(1)定义法求公垂线段长(2)转化成求直线面距离(3)函数极值法两条异面直线距离分两条异面直线两点间距离中
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)正方形ABCD边长2EF分ABCD中点正方形EF折成直二面角(图)M矩形AEFD点果∠MBE∠MBCMB面BCF成角正切值点M直线EF距离( )
2(★★★★)三棱柱ABC—A1B1C1中AA11AB4BC3∠ABC90°设面A1BC1面ABC交线lA1C1l距离( )
A B C26 D24
二填空题
3(★★★★)左图空间四点ABCD中两点连线段长等a动点P线段AB动点Q线段CDPQ短距离_________
4(★★★★)右图ABCDABEF均正方形果二面角E—AB—C度数
30°EF面ABCD距离_________
三解答题
5(★★★★★)长方体ABCD—A1B1C1D1中AB4BC3CC12图：
(1)求证：面A1BC1∥面ACD1
(2)求(1)中两行面间距离
(3)求点B1面A1BC1距离
6(★★★★★)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1点E棱D1D截面EAC∥D1B面EAC底面ABCD成角45°ABa求：
(1)截面EAC面积
(2)异面直线A1B1AC间距离
(3)三棱锥B1—EAC体积
7(★★★★)图已知三棱柱A1B1C1—ABC底面边长2正三角形侧棱A1AABAC均成45°角A1E⊥B1BEA1F⊥CC1F
(1)求点A面B1BCC1距离
(2)AA1长时点A1面ABC面B1BCC1距离相等
8(★★★★★)图梯形ABCD中AD∥BC∠ABCAB ADa
∠ADCarccosPA⊥面ABCDPAa
(1)求异面直线ADPC间距离
(2)线段AD否存点F点A面PCF距离
参考答案
难点磁场
解：(1)矩形ABCD中作AE⊥BDE垂足
连结QE∵QA⊥面ABCD三垂线定理QE⊥BE
∴QE长QBD距离
矩形ABCD中ABaADb
∴AE
Rt△QAE中QAPAc
∴QE
∴QBD距离
(2)解法：∵面BQD线段PA中点
∴P面BQD距离等A面BQD距离
△AQE中作AH⊥QEH垂足
∵BD⊥AEBD⊥QE∴BD⊥面AQE ∴BD⊥AH
∴AH⊥面BQEAHA面BQD距离
Rt△AQE中∵AQcAE
∴AH
∴P面BD距离
解法二：设点A面QBD距离h
VA—BQDVQ—ABDS△BQD·hS△ABD·AQ
h
歼灭难点训练
1解析：点M作MM′⊥EFMM′⊥面BCF
∵∠MBE∠MBC
∴BM′∠EBC角分线
∴∠EBM′45°BM′MN
答案：A
2解析：交线lBAC行作CD⊥lD连C1DC1DA1C1l距离CD等AC高CDRt△C1CD中易求C1D26
答案：C
二3解析：ABCD顶点四边形空间四边形正四面体取PQ分ABCD中点AQBQa∴PQ⊥AB理PQ⊥CD线段PQ
长PQ两点间短距离Rt△APQ中PQa
答案：a
4解析：显然∠FAD二面角E—AB—C面角∠FAD30°F作FG⊥面ABCDGG必ADEF∥面ABCD
∴FGEF面ABCD距离FG
答案：
三5(1)证明：BC1∥AD1BC1∥面ACD1
理A1B∥面ACD1面A1BC1∥面ACD1
(2)解：设两行面A1BC1ACD1间距离dd等D1面A1BC1距离易求A1C15A1B2BC1cosA1BC1sinA1BC1SS·d·BB1代入求d两行面间距离
(3)解：线段B1D1面A1BC1分B1D1面A1BC1距离相等(2)知点B1面A1BC1距离等
6解：(1)连结DB交ACO连结EO
∵底面ABCD正方形
∴DO⊥ACED⊥面ABCD
∴EO⊥AC∠EOD45°
DOaACaEOa∴S△EACa
(2)∵A1A⊥底面ABCD∴A1A⊥ACA1A⊥A1B1
∴A1A异面直线A1B1AC间公垂线
EO∥BD1OBD中点∴D1B2EO2a
∴D1Da∴A1B1AC距离a
(3)连结B1D交D1BP交EOQ推证出B1D⊥面EAC
∴B1Q三棱锥B1—EAC高B1Qa
7解：(1)∵BB1⊥A1ECC1⊥A1FBB1∥CC1
∴BB1⊥面A1EF
面A1EF⊥面BB1C1C
Rt△A1EB1中
∵∠A1B1E45°A1B1a
∴A1Ea理A1FaEFa∴A1Ea
理A1FaEFa
∴△EA1F等腰直角三角形∠EA1F90°
A1作A1N⊥EFNEF中点A1N⊥面BCC1B1
A1N点A1面BCC1B1距离
∴A1N
∵AA1∥面BCC1BA面BCC1B1距离
∴a2∴求距离2
(2)设BCB1C1中点分DD1连结ADDD1A1D1DD1必点N易证ADD1A1行四边形
∵B1C1⊥D1DB1C1⊥A1N
∴B1C1⊥面ADD1A1
∴BC⊥面ADD1A1
面ABC⊥面ADD1A1A1作A1M⊥面ABC交ADM
A1MA1N∠A1AM∠A1D1N∠AMA1∠A1ND190°
∴△AMA1≌△A1ND1∴AA1A1D1AA1时满足条件
8解：(1)∵BC∥ADBC面PBC∴AD∥面PBC
ADPC间距离直线AD面PBC间距离
A作AE⊥PBAE⊥BC
∴AE⊥面PBCAE求
等腰直角三角形PAB中PAABa
∴AEa
(2)作CM∥AB已知cosADC
∴tanADCCMDM
∴ABCM正方形ACaPCa
A作AH⊥PCRt△PAC中AH
面AD找点FPC⊥CF
取MD中点F△ACM△FCM均等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM45°+45°90°
∴FC⊥ACFC⊥PC∴AD存满足条件点F
［学法指导］立体中策略思想方法
立体中策略思想方法
年高考立体考查然注重空间观点建立空间想象力培养题目起点低步步升高层次学生发挥力余题综合性强组合体中深层次考查空间线面关系高考复应抓基概念定理表述语言基础总结空间线面关系体中确定方法入手突出数学思想方法解题中指导作积极探寻解答类立体问题效策略思想方法
领悟解题基策略思想
高考改革稳中变运基数学思想转化类函数观点考查中心选择典型例题基数学思想指导纳套合般思维规律解题模式受学生欢迎学生通熟练运逐步化验解决般基数学问题会然流畅
二探寻立体图形中基面
立体图形必须助面衬托点线面位置关系显露立起具体问题中证明计算常附某种特殊辅助面基面辅助面获取正解题关键通面截延展构造纲举目张问题迎刃解
三重视模型解题中应
学生学立体认识具体模型抽象出空间点线面关系培养空间想象力数学问题中许图形数量关系熟悉模型存着某种联系引导模型找出起关键作关系数量数学问题中题设条件突出特性设法原图形补形拼凑构造嵌入转化熟知形象直观模型利特征规律获取优解
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