难点21 直线方程应
直线简单图形解析基础部分章基概念基公式直线方程种形式两直线行垂直重合判定解析重基础容应达熟练掌握灵活运程度线性规划直线方程方面应属教材新增容高考中单纯直线方程问题难直线方程知识综合问题学生较棘手
●难点磁场
(★★★★★)已知|a|＜1|b|＜1|c|＜1求证：abc+2＞a+b+c
●案例探究
［例1］某校年级配合素质教育利间教室作学生绘画成果展览室节约费利课桌作展台装画镜框放置桌斜展出已知镜框桌面倾斜角α(90°≤α＜180°)镜框中画边缘镜框边缘分相距a mb m(a＞b)问学生距离镜框缘远画效果佳？
命题意图：题非常实际数学问题仅考查直线关概念三角知识综合运更重考查实际问题转化数学问题力属★★★★★级题目
知识托：三角函数定义两点连线斜率公式等式法求值
错解分析：解决题处关重建立恰坐标系问题转化成解析问题求解二问题进步转化成求tanACB值果坐标系选择选择求sinACB值问题变复杂起
技巧方法：欲画效果佳应∠ACB取值欲求角值需求角三角函数值
解：建立图示直角坐标系AO镜框边AB画宽度O边缘点x轴正半轴找点C(x0)(x＞0)欲画效果佳应∠ACB取值
三角函数定义知：AB两点坐标分(acosαasinα)
(bcosαbsinα)直线ACBC斜率分：
kACtanxCA
tanACB
∠ACB锐角x＞0tanACB≤仅xx时等号成立时∠ACB取值应点C(0)学生距离镜框缘 cm处时视角画效果佳
［例2］预算2000元购买单件50元桌子20元椅子希桌椅总数椅子少桌子数桌子数15倍问桌椅买少行？
命题意图：利线性规划思想方法解决某实际问题属直线方程应题考查找出约束条件目标函数准确描画行域利图形直观求满足题设优解属
★★★★★级题目
知识托：约束条件目标函数行域优解
错解分析：解题中应注意问题中桌椅张数应然数隐含条件图形直观出优解满足题设时应作出相应调整直满足题设
技巧方法：先设出桌椅变数目标函数两变数行域求出优解
解：设桌椅分买xy张条件表示成等式组约束条件
∴A点坐标()
∴B点坐标(25)
满足约束条件行域A()B(25)O(00)顶点三角形区域(右图)
图形直观知目标函数zx+y行域优解(25)注意x∈Ny∈N*取y37
买桌子25张椅子37张选择
［例3］抛物线光学性质：焦点射出光线抛物线折射行抛物线称轴方射出抛物线y22px(p＞0)光源点M(4)处发出光线行抛物线轴方射抛物线点P折射射抛物线点Q折射行抛物线轴方射出途中遇直线l：2x－4y－170点N折射射回点M(图示)
(1)设PQ两点坐标分(x1y1)(x2y2)证明：y1·y2－p2
(2)求抛物线方程
(3)试判断抛物线否存点该点点M关PN直线称？存请求出点坐标存请说明理
命题意图：称问题直线方程重应题道物理中光学知识相结合综合性题目考查学生理解问题分析问题解决问题力属
★★★★★★级题目
知识托：韦达定理点关直线称直线关直线称直线点斜式方程两点式方程
错解分析：证明第(1)问题注意讨直线PQ斜率存时
技巧方法：点关直线称解决第(2)第(3)问关键
(1)证明：抛物线光学性质题意知
光线PQ必抛物线焦点F(0)
设直线PQ方程yk(x－) ①
①式xy+代入抛物线方程y22px中整理y2－y－p20韦达定理y1y2－p2
直线PQ斜率角90°时x代入抛物线方程y±p样y1·y2
－p2
(2)解：光线QN直线l反射射M点直线MN直线QN关直线l称设点M(4)关l称点M′(x′y′)
解
直线QN方程y－1Q点坐标y2－1
题设P点坐标y14(1)知：y1·y2－p24·(－1)－p2
p2求抛物线方程y24x
(3)解：y4代入y24xx4P点坐标(44)
y－1代入直线l方程2x－4y－170x
N点坐标(－1)
PN两点坐标直线PN方程2x+y－120
设M点关直线NP称点M1(x1y1)
M1(－1)坐标抛物线方程y24x解抛物线存点(－1)点M
关直线PN称
●锦囊妙计
1直线方程中基概念重点掌握直线方程特征值(指斜率截距)等问题直线行垂直条件距离关问题等
2称问题直线方程重应中学里面涉称般转化点关点点关直线称中点坐标公式两条直线垂直条件解决称问题重工具
3线性规划直线方程应线性规划中行域实际二元次等式(组)表示面区域求线性目标函数zax+by值值时设tax+by直线右(左)移时t值增(减)会行域中确定优解
4次函数图象条直线关函数数列等式复数等代数问题助直线方程进行考查学生综合力创新力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)设MMN关系( )
AM＞N BMN CM＜N D法判断
2(★★★★★)三边均整数边长11三角形数( )
A15 B30 C36 D
二填空题
3(★★★★)直线2x－y－40点P两定点A(4－1)B(34)距离差P点坐标_________
4(★★★★)点A(－33)发出光线l射x轴x轴反射反射光线直线圆x2+y2－4x－4y+70相切光线l直线方程_________
5(★★★★)函数f(θ)值_________值_________
6(★★★★★)设等式2x－1＞m(x2－1)切满足|m|≤2值均成立x范围_________
三解答题
7(★★★★★)已知原点O条直线函数ylog8x图象交AB两点分点AB作y轴行线函数ylog2x图象交CD两点
(1)证明：点CD原点O直线
(2)BC行x轴时求点A坐标
8(★★★★★)设数列{an}前n项Snna+n(n－1)b(n12…)ab常数b≠0
(1)证明：{an}等差数列
(2)证明：(an－1)坐标点Pn(n12…)落条直线写出直线方程
(3)设a1bC(rr)圆心r半径圆(r＞0)求点P1P2P3落圆C外时r取值范围
参考答案
难点磁场
证明：设线段方程yf(x)(bc－1)x+2－b－c中|b|＜1|c|＜1|x|＜1－1＜b＜1
∵f(－1)1－bc+2－b－c(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0
f(1)bc－1+2－b－c(1－b)(1－c)＞0
∴线段y(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)x轴方说|a|＜1|b|＜1|c|＜1时恒abc+2＞a+b+c
歼灭难点训练
1解析：问题转化较A(－1－1）B(102001102000）C(102002102001）连线斜率BC两点直线方程yx点A直线方∴kAB＞kACM＞N
答案：A
2解析：设三角形外两边长xy
点(xy）应右图示区域
x1时y11x2时y1011
x3时y91011x4时y891011
x5时y7891011
15xy调15加(66）(77）(88）(99）(1010）(1111）六组36
答案：C
二3解析：找A关l称点A′A′B直线l交点求P点
答案：P(56）
4解析：光线l直线圆x2+y2－4x－4y+70关x轴称圆相切
答案：3x+4y－304x+3y+30
5解析：f(θ)表示两点(cosθsinθ)(21)连线斜率
答案： 0
6解析：原等式变(x2－1)m+(1－2x)＜0构造线段f(m)(x2－1)m+1－2x－2≤m≤2f(－2)＜0f(2)＜0
答案：
三7(1)证明：设AB横坐标分x1x2题设知x1＞1x2＞1
点A(x1log8x1)B(x2log8x2)
AB点O直线点CD坐标分(x1log2x1）(x2log2x2)
log2x13log8x1log2x23log8x2
kOCkODOCD直线
(2)解：BC行x轴log2x1log8x2log2x13log8x1
∴x2x13
代入x13log8x13x1log8x1
x1＞1知log8x1≠0x133x1x2A(log8)
9(1)证明：条件a1S1an≥2时
anSn－Sn－1［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］a+2(n－1)b
n≥2时an－an－1［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］2b
{an}a首项2b公差等差数列
(2)证明：∵b≠0n≥2
∴点Pn(an－1)(n12…)落通P1(aa－1)斜率直线直线方程y－(a－1) (x－a)x－2y+a－20
(3)解：a1b时Pn坐标(n)P1(10)P2(2 )P3(31)落圆C外条件
①
②
③
等式①r≠1
等式②r＜－r＞+
等式③r＜4－r＞4+
注意r＞01＜－＜4－+＜4+
P1P2P3落圆C外时r取值范围(01)∪(1－)∪(4++∞)
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直线简单图形解析基础部分章基概念基公式直线方程种形式两直线行垂直重合判定解析重基础容应达熟练掌握灵活运程度线性规划直线方程方面应属教材新增容高考中单纯直线方程问题难直线方程知识综合问题学生较棘手
●难点磁场
(★★★★★)已知|a|＜1|b|＜1|c|＜1求证：abc+2＞a+b+c
●案例探究
［例1］某校年级配合素质教育利间教室作学生绘画成果展览室节约费利课桌作展台装画镜框放置桌斜展出已知镜框桌面倾斜角α(90°≤α＜180°)镜框中画边缘镜框边缘分相距a mb m(a＞b)问学生距离镜框缘远画效果佳？
命题意图：题非常实际数学问题仅考查直线关概念三角知识综合运更重考查实际问题转化数学问题力属★★★★★级题目
知识托：三角函数定义两点连线斜率公式等式法求值
错解分析：解决题处关重建立恰坐标系问题转化成解析问题求解二问题进步转化成求tanACB值果坐标系选择选择求sinACB值问题变复杂起
技巧方法：欲画效果佳应∠ACB取值欲求角值需求角三角函数值
解：建立图示直角坐标系AO镜框边AB画宽度O边缘点x轴正半轴找点C(x0)(x＞0)欲画效果佳应∠ACB取值
三角函数定义知：AB两点坐标分(acosαasinα)
(bcosαbsinα)直线ACBC斜率分：
kACtanxCA
tanACB
∠ACB锐角x＞0tanACB≤仅xx时等号成立时∠ACB取值应点C(0)学生距离镜框缘 cm处时视角画效果佳
［例2］预算2000元购买单件50元桌子20元椅子希桌椅总数椅子少桌子数桌子数15倍问桌椅买少行？
命题意图：利线性规划思想方法解决某实际问题属直线方程应题考查找出约束条件目标函数准确描画行域利图形直观求满足题设优解属
★★★★★级题目
知识托：约束条件目标函数行域优解
错解分析：解题中应注意问题中桌椅张数应然数隐含条件图形直观出优解满足题设时应作出相应调整直满足题设
技巧方法：先设出桌椅变数目标函数两变数行域求出优解
解：设桌椅分买xy张条件表示成等式组约束条件
∴A点坐标()
∴B点坐标(25)
满足约束条件行域A()B(25)O(00)顶点三角形区域(右图)
图形直观知目标函数zx+y行域优解(25)注意x∈Ny∈N*取y37
买桌子25张椅子37张选择
［例3］抛物线光学性质：焦点射出光线抛物线折射行抛物线称轴方射出抛物线y22px(p＞0)光源点M(4)处发出光线行抛物线轴方射抛物线点P折射射抛物线点Q折射行抛物线轴方射出途中遇直线l：2x－4y－170点N折射射回点M(图示)
(1)设PQ两点坐标分(x1y1)(x2y2)证明：y1·y2－p2
(2)求抛物线方程
(3)试判断抛物线否存点该点点M关PN直线称？存请求出点坐标存请说明理
命题意图：称问题直线方程重应题道物理中光学知识相结合综合性题目考查学生理解问题分析问题解决问题力属
★★★★★★级题目
知识托：韦达定理点关直线称直线关直线称直线点斜式方程两点式方程
错解分析：证明第(1)问题注意讨直线PQ斜率存时
技巧方法：点关直线称解决第(2)第(3)问关键
(1)证明：抛物线光学性质题意知
光线PQ必抛物线焦点F(0)
设直线PQ方程yk(x－) ①
①式xy+代入抛物线方程y22px中整理y2－y－p20韦达定理y1y2－p2
直线PQ斜率角90°时x代入抛物线方程y±p样y1·y2
－p2
(2)解：光线QN直线l反射射M点直线MN直线QN关直线l称设点M(4)关l称点M′(x′y′)
解
直线QN方程y－1Q点坐标y2－1
题设P点坐标y14(1)知：y1·y2－p24·(－1)－p2
p2求抛物线方程y24x
(3)解：y4代入y24xx4P点坐标(44)
y－1代入直线l方程2x－4y－170x
N点坐标(－1)
PN两点坐标直线PN方程2x+y－120
设M点关直线NP称点M1(x1y1)
M1(－1)坐标抛物线方程y24x解抛物线存点(－1)点M
关直线PN称
●锦囊妙计
1直线方程中基概念重点掌握直线方程特征值(指斜率截距)等问题直线行垂直条件距离关问题等
2称问题直线方程重应中学里面涉称般转化点关点点关直线称中点坐标公式两条直线垂直条件解决称问题重工具
3线性规划直线方程应线性规划中行域实际二元次等式(组)表示面区域求线性目标函数zax+by值值时设tax+by直线右(左)移时t值增(减)会行域中确定优解
4次函数图象条直线关函数数列等式复数等代数问题助直线方程进行考查学生综合力创新力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)设MMN关系( )
AM＞N BMN CM＜N D法判断
2(★★★★★)三边均整数边长11三角形数( )
A15 B30 C36 D
二填空题
3(★★★★)直线2x－y－40点P两定点A(4－1)B(34)距离差P点坐标_________
4(★★★★)点A(－33)发出光线l射x轴x轴反射反射光线直线圆x2+y2－4x－4y+70相切光线l直线方程_________
5(★★★★)函数f(θ)值_________值_________
6(★★★★★)设等式2x－1＞m(x2－1)切满足|m|≤2值均成立x范围_________
三解答题
7(★★★★★)已知原点O条直线函数ylog8x图象交AB两点分点AB作y轴行线函数ylog2x图象交CD两点
(1)证明：点CD原点O直线
(2)BC行x轴时求点A坐标
8(★★★★★)设数列{an}前n项Snna+n(n－1)b(n12…)ab常数b≠0
(1)证明：{an}等差数列
(2)证明：(an－1)坐标点Pn(n12…)落条直线写出直线方程
(3)设a1bC(rr)圆心r半径圆(r＞0)求点P1P2P3落圆C外时r取值范围
参考答案
难点磁场
证明：设线段方程yf(x)(bc－1)x+2－b－c中|b|＜1|c|＜1|x|＜1－1＜b＜1
∵f(－1)1－bc+2－b－c(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0
f(1)bc－1+2－b－c(1－b)(1－c)＞0
∴线段y(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)x轴方说|a|＜1|b|＜1|c|＜1时恒abc+2＞a+b+c
歼灭难点训练
1解析：问题转化较A(－1－1）B(102001102000）C(102002102001）连线斜率BC两点直线方程yx点A直线方∴kAB＞kACM＞N
答案：A
2解析：设三角形外两边长xy
点(xy）应右图示区域
x1时y11x2时y1011
x3时y91011x4时y891011
x5时y7891011
15xy调15加(66）(77）(88）(99）(1010）(1111）六组36
答案：C
二3解析：找A关l称点A′A′B直线l交点求P点
答案：P(56）
4解析：光线l直线圆x2+y2－4x－4y+70关x轴称圆相切
答案：3x+4y－304x+3y+30
5解析：f(θ)表示两点(cosθsinθ)(21)连线斜率
答案： 0
6解析：原等式变(x2－1)m+(1－2x)＜0构造线段f(m)(x2－1)m+1－2x－2≤m≤2f(－2)＜0f(2)＜0
答案：
三7(1)证明：设AB横坐标分x1x2题设知x1＞1x2＞1
点A(x1log8x1)B(x2log8x2)
AB点O直线点CD坐标分(x1log2x1）(x2log2x2)
log2x13log8x1log2x23log8x2
kOCkODOCD直线
(2)解：BC行x轴log2x1log8x2log2x13log8x1
∴x2x13
代入x13log8x13x1log8x1
x1＞1知log8x1≠0x133x1x2A(log8)
9(1)证明：条件a1S1an≥2时
anSn－Sn－1［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］a+2(n－1)b
n≥2时an－an－1［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］2b
{an}a首项2b公差等差数列
(2)证明：∵b≠0n≥2
∴点Pn(an－1)(n12…)落通P1(aa－1)斜率直线直线方程y－(a－1) (x－a)x－2y+a－20
(3)解：a1b时Pn坐标(n)P1(10)P2(2 )P3(31)落圆C外条件
①
②
③
等式①r≠1
等式②r＜－r＞+
等式③r＜4－r＞4+
注意r＞01＜－＜4－+＜4+
P1P2P3落圆C外时r取值范围(01)∪(1－)∪(4++∞)
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