难点38 分类讨思想
分类讨思想根研究象性质差异分种情况予分析解决分类讨题覆盖知识点较利考查学生知识面分类思想技巧时方式样具较高逻辑性强综合性树立分类讨思想应注重理解掌握分类原方法技巧做确定象全体明确分类标准分层类重复遗漏分析讨
●难点磁场
1（★★★★★）函数定义域极值点a取值
2（★★★★★）设函数f(x)x2+｜x–a｜+1x∈R
(1)判断函数f(x)奇偶性
(2)求函数f(x)值
●案例探究
［例1］已知{an}首项2公等数列Sn前n项
（1）Sn表示Sn+1
（2）否存然数ck成立
命题意图：题考查等数列等式知识探索证存性问题力属★★★★★级题目
知识托：解决题等式分析法转化放缩解简单分式等式数列基性质
错解分析：第2问中等式等价转化学生易错点确定出
技巧方法：题属探索性题型高考试题热点题型探讨第2问解法时采取优化结策略灵活运分类讨思想：双参数kc轮流分类讨获答案
解：（1）Sn4(1–）
(n∈N*)
（2）
(k∈N*)
Sk–2＜c＜Sk（k∈N*）
Sk+1＞Sk(k∈N*) ①
Sk–2≥S1–21
Sk＜4①成立c取23
c2时S12k1时c＜Sk成立①成立
k≥2时Sk＜Sk+1(k∈N*)
Sk–2＜Sk+1–2
k≥2时Sk–2＞c①成立
c3时S12S23
k1k2时c＜Sk成立①成立
Sk–2＜Sk+1–2
k≥3时Sk–2＞c①成立
综述存然数ck成立
［例2］出定点A（a0)（a＞0）直线l：x–1B直线l动点∠BOA角分线交AB点C求点C轨迹方程讨方程表示曲线类型a值关系
命题意图：题考查动点轨迹直线圆锥曲线基知识分类讨思想方法综合性较强解法较考查推理力综合运解析知识解题力属★★★★★级题目
知识托：求动点轨迹基方法步骤椭圆双曲线抛物线标准方程基特点
错解分析：题易错点考生巧妙助题意条件构建动点坐标应满足关系式分类讨轨迹方程表示曲线类型
技巧方法：精心思考发散思维途径角度题设条件出发探寻动点应满足关系式巧妙利角分线性质
解法：题意记B（–1b)(b∈R）直线OAOB方程分y0y–bx
设点C(xy)0≤x＜aOC分∠AOB知点COAOB距离相等
根点直线距离公式｜y｜ ①
题设点C直线AB
x–a≠0 ②
②式代入①式y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］0
y≠0
(1–a)x2–2ax+(1+a)y20(0＜x＜a)
y0b0∠AOBπ点C坐标（00）满足式
综点C轨迹方程
（1–a）x2–2ax+(1+a)y20(0＜x＜a
(i)a1时轨迹方程化y2x(0≤x＜1 ③
时方程③表示抛物线弧段
(ii)a≠1轨迹方程化
④
0＜a＜1时方程④表示椭圆弧段
a＞1时方程④表示双曲线支弧段
解法二：图设Dlx轴交点点C作CE⊥x轴E垂足
（i）｜BD｜≠0时
设点C(xy)0＜x＜ay≠0
CE∥BD
∵∠COA∠COB∠COD–∠BODπ–∠COA–∠BOD
∴2∠COAπ–∠BOD
∴
∵
∴整理
(1–a)x2–2ax+(1+a)y20(0＜x＜a)
(ii)｜BD｜0时∠BOAπ点C坐标(00)满足式
综合(i)(ii)点C轨迹方程
(1–a)x2–2ax+(1+a)y20(0≤x＜a)
解法
解法三：设C(xy)B(–1b)BO方程y–bx直线AB方程
∵b≠0时OC分∠AOB设∠AOCθ
∴直线OC斜率ktanθOC方程ykx
tan2θ–b
∴–b ①
∵C点AB
∴ ②
①②消b ③
代入③
整理(a–1)x2–(1+a)y2+2ax0 ④
b0时B点x轴时C(00)满足式：
a≠1时④式变
0＜a＜1时④表示椭圆弧段
a＞1时④表示双曲线支弧段
a1时④表示抛物线弧段
●锦囊妙计
分类讨思想定标准问题分类求解特注意分类必须满足互斥漏简原分类讨常见：
1概念涵分类绝值直线斜率指数数函数直线面夹角等定义包含分类
2公式条件分类等数列前n项公式极限计算圆锥曲线统定义中图形分类等
3实际意义分类排列组合概率中较常见明显应问题需分类讨
学中注意优化策略时利转化策略反证法补集法变更元法数形结合法等简化甚避开讨
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）已知中a∈Ra取值范围( )
Aa＜0 Ba＜2a≠–2
C–2＜a＜2 Da＜–2a＞2
2（★★★★★）四面体顶点棱中点10点中取4面点取法( )
A150种 B147种 C144种 D141种
二填空题
3（★★★★）已知线段AB面α外AB两点面α距离分13线段AB中点面α距离
4（★★★★★）已知集合A{x｜x2–3x+20}B{x｜x2–ax+(a–1)0}C{x｜x2–mx+20}A∪BAA∩CCa值 m取值范围
三解答题
5（★★★★）已知集合A{x｜x2+px+q0}B{x｜qx2+px+10}AB时满足：
①A∩B≠②A∩B{–2}求pq值
6（★★★★）已知直角坐标面点Q（20）圆C：x2+y21动点M圆C切线长｜MQ｜等常数λ(λ＞0)求动点M轨迹方程说明表示什曲线
7(★★★★★)已知函数yf(x)图象原点出发条折线n≤y≤n+1(n012…)时该图象斜率bn线段（中正常数b≠1）设数列{xn}f(xn)n(n12…)定义
（1）求x1x2xn表达式
（2）计算xn
（3）求f(x)表达式写出定义域
8（★★★★★）已知a＞0时函数f(x)ax–bx2
（1）b＞0时意x∈Rf(x)≤1证明a≤2b
（2）b＞1时证明：意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件b–1≤a≤2
（3）0＜b≤1时讨：意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：f(x)(a–1)x2+ax–0解
a–10时满足a–1≠0时需Δa2–(a–1)＞0
答案：a1
2解：(1)a0时函数f(–x)(–x)2+｜–x｜+1f(x)时f(x)偶函数
a≠0时f(a)a2+1f(–a)a2+2｜a｜+1f(–a)≠f(a)f(–a)≠–f(a)
时函数f(x)奇函数偶函数
（2）①x≤a时函数f(x)x2–x+a+1(x–)2+a+
a≤函数f(x)(–∞a］单调递减
函数f(x)（–∞a值f(a)a2+1
a＞函数f(x)（–∞a值f()+af()≤f(a)
②x≥a时函数f(x)x2+x–a+1(x+)2–a+
a≤–函数f(x)［a+∞］值f(–)–af(–)≤f(a)
a＞–函数f(x)［a+∞)单调递增
函数f(x)［a+∞］值f(a)a2+1
综a≤–时函数f(x)值–a
–＜a≤时函数f(x)值a2+1
a＞时函数f(x)值a+
●歼灭难点训练
1解析：分a2｜a｜＞2｜a｜＜2三种情况分验证
答案：C
2解析：取4点C210种取法四点面三类：（1）面6点4×C60种取面取法（2）相较4中点3种（3）条棱3点棱中点6种
答案：C
二3解析：分线段AB两端点面侧异侧两种情况解决
答案：12
4解析：A{12}B{x｜(x–1)(x–1+a)0}
A∪BA1–a11–a2
A∩CC知C{1}
答案：23 3（–22）
三5解：设x0∈Ax0x02+px0+q0根
x00A{–20}p2q0B{–}
时A∩B已知矛盾x0≠0
方程x02+px0+q0两边x02
满足B中方程∈B
∵A∩{–2}–2∈A–2∈
设A{–2x0}B{}x0≠2（否A∩B）
x0––2∈B–2B矛盾
A∩B≠∴x0x0±1
A{–21}A{–2–1}
方程x2+px+q0两相等实数根–21–2–1
∴
6解：图设MN切圆CN动点M组成集合P{M｜｜MN｜λ｜MQ｜λ＞0}
∵ON⊥MN｜ON｜1
∴｜MN｜2｜MO｜2–｜ON｜2｜MO｜2–1
设动点M坐标(xy)
（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)0
检验坐标适合方程点属集合P方程求轨迹方程
（1）λ1时方程x垂直x轴x轴相交点（0）直线
（2）λ≠1时方程化：
圆心半径圆
7解：（1）题意f(0)0f(x1)10≤y≤1函数yf(x)图象斜率b01线段
∴x11
f(x2)21≤y≤2时函数yf(x)图象斜率b线段
x2–x1
∴x21+
记x00函数yf(x)图象中第n段线段斜率bn–1
f(xn)nf(xn–1)n–1
∴xn–xn–1()n–1n12……
知数列{xn–xn–1}等数列首项1公
b≠1(xk–xk–1)
1++…+
xn
（2）（1）知b＞1时
0＜b＜1n→∞ xn趋穷xn存
（3）（1）知0≤y≤1时yx0≤x≤1时f(x)x
n≤y≤n+1xn≤x≤xn+1（1）知
f(x)n+bn(x–xn)(n12…)（2）知
b＞1时yf(x)定义域［0)
0＜b＜1时yf(x)定义域［0+∞)
8(1)证明：设意x∈Rf(x)≤1
∵
∴≤1
∵a＞0b＞0
∴a≤2
（2）证明：必性：
意x∈［01］｜f(x)｜≤1–1≤f(x）推出–1≤f(1)
a–b≥–1∴a≥b–1
意x∈［01］｜f(x)｜≤1f(x)≤1
b＞1推出f()≤1a·–1≤1
∴a≤2∴b–1≤a≤2
充分性：
b＞1a≥b–1意x∈［01］
推出ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1
ax–bx2≥–1
b＞1a≤2意x∈［01］推出ax–bx2≤2x–bx2≤1
ax–bx2≤1∴–1≤f(x)≤1
综b＞1时意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件b–1≤a≤2
(3)解：∵a＞00＜b≤1
∴x∈［01］f(x)ax–bx2≥–b≥–1
f(x)≥–1
f(x)≤1f(1)≤1a–b≤1
a≤b+1
a≤b+1f(x)≤(b+1)x–bx2≤1
f(x)≤1
a＞00＜b≤1时意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件a≤b+1
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难点38 分类讨思想
分类讨思想根研究象性质差异分种情况予分析解决分类讨题覆盖知识点较利考查学生知识面分类思想技巧时方式样具较高逻辑性强综合性树立分类讨思想应注重理解掌握分类原方法技巧做确定象全体明确分类标准分层类重复遗漏分析讨
●难点磁场
1（★★★★★）函数定义域极值点a取值
2（★★★★★）设函数f(x)x2+｜x–a｜+1x∈R
(1)判断函数f(x)奇偶性
(2)求函数f(x)值
●案例探究
［例1］已知{an}首项2公等数列Sn前n项
（1）Sn表示Sn+1
（2）否存然数ck成立
命题意图：题考查等数列等式知识探索证存性问题力属★★★★★级题目
知识托：解决题等式分析法转化放缩解简单分式等式数列基性质
错解分析：第2问中等式等价转化学生易错点确定出
技巧方法：题属探索性题型高考试题热点题型探讨第2问解法时采取优化结策略灵活运分类讨思想：双参数kc轮流分类讨获答案
解：（1）Sn4(1–）
(n∈N*)
（2）
(k∈N*)
Sk–2＜c＜Sk（k∈N*）
Sk+1＞Sk(k∈N*) ①
Sk–2≥S1–21
Sk＜4①成立c取23
c2时S12k1时c＜Sk成立①成立
k≥2时Sk＜Sk+1(k∈N*)
Sk–2＜Sk+1–2
k≥2时Sk–2＞c①成立
c3时S12S23
k1k2时c＜Sk成立①成立
Sk–2＜Sk+1–2
k≥3时Sk–2＞c①成立
综述存然数ck成立
［例2］出定点A（a0)（a＞0）直线l：x–1B直线l动点∠BOA角分线交AB点C求点C轨迹方程讨方程表示曲线类型a值关系
命题意图：题考查动点轨迹直线圆锥曲线基知识分类讨思想方法综合性较强解法较考查推理力综合运解析知识解题力属★★★★★级题目
知识托：求动点轨迹基方法步骤椭圆双曲线抛物线标准方程基特点
错解分析：题易错点考生巧妙助题意条件构建动点坐标应满足关系式分类讨轨迹方程表示曲线类型
技巧方法：精心思考发散思维途径角度题设条件出发探寻动点应满足关系式巧妙利角分线性质
解法：题意记B（–1b)(b∈R）直线OAOB方程分y0y–bx
设点C(xy)0≤x＜aOC分∠AOB知点COAOB距离相等
根点直线距离公式｜y｜ ①
题设点C直线AB
x–a≠0 ②
②式代入①式y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］0
y≠0
(1–a)x2–2ax+(1+a)y20(0＜x＜a)
y0b0∠AOBπ点C坐标（00）满足式
综点C轨迹方程
（1–a）x2–2ax+(1+a)y20(0＜x＜a
(i)a1时轨迹方程化y2x(0≤x＜1 ③
时方程③表示抛物线弧段
(ii)a≠1轨迹方程化
④
0＜a＜1时方程④表示椭圆弧段
a＞1时方程④表示双曲线支弧段
解法二：图设Dlx轴交点点C作CE⊥x轴E垂足
（i）｜BD｜≠0时
设点C(xy)0＜x＜ay≠0
CE∥BD
∵∠COA∠COB∠COD–∠BODπ–∠COA–∠BOD
∴2∠COAπ–∠BOD
∴
∵
∴整理
(1–a)x2–2ax+(1+a)y20(0＜x＜a)
(ii)｜BD｜0时∠BOAπ点C坐标(00)满足式
综合(i)(ii)点C轨迹方程
(1–a)x2–2ax+(1+a)y20(0≤x＜a)
解法
解法三：设C(xy)B(–1b)BO方程y–bx直线AB方程
∵b≠0时OC分∠AOB设∠AOCθ
∴直线OC斜率ktanθOC方程ykx
tan2θ–b
∴–b ①
∵C点AB
∴ ②
①②消b ③
代入③
整理(a–1)x2–(1+a)y2+2ax0 ④
b0时B点x轴时C(00)满足式：
a≠1时④式变
0＜a＜1时④表示椭圆弧段
a＞1时④表示双曲线支弧段
a1时④表示抛物线弧段
●锦囊妙计
分类讨思想定标准问题分类求解特注意分类必须满足互斥漏简原分类讨常见：
1概念涵分类绝值直线斜率指数数函数直线面夹角等定义包含分类
2公式条件分类等数列前n项公式极限计算圆锥曲线统定义中图形分类等
3实际意义分类排列组合概率中较常见明显应问题需分类讨
学中注意优化策略时利转化策略反证法补集法变更元法数形结合法等简化甚避开讨
●歼灭难点训练
选择题
1（★★★★）已知中a∈Ra取值范围( )
Aa＜0 Ba＜2a≠–2
C–2＜a＜2 Da＜–2a＞2
2（★★★★★）四面体顶点棱中点10点中取4面点取法( )
A150种 B147种 C144种 D141种
二填空题
3（★★★★）已知线段AB面α外AB两点面α距离分13线段AB中点面α距离
4（★★★★★）已知集合A{x｜x2–3x+20}B{x｜x2–ax+(a–1)0}C{x｜x2–mx+20}A∪BAA∩CCa值 m取值范围
三解答题
5（★★★★）已知集合A{x｜x2+px+q0}B{x｜qx2+px+10}AB时满足：
①A∩B≠②A∩B{–2}求pq值
6（★★★★）已知直角坐标面点Q（20）圆C：x2+y21动点M圆C切线长｜MQ｜等常数λ(λ＞0)求动点M轨迹方程说明表示什曲线
7(★★★★★)已知函数yf(x)图象原点出发条折线n≤y≤n+1(n012…)时该图象斜率bn线段（中正常数b≠1）设数列{xn}f(xn)n(n12…)定义
（1）求x1x2xn表达式
（2）计算xn
（3）求f(x)表达式写出定义域
8（★★★★★）已知a＞0时函数f(x)ax–bx2
（1）b＞0时意x∈Rf(x)≤1证明a≤2b
（2）b＞1时证明：意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件b–1≤a≤2
（3）0＜b≤1时讨：意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件
参 考 答 案
●难点磁场
1解析：f(x)(a–1)x2+ax–0解
a–10时满足a–1≠0时需Δa2–(a–1)＞0
答案：a1
2解：(1)a0时函数f(–x)(–x)2+｜–x｜+1f(x)时f(x)偶函数
a≠0时f(a)a2+1f(–a)a2+2｜a｜+1f(–a)≠f(a)f(–a)≠–f(a)
时函数f(x)奇函数偶函数
（2）①x≤a时函数f(x)x2–x+a+1(x–)2+a+
a≤函数f(x)(–∞a］单调递减
函数f(x)（–∞a值f(a)a2+1
a＞函数f(x)（–∞a值f()+af()≤f(a)
②x≥a时函数f(x)x2+x–a+1(x+)2–a+
a≤–函数f(x)［a+∞］值f(–)–af(–)≤f(a)
a＞–函数f(x)［a+∞)单调递增
函数f(x)［a+∞］值f(a)a2+1
综a≤–时函数f(x)值–a
–＜a≤时函数f(x)值a2+1
a＞时函数f(x)值a+
●歼灭难点训练
1解析：分a2｜a｜＞2｜a｜＜2三种情况分验证
答案：C
2解析：取4点C210种取法四点面三类：（1）面6点4×C60种取面取法（2）相较4中点3种（3）条棱3点棱中点6种
答案：C
二3解析：分线段AB两端点面侧异侧两种情况解决
答案：12
4解析：A{12}B{x｜(x–1)(x–1+a)0}
A∪BA1–a11–a2
A∩CC知C{1}
答案：23 3（–22）
三5解：设x0∈Ax0x02+px0+q0根
x00A{–20}p2q0B{–}
时A∩B已知矛盾x0≠0
方程x02+px0+q0两边x02
满足B中方程∈B
∵A∩{–2}–2∈A–2∈
设A{–2x0}B{}x0≠2（否A∩B）
x0––2∈B–2B矛盾
A∩B≠∴x0x0±1
A{–21}A{–2–1}
方程x2+px+q0两相等实数根–21–2–1
∴
6解：图设MN切圆CN动点M组成集合P{M｜｜MN｜λ｜MQ｜λ＞0}
∵ON⊥MN｜ON｜1
∴｜MN｜2｜MO｜2–｜ON｜2｜MO｜2–1
设动点M坐标(xy)
（x2–1)(x2+y2)–4λ2x+(4λ2+1)0
检验坐标适合方程点属集合P方程求轨迹方程
（1）λ1时方程x垂直x轴x轴相交点（0）直线
（2）λ≠1时方程化：
圆心半径圆
7解：（1）题意f(0)0f(x1)10≤y≤1函数yf(x)图象斜率b01线段
∴x11
f(x2)21≤y≤2时函数yf(x)图象斜率b线段
x2–x1
∴x21+
记x00函数yf(x)图象中第n段线段斜率bn–1
f(xn)nf(xn–1)n–1
∴xn–xn–1()n–1n12……
知数列{xn–xn–1}等数列首项1公
b≠1(xk–xk–1)
1++…+
xn
（2）（1）知b＞1时
0＜b＜1n→∞ xn趋穷xn存
（3）（1）知0≤y≤1时yx0≤x≤1时f(x)x
n≤y≤n+1xn≤x≤xn+1（1）知
f(x)n+bn(x–xn)(n12…)（2）知
b＞1时yf(x)定义域［0)
0＜b＜1时yf(x)定义域［0+∞)
8(1)证明：设意x∈Rf(x)≤1
∵
∴≤1
∵a＞0b＞0
∴a≤2
（2）证明：必性：
意x∈［01］｜f(x)｜≤1–1≤f(x）推出–1≤f(1)
a–b≥–1∴a≥b–1
意x∈［01］｜f(x)｜≤1f(x)≤1
b＞1推出f()≤1a·–1≤1
∴a≤2∴b–1≤a≤2
充分性：
b＞1a≥b–1意x∈［01］
推出ax–bx2≥b(x–x2)–x≥–x≥–1
ax–bx2≥–1
b＞1a≤2意x∈［01］推出ax–bx2≤2x–bx2≤1
ax–bx2≤1∴–1≤f(x)≤1
综b＞1时意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件b–1≤a≤2
(3)解：∵a＞00＜b≤1
∴x∈［01］f(x)ax–bx2≥–b≥–1
f(x)≥–1
f(x)≤1f(1)≤1a–b≤1
a≤b+1
a≤b+1f(x)≤(b+1)x–bx2≤1
f(x)≤1
a＞00＜b≤1时意x∈［01］｜f(x)｜≤1充条件a≤b+1
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