难点14 数列综合应问题
观年高考解答题中关数列试题出现频率较高仅函数方程等式复数相联系三角立体密切相关数列作特殊函数实际问题中着广泛应增长率减薄率银行信贷浓度匹配养老保险圆钢堆垒等问题求学熟练运关概念式外善观察题设特征联想关数学知识方法迅速确定解题方提高解数列题速度
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数yf(x)x处取值－ (t＞0)f(1)0
(1)求yf(x)表达式
(2)意实数x满足等式f(x)·g(x)+anx+bnxn+1［g(x)］项式n∈N*)试t表示anbn
(3)设圆Cn方程(x－an)2+(y－bn)2rn2圆CnCn+1外切(n123…){rn}项正数等数列记Sn前n圆面积求rnSn
●案例探究
［例1］社会效益济效益出发某投入资金进行生态环境建设发展旅游产业根规划年度投入800万元年投入年减少年度旅游业收入估计400万元该项建设旅游业促进作预计旅游业收入年会年增加
(1)设n年(年度第年)总投入an万元旅游业总收入bn万元写出anbn表达式
(2)少年旅游业总收入超总投入？
命题意图：题考查建立函数关系式数列求等式等基础知识考查综合运数学知识解决实际问题力题强区分度属应题型正年高考热点重点题型属★★★★★级题目
知识托：题函数思想指导数列知识工具涉函数建模数列求等式解法等知识点
错解分析：(1)问anbn实际两数列前n项易通项混淆(2)问解元二次等式解指数等式易出现偏差
技巧方法：正确审题深刻挖掘数量关系建立数量模型题灵魂(2)问中指数等式采换元法解等式常技巧
解：(1)第1年投入800万元第2年投入800×(1－)万元…第n年投入800×(1－)n－1万元n年总投入
an800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1800×(1－)k－1
4000×［1－()n］
第1年旅游业收入400万元第2年旅游业收入400×(1+)…第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元n年旅游业总收入
bn400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1400×()k－1
1600×［()n－1］
(2)设少n年旅游业总收入超总投入bn－an＞0：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0令x()n代入式：5x2－7x+2＞0解等式x＜x＞1(舍)()n＜n≥5
∴少5年旅游业总收入超总投入
［例2］已知Sn1++…+(n∈N*)设f(n)S2n+1－Sn+1试确定实数m取值范围切1然数n等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
命题意图：题考查应函数思想解决等式数列等问题需较强综合分析问题解决问题力属★★★★★级题目
知识托：题函数等式恒成立等问题组合起构思巧妙
错解分析：题学生容易求f(n)法求等式难处理
技巧方法：解决题关键f(n)(n∈N*)作n函数时等式恒成立转化：函数f(n)值［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2
解：∵Sn1++…+(n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)关n增函数
∴f(n) minf(2)
∴切1然数n等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立
m＞1m≠2
时设［logm(m－1)］2t t＞0
解0＜t＜1
0＜［logm(m－1)］2＜1
解m＞m≠2
●锦囊妙计
1解答数列综合题应性问题坚实基础知识良思维力分析解决问题力解答应性问题应充分运观察纳猜想手段建立出关等差()数列递推数列模型综合相关知识解决问题
2观年高考应题解决应题重点三关：
(1)事理关：需读懂题意明确问题实际背景需定阅读力
(2)文理关：需实际问题文字语言转化数学符号语言数学式子表达数学关系
(3)事理关：构建数学模型程中求考生数学知识检索力认定构建相应数学模型完成实际问题数学问题转化构建出数学模型正确问题解需较扎实基础知识较强数理力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)已知二次函数ya(a+1)x2－(2a+1)x+1a12…n…时抛物线x轴截线段长次d1d2…dn… (d1+d2+…+dn)值( )
A1 B2 C3 D4
二填空题
2(★★★★★)直角坐标系中O坐标原点P1(x1y1)P2(x2y2)第象限两点1x1x24次成等差数列1y1y28次成等数列△OP1P2面积_________
3(★★★★)盛满a升酒精容器里倒出b升然水加满倒出b升水加满样倒n次容器中纯酒精_________升
4(★★★★★)2000年3月5日九届五次会议政府工作报告：2001年国生产总值达95933亿元年增长73果十·五期间(2001年~2005年)年国生产总值年增长率增长十·五末国国年生产总值约_________亿元
三解答题
5(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a11a2r(r＞0){anan+1}公q(q＞0)等数列设bna2n－1+a2n(n12…)
(1)求出等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立q取值范围
(2)求bn中Snb1+b2+…+bn
(3)设r2192－1q求数列{}项项值
6(★★★★★)某公司全年利润b元中部分作奖金发n位职工奖金分配方案：首先职工工作业绩(工作业绩均相)1n排序第1位职工奖金元然余额n发第2位职工方法奖金逐发位职工剩余部分作公司发展基金
(1)设ak(1≤k≤n)第k位职工奖金金额试求a2a3knb表示ak(必证明)
(2)证明ak＞ak+1(k12…n－1)解释等式关分配原实际意义
(3)发展基金nb关记Pn(b)常数bn变化时求Pn(b)
7(★★★★)关资料1995年国工业废弃垃圾达74×108吨占5624方公里环保部门年回收处理1吨旧物资相处理减少4吨工业废弃垃圾节约开采种矿石20吨设环保部门1996年回收10万吨废旧物资计划年递增20回收量试问：
(1)2001年回收废旧物资少吨？
(2)1996年2001年节约开采矿石少吨(精确万吨)？
(3)1996年2001年节约少方公里土？
8(★★★★★)已知点序列An(xn0)n∈N中x10x2a(a＞0)A3线段A1A2中点A4线段A2A3中点…An线段An－2An－1中点…
(1)写出xnxn－1xn－2间关系式(n≥3)
(2)设anxn+1－xn计算a1a2a3推测数列{an}通项公式加证明
(3)求xn
参考答案
难点磁场
解：(1)设f(x)a(x－)2－f(1)0a1
∴f(x)x2－(t+2)x+t+1
(2)f(x)(x－1)［x－(t+1)］代入已知：
(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bnxn+1式意x∈R成立取x1xt+1分代入式：
t≠0解an［(t+1)n+1－1］bn［1－(t+1n)
(3)圆方程(x－an)2+(y－bn)2rn2(2)知an+bn1圆Cn圆心On直线x+y1圆Cn圆Cn+1相切rn+rn+1｜an+1－an｜(t+1)n+1
①
②
设{rn}公q
②÷①qt+1代入①rn
∴Snπ(r12+r22+…+rn2)［(t+1)2n－1］
歼灭难点训练
1解析：an时yn(n+1)x2－(2n+1)x+1
｜x1－x2｜dn∴d1+d2+…+dn
答案：A
二2解析：1x1x24次成等差数列：2x1x2+1x1+x25解x12x231y1y28次成等数列y12y2y1y28解y12y24
∴P1(22)P2(34)∴(34)
∴
答案：1
3解析：第次容器中纯酒精a－ba(1－)升第二次纯酒精a(1－)－a(1－)2升第n次纯酒精a(1－)n升
答案：a(1－)n
4解析：2001年2005年年国生产总值构成95933首项73公等数列∴a595933(1+73)4≈120000(亿元)
答案：120000
三
5解：(1)题意rqn－1+rqn＞rqn+1题设r＞0q＞0式：q2－q－1＜0解
＜q＜q＞00＜q＜
(2)∵b11+r≠0{bn}首项1+r公q等数列bn(1+r)qn1
q1时Snn(1+r)
式知n－202＞0n≥21(n∈N*)时Cnn增减
1＜Cn≤C211+225 ①
n－202＜0n≤20(n∈N*)时Cnn增减1＞Cn≥C201+－4 ②
综合①②两式知意然数nC20≤Cn≤C21{Cn}项C21225项C20－4
6解：(1)第1位职工奖金a1第2位职工奖金a2(1－)b第3位职工奖金a3(1－)2b…第k位职工奖金ak (1－)k－1b
(2)ak－ak+1(1－)k－1b＞0奖金分配方案体现劳分配吃锅饭原
(3)设fk(b)表示奖金发第k位职工剩余数f1(b)(1－)bf2(b)(1－)2b…fk(b)(1－)kbPn(b)fn(b)(1－)nb
7解：设an表示第n年废旧物资回收量Sn表示前n年废旧物资回收总量数列{an}10首项1+20公等数列
(1)a610(1+20)510×125248832≈25(万吨)
(2)S6992992≈993(万吨)
∴1996年2000年节约开采矿石20×993≈1986(万吨)
(3）1996年2001年减少工业废弃垃圾4×9933972(万吨)
∴1996年2001年节约：
≈3 方公里
8解：(1)n≥3时xn
推测an(－)n1a(n∈N)
证法：a1a＞0
(n≥2)
an(－)n1a
证法二：数学纳法证明：
(ⅰ)n1时a1x2－x1a(－)0a公式成立
(ⅱ)假设nk时公式成立ak(－)k－1a成立
nk+1时
ak+1xk+2－xk+1
(ⅰ)(ⅱ)知意n∈N公式an(－)n1a成立
(3)n≥3时xn(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1
an－1+an－2+…+a1
(2)知{an}公－等数列a
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观年高考解答题中关数列试题出现频率较高仅函数方程等式复数相联系三角立体密切相关数列作特殊函数实际问题中着广泛应增长率减薄率银行信贷浓度匹配养老保险圆钢堆垒等问题求学熟练运关概念式外善观察题设特征联想关数学知识方法迅速确定解题方提高解数列题速度
●难点磁场
(★★★★★)已知二次函数yf(x)x处取值－ (t＞0)f(1)0
(1)求yf(x)表达式
(2)意实数x满足等式f(x)·g(x)+anx+bnxn+1［g(x)］项式n∈N*)试t表示anbn
(3)设圆Cn方程(x－an)2+(y－bn)2rn2圆CnCn+1外切(n123…){rn}项正数等数列记Sn前n圆面积求rnSn
●案例探究
［例1］社会效益济效益出发某投入资金进行生态环境建设发展旅游产业根规划年度投入800万元年投入年减少年度旅游业收入估计400万元该项建设旅游业促进作预计旅游业收入年会年增加
(1)设n年(年度第年)总投入an万元旅游业总收入bn万元写出anbn表达式
(2)少年旅游业总收入超总投入？
命题意图：题考查建立函数关系式数列求等式等基础知识考查综合运数学知识解决实际问题力题强区分度属应题型正年高考热点重点题型属★★★★★级题目
知识托：题函数思想指导数列知识工具涉函数建模数列求等式解法等知识点
错解分析：(1)问anbn实际两数列前n项易通项混淆(2)问解元二次等式解指数等式易出现偏差
技巧方法：正确审题深刻挖掘数量关系建立数量模型题灵魂(2)问中指数等式采换元法解等式常技巧
解：(1)第1年投入800万元第2年投入800×(1－)万元…第n年投入800×(1－)n－1万元n年总投入
an800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1800×(1－)k－1
4000×［1－()n］
第1年旅游业收入400万元第2年旅游业收入400×(1+)…第n年旅游业收入400×(1+)n－1万元n年旅游业总收入
bn400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1400×()k－1
1600×［()n－1］
(2)设少n年旅游业总收入超总投入bn－an＞0：
1600×［()n－1］－4000×［1－()n］＞0令x()n代入式：5x2－7x+2＞0解等式x＜x＞1(舍)()n＜n≥5
∴少5年旅游业总收入超总投入
［例2］已知Sn1++…+(n∈N*)设f(n)S2n+1－Sn+1试确定实数m取值范围切1然数n等式：f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
命题意图：题考查应函数思想解决等式数列等问题需较强综合分析问题解决问题力属★★★★★级题目
知识托：题函数等式恒成立等问题组合起构思巧妙
错解分析：题学生容易求f(n)法求等式难处理
技巧方法：解决题关键f(n)(n∈N*)作n函数时等式恒成立转化：函数f(n)值［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2
解：∵Sn1++…+(n∈N*)
∴f(n+1)＞f(n)
∴f(n)关n增函数
∴f(n) minf(2)
∴切1然数n等式
f(n)＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2恒成立
＞［logm(m－1)］2－［log(m－1)m］2成立
m＞1m≠2
时设［logm(m－1)］2t t＞0
解0＜t＜1
0＜［logm(m－1)］2＜1
解m＞m≠2
●锦囊妙计
1解答数列综合题应性问题坚实基础知识良思维力分析解决问题力解答应性问题应充分运观察纳猜想手段建立出关等差()数列递推数列模型综合相关知识解决问题
2观年高考应题解决应题重点三关：
(1)事理关：需读懂题意明确问题实际背景需定阅读力
(2)文理关：需实际问题文字语言转化数学符号语言数学式子表达数学关系
(3)事理关：构建数学模型程中求考生数学知识检索力认定构建相应数学模型完成实际问题数学问题转化构建出数学模型正确问题解需较扎实基础知识较强数理力
●歼灭难点训练
选择题
1(★★★★★)已知二次函数ya(a+1)x2－(2a+1)x+1a12…n…时抛物线x轴截线段长次d1d2…dn… (d1+d2+…+dn)值( )
A1 B2 C3 D4
二填空题
2(★★★★★)直角坐标系中O坐标原点P1(x1y1)P2(x2y2)第象限两点1x1x24次成等差数列1y1y28次成等数列△OP1P2面积_________
3(★★★★)盛满a升酒精容器里倒出b升然水加满倒出b升水加满样倒n次容器中纯酒精_________升
4(★★★★★)2000年3月5日九届五次会议政府工作报告：2001年国生产总值达95933亿元年增长73果十·五期间(2001年~2005年)年国生产总值年增长率增长十·五末国国年生产总值约_________亿元
三解答题
5(★★★★★)已知数列{an}满足条件：a11a2r(r＞0){anan+1}公q(q＞0)等数列设bna2n－1+a2n(n12…)
(1)求出等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3(n∈N*)成立q取值范围
(2)求bn中Snb1+b2+…+bn
(3)设r2192－1q求数列{}项项值
6(★★★★★)某公司全年利润b元中部分作奖金发n位职工奖金分配方案：首先职工工作业绩(工作业绩均相)1n排序第1位职工奖金元然余额n发第2位职工方法奖金逐发位职工剩余部分作公司发展基金
(1)设ak(1≤k≤n)第k位职工奖金金额试求a2a3knb表示ak(必证明)
(2)证明ak＞ak+1(k12…n－1)解释等式关分配原实际意义
(3)发展基金nb关记Pn(b)常数bn变化时求Pn(b)
7(★★★★)关资料1995年国工业废弃垃圾达74×108吨占5624方公里环保部门年回收处理1吨旧物资相处理减少4吨工业废弃垃圾节约开采种矿石20吨设环保部门1996年回收10万吨废旧物资计划年递增20回收量试问：
(1)2001年回收废旧物资少吨？
(2)1996年2001年节约开采矿石少吨(精确万吨)？
(3)1996年2001年节约少方公里土？
8(★★★★★)已知点序列An(xn0)n∈N中x10x2a(a＞0)A3线段A1A2中点A4线段A2A3中点…An线段An－2An－1中点…
(1)写出xnxn－1xn－2间关系式(n≥3)
(2)设anxn+1－xn计算a1a2a3推测数列{an}通项公式加证明
(3)求xn
参考答案
难点磁场
解：(1)设f(x)a(x－)2－f(1)0a1
∴f(x)x2－(t+2)x+t+1
(2)f(x)(x－1)［x－(t+1)］代入已知：
(x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bnxn+1式意x∈R成立取x1xt+1分代入式：
t≠0解an［(t+1)n+1－1］bn［1－(t+1n)
(3)圆方程(x－an)2+(y－bn)2rn2(2)知an+bn1圆Cn圆心On直线x+y1圆Cn圆Cn+1相切rn+rn+1｜an+1－an｜(t+1)n+1
①
②
设{rn}公q
②÷①qt+1代入①rn
∴Snπ(r12+r22+…+rn2)［(t+1)2n－1］
歼灭难点训练
1解析：an时yn(n+1)x2－(2n+1)x+1
｜x1－x2｜dn∴d1+d2+…+dn
答案：A
二2解析：1x1x24次成等差数列：2x1x2+1x1+x25解x12x231y1y28次成等数列y12y2y1y28解y12y24
∴P1(22)P2(34)∴(34)
∴
答案：1
3解析：第次容器中纯酒精a－ba(1－)升第二次纯酒精a(1－)－a(1－)2升第n次纯酒精a(1－)n升
答案：a(1－)n
4解析：2001年2005年年国生产总值构成95933首项73公等数列∴a595933(1+73)4≈120000(亿元)
答案：120000
三
5解：(1)题意rqn－1+rqn＞rqn+1题设r＞0q＞0式：q2－q－1＜0解
＜q＜q＞00＜q＜
(2)∵b11+r≠0{bn}首项1+r公q等数列bn(1+r)qn1
q1时Snn(1+r)
式知n－202＞0n≥21(n∈N*)时Cnn增减
1＜Cn≤C211+225 ①
n－202＜0n≤20(n∈N*)时Cnn增减1＞Cn≥C201+－4 ②
综合①②两式知意然数nC20≤Cn≤C21{Cn}项C21225项C20－4
6解：(1)第1位职工奖金a1第2位职工奖金a2(1－)b第3位职工奖金a3(1－)2b…第k位职工奖金ak (1－)k－1b
(2)ak－ak+1(1－)k－1b＞0奖金分配方案体现劳分配吃锅饭原
(3)设fk(b)表示奖金发第k位职工剩余数f1(b)(1－)bf2(b)(1－)2b…fk(b)(1－)kbPn(b)fn(b)(1－)nb
7解：设an表示第n年废旧物资回收量Sn表示前n年废旧物资回收总量数列{an}10首项1+20公等数列
(1)a610(1+20)510×125248832≈25(万吨)
(2)S6992992≈993(万吨)
∴1996年2000年节约开采矿石20×993≈1986(万吨)
(3）1996年2001年减少工业废弃垃圾4×9933972(万吨)
∴1996年2001年节约：
≈3 方公里
8解：(1)n≥3时xn
推测an(－)n1a(n∈N)
证法：a1a＞0
(n≥2)
an(－)n1a
证法二：数学纳法证明：
(ⅰ)n1时a1x2－x1a(－)0a公式成立
(ⅱ)假设nk时公式成立ak(－)k－1a成立
nk+1时
ak+1xk+2－xk+1
(ⅰ)(ⅱ)知意n∈N公式an(－)n1a成立
(3)n≥3时xn(xn－xn－1)+(xn－1－xn－2)+…+(x2－x1)+x1
an－1+an－2+…+a1
(2)知{an}公－等数列a
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