中学高考——2014·福建卷（理科数学）

2014·福建卷(理科数学)
1．[2014·福建卷] 复数z＝(3－2i)i轭复数z等(　　)
　 　　　　　 　　　　　 　　　　

A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
1．C　[解析] 复数z＝(3－2i)i＝2＋3i复数z轭复数z＝2－3i
2．[2014·福建卷] 某空间体正视图三角形该体(　　)
A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱
2．A　[解析] 空间体三视图知圆柱正视图侧视图俯视图三角形．
3．[2014·福建卷] 等差数列{an}前n项Sna1＝2S3＝12a6等(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
3．C　[解析] 设等差数列{an}公差d等差数列前n项公式S3＝3×2＋d＝12解d＝2
a6＝a1＋(6－1)d＝2＋5×2＝12
4．[2014·福建卷] 函数y＝logax(a>0a≠1)图图1­1示列函数图正确(　　)

图1­1

　　　　A　　　　　　　　　　　B

　　　　C　　　　　　　　　　　D图1­2

4．B　[解析] 函数y＝logax图点(31)a＝3
选项A中函数y＝函数图正确选项B中函数y＝x3函数图正确选项C中函数y＝(－x)3函数图正确选项D中函数y＝log3(－x)函数图正确．

图1­3
5．[2014·福建卷] 阅读图1­3示程序框图运行相应程序输出S值等(　　)
A．18
B．20
C．21
D．40
5．B　[解析] 输入S＝0n＝1第次循环S＝0＋2＋1＝3n＝2
第二次循环S＝3＋22＋2＝9n＝3
第三次循环S＝9＋23＋3＝20n＝4满足S≥15结束循环输出S＝20
6．[2014·福建卷] 直线l：y＝kx＋1圆O：x2＋y2＝1相交AB两点k＝1△OAB面积(　　)
A．充分必条件
B．必充分条件
C．充分必条件
D．充分必条件
6．A　[解析] 直线l圆O相交圆心O直线l距离d＝<1解k≠0
k＝1时d＝|AB|＝2＝△OAB面积××＝
k＝－1时理△OAB面积k＝1△OAB面积充分必条件．
7．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝列结正确(　　)
A．f(x)偶函数
B．f(x)增函数
C．f(x)周期函数
D．f(x)值域[－1＋∞)
7．D　[解析] 函数f(x)解析式知f(1)＝2f(－1)＝cos(－1)＝cos 1f(1)≠f(－1)f(x)偶函数
x>0时令f(x)＝x2＋1f(x)区间(0＋∞)增函数函数值f(x)>1
x≤0时f(x)＝cos xf(x)区间(－∞0]单调函数函数值f(x)∈[－11]
∴函数f(x)单调函数周期函数值域[－1＋∞)．
8．[2014·福建卷] 列量组中量a＝(32)表示出(　　)
A．e1＝(00)e2＝(12)
B．e1＝(－12)e2＝(5－2)
C．e1＝(35)e2＝(610)
D．e1＝(2－3)e2＝(－23)
8．B　[解析] 量线定理选项ACD中量组线量作基底选项B中量组线作基底选B
9．[2014·福建卷] 设PQ分圆x2＋(y－6)2＝2椭圆＋y2＝1点PQ两点间距离(　　)
A．5 B＋
C．7＋ D．6
9．D　[解析] 设圆心点C圆x2＋(y－6)2＝2圆心C(06)半径r＝设点Q(x0y0)椭圆意点＋y＝1x＝10－10y
∴|CQ|＝＝＝
y0＝－时|CQ|值5　
PQ两点间距离5　＋r＝6　
10．[2014·福建卷] a代表红球b代表蓝球c代表黑球．加法原理法原理1红球1蓝球中取出干球取法(1＋a)(1＋b)展开式1＋a＋b＋ab表示出：1表示球取a表示取出红球ab表示红球蓝球取出．类推列式中展开式表示5区红球5区蓝球5区黑球中取出干球蓝球取出取出取法(　　)
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
10．A　 [解析] 5区红球中取出干球1球取取12345球6种情况取法1＋a＋a2＋a3＋a4＋a55区蓝球中取出干球蓝球取出取出取法1＋b55区黑球中取出干球1球取取12345球6种情况取法1＋Cc＋Cc2＋Cc3＋Cc4＋Cc5＝(1＋c)5根分步法计数原理适合求取法(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
11．[2014·福建卷] 变量xy满足约束条件z＝3x＋y值________．
11．1　[解析] 作出等式组表示面区域(图示)

z＝3x＋y变形y＝－3x＋z直线y＝3x＋z点(01)时z点(01)代入z＝3x＋yzmin＝1z＝3x＋y值1
12．[2014·福建卷] △ABC中A＝60°AC＝4BC＝2　△ABC面积等________．
12．2　　[解析] ＝sin B＝＝1
∴B＝90°C＝180°－(A＋B)＝30°
S△ABC＝·AC·BCsin C＝×4×2sin 30°＝2△ABC面积等2
13．[2014·福建卷] 制作容积4 m3高1 m盖长方体容器．已知该容器底面造价方米20元侧面造价方米10元该容器低总造价________(单位：元)．
13．160　[解析] 设底面矩形边长x容器容积4 m3高1 m边长 m
记容器总造价y元
y＝4×20＋2×1×10
＝80＋20
≥80＋20×2
＝160(元)
仅x＝x＝2时等号成立．
x＝2时y取值160元
容器低总造价160元．

图1­4
14．[2014·福建卷] 图1­4边长e(e然数底数)正方形中机撒粒黄豆落阴影部分概率________．
14　[解析] 函数y＝ln x图函数y＝ex图关正方形角线直线y＝x称图中两块阴影部分面积
S＝2ln xdx＝2(xln x－x)1＝2[(eln e－e)－(ln 1－1)]＝2
根概型概率公式该粒黄豆落阴影部分概率P＝
15．[2014·福建卷] 集合{abcd}＝{1234}列四关系：
①a＝1②b≠1③c＝2④d≠4正确符合条件序数组(abcd)数________．
15．6　[解析] ①正确②③④正确b≠1正确b＝1a＝1矛盾①正确
②正确①③④正确④正确d＝4a≠1b≠1c≠2满足条件序数组a＝3b＝2c＝1d＝4a＝2b＝3c＝1d＝4
③正确①②④正确④正确d＝4②正确b＝1满足条件序数组a＝3b＝1c＝2d＝4
④正确①②③正确②正确b＝1a≠1c≠2d≠4满足条件序数组a＝2b＝1c＝4d＝3a＝3b＝1c＝4d＝2a＝4b＝1c＝3d＝2
综述满足条件序数组数6
16．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－
(1)0<α(2)求函数f(x)正周期单调递增区间．
16．解：方法：(1)0<αf(α)＝×－
＝
(2)f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin
T＝＝π
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Z
kπ－≤x≤kπ＋k∈Z
f(x)单调递增区间k∈Z
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin
(1)0<αf(α)＝sin＝sin＝
(2)T＝＝π
2kπ－≤2x＋≤2kπ＋k∈Zkπ－≤x≤kπ＋k∈Z
f(x)单调递增区间k∈Z
17．[2014·福建卷] 面四边形ABCD中AB＝BD＝CD＝1AB⊥BDCD⊥BD△ABDBD折起面ABD⊥面BCD图1­5示．
(1)求证：AB⊥CD
(2)MAD中点求直线AD面MBC成角正弦值．

图1­5
17．解：(1)证明：∵面ABD⊥面BCD面ABD∩面BCD＝BDAB⊂面ABDAB⊥BD∴AB⊥面BCD
CD⊂面BCD∴AB⊥CD
(2)点B面BCD作BE⊥BD

(1)知AB⊥面BCDBE⊂面BCDBD⊂面BCD∴AB⊥BEAB⊥BD
B坐标原点分方x轴y轴z轴正方建立空间直角坐标系(图示)．
题意B(000)C(110)D(010)A(001)M
＝(110)＝＝(01－1)．
设面MBC法量n＝(x0y0z0)

取z0＝1面MBC法量n＝(1－11)．
设直线AD面MBC成角θ
sin θ＝＝＝
直线AD面MBC成角正弦值
18．[2014·福建卷] 回馈顾客某商场拟通摸球兑奖方式1000位顾客进行奖励规定：位顾客装4标面值球袋中次性机摸出2球球标面值该顾客获奖励额．
(1)袋中装4球中1标面值50元余3均10元求：
　(i)顾客获奖励额60元概率
　(ii)顾客获奖励额分布列数学期．
(2)商场奖励总额预算60 000元规定袋中4球标面值10元50元两种球组成标面值20元40元两种球组成．顾客奖励总额符合商场预算位顾客获奖励额相均衡请袋中4球面值出合适设计说明理．
18．解：(1)设顾客获奖励额X
(i)题意P(X＝60)＝＝
顾客获奖励额60元概率
(ii)题意X取值2060
P(X＝60)＝
P(X＝20)＝＝
X分布列

X
20
60

P
05
05
顾客获奖励额期E(X)＝20×05＋60×05＝40(元)．
(2)根商场预算顾客均奖励额60元．先寻找期60元方案．面值10元50元组成情况果选择(10101050)方案60元面值值期60元果选择(50505010)方案60元面值值期60元方案(10105050)记方案1
面值20元40元组成情况理排(20202040)(40404020)方案方案(20204040)记方案2
两方案分析：
方案1方案(10105050)设顾客获奖励额X1X1分布列
X1
20
60
100
P



X1期E(X1)＝20×＋60×＋100×＝60
X1方差D(X1)＝(20－60)2×＋(60－60)2×＋(100－60)2×＝
方案2方案(20204040)设顾客获奖励额X2X2分布列

X2
40
60
80
P



X2期E(X2)＝40×＋60×＋80×＝60
X2方差D(X2)＝(40－60)2×＋(60－60)2×＋(80－60)2×＝
两种方案奖励额期符合求方案2奖励额方差方案1应该选择方案2
19．[2014·福建卷] 已知双曲线E：－＝1(a>0b>0)两条渐线分l1：y＝2xl2：y＝－2x
(1)求双曲线E离心率．
(2)图1­6O坐标原点动直线l分交直线l1l2AB两点(AB分第四象限)△OAB面积恒8试探究：否存总直线l公点双曲线E？存求出双曲线E方程存说明理．


图1­6
19．解：方法：
(1)双曲线E渐线分y＝2xy＝－2x
＝2
＝2
c＝a
双曲线E离心率
e＝＝
(2)(1)知双曲线E方程－＝1
设直线lx轴相交点C
l⊥x轴时直线l双曲线E公点|OC|＝a|AB|＝4a△OAB面积8

|OC|·|AB|＝8
a·4a＝8解a＝2
时双曲线E方程－＝1
存满足条件双曲线EE方程－＝1
证明：直线lx轴垂直时双曲线E：－＝1满足条件．
设直线l方程y＝kx＋m题意k>2k<－2C记A(x1y1)B(x2y2)．
y1＝理y2＝
S△OAB＝|OC|·|y1－y2|
·＝8
m2＝4＝4(k2－4)．
(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0
4－k2<0
Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
m2＝4(k2－4)
Δ＝0l双曲线E公点．
存总l公点双曲线EE方程－＝1
方法二：(1)方法．
(2)(1)知双曲线E方程－＝1
设直线l方程x＝my＋tA(x1y1)B(x2y2)．
题意－y1＝ 理y2＝
设直线lx轴相交点CC(t0)．
S△OAB＝|OC|·|y1－y2|＝8|t|·＝8
t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)．
(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0
4m2－1<0直线l双曲线E公点仅Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝04m2a2＋t2－a2＝0 4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0(1－4m2)(a2－4)＝0
a2＝4
存总l公点双曲线EE方程－＝1
方法三：(1)方法．
(2)直线lx轴垂直时设直线l方程y＝kx＋mA(x1y1)B(x2y2)．题意k>2k<－2
(4－k2)x2－2kmx－m2＝0
4－k2<0Δ>0x1x2＝
△OAB面积8
|OA|·|OB|· sin∠AOB＝8易知sin∠AOB＝
·＝8化简x1x2＝4
＝4m2＝4(k2－4)．
(1)双曲线E方程－＝1
(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0
4－k2<0直线l双曲线E公点仅Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0
(k2－4)(a2－4)＝0a2＝4
双曲线E方程－＝1
l⊥x轴时△OAB面积等8l：x＝2易知l：x＝2双曲线E：－＝1公点．
综述存总l公点双曲线EE方程－＝1
20．[2014·福建卷] 已知函数f(x)＝ex－ax(a常数)图y轴交点A曲线y＝f(x)点A处切线斜率－1
(1)求a值函数f(x)极值
(2)证明：x>0时x2(3)证明：意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x220．解：方法：(1)f(x)＝ex－axf ′(x)＝ex－a
f ′(0)＝1－a＝－1a＝2
f(x)＝ex－2xf ′(x)＝ex－2
令f ′(x)＝0x＝ln 2
xx>ln 2时f ′(x)>0f(x)单调递增．
x＝ln 2时f(x)取极值
极值f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4
f(x)极值．
(2)证明：令g(x)＝ex－x2g′(x)＝ex－2x
(1)g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0
g(x)R单调递增g(0)＝1>0
x>0时g(x)>g(0)>0x2(3)证明：①c≥1ex≤cex(2)知x>0时x2x>0时x2取x0＝0x∈(x0＋∞)时恒x2②01等式x2kx2成立．
ex>kx2成立x>ln(kx2)x>2ln x＋ln k成立．
令h(x)＝x－2ln x－ln kh′(x)＝1－＝
x>2时h′(x)>0h(x)(2＋∞)单调递增．
取x0＝16k>16h(x)(x0＋∞)单调递增．
h(x0)＝16k－2ln(16k)－ln k＝8(k－ln 2)＋3(k－ln k)＋5k
易知k>ln kk>ln 25k>0h(x0)>0
存x0＝x∈(x0＋∞)时恒x2综意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x2方法二：(1)方法．
(2)方法．
(3)意定正数c取x0＝
(2)知x>0时ex>x2ex＝e·e>·
x>x0时ex>>＝x2
意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x2方法三：(1)方法．
(2)方法．
(3)首先证明x∈(0＋∞)时恒x3证明：
令h(x)＝x3－exh′(x)＝x2－ex
(2)知x>0时x2h′(x)<0h(x)(0＋∞)单调递减
h(x)取x0＝x>x0时x2意定正数c总存x0x∈(x0＋∞)时恒x221．[2014·福建卷] (Ⅰ)选修4­2：矩阵变换
已知矩阵A逆矩阵A－1＝)．
(1)求矩阵A
(2)求矩阵A－1特征值属特征值特征量．
(Ⅰ)解：(1)矩阵A矩阵A－1逆矩阵＝2×2－1×1＝3≠0
A＝＝))
(2)矩阵A－1特征项式f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)令f(λ)＝0矩阵A－1特征值λ1＝1λ2＝3ξ1＝)矩阵A－1属特征值λ1＝1特征量ξ2＝)矩阵A－1属特征值λ2＝3特征量．
(Ⅱ)选修4­4：坐标系参数方程
已知直线l参数方程(t参数)圆C参数方程(θ参数)．
(1)求直线l圆C普通方程
(2)直线l圆C公点求实数a取值范围．
(Ⅱ)解：(1)直线l普通方程2x－y－2a＝0
圆C普通方程x2＋y2＝16
(2)直线l圆C公点
圆C圆心直线l距离d＝≤4
解－2≤a≤2
(Ⅲ)选修4­5：等式选讲
已知定义R函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|值a
(1)求a值
(2)pqr正实数满足p＋q＋r＝a求证：p2＋q2＋r2≥3
(Ⅲ)解：(1)|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3
仅－1≤x≤2时等号成立
f(x)值等3a＝3
(2)(1)知p＋q＋r＝3pqr正实数
(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9
p2＋q2＋r2≥3

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