立体专题191 线线角线面角二面角基概念
（4套5页含答案）
知识点：
异面直线成角：
直线ab异面直线空间点O作直线a′b′
________________a′b′成______________
做异面直线ab成角(夹角)．
果两条直线成角________说
两条异面直线互相垂直两条异面直线成角取值范围_______．
求异面直线夹角时候般直线移相交然计算
答案：（ 答案：a′∥a b′∥b 锐角(直角) 直角 (0°90°]
答案：［0°90°］（0°90°］［0°180°］［0°180°）[0°90°]［0°180°］
）
典型例题：
1 图正方体ABCD－A1B1C1D1中
①ACDD1成角________度． ②ACD1C1成角________度．
③ACB1D1成角________度． ④ACA1B成角________度．
⑤OB1D1中点ACBO成角________度．
⑥A1BB1D1成角____ 答案：①90°②45°③90°④60°⑤90°⑥60°
[解析] ①DD1⊥面ABCD∴DD1⊥AC
②D1C1∥DC∠DCA＝45°∴D1C1AC成45°角
③B1D1∥BDBD⊥AC∴B1D1⊥AC
④A1B∥D1C△D1AC等边三角形∴成60°角
⑤正方体中∵OB1D1中点∴OA1C1中点
A1B＝BC1∴BO⊥A1C1
AC∥A1C1∴BO⊥AC∴ACBO成90°角
⑥B1D1∥BD△A1BD等边三角形∴成60°角．
____度．
堂练：
1 正方体纸盒展开图示原正方体纸盒中结：
①AB⊥EF ②ABCM成角60° ③EFMN异面直线 ④MN∥CD．
结中正确结序号___ 答案：①③
解析 正方体面展开图原原正方体图示AB⊥EFEFMN异面直线AB∥CMMN⊥CD①③正确．
_____．
知识点2：
直线面成角：
(1)
定义：面条斜线面________成________做条直线面成角．
图示________斜线AP面α成角．
(2)直线AP面垂直时成角度数90°
直线面行面时成角度数________线面角θ范围：________．
（ 答案：射影 锐角 ∠PAO
）
典型例题2：
1 正方体ABCD－A1B1C1D1中
(1)直线A1B面ABCD成角________
(2)直线A1B面ABC1D1成角________
(3)直线A1B面AB1C1D成角____ 答案：(1)45° (2)30° (3)90°
解析
(1)线面角定义知∠A1BAA1B面ABCD成角∠A1BA＝45°．
(2)连接A1DAD1交点O
易证A1D⊥面ABC1D1A1B面ABC1D1射影OB
∴A1B面ABC1D1成角∠A1BO
∵A1O＝A1B
∴∠A1BO＝30°．
(3)∵A1B⊥AB1A1B⊥B1C1
∴A1B⊥面AB1C1DA1B面AB1C1D成角90°．
____．
堂练2：
1 图示四棱锥P－ABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDPA＝5AB＝4AD＝3求直线PC面ABCD成角． [分析] 找PC面ABCD射影AC∠PCA直线PC面ABCD成角．
[解析] 图连接ACPA⊥面ABCDACPC面ABCD射影
∠PCAPC面ABCD成角．
△PAC中PA⊥ACPA＝5AC＝＝＝5
∠PCA＝45°直线PC面ABCD成角45°
知识点3：
二面角：
(1)二面角：条直线出发________________组成图形做二面角．
________________做二面角棱．________________________做二面角面．
(2)二面角面角
图：二面角α－l－β棱l取点O点O________半面αβ分作垂直棱l射线OAOB射线OAOB构成________做二面角面角．二面角范围：
注意：掌握两种求二面角方法
注意：
（1）意两条直线夹角范围：________ （2）两条异面直线夹角范围：________
（3）两量成夹角范围：________ （4）线面角范围：________
（5）二面角范围：________
答案：（ 答案：0° [0°180°]
）
典型例题3：
1 二面角指( 答案：C
)
A两面相交组成角 B条直线两面组成图形
C条直线出发两半面组成图形 D两面夹90°角
2 图四边形ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a
(1)二面角A－PD－C度数________(2)二面角B－PA－D度数________
(3)二面角B－PA－C度数________(4)二面角B－PC－D度数_____ [答案] 90°90°45°120°
[解析] (1)PA⊥面ABCD∴PA⊥CD
四边形ABCD正方形∴CD⊥AD∴CD⊥面PAD
CD⊂面PCD∴面PAD⊥面PCD∴二面角A－PD－C90°
(2)∵PA⊥面ABCD∴AB⊥PAAD⊥PA∴∠BAD二面角B－AP－D面角．
∠BAD＝90°∴二面角B－AP－D90°
(3)PA⊥面ABCD∴AB⊥PAAC⊥PA∴∠BAC二面角B－PA－C面角
四边形ABCD正方形∴∠BAC＝45°二面角B－PA－C45°
(4)作BE⊥PCE连DE
△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE
△PBE≌△PDE
∴∠DEP＝∠BEP＝90°BE＝DE
∴∠BED二面角B－PC－D面角．
∵PA⊥面ABCD∴PA⊥BCAB⊥BC
∴BC⊥面PAB∴BC⊥PB
∴BE＝＝aBD＝a
∴取BD中点Osin∠BEO＝＝
∴∠BEO＝60°∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D度数120°
___．
堂练3：
1 列命题中：
①两相交面组成图形做二面角
②异面直线ab分二面角两面垂直ab成角二面角相等互补
③二面角面角棱点出发分两面作射线成角角
④二面角面角顶点棱位置没关系
中正确( [答案] B
[解析] ①显然混淆面半面概念错误②ab分垂直两面垂直二面角棱异面直线成角锐角(直角)应相等互补正确③垂直棱错误④正确选B
[点评] 根二面角相关概念进行分析判定．
)
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2 正方体A1B1C1D1－ABCD中截面A1BD底面ABCD成二面角A1－BD－A正切值等( [答案] C
[解析] 设ACBD交O连A1O∵BD⊥ACBD⊥AA1∴BD⊥面AA1O∴BD⊥A1O
∴∠A1OA二面角面角．
tan∠A1OA＝＝∴选C
)
A B C D
立体专题192 线线角线面角二面角基概念
1 正方体ABCD－A1B1C1D1棱长aMNPQ分棱ABBCC1D1CC1中点
①MNPQ位置关系________成角________．
②DB1MN位置关系________成角____ [答案] ①相交 60° ②异面 90°
[解析] ①连接ACD1CPQ分C1D1C1C中点
PQ∥D1C
理MN∥AC
ACD1C成角MNPQ成角∠D1CA＝60°
②连接ACBD交O
取BB1中点H连OHOH∥B1D
连AHHCAH＝HC∴OH⊥AC
MN∥ACOH∥B1D∴MN⊥B1D
____．
2 正方体A1B1C1D1－ABCD中BDB1C成角( [答案] C
[解析] ∵A1D∥B1C∴A1DBD成锐角(直角)求角连接A1B∵△A1DB正三角形
∴∠A1DB＝60°
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3 右图长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝2AA1＝1BC1
面BB1D1D成角正弦值( [答案] D
[解析] 取B1D1中点O长方体ABCD－A1B1C1D1中
∵A1B1＝B1C1＝2∴C1O⊥B1D1
C1O⊥BB1C1O⊥面BB1D1D
∴∠C1BO直线C1B面BB1D1D成角
Rt△BOC1中C1O＝BC1＝＝
∴sin∠OBC1＝
)
A B C D
4 三命题中正确命题( [答案] B
[解析] 仅②正确．
)
①二面角面角②二面角棱垂直二面角面角面
③分二面角两半面垂直棱两直线成角等二面角
A．0 B．1 C．2 D．3
立体专题193 线线角线面角二面角基概念
1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′CD′成角________
(2)ADBC′成角____ 答案：(1)60° (2)45°
解析
连接BA′BA′∥CD′连接A′C′∠A′BC′BC′CD′成角．
△A′BC′正三角形
知∠A′BC′＝60°
AD∥BC知ADBC′成角∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
____．
2 右图正方体AC1中EF分面A1B1C1D1AA1DD1中心
EFCD成角( 答案：B
[
连接B1D1EB1D1中点
连接AB1EF∥AB1
CD∥AB∴∠B1AB异面直线EFCD成角∠B1AB＝45°．]
)
A．60° B．45° C．30° D．90°
3 直线a面α成角50°直线b∥a直线b面α成角等( [答案] B
[解析] 根两条行直线面成角相等知bα成角50°
)
A．40° B．50° C．90° D．150°
4 二面角意点分两面引垂线两垂线夹角二面角面角关系( [答案] B
[解析] 图BDCDABAC面αβ交线∠BDC二面角α－l－β面角．∠ABD＝∠ACD＝90°∴∠A＋∠BDC＝180°
)
A．相等 B．互补 C．互余 D．法确定
立体专题194 线线角线面角二面角基概念
1 右图ABCD－A1B1C1D1正方体面结错误__ [答案] ④
[解析] BD∥B1D1BD⊄面CB1D1B1D1⊂面CB1D1BD∥面CB1D1①正确
BD⊥ACBD⊥CC1AC∩CC1＝C
BD⊥面ACC1AC1⊥BD
②正确
证明AC1⊥B1D1AC1⊥B1C
AC1⊥面CB1D1③正确
AD∥BC∠BCB1＝45°异面直线ADCB1成角④错误．
______．
①BD∥面CB1D1 ②AC1⊥BD
③AC1⊥面CB1D1 ④异面直线ADCB1成角60°
2 线段AB长等面α射影长2倍AB直线面α成角（ 答案：C
参考答案解析解析：直角三角形边角关系知直线面α成角60°
答案：C
考察知识点空间直线面
）
A30° B45° C60° D120°
3 图示长方体ABCD－A1B1C1D1中BC＝2AA1＝1EF分ADBCEF∥AB二面角C1－EF－C等45°BF＝___ [答案] 1
[解析] ∵AB⊥面BC1C1F⊂面BC1CF⊂面BC1∴AB⊥C1FAB⊥CFEF∥AB
∴C1F⊥EFCF⊥EF
∴∠C1FC二面角C1－EF－C面角
∴∠C1FC＝45°
∴△FCC1等腰直角三角形
∴CF＝CC1＝AA1＝1
BC＝2∴BF＝BC－CF＝2－1＝1
_____
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（4套5页含答案）
知识点：
异面直线成角：
直线ab异面直线空间点O作直线a′b′
________________a′b′成______________
做异面直线ab成角(夹角)．
果两条直线成角________说
两条异面直线互相垂直两条异面直线成角取值范围_______．
求异面直线夹角时候般直线移相交然计算
答案：（ 答案：a′∥a b′∥b 锐角(直角) 直角 (0°90°]
答案：［0°90°］（0°90°］［0°180°］［0°180°）[0°90°]［0°180°］
）
典型例题：
1 图正方体ABCD－A1B1C1D1中
①ACDD1成角________度． ②ACD1C1成角________度．
③ACB1D1成角________度． ④ACA1B成角________度．
⑤OB1D1中点ACBO成角________度．
⑥A1BB1D1成角____ 答案：①90°②45°③90°④60°⑤90°⑥60°
[解析] ①DD1⊥面ABCD∴DD1⊥AC
②D1C1∥DC∠DCA＝45°∴D1C1AC成45°角
③B1D1∥BDBD⊥AC∴B1D1⊥AC
④A1B∥D1C△D1AC等边三角形∴成60°角
⑤正方体中∵OB1D1中点∴OA1C1中点
A1B＝BC1∴BO⊥A1C1
AC∥A1C1∴BO⊥AC∴ACBO成90°角
⑥B1D1∥BD△A1BD等边三角形∴成60°角．
____度．
堂练：
1 正方体纸盒展开图示原正方体纸盒中结：
①AB⊥EF ②ABCM成角60° ③EFMN异面直线 ④MN∥CD．
结中正确结序号___ 答案：①③
解析 正方体面展开图原原正方体图示AB⊥EFEFMN异面直线AB∥CMMN⊥CD①③正确．
_____．
知识点2：
直线面成角：
(1)
定义：面条斜线面________成________做条直线面成角．
图示________斜线AP面α成角．
(2)直线AP面垂直时成角度数90°
直线面行面时成角度数________线面角θ范围：________．
（ 答案：射影 锐角 ∠PAO
）
典型例题2：
1 正方体ABCD－A1B1C1D1中
(1)直线A1B面ABCD成角________
(2)直线A1B面ABC1D1成角________
(3)直线A1B面AB1C1D成角____ 答案：(1)45° (2)30° (3)90°
解析
(1)线面角定义知∠A1BAA1B面ABCD成角∠A1BA＝45°．
(2)连接A1DAD1交点O
易证A1D⊥面ABC1D1A1B面ABC1D1射影OB
∴A1B面ABC1D1成角∠A1BO
∵A1O＝A1B
∴∠A1BO＝30°．
(3)∵A1B⊥AB1A1B⊥B1C1
∴A1B⊥面AB1C1DA1B面AB1C1D成角90°．
____．
堂练2：
1 图示四棱锥P－ABCD中底面ABCD矩形PA⊥面ABCDPA＝5AB＝4AD＝3求直线PC面ABCD成角． [分析] 找PC面ABCD射影AC∠PCA直线PC面ABCD成角．
[解析] 图连接ACPA⊥面ABCDACPC面ABCD射影
∠PCAPC面ABCD成角．
△PAC中PA⊥ACPA＝5AC＝＝＝5
∠PCA＝45°直线PC面ABCD成角45°
知识点3：
二面角：
(1)二面角：条直线出发________________组成图形做二面角．
________________做二面角棱．________________________做二面角面．
(2)二面角面角
图：二面角α－l－β棱l取点O点O________半面αβ分作垂直棱l射线OAOB射线OAOB构成________做二面角面角．二面角范围：
注意：掌握两种求二面角方法
注意：
（1）意两条直线夹角范围：________ （2）两条异面直线夹角范围：________
（3）两量成夹角范围：________ （4）线面角范围：________
（5）二面角范围：________
答案：（ 答案：0° [0°180°]
）
典型例题3：
1 二面角指( 答案：C
)
A两面相交组成角 B条直线两面组成图形
C条直线出发两半面组成图形 D两面夹90°角
2 图四边形ABCD正方形PA⊥面ABCDPA＝AB＝a
(1)二面角A－PD－C度数________(2)二面角B－PA－D度数________
(3)二面角B－PA－C度数________(4)二面角B－PC－D度数_____ [答案] 90°90°45°120°
[解析] (1)PA⊥面ABCD∴PA⊥CD
四边形ABCD正方形∴CD⊥AD∴CD⊥面PAD
CD⊂面PCD∴面PAD⊥面PCD∴二面角A－PD－C90°
(2)∵PA⊥面ABCD∴AB⊥PAAD⊥PA∴∠BAD二面角B－AP－D面角．
∠BAD＝90°∴二面角B－AP－D90°
(3)PA⊥面ABCD∴AB⊥PAAC⊥PA∴∠BAC二面角B－PA－C面角
四边形ABCD正方形∴∠BAC＝45°二面角B－PA－C45°
(4)作BE⊥PCE连DE
△PBC≌△PDC知∠BPE＝∠DPE
△PBE≌△PDE
∴∠DEP＝∠BEP＝90°BE＝DE
∴∠BED二面角B－PC－D面角．
∵PA⊥面ABCD∴PA⊥BCAB⊥BC
∴BC⊥面PAB∴BC⊥PB
∴BE＝＝aBD＝a
∴取BD中点Osin∠BEO＝＝
∴∠BEO＝60°∴∠BED＝120°
∴二面角B－PC－D度数120°
___．
堂练3：
1 列命题中：
①两相交面组成图形做二面角
②异面直线ab分二面角两面垂直ab成角二面角相等互补
③二面角面角棱点出发分两面作射线成角角
④二面角面角顶点棱位置没关系
中正确( [答案] B
[解析] ①显然混淆面半面概念错误②ab分垂直两面垂直二面角棱异面直线成角锐角(直角)应相等互补正确③垂直棱错误④正确选B
[点评] 根二面角相关概念进行分析判定．
)
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2 正方体A1B1C1D1－ABCD中截面A1BD底面ABCD成二面角A1－BD－A正切值等( [答案] C
[解析] 设ACBD交O连A1O∵BD⊥ACBD⊥AA1∴BD⊥面AA1O∴BD⊥A1O
∴∠A1OA二面角面角．
tan∠A1OA＝＝∴选C
)
A B C D
立体专题192 线线角线面角二面角基概念
1 正方体ABCD－A1B1C1D1棱长aMNPQ分棱ABBCC1D1CC1中点
①MNPQ位置关系________成角________．
②DB1MN位置关系________成角____ [答案] ①相交 60° ②异面 90°
[解析] ①连接ACD1CPQ分C1D1C1C中点
PQ∥D1C
理MN∥AC
ACD1C成角MNPQ成角∠D1CA＝60°
②连接ACBD交O
取BB1中点H连OHOH∥B1D
连AHHCAH＝HC∴OH⊥AC
MN∥ACOH∥B1D∴MN⊥B1D
____．
2 正方体A1B1C1D1－ABCD中BDB1C成角( [答案] C
[解析] ∵A1D∥B1C∴A1DBD成锐角(直角)求角连接A1B∵△A1DB正三角形
∴∠A1DB＝60°
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
3 右图长方体ABCD－A1B1C1D1中AB＝BC＝2AA1＝1BC1
面BB1D1D成角正弦值( [答案] D
[解析] 取B1D1中点O长方体ABCD－A1B1C1D1中
∵A1B1＝B1C1＝2∴C1O⊥B1D1
C1O⊥BB1C1O⊥面BB1D1D
∴∠C1BO直线C1B面BB1D1D成角
Rt△BOC1中C1O＝BC1＝＝
∴sin∠OBC1＝
)
A B C D
4 三命题中正确命题( [答案] B
[解析] 仅②正确．
)
①二面角面角②二面角棱垂直二面角面角面
③分二面角两半面垂直棱两直线成角等二面角
A．0 B．1 C．2 D．3
立体专题193 线线角线面角二面角基概念
1 已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′CD′成角________
(2)ADBC′成角____ 答案：(1)60° (2)45°
解析
连接BA′BA′∥CD′连接A′C′∠A′BC′BC′CD′成角．
△A′BC′正三角形
知∠A′BC′＝60°
AD∥BC知ADBC′成角∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
____．
2 右图正方体AC1中EF分面A1B1C1D1AA1DD1中心
EFCD成角( 答案：B
[
连接B1D1EB1D1中点
连接AB1EF∥AB1
CD∥AB∴∠B1AB异面直线EFCD成角∠B1AB＝45°．]
)
A．60° B．45° C．30° D．90°
3 直线a面α成角50°直线b∥a直线b面α成角等( [答案] B
[解析] 根两条行直线面成角相等知bα成角50°
)
A．40° B．50° C．90° D．150°
4 二面角意点分两面引垂线两垂线夹角二面角面角关系( [答案] B
[解析] 图BDCDABAC面αβ交线∠BDC二面角α－l－β面角．∠ABD＝∠ACD＝90°∴∠A＋∠BDC＝180°
)
A．相等 B．互补 C．互余 D．法确定
立体专题194 线线角线面角二面角基概念
1 右图ABCD－A1B1C1D1正方体面结错误__ [答案] ④
[解析] BD∥B1D1BD⊄面CB1D1B1D1⊂面CB1D1BD∥面CB1D1①正确
BD⊥ACBD⊥CC1AC∩CC1＝C
BD⊥面ACC1AC1⊥BD
②正确
证明AC1⊥B1D1AC1⊥B1C
AC1⊥面CB1D1③正确
AD∥BC∠BCB1＝45°异面直线ADCB1成角④错误．
______．
①BD∥面CB1D1 ②AC1⊥BD
③AC1⊥面CB1D1 ④异面直线ADCB1成角60°
2 线段AB长等面α射影长2倍AB直线面α成角（ 答案：C
参考答案解析解析：直角三角形边角关系知直线面α成角60°
答案：C
考察知识点空间直线面
）
A30° B45° C60° D120°
3 图示长方体ABCD－A1B1C1D1中BC＝2AA1＝1EF分ADBCEF∥AB二面角C1－EF－C等45°BF＝___ [答案] 1
[解析] ∵AB⊥面BC1C1F⊂面BC1CF⊂面BC1∴AB⊥C1FAB⊥CFEF∥AB
∴C1F⊥EFCF⊥EF
∴∠C1FC二面角C1－EF－C面角
∴∠C1FC＝45°
∴△FCC1等腰直角三角形
∴CF＝CC1＝AA1＝1
BC＝2∴BF＝BC－CF＝2－1＝1
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