必修第二册立体初步
单选题
1．某体三视图图示该体体积（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
2．四氯化碳种机化合物分子式种色透明液体易挥发作灭火剂．四氯化碳分子结构正四面体结构四氯原子（Cl）位正四面体四顶点处碳原子（C）位正四面体中心．四氯化碳分子碳氯键（CCl）间夹角正弦值（ ）．
A． B． C． D．
3．棱长6正方体正四面体该四面体外接球球心正方体中心重合该四面体正方体意转动该四面体棱长值（ ）．
A． B．4 C． D．
4．正方体中E棱中点面截正方体截面面积（ ）
A． B． C．4 D．
5．图正三棱锥 中该三棱锥外接球表面积正三棱锥体积（ ）
A．2 B． C． D．
6．设mnl三条直线αβ两面出列四命题中正确（ ）
A．α⊥βl⊂αm⊂βl⊥m B．α∥βl⊂αm⊂βl∥m
C．l⊥αl∥βα⊥β D．l⊂αl⊥ml⊥nm∥βn∥βα⊥β
7．某体三视图图示（单位：cm）该体体积（单位：）（ ）
A．8 B． C． D．
8．已知圆锥底面半径3侧面积底面积2倍圆锥体积（ ）
A． B． C． D．
二选题
9．（选）已知ABC表示点l表示直线表示面列推理正确（ ）
A． B．
C． D．
10．mn两条直线两面列说法正确（ ）
A． B．
C． D．
11．图正方体中分中点列说法正确（ ）
A．
B．面
C．成角余弦值
D．点面距离
12．某艺术赛提倡力均衡发展特水晶奖杯设计成具称美形状．形图示棱长正四面体棱三等分点作行底面截面棱长均空间体列说法正确（ ）
A．该体体积 B．该体外接球表面积
C．该体表面积 D．该体中二面角余弦值
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷文字说明
三填空题
13．已知三棱锥棱长均点分中点点直线点面值__________．
14．已知ABCD空间面四点三棱锥体积时外接球表面积______．
15．三棱锥中均边长等边三角形面面该三棱锥外接球表面积________．
16．图正四棱锥中棱PB中点棱PD中点棱锥棱锥体积______．
四解答题
17．斜二测画法画出列水放置面图形直观图：
(1)边长正三角形
(2)边长正方形
(3)边长正八边形．
18．图甲 中∠B90°BC1AB2DE分ABAC边动点（端点）满足现△ DE折起点A达点A＇位置连接A＇BA＇C图乙示四棱锥A＇DBCE
(1)设l面A＇DE面交线求证：l面DBCE
(2)A＇D⊥BD值时四棱锥A＇DBCE体积？
19．某型号氧气瓶形状图示作圆柱圆台组合成（设氧气瓶中氧气已充满图中尺寸氧气瓶径尺寸）．某潜水员身背该型号氧气瓶潜入水深am湖底进行某项工作匀速潜浮速度均v mmin．该潜水员潜时分钟耗氧量潜速度方成正测验潜速度1 mmin时分钟耗氧02 L湖底工作时分钟耗氧04 L浮时分钟耗氧02 L．潜浮时速度均超pmmin试问：该潜水员湖底工作长时间（π取314氧气瓶体积计算精确1 Lap常数）？
20．图四边形ABCD正方形面ABCD点EF分ADPC中点
(1)证明：面PBE
(2)求三棱锥PBDF体积四棱锥PABCD体积
21．图长方体面面中分写出直线ABAD行面
22．图三棱锥中面面．
(1)求证：
(2)求直线成角余弦值．
参考答案：
1．B
解析
分析
首先原体利锥体体积公式求解
详解
题意知体形状图：
矩形体体积
选：B．
2．D
解析
分析
四面体放入正方体中进行计算结合正方体正四面体特点助余弦定理容易求结果
详解
图示正方体棱长a正四面体棱长
该正方体体角线长度
根题意知求夹角
中余弦定理：
四氯化碳分子碳氯键（CCl）间夹角正弦值
选：D．
3．D
解析
分析
结合正方体切球切球正四面体结构特征利勾股定理求求棱长
详解
题意该正四面体正方体切球该四面体接球时棱长．
正方体切球半径图记正四面体棱长aO底面ABC中心
四面体外接球球心连接POOCPO⊥底面ABC
中解．
选：D
4．D
解析
分析
先作出面截正方体截面求出截面高梯形面积公式出截面面积
详解
取中点M连接EM．正方体中面截正方体截面等腰梯形该等腰梯形高该截面面积．
选：D．
5．B
解析
分析
根三棱锥特点结合正方体外接球球半径公式求三棱锥棱长根棱锥体积计算公式代值计算
详解
三棱锥正三棱锥．
三条侧棱ABADAC两两垂直妨设
三棱锥外接球棱长a正方体外接球球直径．
三棱锥外接球表面积外接球直径
正三棱锥体积
选：B．
点睛
题考察三棱锥外接球半径求解解决问题关键根体特点转化求正方体外接球半径属中档题
6．C
解析
分析
选项ABD举出符合选项条件事例判断C推理说明判断作答
详解
A长方体中令面面面面图
直线AB直线l直线直线m满足lm垂直A正确
BA选项长方体中令面面面面
直线AB直线l直线直线m满足B正确
Cl作面图C正确
DA选项长方体中令面面面面
直线AB直线l直线ADBC分视mn满足D正确
选：C
7．B
解析
分析
根三视图原体根棱柱棱锥体积公式求组合体体积
详解
根三视图原体：
直棱柱底面直角等腰直角三角形高
棱锥棱柱底高
该组合体体积
选：B
8．C
解析
分析
设圆锥高h母线长l根圆锥侧面积公式求出利勾股定理求出根体积公式计算
详解
解：设圆锥高h母线长l圆锥侧面积圆锥体积．
选：C．
9．ABD
解析
分析
根点线面位置关系答案
详解
根公理1知A正确
根公理3知B正确
易知D正确
点A交点C错误
选：ABD
10．AC
解析
分析
根空间中直线面位置关系相关定理次判断选项求答案
详解
A面面行性质：两面行面意直线面行A正确
B时m面B错误
C移重合位置移改变直线面否直C正确
D点作直线时D错误
综AC正确
选：AC
11．AD
解析
分析
根线线垂直线面行线线角点面距等知识选项进行分析确定正确答案
详解
A选项取中点易：面面A正确
B选项：面面面显然成立B错误
C选项：取中点求角D错误
D选项：三棱锥中
等边三角形外接圆半径
面距离D正确
选：AD
12．AB
解析
分析
补全体棱长3a正三棱锥应棱锥体积表面积求法求体体积表面积法求体外接球半径进求外接球面积根四面体性质判断二面角棱锥侧面夹角关系通求棱锥侧面夹角余弦值求二面角余弦值
详解
补全体棱长3a正三棱锥图示
∴体体积A正确
分面底面中心题设易知：体外接球半径解体外接球表面积B正确
体表面积C错误
正四面体性质图知：二面角正四面体相邻两面夹角补角正四面体相邻两面夹角余弦值二面角余弦值D错误
选：AB
13．
解析
分析
根题意作出图点面距离值题意计算利计算出值
详解
图示题意面取中点面围绕直线旋转面重合点达点直线面点面距离值点分中点三棱锥棱长均．
答案：
14．
解析
分析
题BABCBD两两垂直时三棱锥体积三棱锥补形长宽高分长方体
详解
BABCBD两两垂直时图三棱锥底面面积高时取值三棱锥体积
时三棱锥补形长宽高分长方体
长方体外接球三棱锥外接球
球半径表面积．
答案：
15．
解析
分析
计算出外接球半径进求外接球表面积
详解
等边三角形等边三角形高
等边三角形等边三角形外接圆半径
设分等边三角形等边三角形中心
设三棱锥外接球球心外接球半径
外接球表面积
答案：
16．
解析
分析
根图形求出棱锥体积求出结果．
详解
图示：
棱锥成正四棱锥减四棱锥体积
设正四棱锥体积PB中点PD中点
理
棱锥体积
棱锥棱锥体积
答案：
17．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
解析
分析
（1）根斜二测画法作出面图形建立面直角坐标系画出应斜二测坐标系确定边形顶点直观图中应顶点连线直观图
（2）根斜二测画法作出面图形建立面直角坐标系画出应斜二测坐标系确定边形顶点直观图中应顶点连线直观图
（3）根斜二测画法作出面图形建立面直角坐标系画出应斜二测坐标系确定边形顶点直观图中应顶点连线直观图
(1)
解：图①示边直线轴边高线直线轴建立面直角坐标系
画应轴轴
轴截取轴截取
连接等边直观图图③示
(2)
解：图④示边直线分轴轴建立图示面直角坐标系
画应轴轴
轴截取轴截取
作轴连接
行四边形正方形直观图图⑥示
(3)
解：图⑦示画正八边形点坐标原点直线分轴轴建立面直角坐标系
设点轴射影点分
画应轴轴
轴截取
轴截取作轴
作轴作轴
作轴作轴
连接
八边形正八边形直观图图⑨示
18．(1)证明见解析
(2)
解析
分析
（1）先证明线线行证明线面行
（2）根四棱锥体积公式求出四棱锥A＇DBCE体积表达式利导数求值
(1)
题意知
面面
面
面面
面面面
(2)
（1）知∠B90°
知
面
正负
增函数减函数
时四棱锥体积
19．p≥1时潜水员湖底工作425a分钟p<1时潜水员湖底工作分钟
解析
分析
先求出氧气瓶中氧气体积设潜入水a米程中分钟需氧量Q计算出k02回途中需氧量湖底工作时间够求出潜水员湖底工作时间
详解
氧气瓶中氧气体积
设潜入水a米程中分钟需氧量Q
速度1mmin时分钟需氧量02Lk02回途中需氧量湖底工作时间
仅时取等号
①p≥1时值425a
②p<1时
时湖底工作时间值分钟
p≥1时潜水员湖底工作425a分钟p<1时潜水员湖底工作分钟
20．(1)证明程见解析
(2)
解析
分析
（1）作出辅助线证明出行四边形线线行进证明线面行（2）中点关系正方形体积
(1)
取PB中点H连接FHEH点EF分ADPC中点
FH∥CBFH四边形ABCD正方形BC∥ADBCADDE∥FHDEFH四边形DEHF行四边形DF∥HEDF面PBEHE面PBEDF∥面PBE
(2)
FPC中点四边形ABCD正方形面ABCD三棱锥PBDF体积四棱锥PABCD体积
21．直线行面面面直线行面面面直线行面面面
解析
分析
结合已知根线面行判定定理求答案
详解
面面
面
理证：面
直线行面面面
面面
面
理证：面
直线行面面面
面面
面
理证：面
直线行面面面
22．(1)证明见解析
(2)
解析
分析
（1）点作交延长线点连接证出面证出
（2）原点方分轴正方建立空间直角坐标系
写出相应点坐标利答案
(1)
点作交延长线点连接
面
面．
(2)
面面面面
面
原点方分轴正方
建立图示空间直角坐标系
直线成角余弦值．
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单选题
1．某体三视图图示该体体积（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
2．四氯化碳种机化合物分子式种色透明液体易挥发作灭火剂．四氯化碳分子结构正四面体结构四氯原子（Cl）位正四面体四顶点处碳原子（C）位正四面体中心．四氯化碳分子碳氯键（CCl）间夹角正弦值（ ）．
A． B． C． D．
3．棱长6正方体正四面体该四面体外接球球心正方体中心重合该四面体正方体意转动该四面体棱长值（ ）．
A． B．4 C． D．
4．正方体中E棱中点面截正方体截面面积（ ）
A． B． C．4 D．
5．图正三棱锥 中该三棱锥外接球表面积正三棱锥体积（ ）
A．2 B． C． D．
6．设mnl三条直线αβ两面出列四命题中正确（ ）
A．α⊥βl⊂αm⊂βl⊥m B．α∥βl⊂αm⊂βl∥m
C．l⊥αl∥βα⊥β D．l⊂αl⊥ml⊥nm∥βn∥βα⊥β
7．某体三视图图示（单位：cm）该体体积（单位：）（ ）
A．8 B． C． D．
8．已知圆锥底面半径3侧面积底面积2倍圆锥体积（ ）
A． B． C． D．
二选题
9．（选）已知ABC表示点l表示直线表示面列推理正确（ ）
A． B．
C． D．
10．mn两条直线两面列说法正确（ ）
A． B．
C． D．
11．图正方体中分中点列说法正确（ ）
A．
B．面
C．成角余弦值
D．点面距离
12．某艺术赛提倡力均衡发展特水晶奖杯设计成具称美形状．形图示棱长正四面体棱三等分点作行底面截面棱长均空间体列说法正确（ ）
A．该体体积 B．该体外接球表面积
C．该体表面积 D．该体中二面角余弦值
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷文字说明
三填空题
13．已知三棱锥棱长均点分中点点直线点面值__________．
14．已知ABCD空间面四点三棱锥体积时外接球表面积______．
15．三棱锥中均边长等边三角形面面该三棱锥外接球表面积________．
16．图正四棱锥中棱PB中点棱PD中点棱锥棱锥体积______．
四解答题
17．斜二测画法画出列水放置面图形直观图：
(1)边长正三角形
(2)边长正方形
(3)边长正八边形．
18．图甲 中∠B90°BC1AB2DE分ABAC边动点（端点）满足现△ DE折起点A达点A＇位置连接A＇BA＇C图乙示四棱锥A＇DBCE
(1)设l面A＇DE面交线求证：l面DBCE
(2)A＇D⊥BD值时四棱锥A＇DBCE体积？
19．某型号氧气瓶形状图示作圆柱圆台组合成（设氧气瓶中氧气已充满图中尺寸氧气瓶径尺寸）．某潜水员身背该型号氧气瓶潜入水深am湖底进行某项工作匀速潜浮速度均v mmin．该潜水员潜时分钟耗氧量潜速度方成正测验潜速度1 mmin时分钟耗氧02 L湖底工作时分钟耗氧04 L浮时分钟耗氧02 L．潜浮时速度均超pmmin试问：该潜水员湖底工作长时间（π取314氧气瓶体积计算精确1 Lap常数）？
20．图四边形ABCD正方形面ABCD点EF分ADPC中点
(1)证明：面PBE
(2)求三棱锥PBDF体积四棱锥PABCD体积
21．图长方体面面中分写出直线ABAD行面
22．图三棱锥中面面．
(1)求证：
(2)求直线成角余弦值．
参考答案：
1．B
解析
分析
首先原体利锥体体积公式求解
详解
题意知体形状图：
矩形体体积
选：B．
2．D
解析
分析
四面体放入正方体中进行计算结合正方体正四面体特点助余弦定理容易求结果
详解
图示正方体棱长a正四面体棱长
该正方体体角线长度
根题意知求夹角
中余弦定理：
四氯化碳分子碳氯键（CCl）间夹角正弦值
选：D．
3．D
解析
分析
结合正方体切球切球正四面体结构特征利勾股定理求求棱长
详解
题意该正四面体正方体切球该四面体接球时棱长．
正方体切球半径图记正四面体棱长aO底面ABC中心
四面体外接球球心连接POOCPO⊥底面ABC
中解．
选：D
4．D
解析
分析
先作出面截正方体截面求出截面高梯形面积公式出截面面积
详解
取中点M连接EM．正方体中面截正方体截面等腰梯形该等腰梯形高该截面面积．
选：D．
5．B
解析
分析
根三棱锥特点结合正方体外接球球半径公式求三棱锥棱长根棱锥体积计算公式代值计算
详解
三棱锥正三棱锥．
三条侧棱ABADAC两两垂直妨设
三棱锥外接球棱长a正方体外接球球直径．
三棱锥外接球表面积外接球直径
正三棱锥体积
选：B．
点睛
题考察三棱锥外接球半径求解解决问题关键根体特点转化求正方体外接球半径属中档题
6．C
解析
分析
选项ABD举出符合选项条件事例判断C推理说明判断作答
详解
A长方体中令面面面面图
直线AB直线l直线直线m满足lm垂直A正确
BA选项长方体中令面面面面
直线AB直线l直线直线m满足B正确
Cl作面图C正确
DA选项长方体中令面面面面
直线AB直线l直线ADBC分视mn满足D正确
选：C
7．B
解析
分析
根三视图原体根棱柱棱锥体积公式求组合体体积
详解
根三视图原体：
直棱柱底面直角等腰直角三角形高
棱锥棱柱底高
该组合体体积
选：B
8．C
解析
分析
设圆锥高h母线长l根圆锥侧面积公式求出利勾股定理求出根体积公式计算
详解
解：设圆锥高h母线长l圆锥侧面积圆锥体积．
选：C．
9．ABD
解析
分析
根点线面位置关系答案
详解
根公理1知A正确
根公理3知B正确
易知D正确
点A交点C错误
选：ABD
10．AC
解析
分析
根空间中直线面位置关系相关定理次判断选项求答案
详解
A面面行性质：两面行面意直线面行A正确
B时m面B错误
C移重合位置移改变直线面否直C正确
D点作直线时D错误
综AC正确
选：AC
11．AD
解析
分析
根线线垂直线面行线线角点面距等知识选项进行分析确定正确答案
详解
A选项取中点易：面面A正确
B选项：面面面显然成立B错误
C选项：取中点求角D错误
D选项：三棱锥中
等边三角形外接圆半径
面距离D正确
选：AD
12．AB
解析
分析
补全体棱长3a正三棱锥应棱锥体积表面积求法求体体积表面积法求体外接球半径进求外接球面积根四面体性质判断二面角棱锥侧面夹角关系通求棱锥侧面夹角余弦值求二面角余弦值
详解
补全体棱长3a正三棱锥图示
∴体体积A正确
分面底面中心题设易知：体外接球半径解体外接球表面积B正确
体表面积C错误
正四面体性质图知：二面角正四面体相邻两面夹角补角正四面体相邻两面夹角余弦值二面角余弦值D错误
选：AB
13．
解析
分析
根题意作出图点面距离值题意计算利计算出值
详解
图示题意面取中点面围绕直线旋转面重合点达点直线面点面距离值点分中点三棱锥棱长均．
答案：
14．
解析
分析
题BABCBD两两垂直时三棱锥体积三棱锥补形长宽高分长方体
详解
BABCBD两两垂直时图三棱锥底面面积高时取值三棱锥体积
时三棱锥补形长宽高分长方体
长方体外接球三棱锥外接球
球半径表面积．
答案：
15．
解析
分析
计算出外接球半径进求外接球表面积
详解
等边三角形等边三角形高
等边三角形等边三角形外接圆半径
设分等边三角形等边三角形中心
设三棱锥外接球球心外接球半径
外接球表面积
答案：
16．
解析
分析
根图形求出棱锥体积求出结果．
详解
图示：
棱锥成正四棱锥减四棱锥体积
设正四棱锥体积PB中点PD中点
理
棱锥体积
棱锥棱锥体积
答案：
17．(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
解析
分析
（1）根斜二测画法作出面图形建立面直角坐标系画出应斜二测坐标系确定边形顶点直观图中应顶点连线直观图
（2）根斜二测画法作出面图形建立面直角坐标系画出应斜二测坐标系确定边形顶点直观图中应顶点连线直观图
（3）根斜二测画法作出面图形建立面直角坐标系画出应斜二测坐标系确定边形顶点直观图中应顶点连线直观图
(1)
解：图①示边直线轴边高线直线轴建立面直角坐标系
画应轴轴
轴截取轴截取
连接等边直观图图③示
(2)
解：图④示边直线分轴轴建立图示面直角坐标系
画应轴轴
轴截取轴截取
作轴连接
行四边形正方形直观图图⑥示
(3)
解：图⑦示画正八边形点坐标原点直线分轴轴建立面直角坐标系
设点轴射影点分
画应轴轴
轴截取
轴截取作轴
作轴作轴
作轴作轴
连接
八边形正八边形直观图图⑨示
18．(1)证明见解析
(2)
解析
分析
（1）先证明线线行证明线面行
（2）根四棱锥体积公式求出四棱锥A＇DBCE体积表达式利导数求值
(1)
题意知
面面
面
面面
面面面
(2)
（1）知∠B90°
知
面
正负
增函数减函数
时四棱锥体积
19．p≥1时潜水员湖底工作425a分钟p<1时潜水员湖底工作分钟
解析
分析
先求出氧气瓶中氧气体积设潜入水a米程中分钟需氧量Q计算出k02回途中需氧量湖底工作时间够求出潜水员湖底工作时间
详解
氧气瓶中氧气体积
设潜入水a米程中分钟需氧量Q
速度1mmin时分钟需氧量02Lk02回途中需氧量湖底工作时间
仅时取等号
①p≥1时值425a
②p<1时
时湖底工作时间值分钟
p≥1时潜水员湖底工作425a分钟p<1时潜水员湖底工作分钟
20．(1)证明程见解析
(2)
解析
分析
（1）作出辅助线证明出行四边形线线行进证明线面行（2）中点关系正方形体积
(1)
取PB中点H连接FHEH点EF分ADPC中点
FH∥CBFH四边形ABCD正方形BC∥ADBCADDE∥FHDEFH四边形DEHF行四边形DF∥HEDF面PBEHE面PBEDF∥面PBE
(2)
FPC中点四边形ABCD正方形面ABCD三棱锥PBDF体积四棱锥PABCD体积
21．直线行面面面直线行面面面直线行面面面
解析
分析
结合已知根线面行判定定理求答案
详解
面面
面
理证：面
直线行面面面
面面
面
理证：面
直线行面面面
面面
面
理证：面
直线行面面面
22．(1)证明见解析
(2)
解析
分析
（1）点作交延长线点连接证出面证出
（2）原点方分轴正方建立空间直角坐标系
写出相应点坐标利答案
(1)
点作交延长线点连接
面
面．
(2)
面面面面
面
原点方分轴正方
建立图示空间直角坐标系
直线成角余弦值．
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