考点27利空间量求解立体中角距离（理）
考点分类
热点 求角问题
12013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理已知三棱柱侧棱底面垂直体积底面边长正三角形底面中心面成角
A B C D
22013年普通高等学校统考试试题纲全国理科已知正四棱柱中CD面成角正弦值等（ ）
A． B． C． D．
设
3(2012年高考陕西卷理科5)图空间直角坐标系中直三棱柱直线直线夹角余弦值（ ）
（A） （B） （C） （D）
4(2012年高考全国卷理科16)三菱柱ABCA1B1C1中底面边长侧棱长相等 BAA1CAA160°异面直线AB1BC1成角余弦值____________
答案
52013年普通高等学校统考试江苏数学试题
图直三棱柱中点中点
（1）求异面直线成角余弦值
（2）求面面成二面角正弦值
∴
62013年普通高等学校招生全国统考试（辽宁卷）理科
图
（I）求证：
（II）
二面角CPBA余弦值
72013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷图直棱柱ABC中DE分ABBB1中点ACCBAB
（Ⅰ）证明： 面
（Ⅱ）求二面角DE正弦值
二面角DE正弦值
82013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理
图示三棱锥中面分中点
交交点连接
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角余弦值
令
理
二面角钝角二面角余弦值
92013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理
图四面体中面中点中点点线段
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）二面角求
102013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理
图5直棱柱
（I）证明：
（II）求直线成角正弦值
法量直线成角正弦值
112013年全国高考新课标（I）理科
图三棱柱ABCA1B1C1中CACBABA A1∠BA A160°
（Ⅰ）证明AB⊥A1C
A
B
C
C1
A1
B1
z
x
y
O
（Ⅱ）面ABC⊥面AA1B1BABCB求直线A1C 面BB1C1C成角正弦值
A
B
C
C1
A1
B1
122013年普通高等学校招生全国统考试湖北卷理科
图圆直径点圆异点直线面分中点
（Ⅰ）记面面交线试判断直线面位置关系加证明
（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l圆交点点Q满足 记直线面成角异面直线成角二面角求证：
13(2012年高考浙江卷理科20) (题满分15分)图四棱锥P—ABCD中底面边长菱形∠BAD＝120°PA⊥面ABCDPA＝MN分PBPD中点．[源学&科&网Z&X&X&K]
(Ⅰ)证明：MN∥面ABCD
(Ⅱ) 点A作AQ⊥PC垂足点Q求二面角A—MN—Q面角余弦值．
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面AMN：设法量．
14(2012年高考辽宁卷理科18) (题满分12分)
图直三棱柱
点MN分中点
(Ⅰ)证明：∥面
(Ⅱ)二面角直二面角求值
15(2012年高考江西卷理科19)（题满分12分）
三棱柱ABCA1B1C1中已知ABACAA1BC4A1底面ABC投影线段BC中点O
（1）证明侧棱AA1存点EOE⊥面BB1C1C求出AE长
B
y
O
C
A
E
z
A11
B1
C1
x
（2）求面面BB1C1C夹角余弦值
方法总结
1．利量法求异面直线成角时注意量夹角异面直线成角异．时注意根异面直线成角范围(0]出结．
2．利量法求线面角方法
分求出斜线面射影直线方量转化求两方量夹角(补角)
二通面法量求求出斜线方量面法量夹锐角钝角补角取余角斜线面成角
3．利空间量求二面角两种方法：分二面角两半面找棱垂直垂足出发两量两量夹角二面角面角二通面法量求：设二面角两半面法量分n1n2二面角等〈n1n2〉(π－〈n1n2〉)．
4．利空间量求二面角时注意结合图形判断二面角锐角钝角．
热点二 求距离问题
162013年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）理图棱长2正方体ABCDA1B1C1D1中EBC中点点P线段D1E点P直线CC1距离值
17(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中中点直线 面距离（ ）
A．2 B． C． D．1
18(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC点PABC半径
求面PAPBPC两两互相垂直球心截面ABC距离_______
三棱锥ABC面ABC高球心截面ABC距离
192013年普通高等学校招生全国统考试（海卷）理
图长方体ABCDA1B1C1D1中AB2AD1A1A1证明直线BC1行面DA1C求直线BC1面D1AC距离
202013年普通高等学校统考试试题纲全国文科
图四棱锥中边长等边三角形
（I）证明：
（II）求点A面PCD距离
212013年普通高等学校招生全国统考试（江西卷）文科
图直四棱柱中ECD点
（1） 证明：BE⊥面
（2） 求点面距离
222013年普通高等学校招生全国统考试（湖北卷）文科
图某质队水面ABC三处垂直钻探A点钻A1处发现矿藏继续钻A2处面已矿A处正方矿层厚度．样BC处正方矿层厚度分 中点直线行面截面体截面该面体
中截面面积记．
（Ⅰ）证明：中截面梯形
（Ⅱ）△ABC中记BC边高面积 估测三角形区域正方矿藏储量（面体体积）时似公式估算 已知试判断V关系加证明
四边形均梯形
23(2012年高考天津卷理科17)（题满分13分）图四棱锥中丄面
丄丄
(Ⅰ)证明：丄
（Ⅱ）求二面角正弦值
（Ⅲ）设棱点满足异面直线成角
求长
24(2012年高考重庆卷理科19)（题满分12分（Ⅰ）问4分（Ⅱ）问8分）
图直三棱柱 中AB4ACBC3DAB中点
（Ⅰ）求点C面 距离
（Ⅱ）求二面角 面角余弦值
方法总结点面距离利量法求解较简单理基础出法题事实作BH⊥面CMNH＝＋·n＝n·|·n|＝|n·|＝||·|n|||＝d＝
热点三 折叠问题
252013年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）理
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
图1等腰直角三角形中分点中点折起图2示四棱锥中
(Ⅰ) 证明面
(Ⅱ) 求二面角面角余弦值
C
D
O
x
E
量法图
y
z
B
C
D
O
B
E
H
26(2012年高考安徽卷理科18)（题满分12分）
面图形图4示中矩形现该面图形分折叠面面垂直分连接图2示空间图形空间图形解答列问题
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）求长
（Ⅲ）求二面角余弦值
考点剖析
．明确求
1理解直线方量面法量．
2量语言表述直线直线直线面面面垂直行关系．
3量方法证明关直线面位置关系关命题．
4量方法解决两异面直线成角直线面成角二面角计算问题解量方法研究立体问题中应
二．命题方
利量法求空间角命题热点．着重考查学生建立空间坐标系空间量坐标运算力．题型解答题难度中档
三．规律总结
种方法
空间量解决问题般方法步骤：
(1)适选取基底{abc}
(2)abc表示相关量
(3)通运算完成证明计算问题．
两理解
(1)线量定理种形式：
①a＝λb⇒a∥b
②空间意两量线充条件存λμ∈Rλa＝μb
③线PAB三点线充条件＝λ＋μλ＋μ＝1
(2)面量定理空间量基定理线量定理进行学理解．空间量基定理适选取基底线量定理面量定理证明三点线线线行四点面线面行工具三定理保证量作桥梁实数运算方法完成证明问题完美嫁接．
四种运算
空间量四种运算面量四种运算加法减法数数量积形式容完全 致类学．学生特注意面量概念．四种运算运算律类实数加减运算律进行学．
三种成角
(1)异面直线成角范围
(2)直线面成角范围
(3)二面角范围[0π]．
易误警示
利面法量求二面角时求出两半面αβ法量n1n2时根量坐标图形中观察法量方确定二面角量n1n2夹角相等互补利量求二面角难点易错点．
考点模拟
．扎实基础
1天津市新华中学2013届高三学期第三次月考数学试卷 图EF分三棱锥PABC棱APBC中点PC10AB6EF7异面直线ABPC成角（ ）
A 90° B 60° C 45° D 30°
答案B
解析取AC中点M连结EMMFEF中点MFME成角ABPC成角三角形MEF中直线ABPC成角选B
2 2013年云南省第二次高中毕业生复统检测三棱锥中底面
正三角形分侧棱中点．面面面
面成二面角（锐角）余弦值等
N
M
C
A
B
P
（A）
（B）
（C）
（D）
3 广西百高中2013届高三年级第三届联考图三棱锥P—ABC中
面ABCPA2边长正三角形点DPB中点
异面直线PACD成角正切值（ ）
A． B．
C． D．
4河北省唐山市20122013学年度高三年级摸底考试
三棱锥P－ABC中PA＝PBPC侧棱PA底面ABC成角60°该三棱锥外接球体积
（A） (B) (C)4 （D)
52012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试图设正方体棱长1EF分中点点A面EFDB距离( )
A． B． C． D．1
6 云南玉溪中高2013届高三学期第三次月考 设动点棱长1正方体角线记钝角时取值范围
7 20122013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测已知ABCD正方形点P面ABCD外点二面角点C面PAB距离
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
[源学+科+网]
8 广西百高中2013届高三年级第三届联考图长方体ABCD
—A1B1C1D1中ABBC2AA11EA1D1中点BE面BB1D1D
成角正弦值
答案
92012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试图正方体中EF分CD中点异面直线EF成角余弦值
答案
解析连结易证求等边三角形
∴成角∴EF成角
∴直线EF成角余弦值
10浙江省名校新高考研究联盟2013届第次联考
已知正方形面
变化时直线面成角正弦值取值范围
．
（第17题）
答案
二．力拔高
11 浙江省镇海中学2013年高三考前模拟图等腰直角三角形中 现折起二面角直角列叙述正确 ( )
A
B
C
D
A
B
C
D
①
②面法量面法量垂直
③异面直线成角
④直线面成角
A．①③ B．①④ C．①③④ C．①②③④
答案B
解析易证容易证明①④正确②错误成角余弦值
13河北省保定市2013年高三第次模拟考试正方体ABCDA1B1C1 D1中MCC1中点P底面ABCD运动满足∠DPD1＝∠CPM点P轨迹( )
A圆部分 B椭圆部分
c双曲线部分 D抛物线部分
答案A
解析∴面ABCDD原点建立面直角坐标系ADC设DC1P（xy）
∴整理轨迹圆部分选A
142013年云南省第二次高中毕业生复统检测（题满分12分）
图长方体中线段中点．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
D1
C1
B1
A1
A
B
C
D
M
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16 云南玉溪中高2013届高三学期第三次月考（题满分12分）图长方体中点棱AB移动
（1）证明：
（2）中点时求点面距离
（3）等值时二面角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
17 浙江省嘉兴市2013届高三4月教学测试图△中点交交．△翻折成△面面△翻折成△面面．
（Ⅰ）求证：面．
（Ⅱ）设值时二面角？
（第20题）
化简解． …15分
18 河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试（题满分12分）
图直三棱柱中ABBCQAC点AB1面BC1Q
（Ⅰ）确定点QAC位置
（Ⅱ）QC1面BB1C1C成角正弦值求二面角Q－BC1—C余弦值
A
B
C
Q
A1
B1
C1
P
＝(0ab)＝(－aab)．
QC1面BC1C成角正弦值
＝＝解b＝a …8分
设面C1BQ法量n＝(xyz)
取n＝(1－2)． …10分
cosámnñ＝＝．
二面角QBC1C余弦值． …12分
19 江西省南昌市2013届二模考试图已知：菱形ABEF面直角梯形ABCD面互相垂直AB2AD2CD4点HG分线段EFBC中点
(1) 求证：面AHC面BCE
(2) 点直线EF面AFD求面ACH面ACM成角余弦值
20 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试．（题满分12分）图矩形梯形面面
（Ⅰ）中点求证：∥面
（Ⅱ）求面成锐二面角．
∴ 面成锐二面角60°
解法二：延长CBDA相交G连接PG点D作DH⊥PG 垂足H连结HC
∵矩形PDCE中PD⊥DCAD⊥DCPD∩ADD
∴CD⊥面PAD ∴CD⊥PGCD∩DHD
三．提升
21 湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试
（题满分12分）图正方形ADEF梯形ABCD面互相垂直AD⊥CDABCDABAD点M线段ECEC垂合
（1）点MEC中点时求证：BM面ADEF
（2）面BDM面ABF成锐二面角余弦值时求三棱锥M—BDE体积
（Ⅰ）分轴建立空间直角坐标系
22湖北省八校2013届高三第二次联考（（题满分12分）左图四边形中中点
左图直线折起二面角右图
（1） 求证：面
（2） 求直线面成角余弦值
（1）取中点连结（2分）余弦定理知（4分）面面 (6分)
（2）原点建立图示空间直角坐标系
（8分）设面法量
232013年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试
图四棱锥P—ABCD中PA⊥ADAB∥CDCD⊥ADAD CD 2AB 2EF分PCCD中点DE EC
（1）求证：面ABE⊥面BEF
（2）设PA a面EBD面ABCD成锐二面角求a取值范围
(Ⅰ)分中点
矩形 ················· 2分
面面
面⊥面 ····················· 4分
(Ⅱ)
面 ··················6分[源ZxxkCom]
法：建系轴轴轴
面法量面法量 ··········9分
·············12分
法二：连交点四边形行四边形中点连
24成龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷图四棱锥P－ABCD中PA⊥底面ABCD四边形ABCD中AB⊥ADAB＋AD＝4CD＝∠CDA＝45°
(Ⅰ)求证：面PAB⊥面PAD
(Ⅱ)设AB＝AP．
(ⅰ) 直线PB面PCD成角30°求线段AB长
(ⅱ) 线段AD否存点G点G点PBCD距离相等？说明理．
解：解法：
(Ⅰ)证明：PA⊥面ABCDAB⊂面ABCD
PA⊥ABAB⊥ADPA∩AD＝A
AB⊥面PADAB⊂面PAB
面PAB⊥面PAD……………………………………………3分
(Ⅱ)A坐标原点建立空间直角坐标系A－xyz(图)．
面ABCD作CE∥AB交AD点ECE⊥AD
Rt△CDE中DE＝CD·cos45°＝1
CE＝CD·sin45°＝1
设AB＝AP＝t B(t00)P(00t)．
AB＋AD＝4AD＝4－t
线段AD存点G
点G点PBCD距离相等．……………………………………12分
25北京市阳区高三年级第二次综合练图四边形
A
D
B
C
P
E
F
G
H
正方形面 分中点．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求面面成锐二面角
（Ⅲ）线段否存点直线直线
成角？存求出线段长
存请说明理
（Ⅰ）证明：分中点
面面
面 …………4分
（Ⅱ）面
面面成锐二面角 …………9分
（Ⅲ）假设线段存点直线直线成角
题意设中
考点预测
1动点P边长1正方体ABCDA1B1C1D1角线BD1BD1移动点P作垂直面BB1D1D
直线正方体表面交MNBPxMNyB1
A
B
C
D
A1
C1
D1
P
A2
B2
C2
D2
M
N
图1
B
D1
D
B1
P
D2
x
B2
图3
B2
D2
A2
C2
P
M
N
图2
N´
M´
P´
函数yf(x)解析式
∴
2已知圆柱底面半径1高ABCD圆柱轴截面．动点M点B出发着圆柱侧面达点D距离短时侧面留曲线图示．轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转边
曲线相交点P．
(1) 求曲线长度
(2) 时求点面APB距离
(3) 否存二面角？存求出线段BP长度
存请说明理．
解法：（1）圆柱半展开底面半圆周变成长方形边BA曲线角线BD实际正方形
（3）二面角直二面角考查二面角否
作Q连结PQ
面
二面角面角
中
需
令
单调递减
恒成立存说存二面角
解法二：图O原点OB直线x轴OOB垂直直线y轴建立空间直角坐标系
（1）解法
（2）时面APB法量
点面APB距离
（3）设面APB法量
取
面DAB法量
：解法
3 图面四边形4顶点球表面 球直径球面点面 点中点
(1) 证明：面面
(2) 求面面成锐二面角余弦值
(1) 证明：
行等四边形行四边形
(6分)
(2) 原点方轴面点垂直方轴 方轴建立图示坐标系
知
知
面面成锐二面角余弦值 (12分)
42图边长4菱形中．点分边点点重合．翻折位置面⊥面．
B
C
P
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
A
第18题图
（1）求证：⊥面
（2）取值时点
满足()试探究：
直线面成角
否定？说明理．
时 时 7分
设点坐标
前知
∵
∴．
∴
∴． 10分
设面法量．
∵∴
取解： 10分
设直线面成角
∴
．
∵∴． ∵∴．
直线面成角结成立． 12分
5 图AB圆柱底面直径母线截面ACEF边长1正方形
（Ⅰ）求证：面ABE⊥面BCF
（Ⅱ）面BEF面BCF成二面角求圆柱底面直径AB长
设
设面法量
面BCF法量面BCF
直径AB长………12分
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考点分类
热点 求角问题
12013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理已知三棱柱侧棱底面垂直体积底面边长正三角形底面中心面成角
A B C D
22013年普通高等学校统考试试题纲全国理科已知正四棱柱中CD面成角正弦值等（ ）
A． B． C． D．
设
3(2012年高考陕西卷理科5)图空间直角坐标系中直三棱柱直线直线夹角余弦值（ ）
（A） （B） （C） （D）
4(2012年高考全国卷理科16)三菱柱ABCA1B1C1中底面边长侧棱长相等 BAA1CAA160°异面直线AB1BC1成角余弦值____________
答案
52013年普通高等学校统考试江苏数学试题
图直三棱柱中点中点
（1）求异面直线成角余弦值
（2）求面面成二面角正弦值
∴
62013年普通高等学校招生全国统考试（辽宁卷）理科
图
（I）求证：
（II）
二面角CPBA余弦值
72013年普通高等学校统考试试题新课标Ⅱ数学（理）卷图直棱柱ABC中DE分ABBB1中点ACCBAB
（Ⅰ）证明： 面
（Ⅱ）求二面角DE正弦值
二面角DE正弦值
82013年普通高等学校招生全国统考试（山东卷）理
图示三棱锥中面分中点
交交点连接
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角余弦值
令
理
二面角钝角二面角余弦值
92013年普通高等学校招生全国统考试数学浙江理
图四面体中面中点中点点线段
（Ⅰ）证明：面
（Ⅱ）二面角求
102013年普通高等学校招生全国统考试（湖南卷）理
图5直棱柱
（I）证明：
（II）求直线成角正弦值
法量直线成角正弦值
112013年全国高考新课标（I）理科
图三棱柱ABCA1B1C1中CACBABA A1∠BA A160°
（Ⅰ）证明AB⊥A1C
A
B
C
C1
A1
B1
z
x
y
O
（Ⅱ）面ABC⊥面AA1B1BABCB求直线A1C 面BB1C1C成角正弦值
A
B
C
C1
A1
B1
122013年普通高等学校招生全国统考试湖北卷理科
图圆直径点圆异点直线面分中点
（Ⅰ）记面面交线试判断直线面位置关系加证明
（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线l圆交点点Q满足 记直线面成角异面直线成角二面角求证：
13(2012年高考浙江卷理科20) (题满分15分)图四棱锥P—ABCD中底面边长菱形∠BAD＝120°PA⊥面ABCDPA＝MN分PBPD中点．[源学&科&网Z&X&X&K]
(Ⅰ)证明：MN∥面ABCD
(Ⅱ) 点A作AQ⊥PC垂足点Q求二面角A—MN—Q面角余弦值．
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面AMN：设法量．
14(2012年高考辽宁卷理科18) (题满分12分)
图直三棱柱
点MN分中点
(Ⅰ)证明：∥面
(Ⅱ)二面角直二面角求值
15(2012年高考江西卷理科19)（题满分12分）
三棱柱ABCA1B1C1中已知ABACAA1BC4A1底面ABC投影线段BC中点O
（1）证明侧棱AA1存点EOE⊥面BB1C1C求出AE长
B
y
O
C
A
E
z
A11
B1
C1
x
（2）求面面BB1C1C夹角余弦值
方法总结
1．利量法求异面直线成角时注意量夹角异面直线成角异．时注意根异面直线成角范围(0]出结．
2．利量法求线面角方法
分求出斜线面射影直线方量转化求两方量夹角(补角)
二通面法量求求出斜线方量面法量夹锐角钝角补角取余角斜线面成角
3．利空间量求二面角两种方法：分二面角两半面找棱垂直垂足出发两量两量夹角二面角面角二通面法量求：设二面角两半面法量分n1n2二面角等〈n1n2〉(π－〈n1n2〉)．
4．利空间量求二面角时注意结合图形判断二面角锐角钝角．
热点二 求距离问题
162013年普通高等学校招生全国统考试（北京卷）理图棱长2正方体ABCDA1B1C1D1中EBC中点点P线段D1E点P直线CC1距离值
17(2012年高考全国卷理科4)已知正四棱柱中中点直线 面距离（ ）
A．2 B． C． D．1
18(2012年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥ABC点PABC半径
求面PAPBPC两两互相垂直球心截面ABC距离_______
三棱锥ABC面ABC高球心截面ABC距离
192013年普通高等学校招生全国统考试（海卷）理
图长方体ABCDA1B1C1D1中AB2AD1A1A1证明直线BC1行面DA1C求直线BC1面D1AC距离
202013年普通高等学校统考试试题纲全国文科
图四棱锥中边长等边三角形
（I）证明：
（II）求点A面PCD距离
212013年普通高等学校招生全国统考试（江西卷）文科
图直四棱柱中ECD点
（1） 证明：BE⊥面
（2） 求点面距离
222013年普通高等学校招生全国统考试（湖北卷）文科
图某质队水面ABC三处垂直钻探A点钻A1处发现矿藏继续钻A2处面已矿A处正方矿层厚度．样BC处正方矿层厚度分 中点直线行面截面体截面该面体
中截面面积记．
（Ⅰ）证明：中截面梯形
（Ⅱ）△ABC中记BC边高面积 估测三角形区域正方矿藏储量（面体体积）时似公式估算 已知试判断V关系加证明
四边形均梯形
23(2012年高考天津卷理科17)（题满分13分）图四棱锥中丄面
丄丄
(Ⅰ)证明：丄
（Ⅱ）求二面角正弦值
（Ⅲ）设棱点满足异面直线成角
求长
24(2012年高考重庆卷理科19)（题满分12分（Ⅰ）问4分（Ⅱ）问8分）
图直三棱柱 中AB4ACBC3DAB中点
（Ⅰ）求点C面 距离
（Ⅱ）求二面角 面角余弦值
方法总结点面距离利量法求解较简单理基础出法题事实作BH⊥面CMNH＝＋·n＝n·|·n|＝|n·|＝||·|n|||＝d＝
热点三 折叠问题
252013年普通高等学校招生全国统考试（广东卷）理
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E
图1
图2
图1等腰直角三角形中分点中点折起图2示四棱锥中
(Ⅰ) 证明面
(Ⅱ) 求二面角面角余弦值
C
D
O
x
E
量法图
y
z
B
C
D
O
B
E
H
26(2012年高考安徽卷理科18)（题满分12分）
面图形图4示中矩形现该面图形分折叠面面垂直分连接图2示空间图形空间图形解答列问题
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）求长
（Ⅲ）求二面角余弦值
考点剖析
．明确求
1理解直线方量面法量．
2量语言表述直线直线直线面面面垂直行关系．
3量方法证明关直线面位置关系关命题．
4量方法解决两异面直线成角直线面成角二面角计算问题解量方法研究立体问题中应
二．命题方
利量法求空间角命题热点．着重考查学生建立空间坐标系空间量坐标运算力．题型解答题难度中档
三．规律总结
种方法
空间量解决问题般方法步骤：
(1)适选取基底{abc}
(2)abc表示相关量
(3)通运算完成证明计算问题．
两理解
(1)线量定理种形式：
①a＝λb⇒a∥b
②空间意两量线充条件存λμ∈Rλa＝μb
③线PAB三点线充条件＝λ＋μλ＋μ＝1
(2)面量定理空间量基定理线量定理进行学理解．空间量基定理适选取基底线量定理面量定理证明三点线线线行四点面线面行工具三定理保证量作桥梁实数运算方法完成证明问题完美嫁接．
四种运算
空间量四种运算面量四种运算加法减法数数量积形式容完全 致类学．学生特注意面量概念．四种运算运算律类实数加减运算律进行学．
三种成角
(1)异面直线成角范围
(2)直线面成角范围
(3)二面角范围[0π]．
易误警示
利面法量求二面角时求出两半面αβ法量n1n2时根量坐标图形中观察法量方确定二面角量n1n2夹角相等互补利量求二面角难点易错点．
考点模拟
．扎实基础
1天津市新华中学2013届高三学期第三次月考数学试卷 图EF分三棱锥PABC棱APBC中点PC10AB6EF7异面直线ABPC成角（ ）
A 90° B 60° C 45° D 30°
答案B
解析取AC中点M连结EMMFEF中点MFME成角ABPC成角三角形MEF中直线ABPC成角选B
2 2013年云南省第二次高中毕业生复统检测三棱锥中底面
正三角形分侧棱中点．面面面
面成二面角（锐角）余弦值等
N
M
C
A
B
P
（A）
（B）
（C）
（D）
3 广西百高中2013届高三年级第三届联考图三棱锥P—ABC中
面ABCPA2边长正三角形点DPB中点
异面直线PACD成角正切值（ ）
A． B．
C． D．
4河北省唐山市20122013学年度高三年级摸底考试
三棱锥P－ABC中PA＝PBPC侧棱PA底面ABC成角60°该三棱锥外接球体积
（A） (B) (C)4 （D)
52012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试图设正方体棱长1EF分中点点A面EFDB距离( )
A． B． C． D．1
6 云南玉溪中高2013届高三学期第三次月考 设动点棱长1正方体角线记钝角时取值范围
7 20122013学年度河北省普通高中高三11月教学质量监测已知ABCD正方形点P面ABCD外点二面角点C面PAB距离
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
[源学+科+网]
8 广西百高中2013届高三年级第三届联考图长方体ABCD
—A1B1C1D1中ABBC2AA11EA1D1中点BE面BB1D1D
成角正弦值
答案
92012河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试图正方体中EF分CD中点异面直线EF成角余弦值
答案
解析连结易证求等边三角形
∴成角∴EF成角
∴直线EF成角余弦值
10浙江省名校新高考研究联盟2013届第次联考
已知正方形面
变化时直线面成角正弦值取值范围
．
（第17题）
答案
二．力拔高
11 浙江省镇海中学2013年高三考前模拟图等腰直角三角形中 现折起二面角直角列叙述正确 ( )
A
B
C
D
A
B
C
D
①
②面法量面法量垂直
③异面直线成角
④直线面成角
A．①③ B．①④ C．①③④ C．①②③④
答案B
解析易证容易证明①④正确②错误成角余弦值
13河北省保定市2013年高三第次模拟考试正方体ABCDA1B1C1 D1中MCC1中点P底面ABCD运动满足∠DPD1＝∠CPM点P轨迹( )
A圆部分 B椭圆部分
c双曲线部分 D抛物线部分
答案A
解析∴面ABCDD原点建立面直角坐标系ADC设DC1P（xy）
∴整理轨迹圆部分选A
142013年云南省第二次高中毕业生复统检测（题满分12分）
图长方体中线段中点．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求直线面成角正弦值．
D1
C1
B1
A1
A
B
C
D
M
[源学科网ZXXK]
16 云南玉溪中高2013届高三学期第三次月考（题满分12分）图长方体中点棱AB移动
（1）证明：
（2）中点时求点面距离
（3）等值时二面角
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
17 浙江省嘉兴市2013届高三4月教学测试图△中点交交．△翻折成△面面△翻折成△面面．
（Ⅰ）求证：面．
（Ⅱ）设值时二面角？
（第20题）
化简解． …15分
18 河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试（题满分12分）
图直三棱柱中ABBCQAC点AB1面BC1Q
（Ⅰ）确定点QAC位置
（Ⅱ）QC1面BB1C1C成角正弦值求二面角Q－BC1—C余弦值
A
B
C
Q
A1
B1
C1
P
＝(0ab)＝(－aab)．
QC1面BC1C成角正弦值
＝＝解b＝a …8分
设面C1BQ法量n＝(xyz)
取n＝(1－2)． …10分
cosámnñ＝＝．
二面角QBC1C余弦值． …12分
19 江西省南昌市2013届二模考试图已知：菱形ABEF面直角梯形ABCD面互相垂直AB2AD2CD4点HG分线段EFBC中点
(1) 求证：面AHC面BCE
(2) 点直线EF面AFD求面ACH面ACM成角余弦值
20 湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试．（题满分12分）图矩形梯形面面
（Ⅰ）中点求证：∥面
（Ⅱ）求面成锐二面角．
∴ 面成锐二面角60°
解法二：延长CBDA相交G连接PG点D作DH⊥PG 垂足H连结HC
∵矩形PDCE中PD⊥DCAD⊥DCPD∩ADD
∴CD⊥面PAD ∴CD⊥PGCD∩DHD
三．提升
21 湖北黄冈市2013年高三年级4月份模拟考试
（题满分12分）图正方形ADEF梯形ABCD面互相垂直AD⊥CDABCDABAD点M线段ECEC垂合
（1）点MEC中点时求证：BM面ADEF
（2）面BDM面ABF成锐二面角余弦值时求三棱锥M—BDE体积
（Ⅰ）分轴建立空间直角坐标系
22湖北省八校2013届高三第二次联考（（题满分12分）左图四边形中中点
左图直线折起二面角右图
（1） 求证：面
（2） 求直线面成角余弦值
（1）取中点连结（2分）余弦定理知（4分）面面 (6分)
（2）原点建立图示空间直角坐标系
（8分）设面法量
232013年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试
图四棱锥P—ABCD中PA⊥ADAB∥CDCD⊥ADAD CD 2AB 2EF分PCCD中点DE EC
（1）求证：面ABE⊥面BEF
（2）设PA a面EBD面ABCD成锐二面角求a取值范围
(Ⅰ)分中点
矩形 ················· 2分
面面
面⊥面 ····················· 4分
(Ⅱ)
面 ··················6分[源ZxxkCom]
法：建系轴轴轴
面法量面法量 ··········9分
·············12分
法二：连交点四边形行四边形中点连
24成龙泉驿区2013届5月高三数学押题试卷图四棱锥P－ABCD中PA⊥底面ABCD四边形ABCD中AB⊥ADAB＋AD＝4CD＝∠CDA＝45°
(Ⅰ)求证：面PAB⊥面PAD
(Ⅱ)设AB＝AP．
(ⅰ) 直线PB面PCD成角30°求线段AB长
(ⅱ) 线段AD否存点G点G点PBCD距离相等？说明理．
解：解法：
(Ⅰ)证明：PA⊥面ABCDAB⊂面ABCD
PA⊥ABAB⊥ADPA∩AD＝A
AB⊥面PADAB⊂面PAB
面PAB⊥面PAD……………………………………………3分
(Ⅱ)A坐标原点建立空间直角坐标系A－xyz(图)．
面ABCD作CE∥AB交AD点ECE⊥AD
Rt△CDE中DE＝CD·cos45°＝1
CE＝CD·sin45°＝1
设AB＝AP＝t B(t00)P(00t)．
AB＋AD＝4AD＝4－t
线段AD存点G
点G点PBCD距离相等．……………………………………12分
25北京市阳区高三年级第二次综合练图四边形
A
D
B
C
P
E
F
G
H
正方形面 分中点．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求面面成锐二面角
（Ⅲ）线段否存点直线直线
成角？存求出线段长
存请说明理
（Ⅰ）证明：分中点
面面
面 …………4分
（Ⅱ）面
面面成锐二面角 …………9分
（Ⅲ）假设线段存点直线直线成角
题意设中
考点预测
1动点P边长1正方体ABCDA1B1C1D1角线BD1BD1移动点P作垂直面BB1D1D
直线正方体表面交MNBPxMNyB1
A
B
C
D
A1
C1
D1
P
A2
B2
C2
D2
M
N
图1
B
D1
D
B1
P
D2
x
B2
图3
B2
D2
A2
C2
P
M
N
图2
N´
M´
P´
函数yf(x)解析式
2已知圆柱底面半径1高ABCD圆柱轴截面．动点M点B出发着圆柱侧面达点D距离短时侧面留曲线图示．轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转边
曲线相交点P．
(1) 求曲线长度
(2) 时求点面APB距离
(3) 否存二面角？存求出线段BP长度
存请说明理．
解法：（1）圆柱半展开底面半圆周变成长方形边BA曲线角线BD实际正方形
（3）二面角直二面角考查二面角否
作Q连结PQ
面
二面角面角
中
需
令
单调递减
恒成立存说存二面角
解法二：图O原点OB直线x轴OOB垂直直线y轴建立空间直角坐标系
（1）解法
（2）时面APB法量
点面APB距离
（3）设面APB法量
取
面DAB法量
：解法
3 图面四边形4顶点球表面 球直径球面点面 点中点
(1) 证明：面面
(2) 求面面成锐二面角余弦值
(1) 证明：
行等四边形行四边形
(6分)
(2) 原点方轴面点垂直方轴 方轴建立图示坐标系
知
知
面面成锐二面角余弦值 (12分)
42图边长4菱形中．点分边点点重合．翻折位置面⊥面．
B
C
P
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
A
第18题图
（1）求证：⊥面
（2）取值时点
满足()试探究：
直线面成角
否定？说明理．
时 时 7分
设点坐标
前知
∵
∴．
∴
∴． 10分
设面法量．
∵∴
取解： 10分
设直线面成角
∴
．
∵∴． ∵∴．
直线面成角结成立． 12分
5 图AB圆柱底面直径母线截面ACEF边长1正方形
（Ⅰ）求证：面ABE⊥面BCF
（Ⅱ）面BEF面BCF成二面角求圆柱底面直径AB长
设
设面法量
面BCF法量面BCF
直径AB长………12分
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