意角
例1 写出终边符合列求角集：
（1）x轴_________________________________________．
（2）y轴_________________________________________．
（3）坐标轴_________________________________________．
（4）直线y x_________________________________________．
（5）直线y xy x．_________________________________．
例2 写出终边符合列求角集：
（1）第四象限_________________________________________．
（2）第三象限_________________________________________．
例3 写出终边符合列条件两角关系：
（1）终边重合_________________________________________．
（2）终边条直线_______________________________________．
（3）终边关x轴称_________________________________________．
（4）终边关y轴称_________________________________________．
（5）终边关原点称_________________________________________．
（6）终边关直线称____________________________________．
（7）终边关直线称___________________________________．
1 已知角正角果角终边角终边重合试求值
2 扇形区域区域周期旋转周恰次覆盖该区域角形区域周期旋转周恰两次覆盖该区域
3 集合集合
关系___________
4 时钟拨慢5分钟时针转__________度分针转_________度
5 已知终边关直线称
6 已知点落角终边值_______
变：角（）终边点）
二弧度制
1 已知圆段弧长等等该圆接正三角形边长段弧圆周角弧度数__________
2 已知扇形周长面积值________
拓展：（通常半径作变量构建函数模型）
（1）扇形周长定值时仅扇形应圆心角时取扇形面积值
（2）扇形面积定值时仅扇形应圆心角时取周长值
3（旋转问题）
（1）直径轮子长弦弦中点轮子秒转点转弧长_________
（2）已知相互齿合两齿轮轮50齿轮20齿
（1）轮转动周时求轮转动角弧度数（考虑方）
（2）果轮转速（转分）轮半径试求轮圆周点转弧长 轮转速
（3）已知轴正半轴点绕着原点逆时针方做匀速圆周运动已知点分钟转角（）2分钟达第三象限14分钟回原位置少弧度？
4 取值范围________
5 扇形面积周长求圆心角弧度数弧长
6 已知扇形圆心角半径6扇形含弓形面积_______
7 已知圆心角弦长2求
（1）圆心角弦长
（2）圆心角扇形面积
8 图长宽长方形木块桌面作滑动翻滚翻滚第三面
时木板挡住木块底面桌面成30角点A走弧总长 _
三意角三角函数
1 时角终边位____________
2 已知角终边点试判断角象限求值
3 果角终边点坐标原点距离1点坐标_______
4 已知角终边落直线求值
5 已知角终边点值_______
6 已知点角终边反延长线点坐标_______
7 点角终边实数取值范围________
8 角终边点_______ 123
9 满足条件__________
10 满足条件__________
11 满足条件__________
12 利单位圆中三角函数线完成列问题：
（1）确定列角取值范围：
（2）已知锐角证明：（利面积周长）
（3）已知均第二象限角关系______
（4）作出符合列条件角终边：
（5）求函数定义域：
变式1函数定义域
变式2函数定义域
变式3集合
变式4函数定义域
（6）锐角试较间关系
13函数值域______
变式函数值域______
14第二三象限角x取值范围______
15AB单位圆两质点B点初始坐标（10）质点A角速度逆时针方单位圆运动质点B1rads角速度时针方单位圆运动点A作轴点点B作轴点
（1）求1s弧度数
（2）求质点AB单位圆第次相遇时间
（3）设点间距离y请写出y关时间t函数关系式求出值
变式点P（10）出发单位圆逆时针方匀速运动角速度radst s钟运动Q点
（1） t4求Q点坐标（2）时求弦PQ长（t表示）
解：（1） （2） （余弦定理两点间距离公式垂径定理）
16角终边点 值______
17已知角终边直线实数______
利斜率解决 结果2
18角x象限 ______ 二四
19已知点第象限角取值范围______
20关x二次方程两根角范围______
21已知均正数满足
值_____________
原题呈现：已知非零实数满足
值 _____
思考：命题意图？三角函数定义
方法角度消参两种方式：（1）引入新参数消参（2）直接部消参引入新参数
练：二次函数满足意正整数
解析式_______________
考点：曲线参数方程消：
四角三角函数基关系式
1试单位圆法定义法证明角三角函数基关系式
2化简列三角函数式：
3证明列三角恒等式：（弦切互化1代换）
（1）
(2)
(3)
4已知求列式值：
（1）（2）（3）
5已知
变式1已知
（1）求值（2）求值
变式2设
（1）求 （2）求
变式3已知
变式4设______
变式5已知
（1） 求值（2）求值
（3） 时求
6已知求值
变式：值（齐次分式求值问题）
变：已知值______
7求角x取值范围______
变式：化简
8第______ 象限四
9化简
10已知方程两实数根实数k值______
11 求值：_________ 1
12 （1）已知求值
（2）已知求值
（3）已知求值
解：角位第四象限轴正半轴时
角位第二三象限轴负半轴时
13 已知_________（）
五三角函数诱导公式
1 已知_______
2 _______
3 已知_____________
4 求列式值
（1）
（2） 0
5 化简： 1
6 已知第三象限角_______
7 中三角分____________
8 ________
9 化简：________ 1
10 已知
11
12 已知
（i）化简
（ii）第三象限角求值
13 已知
（1）求值
（2）求值
（3）求值
14 果_________
15 化简：
（1）_______
（2）
（3）
16 中求证：
总结中三角结：正弦余弦正切关系？半角关系？
拓展：已知次圆接四边形四角
（1）（2）
17 判断列函数奇偶性：
（1）
（2）
18 果
19 已知________
20 ________
21 函数值域________
22 已知求值
23 已知求值．
24 已知
（i）化简
（ii）第三象限角求值
25 定义函数图图交点点轴距离______________
六三角函数周期性
1 函数正周期值 ．
2 ＝_
3 已知存切实数x恒成立________
4 已知函数正周期图左移单位长度图关y轴称值
5 设函数正周期_________
6 定义函数满足周期_______
7 已知定义3周期偶函数方程区间解数值________
8 已知函数满足：求证：周期函数
9 已知函数定义周期4奇函数
（1）求值（2）时求时解析式
10 定义函数满足时
时 338
11 设函数列结错误命题序号_______3
（1）值域（2）偶函数（3）周期函数
（4）单调函数
12 已知设函数2周期奇函数
画出图象求解析式
解：
13定义周期2函数区间
中．值 ______ 10
14 函数y＝f(x)定义R周期函数周期T＝5函数y＝f(x)(－1≤x≤1)奇函数
知y＝f(x)[01]次函数[14]二次函数x＝2时函数取值－5
(1)证明：f(1)＋f(4)＝0(2)求y＝f(x)x∈[14]解析式(3)求y＝f(x)[49]解析式．
解：（2）
（3）
15 已知函数
（1）求函数正周期
（2）求值
16 定义R奇函数满足时时解析式________
17 已知函数区间表达式意
18 函数意成立
值________ 2
19 求函数值值
研究周期：考虑函数情形
值1值
七三角函数图象性质
1 已知函数切实数恒成立实数取值范围________
2 函数取值范围________
变：成立角x范围__________
3 已知函数图直线交点中距离两点间距离 2
4 函数出列结：①图象关原点成中心称②图象关直线成轴称③图象函数图象左移单位④图象左移单位函数图象中正确结_______
5 函数增函数区间值正数
值__________
6 已知正实数增函数取值范围_____
变式1：已知函数区间值3值等_________ 2
变式2：已知函数区间值值等_________ 1
变式3：已知函数区间值2值等_________ 2
7 函数函数y2图象围成封闭图形封闭图形面积____________
8 设x∈[0]关x方程两解a取值范围_______
9 关函数列命题：
（1） 必π整数倍
（2） yf(x)表达式改写成
（3） yf(x)图象关点称
（4） yf(x)图象关直线称
中正确命题序号_____________（注：认正确命题序号填）
10 已知函数区间值值 ．
11 已知函数时取值周期中时取值
（1）求函数解析式
（2）求函数单调增区间
（3）求值
解：（1）题意1分
∴ ∴∴4分
代入∴
∴6分
（2）9分
函数单调增区间10分
（2） 13分
∴∴15分
12 函数图象直线仅两交点k取值范围
13 关方程两等实根值
14 （2009全国卷Ⅰ理）果函数图关点中心称值
15 (2009湖北卷理)函数图象量移函数解析式奇函数时量等
16 函数（常数）部分图象图示值 _____
17 函数）
图图示
18 函数图象点右移1单位图象点横坐标扩原倍（坐标保持变）函数图象解析式 _______
19 函数图象需函数图象_ _移_ _单位
20 函数图量移函数图关原点称样量否唯？唯求出唯求出模量
21 （2009全国卷Ⅱ理）函数图右移单位长度函数图重合值
变式：（2011全国卷）设函数图象右移单位长度原图象重合值 图象原图象关轴称值 图象偶函数值
22 递减区间______递减区间_______
23 函数单调递减 取值范围_________
24 关方程满足方程两实数解取值范围_________
25 种波波形函数图象区间少2波峰（图象高点）正整数值_________
26 已知函数图
象称轴完全相 值
27 函数（中）图象
图示点A函数图象x轴交点点BD分
函数图象高点低点点C点B
x轴射影
28
函数部分图象右图示
．
29 函数减函数取值范围_____
30 函数称轴方程__________
31 已知函数区间少取两次值取三次值
取值范围______________
32 定义函数图象图象交点点轴距离________
33 求列函数定义域：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）
（8）
（9） （10）
34 画出列函数图象根图象判断函数周期性
（1）（2）（3）
（4）（写出单调区间）（5）（单调递增区间）
35 判断列函数奇偶性：
（1）
（2）
36 函数值域________
37 （1）较
（2）锐角三角形中较关系
38 求列函数值域
（1）（2）
（3）（4）
39 已知函数
（1）作出函数图象
（2）函数图象求出正周期值域单调递增区间
40 已知函数区间单调递增实数取值范围_______
41 定性质：a正周期πb图象关直线x＝称．列四函数中时具性质ab________．
①y＝sin(＋) ② y＝sin(2x＋) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－)
42 已知a实数函数f(x)＝1＋asinax图象________．4
43 图函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0ω>0－π<φ<π)x∈R部分图象列命题中正确命题序号________．
①函数f(x)正周期
②函数f(x)振幅2
③函数f(x)条称轴方程x＝π
④函数f(x)单调递增区间[π]
⑤函数解析式f(x)＝sin(2x－π)．
44 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0－π≤φ<π)图象图示φ＝________
解析：图知＝2π－π
∴T＝π∴＝π∴ω＝
∴y＝sin(x＋φ)．
∵sin(×π＋φ)＝－1
∴sin(π＋φ)＝－1
45 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0|φ|<π)图象图示φ＝________
解析：图象知T＝2(－)＝π
∴ω＝＝2点(1)代入2×＋φ＝φ＝答案：
46 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈Rω>0)正周期π函数g(x)＝cosωx图象y＝f(x)图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈Rω>0)正周期π∴＝π
ω＝2f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x 答案：左移单位长度
47 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) 图象图示f()＝－f(0)＝________
解析：＝π－π＝∴ω＝＝3
(π0)函数升段零点
∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)φ＝－＋2kπk∈Z
代入f()＝－A＝∴f(0)＝ 答案：
48 0≤x≤1时等式sin≥kx恒成立实数k取值范围________．
解析：0≤x≤1时y＝sin图象图示y＝kx图象[01]间部分应位图象方k≤0时y＝kx[01]图象恒x轴方原等式成立．
k>0kx≤sin时x∈[01]恒成立k≤1．
k≤1时x∈[01]恒sin≥kx答案：k≤1
49 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R(中A>0ω>00<φ<)周期π图象低点M(－2)．
(1)求f(x)解析式(2)x∈[0]时求f(x)值．
解：(1)低点M(－2) A＝2T＝πω＝＝＝2
点M(－2)图象2sin(＋φ)＝－2sin(＋φ)＝－1
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)φ＝2kπ－k∈Zφ∈(0)∴φ＝
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0]∴2x＋∈[]∴2x＋＝x＝0时f(x)取值12x＋＝x＝时f(x)取值
50 方程解数_________ 7
51 果函数图象关点中心称值______
52 已知求值 值值
53 O
y
2
1
2
已知函数周期图象图示
（1）求函数解析式
（2）求函数单调递增区间
（3）设方程两实数根
求实数m取值范围两根
54 已知函数图象轴右侧第高点（函数取值点）原点右侧轴第交点
（1）求函数解析式
（2）求函数区间称轴方程
55 函数图象右移单位长度图象关轴称值_________
56 试五点法作出函数图象说明函数图象图象变换？
57 已知函数
（1）函数否周期函数？什？
（2）求单调增区间值
58 已知函数定义域值域实数
59 矩形中轴矩形恰完全覆盖函数
完整周期图象变化时矩形周长值
60 函数R偶函数图象关点称区间单调函数函数解析式
变式：函数R偶函数图象关点称区间单调函数函数解析式
62 函数图象交点数_______ 3
63 时等式恒成立实数取值范围________
64 函数正周期__________
变式：函数正周期__________
65 已知点函数
图象意两点角终边点时值
（1）求函数解析式
（2）求函数单调递增区间
（3）时等式恒成立求实数取值范围
解：解：（1）角终边点
时值
∴
(2）
函数单调递增区间
(3 ) 时
等价 值
实数取值范围
66 函数（）图象关直线称θ ．
67 函数y 图象函数y sin x图象作两次变换第次变换针
函数y sin x图象言第二次变换针第次变换图象言．现出
列四变换：
A 图象点右移单位
B 图象点右移单位
C 图象点横坐标变原2倍（坐标变）
D 图象点横坐标变原倍（坐标变）
请序写出两次变换代表字母： ________ （填写组）BD（DA）
68 已知函数值正周期相函数单调增区间 ．
69 定义运算函数值域_______
70 函数（）单调递增区间________
71 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)φ∈Rf(x)≤|f()|x∈R恒成立f()＞f(π)f(x)单调递减区间 ［kπ－kπ－］k∈Z
72 函数图左移少 单位偶函数图
七三角函数应
1．已知泰州某浴场水高度时间函数记作表某日时浪高数：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
15
10
05
10
15
10
05
099
15
长期观察曲线似成函数
（1） 根数求出函数正周期振幅函数表达式
（2）规定高度高时游泳爱者开放请根（1）结判断天午8时晚20时间长时间供浪者进行运动？
2 图点O作简谐振动物体衡位置取右
O
方正方振幅3cm周期3s物体右运
动距衡位置远处时开始计时．该物体5s时刻
位移 cm． 答案：－15．
3
（3）求证：值定值
4 半径2m水轮图示水轮圆心O距离水面1m已知水轮逆时针做匀速转动3 s转圈果水轮点P水中浮现时（图中点P0）开始计算时间
(1) 试建立适坐标系点P距离水面高度h（m）表示时间t（s）函数
(2) 点P第次达高点约长时间？
(3) 记f（t）h求证：t值f (t) + f (t + 1) + f (t + 2)定值
P
P0
O
2
1
5 弹簧挂着球做振动时间（秒）离开衡位置（静止时位置）距离函数关系决定
（1）求球开始振动时位置
（2）求球升高点降低点位置
（3）少时间球返次？
（4）秒钟球返少次？
八三角恒等变换
（）三角函数图象问题
1 函数图象轴移单位函数图象中取值中绝值_________
2 已知函数中
（1）求值
（2）（1）条件函数图象相邻两条称轴间距离等求函数解析式求正实数函数图象左移单位应函数偶函数
解：（1）（2）
3 已知函数轴右侧第高点横坐标
（1）求
（2）函数图象右移单位图象点横坐标伸长原4倍坐标变函数图象求函数值单调递减区间
4 已知函数（中）周期图低点
（1）求解析式
（2）求函数值应值．
5 已知函数区间单调函数正整数值__________ 123
6 函数函数图象称轴相实数值
（二）化简求值问题
1 已知 ．0
2 已知函数图象关直线称值______ 1
3 已知 ．7
4 已知量．
(1) 求值
(2) 求值．
（1）知……………………2分
． …………………………………6分
（2）
① ……………………………………………10分
②①②解…12分
． ……14分
5 已知函数（）值2实数值_________
6（2011四川）已知函数
（1）求正周期值
（2）已知求证：
7 求列函数值域：
（1）（锐角）（2）（反控法）
（3）
8 已知函数直线（）函数图象分交两点
（1）时求值12
（2）求时值 1
9 设函数中量
（1）求函数正周期单调递增区间
（2）时值4求值 1
10（2011天津卷）已知函数
（1）求定义域正周期
（2）设求．
（1）解：
定义域正周期
（2）解：
整理
11 已知量
（1）时求值
（2）定义函数求正周期值
12 已知
（1）求正周期
（2）值值3求实数值 0
13 已知定义函数正周期
（1）求值
（2）试探究满足什关系时切恒成立
14 已知函数
（1）时求函数取值范围
（2）时求实数值 2
15 计算 值等 ．
16 已知函数定义域值域
值分______
17 求函数值域 三角换元
18 （2010浙招生）
19 已知
20 求证：
21 训练1：角拆分
（1）已知角正余弦值求三角函数值？
（2）已知角正余弦值求三角函数值？
（3）已知角正余弦值求三角函数值？
训练2：角范围求解
（1）已知求范围
（2）已知求范围
（3）求范围
22 （1）成立？恒成立？什？（反例思想）
（2）均锐角时判断关系说明理
23 图中直角点设
（1）试求边长推出三角函数值
（2）设（均锐角）试图推出公式
24 函数值_________值___________
25 （1）成立？恒成立？什？（反例思想）
（2）均锐角时判断关系说明理
26 已知
27 已知求值
28 中已知试求值
29 已知均锐角
（1）（2）
30 已知量
（1）试求锐角值
（2）求值
（▲）差倍角三角函数题课（1）
基础训练
1 ____________________________
2 化简：
3
4 列式中值__________ ① ②
③ ④ ②
5 化简：
6 角值_______
注：利两角互余优化
7 已知均锐角1
8 化简：1
二例题精讲：
例1：化简：
讲评：（1）分子完全方公式
（2）弦切互化
（3）角拼凑划分整体关系
（4）化繁简数学贯追求
例2：化简：
讲评：抓住构思想
法：角入手出现角二倍角转化三角函数
法二：名入手出现正弦余弦
法三：形入手方结构
法四：幂入手降次扩角
例3：（1）求证：
（2）已知均锐角满足求证：
解：（2）两式相
注：重视式子结构特征分析结构统角度探寻思维方目标导作关键
（1）注意目标式右端角角消
（2）求角者证明角等式般先求出角某三角函数值根角范围确定角证明两角名三角函数相等两角三角函数单值区间
例4：证明：
注：恒等式证明应遵循化繁简原常定义法化弦法拆项拆角法1代换公式变形等手段
变式：证明：
注：注意目标式右端角角消
三巩固练
1 函数正周期________
2 设关系_____
3 化简：结果_______
4 化简：_________
点回顾：
（1）重视变角常方法：目标角条件角特殊角表示条件角目标角表示
（2）三角恒等变换坚持结构化原化名函数角函数次函数等中切函数化弦函数化思想体现
（3）常代换值注意解题策略1代换表示等
（4）降次种三角变换常技巧熟练掌握降次公式灵活运
（5）三角恒等变换特三角等式证明问题重视式子结构特征分析结构统角度探寻思维方目标导作关键
测试：
1 求值：2
2 化简：
3 化简：
4 函数奇偶性_________ 奇函数
5 函数正周期_________
6 求值：
7 证明：
8 证明列式子：（1）（2）
9 求证：值关
10 已知中均求证：
11 已知（均锐角）求证：
12 求证：
13 切雪夫项式系列研究
倍角公式知表示二次项式
见表示三次项式
般存次项式项式称切雪夫（P L Tschebyscheff）项式
（1）求证：
（2）利结：求出值（）
（3）请尝试求出四次项式表示
（4）请尝试求出四次项式表示
（5）请尝试解决列问题：
（08江苏高考14）总成立
解：切雪夫项式作代数变形
意恒成立
意恒成立作代数换元原等式等价意恒成立试题考查结
（2010江苏高考附加题23）已知△ABC三边长理数
（1）求证cosA理数
（2）意正整数n求证cosnA理数
第（1）问利余弦定理基础结合理数集法运算封闭性易证
第（2）问解答参考答案出步数学纳法时纳理性完参考解答会觉解法确实道理学生思维发生认识题步数学纳法属数学纳法种思路学生难获笔者例第（2）问教学中做设计：
思考1：先证明否站切雪夫项式高视角先出该命题合理性解释？
参考解答：切雪夫项式定义知：意表示次项式第（1）问已证理数cosnA理数
思考2：切雪夫项式呈现倍角余弦值间关系否根切雪夫项式结构特征出证明？
参考解答：理数知理数
（式子中出现倍角正弦关系否转化余弦关系？）
知理性理性决定理数理数理理数命题证
（2010年福建高考题）观察列等式：观察列等式：
①
②
③
④
⑤
推测 1010
（▲）差倍角三角函数题课（2）
基础训练
1
2 求值：2
3 化简：
4 值________
5 已知
6
7
思考：否结做进步推广？_________________________
8
二例题精讲
例1：（1） （2）
解：（1） （2）32（辅助角公式种重变形处理分式基思想分子分母分化积便约分）
拓展：专题：三角形中三角恒等式深度研究
斜三角形中求证：
思考1：般满足什条件时成立？（推导？）
△ABC中 ．
思考2：（2012年江苏高考15题）中已知
（1）求证：（2）求A值．
思考3：中请探究取值范围
思考4：设证明列问题：
（1）已知求证：条件三式子中少式子值0
（2）已知求证：
思考5：求列式值
（1）（2）
（3）（4）
（5）
问题形式相似解题思想类技巧
例2：求值
解：求
注：关注角间整体关系题关键目标角变换成已知角角象限没确定应分情况讨注意公式运逆变形运掌握拆角拼角配角技巧
变式1：已知
求值
变式2：已知均求证：
例3：（1）已知求值
（2）已知求值
注：（1）角间关系整体进行沟通简化运算程
（2）遵循先化简求值基原化简程中降次策略
例4：已知求值
思考：已知三角函数求角选函数遵循什原？
已知正切函数选正切函数已知正余弦函数值角范围正余弦函数皆角范围选正弦函数角范围选余弦函数
解法分三步：第步求角某三角函数值第二步确定角范围第三步根角范围写出求角
三巩固练
1 果1
2 已知
3
4
点回顾：
（1）角求值关键灵活正确选公式便非特殊角三角函数相消者转化成特殊角求值例2
（2）值求值关键找出已知式未知式关系三角函数式进行变形转化求函数式形式者求函数式变形条件达求值目例1例3
（3）值求角两步骤：求角某三角函数值讨角范围确定角例4
四测试
1 已知值_
2 已知
3 已知1
4 2
5
6 已知
7 已知成公2等数列（）成等数列求值
8 已知
（1）求值（2）求值
解：（1）（2）
9 均锐角求值
10 单位圆轴正半轴交点点单位圆
设四边形面积
（1）求值时值
（2）设点（1）条件求
11 已知角
（1）求值（2）求值 –7
12 已知量互相垂直中
（1）求值
（2）求值
13 已知函数中
（1）求值
（2）（1）条件函数图象相邻两条称轴间距离等求函数解析式求正实数函数图象左移单位应函数偶函数
解：（1）（2）
（▲）解三角形题课
探究：已知两边边角研究三角形解数
（1）锐角三角形：时两解时解时两解时解
（2）钝角三角形：时解时解
基础训练
1 中
2 已知锐角面积角
3 中面积________
4 角边分成等数列
5 斜三角形中角边分3
类题1：锐角三角形ABCABC边分abc________ 4
类题2：△ABC中角ABC边分abc ．4
变式1：锐角中角边分值_____________
拓展1：中角边分值__________
拓展2：（12陕西）中角边分值__________
拓展3：中角边分值__________
拓展4：中角边分
值__________
拓展5：中角边分值__________
拓展6：中角边分值__________
拓展7：中角边分值__________
拓展8：中角边分
值__________
变式2：中tanAtanBtanAtanC+tanctanB 3
解 化切弦已知等式
1
6 中已知值________
变式：中
7 中角取值范围_______
8 锐角三角形中值等________取值范围_________
变式1：已知钝角三边长分角超实数取值范围________
变式2：周长16三角形中6边分取值范围
变式3：锐角三角形中角角角角取值范围_______ 转化线性规划问题
二例题精讲
例1：已知角边分成等差数列
求角判断形状 等边
注：余弦定理找出边关系者利正弦定理求角
变式1：已知角边分成等数列
求角判断形状 等边
变式2：已知角边分成等数列
成等差数列求角判断形状 等边
变式3：中三角边分面积判断形状 等腰直角三角形
例2：角边分外接圆半径
（1）求角（2）求面积值
注：题边角关系转化边关系体现结构化思想
引申：中角边分已知
（1）求周长值（2）求面积值 （基等式图形解法）
例3：角边分
（1）求角（2）求
例4：图示条海防警戒线点处水声监测点两点点距离分千米千米．某时刻收发静止目标声波信号8秒时接收该声波信号已知声波水中传播速度千米秒．
（1）设距离千米表示距离求值
（2）求海防警戒线距离．
解：（1）Z|题意 △PAB中AB20[
理△PAB中AC50
∵ ∴ 解 (2)作PD
△ADP中
∴千米
答：静止目标海防警戒线距离千米
三巩固练
1 中边长2面积边长______
2 中面积_______
3 已知中三角边分面积值________
4 中值________
点回顾：
（1）运正弦定理余弦定理求解三角形时分清条件目标：
已知两边夹角余弦定理
已知两角边正弦定理
（2）注意三角形解数问题处理
（3）处理三角形关三角综合问题通常运正弦定理余弦定理进行转化转化边角问题注意式子结构形式正弦定理余弦定理关系
测试：
1 中角边分
2 已知中角
3 角满足角取值范围______
4 中边中线长9
5 图设两点河两岸测量者侧河岸边选定点测出距离计算出两点距离_______
6 值
7 中角边分已知
（1）求角（2）求面积
8 中角边分
（1）求角（2）面积求值
9 锐角中角边分已知
（1）求值（2）面积求值
10 图水渠道断面等腰梯形渠道深梯形面积
渠道渗水量达应梯形两腰底达时底角应该少？
11 角边分
判断形状 等腰直角三角形
12 中角边分abc．
．
（1）时求值
（2）角锐角求p取值范围
解：（I）解：题设利正弦定理
解
（II）解：余弦定理
题设知
13 特定时段点中心7海里海域设警戒水域点正北55海里处雷达观测站 某时刻测艘匀速直线行驶船位点北偏东点相距海里位置40分钟测该船已行驶点北偏东（中）点相距海里位置
（1）求该船行驶速度（单位：海里时）
（2）该船改变航行方继续行驶判断否会进入警戒水域说明理
（▲）三角恒等变换解三角形题课
基础训练
1 函数正周期________
2 函数值________
3 已知等腰直角三角形斜边三等分点
4 奇函数整数值________
变式：偶函数整数值________
5 函数图象函数图象____移____单位
6 已知函数图象围成分封闭面图形封闭图形面积_______
7 已知函数满足意实数取值时集合__________
8 已知分三角边1
二例题精讲
例1：已知函数
（1）求函数正周期
（2）求函数值值
（3）求函数单调区间
例2：否存实数函数闭区间值1？存求出应值存试说明理
（三）周期问题
（1） （2）（3）
（4）函数正周期 ．
4
4 正方形边长分点
求 （面知识解决）
变式：图正方形ABCD边长1点MN分BCCD△CMN周长2
（1）求∠MAN（2）求△AMN面积值确定时MN两点位置．
解 (1)设DN＝xBM＝yNC＝1－xCM＝1－y△
CMN周长2MN＝x＋y
勾股定理(x＋y)2＝(1－x)2＋(1－y)2整理x＋y＝1－xy
tan(∠DAN＋∠MAB)＝＝1
∠DAN＋∠MAB＝45o∠MAN＝45o．
(2) △AMN面积S＝S正方形ABCD－S△DAN－S△AMB－S△CMN
＝1－－－＝
x＋y＝1－xy1－xy≥2解≤－1xy≤3－2
S≥＝－1仅x＝y＝－1时等号成立．
综△AMN面积值－1．
3 三角函数问题中角范围研究
1 已知___ ___．
2 已知_______．
3 已知方程x2 +3x + 4 0两根αβÎ()α + β ▲
4 已知锐角 ．
5 已知值 ．
6 设值 ．
7 设量ab中．
（1）求值
（2）设量ca + b c求值．
解（1）ab．………2分
a·b 0．…………………………………………………………4分
． ……………………6分
（2）a + b
…………………………………………………8分
． ……………………………………10分
代入．……………………………12分
．…………………………14分
8 已知________．
4 三角函数图象性质问题研究
1已知函数（A > 0> 0）图象高点坐标(2)高点相邻低点间图象x轴交点(60)函数解析式
两角差余弦公式题
填空题
1 求值：__________ （2）___________
2 化简求值：
（1）_____________
（2）_____________
（3）_____________
（4）
____________
（5）求值：_____________
（6）函数值域___________
3．（1）已知值________
（2）已知值_______
4（1）已知锐角值_________
（2）已知第二象限角值________
5 已知值_________
二解答题
1 已知
（1）求值 （2）求．
2 已知求值
3 已知求值
4 设坐标原点单位圆意两点求证：
5（选做）试量方法推导两角余弦公式
两角差正弦公式题（1）
填空题
1 化简：（1）__________
（2）__________
（3）__________
2 求值（1）_____________ （2）_____________
（3）___________
二解答题
1 已知求．
2 已知求值
3 已知求．
4 已知求值
5 中求值
6 已知求值
两角差正弦题（2）
填空题
1 已知值_______
2 已知值_______
3 中
（1）
（2）
法：讨角：
锐角
钝角单调递减
时：时
法二：负值舍角锐角
法三：三角形中：边角角边
正弦定理中
锐角
4 求列函数值值：
（1）值_________值___________
（2）值_________值___________
5 已知_______
二解答题
1 已知．（1）求Ks5
（2）夹角60°求（3）求夹角．
2 （2013年高考广东卷（文））已知函数
（1）求值
（2）求
3．（13年江苏高考）已知量满足
（1）求证：
（2）已知求值
答案(1)∵ ∴ ∵∴∴∴ (2)∵∴
两边分方相加 ∴ ∴ ∵ ∴
4．（2013年海高考数学试题（文科））已知函数中常数
（1）令判断函数奇偶性说明理
（2）令函数图左移单位移单位函数图意求区间零点数值
答案法解(1)
非奇函数非偶函数
∵∴
∴函数奇函数偶函数
(2)时
正周期
∴
区间长度10周期
零点区间端点周期2零点
零点区间端点仅区间左右端点处区间含3零点区间2零点
时21否20
法二
（2013年高考海卷（理））已知函数中常数
（1）单调递增求取值范围
（2）令函数图左移单位移1单位函数图区间()满足少含30零点满足述条件中求值
答案(1)根题意 (2) 零点相离间隔次 少含30零点值
两角差正切公式题（1）
填空题
1 化简求值
（1）____________（2）____________
（3）___________
（4）____________
2 求值________
3 中垂足D BDDCAD236度数________
4 已知方程两根求列式值：
（1） （2）（3）
5 锐角三角形ABC中求 值
6 （1）求证：
（2）求值
7 证明：
8 正方形ABCD中PQ分BCCDPB+QDPQ利两角（差）正切公式证明：
两角差正切公式题（1）
填空题
1 求值：（1）_____（2）______（3）_____
2 函数正周期________
3 △ABC中 ________
4 已知 ________
5 已知方程x2 +3x + 4 0两根αβÎ()α + β ________
6 设值__________
7 已知偶函数值________
8 已知元二次方程两根值_______
9 已知值________
二解答题
1 求列式值
（1）
（2）已知求值
（3） （4）
2 已知：求证：．
3 非直角中
（1）求证：
（2）求三角
4（选做）设证明列问题：
（1）已知求证：条件三式子中少式子值0
（2）已知求证：
5 解三角形应题
1 乙
甲
O
Y
X
60°
X¢
Y¢
（第18题）
图两条相交成60°角直路XX¢YY¢交点O甲乙分OXOY起初甲离O点3乙离O点1．甲XX¢方乙Y¢Y方时4速度步行．
（1）起初两距离少？
（2）t 两距离少？
（3）什时候两距离短？
（1）余弦定理起初两距离
．
（2）设t 两距离d(t)
时时
时时
．
（3）（）时两距离短．
2 路边安装路灯灯柱面垂直灯柱面道路垂直路灯采锥形灯罩射出光线图中阴影部分示已知路宽米设灯柱高（米）（）
（1）求灯柱高（表示）
（2）灯杆灯柱材料相记料长度求关函数表达式求出值．
3 已知边长2正三角形次边点线段分成面积相等两部门设
求：（1）关函数关系式（2）关函数关系式（3）值值
解：（1）（2）
（3）值值
4 中值
基等式解释
O
A
B
东
北
C
D
5 图港口A港口O正东120海里处岛B港口O北偏东方港口A北偏西方．艘科学考察船港口O出发北偏东OD方20海里时速度驶离港口O．艘养快艇港口A60海里时速度驶岛BB岛转运补物资相航速送科考船．已知两船时出发补装船时间1时．
（1）求养快艇港口A岛B航行时间
（2）养快艇驶离港口A少少时间科考船相遇？
解（1）题意知△OAB中
OA120．
快艇速度60海里时
快艇港口A岛B航行时间1时． ………5分
（2）（1）知养快艇港口A驶离2时岛B出发科考船汇合．
航行时间少快艇岛B驶离必须直线方航行设t时恰
科考船C处相遇．…………………7分
△OAB中计算
△OCB中………………………9分
余弦定理
解（舍）．……………………………12分
养快艇驶离港口A少3时科考船相遇 ……14分
6 图矩形块ABCD相邻边长2050现短边长边取点PQ周长80篱笆围出块直角三角形花园围出部分面积__________．
7 三角形中正余弦定理应
图某城市条公路正西方AO通市中心O转东北方OB现修筑条铁路LLOA设站AOB设站B铁路AB部分直线段现求市中心OAB距离10km设．
（1）试求AB关角函数关系式
（2）问AB分设公路离市中心O
远处AB短求短距离．
8 边长2菱形中边取点作垂足 设面积什位置时值？值少？
6 解三角形教材题研究
（）三角形角角分线定理
1 中角分线点中点交点表示出
7 解三角形
1 △ABC中设角ABC边分abc．
（1）求角A
（2）求边c．
2 △中已知面积边长 ．
4 △ABC中角ABC边分abc．设量．
（1）求角A
（2）求值．
解：（1）∵∴．正弦定理．
化简． ………………………………………………2分
∵∴
（舍）．∴． ………………………………4分
Rt△ABC中． …………………………………6分
（2）∵∴．
正弦定理．
∵∴． ． ……………8分
∵∴． ……………………10分
∵∴B锐角． ………12分
∴
． ……………………14分
5 已知函数
（1）求函数单调递增区间
（2）中判断形状 直角三角形
6 △ABC中已知．
（1）求值
（2）a 2时求b长．
（1）． ∴．
（2）正弦定理c 2a 4．
．利
．
∴． ∵b > 0∴．
7 已知函数
（1）求正周期
（2）中分ABC边面积求值
（1）
（2）
8 △ABC中角ABC边分abc．
（1）求值
（2）求值
解：(I)∵∴．…………………………………………2分
∵ C三角形角∴∴．
∵∴ ． ∴……………………………4分
∵∴．
∴．
∵∴ ．…………………………………7分
(II)∵∴ ……………………………9分
∵
∴．
∴ 整理tan2C－8tanC＋16＝0 …………………12分
解tanC＝4tanA＝4． …………………………………………………14分
变式1：斜三角形中求证：
思考1：般满足什条件时成立？（推导？）
练1：△ABC中
练2：（2012年江苏高考15题）中已知
（1）求证：（2）求A值．
思考2：中请探究取值范围
变式2：设证明列问题：
（1）已知求证：条件三式子中少式子值0
（2）已知求证：
9 △ABC中角ABC边分abc．已知．
（1）求
（2）a 3△ABC面积求bc．
解：(1)
．
．
(2) ．
解bc 6．①
余弦定理13．②
①②两式联立b 2c 3b 3c 2．
10 图中角分线交点设．
（1）求
（2）求长．
11 △中角边分成等差数列．
（1）求值
（2）求取值范围．
解：（1）成等差数列． ＝＝
＝．
＝3． ＝12．
（2）＝＝．
∴． 取值范围．
12 151．△ABC中C A ．
（1）求值
（2）设求△ABC面积．
152 设△ABC角ABC边长分abc．
（1）求角
（2）角边中线长求面积．
153 △ABC中角ABC边分abc．已知．
（1）求
（2）a 3△ABC面积求bc．
154 △ABC中A 2BAB 23．
（1）求
（2）求值．
△ABC中已知BC 4AC 3(A B) △ABC面积 ．
锐角△ABC中A t + 1B t 1t取值范围 ．
△ABC中角A值_________．
已知函数定义________
1 锐角三角形三边长分第三边取值范围____________
积化差差化积公式
1（2008年浙招生）中三角形三角求证：
证：
基等式证
2
三角函数型应题
1． 图：某污水处理厂矩形污水处理池池底水铺设污水净化道直角顶点）处理污水道越长污水净化效果越设计求道接口中点分落线段已知米米记（1）试污水净化道长度表示函数写出定义域（2）求时道长度（3）问：取值时污水净化效果？求出时道长度
解：（1）
(2) 时
（3）
设
单调递减
时时 值米
答：时铺设道短米
2．某居民区建块矩形草坪ABCDAB50米BC米便居民时
休闲散步该区物业理公司块草坪铺设三条路OEEFOF考虑
区整体规划求OAB中点点E边BC点F边AD∠EOF90°
图示．
（1）设∠BOE试周长表示成函数关系式求出函数定义域
（2）核算三条路米铺设费均400元试问设计铺路总费低？
D
A
B
C
O
E
F
求出低总费．
解：(1)∵Rt△BOE中OB25 ∠B90°∠BOE∴OE…………2分
Rt△AOF中OA25 ∠A90°∠AFO∴OF……………………4分
∠EOF90°∴EF
∴
． …………………………………………6分
点F点D时时角求时
点EC点时时角求时．
函数定义域……………………………………………………………8分
(2)题意知求铺路总费低求周长值
（1）
设
∴……………………………………………12分
∴
……………………………………………………………15分
BE25时
BEAE25米时铺路总费低低总费元…………16分
Q
C
P
S
D
R
A
B
3 图ABCD块边长100正方形皮中AST半径90扇形山余部分开发商想建矩形停车场矩形顶点P弧ST相邻两边CQCR落正方形边BCCD求矩形停车场PQCR面积值值
T
解：设延长交
令
10
时S值 时 S
4．图半径圆心角扇形弧取点作扇形接矩形点点设矩形面积列求写出函数关系式：（1）①设表示成函数关系式②设表示成函数关系式请选（1）中函数关系式求出值．
P
O
A
B
Q
M
N
解：（1）① … 2分
…………… 4分
②
……………………… 6分
… 8分
（2）选择…………… 12分
………………… 13分……… 14分
5． 图某区准备绿化块直径半圆形空接正方形水池外方种草余方种花 设面积正方形面积值称规划合理度
（1）试表示
（2）定值值时规划合理度？求出值．
（1）中
……………3分
设正方形边长
……………6分
（2）…… 8分
令
……………10分
函数递减……………12分
时值
时……………14分
时规划合理度值．……………15分
A
B
2m
2m
M
N
E
D
F
P
Q
C
C
l
6． 图示条直角走廊宽2米现转动灵活板车板面矩形ABEF宽1米直线EF分交直线ACBCMN墙角D作DP⊥ACPDQ⊥BCQ
⑴板车卡直角走廊∠试求板面长 (表示)
⑵板车想利通直角走廊长度超少米
解：（1）DMDNMFEN
EFDM+DNMFEN+－－
（）
（2）板车想利通直角走廊意角（）板车长度通板车长度记
研究函数值方法换元（记）直接求导确定函数单调性时取值
7．（题满分15分） 铁棒欲通图示直角走廊试回答列问题：
（1）求棒长L关函数关系式：
（2）求通直角走廊铁棒长度值．
解：（1）图
（2）
令
A
B
C
时着增增
够通直角走廊铁棒长度4 ………15分
8． 图ABC三汽车站ACBE直线型公路．已知AB＝120 km∠BAC＝75°∠ABC＝45°．辆车（称甲车）时96（km）速度返车站AC间达车站停留10分钟辆车（称乙车）时120（km）速度车站B开城市E途车站C车站C停留10分钟．已知早8点时甲车车站A乙车车站B时开出．（1）计算AC两站距离BC两站距离（2）甲乙两车名旅客需交换方汽车问否车站C处利停留时间交换．（3）求10点时甲乙两车距离．（参考数：）
（1）△ABC中∠ACB＝60°．∵
∴
．
（2）甲车车站A开车站C约时间（时）＝60（分钟）9点C站9点零10分开出．乙车车站
B开车站C约时间（时）＝66（分钟）9点零6分站9点零16分开出．两名旅客9点零6分10分段时间交换方汽车．
（3）10点时甲车离开C站距离乙车离开C站距离两车距离等
＝．
9． 图示某动物园刚入园老虎建造间两面墙三角形露天活动室已知已两面墙夹角60°（）现供建造第三面围墙材料6米（两面墙长均6米）老虎健康成长求建造三角形露天活动室记问少时建造三角形露天活动室面积？
解：中正弦定理： 3分
化简：
wwwks5ucom
8分
12分
时 14分
答：时建造三角形露天活动室面积 15分
解：
（）
10． 某港口O件重物品艇送艘正航行轮船艇出发时轮船位港口O北偏西30°该港口相距20海里A处正30海里时航行速度正东方匀速行驶．假设该船直线方v海里时航行速度匀速行驶t时轮船相遇．（1）希相遇时艇航行距离艇航行速度应少？（2）假设艇高航行速度达30海里时试设计航行方案（确定航行方航行速度）艇短时间轮船相遇说明理．
30°
A
O
C
D
θ
解：（1）设相遇时艇航行距离s海里
s＝ ＝
t＝时smin＝10时v＝30．
艇30海里时速度航行相遇时艇航行距离．
（2）图（1）OC＝10AC＝10OC＞AC
线段AC意点POP≥OC＞AC．艇高航行速度达30海里时轮船艇AC（包含C）意位置相遇．
设∠COD＝θ（0＜θ＜）Rt△COD中CD＝10tanθOD＝
出发相遇轮船艇需时间分t＝t＝
＝ 解v＝．v≤30sin(θ＋)≥≤θ≤．
θ＝时tanθ取值θ＝时t＝取值
时△AOB中OA＝OD＝AD＝20设计航行方案：
航行方北偏东航行速度30海里时艇短时间轮船相遇．
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例1 写出终边符合列求角集：
（1）x轴_________________________________________．
（2）y轴_________________________________________．
（3）坐标轴_________________________________________．
（4）直线y x_________________________________________．
（5）直线y xy x．_________________________________．
例2 写出终边符合列求角集：
（1）第四象限_________________________________________．
（2）第三象限_________________________________________．
例3 写出终边符合列条件两角关系：
（1）终边重合_________________________________________．
（2）终边条直线_______________________________________．
（3）终边关x轴称_________________________________________．
（4）终边关y轴称_________________________________________．
（5）终边关原点称_________________________________________．
（6）终边关直线称____________________________________．
（7）终边关直线称___________________________________．
1 已知角正角果角终边角终边重合试求值
2 扇形区域区域周期旋转周恰次覆盖该区域角形区域周期旋转周恰两次覆盖该区域
3 集合集合
关系___________
4 时钟拨慢5分钟时针转__________度分针转_________度
5 已知终边关直线称
6 已知点落角终边值_______
变：角（）终边点）
二弧度制
1 已知圆段弧长等等该圆接正三角形边长段弧圆周角弧度数__________
2 已知扇形周长面积值________
拓展：（通常半径作变量构建函数模型）
（1）扇形周长定值时仅扇形应圆心角时取扇形面积值
（2）扇形面积定值时仅扇形应圆心角时取周长值
3（旋转问题）
（1）直径轮子长弦弦中点轮子秒转点转弧长_________
（2）已知相互齿合两齿轮轮50齿轮20齿
（1）轮转动周时求轮转动角弧度数（考虑方）
（2）果轮转速（转分）轮半径试求轮圆周点转弧长 轮转速
（3）已知轴正半轴点绕着原点逆时针方做匀速圆周运动已知点分钟转角（）2分钟达第三象限14分钟回原位置少弧度？
4 取值范围________
5 扇形面积周长求圆心角弧度数弧长
6 已知扇形圆心角半径6扇形含弓形面积_______
7 已知圆心角弦长2求
（1）圆心角弦长
（2）圆心角扇形面积
8 图长宽长方形木块桌面作滑动翻滚翻滚第三面
时木板挡住木块底面桌面成30角点A走弧总长 _
三意角三角函数
1 时角终边位____________
2 已知角终边点试判断角象限求值
3 果角终边点坐标原点距离1点坐标_______
4 已知角终边落直线求值
5 已知角终边点值_______
6 已知点角终边反延长线点坐标_______
7 点角终边实数取值范围________
8 角终边点_______ 123
9 满足条件__________
10 满足条件__________
11 满足条件__________
12 利单位圆中三角函数线完成列问题：
（1）确定列角取值范围：
（2）已知锐角证明：（利面积周长）
（3）已知均第二象限角关系______
（4）作出符合列条件角终边：
（5）求函数定义域：
变式1函数定义域
变式2函数定义域
变式3集合
变式4函数定义域
（6）锐角试较间关系
13函数值域______
变式函数值域______
14第二三象限角x取值范围______
15AB单位圆两质点B点初始坐标（10）质点A角速度逆时针方单位圆运动质点B1rads角速度时针方单位圆运动点A作轴点点B作轴点
（1）求1s弧度数
（2）求质点AB单位圆第次相遇时间
（3）设点间距离y请写出y关时间t函数关系式求出值
变式点P（10）出发单位圆逆时针方匀速运动角速度radst s钟运动Q点
（1） t4求Q点坐标（2）时求弦PQ长（t表示）
解：（1） （2） （余弦定理两点间距离公式垂径定理）
16角终边点 值______
17已知角终边直线实数______
利斜率解决 结果2
18角x象限 ______ 二四
19已知点第象限角取值范围______
20关x二次方程两根角范围______
21已知均正数满足
值_____________
原题呈现：已知非零实数满足
值 _____
思考：命题意图？三角函数定义
方法角度消参两种方式：（1）引入新参数消参（2）直接部消参引入新参数
练：二次函数满足意正整数
解析式_______________
考点：曲线参数方程消：
四角三角函数基关系式
1试单位圆法定义法证明角三角函数基关系式
2化简列三角函数式：
3证明列三角恒等式：（弦切互化1代换）
（1）
(2)
(3)
4已知求列式值：
（1）（2）（3）
5已知
变式1已知
（1）求值（2）求值
变式2设
（1）求 （2）求
变式3已知
变式4设______
变式5已知
（1） 求值（2）求值
（3） 时求
6已知求值
变式：值（齐次分式求值问题）
变：已知值______
7求角x取值范围______
变式：化简
8第______ 象限四
9化简
10已知方程两实数根实数k值______
11 求值：_________ 1
12 （1）已知求值
（2）已知求值
（3）已知求值
解：角位第四象限轴正半轴时
角位第二三象限轴负半轴时
13 已知_________（）
五三角函数诱导公式
1 已知_______
2 _______
3 已知_____________
4 求列式值
（1）
（2） 0
5 化简： 1
6 已知第三象限角_______
7 中三角分____________
8 ________
9 化简：________ 1
10 已知
11
12 已知
（i）化简
（ii）第三象限角求值
13 已知
（1）求值
（2）求值
（3）求值
14 果_________
15 化简：
（1）_______
（2）
（3）
16 中求证：
总结中三角结：正弦余弦正切关系？半角关系？
拓展：已知次圆接四边形四角
（1）（2）
17 判断列函数奇偶性：
（1）
（2）
18 果
19 已知________
20 ________
21 函数值域________
22 已知求值
23 已知求值．
24 已知
（i）化简
（ii）第三象限角求值
25 定义函数图图交点点轴距离______________
六三角函数周期性
1 函数正周期值 ．
2 ＝_
3 已知存切实数x恒成立________
4 已知函数正周期图左移单位长度图关y轴称值
5 设函数正周期_________
6 定义函数满足周期_______
7 已知定义3周期偶函数方程区间解数值________
8 已知函数满足：求证：周期函数
9 已知函数定义周期4奇函数
（1）求值（2）时求时解析式
10 定义函数满足时
时 338
11 设函数列结错误命题序号_______3
（1）值域（2）偶函数（3）周期函数
（4）单调函数
12 已知设函数2周期奇函数
画出图象求解析式
解：
13定义周期2函数区间
中．值 ______ 10
14 函数y＝f(x)定义R周期函数周期T＝5函数y＝f(x)(－1≤x≤1)奇函数
知y＝f(x)[01]次函数[14]二次函数x＝2时函数取值－5
(1)证明：f(1)＋f(4)＝0(2)求y＝f(x)x∈[14]解析式(3)求y＝f(x)[49]解析式．
解：（2）
（3）
15 已知函数
（1）求函数正周期
（2）求值
16 定义R奇函数满足时时解析式________
17 已知函数区间表达式意
18 函数意成立
值________ 2
19 求函数值值
研究周期：考虑函数情形
值1值
七三角函数图象性质
1 已知函数切实数恒成立实数取值范围________
2 函数取值范围________
变：成立角x范围__________
3 已知函数图直线交点中距离两点间距离 2
4 函数出列结：①图象关原点成中心称②图象关直线成轴称③图象函数图象左移单位④图象左移单位函数图象中正确结_______
5 函数增函数区间值正数
值__________
6 已知正实数增函数取值范围_____
变式1：已知函数区间值3值等_________ 2
变式2：已知函数区间值值等_________ 1
变式3：已知函数区间值2值等_________ 2
7 函数函数y2图象围成封闭图形封闭图形面积____________
8 设x∈[0]关x方程两解a取值范围_______
9 关函数列命题：
（1） 必π整数倍
（2） yf(x)表达式改写成
（3） yf(x)图象关点称
（4） yf(x)图象关直线称
中正确命题序号_____________（注：认正确命题序号填）
10 已知函数区间值值 ．
11 已知函数时取值周期中时取值
（1）求函数解析式
（2）求函数单调增区间
（3）求值
解：（1）题意1分
∴ ∴∴4分
代入∴
∴6分
（2）9分
函数单调增区间10分
（2） 13分
∴∴15分
12 函数图象直线仅两交点k取值范围
13 关方程两等实根值
14 （2009全国卷Ⅰ理）果函数图关点中心称值
15 (2009湖北卷理)函数图象量移函数解析式奇函数时量等
16 函数（常数）部分图象图示值 _____
17 函数）
图图示
18 函数图象点右移1单位图象点横坐标扩原倍（坐标保持变）函数图象解析式 _______
19 函数图象需函数图象_ _移_ _单位
20 函数图量移函数图关原点称样量否唯？唯求出唯求出模量
21 （2009全国卷Ⅱ理）函数图右移单位长度函数图重合值
变式：（2011全国卷）设函数图象右移单位长度原图象重合值 图象原图象关轴称值 图象偶函数值
22 递减区间______递减区间_______
23 函数单调递减 取值范围_________
24 关方程满足方程两实数解取值范围_________
25 种波波形函数图象区间少2波峰（图象高点）正整数值_________
26 已知函数图
象称轴完全相 值
27 函数（中）图象
图示点A函数图象x轴交点点BD分
函数图象高点低点点C点B
x轴射影
28
函数部分图象右图示
．
29 函数减函数取值范围_____
30 函数称轴方程__________
31 已知函数区间少取两次值取三次值
取值范围______________
32 定义函数图象图象交点点轴距离________
33 求列函数定义域：
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）
（8）
（9） （10）
34 画出列函数图象根图象判断函数周期性
（1）（2）（3）
（4）（写出单调区间）（5）（单调递增区间）
35 判断列函数奇偶性：
（1）
（2）
36 函数值域________
37 （1）较
（2）锐角三角形中较关系
38 求列函数值域
（1）（2）
（3）（4）
39 已知函数
（1）作出函数图象
（2）函数图象求出正周期值域单调递增区间
40 已知函数区间单调递增实数取值范围_______
41 定性质：a正周期πb图象关直线x＝称．列四函数中时具性质ab________．
①y＝sin(＋) ② y＝sin(2x＋) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－)
42 已知a实数函数f(x)＝1＋asinax图象________．4
43 图函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0ω>0－π<φ<π)x∈R部分图象列命题中正确命题序号________．
①函数f(x)正周期
②函数f(x)振幅2
③函数f(x)条称轴方程x＝π
④函数f(x)单调递增区间[π]
⑤函数解析式f(x)＝sin(2x－π)．
44 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0－π≤φ<π)图象图示φ＝________
解析：图知＝2π－π
∴T＝π∴＝π∴ω＝
∴y＝sin(x＋φ)．
∵sin(×π＋φ)＝－1
∴sin(π＋φ)＝－1
45 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0|φ|<π)图象图示φ＝________
解析：图象知T＝2(－)＝π
∴ω＝＝2点(1)代入2×＋φ＝φ＝答案：
46 已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈Rω>0)正周期π函数g(x)＝cosωx图象y＝f(x)图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋)(x∈Rω>0)正周期π∴＝π
ω＝2f(x)＝sin(2x＋)∴g(x)＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)＝cos2x 答案：左移单位长度
47 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) 图象图示f()＝－f(0)＝________
解析：＝π－π＝∴ω＝＝3
(π0)函数升段零点
∴3×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)φ＝－＋2kπk∈Z
代入f()＝－A＝∴f(0)＝ 答案：
48 0≤x≤1时等式sin≥kx恒成立实数k取值范围________．
解析：0≤x≤1时y＝sin图象图示y＝kx图象[01]间部分应位图象方k≤0时y＝kx[01]图象恒x轴方原等式成立．
k>0kx≤sin时x∈[01]恒成立k≤1．
k≤1时x∈[01]恒sin≥kx答案：k≤1
49 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R(中A>0ω>00<φ<)周期π图象低点M(－2)．
(1)求f(x)解析式(2)x∈[0]时求f(x)值．
解：(1)低点M(－2) A＝2T＝πω＝＝＝2
点M(－2)图象2sin(＋φ)＝－2sin(＋φ)＝－1
∴＋φ＝2kπ－(k∈Z)φ＝2kπ－k∈Zφ∈(0)∴φ＝
∴f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[0]∴2x＋∈[]∴2x＋＝x＝0时f(x)取值12x＋＝x＝时f(x)取值
50 方程解数_________ 7
51 果函数图象关点中心称值______
52 已知求值 值值
53 O
y
2
1
2
已知函数周期图象图示
（1）求函数解析式
（2）求函数单调递增区间
（3）设方程两实数根
求实数m取值范围两根
54 已知函数图象轴右侧第高点（函数取值点）原点右侧轴第交点
（1）求函数解析式
（2）求函数区间称轴方程
55 函数图象右移单位长度图象关轴称值_________
56 试五点法作出函数图象说明函数图象图象变换？
57 已知函数
（1）函数否周期函数？什？
（2）求单调增区间值
58 已知函数定义域值域实数
59 矩形中轴矩形恰完全覆盖函数
完整周期图象变化时矩形周长值
60 函数R偶函数图象关点称区间单调函数函数解析式
变式：函数R偶函数图象关点称区间单调函数函数解析式
62 函数图象交点数_______ 3
63 时等式恒成立实数取值范围________
64 函数正周期__________
变式：函数正周期__________
65 已知点函数
图象意两点角终边点时值
（1）求函数解析式
（2）求函数单调递增区间
（3）时等式恒成立求实数取值范围
解：解：（1）角终边点
时值
∴
(2）
函数单调递增区间
(3 ) 时
等价 值
实数取值范围
66 函数（）图象关直线称θ ．
67 函数y 图象函数y sin x图象作两次变换第次变换针
函数y sin x图象言第二次变换针第次变换图象言．现出
列四变换：
A 图象点右移单位
B 图象点右移单位
C 图象点横坐标变原2倍（坐标变）
D 图象点横坐标变原倍（坐标变）
请序写出两次变换代表字母： ________ （填写组）BD（DA）
68 已知函数值正周期相函数单调增区间 ．
69 定义运算函数值域_______
70 函数（）单调递增区间________
71 已知函数f(x)＝sin(2x+φ)φ∈Rf(x)≤|f()|x∈R恒成立f()＞f(π)f(x)单调递减区间 ［kπ－kπ－］k∈Z
72 函数图左移少 单位偶函数图
七三角函数应
1．已知泰州某浴场水高度时间函数记作表某日时浪高数：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
15
10
05
10
15
10
05
099
15
长期观察曲线似成函数
（1） 根数求出函数正周期振幅函数表达式
（2）规定高度高时游泳爱者开放请根（1）结判断天午8时晚20时间长时间供浪者进行运动？
2 图点O作简谐振动物体衡位置取右
O
方正方振幅3cm周期3s物体右运
动距衡位置远处时开始计时．该物体5s时刻
位移 cm． 答案：－15．
3
（3）求证：值定值
4 半径2m水轮图示水轮圆心O距离水面1m已知水轮逆时针做匀速转动3 s转圈果水轮点P水中浮现时（图中点P0）开始计算时间
(1) 试建立适坐标系点P距离水面高度h（m）表示时间t（s）函数
(2) 点P第次达高点约长时间？
(3) 记f（t）h求证：t值f (t) + f (t + 1) + f (t + 2)定值
P
P0
O
2
1
5 弹簧挂着球做振动时间（秒）离开衡位置（静止时位置）距离函数关系决定
（1）求球开始振动时位置
（2）求球升高点降低点位置
（3）少时间球返次？
（4）秒钟球返少次？
八三角恒等变换
（）三角函数图象问题
1 函数图象轴移单位函数图象中取值中绝值_________
2 已知函数中
（1）求值
（2）（1）条件函数图象相邻两条称轴间距离等求函数解析式求正实数函数图象左移单位应函数偶函数
解：（1）（2）
3 已知函数轴右侧第高点横坐标
（1）求
（2）函数图象右移单位图象点横坐标伸长原4倍坐标变函数图象求函数值单调递减区间
4 已知函数（中）周期图低点
（1）求解析式
（2）求函数值应值．
5 已知函数区间单调函数正整数值__________ 123
6 函数函数图象称轴相实数值
（二）化简求值问题
1 已知 ．0
2 已知函数图象关直线称值______ 1
3 已知 ．7
4 已知量．
(1) 求值
(2) 求值．
（1）知……………………2分
． …………………………………6分
（2）
① ……………………………………………10分
②①②解…12分
． ……14分
5 已知函数（）值2实数值_________
6（2011四川）已知函数
（1）求正周期值
（2）已知求证：
7 求列函数值域：
（1）（锐角）（2）（反控法）
（3）
8 已知函数直线（）函数图象分交两点
（1）时求值12
（2）求时值 1
9 设函数中量
（1）求函数正周期单调递增区间
（2）时值4求值 1
10（2011天津卷）已知函数
（1）求定义域正周期
（2）设求．
（1）解：
定义域正周期
（2）解：
整理
11 已知量
（1）时求值
（2）定义函数求正周期值
12 已知
（1）求正周期
（2）值值3求实数值 0
13 已知定义函数正周期
（1）求值
（2）试探究满足什关系时切恒成立
14 已知函数
（1）时求函数取值范围
（2）时求实数值 2
15 计算 值等 ．
16 已知函数定义域值域
值分______
17 求函数值域 三角换元
18 （2010浙招生）
19 已知
20 求证：
21 训练1：角拆分
（1）已知角正余弦值求三角函数值？
（2）已知角正余弦值求三角函数值？
（3）已知角正余弦值求三角函数值？
训练2：角范围求解
（1）已知求范围
（2）已知求范围
（3）求范围
22 （1）成立？恒成立？什？（反例思想）
（2）均锐角时判断关系说明理
23 图中直角点设
（1）试求边长推出三角函数值
（2）设（均锐角）试图推出公式
24 函数值_________值___________
25 （1）成立？恒成立？什？（反例思想）
（2）均锐角时判断关系说明理
26 已知
27 已知求值
28 中已知试求值
29 已知均锐角
（1）（2）
30 已知量
（1）试求锐角值
（2）求值
（▲）差倍角三角函数题课（1）
基础训练
1 ____________________________
2 化简：
3
4 列式中值__________ ① ②
③ ④ ②
5 化简：
6 角值_______
注：利两角互余优化
7 已知均锐角1
8 化简：1
二例题精讲：
例1：化简：
讲评：（1）分子完全方公式
（2）弦切互化
（3）角拼凑划分整体关系
（4）化繁简数学贯追求
例2：化简：
讲评：抓住构思想
法：角入手出现角二倍角转化三角函数
法二：名入手出现正弦余弦
法三：形入手方结构
法四：幂入手降次扩角
例3：（1）求证：
（2）已知均锐角满足求证：
解：（2）两式相
注：重视式子结构特征分析结构统角度探寻思维方目标导作关键
（1）注意目标式右端角角消
（2）求角者证明角等式般先求出角某三角函数值根角范围确定角证明两角名三角函数相等两角三角函数单值区间
例4：证明：
注：恒等式证明应遵循化繁简原常定义法化弦法拆项拆角法1代换公式变形等手段
变式：证明：
注：注意目标式右端角角消
三巩固练
1 函数正周期________
2 设关系_____
3 化简：结果_______
4 化简：_________
点回顾：
（1）重视变角常方法：目标角条件角特殊角表示条件角目标角表示
（2）三角恒等变换坚持结构化原化名函数角函数次函数等中切函数化弦函数化思想体现
（3）常代换值注意解题策略1代换表示等
（4）降次种三角变换常技巧熟练掌握降次公式灵活运
（5）三角恒等变换特三角等式证明问题重视式子结构特征分析结构统角度探寻思维方目标导作关键
测试：
1 求值：2
2 化简：
3 化简：
4 函数奇偶性_________ 奇函数
5 函数正周期_________
6 求值：
7 证明：
8 证明列式子：（1）（2）
9 求证：值关
10 已知中均求证：
11 已知（均锐角）求证：
12 求证：
13 切雪夫项式系列研究
倍角公式知表示二次项式
见表示三次项式
般存次项式项式称切雪夫（P L Tschebyscheff）项式
（1）求证：
（2）利结：求出值（）
（3）请尝试求出四次项式表示
（4）请尝试求出四次项式表示
（5）请尝试解决列问题：
（08江苏高考14）总成立
解：切雪夫项式作代数变形
意恒成立
意恒成立作代数换元原等式等价意恒成立试题考查结
（2010江苏高考附加题23）已知△ABC三边长理数
（1）求证cosA理数
（2）意正整数n求证cosnA理数
第（1）问利余弦定理基础结合理数集法运算封闭性易证
第（2）问解答参考答案出步数学纳法时纳理性完参考解答会觉解法确实道理学生思维发生认识题步数学纳法属数学纳法种思路学生难获笔者例第（2）问教学中做设计：
思考1：先证明否站切雪夫项式高视角先出该命题合理性解释？
参考解答：切雪夫项式定义知：意表示次项式第（1）问已证理数cosnA理数
思考2：切雪夫项式呈现倍角余弦值间关系否根切雪夫项式结构特征出证明？
参考解答：理数知理数
（式子中出现倍角正弦关系否转化余弦关系？）
知理性理性决定理数理数理理数命题证
（2010年福建高考题）观察列等式：观察列等式：
①
②
③
④
⑤
推测 1010
（▲）差倍角三角函数题课（2）
基础训练
1
2 求值：2
3 化简：
4 值________
5 已知
6
7
思考：否结做进步推广？_________________________
8
二例题精讲
例1：（1） （2）
解：（1） （2）32（辅助角公式种重变形处理分式基思想分子分母分化积便约分）
拓展：专题：三角形中三角恒等式深度研究
斜三角形中求证：
思考1：般满足什条件时成立？（推导？）
△ABC中 ．
思考2：（2012年江苏高考15题）中已知
（1）求证：（2）求A值．
思考3：中请探究取值范围
思考4：设证明列问题：
（1）已知求证：条件三式子中少式子值0
（2）已知求证：
思考5：求列式值
（1）（2）
（3）（4）
（5）
问题形式相似解题思想类技巧
例2：求值
解：求
注：关注角间整体关系题关键目标角变换成已知角角象限没确定应分情况讨注意公式运逆变形运掌握拆角拼角配角技巧
变式1：已知
求值
变式2：已知均求证：
例3：（1）已知求值
（2）已知求值
注：（1）角间关系整体进行沟通简化运算程
（2）遵循先化简求值基原化简程中降次策略
例4：已知求值
思考：已知三角函数求角选函数遵循什原？
已知正切函数选正切函数已知正余弦函数值角范围正余弦函数皆角范围选正弦函数角范围选余弦函数
解法分三步：第步求角某三角函数值第二步确定角范围第三步根角范围写出求角
三巩固练
1 果1
2 已知
3
4
点回顾：
（1）角求值关键灵活正确选公式便非特殊角三角函数相消者转化成特殊角求值例2
（2）值求值关键找出已知式未知式关系三角函数式进行变形转化求函数式形式者求函数式变形条件达求值目例1例3
（3）值求角两步骤：求角某三角函数值讨角范围确定角例4
四测试
1 已知值_
2 已知
3 已知1
4 2
5
6 已知
7 已知成公2等数列（）成等数列求值
8 已知
（1）求值（2）求值
解：（1）（2）
9 均锐角求值
10 单位圆轴正半轴交点点单位圆
设四边形面积
（1）求值时值
（2）设点（1）条件求
11 已知角
（1）求值（2）求值 –7
12 已知量互相垂直中
（1）求值
（2）求值
13 已知函数中
（1）求值
（2）（1）条件函数图象相邻两条称轴间距离等求函数解析式求正实数函数图象左移单位应函数偶函数
解：（1）（2）
（▲）解三角形题课
探究：已知两边边角研究三角形解数
（1）锐角三角形：时两解时解时两解时解
（2）钝角三角形：时解时解
基础训练
1 中
2 已知锐角面积角
3 中面积________
4 角边分成等数列
5 斜三角形中角边分3
类题1：锐角三角形ABCABC边分abc________ 4
类题2：△ABC中角ABC边分abc ．4
变式1：锐角中角边分值_____________
拓展1：中角边分值__________
拓展2：（12陕西）中角边分值__________
拓展3：中角边分值__________
拓展4：中角边分
值__________
拓展5：中角边分值__________
拓展6：中角边分值__________
拓展7：中角边分值__________
拓展8：中角边分
值__________
变式2：中tanAtanBtanAtanC+tanctanB 3
解 化切弦已知等式
1
6 中已知值________
变式：中
7 中角取值范围_______
8 锐角三角形中值等________取值范围_________
变式1：已知钝角三边长分角超实数取值范围________
变式2：周长16三角形中6边分取值范围
变式3：锐角三角形中角角角角取值范围_______ 转化线性规划问题
二例题精讲
例1：已知角边分成等差数列
求角判断形状 等边
注：余弦定理找出边关系者利正弦定理求角
变式1：已知角边分成等数列
求角判断形状 等边
变式2：已知角边分成等数列
成等差数列求角判断形状 等边
变式3：中三角边分面积判断形状 等腰直角三角形
例2：角边分外接圆半径
（1）求角（2）求面积值
注：题边角关系转化边关系体现结构化思想
引申：中角边分已知
（1）求周长值（2）求面积值 （基等式图形解法）
例3：角边分
（1）求角（2）求
例4：图示条海防警戒线点处水声监测点两点点距离分千米千米．某时刻收发静止目标声波信号8秒时接收该声波信号已知声波水中传播速度千米秒．
（1）设距离千米表示距离求值
（2）求海防警戒线距离．
解：（1）Z|题意 △PAB中AB20[
理△PAB中AC50
∵ ∴ 解 (2)作PD
△ADP中
∴千米
答：静止目标海防警戒线距离千米
三巩固练
1 中边长2面积边长______
2 中面积_______
3 已知中三角边分面积值________
4 中值________
点回顾：
（1）运正弦定理余弦定理求解三角形时分清条件目标：
已知两边夹角余弦定理
已知两角边正弦定理
（2）注意三角形解数问题处理
（3）处理三角形关三角综合问题通常运正弦定理余弦定理进行转化转化边角问题注意式子结构形式正弦定理余弦定理关系
测试：
1 中角边分
2 已知中角
3 角满足角取值范围______
4 中边中线长9
5 图设两点河两岸测量者侧河岸边选定点测出距离计算出两点距离_______
6 值
7 中角边分已知
（1）求角（2）求面积
8 中角边分
（1）求角（2）面积求值
9 锐角中角边分已知
（1）求值（2）面积求值
10 图水渠道断面等腰梯形渠道深梯形面积
渠道渗水量达应梯形两腰底达时底角应该少？
11 角边分
判断形状 等腰直角三角形
12 中角边分abc．
．
（1）时求值
（2）角锐角求p取值范围
解：（I）解：题设利正弦定理
解
（II）解：余弦定理
题设知
13 特定时段点中心7海里海域设警戒水域点正北55海里处雷达观测站 某时刻测艘匀速直线行驶船位点北偏东点相距海里位置40分钟测该船已行驶点北偏东（中）点相距海里位置
（1）求该船行驶速度（单位：海里时）
（2）该船改变航行方继续行驶判断否会进入警戒水域说明理
（▲）三角恒等变换解三角形题课
基础训练
1 函数正周期________
2 函数值________
3 已知等腰直角三角形斜边三等分点
4 奇函数整数值________
变式：偶函数整数值________
5 函数图象函数图象____移____单位
6 已知函数图象围成分封闭面图形封闭图形面积_______
7 已知函数满足意实数取值时集合__________
8 已知分三角边1
二例题精讲
例1：已知函数
（1）求函数正周期
（2）求函数值值
（3）求函数单调区间
例2：否存实数函数闭区间值1？存求出应值存试说明理
（三）周期问题
（1） （2）（3）
（4）函数正周期 ．
4
4 正方形边长分点
求 （面知识解决）
变式：图正方形ABCD边长1点MN分BCCD△CMN周长2
（1）求∠MAN（2）求△AMN面积值确定时MN两点位置．
解 (1)设DN＝xBM＝yNC＝1－xCM＝1－y△
CMN周长2MN＝x＋y
勾股定理(x＋y)2＝(1－x)2＋(1－y)2整理x＋y＝1－xy
tan(∠DAN＋∠MAB)＝＝1
∠DAN＋∠MAB＝45o∠MAN＝45o．
(2) △AMN面积S＝S正方形ABCD－S△DAN－S△AMB－S△CMN
＝1－－－＝
x＋y＝1－xy1－xy≥2解≤－1xy≤3－2
S≥＝－1仅x＝y＝－1时等号成立．
综△AMN面积值－1．
3 三角函数问题中角范围研究
1 已知___ ___．
2 已知_______．
3 已知方程x2 +3x + 4 0两根αβÎ()α + β ▲
4 已知锐角 ．
5 已知值 ．
6 设值 ．
7 设量ab中．
（1）求值
（2）设量ca + b c求值．
解（1）ab．………2分
a·b 0．…………………………………………………………4分
． ……………………6分
（2）a + b
…………………………………………………8分
． ……………………………………10分
代入．……………………………12分
．…………………………14分
8 已知________．
4 三角函数图象性质问题研究
1已知函数（A > 0> 0）图象高点坐标(2)高点相邻低点间图象x轴交点(60)函数解析式
两角差余弦公式题
填空题
1 求值：__________ （2）___________
2 化简求值：
（1）_____________
（2）_____________
（3）_____________
（4）
____________
（5）求值：_____________
（6）函数值域___________
3．（1）已知值________
（2）已知值_______
4（1）已知锐角值_________
（2）已知第二象限角值________
5 已知值_________
二解答题
1 已知
（1）求值 （2）求．
2 已知求值
3 已知求值
4 设坐标原点单位圆意两点求证：
5（选做）试量方法推导两角余弦公式
两角差正弦公式题（1）
填空题
1 化简：（1）__________
（2）__________
（3）__________
2 求值（1）_____________ （2）_____________
（3）___________
二解答题
1 已知求．
2 已知求值
3 已知求．
4 已知求值
5 中求值
6 已知求值
两角差正弦题（2）
填空题
1 已知值_______
2 已知值_______
3 中
（1）
（2）
法：讨角：
锐角
钝角单调递减
时：时
法二：负值舍角锐角
法三：三角形中：边角角边
正弦定理中
锐角
4 求列函数值值：
（1）值_________值___________
（2）值_________值___________
5 已知_______
二解答题
1 已知．（1）求Ks5
（2）夹角60°求（3）求夹角．
2 （2013年高考广东卷（文））已知函数
（1）求值
（2）求
3．（13年江苏高考）已知量满足
（1）求证：
（2）已知求值
答案(1)∵ ∴ ∵∴∴∴ (2)∵∴
两边分方相加 ∴ ∴ ∵ ∴
4．（2013年海高考数学试题（文科））已知函数中常数
（1）令判断函数奇偶性说明理
（2）令函数图左移单位移单位函数图意求区间零点数值
答案法解(1)
非奇函数非偶函数
∵∴
∴函数奇函数偶函数
(2)时
正周期
∴
区间长度10周期
零点区间端点周期2零点
零点区间端点仅区间左右端点处区间含3零点区间2零点
时21否20
法二
（2013年高考海卷（理））已知函数中常数
（1）单调递增求取值范围
（2）令函数图左移单位移1单位函数图区间()满足少含30零点满足述条件中求值
答案(1)根题意 (2) 零点相离间隔次 少含30零点值
两角差正切公式题（1）
填空题
1 化简求值
（1）____________（2）____________
（3）___________
（4）____________
2 求值________
3 中垂足D BDDCAD236度数________
4 已知方程两根求列式值：
（1） （2）（3）
5 锐角三角形ABC中求 值
6 （1）求证：
（2）求值
7 证明：
8 正方形ABCD中PQ分BCCDPB+QDPQ利两角（差）正切公式证明：
两角差正切公式题（1）
填空题
1 求值：（1）_____（2）______（3）_____
2 函数正周期________
3 △ABC中 ________
4 已知 ________
5 已知方程x2 +3x + 4 0两根αβÎ()α + β ________
6 设值__________
7 已知偶函数值________
8 已知元二次方程两根值_______
9 已知值________
二解答题
1 求列式值
（1）
（2）已知求值
（3） （4）
2 已知：求证：．
3 非直角中
（1）求证：
（2）求三角
4（选做）设证明列问题：
（1）已知求证：条件三式子中少式子值0
（2）已知求证：
5 解三角形应题
1 乙
甲
O
Y
X
60°
X¢
Y¢
（第18题）
图两条相交成60°角直路XX¢YY¢交点O甲乙分OXOY起初甲离O点3乙离O点1．甲XX¢方乙Y¢Y方时4速度步行．
（1）起初两距离少？
（2）t 两距离少？
（3）什时候两距离短？
（1）余弦定理起初两距离
．
（2）设t 两距离d(t)
时时
时时
．
（3）（）时两距离短．
2 路边安装路灯灯柱面垂直灯柱面道路垂直路灯采锥形灯罩射出光线图中阴影部分示已知路宽米设灯柱高（米）（）
（1）求灯柱高（表示）
（2）灯杆灯柱材料相记料长度求关函数表达式求出值．
3 已知边长2正三角形次边点线段分成面积相等两部门设
求：（1）关函数关系式（2）关函数关系式（3）值值
解：（1）（2）
（3）值值
4 中值
基等式解释
O
A
B
东
北
C
D
5 图港口A港口O正东120海里处岛B港口O北偏东方港口A北偏西方．艘科学考察船港口O出发北偏东OD方20海里时速度驶离港口O．艘养快艇港口A60海里时速度驶岛BB岛转运补物资相航速送科考船．已知两船时出发补装船时间1时．
（1）求养快艇港口A岛B航行时间
（2）养快艇驶离港口A少少时间科考船相遇？
解（1）题意知△OAB中
OA120．
快艇速度60海里时
快艇港口A岛B航行时间1时． ………5分
（2）（1）知养快艇港口A驶离2时岛B出发科考船汇合．
航行时间少快艇岛B驶离必须直线方航行设t时恰
科考船C处相遇．…………………7分
△OAB中计算
△OCB中………………………9分
余弦定理
解（舍）．……………………………12分
养快艇驶离港口A少3时科考船相遇 ……14分
6 图矩形块ABCD相邻边长2050现短边长边取点PQ周长80篱笆围出块直角三角形花园围出部分面积__________．
7 三角形中正余弦定理应
图某城市条公路正西方AO通市中心O转东北方OB现修筑条铁路LLOA设站AOB设站B铁路AB部分直线段现求市中心OAB距离10km设．
（1）试求AB关角函数关系式
（2）问AB分设公路离市中心O
远处AB短求短距离．
8 边长2菱形中边取点作垂足 设面积什位置时值？值少？
6 解三角形教材题研究
（）三角形角角分线定理
1 中角分线点中点交点表示出
7 解三角形
1 △ABC中设角ABC边分abc．
（1）求角A
（2）求边c．
2 △中已知面积边长 ．
4 △ABC中角ABC边分abc．设量．
（1）求角A
（2）求值．
解：（1）∵∴．正弦定理．
化简． ………………………………………………2分
∵∴
（舍）．∴． ………………………………4分
Rt△ABC中． …………………………………6分
（2）∵∴．
正弦定理．
∵∴． ． ……………8分
∵∴． ……………………10分
∵∴B锐角． ………12分
∴
． ……………………14分
5 已知函数
（1）求函数单调递增区间
（2）中判断形状 直角三角形
6 △ABC中已知．
（1）求值
（2）a 2时求b长．
（1）． ∴．
（2）正弦定理c 2a 4．
．利
．
∴． ∵b > 0∴．
7 已知函数
（1）求正周期
（2）中分ABC边面积求值
（1）
（2）
8 △ABC中角ABC边分abc．
（1）求值
（2）求值
解：(I)∵∴．…………………………………………2分
∵ C三角形角∴∴．
∵∴ ． ∴……………………………4分
∵∴．
∴．
∵∴ ．…………………………………7分
(II)∵∴ ……………………………9分
∵
∴．
∴ 整理tan2C－8tanC＋16＝0 …………………12分
解tanC＝4tanA＝4． …………………………………………………14分
变式1：斜三角形中求证：
思考1：般满足什条件时成立？（推导？）
练1：△ABC中
练2：（2012年江苏高考15题）中已知
（1）求证：（2）求A值．
思考2：中请探究取值范围
变式2：设证明列问题：
（1）已知求证：条件三式子中少式子值0
（2）已知求证：
9 △ABC中角ABC边分abc．已知．
（1）求
（2）a 3△ABC面积求bc．
解：(1)
．
．
(2) ．
解bc 6．①
余弦定理13．②
①②两式联立b 2c 3b 3c 2．
10 图中角分线交点设．
（1）求
（2）求长．
11 △中角边分成等差数列．
（1）求值
（2）求取值范围．
解：（1）成等差数列． ＝＝
＝．
＝3． ＝12．
（2）＝＝．
∴． 取值范围．
12 151．△ABC中C A ．
（1）求值
（2）设求△ABC面积．
152 设△ABC角ABC边长分abc．
（1）求角
（2）角边中线长求面积．
153 △ABC中角ABC边分abc．已知．
（1）求
（2）a 3△ABC面积求bc．
154 △ABC中A 2BAB 23．
（1）求
（2）求值．
△ABC中已知BC 4AC 3(A B) △ABC面积 ．
锐角△ABC中A t + 1B t 1t取值范围 ．
△ABC中角A值_________．
已知函数定义________
1 锐角三角形三边长分第三边取值范围____________
积化差差化积公式
1（2008年浙招生）中三角形三角求证：
证：
基等式证
2
三角函数型应题
1． 图：某污水处理厂矩形污水处理池池底水铺设污水净化道直角顶点）处理污水道越长污水净化效果越设计求道接口中点分落线段已知米米记（1）试污水净化道长度表示函数写出定义域（2）求时道长度（3）问：取值时污水净化效果？求出时道长度
解：（1）
(2) 时
（3）
设
单调递减
时时 值米
答：时铺设道短米
2．某居民区建块矩形草坪ABCDAB50米BC米便居民时
休闲散步该区物业理公司块草坪铺设三条路OEEFOF考虑
区整体规划求OAB中点点E边BC点F边AD∠EOF90°
图示．
（1）设∠BOE试周长表示成函数关系式求出函数定义域
（2）核算三条路米铺设费均400元试问设计铺路总费低？
D
A
B
C
O
E
F
求出低总费．
解：(1)∵Rt△BOE中OB25 ∠B90°∠BOE∴OE…………2分
Rt△AOF中OA25 ∠A90°∠AFO∴OF……………………4分
∠EOF90°∴EF
∴
． …………………………………………6分
点F点D时时角求时
点EC点时时角求时．
函数定义域……………………………………………………………8分
(2)题意知求铺路总费低求周长值
（1）
设
∴……………………………………………12分
∴
……………………………………………………………15分
BE25时
BEAE25米时铺路总费低低总费元…………16分
Q
C
P
S
D
R
A
B
3 图ABCD块边长100正方形皮中AST半径90扇形山余部分开发商想建矩形停车场矩形顶点P弧ST相邻两边CQCR落正方形边BCCD求矩形停车场PQCR面积值值
T
解：设延长交
令
10
时S值 时 S
4．图半径圆心角扇形弧取点作扇形接矩形点点设矩形面积列求写出函数关系式：（1）①设表示成函数关系式②设表示成函数关系式请选（1）中函数关系式求出值．
P
O
A
B
Q
M
N
解：（1）① … 2分
…………… 4分
②
……………………… 6分
… 8分
（2）选择…………… 12分
………………… 13分……… 14分
5． 图某区准备绿化块直径半圆形空接正方形水池外方种草余方种花 设面积正方形面积值称规划合理度
（1）试表示
（2）定值值时规划合理度？求出值．
（1）中
……………3分
设正方形边长
……………6分
（2）…… 8分
令
……………10分
函数递减……………12分
时值
时……………14分
时规划合理度值．……………15分
A
B
2m
2m
M
N
E
D
F
P
Q
C
C
l
6． 图示条直角走廊宽2米现转动灵活板车板面矩形ABEF宽1米直线EF分交直线ACBCMN墙角D作DP⊥ACPDQ⊥BCQ
⑴板车卡直角走廊∠试求板面长 (表示)
⑵板车想利通直角走廊长度超少米
解：（1）DMDNMFEN
EFDM+DNMFEN+－－
（）
（2）板车想利通直角走廊意角（）板车长度通板车长度记
研究函数值方法换元（记）直接求导确定函数单调性时取值
7．（题满分15分） 铁棒欲通图示直角走廊试回答列问题：
（1）求棒长L关函数关系式：
（2）求通直角走廊铁棒长度值．
解：（1）图
（2）
令
A
B
C
时着增增
够通直角走廊铁棒长度4 ………15分
8． 图ABC三汽车站ACBE直线型公路．已知AB＝120 km∠BAC＝75°∠ABC＝45°．辆车（称甲车）时96（km）速度返车站AC间达车站停留10分钟辆车（称乙车）时120（km）速度车站B开城市E途车站C车站C停留10分钟．已知早8点时甲车车站A乙车车站B时开出．（1）计算AC两站距离BC两站距离（2）甲乙两车名旅客需交换方汽车问否车站C处利停留时间交换．（3）求10点时甲乙两车距离．（参考数：）
（1）△ABC中∠ACB＝60°．∵
∴
．
（2）甲车车站A开车站C约时间（时）＝60（分钟）9点C站9点零10分开出．乙车车站
B开车站C约时间（时）＝66（分钟）9点零6分站9点零16分开出．两名旅客9点零6分10分段时间交换方汽车．
（3）10点时甲车离开C站距离乙车离开C站距离两车距离等
＝．
9． 图示某动物园刚入园老虎建造间两面墙三角形露天活动室已知已两面墙夹角60°（）现供建造第三面围墙材料6米（两面墙长均6米）老虎健康成长求建造三角形露天活动室记问少时建造三角形露天活动室面积？
解：中正弦定理： 3分
化简：
wwwks5ucom
8分
12分
时 14分
答：时建造三角形露天活动室面积 15分
解：
（）
10． 某港口O件重物品艇送艘正航行轮船艇出发时轮船位港口O北偏西30°该港口相距20海里A处正30海里时航行速度正东方匀速行驶．假设该船直线方v海里时航行速度匀速行驶t时轮船相遇．（1）希相遇时艇航行距离艇航行速度应少？（2）假设艇高航行速度达30海里时试设计航行方案（确定航行方航行速度）艇短时间轮船相遇说明理．
30°
A
O
C
D
θ
解：（1）设相遇时艇航行距离s海里
s＝ ＝
t＝时smin＝10时v＝30．
艇30海里时速度航行相遇时艇航行距离．
（2）图（1）OC＝10AC＝10OC＞AC
线段AC意点POP≥OC＞AC．艇高航行速度达30海里时轮船艇AC（包含C）意位置相遇．
设∠COD＝θ（0＜θ＜）Rt△COD中CD＝10tanθOD＝
出发相遇轮船艇需时间分t＝t＝
＝ 解v＝．v≤30sin(θ＋)≥≤θ≤．
θ＝时tanθ取值θ＝时t＝取值
时△AOB中OA＝OD＝AD＝20设计航行方案：
航行方北偏东航行速度30海里时艇短时间轮船相遇．
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