教辅：高考数学二轮复习考点-导数及其应用1

考点七　导数应()　　　　　　　　　　　　　　　　　

选择题
1．(2020·山东滨州三模)函数y＝ln x图象点x＝e(e然数底数)处切线方程(　　)
A．x＋ey－1＋e＝0 B．x－ey＋1－e＝0
C．x＋ey＝0 D．x－ey＝0
答案　D
解析　y＝ln xy′＝y′|x＝e＝x＝e时y＝ln e＝1切线方程y－1＝(x－e)整理x－ey＝0选D
2已知函数y＝f(x)导函数y＝f′(x) 图象图示函数y＝f(x)区间(ab)极值点数(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　图区间(ab)f′(c)＝0点x＝c附左侧f′(x)<0右侧f′(x)>0函数y＝f(x)区间(ab)1极值点选A

3．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3图象点(1f(1))处切线方程(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案　B
解析　∵f(x)＝x4－2x3∴f′(x)＝4x3－6x2∴f(1)＝－1f′(1)＝－2∴求切线方程y＋1＝－2(x－1)y＝－2x＋1选B
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m常数)[－22]值3函数[－22]值(　　)
A．0 B．－5
C．－10 D．－37
答案　D
解析　题意知f′(x)＝6x2－12xf′(x)＝0x＝0x＝2x<0x>2时f′(x)>005(2020·海南高三第次联考)图二次函数f(x)＝x2－bx＋a部分图象函数g(x)＝aln x＋f′(x)零点区间(　　)

A B．
C．(12) D．(23)
答案　B
解析　∵f(x)＝x2－bx＋a∴二次函数称轴x＝结合函数图象知00∴函数g(x)零点区间选B
6．(2020·山东泰安二轮复质量检测)已知函数f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax极值点实数a取值范围(　　)
A．a≤0a≥ B．a≤0a≥
C．a≤0 D．a≥0a≤－
答案　A
解析　f(x)＝(x－1)ex－e2x＋ax令f′(x)＝xex－ae2x＋a＝0x－aex＋＝0a＝0时f′(x)＝xex函数(－∞0)单调递减(0＋∞)单调递增f′(0)＝0函数唯极值点满足条件a≠0时＝ex－e－x设g(x)＝ex－e－xg′(x)＝ex＋e－x≥2恒成立g′(0)＝2画出函数g(x)y＝图象图示．根图象知≤2a<0a≥时满足条件．综述a≤0a≥选A

7．(选)直线l曲线C满足列两条件：①直线l点P(x0y0)处曲线C相切②曲线C点P附位直线l两侧称直线l点P处切曲线C列结正确(　　)
A．直线l：y＝0点P(00)处切曲线C：y＝x3
B．直线l：y＝x－1点P(10)处切曲线C：y＝ln x
C．直线l：y＝x点P(00)处切曲线C：y＝sinx
D．直线l：y＝x点P(00)处切曲线C：y＝tanx
答案　ACD
解析　A项y′＝3x2x＝0时y′＝0l：y＝0曲线C：y＝x3点P(00)处切线．x<0时y＝x3<0x>0时y＝x3>0曲线C点P附位直线l两侧结正确B项y′＝x＝1时y′＝1P(10)处切线l：y＝x－1令h(x)＝x－1－ln xh′(x)＝1－＝(x>0)x>1时h′(x)>000时曲线C全部位直线l侧(切点外)结错误C项y′＝cosxx＝0时y′＝1P(00)处切线l：y＝x正弦函数图象知曲线C点P附位直线l两侧结正确D项y′＝x＝0时y′＝1P(00)处切线l：y＝x正切函数图象知曲线C点P附位直线l两侧结正确．选ACD
8．(选)(2020·山东威海三模)已知函数f(x)定义域(0＋∞)导函数f′(x)xf′(x)－f(x)＝xln xf＝(　　)
A．f′＝0
B．f(x)x＝处取极值
C．0D．f(x)(0＋∞)单调递增
答案　ACD
解析　∵函数f(x)定义域(0＋∞)导函数f′(x)xf′(x)－f(x)＝xln x满足＝∵′＝∴′＝∴设＝ln2 x＋b(b常数)∴f(x)＝xln2 x＋bx∵f＝·ln2 ＋＝解b＝∴f(x)＝xln2 x＋x∴f(1)＝满足0二填空题
9．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝f′(1)＝a＝________
答案　1
解析　f′(x)＝＝f′(1)＝＝整理a2－2a＋1＝0解a＝1
10．(2020·山东新高考质量测评联盟高三5月联考)曲线f(x)＝asinx＋2(a∈R)点(0f(0))处切线方程y＝－x＋2a＝________
答案　－1
解析　f(x)＝asinx＋2(a∈R)f′(x)＝acosxx＝0时f′(0)＝a函数f(x)点(0f(0))处切线方程y＝－x＋2a＝－1
11．做圆锥形漏斗母线长20 cm体积高________ cm
答案　
解析　设高h cm底面半径r＝ cm体积V＝r2h＝h(400－h2)V′＝(400－3h2)．令V′＝(400－3h2)＝0解h＝高 cm时圆锥体积．
12．(2020·吉林第四次调研测试)函数f(x)＝mx2－ex＋1(e然数底数)x＝x1x＝x2两处取极值x2≥2x1实数m取值范围________．
答案　
解析　f(x)＝mx2－ex＋1f′(x)＝2mx－ex
函数f(x)x＝x1x＝x2两处取极值
x1x2方程2mx－ex＝0两等实根x2≥2x1
m＝(x≠0)两等实根x1x2x2≥2x1
令h(x)＝(x≠0)直线y＝m曲线h(x)＝两交点交点横坐标满足x2≥2x1h′(x)＝＝
h′(x)＝0x＝1
x>1时h′(x)>0函数h(x)＝(1＋∞)单调递增
x<00
x2＝2x1时＝x1＝ln 2
时m＝＝x2≥2x1m≥
三解答题
13．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x
(1)a＝1时讨f(x)单调性
(2)x≥0时f(x)≥x3＋1求a取值范围．
解　(1)a＝1时f(x)＝ex＋x2－xf′(x)＝ex＋2x－1
令φ(x)＝ex＋2x－1
φ′(x)＝ex＋2＞0f′(x)单调递增注意f′(0)＝0
x∈(－∞0)时f′(x)＜0f(x)单调递减
x∈(0＋∞)时f′(x)＞0f(x)单调递增．
(2)f(x)≥x3＋1ex＋ax2－x≥x3＋1中x≥0
①x＝0时等式1≥1显然成立符合题意
②x＞0时分离参数aa≥－
记g(x)＝－
g′(x)＝－
令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)
h′(x)＝ex－x－1
令H(x)＝ex－x－1H′(x)＝ex－1≥0
h′(x)单调递增h′(x)≥h′(0)＝0
函数h(x)单调递增h(x)≥h(0)＝0
h(x)≥0ex－x2－x－1≥0恒成立
x∈(02)时g′(x)＞0g(x)单调递增
x∈(2＋∞)时g′(x)＜0g(x)单调递减．
g(x)max＝g(2)＝
综实数a取值范围
14．(2020·山东济南6月仿真模拟)已知函数f(x)＝aln (x＋b)－
(1)a＝1b＝0求f(x)值
(2)b>0时讨f(x)极值点数．
解　(1)a＝1b＝0时f(x)＝ln x－
时函数f(x)定义域(0＋∞)f′(x)＝－＝
f′(x)>004
f(x)(04)单调递增(4＋∞)单调递减．
f(x)max＝f(4)＝2ln 2－2
(2)b>0时函数f(x)定义域[0＋∞)
f′(x)＝－＝
①a≤0时f′(x)<0意x∈(0＋∞)恒成立
f(x)(0＋∞)单调递减时f(x)极值点数0
②a>0时设h(x)＝－x＋2a－b
(ⅰ)4a2－4b≤00(ⅱ)4a2－4b>0a>时令t＝(t≥0)h(t)＝－t2＋2at－bt1＋t2＝2a>0t1t2＝b>0t1t20f′(x)(0＋∞)2左右异号零点时f(x)极值点数2
综述a≤时f(x)极值点数0a>时f(x)极值点数2

选择题
1．(2020·山东省实验中学4月高考预测)已知函数f(x)＝3x＋2cosxa＝f(3)b＝f(2)c＝f(log27)abc关系(　　)
A．aC．b答案　D
解析　根题意函数f(x)＝3x＋2cosx导函数f′(x)＝3－2sinxf′(x)＝3－2sinx>0R恒成立f(x)R增函数．2＝log242．(2020·北京西城区期末)已知函数f(x)g(x)导函数f′(x)g′(x)图象分图示关函数y＝g(x)－f(x)判断正确(　　)

A．3极值点
B．3极值点
C．1极值点2极值点
D．2极值点1极值点
答案　D
解析　结合函数图象知x0函数y＝g(x)－f(x)单调递增ag′(x)时y′＝g′(x)－f′(x)<0函数y＝g(x)－f(x)单调递减00 函数y＝g(x)－f(x)单调递增x>b时f′(x)>g′(x)时y′＝g′(x)－f′(x)<0函数y＝g(x)－f(x)单调递减函数x＝ax＝b处取极值x＝0处取极值．选D

3．(2020·株洲市第二中学4月模拟)已知函数f(x)定义R偶函数设函数f(x)导函数f′(x)意x>02f(x)＋xf′(x)>0成立(　　)
A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)
C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)
答案　A
解析　首先令g(x)＝x2f(x)g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]x>0时g′(x)>0g(x)[0＋∞)增函数g(x)偶函数4f(－2)＝g(－2)＝g(2)4．(2020·全国卷Ⅲ)直线l曲线y＝x2＋y2＝相切l方程(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋
C．y＝x＋1 D．y＝x＋
答案　D
解析　设直线l曲线y＝切点(x0)x0＞0函数y＝导数y′＝直线l斜率k＝直线l方程y－＝·(x－x0)x－2y＋x0＝0直线l圆x2＋y2＝相切＝两边方整理5x－4x0－1＝0解x0＝1x0＝－(舍)直线l方程x－2y＋1＝0y＝x＋选D
5．(2020·山东青岛模)已知函数f(x)＝(e＝2718然数底数)f(x)零点α极值点βα＋β＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案　C
解析　∵f(x)＝∴x≥0时令f(x)＝03x－9＝0解x＝2x<0时f(x)＝xex<0恒成立∴f(x)零点α＝2x≥0时f(x)＝3x－9增函数[0＋∞)极值点x<0时f(x)＝xexf′(x)＝(1＋x)exx<－1时f′(x)<0x>－1时f′(x)>0∴x＝－1时f(x)取极值f(x)极值点β＝－1∴α＋β＝2－1＝1选C
6．(2020·山西太原高三模拟)点M曲线G：y＝3ln xM作x轴垂线l设l曲线y＝交点N＝P点坐标始终0称M点曲线G水黄金点曲线G水黄金点数(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案　C
解析　设M(t3ln t)N＝＝题意ln t＋＝0设g(t)＝ln t＋g′(t)＝－＝0时g′(t)>0g(t)单调递增g(t)min＝g＝1－ln 3<0g＝－2＋>0g(1)＝>0g(t)＝ln t＋＝0两解曲线G水黄金点数2选C
7．(选)(2020·山东济宁邹城市第中学高三五模)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b中ab∈R列选项中条件f(x)仅零点(　　)
A．aC．a＝－3b2－4≥0 D．a＝－1b＝1
答案　BD
解析　题知f′(x)＝3x2＋aAf(x)奇函数知b＝0a<0f(x)存两极值点f(0)＝0知f(x)三零点A错误Bb2＋1≥1a≥0f′(x)≥0f(x)单调递增f(x)仅零点B正确C取b＝2f′(x)＝3x2－3f(x)极值f(－1)＝4极值f(1)＝0时f(x)两零点C错误Df(x)＝x3－x＋1f′(x)＝3x2－1易f(x)极值f＝＋1>0极值f＝－＋1>0知f(x)仅零点D正确．选BD
8．(选)(2020·山东省实验中学4月高考预测)关函数f(x)＝＋ln x列判断正确(　　)
A．x＝2f(x)极值点
B．函数y＝f(x)－x1零点
C．存正实数kf(x)>kx成立
D．意两正实数x1x2x2>x1f(x1)＝f(x2)x1＋x2>4
答案　BD
解析　函数定义域(0＋∞)函数导数f′(x)＝－＋＝∴(02)f′(x)＜0函数单调递减(2＋∞)f′(x)＞0函数单调递增∴x＝2f(x)极值点A错误y＝f(x)－x＝＋ln x－x∴y′＝－＋－1＝<0函数(0＋∞)单调递减f(1)－1＝2＋ln 1－1＝1>0f(2)－2＝1＋ln 2－2＝ln 2－1<0∴函数y＝f(x)－x1零点B正确f(x)＞kxk<＋令g(x)＝＋g′(x)＝令h(x)＝－4＋x－xln xh′(x)＝－ln x∴(01)函数h(x)单调递增(1＋∞)函数h(x)单调递减∴h(x)≤h(1)＜0∴g′(x)＜0∴g(x)＝＋(0＋∞)单调递减函数值∴存正实数kf(x)＞kx恒成立C错误令t∈(02)2－t∈(02)2＋t＞2令g(t)＝f(2＋t)－f(2－t)＝＋ln (2＋t)－－ln (2－t)＝＋ln g′(t)＝＋·＝＋＝<0∴g(t)(02)单调递减g(t)＜g(0)＝0令x1＝2－tf(x1)＝f(x2)x2＞2＋tx1＋x2＞2－t＋2＋t＝4x2≥4时x1＋x2＞4显然成立∴意两正实数x1x2x2＞x1f(x1)＝f(x2)x1＋x2＞4D正确．选BD
二填空题
9．(2020·山东高考实战演练仿真四)设函数f(x)导数f′(x)f(x)＝x3＋f′x2－xf′(1)＝________
答案　0
解析　f(x)＝x3＋f′x2－xf′(x)＝3x2＋2f′x－1f′＝3×2＋2f′×－1f′＝－1f(x)＝x3－x2－xf′(x)＝3x2－2x－1f′(1)＝0
10．f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1x∈R恒成立曲线y＝f(x)点(1f(1))处切线方程________．
答案　10x＋4y－5＝0
解析　∵f(x)＋3f(－x)＝x3＋2x＋1①
∴f(－x)＋3f(x)＝－x3－2x＋1②
联立①②f(x)＝－x3－x＋f′(x)＝－x2－1
∴f′(1)＝－－1＝－f(1)＝－－1＋＝－
∴切线方程y＋＝－(x－1)10x＋4y－5＝0
11．(2020·广东湛江模拟)x1x2函数f(x)＝x2－7x＋4ln x两极值点x1x2＝________f(x1)＋f(x2)＝________
答案　2　4ln 2－
解析　f′(x)＝2x－7＋＝0⇒2x2－7x＋4＝0⇒x1＋x2＝x1x2＝2f(x1)＋f(x2)＝x－7x1＋4ln x1＋x－7x2＋4ln x2＝(x1＋x2)2－2x1x2－7(x1＋x2)＋4ln (x1x2)＝4ln 2－
12．(2020·山东济宁嘉祥县高三考前训练二)已知函数f(x)导函数f′(x)意实数xf′(x)＝－f(x)(e然数底数)f(0)＝1关x等式f(x)－m<0解集中恰两整数实数m取值范围________．
答案　(－e0]
解析　∵f′(x)＝－f(x)
∴[f′(x)＋f(x)]ex＝2x＋3
[f(x)ex]′＝2x＋3
设f(x)ex＝x2＋3x＋c
∴f(x)＝
∵f(0)＝1∴c＝1
∴f(x)＝
∴f′(x)＝＝－
f′(x)>0－2f′(x)<0x>1x<－2
∴函数f(x)(－21)单调递增(－∞－2)(1＋∞)单调递减图示．
x＝－2时f(x)min＝－e2f(－1)＝－ef(－3)＝e3x>0时f(x)>0图象知等式f(x)∴实数m取值范围(－e0]．

三解答题
13．(2020·江苏高考)某准备山谷中建座桥梁桥址位置竖直截面图图示谷底O水线MN桥ABMN行OO′铅垂线(O′AB)．测量左侧曲线AO点DMN距离h1(米)DOO′距离a(米)间满足关系式h1＝a2右侧曲线BO点FMN距离h2(米)FOO′距离b(米)间满足关系式h2＝－b3＋6b已知点BOO′距离40米．

(1)求桥AB长度
(2)计划谷底两侧建造行OO′桥墩CDEFCE80米中CEAB(包括端点)．桥墩EF米造价k(万元)桥墩CD米造价k(万元)(k>0)．问O′E少米时桥墩CDEF总造价低？
解　(1)题意|O′A|2＝－×403＋6×40
∴|O′A|＝80
∴|AB|＝|O′A|＋|O′B|＝80＋40＝120
答：桥AB长度120米．
(2)设|O′E|＝x总造价f(x)万元|O′O|＝×802＝160
f(x)＝k＋k
＝k(0＜x＜40)
∴f′(x)＝k令f′(x)＝0x＝20(x＝0舍)．
0＜x＜20时f′(x)＜020＜x＜40时f′(x)＞0
x＝20时f(x)取值．
答：O′E＝20米时桥墩CDEF总造价低
14(2020·四川成石室中学诊)设函数f(x)＝x－sinxx∈g(x)＝＋cosx＋2m∈R
(1)证明：f(x)≤0
(2)x∈时等式g(x)≥恒成立求m取值范围．
解　(1)证明：f′(x)＝－cosxx∈单调递增
f′(x)∈
存唯x0∈f′(x0)＝0
x∈(0x0)时f′(x)<0f(x)单调递减
x∈时f′(x)>0f(x)单调递增．
f(x)max＝max＝0f(x)≤0
(2)g′(x)＝－sinx＋m
令h(x)＝－sinx＋mh′(x)＝－cosx＋m
m≥0时m≤0(1)中结知－sinx≤0
g′(x)≤0g(x)x∈单调递减
g(x)min＝g＝满足题意．
－h′(0)＝－1＋m<0h′＝＋m>0
存唯x1∈ h′(x1)＝0
x∈(0x1)时h′(x)<0g′(x)单调递减
x∈时h′(x)>0g′(x)单调递增．
g′(0)＝－m>0g′＝0
存唯x2∈g′(x2)＝0
x∈(0x2)时g′(x)>0g(x)单调递增
x∈时g′(x)<0g(x)单调递减．
0≤x≤时g(x)≥恒成立
⇒m≥≤m<0
m≤－x∈时h′(x)≤0x∈时
g′(x)单调递减g′＝0g′(x)≥0
g(x)x∈单调递增g(x)≤g＝题意矛盾．
综m取值范围

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