湖北省十堰市2021年中考数学试卷
单选题（10题20分）
112 相反数( )
A 2 B 2 C 12 D 12
2图直线 ABCD∠155°∠232° ∠3 （ ）
A 87° B 23° C 67° D 90°
35相立方体搭成体图示俯视图（ ）
A B C D
4列计算正确（ ）
A a3⋅a32a3 B (2a)24a2
C (a+b)2a2+b2 D (a+2)(a2)a22
5某校男子足球队年龄分布表
年龄
13
14
15
16
17
18
数
2
6
8
3
2
1
队员年龄众数中位数分（ ）
A 815 B 814 C 1514 D 1515
6某工厂现均天原计划生产50台机器现生产400台机器需时间原计划生产450台机器需时间少1天设现均天生产x台机器列方程正确（ ）
A 400x450x501 B 450x50400x1
C 400x450x+150 D 450x+1400x5
7图明利锐角 30° 三角板测量操场旗杆高度已知旗杆间水距离 BC 15m AB 15m （明眼睛面距离）旗杆高度（ ）
A (153+32)m B 53m C 153m D (53+32)m
8图 △ABC 接 ⊙O∠BAC120°ABACBD ⊙O 直径 AD3 BC （ ）
A 23 B 33 C 3 D 4
91开始连续奇数图示规律排列例位第4行第3列数27位第32行第13列数（ ）
A 2025 B 2023 C 2021 D 2019
10图反例函数 ykx(x>0) 图象点 A(21) A作 AB⊥y 轴点B连 OA 直线 CD⊥OA 交x轴点C交y轴点D点B关直线 CD 称点 B＇ 恰落该反例函数图象D点坐标（ ）
A 5514 B 52 C 73 D 55+14
二填空题（5题6分）
11已知 xy2x3y3 2x3y12x2y2+18xy3 ________
12图O矩形ABCD角线AC中点MAD中点．AB5AD12四边形ABOM周长________ ．
13意实数ab定义种运算： a⊗ba2+b2ab x⊗(x1)3 x值________
14图边长4正方形 ABCD 中 AB 直径半圆交角线 AC 点EC圆心 BC 长半径画弧交 AC 点F图中阴影部分面积________
15图 Rt△ABC 中 ∠ACB90°AC8BC6 点P面动点 AP3 Q BP 中点P点运动程中设线段 CQ 长度mm取值范围________
三解答题（9题90分）
16计算： 2cos45°+(13)1|3|
17化简： (a+2a22aa1a24a+4)÷a4a
18庆祝中国产成立100周年某校举行史知识竞赛活动赛机抽取部分学生成绩分划分ABCD四等级绘制完整统计表统计图
等级
成绩（x）
数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x<90
a
C
70≤x<80
18
D
x<70
7
根图表信息回答列问题：
（1）表中 a ________扇形统计图中C等级占百分________D等级应扇形圆心角________度全校1800名学生参加次知识竞赛活动请估计成绩A等级学生________
（2）95分学生4中甲乙两班级学校4中机选出两参加市级赛请列表树状图法求甲乙两少1选中概率
19已知关x元二次方程 x24x2m+50 两相等实数根
（1）求实数m取值范围
（2）该方程两根符号相整数求整数m值
20图已知 △ABC 中D AC 中点点D作 DE⊥AC 交 BC 点E点A作 AFBC 交 DE 点F连接 AE CF
（1）求证：四边形 AECF 菱形
（2） CF2∠FAC30°∠B45° 求 AB 长
21图已知 AB ⊙O 直径C ⊙O 点 ∠OCB 角分线交 ⊙O 点DF直线 AB DF⊥BC 垂足E连接 AD BD
（1）求证： DF ⊙O 切线
（2） tan∠A12 ⊙O 半径3求 EF 长
22某商贸公司购进某种商品成20元 kg 市场调研发现种商品未40天销售单价y（元 kg ）时间x（天）间函数关系式： y{025x+30(1≤x≤20)35(20时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量 m(kg)
142
138
132
124
…
填空：
（1）mx函数关系________
（2）天销售利润？日销售利润少？
（3）实际销售前20天中公司决定销售 1kg 商品捐赠n元利润（ n<4 ）福利院发现：前20天中天扣捐赠日销售利润时间x增增求n取值范围
23已知等边三角形 ABC A点作 AC 垂线l点Pl动点（点A重合）连接 CP 线段 CP 绕点C逆时针方旋转 60° CQ 连 QB
（1）图1直接写出线段 AP BQ 数量关系
（2）图2点PB AC 侧 APAC 时求证：直线 PB 垂直分线段 CQ
（3）图3等边三角形 ABC 边长4点PB分位直线 AC 异侧 △APQ 面积等 34 求线段 AP 长度
24已知抛物线 yax2+bx5 x轴交点 A(10) B(50) y轴交点C顶点P点N抛物线称轴位x轴方连 AN 交抛物线M连 AC CM
（1）求抛物线解析式
（2）图1 tan∠ACM2 时求M点横坐标
（3）图2点P作x轴行线lM作 MD⊥l D MD3MN 求N点坐标
答案解析部分
单选题
1答案 D
考点相反数理数相反数
解析解答 (12)+120 12 相反数 12
答案D
分析根符号两数互相反数求解
2答案 A
考点行线性质三角形外角性质
解析解答解：∵ ABCD∠155°
∴ ∠C∠155°
∴ ∠3∠2+∠C87°
答案：A
分析根行线性质出∠C∠155° 根三角形外角性质出∠3∠2+ ∠C计算
3答案 A
考点简单组合体三视图
解析解答解：该体俯视图
答案：A
分析俯视图：物体面面图形注意：棱画实线棱画虚线判断
4答案 B
考点底数幂法完全方公式运方差公式应积方
解析解答解：A a3⋅a3a6 该项计算错误
B (2a)24a2 该项计算正确
C (a+b)2a2+2ab+b2 该项计算错误
D (a+2)(a2)a24 该项计算错误
答案：B
分析根底数幂法积方完全方公式方差公式分进行计算然判断
5答案 D
考点中位数众数
解析解答解：根图表数年龄数15岁8众数15岁
22名队员中年龄排列第11名队员第12名队员年龄15岁中位数（15＋15）÷2＝15岁
答案：D
分析中位数：先数（）进行排列果数数奇数中间数中位数果数数偶数中间两数均数中位数众数：组数中出现次数数求解
6答案 B
考点分式方程实际应
解析解答解：设现天生产x台原生产（x−50）台
题意： 450x50400x1
答案：B
分析设现天生产x台原生产（x−50）台根 生产400台机器需时间原计划生产450台机器需时间少1天 列出方程
7答案 D
考点解直角三角形应
解析解答解：∵AB⊥BCDE⊥BCAD∥BC
∴四边形ABCD矩形
∵BC＝15mAB＝15m
∴AD＝BC＝15mDC＝AB＝15m
Rt△AED中
∵∠EAD＝30°AD＝15m
∴ED＝AD•tan30°＝15× 33 ＝5 3
∴CE＝CD＋DE＝ (53+32)m
答案：D
分析证明四边形ABCD矩形AD＝BC＝15mDC＝AB＝15mRt△AED中求出ED＝AD•tan30°＝5 3 利CE＝CD＋DE求出结
8答案 C
考点垂径定理圆周角定理解直角三角形
解析解答解：点O作OF⊥BCF
∴BF＝CF＝ 12 BC
∵AB＝AC∠BAC＝120°
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°
∵∠C∠D弧圆周角
∴∠D＝∠C＝30°
∵BD⊙O直径
∴∠BAD＝90°
∴∠ABD＝60°
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°
∵AD＝3
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ 32 2 3
∴OB＝ 12 BD＝ 3
∴BF＝OB•cos30°＝ 3 × 32 ＝ 32
∴BC＝3
答案：C
分析点O作OF⊥BCF根垂径定理求出BF＝CF＝ 12 BC利等腰三角形性质出∠C＝∠ABC30°根圆周角定理求出∠D＝∠C＝30°∠BAD＝90°求出∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°继出BD＝AD÷cos30°2 3 求出OB＝ 12 BD＝ 3 BF＝OB•cos30°求出BF求出BC长
9答案 B
考点探索数式规律
解析解答解：观察数字变化发现规律：第n行第n列数：2n(n1)+1
∴第32行第32列数：2×32×(321)+11985
根数排列规律第偶数行右左数次增加2
∴第32行第13列数：1985+2×(3213)2023
答案：B
分析观察数字变化发现规律：第n行第n列数：2n(n1)+1求出n32时数根数排列规律第偶数行右左数次增加2求出结
10答案 A
考点勾股定理轴称性质行线分线段成例反例函数图象点坐标特征
解析解答解：∵反例函数 ykx(x>0) 图象点 A(21)
∴ k2
∴直线OA解析式 y12x
∵ CD⊥OA
∴设直线CD解析式 y2x+b
D(0b)
设点B关直线 CD 称点 B＇(a2a)
(b1)2a2+(2ab)2 ①
BB＇OA
2a1a12 解 a51
代入① b5514
答案：A
分析点A坐标代入反例函数解析式求出k2y2x 利定系数法求出直线OA解析式 y12x CD⊥OA设直线CD解析式 y2x+b D(0b) 设B＇(a2a) 利勾股定理(b1)2a2+(2ab)2① BB＇OA 2a1a12 求出a值然a值代入①求出b值
二填空题
11答案 36
考点式分解应
解析解答∵ xy2x3y3
∴原式 2xy(x3y)22×2×3236
答案：36
分析利式分解原式变形2xy(x3y)2 然整体代入计算
12答案 20
考点矩形性质三角形中位线定理
解析解答解：∵O矩形ABCD角线AC中点MAD中点
∴OM12CD12AB25
∵AB5AD12
∴AC 52+12213
∵O矩形ABCD角线AC中点
∴BO12AC65
∴四边形ABOM周长AB+AM+BO+OM5+6+65+2520
答案：20．
分析根题意知OM△ADC中位线OM长求根勾股定理求出AC长利直角三角形斜边中线等斜边半求出BO长进求出四边形ABOM周长．
13答案 12
考点式分解法解元二次方程定义新运算
解析解答解：根新定义容： x⊗(x1)x2+(x1)2x(x1)3
整理 x2x20
解 x11 x22
答案：12
分析利定义新运算x⊗(x1)x2+(x1)2x(x1)3 然求出方程解
14答案 3π6
考点三角形面积正方形性质扇形面积计算
解析解答连接BE
∵正方形 ABCD 中 AB 直径半圆交角线 AC 点E
∴∠AEB90°：AC⊥BE
∵∠CAB45°
∴ △ABE 等腰直角三角形：AEBE
∴弓形BE面积 14π×2212×2×2π2
∴阴影部分面积弓形BE面积+扇形CBF面积 △BCE 面积
π2 + 45×π×42360 12×12×4×4 3 π 6
答案：3π6
分析连接BE求出△ABE等腰直角三角形AEBE阴影部分面积弓形BE面积+扇形CBF面积 △BCE 面积利扇形面积公式三角形面积公式进行计算
15答案 72 ≤m≤ 132
考点三角形三边关系勾股定理三角形中位线定理直角三角形斜边中线
解析解答解：作AB中点M连接CMQM
∵AP3
∴ P A 圆心 3 半径圆运动
直角△ABC中AB＝ AC2＋BC282+6210
∵M直角△ABC斜边AB中点
∴CM＝ 12 AB＝5
∵QBP中点MAB中点
∴MQ＝ 12 AP＝ 32
∴△CMQ中5− 32 ≤CQ≤ 32 ＋5 72 ≤m≤ 132
答案： 72 ≤m≤ 132
分析作AB中点M连接CMQM直角△ABC中利勾股定理求出AB10利直角三角形斜边中线性质出CM＝ 12 AB＝5根三角形中位线定理MQ＝ 12 AP＝ 32 △CMQ中CM− MQ≤CQ≤ MQ＋CM求出结
三解答题
16答案 解：原式 2×22+33
1
考点实数运算特殊角三角函数值
解析分析利特殊角三角函数值负整数幂性质绝值性质分进行计算合
17答案 解：原式 (a+2a(a2)a1(a2)2)⋅aa4
((a+2)(a2)a(a2)2a(a1)a(a2)2)⋅aa4
a24a2+aa(a2)2⋅aa4
a4a(a2)2⋅aa4
1(a2)2
考点分式混合运算
解析分析括号通分利分母分式减法法计算法转化法进行约分化简
18答案 （1）203042°450
（2）解：列表：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
甲乙
乙丙
乙丁
丙
甲丙
乙丙
丙丁
丁
甲丁
乙丁
丙丁
12种情况中甲乙两少1选中10种
∴P(甲乙两少1选中) 101256
考点样估计总体统计表扇形统计图列表法树状图法
解析解答解：（1）总数 15÷9036060
∴ a601518720
C等级占百分 1860×10030
D等级应扇形圆心角 760×36042°
全校1800名学生参加次知识竞赛活动成绩A等级学生 1800×1560450
分析（1）先求出抽取总数利总数分减ACD等级数a值利C等级数总数100C等级百分利D等级百分360°D等级应扇形圆心角度数利样中A等级百分1800结
（2） 利列表法列举出12种等情况中甲乙两少1选中10种 然利概率公式计算
19答案 （1）解：∵元二次方程 x24x2m+50 两相等实数根
∴ Δ164(2m+5)>0
解 m>12
（2）解：设该方程两根 x1 x2
∵该方程两根符号相整数
∴ x1x22m+5>0 x1+x24
∴ 12∴m值12
m1 时方程两根 x11 x23
m2 时方程两根 x1 x2 整数
∴m值1
考点元二次方程根判式应元二次方程根系数关系
解析分析（1） 根元二次方程 x24x2m+50 两相等实数根△＞0解答
（2）设该方程两根 x1 x2 根根系数关系 方程两根符号相整数 x1x22m+5>0 x1+x24 m范围然求出整数解
20答案 （1）证明：∵ AFBC
∴ ∠FAD∠ECD
∵D AC 中点 DE⊥AC
∴ ∠FDA∠EDC ADCD
∴ △ADF≌△CDE
∴ AFCE
∴四边形AECF行四边形
∵ DE⊥AC
∴行四边形AECF菱形
（2）解：∵AECF菱形
∴ AFCF2
∴ ADAF⋅cos30°3
∴ AC2AD23
点A作 AM⊥BC
∴ AMAC⋅sin30°3
∴ ABAMsin45°6
考点菱形判定性质解直角三角形三角形全等判定（ASA）
解析分析（1）利行线性质证∠FAD∠ECD利垂直定义线段中点定义证∠FDA∠EDCADCD利ASA证△ADF≌△CDE利全等三角形性质证AFCE利组边行相等四边形行四边形证四边形AECF行四边形根角线互相垂直行四边形菱形证结
（2）利菱形性质求出AF长利解直角三角形求出AD长求出AC长点A作AM⊥BC利解直角三角形求出AMAB长
21答案 （1）证明：连接OD
∵ ODOC
∴ ∠OCD∠ODC
∵CD分 ∠OCB
∴ ∠OCD∠BCD
∴ ∠ODC∠BCD
∴ ODBC
∵ DF⊥BC
∴ OD⊥DF
∴ DF ⊙O 切线
（2）解：∵ ∠ADO+∠BDO90° ∠FDB+∠BDO90°
∴ ∠ADO∠FDB
∵ ∠ADO∠OAD
∴ ∠OAD∠FDB
∴ △ADF∽△DBF
∴ DBADDFAFBFDFtan∠A12
∴ DF12AF2BF
12(BF+6)2BF 解 BF2 DF4
∵ OD⊥DF BE⊥DF
∴ △ODF∽△BEF
∴ EFDFBFOF22+3 解 EF85
考点切线判定相似三角形判定性质解直角三角形
解析分析（1）连接OD利角分线定义行线性质证∠ODC∠BCD推出OD∥BC结合已知条件OD⊥DF然利切线判定定理证结
（2）利余角性质证∠ADO∠FDB证明∠OAD∠FDB证△ADF∽△DBF利相似三角形性质锐角三角函数定义证DF2BF求出BFDF长证明△ODF∽△BEF利相似三角形应边成例求出EF长
22答案 （1）m2x+144
（2）解： 1≤x≤20 时
销售利润 Wmy20m(2x+144)(025x+3020)12(x16)2+1568
x16 时销售利润1568元
20销售利润 Wmy20m30x+2160
x21 时销售利润1530元
综述第16天销售利润1568元
（3）解：前20天中天扣捐赠日销售利润：
W＇my20mnm(025x+10n)(2x+144)12x2+(16+2n)x+1440144n
∵ 1≤x≤20 时 W＇ x增增
∴称轴 16+2n≤20 解 0考点二次函数次函数综合应二次函数实际应销售问题
解析解答解：（1）设 mkx+b (1142) (3138) 代入：
{142k+b1383k+b 解 {k2b144
∴ m2x+144
分析（1）利定系数法求出mx函数解析式
（2）1≤x≤20根WmyWx间函数解析式函数解析式转化顶点式利二次函数性质求出销售利润值20＜x≤40根WmyWx间函数解析式利次函数性质求出销售利润值求解
（2）题意知W＇my2mnm列出函数解析式利二次函数性质求解
23答案 （1）证明：∵线段 CP 绕点C逆时针方旋转 60° CQ
∴CPCQ∠PCQ60°
∵等边三角形 ABC 中∠ACB60°ACBC
∴∠ACP∠BCQ
∴ △ACP≌△BCQ
∴ AP BQ
（2）解：∵ APAC CA⊥l
∴ △ACP 等腰直角三角形
∵ △ACP≌△BCQ
∴ △BCQ 等腰直角三角形∠CBQ90°
∵等边三角形 ABC 中ACAB∠BAC∠ABC60°
∴ABAP∠BAP90°60°30°
∴∠ABP∠APB(180°30°)÷275°
∴∠CBD180°75°60°45°
∴PD分∠CBQ
∴直线 PB 垂直分线段 CQ
（3）解：点B作BE⊥l点Q作QF⊥l
（1）题知： △ACP≌△BCQ
∴APBQ∠CAP∠CBQ90°
∵∠ACB60°∠CAM90°
∴∠AMB360°60°90°90°120°：∠BME∠QMF60°
∵∠BAE90°60°30°AB4
∴BE 12AB2
∴BMBE÷sin60°2÷ 32 433
设APxBQxMQx 433 QF MQ×sin60°( x 433 )× 32
∵ △APQ 面积等 34
∴ 12 AP×QF 34 ： 12 x×( x 433 )× 32 34 解： x233+213 x233213 （合题意舍）
∴AP 233+213
考点解直角三角形旋转性质三角形综合
解析分析（1）利旋转性质证CPCQ∠PCQ60°利等边三角形性质证明∠ACP∠BCQ利SAS证△ACP≌△BCQ利全等三角形性质证结
（2）利已知条件易证△ACP等腰直角三角形利全等三角形性质证△BCQ等腰直角三角形利等边三角形性质证明ABAP时求出∠BAP∠ABP∠CBD度数证结
（3）利全等三角形性质证APBQ∠CAP∠CBQ90°证明∠QMF∠BAE60°时求出∠BAE度数利直角三角形性质求出BE长利解直角三角形求出BM长设APxBQx表示出MQQF长利△PAQ面积 34 建立关x方程解方程求出符合题意x值AP长
24答案 （1）解：点 A(10) 点 B(50) 代入 yax2+bx5
{ab5025a5b50 解： {a1b6
∴yx26x5
（2）解：点A作 AE⊥AC 交CM延长线点E E 作 EF⊥x 轴 E 图
∵EF⊥x 轴 AE⊥AC
∴∠EFA∠EAC90°
∴∠FAE+∠OAC90°
∴∠ACO+∠OAC90°
∴∠EAF∠ACO
∴ΔAOC∽ΔEFA
∴ACEAAOEFCOAF
∵tan∠ACM2 AEAC2
∴ACEAAOEFCOAF12
x0 时 y5
∴C(05) OC5
∴EF2AF10 E(112)
∴ 设直线CE解析式 ykx+b(k≠0) CE两点代入
{11k+b2b5 解 {k311b5
∴y311x5
∵ 点M直线CE抛物线交点
∴{y311x5yx26x5 解 x16311x20 （合题意舍）
∴ 点M横坐标 6311
（3）解：设点M垂直L直线交x轴点H称轴交x轴点QM横坐标m
OHm
∴AH1m
∵yx26x5
∴ 称轴 xb2a3
∴ PQN横坐标 3 OQ3
∴AQOQOA2
∴ x3 时 y(3)2(3)×654
∴P(34)
∴ 点D坐标4
∴ MD4(m26m5)m2+6m+9(m+3)2
∵ HMNQ
∴ ΔAHM∽ΔAQN
∴AHAQHMQN 1m2m2+6m+5QN
∴QN2m10
∴N(32m+10)
∴MN2(m3)2+[m26m52m10]23(m+3)2[(m+5)2+1]
∵MD3MN
∴MD23MN2 (m+3)43(m+3)2[(m+5)2+1]
∵m+30m3 符合题意舍
m+3≠0 时
∴2m2+24m+690
解 m12±62
题意知 m1262
∴N(326)
考点定系数法求二次函数解析式二次函数实际应问题
解析分析（1）点AB坐标代入函数解析式建立关ab方程组解方程组求出ab值二次函数解析式
（2）点A作 AE⊥AC 交CM延长线点E E 作 EF⊥x 轴 E利垂直定义余角性质证∠EAF∠ACO∠EFA∠EAC推出△AOC∽△EFA利相似三角形性质证应边成例利锐角三角函数定义AEAC值利函数解析式求出点C坐标OCEFAF长求出点E坐标利点CE坐标求出直线CE函数解析式直线CE解析式抛物线额解析式联立方程组求出点M坐标
（3）设点M垂直L直线交x轴点H称轴交x轴点QM横坐标m OHAH长利函数解析式求出抛物线称轴点PQN横坐标OQ长求出AQ长x3代入二次函数解析式求出y值点P坐标含m代数式表示出MD长证明△AHM∽△AQN利相似三角形性质表示出MN2长利 MD23MN2 建立关m方程解方程求出m值点N坐标
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湖北省十堰市2021年中考数学试卷
单选题（10题20分）
112 相反数( )
A 2 B 2 C 12 D 12
2图直线 ABCD∠155°∠232° ∠3 （ ）
A 87° B 23° C 67° D 90°
35相立方体搭成体图示俯视图（ ）
A B C D
4列计算正确（ ）
A a3⋅a32a3 B (2a)24a2
C (a+b)2a2+b2 D (a+2)(a2)a22
5某校男子足球队年龄分布表
年龄
13
14
15
16
17
18
数
2
6
8
3
2
1
队员年龄众数中位数分（ ）
A 815 B 814 C 1514 D 1515
6某工厂现均天原计划生产50台机器现生产400台机器需时间原计划生产450台机器需时间少1天设现均天生产x台机器列方程正确（ ）
A 400x450x501 B 450x50400x1
C 400x450x+150 D 450x+1400x5
7图明利锐角 30° 三角板测量操场旗杆高度已知旗杆间水距离 BC 15m AB 15m （明眼睛面距离）旗杆高度（ ）
A (153+32)m B 53m C 153m D (53+32)m
8图 △ABC 接 ⊙O∠BAC120°ABACBD ⊙O 直径 AD3 BC （ ）
A 23 B 33 C 3 D 4
91开始连续奇数图示规律排列例位第4行第3列数27位第32行第13列数（ ）
A 2025 B 2023 C 2021 D 2019
10图反例函数 ykx(x>0) 图象点 A(21) A作 AB⊥y 轴点B连 OA 直线 CD⊥OA 交x轴点C交y轴点D点B关直线 CD 称点 B＇ 恰落该反例函数图象D点坐标（ ）
A 5514 B 52 C 73 D 55+14
二填空题（5题6分）
11已知 xy2x3y3 2x3y12x2y2+18xy3 ________
12图O矩形ABCD角线AC中点MAD中点．AB5AD12四边形ABOM周长________ ．
13意实数ab定义种运算： a⊗ba2+b2ab x⊗(x1)3 x值________
14图边长4正方形 ABCD 中 AB 直径半圆交角线 AC 点EC圆心 BC 长半径画弧交 AC 点F图中阴影部分面积________
15图 Rt△ABC 中 ∠ACB90°AC8BC6 点P面动点 AP3 Q BP 中点P点运动程中设线段 CQ 长度mm取值范围________
三解答题（9题90分）
16计算： 2cos45°+(13)1|3|
17化简： (a+2a22aa1a24a+4)÷a4a
18庆祝中国产成立100周年某校举行史知识竞赛活动赛机抽取部分学生成绩分划分ABCD四等级绘制完整统计表统计图
等级
成绩（x）
数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x<90
a
C
70≤x<80
18
D
x<70
7
根图表信息回答列问题：
（1）表中 a ________扇形统计图中C等级占百分________D等级应扇形圆心角________度全校1800名学生参加次知识竞赛活动请估计成绩A等级学生________
（2）95分学生4中甲乙两班级学校4中机选出两参加市级赛请列表树状图法求甲乙两少1选中概率
19已知关x元二次方程 x24x2m+50 两相等实数根
（1）求实数m取值范围
（2）该方程两根符号相整数求整数m值
20图已知 △ABC 中D AC 中点点D作 DE⊥AC 交 BC 点E点A作 AFBC 交 DE 点F连接 AE CF
（1）求证：四边形 AECF 菱形
（2） CF2∠FAC30°∠B45° 求 AB 长
21图已知 AB ⊙O 直径C ⊙O 点 ∠OCB 角分线交 ⊙O 点DF直线 AB DF⊥BC 垂足E连接 AD BD
（1）求证： DF ⊙O 切线
（2） tan∠A12 ⊙O 半径3求 EF 长
22某商贸公司购进某种商品成20元 kg 市场调研发现种商品未40天销售单价y（元 kg ）时间x（天）间函数关系式： y{025x+30(1≤x≤20)35(20
1
3
6
10
…
日销量 m(kg)
142
138
132
124
…
填空：
（1）mx函数关系________
（2）天销售利润？日销售利润少？
（3）实际销售前20天中公司决定销售 1kg 商品捐赠n元利润（ n<4 ）福利院发现：前20天中天扣捐赠日销售利润时间x增增求n取值范围
23已知等边三角形 ABC A点作 AC 垂线l点Pl动点（点A重合）连接 CP 线段 CP 绕点C逆时针方旋转 60° CQ 连 QB
（1）图1直接写出线段 AP BQ 数量关系
（2）图2点PB AC 侧 APAC 时求证：直线 PB 垂直分线段 CQ
（3）图3等边三角形 ABC 边长4点PB分位直线 AC 异侧 △APQ 面积等 34 求线段 AP 长度
24已知抛物线 yax2+bx5 x轴交点 A(10) B(50) y轴交点C顶点P点N抛物线称轴位x轴方连 AN 交抛物线M连 AC CM
（1）求抛物线解析式
（2）图1 tan∠ACM2 时求M点横坐标
（3）图2点P作x轴行线lM作 MD⊥l D MD3MN 求N点坐标
答案解析部分
单选题
1答案 D
考点相反数理数相反数
解析解答 (12)+120 12 相反数 12
答案D
分析根符号两数互相反数求解
2答案 A
考点行线性质三角形外角性质
解析解答解：∵ ABCD∠155°
∴ ∠C∠155°
∴ ∠3∠2+∠C87°
答案：A
分析根行线性质出∠C∠155° 根三角形外角性质出∠3∠2+ ∠C计算
3答案 A
考点简单组合体三视图
解析解答解：该体俯视图
答案：A
分析俯视图：物体面面图形注意：棱画实线棱画虚线判断
4答案 B
考点底数幂法完全方公式运方差公式应积方
解析解答解：A a3⋅a3a6 该项计算错误
B (2a)24a2 该项计算正确
C (a+b)2a2+2ab+b2 该项计算错误
D (a+2)(a2)a24 该项计算错误
答案：B
分析根底数幂法积方完全方公式方差公式分进行计算然判断
5答案 D
考点中位数众数
解析解答解：根图表数年龄数15岁8众数15岁
22名队员中年龄排列第11名队员第12名队员年龄15岁中位数（15＋15）÷2＝15岁
答案：D
分析中位数：先数（）进行排列果数数奇数中间数中位数果数数偶数中间两数均数中位数众数：组数中出现次数数求解
6答案 B
考点分式方程实际应
解析解答解：设现天生产x台原生产（x−50）台
题意： 450x50400x1
答案：B
分析设现天生产x台原生产（x−50）台根 生产400台机器需时间原计划生产450台机器需时间少1天 列出方程
7答案 D
考点解直角三角形应
解析解答解：∵AB⊥BCDE⊥BCAD∥BC
∴四边形ABCD矩形
∵BC＝15mAB＝15m
∴AD＝BC＝15mDC＝AB＝15m
Rt△AED中
∵∠EAD＝30°AD＝15m
∴ED＝AD•tan30°＝15× 33 ＝5 3
∴CE＝CD＋DE＝ (53+32)m
答案：D
分析证明四边形ABCD矩形AD＝BC＝15mDC＝AB＝15mRt△AED中求出ED＝AD•tan30°＝5 3 利CE＝CD＋DE求出结
8答案 C
考点垂径定理圆周角定理解直角三角形
解析解答解：点O作OF⊥BCF
∴BF＝CF＝ 12 BC
∵AB＝AC∠BAC＝120°
∴∠C＝∠ABC＝（180°−∠BAC）÷2＝30°
∵∠C∠D弧圆周角
∴∠D＝∠C＝30°
∵BD⊙O直径
∴∠BAD＝90°
∴∠ABD＝60°
∴∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°
∵AD＝3
∴BD＝AD÷cos30°＝3÷ 32 2 3
∴OB＝ 12 BD＝ 3
∴BF＝OB•cos30°＝ 3 × 32 ＝ 32
∴BC＝3
答案：C
分析点O作OF⊥BCF根垂径定理求出BF＝CF＝ 12 BC利等腰三角形性质出∠C＝∠ABC30°根圆周角定理求出∠D＝∠C＝30°∠BAD＝90°求出∠OBC＝∠ABD−∠ABC＝30°继出BD＝AD÷cos30°2 3 求出OB＝ 12 BD＝ 3 BF＝OB•cos30°求出BF求出BC长
9答案 B
考点探索数式规律
解析解答解：观察数字变化发现规律：第n行第n列数：2n(n1)+1
∴第32行第32列数：2×32×(321)+11985
根数排列规律第偶数行右左数次增加2
∴第32行第13列数：1985+2×(3213)2023
答案：B
分析观察数字变化发现规律：第n行第n列数：2n(n1)+1求出n32时数根数排列规律第偶数行右左数次增加2求出结
10答案 A
考点勾股定理轴称性质行线分线段成例反例函数图象点坐标特征
解析解答解：∵反例函数 ykx(x>0) 图象点 A(21)
∴ k2
∴直线OA解析式 y12x
∵ CD⊥OA
∴设直线CD解析式 y2x+b
D(0b)
设点B关直线 CD 称点 B＇(a2a)
(b1)2a2+(2ab)2 ①
BB＇OA
2a1a12 解 a51
代入① b5514
答案：A
分析点A坐标代入反例函数解析式求出k2y2x 利定系数法求出直线OA解析式 y12x CD⊥OA设直线CD解析式 y2x+b D(0b) 设B＇(a2a) 利勾股定理(b1)2a2+(2ab)2① BB＇OA 2a1a12 求出a值然a值代入①求出b值
二填空题
11答案 36
考点式分解应
解析解答∵ xy2x3y3
∴原式 2xy(x3y)22×2×3236
答案：36
分析利式分解原式变形2xy(x3y)2 然整体代入计算
12答案 20
考点矩形性质三角形中位线定理
解析解答解：∵O矩形ABCD角线AC中点MAD中点
∴OM12CD12AB25
∵AB5AD12
∴AC 52+12213
∵O矩形ABCD角线AC中点
∴BO12AC65
∴四边形ABOM周长AB+AM+BO+OM5+6+65+2520
答案：20．
分析根题意知OM△ADC中位线OM长求根勾股定理求出AC长利直角三角形斜边中线等斜边半求出BO长进求出四边形ABOM周长．
13答案 12
考点式分解法解元二次方程定义新运算
解析解答解：根新定义容： x⊗(x1)x2+(x1)2x(x1)3
整理 x2x20
解 x11 x22
答案：12
分析利定义新运算x⊗(x1)x2+(x1)2x(x1)3 然求出方程解
14答案 3π6
考点三角形面积正方形性质扇形面积计算
解析解答连接BE
∵正方形 ABCD 中 AB 直径半圆交角线 AC 点E
∴∠AEB90°：AC⊥BE
∵∠CAB45°
∴ △ABE 等腰直角三角形：AEBE
∴弓形BE面积 14π×2212×2×2π2
∴阴影部分面积弓形BE面积+扇形CBF面积 △BCE 面积
π2 + 45×π×42360 12×12×4×4 3 π 6
答案：3π6
分析连接BE求出△ABE等腰直角三角形AEBE阴影部分面积弓形BE面积+扇形CBF面积 △BCE 面积利扇形面积公式三角形面积公式进行计算
15答案 72 ≤m≤ 132
考点三角形三边关系勾股定理三角形中位线定理直角三角形斜边中线
解析解答解：作AB中点M连接CMQM
∵AP3
∴ P A 圆心 3 半径圆运动
直角△ABC中AB＝ AC2＋BC282+6210
∵M直角△ABC斜边AB中点
∴CM＝ 12 AB＝5
∵QBP中点MAB中点
∴MQ＝ 12 AP＝ 32
∴△CMQ中5− 32 ≤CQ≤ 32 ＋5 72 ≤m≤ 132
答案： 72 ≤m≤ 132
分析作AB中点M连接CMQM直角△ABC中利勾股定理求出AB10利直角三角形斜边中线性质出CM＝ 12 AB＝5根三角形中位线定理MQ＝ 12 AP＝ 32 △CMQ中CM− MQ≤CQ≤ MQ＋CM求出结
三解答题
16答案 解：原式 2×22+33
1
考点实数运算特殊角三角函数值
解析分析利特殊角三角函数值负整数幂性质绝值性质分进行计算合
17答案 解：原式 (a+2a(a2)a1(a2)2)⋅aa4
((a+2)(a2)a(a2)2a(a1)a(a2)2)⋅aa4
a24a2+aa(a2)2⋅aa4
a4a(a2)2⋅aa4
1(a2)2
考点分式混合运算
解析分析括号通分利分母分式减法法计算法转化法进行约分化简
18答案 （1）203042°450
（2）解：列表：
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
甲乙
乙丙
乙丁
丙
甲丙
乙丙
丙丁
丁
甲丁
乙丁
丙丁
12种情况中甲乙两少1选中10种
∴P(甲乙两少1选中) 101256
考点样估计总体统计表扇形统计图列表法树状图法
解析解答解：（1）总数 15÷9036060
∴ a601518720
C等级占百分 1860×10030
D等级应扇形圆心角 760×36042°
全校1800名学生参加次知识竞赛活动成绩A等级学生 1800×1560450
分析（1）先求出抽取总数利总数分减ACD等级数a值利C等级数总数100C等级百分利D等级百分360°D等级应扇形圆心角度数利样中A等级百分1800结
（2） 利列表法列举出12种等情况中甲乙两少1选中10种 然利概率公式计算
19答案 （1）解：∵元二次方程 x24x2m+50 两相等实数根
∴ Δ164(2m+5)>0
解 m>12
（2）解：设该方程两根 x1 x2
∵该方程两根符号相整数
∴ x1x22m+5>0 x1+x24
∴ 12
m1 时方程两根 x11 x23
m2 时方程两根 x1 x2 整数
∴m值1
考点元二次方程根判式应元二次方程根系数关系
解析分析（1） 根元二次方程 x24x2m+50 两相等实数根△＞0解答
（2）设该方程两根 x1 x2 根根系数关系 方程两根符号相整数 x1x22m+5>0 x1+x24 m范围然求出整数解
20答案 （1）证明：∵ AFBC
∴ ∠FAD∠ECD
∵D AC 中点 DE⊥AC
∴ ∠FDA∠EDC ADCD
∴ △ADF≌△CDE
∴ AFCE
∴四边形AECF行四边形
∵ DE⊥AC
∴行四边形AECF菱形
（2）解：∵AECF菱形
∴ AFCF2
∴ ADAF⋅cos30°3
∴ AC2AD23
点A作 AM⊥BC
∴ AMAC⋅sin30°3
∴ ABAMsin45°6
考点菱形判定性质解直角三角形三角形全等判定（ASA）
解析分析（1）利行线性质证∠FAD∠ECD利垂直定义线段中点定义证∠FDA∠EDCADCD利ASA证△ADF≌△CDE利全等三角形性质证AFCE利组边行相等四边形行四边形证四边形AECF行四边形根角线互相垂直行四边形菱形证结
（2）利菱形性质求出AF长利解直角三角形求出AD长求出AC长点A作AM⊥BC利解直角三角形求出AMAB长
21答案 （1）证明：连接OD
∵ ODOC
∴ ∠OCD∠ODC
∵CD分 ∠OCB
∴ ∠OCD∠BCD
∴ ∠ODC∠BCD
∴ ODBC
∵ DF⊥BC
∴ OD⊥DF
∴ DF ⊙O 切线
（2）解：∵ ∠ADO+∠BDO90° ∠FDB+∠BDO90°
∴ ∠ADO∠FDB
∵ ∠ADO∠OAD
∴ ∠OAD∠FDB
∴ △ADF∽△DBF
∴ DBADDFAFBFDFtan∠A12
∴ DF12AF2BF
12(BF+6)2BF 解 BF2 DF4
∵ OD⊥DF BE⊥DF
∴ △ODF∽△BEF
∴ EFDFBFOF22+3 解 EF85
考点切线判定相似三角形判定性质解直角三角形
解析分析（1）连接OD利角分线定义行线性质证∠ODC∠BCD推出OD∥BC结合已知条件OD⊥DF然利切线判定定理证结
（2）利余角性质证∠ADO∠FDB证明∠OAD∠FDB证△ADF∽△DBF利相似三角形性质锐角三角函数定义证DF2BF求出BFDF长证明△ODF∽△BEF利相似三角形应边成例求出EF长
22答案 （1）m2x+144
（2）解： 1≤x≤20 时
销售利润 Wmy20m(2x+144)(025x+3020)12(x16)2+1568
x16 时销售利润1568元
20
x21 时销售利润1530元
综述第16天销售利润1568元
（3）解：前20天中天扣捐赠日销售利润：
W＇my20mnm(025x+10n)(2x+144)12x2+(16+2n)x+1440144n
∵ 1≤x≤20 时 W＇ x增增
∴称轴 16+2n≤20 解 0
解析解答解：（1）设 mkx+b (1142) (3138) 代入：
{142k+b1383k+b 解 {k2b144
∴ m2x+144
分析（1）利定系数法求出mx函数解析式
（2）1≤x≤20根WmyWx间函数解析式函数解析式转化顶点式利二次函数性质求出销售利润值20＜x≤40根WmyWx间函数解析式利次函数性质求出销售利润值求解
（2）题意知W＇my2mnm列出函数解析式利二次函数性质求解
23答案 （1）证明：∵线段 CP 绕点C逆时针方旋转 60° CQ
∴CPCQ∠PCQ60°
∵等边三角形 ABC 中∠ACB60°ACBC
∴∠ACP∠BCQ
∴ △ACP≌△BCQ
∴ AP BQ
（2）解：∵ APAC CA⊥l
∴ △ACP 等腰直角三角形
∵ △ACP≌△BCQ
∴ △BCQ 等腰直角三角形∠CBQ90°
∵等边三角形 ABC 中ACAB∠BAC∠ABC60°
∴ABAP∠BAP90°60°30°
∴∠ABP∠APB(180°30°)÷275°
∴∠CBD180°75°60°45°
∴PD分∠CBQ
∴直线 PB 垂直分线段 CQ
（3）解：点B作BE⊥l点Q作QF⊥l
（1）题知： △ACP≌△BCQ
∴APBQ∠CAP∠CBQ90°
∵∠ACB60°∠CAM90°
∴∠AMB360°60°90°90°120°：∠BME∠QMF60°
∵∠BAE90°60°30°AB4
∴BE 12AB2
∴BMBE÷sin60°2÷ 32 433
设APxBQxMQx 433 QF MQ×sin60°( x 433 )× 32
∵ △APQ 面积等 34
∴ 12 AP×QF 34 ： 12 x×( x 433 )× 32 34 解： x233+213 x233213 （合题意舍）
∴AP 233+213
考点解直角三角形旋转性质三角形综合
解析分析（1）利旋转性质证CPCQ∠PCQ60°利等边三角形性质证明∠ACP∠BCQ利SAS证△ACP≌△BCQ利全等三角形性质证结
（2）利已知条件易证△ACP等腰直角三角形利全等三角形性质证△BCQ等腰直角三角形利等边三角形性质证明ABAP时求出∠BAP∠ABP∠CBD度数证结
（3）利全等三角形性质证APBQ∠CAP∠CBQ90°证明∠QMF∠BAE60°时求出∠BAE度数利直角三角形性质求出BE长利解直角三角形求出BM长设APxBQx表示出MQQF长利△PAQ面积 34 建立关x方程解方程求出符合题意x值AP长
24答案 （1）解：点 A(10) 点 B(50) 代入 yax2+bx5
{ab5025a5b50 解： {a1b6
∴yx26x5
（2）解：点A作 AE⊥AC 交CM延长线点E E 作 EF⊥x 轴 E 图
∵EF⊥x 轴 AE⊥AC
∴∠EFA∠EAC90°
∴∠FAE+∠OAC90°
∴∠ACO+∠OAC90°
∴∠EAF∠ACO
∴ΔAOC∽ΔEFA
∴ACEAAOEFCOAF
∵tan∠ACM2 AEAC2
∴ACEAAOEFCOAF12
x0 时 y5
∴C(05) OC5
∴EF2AF10 E(112)
∴ 设直线CE解析式 ykx+b(k≠0) CE两点代入
{11k+b2b5 解 {k311b5
∴y311x5
∵ 点M直线CE抛物线交点
∴{y311x5yx26x5 解 x16311x20 （合题意舍）
∴ 点M横坐标 6311
（3）解：设点M垂直L直线交x轴点H称轴交x轴点QM横坐标m
OHm
∴AH1m
∵yx26x5
∴ 称轴 xb2a3
∴ PQN横坐标 3 OQ3
∴AQOQOA2
∴ x3 时 y(3)2(3)×654
∴P(34)
∴ 点D坐标4
∴ MD4(m26m5)m2+6m+9(m+3)2
∵ HMNQ
∴ ΔAHM∽ΔAQN
∴AHAQHMQN 1m2m2+6m+5QN
∴QN2m10
∴N(32m+10)
∴MN2(m3)2+[m26m52m10]23(m+3)2[(m+5)2+1]
∵MD3MN
∴MD23MN2 (m+3)43(m+3)2[(m+5)2+1]
∵m+30m3 符合题意舍
m+3≠0 时
∴2m2+24m+690
解 m12±62
题意知 m1262
∴N(326)
考点定系数法求二次函数解析式二次函数实际应问题
解析分析（1）点AB坐标代入函数解析式建立关ab方程组解方程组求出ab值二次函数解析式
（2）点A作 AE⊥AC 交CM延长线点E E 作 EF⊥x 轴 E利垂直定义余角性质证∠EAF∠ACO∠EFA∠EAC推出△AOC∽△EFA利相似三角形性质证应边成例利锐角三角函数定义AEAC值利函数解析式求出点C坐标OCEFAF长求出点E坐标利点CE坐标求出直线CE函数解析式直线CE解析式抛物线额解析式联立方程组求出点M坐标
（3）设点M垂直L直线交x轴点H称轴交x轴点QM横坐标m OHAH长利函数解析式求出抛物线称轴点PQN横坐标OQ长求出AQ长x3代入二次函数解析式求出y值点P坐标含m代数式表示出MD长证明△AHM∽△AQN利相似三角形性质表示出MN2长利 MD23MN2 建立关m方程解方程求出m值点N坐标
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