2013年中考数学专题复第十七讲 三角形全等三角形
基础知识回顾
三角形概念：
1 直线三条线段 组成图形三角形
2三角形基元素：三角形 条边 顶点 角
二三角形分类：
边分 三角形 三角形角分 三角形 三角形 三角形
赵老师提醒：等边三角形属特殊 三角形锐角三角形钝角三角形事称 三角形
三三角形性质：
1三角形角 三角形意外角 相两角三角形外角 意相邻角
2三角形意两边 第三边意两边差 第三边
3三角形具 性
赵老师提醒：1三角形外角指三角形边边 组成角三角形 外角三角形外角事 中 外角
2三角形三边关系定理确定三条线段否构成三角形判断限度间等关系
四三角形中线段：
1角分线：三角形三条角分线三角形 部 交点三角形 心 距离相等
2中线：三角形三条中线三角形 部交点
3高线：三角 形 三 条高线位置锐角三角形三条高连三角形 直角三角形条高线 部两条河 重合钝角三角形条高线三角形 部两条三角形 部
4中位线：连接三角形意两边 线段做三角形中位线
定理：三角形中位线 第三边等第三边
赵老师提醒：三角形分线中线高线中位线 条
五全等三角形概念性质：
1 两三角形做全等三角形
2性质：全等三角形 分相等全等三角形应线段（角分线中线高线）周长面积分应
赵老师提醒：全等三角形性质证明线段角等间数量关系
全等三角形判定：
1般三角形全等判定方法：①边角边简记 ②角边角：简记 ③角角边：简记 ④边边边：简记
2直角三角形全等判定般三角形全等判定方法外 判定
赵老师提醒：1判定全等三角形条件中必须少组 应相等SAS判定全等切记角两边
2判定全等三角形关条件特注意应两字
重点考点例析
考点：三角形角外角应
例1 （2012•南通）图△ABC中∠C70°图中虚线截∠C∠1+∠2（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
思路分析：先利三角形角外角关系出∠1+∠2∠C+（∠C+∠3+∠4）根三角形角定理出结果．
解：∵∠1∠2△CDE外角
∴∠1∠4+∠C∠2∠3+∠C
∠1+∠2∠C+（∠C+∠3+∠4）70°+180°250°．
选B．
点评：题考查三角形角定理外角性质三角形角180°三角形外角等相邻两角．
应训练
1．（2012•泉州）图△ABC中∠A60°∠B40°点DE分BCAC延长线∠1 °．
1．80
分析：先根三角形角定理求出∠ACB度数根顶角相等求出∠1度数．
解：∵△ABC中∠A60°∠B40°
∴∠ACB180°∠A∠B180°60°40°80°
∴∠1∠ACB80°．
答案：80．
点评：题考查三角形角定理三角形角180°．
考点二：三角形三边关系
例2 （2012•泸州）已知三角形两边长分36第三边长方程x26x+80根三角形周长等（ ）
A．13 B．11 C．11 13 D．1215
2．分析：首先方程x26x+80中确定第三边边长24次考查236436否构成三角形求出三角形周长．
解：方程x26x+80：
解x12x24
第三边2时2+3＜6构成三角形应舍
第三边4时三角形周长4+3+613．
选A．
点评：考查三角形三边关系求三角形周长盲目三边长相加起应养成检验三边长否成三角形惯符合题意应弃．
应训练
1．（2012•义乌市）果三角形两边长分35第三边长偶数第三边长（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
思路分析：根三角形三边关系令第三边X53＜X＜5+32＜X＜8第三边长偶数第三边长46．问题求．
解：题意令第三边X53＜X＜5+32＜X＜8
∵第三边长偶数∴第三边长46．
∴三角形三边长354．
选：C．
点评：题考查三角形三边关系熟练掌握三角形三边关系解决类问题关键．
考点三：三角形全等判定
例3 （2012•乐山）图△ABC中∠C90°ACBC4DAB中点点EF分ACBC边运动（点E点AC重合）保持AECF连接DEDFEF．运动变化程中列结：
①△DFE等腰直角三角形
②四边形CEDF正方形
③四边形CEDF面积点E位置改变发生变化
④点C线段EF距离．
中正确结数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路分析：①作常规辅助线连接CDSAS定理证△CDF△ADE全等证∠EDF90°DEDF．△DFE等腰直角三角形
②EAC中点FBC中点时四边形CEDF正方形
③割补法知四边形CDFE面积保持变
④△DEF等腰直角三角形DE EFDFBC垂直DF时FE取值2时点C线段EF距离．
解：①图连接CD
∵△ABC等腰直角三角形
∴∠DCB∠A45°CDADDB
∵AECF
∴△ADE≌△CDF
∴EDDF∠CDF∠EDA
∵∠ADE+∠EDC90°
∴∠EDC+∠CDF∠EDF90°
∴△DFE等腰直角三角形．选项正确
②EF分ACBC中点时四边形CDFE正方形选项错误
③图2示分点D作DM⊥ACDN⊥BC点MN
利割补法知四边形CDFE面积等正方形CMDN面积面积保持变选项错误
④△DEF等腰直角三角形DEEF
EF∥AB时EF取值2时点C线段EF距离．选项正确
正确2
选：B．
点评：题考查全等三角形判定性质正方形等腰三角形直角三角形性质等知识根图形利割补法知四边形CDFE面积等正方形CMDN面积解题关键．
例4 （2012•珠海）图正方形ABCD绕点C时针方旋转45°正方形A′B′CD′（时点B′落角线AC点A′落CD延长线）A′B′交AD点E连接AA′CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE
（2）直线CE线段AA′垂直分线．
思路分析：（1）根正方形性质ADCD∠ADC90°∠EA′D45°∠A′DE90°计算出∠A′ED45°根等角等边ADED利SAS证明△AA′D≌△CED
（2）首先ACA′C点CAA′垂直分线证明△AEB′≌△A′EDAEA′E进点EAA′垂直分线根两点确定条直线直线CE线段AA′垂直分线．
证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴ADCD∠ADC90°
∴∠A′DE90°
根旋转方法：∠EA′D45°
∴∠A′ED45°
∴A′DDE
△AA′D△CED中： ADCD∠ADA′∠EDCA′DED
∴△AA′D≌△CED（SAS）
（2）∵ACA′C
∴点CAA′垂直分线
∵AC正方形ABCD角线
∴∠CAE45°
∵ACA′CCDCB′
∴AB′A′D
△AEB′△A′ED中：∠EAB′∠EA′D∠AEB′∠A′ED AB′A′D
∴△AEB′≌△A′ED
∴AEA′E
∴点EAA′垂直分线
∴直线CE线段AA′垂直分线．
点评：题考查正方形性质旋转性质关键熟练掌握正方形性质：正方形四条边相等四角直角正方形两条角线相等互相垂直分条角线分组角找准旋转相等线段．
应训练
3．（2012•鸡西）Rt△ABC中ABAC点DBC中点．∠MDN90°∠MDN绕点D旋转DMDN分边ABAC交EF两点．列结：①（BE+CF） BC②S△AEF≤S△ABC③S四边形AEDFAD•EF④AD≥EF⑤ADEF互相分中正确结数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．分析：先ASA证明△AED≌△CFD出AECF勾股定理出BE+CFAB BC判断①
设ABACaAECFx先三角形面积公式出S△AEF（xa）2+a2
S△ABC×a2a2根二次函数性质判断②
勾股定理EF表达式利二次函数性质求EF值aADaEF≥AD④错误
先出S四边形AEDFS△ADCADEF≥ADAD•EF≥AD2∴AD•EF＞S四边形AEDF③错误
果四边形AEDF行四边形ADEF互相分时DF∥ABDE∥ACDBC中点EF分ABAC中点时ADEF互相分判断⑤．
解：∵Rt△ABC中ABAC点DBC中点
∴∠C∠BAD45°ADBDCD
∵∠MDN90°
∴∠ADE+∠ADF∠ADF+∠CDF90°
∴∠ADE∠CDF．
△AED△CFD中
∴△AED≌△CFD（ASA）
∴AECF
Rt△ABD中BE+CFBE+AEAB．
①正确
设ABACaAECFxAFax．
∵S△AEFAE•AFx（ax）（xa）2+a2
∴xa时S△AEF值a2
∵S△ABC×a2a2
∴S△AEF≤S△ABC．
②正确
EF2AE2+AF2x2+（ax）22（xa）2+1 2 a2
∴xa时EF2取值a2
∴EF≥a（等号仅x a时成立）
ADa∴EF≥AD．
④错误
①证明知△AED≌△CFD
∴S四边形AEDFS△AED+S△ADFS△CFD+S△ADFS△ADC1 2 AD2
∵EF≥AD∴AD•EF≥AD2∴AD•EF＞S四边形AEDF
③错误
EF分ABAC中点时四边形AEDF正方形时ADEF互相分．
⑤正确．
综述正确：①②⑤3．
选C．点评：题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形性质勾股定理图形面积函数性质等知识综合性较强定难度．
4．（2012•肇庆）图已知AC⊥BCBD⊥ADACBD交OACBD．
求证：（1）BCAD
（2）△OAB等腰三角形．
4．分析：（1）根AC⊥BCBD⊥AD出△ABC△BAD直角三角形根ACBDABBA出△ABC≌△BAD证出BCAD
（2）根△ABC≌△BAD出∠CAB∠DBA证出OAOB△OAB等腰三角形．
证明：（1）∵AC⊥BCBD⊥AD
∴△ABC△BAD直角三角形
△ABC△BAD中
∵ ACBD ABBA ∠ACB∠ADB
∴△ABC≌△BAD
∴BCAD
（2）∵△ABC≌△BAD
∴∠CAB∠DBA
∴OAOB
∴△OAB等腰三角形．
点评：题考查全等三角形判定性质知识点全等三角形判定性质等腰三角形判定等全等三角形判定重点题道基础题全等三角形判定训练．
考点四：全等三角形开放性问题
例5 （2012•义乌市）图△ABC中点DBC中点作射线AD线段AD延长线分取点EF连接CEBF．添加条件△BDF≌△CDE加证明．添加条件 ．（添加辅助线）．
思路分析：已知证∠ECD﹦∠FBD∠EDC﹦∠FDB三角形全等条件中必须三元素定组应边相等．添加条件：DEDF（CE∥BF∠ECD∠DBF∠DEC∠DFB等）
解：（1）添加条件：DEDF（CE∥BF∠ECD∠DBF∠DEC∠DFB等）．
（2）证明：△BDF△CDE中
∵
∴△BDF≌△CDE．
点评：三角形全等判定中考热点般考查三角形全等方法判定两三角形全等先根已知条件求证结确定三角形然根三角形全等判定方法缺什条件证什条件．
应训练
5．（2012•衡阳）图AFDCBC∥EF请补充条件△ABC≌△DEF说明理．
5．分析：首先AFDCACDFBC∥EF根两直线行错角相等∠EFD∠BCA加条件EFBC利SAS证明△ABC≌△DEF．
解：补充条件：EFBC△ABC≌△DEF．理：
∵AFDC
∴AF+FCDC+FC
：ACDF
∵BC∥EF
∴∠EFD∠BCA
△EFD△BCA中 EFBC ∠EFD∠BCA EFBC
∴△EFD≌△BCA（SAS）．
点评：题考查全等三角形判定关键熟练掌握判定定理：SSSSASASAAASHL．
聚焦山东中考
1（2012•烟台）副三角板叠起图放置锐角顶点D恰放等腰直角三角板斜边ABBCDE交点M．果∠ADF100°∠BMD 度．
185
分析：先根∠ADF100°求出∠MDB度数根三角形角定理出∠BMD度数．解答：解：∵∠ADF100°∠EDF30°
∴∠MDB180°∠ADF∠EDF180°100°30°50°
∴∠BMD180°∠B∠MDB180°45°50°85°．
答案：85．点评：题考查三角形角定理三角形角180°．
2．（2012•聊城）副三角板图示摆放图中∠α度数（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
2．分析：先根直角三角形性质出∠BAE∠E度数三角形角定理顶角性质出结．解答：解：∵图中副直角三角板
∴∠BAE45°∠E30°
∴∠AFE180°∠BAE∠E105°
∴∠α105°．
选C．
点评：题考查三角形角定理三角形角180°．
3．（2012•德州）定三角形部线段（ ）
A．三角形角分线 B．三角形中线 C．三角形高 D．三角形中位线
3．分析：根三角形高中线角分线性质解答．解答：
解：三角形中
中线角分线定三角形部
钝角三角形高三角形外部．
选C．
点评：题考查三角形高中线角分线熟悉性质方解答．
4．（2012•济宁）直尺圆规作角分线示意图图示说明∠AOC∠BOC（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．角分线点角两边距离相等
4．分析：连接NCMC根SSS证△ONC≌△OMC推出答案．
解：图连接NCMC
△ONC△OMC中
∴△ONC≌△OMC（SSS）
∴∠AOC∠BOC
选A．
点评：题考查全等三角形性质判定应考查学生运性质进行推理力题型较难度适中．
5．（2012•滨州）图△ABC中ABADDC∠BAD20°∠C ．
5．40°
分析：先根等腰三角形性质三角形角定理求出∠B度数根三角形外角性质求出∠ADC度数三角形角定理解答．
解：∵ABAD∠BAD20°
∴∠B80°
∵∠ADC△ABD外角
∴∠ADC∠B+∠BAD80°+20°100°
∵ADDC
∴∠C40°．
点评：题涉三角形角定理三角形外角性质等腰三角形性质属较简单题目．
6．（2012•潍坊）图示ABDB∠ABD∠CBE请添加适条件 △ABC≌△DBE．（需添加）
6．∠BDE∠BAC
分析：根∠ABD∠CBE证明∠ABC∠DBE然根利证明方法角边角边角边角角边分写出第三条件．
解：∵∠ABD∠CBE
∴∠ABD+∠ABE∠CBE+∠ABE
∠ABC∠DBE
∵ABDB
∴①角边角需添加∠BDE∠BAC
②边角边需添加BEBC
③角角边需添加∠ACB∠DEB．
答案：∠BDE∠BACBEBC∠ACB∠DEB．（写出）
点评：题考查全等三角形判定根已知条件边角根证明方法选择添加条件需注意添加条件符合边边角题容易出方．
7．（2012•沂）Rt△ABC中∠ACB90°BC2cmCD⊥ABAC取点EECBC点E作EF⊥AC交CD延长线点FEF5cmAE cm．
7．3
分析：根直角三角形两锐角互余性质求出∠ECF∠B然利角边角证明△ABC△FEC全等根全等三角形应边相等ACEF根AEACCE代入数计算解．
解：∵∠ACB90°
∴∠ECF+∠BCD90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B90°
∴∠ECF∠B
△ABC△FEC中 ∠ECF∠B ECBC ∠ACB∠FEC90°
∴△ABC≌△FEC（ASA）
∴ACEF
∵AEACCEBC2cmEF5cm
∴AE523cm．
答案：3．点评：题考查全等三角形判定性质根直角三角形性质证明∠ECF∠B解题关键．
8．（2012•济宁）图等边三角形ABC中DBC边点延长ADEAEAC∠BAE分线交△ABC高BF点Otan∠AEO ．
8．
分析：根等边三角形性质三线合定理求出∠BAF30°推出ABAE根SAS证△BAO≌△EAO推出∠AEO∠ABO30°．解答：解：∵△ABC等边三角形
∠ABC60°ABBC
∵BF⊥AC
∴∠ABF∠ABC30°
∵ABACAEAC
∴ABAE
∵AO分∠BAE
∴∠BAO∠EAO
∵△BAO△EAO中
∵ ABAE∠BAO∠EAO AOAO
∴△BAO≌△EAO
∴∠AEO∠ABO30°
∴tan∠AEOtan30°
答案：．点评：题考查等边三角形性质全等三角形性质判定特殊角三角函数值等知识点应关键证出∠AEO∠ABO题目较典型难度适中．
备考真题关
选择题
1．（2012•云南）图△ABC中∠B67°∠C33°AD△ABC角分线∠CAD度数（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
1．分析：首先利三角形角定理求∠BAC度数然利角分线性质求∠CAD度数．
解：∵∠B67°∠C33°
∴∠BAC180°∠B∠C180°67°33°80°
∵AD△ABC角分线
∴∠CAD∠BAC×80°40°
选A．
点评：题考查三角形角定理属基础题较简单．三角形角定理学已接触．
2．（2012•梅州）图折纸活动中明制作张△ABC纸片点DE分边ABAC△ABC着DE折叠压AA′重合∠A75°∠1+∠2（ ）
A．150° B．210° C．105° D．75°
2．分析：先根图形翻折变化性质出△ADE≌△A′DE∠AED∠A′ED∠ADE∠A′DE根三角形角定理求出∠AED+∠ADE∠A′ED+∠A′DE度数然根角性质求出答案．
解：∵△A′DE△ABC翻折变换成
∴∠AED∠A′ED∠ADE∠A′DE∠A∠A′75°
∴∠AED+∠ADE∠A′ED+∠A′DE180°75°105°
∴∠1+∠2360°2×105°150°．
选A．
点评：题考查图形翻折变换性质折叠种称变换属轴称折叠前图形形状变位置变化应边应角相等．
3．（2012•漳州）副直角三角板图示叠放起图中∠α度数（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．分析：根直角三角形两锐角互余求出∠1度数根三角形外角等相邻两角列式计算解．
解：图∠190°60°30°
∠α45°+30°75°．
选C．
点评：题考查三角形外角等相邻两角性质直角三角形两锐角互余性质基础题熟记性质解题关键．
4．（2012•广东）已知三角形两边长分410三角形第三边长（ ）
A．5 B．6 C．11 D．16
4．分析：设三角形第三边长x根三角形三边关系求出x取值范围找出符合条件x值．
解：设三角形第三边长x104＜x＜10+46＜x＜14四选项中11符合条件．
选C．
点评：题考查三角形三边关系意两边第三边意两边差第三边．
5．（2012•郴州）列组线段边组成三角形（ ）
A．1cm2cm4cm B．4cm6cm8cm C．5cm6cm12cm D．2cm3cm5cm
5．分析：根三角形三边关系意两边第三边意两边差第三边进行分析．
解：根三角形三边关系知
A1+2＜4组成三角形
B4+6＞8够组成三角形
C5+6＜12组成三角形
D2+35组成三角形．
选B．
点评：题考查三角形三边关系．判断否组成三角形简便方法较两数否第三数．
6．（2012•玉林）图菱形ABCD中角线ACBD相交点OAC≠BD图中全等三角形（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．分析：根菱形四边形等角线互相垂直分结合全等三角形判定出答案．
解：图中全等三角形：△ABO≌△ADO△ABO≌△CDO△ABO≌△CBO
△AOD≌△COD△AOD≌△COB
△DOC≌△BOC
△ABD≌△CBD
△ABC≌△ADC
8．
选C．
点评：题考查全等三角形判定菱形性质注意掌握全等三角形判定定理查找时序进行否容易出错．
7．（2012•贵阳）图已知点ADCF条直线ABDEBCEF△ABC≌△DEF需添加条件（ ）
A．∠BCA∠F B．∠B∠E C．BC∥EF D．∠A∠EDF
7．分析：全等三角形判定方法SAS指两边应相等两边夹角相等两三角形全等已知ABDEBCEF两边夹角∠B∠E求出∠B∠E．
解：A根ABDEBCEF∠BCA∠F推出△ABC≌△DEF选项错误
B∵△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）选项正确
C∵BC∥EF
∴∠F∠BCA根ABDEBCEF∠F∠BCA推出△ABC≌△DEF选项错误
D根ABDEBCEF∠A∠EDF推出△ABC≌△DEF选项错误．
选B．
点评：题考查行线性质全等三角形判定应注意：两边应相等两边夹角相等两三角形全等题目较典型道较容易出错题目．
三填空题
8．（2012•呼浩特）图△ABC中∠B47°三角形外角∠DAC∠ACF分线交点E∠AEC ．
8．665°
分析：根三角形角定理角分线定义三角形外角定理求∠DAC+
ACF（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA） △AEC中利三角形角定理求∠AEC度数．
解：∵三角形外角∠DAC∠ACF分线交点E
∴∠EAC∠DAC∠ECA∠ACF
∵∠B47°（已知）∠B+∠BAC+∠BCA180°（三角形角定理）
∴∠DAC+ ACF（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）（外角定理）
∴∠AEC180°（∠DAC+ACF）665°
答案：665°．
点评：题考查三角形角定理三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含题干中已知条件三角形角180°．
9．（2012•娄底）图FE∥ONOE分∠MON∠FEO28°∠MFE 度．
9．56
分析：先根行线性质出∠NOE∠FEO根角分线性质出∠NOE∠EOF三角形外角性质出结．
解：∵FE∥ON∠FEO28°
∴∠NOE∠FEO28°
∵OE分∠MON
∴∠NOE∠EOF28°
∵∠MFE△EOF外角
∴∠MFE∠NOE+∠EOF28°+28°56°．
答案：56．
点评：题考查三角形外角性质三角形外角等相邻两角．
10．（2012•白银）图△ABC中ACBC△ABC外角∠ACE100°∠A 度．
10．50
分析：根等角等边性质∠A∠B根三角形外角等相邻两角列式计算解．
解：∵ACBC
∴∠A∠B
∵∠A+∠B∠ACE
∴∠A∠ACE×100°50°．
答案：50．
点评：题考查三角形外角等相邻两角性质等边等角性质基础题熟记性质准确识图解题关键．
11．（2012•绥化）等腰三角形两边长分35周长 ．
11．1113
分析：题目出等腰三角形两条边长35没明确腰底分少进行讨应三角形三边关系验证否组成三角形．解答：解：两种情况：①腰长3底边长5三边：335构成三角形周长3+3+511
②腰长5底边长3三边：553构成三角形周长5+5+313．
答案：1113．点评：题考查等腰三角形性质三角形三边关系已知没明确腰底边题目定想两种情况分类进行讨应验证种情况否构成三角形进行解答点非常重解题关键．
12．（2012•柳州）图△ABC中BD∠ABC角分线已知∠ABC80°∠DBC °．
12．40
分析：根角分线性质出∠ABD∠DBC进出∠DBC度数．解答：解：∵BD∠ABC角分线∠ABC80°
∴∠DBC∠ABD∠ABC×80°40°
答案：40．
点评：题考查角分线性质根角分线性质出∠ABD∠DBC解题关键．
13．（2012•绵阳）图BCEC∠1∠2△ABC≌△DEC应添加条件
．（答案唯需填）．
13．ACCD
分析：根∠1∠2求出∠BCA∠ECD根SAS证明亮三角形全等．解答：解：添加条件ACCD
理：∵∠1∠2
∴∠1+∠ECA∠2+∠ECA
∴∠BCA∠ECD
∵△ABC△DCE中
∴△ABC≌△DCE
答案：ACCD．
点评：题考查全等三角形判定应通做题培养学生发散思维力题题型较道具开放性题目答案唯．
三解答题
14．（2012•铜仁区）图EF四边形ABCD角线BD两点AE∥CFAECFBEDF．求证：△ADE≌△CBF．
14．考点：全等三角形判定．专题：证明题．分析：首先利行线性质出∠AED∠CFB进出DEBF利SAS出．
证明：∵AE∥CF
∴∠AED∠CFB
∵DFBE
∴DF+EFBE+EF
DEBF
△ADE△CBF中
AECF ∠AED∠CFB DEBF
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
点评：题考查全等三角形判定利两边夹角应相等出三角形全等解题关键．
15．（2012•赤峰）图示△ABC中∠ABC∠ACB．
（1）尺规作图：顶点A作△ABC角分线AD（写作法保留作图痕迹）
（2）AD取点E连接BECE．求证：△ABE≌△ACE．
15．分析：（1）A圆心意长较画弧分交ABAC点分两点圆心两点间距离半径画弧两弧交点点A作射线交BCDAD求
（2）推出∠BAE∠CAE根SAS证△BAE△CAE全等．
（1）解：图示：
（2）证明：∵AD△ABC角分线
∴∠BAD∠CAD
∵∠ABC∠ACB
∴ABAC
∵△ABE△ACE中
ABAC ∠BAE∠CAE AEAE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
点评：题考查等腰三角形判定全等三角形判定作图基作图应考查学生动手操作力推理力．
16．（2012•重庆）已知：图ABAE∠1∠2∠B∠E．求证：BCED．
16．分析：∠1∠2：∠EAD∠BAC条件ABAE∠B∠E利ASA证明△ABC≌△AED根全等三角形应边相等BCED．
证明：∵∠1∠2
∴∠1+∠BAD∠2+∠BAD
：∠EAD∠BAC
△EAD△BAC中：∠B∠EABAE∠BAC∠EAD
∴△ABC≌△AED（ASA）
∴BCED．
点评：题考查全等三角形判定性质关键掌握全等三角形判定方法：SSSSASASAAASHL．全等三角形判定结合全等三角形性质证明线段角相等重工具．
1．（2012•扬州）图四边形ABCD中ABBC∠ABC∠CDA90°BE⊥AD垂足E．求证：BEDE．
考点：
全等三角形判定性质矩形判定性质810360
专题：
证明题
分析：
作CF⊥BE垂足F出矩形CFED求出∠CBF∠A根AAS证△BAE≌△CBF推出BECF．
解答：
证明：作CF⊥BE垂足F
∵BE⊥AD
∴∠AEB90°
∴∠FED∠D∠CFE90°∠CBE+∠ABE90°∠BAE+∠ABE90°
∴∠BAE∠CBF
∴四边形EFCD矩形
∴DECF
△BAE△CBF中∠CBE∠BAE∠BFC∠BEA90°ABBC
∴△BAE≌△CBF
∴BECFDE
BEDE．
点评：
题考查全等三角形性质判定矩形判定性质应关键求出△BAE≌△CBF考查学生运性质进行推理力．
2．（2012•镇江）图四边形ABCD中AD∥BCEAB中点连接DE延长交CB延长线点F点G边BC∠GDF∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE
（2）连接EG判断EGDF位置关系说明理．
考点：
全等三角形判定性质810360
专题：
证明题
分析：
（1）ADBC行利两直线行错角相等角相等顶角相等EAB中点边相等利AAS出△ADE≌△BFE
（2）∠GDF∠ADE（1）出∠ADE∠BFE等量代换∠GDF∠BFE利等角等边GFGD三角形GDF等腰三角形（1）DEFEGE底边中线利三线合GEDF垂直．
解答：
（1）证明：∵AD∥BC∴∠ADE∠BFE
∵EAB中点∴AEBE
△AED△BFE中
∴△AED≌△BFE（AAS）
（2）解：EGDF位置关系EG⊥DF
理：连接EG
∵∠GDF∠ADE∠ADE∠BFE
∴∠GDF∠BFE
（1）△AED≌△BFR：DEEFGEDF中线
∴GE⊥DF．
点评：
题考查全等三角形判定性质行线性质等腰三角形判定性质熟练掌握判定性质解题关键．
3．（2012•佛山）图已知ABDCDBAC
（1）求证：∠ABD∠DCA．注：证明程求出步结成立．
（2）（1）证明程中需作辅助线意图什？
考点：
全等三角形判定性质810360
分析：
（1）连接AD证明三角形BAD三角形CAD全等结
（2）作辅助线意图构造全等三角形．
解答：
证明：（1）连接AD
△BAD△CDA中
∴△BAD≌△CDA（SSS）
∴∠ABD∠DCA（全等三角形应角相等）
（2）作辅助线意图构造全等三角形两三角形公边．
点评：
题考查全等三角形判定性质属基础题相较简单．
4．（2012•滨州）图1l1l2l3l4组行线相邻2条行线间距离1单位长度正方形ABCD4顶点ABCD行线．点A作AF⊥l3点F交l2点H点C作CE⊥l2点E交l3点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE
（2）求正方形ABCD面积
（3）图2果四条行线等距相邻两条行线间距离次h1h2h3试h1h2h3表示正方形ABCD面积S．
考点：
全等三角形判定性质行线间距离正方形性质810360
专题：
综合题
分析：
（1）直接根HL定理出Rt△AFD≌Rt△CEB
（2）ASA定理出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF根S正方形ABCD4S△ABH+SH正方形EGF出结
（3）△AFD≌△CEB出h1h3根（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF知S正方形ABCD4S△ABH+S正方形HEGF进出结．
解答：
（1）证明：Rt△AFDRt△CEB中
∵ADBCAFCE
∴Rt△AFD≌Rt△CEB
（2）解：∵∠ABH+∠CBE90°∠ABH+∠BAH90°
∴∠CBE∠BAH
∵ABBC∠AHB∠CEB90°
∴△ABH≌△BCE
理△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF
∴S正方形ABCD4S△ABH+S正方形HEGF
4××2×1+1×1
5
（3）解：（1）知△AFD≌△CEBh1h3
（2）知△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF
∴S正方形ABCD4S△ABH+S正方形HEGF
4×（h1+h2）•h1+h222h12+2h1h2+h22．
点评：
题考查全等三角形判定性质正方形性质行线间距离熟知判定全等三角形SSSSASASAHL定理解答题关键．
5．（2012•长春）感知：图①点E正方形ABCD边BCBF⊥AE点FDG⊥AE点G知△ADG≌△BAF．（求证明）
拓展：图②点BC分∠MAN边AMAN点EF∠MAN部射线AD∠1∠2分△ABE△CAF外角．已知ABAC∠1∠2∠BAC求证：△ABE≌△CAF．
应：图③等腰三角形ABC中ABACAB＞BC．点D边BCCD2BD点EF线段AD∠1∠2∠BAC．△ABC面积9△ABE△CDF面积 6 ．
考点：
全等三角形判定性质等腰三角形性质正方形性质810360
分析：
拓展：利∠1∠2∠BAC利三角形外角性质出∠4∠ABE进利AAS证明△ABE≌△CAF
应：首先根△ABD△ADC等高底边值：1：2出△ABD△ADC面积：1：2证明△ABE≌△CAF出△ABE△CDF面积△ADC面积出答案．
解答：
拓展：
证明：∵∠1∠2
∴∠BEA∠AFC
∵∠1∠ABE+∠3∠3+∠4∠BAC∠1∠BAC
∴∠BAC∠ABE+∠3
∴∠4∠ABE
∴
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
应：
解：∵等腰三角形ABC中ABACCD2BD
∴△ABD△ADC等高底边值：1：2
∴△ABD△ADC面积：1：2
∵△ABC面积9
∴△ABD△ADC面积分：36
∵∠1∠2
∴∠BEA∠AFC
∵∠1∠ABE+∠3∠3+∠4∠BAC∠1∠BAC
∴∠BAC∠ABE+∠3
∴∠4∠ABE
∴
∴△ABE≌△CAF（AAS）
∴△ABE△CAF面积相等
∴△ABE△CDF面积△ADC面积
∴△ABE△CDF面积6
答案：6．
点评：
题考查三角形全等判定性质三角形面积求法根已知出∠4∠ABE△ABD△ADC面积：1：2解题关键．
6．（2012•阜新）（1）图△ABC△ADE中ABACADAE∠BAC∠DAE90°．
①点DAC时图1线段BDCE样数量关系位置关系？直接写出猜想结
②图1中△ADE绕点A时针旋转α角（0°＜α＜90°）图2线段BDCE样数量关系位置关系？请说明理．
（2）△ABC△ADE满足面甲乙丙中条件时线段BDCE（1）中位置关系然成立？必说明理．
甲：AB：ACAD：AE1∠BAC∠DAE≠90°
乙：AB：ACAD：AE≠1∠BAC∠DAE90°
丙：AB：ACAD：AE≠1∠BAC∠DAE≠90°．
考点：
全等三角形判定性质810360
专题：
综合题
分析：
（1）①BDCEBD⊥CE．根全等三角形判定定理SAS推知△ABD≌△ACE然全等三角形应边相等证BDCE应角相等∠ABF∠ECA然△ABD△CDF中三角形角定理求∠CFD90°BD⊥CF
②BDCEBD⊥CE．根全等三角形判定定理SAS推知△ABD≌△ACE然全等三角形应边相等证BDCE应角相等∠ABF∠ECA作辅助线（延长BD交ACF交CEH）BH构建顶角∠ABF∠HCF根三角形角定理证∠BHC90°
（2）根结①②证明程知∠BAC∠DFC（∠FHC90°）时该结成立条件中∠BAC∠DAE≠90°合适．
解答：
解：（1）①结：BDCEBD⊥CE
②结：BDCEBD⊥CE…1分
理：∵∠BAC∠DAE90°
∴∠BAD﹣∠DAC∠DAE﹣∠DAC∠BAD∠CAE…1分
Rt△ABDRt△ACE中
∵
∴△ABD≌△ACE…2分
∴BDCE…1分
延长BD交ACF交CEH．
△ABF△HCF中
∵∠ABF∠HCF∠AFB∠HFC
∴∠CHF∠BAF90°
∴BD⊥CE…3分
（2）结：乙．AB：ACAD：AE∠BAC∠DAE90°…2分
点评：
题考查全等三角形判定性质．SSSSASASAAASHL均作判定三角形全等定理． 注意：全等判定中没AAA（角角角）SSA（边边角）（特例：直角三角形HL勾股定理确定斜边条直角边直角边确定属SSS）两种情况唯确定三角形形状外三条中线（高角分线）分应相等两三角形全等．
7．（2012•江）已知△ABC等边三角形点D直线BC动点（点DBC重合）AD边作菱形ADEF（ADEF逆时针排列）∠DAF60°连接CF．
（1）图1点D边BC时求证：①BDCF②ACCF+CD
（2）图2点D边BC延长线条件变时结ACCF+CD否成立？成立请写出ACCFCD间存数量关系说明理
（3）图3点D边BC延长线条件变时补全图形直接写出ACCFCD间存数量关系．
考点：
全等三角形判定性质等边三角形性质菱形性质810360
专题：
综合题
分析：
（1）根已知出AFADABBCAC∠BAC∠DAF60°求出∠BADCAF证△BAD≌△CAF推出CFBD
（2）求出∠BAD∠CAF根SAS证△BAD≌△CAF推出BDCF
（3）画出图形根SAS证△BAD≌△CAF推出CFBD．
解答：
（1）证明：∵菱形AFED
∴AFAD
∵△ABC等边三角形
∴ABACBC∠BAC60°∠DAF
∴∠BAC﹣∠DAC∠DAF﹣∠DAC
∠BAD∠CAF
∵△BAD△CAF中
∴△BAD≌△CAF
∴CFBD
∴CF+CDBD+CDBCAC
①BDCF②ACCF+CD．
（2）解：ACCF+CD成立ACCFCD间存数量关系ACCF﹣CD
理：（1）知：ABACBCADAF∠BAC∠DAF60°
∴∠BAC+∠DAC∠DAF+∠DAC
∠BAD∠CAF
∵△BAD△CAF中
∴△BAD≌△CAF
∴BDCF
∴CF﹣CDBD﹣CDBCAC
ACCF﹣CD．
（3）ACCD﹣CF．理：
∵∠BAC∠DAF60°
∴∠DAB∠CAF
∵△BAD△CAF中
∴△BAD≌△CAF
∴CFBD
∴CD﹣CFCD﹣BDBCAC
ACCD﹣CF．
点评：
题考查全等三角形性质判定等边三角形性质菱形性质应考查学生推理力注意：证明程类似题目具定代表性难度适中．
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基础知识回顾
三角形概念：
1 直线三条线段 组成图形三角形
2三角形基元素：三角形 条边 顶点 角
二三角形分类：
边分 三角形 三角形角分 三角形 三角形 三角形
赵老师提醒：等边三角形属特殊 三角形锐角三角形钝角三角形事称 三角形
三三角形性质：
1三角形角 三角形意外角 相两角三角形外角 意相邻角
2三角形意两边 第三边意两边差 第三边
3三角形具 性
赵老师提醒：1三角形外角指三角形边边 组成角三角形 外角三角形外角事 中 外角
2三角形三边关系定理确定三条线段否构成三角形判断限度间等关系
四三角形中线段：
1角分线：三角形三条角分线三角形 部 交点三角形 心 距离相等
2中线：三角形三条中线三角形 部交点
3高线：三角 形 三 条高线位置锐角三角形三条高连三角形 直角三角形条高线 部两条河 重合钝角三角形条高线三角形 部两条三角形 部
4中位线：连接三角形意两边 线段做三角形中位线
定理：三角形中位线 第三边等第三边
赵老师提醒：三角形分线中线高线中位线 条
五全等三角形概念性质：
1 两三角形做全等三角形
2性质：全等三角形 分相等全等三角形应线段（角分线中线高线）周长面积分应
赵老师提醒：全等三角形性质证明线段角等间数量关系
全等三角形判定：
1般三角形全等判定方法：①边角边简记 ②角边角：简记 ③角角边：简记 ④边边边：简记
2直角三角形全等判定般三角形全等判定方法外 判定
赵老师提醒：1判定全等三角形条件中必须少组 应相等SAS判定全等切记角两边
2判定全等三角形关条件特注意应两字
重点考点例析
考点：三角形角外角应
例1 （2012•南通）图△ABC中∠C70°图中虚线截∠C∠1+∠2（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
思路分析：先利三角形角外角关系出∠1+∠2∠C+（∠C+∠3+∠4）根三角形角定理出结果．
解：∵∠1∠2△CDE外角
∴∠1∠4+∠C∠2∠3+∠C
∠1+∠2∠C+（∠C+∠3+∠4）70°+180°250°．
选B．
点评：题考查三角形角定理外角性质三角形角180°三角形外角等相邻两角．
应训练
1．（2012•泉州）图△ABC中∠A60°∠B40°点DE分BCAC延长线∠1 °．
1．80
分析：先根三角形角定理求出∠ACB度数根顶角相等求出∠1度数．
解：∵△ABC中∠A60°∠B40°
∴∠ACB180°∠A∠B180°60°40°80°
∴∠1∠ACB80°．
答案：80．
点评：题考查三角形角定理三角形角180°．
考点二：三角形三边关系
例2 （2012•泸州）已知三角形两边长分36第三边长方程x26x+80根三角形周长等（ ）
A．13 B．11 C．11 13 D．1215
2．分析：首先方程x26x+80中确定第三边边长24次考查236436否构成三角形求出三角形周长．
解：方程x26x+80：
解x12x24
第三边2时2+3＜6构成三角形应舍
第三边4时三角形周长4+3+613．
选A．
点评：考查三角形三边关系求三角形周长盲目三边长相加起应养成检验三边长否成三角形惯符合题意应弃．
应训练
1．（2012•义乌市）果三角形两边长分35第三边长偶数第三边长（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
思路分析：根三角形三边关系令第三边X53＜X＜5+32＜X＜8第三边长偶数第三边长46．问题求．
解：题意令第三边X53＜X＜5+32＜X＜8
∵第三边长偶数∴第三边长46．
∴三角形三边长354．
选：C．
点评：题考查三角形三边关系熟练掌握三角形三边关系解决类问题关键．
考点三：三角形全等判定
例3 （2012•乐山）图△ABC中∠C90°ACBC4DAB中点点EF分ACBC边运动（点E点AC重合）保持AECF连接DEDFEF．运动变化程中列结：
①△DFE等腰直角三角形
②四边形CEDF正方形
③四边形CEDF面积点E位置改变发生变化
④点C线段EF距离．
中正确结数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路分析：①作常规辅助线连接CDSAS定理证△CDF△ADE全等证∠EDF90°DEDF．△DFE等腰直角三角形
②EAC中点FBC中点时四边形CEDF正方形
③割补法知四边形CDFE面积保持变
④△DEF等腰直角三角形DE EFDFBC垂直DF时FE取值2时点C线段EF距离．
解：①图连接CD
∵△ABC等腰直角三角形
∴∠DCB∠A45°CDADDB
∵AECF
∴△ADE≌△CDF
∴EDDF∠CDF∠EDA
∵∠ADE+∠EDC90°
∴∠EDC+∠CDF∠EDF90°
∴△DFE等腰直角三角形．选项正确
②EF分ACBC中点时四边形CDFE正方形选项错误
③图2示分点D作DM⊥ACDN⊥BC点MN
利割补法知四边形CDFE面积等正方形CMDN面积面积保持变选项错误
④△DEF等腰直角三角形DEEF
EF∥AB时EF取值2时点C线段EF距离．选项正确
正确2
选：B．
点评：题考查全等三角形判定性质正方形等腰三角形直角三角形性质等知识根图形利割补法知四边形CDFE面积等正方形CMDN面积解题关键．
例4 （2012•珠海）图正方形ABCD绕点C时针方旋转45°正方形A′B′CD′（时点B′落角线AC点A′落CD延长线）A′B′交AD点E连接AA′CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE
（2）直线CE线段AA′垂直分线．
思路分析：（1）根正方形性质ADCD∠ADC90°∠EA′D45°∠A′DE90°计算出∠A′ED45°根等角等边ADED利SAS证明△AA′D≌△CED
（2）首先ACA′C点CAA′垂直分线证明△AEB′≌△A′EDAEA′E进点EAA′垂直分线根两点确定条直线直线CE线段AA′垂直分线．
证明：（1）∵四边形ABCD正方形
∴ADCD∠ADC90°
∴∠A′DE90°
根旋转方法：∠EA′D45°
∴∠A′ED45°
∴A′DDE
△AA′D△CED中： ADCD∠ADA′∠EDCA′DED
∴△AA′D≌△CED（SAS）
（2）∵ACA′C
∴点CAA′垂直分线
∵AC正方形ABCD角线
∴∠CAE45°
∵ACA′CCDCB′
∴AB′A′D
△AEB′△A′ED中：∠EAB′∠EA′D∠AEB′∠A′ED AB′A′D
∴△AEB′≌△A′ED
∴AEA′E
∴点EAA′垂直分线
∴直线CE线段AA′垂直分线．
点评：题考查正方形性质旋转性质关键熟练掌握正方形性质：正方形四条边相等四角直角正方形两条角线相等互相垂直分条角线分组角找准旋转相等线段．
应训练
3．（2012•鸡西）Rt△ABC中ABAC点DBC中点．∠MDN90°∠MDN绕点D旋转DMDN分边ABAC交EF两点．列结：①（BE+CF） BC②S△AEF≤S△ABC③S四边形AEDFAD•EF④AD≥EF⑤ADEF互相分中正确结数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．分析：先ASA证明△AED≌△CFD出AECF勾股定理出BE+CFAB BC判断①
设ABACaAECFx先三角形面积公式出S△AEF（xa）2+a2
S△ABC×a2a2根二次函数性质判断②
勾股定理EF表达式利二次函数性质求EF值aADaEF≥AD④错误
先出S四边形AEDFS△ADCADEF≥ADAD•EF≥AD2∴AD•EF＞S四边形AEDF③错误
果四边形AEDF行四边形ADEF互相分时DF∥ABDE∥ACDBC中点EF分ABAC中点时ADEF互相分判断⑤．
解：∵Rt△ABC中ABAC点DBC中点
∴∠C∠BAD45°ADBDCD
∵∠MDN90°
∴∠ADE+∠ADF∠ADF+∠CDF90°
∴∠ADE∠CDF．
△AED△CFD中
∴△AED≌△CFD（ASA）
∴AECF
Rt△ABD中BE+CFBE+AEAB．
①正确
设ABACaAECFxAFax．
∵S△AEFAE•AFx（ax）（xa）2+a2
∴xa时S△AEF值a2
∵S△ABC×a2a2
∴S△AEF≤S△ABC．
②正确
EF2AE2+AF2x2+（ax）22（xa）2+1 2 a2
∴xa时EF2取值a2
∴EF≥a（等号仅x a时成立）
ADa∴EF≥AD．
④错误
①证明知△AED≌△CFD
∴S四边形AEDFS△AED+S△ADFS△CFD+S△ADFS△ADC1 2 AD2
∵EF≥AD∴AD•EF≥AD2∴AD•EF＞S四边形AEDF
③错误
EF分ABAC中点时四边形AEDF正方形时ADEF互相分．
⑤正确．
综述正确：①②⑤3．
选C．点评：题考查全等三角形判定性质等腰直角三角形性质勾股定理图形面积函数性质等知识综合性较强定难度．
4．（2012•肇庆）图已知AC⊥BCBD⊥ADACBD交OACBD．
求证：（1）BCAD
（2）△OAB等腰三角形．
4．分析：（1）根AC⊥BCBD⊥AD出△ABC△BAD直角三角形根ACBDABBA出△ABC≌△BAD证出BCAD
（2）根△ABC≌△BAD出∠CAB∠DBA证出OAOB△OAB等腰三角形．
证明：（1）∵AC⊥BCBD⊥AD
∴△ABC△BAD直角三角形
△ABC△BAD中
∵ ACBD ABBA ∠ACB∠ADB
∴△ABC≌△BAD
∴BCAD
（2）∵△ABC≌△BAD
∴∠CAB∠DBA
∴OAOB
∴△OAB等腰三角形．
点评：题考查全等三角形判定性质知识点全等三角形判定性质等腰三角形判定等全等三角形判定重点题道基础题全等三角形判定训练．
考点四：全等三角形开放性问题
例5 （2012•义乌市）图△ABC中点DBC中点作射线AD线段AD延长线分取点EF连接CEBF．添加条件△BDF≌△CDE加证明．添加条件 ．（添加辅助线）．
思路分析：已知证∠ECD﹦∠FBD∠EDC﹦∠FDB三角形全等条件中必须三元素定组应边相等．添加条件：DEDF（CE∥BF∠ECD∠DBF∠DEC∠DFB等）
解：（1）添加条件：DEDF（CE∥BF∠ECD∠DBF∠DEC∠DFB等）．
（2）证明：△BDF△CDE中
∵
∴△BDF≌△CDE．
点评：三角形全等判定中考热点般考查三角形全等方法判定两三角形全等先根已知条件求证结确定三角形然根三角形全等判定方法缺什条件证什条件．
应训练
5．（2012•衡阳）图AFDCBC∥EF请补充条件△ABC≌△DEF说明理．
5．分析：首先AFDCACDFBC∥EF根两直线行错角相等∠EFD∠BCA加条件EFBC利SAS证明△ABC≌△DEF．
解：补充条件：EFBC△ABC≌△DEF．理：
∵AFDC
∴AF+FCDC+FC
：ACDF
∵BC∥EF
∴∠EFD∠BCA
△EFD△BCA中 EFBC ∠EFD∠BCA EFBC
∴△EFD≌△BCA（SAS）．
点评：题考查全等三角形判定关键熟练掌握判定定理：SSSSASASAAASHL．
聚焦山东中考
1（2012•烟台）副三角板叠起图放置锐角顶点D恰放等腰直角三角板斜边ABBCDE交点M．果∠ADF100°∠BMD 度．
185
分析：先根∠ADF100°求出∠MDB度数根三角形角定理出∠BMD度数．解答：解：∵∠ADF100°∠EDF30°
∴∠MDB180°∠ADF∠EDF180°100°30°50°
∴∠BMD180°∠B∠MDB180°45°50°85°．
答案：85．点评：题考查三角形角定理三角形角180°．
2．（2012•聊城）副三角板图示摆放图中∠α度数（ ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
2．分析：先根直角三角形性质出∠BAE∠E度数三角形角定理顶角性质出结．解答：解：∵图中副直角三角板
∴∠BAE45°∠E30°
∴∠AFE180°∠BAE∠E105°
∴∠α105°．
选C．
点评：题考查三角形角定理三角形角180°．
3．（2012•德州）定三角形部线段（ ）
A．三角形角分线 B．三角形中线 C．三角形高 D．三角形中位线
3．分析：根三角形高中线角分线性质解答．解答：
解：三角形中
中线角分线定三角形部
钝角三角形高三角形外部．
选C．
点评：题考查三角形高中线角分线熟悉性质方解答．
4．（2012•济宁）直尺圆规作角分线示意图图示说明∠AOC∠BOC（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．角分线点角两边距离相等
4．分析：连接NCMC根SSS证△ONC≌△OMC推出答案．
解：图连接NCMC
△ONC△OMC中
∴△ONC≌△OMC（SSS）
∴∠AOC∠BOC
选A．
点评：题考查全等三角形性质判定应考查学生运性质进行推理力题型较难度适中．
5．（2012•滨州）图△ABC中ABADDC∠BAD20°∠C ．
5．40°
分析：先根等腰三角形性质三角形角定理求出∠B度数根三角形外角性质求出∠ADC度数三角形角定理解答．
解：∵ABAD∠BAD20°
∴∠B80°
∵∠ADC△ABD外角
∴∠ADC∠B+∠BAD80°+20°100°
∵ADDC
∴∠C40°．
点评：题涉三角形角定理三角形外角性质等腰三角形性质属较简单题目．
6．（2012•潍坊）图示ABDB∠ABD∠CBE请添加适条件 △ABC≌△DBE．（需添加）
6．∠BDE∠BAC
分析：根∠ABD∠CBE证明∠ABC∠DBE然根利证明方法角边角边角边角角边分写出第三条件．
解：∵∠ABD∠CBE
∴∠ABD+∠ABE∠CBE+∠ABE
∠ABC∠DBE
∵ABDB
∴①角边角需添加∠BDE∠BAC
②边角边需添加BEBC
③角角边需添加∠ACB∠DEB．
答案：∠BDE∠BACBEBC∠ACB∠DEB．（写出）
点评：题考查全等三角形判定根已知条件边角根证明方法选择添加条件需注意添加条件符合边边角题容易出方．
7．（2012•沂）Rt△ABC中∠ACB90°BC2cmCD⊥ABAC取点EECBC点E作EF⊥AC交CD延长线点FEF5cmAE cm．
7．3
分析：根直角三角形两锐角互余性质求出∠ECF∠B然利角边角证明△ABC△FEC全等根全等三角形应边相等ACEF根AEACCE代入数计算解．
解：∵∠ACB90°
∴∠ECF+∠BCD90°
∵CD⊥AB
∴∠BCD+∠B90°
∴∠ECF∠B
△ABC△FEC中 ∠ECF∠B ECBC ∠ACB∠FEC90°
∴△ABC≌△FEC（ASA）
∴ACEF
∵AEACCEBC2cmEF5cm
∴AE523cm．
答案：3．点评：题考查全等三角形判定性质根直角三角形性质证明∠ECF∠B解题关键．
8．（2012•济宁）图等边三角形ABC中DBC边点延长ADEAEAC∠BAE分线交△ABC高BF点Otan∠AEO ．
8．
分析：根等边三角形性质三线合定理求出∠BAF30°推出ABAE根SAS证△BAO≌△EAO推出∠AEO∠ABO30°．解答：解：∵△ABC等边三角形
∠ABC60°ABBC
∵BF⊥AC
∴∠ABF∠ABC30°
∵ABACAEAC
∴ABAE
∵AO分∠BAE
∴∠BAO∠EAO
∵△BAO△EAO中
∵ ABAE∠BAO∠EAO AOAO
∴△BAO≌△EAO
∴∠AEO∠ABO30°
∴tan∠AEOtan30°
答案：．点评：题考查等边三角形性质全等三角形性质判定特殊角三角函数值等知识点应关键证出∠AEO∠ABO题目较典型难度适中．
备考真题关
选择题
1．（2012•云南）图△ABC中∠B67°∠C33°AD△ABC角分线∠CAD度数（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
1．分析：首先利三角形角定理求∠BAC度数然利角分线性质求∠CAD度数．
解：∵∠B67°∠C33°
∴∠BAC180°∠B∠C180°67°33°80°
∵AD△ABC角分线
∴∠CAD∠BAC×80°40°
选A．
点评：题考查三角形角定理属基础题较简单．三角形角定理学已接触．
2．（2012•梅州）图折纸活动中明制作张△ABC纸片点DE分边ABAC△ABC着DE折叠压AA′重合∠A75°∠1+∠2（ ）
A．150° B．210° C．105° D．75°
2．分析：先根图形翻折变化性质出△ADE≌△A′DE∠AED∠A′ED∠ADE∠A′DE根三角形角定理求出∠AED+∠ADE∠A′ED+∠A′DE度数然根角性质求出答案．
解：∵△A′DE△ABC翻折变换成
∴∠AED∠A′ED∠ADE∠A′DE∠A∠A′75°
∴∠AED+∠ADE∠A′ED+∠A′DE180°75°105°
∴∠1+∠2360°2×105°150°．
选A．
点评：题考查图形翻折变换性质折叠种称变换属轴称折叠前图形形状变位置变化应边应角相等．
3．（2012•漳州）副直角三角板图示叠放起图中∠α度数（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．分析：根直角三角形两锐角互余求出∠1度数根三角形外角等相邻两角列式计算解．
解：图∠190°60°30°
∠α45°+30°75°．
选C．
点评：题考查三角形外角等相邻两角性质直角三角形两锐角互余性质基础题熟记性质解题关键．
4．（2012•广东）已知三角形两边长分410三角形第三边长（ ）
A．5 B．6 C．11 D．16
4．分析：设三角形第三边长x根三角形三边关系求出x取值范围找出符合条件x值．
解：设三角形第三边长x104＜x＜10+46＜x＜14四选项中11符合条件．
选C．
点评：题考查三角形三边关系意两边第三边意两边差第三边．
5．（2012•郴州）列组线段边组成三角形（ ）
A．1cm2cm4cm B．4cm6cm8cm C．5cm6cm12cm D．2cm3cm5cm
5．分析：根三角形三边关系意两边第三边意两边差第三边进行分析．
解：根三角形三边关系知
A1+2＜4组成三角形
B4+6＞8够组成三角形
C5+6＜12组成三角形
D2+35组成三角形．
选B．
点评：题考查三角形三边关系．判断否组成三角形简便方法较两数否第三数．
6．（2012•玉林）图菱形ABCD中角线ACBD相交点OAC≠BD图中全等三角形（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．分析：根菱形四边形等角线互相垂直分结合全等三角形判定出答案．
解：图中全等三角形：△ABO≌△ADO△ABO≌△CDO△ABO≌△CBO
△AOD≌△COD△AOD≌△COB
△DOC≌△BOC
△ABD≌△CBD
△ABC≌△ADC
8．
选C．
点评：题考查全等三角形判定菱形性质注意掌握全等三角形判定定理查找时序进行否容易出错．
7．（2012•贵阳）图已知点ADCF条直线ABDEBCEF△ABC≌△DEF需添加条件（ ）
A．∠BCA∠F B．∠B∠E C．BC∥EF D．∠A∠EDF
7．分析：全等三角形判定方法SAS指两边应相等两边夹角相等两三角形全等已知ABDEBCEF两边夹角∠B∠E求出∠B∠E．
解：A根ABDEBCEF∠BCA∠F推出△ABC≌△DEF选项错误
B∵△ABC△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）选项正确
C∵BC∥EF
∴∠F∠BCA根ABDEBCEF∠F∠BCA推出△ABC≌△DEF选项错误
D根ABDEBCEF∠A∠EDF推出△ABC≌△DEF选项错误．
选B．
点评：题考查行线性质全等三角形判定应注意：两边应相等两边夹角相等两三角形全等题目较典型道较容易出错题目．
三填空题
8．（2012•呼浩特）图△ABC中∠B47°三角形外角∠DAC∠ACF分线交点E∠AEC ．
8．665°
分析：根三角形角定理角分线定义三角形外角定理求∠DAC+
ACF（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA） △AEC中利三角形角定理求∠AEC度数．
解：∵三角形外角∠DAC∠ACF分线交点E
∴∠EAC∠DAC∠ECA∠ACF
∵∠B47°（已知）∠B+∠BAC+∠BCA180°（三角形角定理）
∴∠DAC+ ACF（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）（外角定理）
∴∠AEC180°（∠DAC+ACF）665°
答案：665°．
点评：题考查三角形角定理三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含题干中已知条件三角形角180°．
9．（2012•娄底）图FE∥ONOE分∠MON∠FEO28°∠MFE 度．
9．56
分析：先根行线性质出∠NOE∠FEO根角分线性质出∠NOE∠EOF三角形外角性质出结．
解：∵FE∥ON∠FEO28°
∴∠NOE∠FEO28°
∵OE分∠MON
∴∠NOE∠EOF28°
∵∠MFE△EOF外角
∴∠MFE∠NOE+∠EOF28°+28°56°．
答案：56．
点评：题考查三角形外角性质三角形外角等相邻两角．
10．（2012•白银）图△ABC中ACBC△ABC外角∠ACE100°∠A 度．
10．50
分析：根等角等边性质∠A∠B根三角形外角等相邻两角列式计算解．
解：∵ACBC
∴∠A∠B
∵∠A+∠B∠ACE
∴∠A∠ACE×100°50°．
答案：50．
点评：题考查三角形外角等相邻两角性质等边等角性质基础题熟记性质准确识图解题关键．
11．（2012•绥化）等腰三角形两边长分35周长 ．
11．1113
分析：题目出等腰三角形两条边长35没明确腰底分少进行讨应三角形三边关系验证否组成三角形．解答：解：两种情况：①腰长3底边长5三边：335构成三角形周长3+3+511
②腰长5底边长3三边：553构成三角形周长5+5+313．
答案：1113．点评：题考查等腰三角形性质三角形三边关系已知没明确腰底边题目定想两种情况分类进行讨应验证种情况否构成三角形进行解答点非常重解题关键．
12．（2012•柳州）图△ABC中BD∠ABC角分线已知∠ABC80°∠DBC °．
12．40
分析：根角分线性质出∠ABD∠DBC进出∠DBC度数．解答：解：∵BD∠ABC角分线∠ABC80°
∴∠DBC∠ABD∠ABC×80°40°
答案：40．
点评：题考查角分线性质根角分线性质出∠ABD∠DBC解题关键．
13．（2012•绵阳）图BCEC∠1∠2△ABC≌△DEC应添加条件
．（答案唯需填）．
13．ACCD
分析：根∠1∠2求出∠BCA∠ECD根SAS证明亮三角形全等．解答：解：添加条件ACCD
理：∵∠1∠2
∴∠1+∠ECA∠2+∠ECA
∴∠BCA∠ECD
∵△ABC△DCE中
∴△ABC≌△DCE
答案：ACCD．
点评：题考查全等三角形判定应通做题培养学生发散思维力题题型较道具开放性题目答案唯．
三解答题
14．（2012•铜仁区）图EF四边形ABCD角线BD两点AE∥CFAECFBEDF．求证：△ADE≌△CBF．
14．考点：全等三角形判定．专题：证明题．分析：首先利行线性质出∠AED∠CFB进出DEBF利SAS出．
证明：∵AE∥CF
∴∠AED∠CFB
∵DFBE
∴DF+EFBE+EF
DEBF
△ADE△CBF中
AECF ∠AED∠CFB DEBF
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
点评：题考查全等三角形判定利两边夹角应相等出三角形全等解题关键．
15．（2012•赤峰）图示△ABC中∠ABC∠ACB．
（1）尺规作图：顶点A作△ABC角分线AD（写作法保留作图痕迹）
（2）AD取点E连接BECE．求证：△ABE≌△ACE．
15．分析：（1）A圆心意长较画弧分交ABAC点分两点圆心两点间距离半径画弧两弧交点点A作射线交BCDAD求
（2）推出∠BAE∠CAE根SAS证△BAE△CAE全等．
（1）解：图示：
（2）证明：∵AD△ABC角分线
∴∠BAD∠CAD
∵∠ABC∠ACB
∴ABAC
∵△ABE△ACE中
ABAC ∠BAE∠CAE AEAE
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
点评：题考查等腰三角形判定全等三角形判定作图基作图应考查学生动手操作力推理力．
16．（2012•重庆）已知：图ABAE∠1∠2∠B∠E．求证：BCED．
16．分析：∠1∠2：∠EAD∠BAC条件ABAE∠B∠E利ASA证明△ABC≌△AED根全等三角形应边相等BCED．
证明：∵∠1∠2
∴∠1+∠BAD∠2+∠BAD
：∠EAD∠BAC
△EAD△BAC中：∠B∠EABAE∠BAC∠EAD
∴△ABC≌△AED（ASA）
∴BCED．
点评：题考查全等三角形判定性质关键掌握全等三角形判定方法：SSSSASASAAASHL．全等三角形判定结合全等三角形性质证明线段角相等重工具．
1．（2012•扬州）图四边形ABCD中ABBC∠ABC∠CDA90°BE⊥AD垂足E．求证：BEDE．
考点：
全等三角形判定性质矩形判定性质810360
专题：
证明题
分析：
作CF⊥BE垂足F出矩形CFED求出∠CBF∠A根AAS证△BAE≌△CBF推出BECF．
解答：
证明：作CF⊥BE垂足F
∵BE⊥AD
∴∠AEB90°
∴∠FED∠D∠CFE90°∠CBE+∠ABE90°∠BAE+∠ABE90°
∴∠BAE∠CBF
∴四边形EFCD矩形
∴DECF
△BAE△CBF中∠CBE∠BAE∠BFC∠BEA90°ABBC
∴△BAE≌△CBF
∴BECFDE
BEDE．
点评：
题考查全等三角形性质判定矩形判定性质应关键求出△BAE≌△CBF考查学生运性质进行推理力．
2．（2012•镇江）图四边形ABCD中AD∥BCEAB中点连接DE延长交CB延长线点F点G边BC∠GDF∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE
（2）连接EG判断EGDF位置关系说明理．
考点：
全等三角形判定性质810360
专题：
证明题
分析：
（1）ADBC行利两直线行错角相等角相等顶角相等EAB中点边相等利AAS出△ADE≌△BFE
（2）∠GDF∠ADE（1）出∠ADE∠BFE等量代换∠GDF∠BFE利等角等边GFGD三角形GDF等腰三角形（1）DEFEGE底边中线利三线合GEDF垂直．
解答：
（1）证明：∵AD∥BC∴∠ADE∠BFE
∵EAB中点∴AEBE
△AED△BFE中
∴△AED≌△BFE（AAS）
（2）解：EGDF位置关系EG⊥DF
理：连接EG
∵∠GDF∠ADE∠ADE∠BFE
∴∠GDF∠BFE
（1）△AED≌△BFR：DEEFGEDF中线
∴GE⊥DF．
点评：
题考查全等三角形判定性质行线性质等腰三角形判定性质熟练掌握判定性质解题关键．
3．（2012•佛山）图已知ABDCDBAC
（1）求证：∠ABD∠DCA．注：证明程求出步结成立．
（2）（1）证明程中需作辅助线意图什？
考点：
全等三角形判定性质810360
分析：
（1）连接AD证明三角形BAD三角形CAD全等结
（2）作辅助线意图构造全等三角形．
解答：
证明：（1）连接AD
△BAD△CDA中
∴△BAD≌△CDA（SSS）
∴∠ABD∠DCA（全等三角形应角相等）
（2）作辅助线意图构造全等三角形两三角形公边．
点评：
题考查全等三角形判定性质属基础题相较简单．
4．（2012•滨州）图1l1l2l3l4组行线相邻2条行线间距离1单位长度正方形ABCD4顶点ABCD行线．点A作AF⊥l3点F交l2点H点C作CE⊥l2点E交l3点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE
（2）求正方形ABCD面积
（3）图2果四条行线等距相邻两条行线间距离次h1h2h3试h1h2h3表示正方形ABCD面积S．
考点：
全等三角形判定性质行线间距离正方形性质810360
专题：
综合题
分析：
（1）直接根HL定理出Rt△AFD≌Rt△CEB
（2）ASA定理出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF根S正方形ABCD4S△ABH+SH正方形EGF出结
（3）△AFD≌△CEB出h1h3根（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF知S正方形ABCD4S△ABH+S正方形HEGF进出结．
解答：
（1）证明：Rt△AFDRt△CEB中
∵ADBCAFCE
∴Rt△AFD≌Rt△CEB
（2）解：∵∠ABH+∠CBE90°∠ABH+∠BAH90°
∴∠CBE∠BAH
∵ABBC∠AHB∠CEB90°
∴△ABH≌△BCE
理△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF
∴S正方形ABCD4S△ABH+S正方形HEGF
4××2×1+1×1
5
（3）解：（1）知△AFD≌△CEBh1h3
（2）知△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF
∴S正方形ABCD4S△ABH+S正方形HEGF
4×（h1+h2）•h1+h222h12+2h1h2+h22．
点评：
题考查全等三角形判定性质正方形性质行线间距离熟知判定全等三角形SSSSASASAHL定理解答题关键．
5．（2012•长春）感知：图①点E正方形ABCD边BCBF⊥AE点FDG⊥AE点G知△ADG≌△BAF．（求证明）
拓展：图②点BC分∠MAN边AMAN点EF∠MAN部射线AD∠1∠2分△ABE△CAF外角．已知ABAC∠1∠2∠BAC求证：△ABE≌△CAF．
应：图③等腰三角形ABC中ABACAB＞BC．点D边BCCD2BD点EF线段AD∠1∠2∠BAC．△ABC面积9△ABE△CDF面积 6 ．
考点：
全等三角形判定性质等腰三角形性质正方形性质810360
分析：
拓展：利∠1∠2∠BAC利三角形外角性质出∠4∠ABE进利AAS证明△ABE≌△CAF
应：首先根△ABD△ADC等高底边值：1：2出△ABD△ADC面积：1：2证明△ABE≌△CAF出△ABE△CDF面积△ADC面积出答案．
解答：
拓展：
证明：∵∠1∠2
∴∠BEA∠AFC
∵∠1∠ABE+∠3∠3+∠4∠BAC∠1∠BAC
∴∠BAC∠ABE+∠3
∴∠4∠ABE
∴
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
应：
解：∵等腰三角形ABC中ABACCD2BD
∴△ABD△ADC等高底边值：1：2
∴△ABD△ADC面积：1：2
∵△ABC面积9
∴△ABD△ADC面积分：36
∵∠1∠2
∴∠BEA∠AFC
∵∠1∠ABE+∠3∠3+∠4∠BAC∠1∠BAC
∴∠BAC∠ABE+∠3
∴∠4∠ABE
∴
∴△ABE≌△CAF（AAS）
∴△ABE△CAF面积相等
∴△ABE△CDF面积△ADC面积
∴△ABE△CDF面积6
答案：6．
点评：
题考查三角形全等判定性质三角形面积求法根已知出∠4∠ABE△ABD△ADC面积：1：2解题关键．
6．（2012•阜新）（1）图△ABC△ADE中ABACADAE∠BAC∠DAE90°．
①点DAC时图1线段BDCE样数量关系位置关系？直接写出猜想结
②图1中△ADE绕点A时针旋转α角（0°＜α＜90°）图2线段BDCE样数量关系位置关系？请说明理．
（2）△ABC△ADE满足面甲乙丙中条件时线段BDCE（1）中位置关系然成立？必说明理．
甲：AB：ACAD：AE1∠BAC∠DAE≠90°
乙：AB：ACAD：AE≠1∠BAC∠DAE90°
丙：AB：ACAD：AE≠1∠BAC∠DAE≠90°．
考点：
全等三角形判定性质810360
专题：
综合题
分析：
（1）①BDCEBD⊥CE．根全等三角形判定定理SAS推知△ABD≌△ACE然全等三角形应边相等证BDCE应角相等∠ABF∠ECA然△ABD△CDF中三角形角定理求∠CFD90°BD⊥CF
②BDCEBD⊥CE．根全等三角形判定定理SAS推知△ABD≌△ACE然全等三角形应边相等证BDCE应角相等∠ABF∠ECA作辅助线（延长BD交ACF交CEH）BH构建顶角∠ABF∠HCF根三角形角定理证∠BHC90°
（2）根结①②证明程知∠BAC∠DFC（∠FHC90°）时该结成立条件中∠BAC∠DAE≠90°合适．
解答：
解：（1）①结：BDCEBD⊥CE
②结：BDCEBD⊥CE…1分
理：∵∠BAC∠DAE90°
∴∠BAD﹣∠DAC∠DAE﹣∠DAC∠BAD∠CAE…1分
Rt△ABDRt△ACE中
∵
∴△ABD≌△ACE…2分
∴BDCE…1分
延长BD交ACF交CEH．
△ABF△HCF中
∵∠ABF∠HCF∠AFB∠HFC
∴∠CHF∠BAF90°
∴BD⊥CE…3分
（2）结：乙．AB：ACAD：AE∠BAC∠DAE90°…2分
点评：
题考查全等三角形判定性质．SSSSASASAAASHL均作判定三角形全等定理． 注意：全等判定中没AAA（角角角）SSA（边边角）（特例：直角三角形HL勾股定理确定斜边条直角边直角边确定属SSS）两种情况唯确定三角形形状外三条中线（高角分线）分应相等两三角形全等．
7．（2012•江）已知△ABC等边三角形点D直线BC动点（点DBC重合）AD边作菱形ADEF（ADEF逆时针排列）∠DAF60°连接CF．
（1）图1点D边BC时求证：①BDCF②ACCF+CD
（2）图2点D边BC延长线条件变时结ACCF+CD否成立？成立请写出ACCFCD间存数量关系说明理
（3）图3点D边BC延长线条件变时补全图形直接写出ACCFCD间存数量关系．
考点：
全等三角形判定性质等边三角形性质菱形性质810360
专题：
综合题
分析：
（1）根已知出AFADABBCAC∠BAC∠DAF60°求出∠BADCAF证△BAD≌△CAF推出CFBD
（2）求出∠BAD∠CAF根SAS证△BAD≌△CAF推出BDCF
（3）画出图形根SAS证△BAD≌△CAF推出CFBD．
解答：
（1）证明：∵菱形AFED
∴AFAD
∵△ABC等边三角形
∴ABACBC∠BAC60°∠DAF
∴∠BAC﹣∠DAC∠DAF﹣∠DAC
∠BAD∠CAF
∵△BAD△CAF中
∴△BAD≌△CAF
∴CFBD
∴CF+CDBD+CDBCAC
①BDCF②ACCF+CD．
（2）解：ACCF+CD成立ACCFCD间存数量关系ACCF﹣CD
理：（1）知：ABACBCADAF∠BAC∠DAF60°
∴∠BAC+∠DAC∠DAF+∠DAC
∠BAD∠CAF
∵△BAD△CAF中
∴△BAD≌△CAF
∴BDCF
∴CF﹣CDBD﹣CDBCAC
ACCF﹣CD．
（3）ACCD﹣CF．理：
∵∠BAC∠DAF60°
∴∠DAB∠CAF
∵△BAD△CAF中
∴△BAD≌△CAF
∴CFBD
∴CD﹣CFCD﹣BDBCAC
ACCD﹣CF．
点评：
题考查全等三角形性质判定等边三角形性质菱形性质应考查学生推理力注意：证明程类似题目具定代表性难度适中．
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