期中解答题精选50题（压轴版）
1．（2020·四川成市·北附中成明学校高二期中）已知圆C点圆心直线
（1）求圆C方程
（2）设直线圆C交AB两点否存实数a点P（20）直线垂直分AB？存求出a值存说明理．
答案（1）x2+y26x+4y+40（2）存实数
详解（1）设圆C方程：x2+y2+Dx+Ey+F0
解
∴圆C方程：x2+y26x+4y+40
（2）设符合条件实数存
l垂直分弦圆心必l．
l斜率
．
直线axy+10 yax +1．代入圆方程
消整理．
直线交圆两点
解．
实数取值范围．
存实数点直线l垂直分弦．
2．（2020·四川省渠县中学高二期中（理））已知点A(01)斜率k直线l圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交MN两点．
(1)求k取值范围
(2)＝12中O坐标原点求|MN|
答案（1）（2）2．
详解（1）题意直线l斜率存
设点A（01）直线方程：ykx+1：kxy+10．
已知圆C圆心C坐标（23）半径R1．
解：．
点A（01）直线圆C：相交MN两点．
（2）设MN
题意点MNA直线方程ykx+1代入圆C方程
∴
∴
解 k1
直线l方程 yx+1 xy+10．圆心C直线lMN长圆直径．|MN|2
3．（2018·天津河东区·高二期中（理））△ABC中A（3－1）AB边中线CM直线方程：6x＋10y－590∠B分线方程BT：x－4y＋100求直线BC方程
答案
试题解析：设中点直线 …………………①
点直线…………………②联立①②
直线分角公式
直线方程
4．（2020·新泰中学高二期中）已知圆
(1)求证：圆圆相交
(2)求圆圆公弦直线方程公弦长．
答案（1）见解析（2）
详解(1)圆圆心半径
圆圆心半径
两圆圆心距
圆相交
(2)圆圆方程相减
两圆公弦直线方程
圆心直线距离：
公弦长
5．（2019·北京海淀区·高二期中）已知抛物线C：x2−2py点（2−1）．
（Ⅰ）求抛物线C方程准线方程
（Ⅱ）设O原点抛物线C焦点作斜率0直线l交抛物线C两点MN直线y−1分交直线OMON点A点B求证：AB直径圆y轴两定点．
答案(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
详解(Ⅰ)点代入抛物线方程：：
抛物线方程：准线方程：
(Ⅱ)明显直线斜率存焦点坐标
设直线方程抛物线方程联立：
：
设
直线方程联立：理
易知AB直径圆圆心坐标：圆半径：
：
圆方程：
令整理：解：
AB直径圆y轴两定点
6．（2019·安徽铜陵中高二期中）已知点C（t∈Rt≠0）圆心圆x轴交点O点Ay轴交点O点B中O原点．
（1）求证：△OAB面积定值
（2）设直线y＝－2x＋4圆C交点MNOM＝ON求圆C方程．
答案（1）证明见解析（2）圆C方程（x－2）2＋（y－1）2＝5
详解（1）证明：圆C原点OOC2＝t2＋
设圆C方程（x－t）2＋＝t2＋
令x＝0y1＝0y2＝
令y＝0x1＝0x2＝2t
S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4
△OAB面积定值．
（2）OM＝ONCM＝CNOC垂直分线段MN
kMN＝－2kOC＝
t解t＝2t＝－2
t＝2时圆心C坐标（21）OC＝
时圆心C直线y＝－2x＋4距离d＝<圆C直线y＝－2x＋4相交两点．
符合题意时圆方程（x－2）2＋（y－1）2＝5
t＝－2时圆心C坐标（－2－1）OC＝时C直线y＝－2x＋4距离d＝圆C直线y＝－2x＋4相交
t＝－2符合题意舍．
圆C方程（x－2）2＋（y－1）2＝5
7．（2019·眉山外国语学校高二期中（理））面直角坐标系中点直线圆
（1）求取值范围求出圆心坐标
（2）动圆半径圆心动圆存点求圆心横坐标取值范围
答案（1）取值范围圆心坐标（2）
详解（1）方程表示曲线圆
解实数取值范围圆心坐标
（2）点直线该点横坐标点坐标
知点线段垂直分线点
线段垂直分线方程直线圆公点
圆圆心坐标半径
解实数取值范围
8．（2018·湖北高二期中（文））已知圆
（1）直线原点轴重合圆交试求直线轴截距
（2）斜率直线圆交两点求面积值时直线方程
答案（1）（2）值
详解解：（1）圆
设直线联立
：
直线
令直线轴截距
（2）设直线方程：
圆心直线距离
弦长
面积
仅时值
时解
直线方程
9．（2017·北京东城·高二期中（理））图示四边形ABCD边长3正方形面ABCDBE面ABCD成角．
求证：面BDE
求二面角余弦值
设点线段BD动点试确定点位置面BEF证明结．
答案（1）见解析 （2）（3）M坐标(220)见解析
详解（1）证明：∵面面
∴∵正方形∴
∵∴面．
（2）两两垂直建立图空间直角坐标系
∵面成角
知：∴．
∴
设面法量
令．
面面法量
∵
．
二面角锐角
二面角余弦值．
（3）题意设
∵面∴解：
∴点坐标时
∴点线段点三等分点．
10．（2017·湖北宜昌市·高二期中（理））四棱锥中底面矩形中点．
(1)证明：
(2)设三棱锥体积求二面角DAEC
答案（1）见解析（2）
试题解析：（1）连结BD交AC点O连结EO
ABCD矩形OBD中点
EPD中点EOPB
EO面AECPB面AECPB面AEC
（2）PA面ABCDABCD矩形ABADAP两两垂直
图A坐标原点方x轴正方建立空间直角坐标系A—xyz
三棱锥体积
A(0 0 0) D(0 0)B(00)E(0 )C ( 0)
(0 ) ( 0)设面ACE法量
令
面DAE法量
图二面角锐角二面角
11．（2019·江苏高二期中（理））图正四棱柱中点中点．
（1）求异面直线成角余弦值
（2）求直线面成角正弦值．
答案(1) (2)
详解：正四棱柱中原点分轴轴轴建立图示空间直角坐标系．
异面直线成角余弦值．
(2)设面法量．
取
面法量．
直线面成角正弦值．
12．（2021·威远中学校（理））图已知面ACD面ACD等边三角形FCD中点．
求证：面BCE
求二面角余弦值．
答案（1）见解析（2）．
详解
设直线分作轴轴点面垂直直线作轴建立图示坐标系
．
∵中点∴．
（1）证明
∴面
∴面．
（2）设面法量
妨令．
设面法量
令．
．
二面角余弦值．
13．（2019·兴宁市第中学高二期中）图四棱锥底面正方形点棱
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）中点时求面成角
答案(1)见解析 (2)
详解（1）证明：∵底面ABCD正方形
∴AC⊥BD
PD⊥底面ABCD
PD⊥AC
AC⊥面PDB
面AEC⊥面PDB
（2）解：设ACBD交O点连接EO
易∠AEOAE面PDB成角
∵EO中点 ∴EO＝PD ∴EO⊥AO
∴Rt△AEO中 OE＝PD＝AB＝AO
∴∠AEO＝45° AE面PDB成角45°
14．（2020·江北区·重庆十八中高二期中）已知点点关直线：称．
（1）直线点点直线距离求直线方程
（2）直线点直线交点面积2求直线方程．
答案（1）（2）
详解解：设点
解：点关直线：称点坐标
（1）直线点点直线距离直线点直线垂直直线：
（2）条件知：面积2高
点C直线直线直线 垂直点直线AB距离
直线方程设
解：
直线：
15．（2020·四川高二期中（理））已知圆C：直线l：
（1）圆C截直线l弦AB长求m值
（2）直线l圆C相离直线l动点PP作圆C两条切线PMPN切点分MN值求m值证明直线MN定点
答案（1）（2）证明见解析
详解（1）圆C圆心半径
弦AB长：
点C直线l距离
解：
（2）
（1）知点C直线1距离
时值
值
已知解
解0
时直线l方程
设CP直径圆记圆D
圆D方程
①
圆C方程②
②①③
MN两点圆C圆D公点
③直线MN方程
③变形
解
直线MN定点
16．（2020·湖北高二期中）已知圆
（1）圆切线轴轴截距相等求切线方程
（2）圆外点该圆引条切线切点坐标原点求值
答案（2）
详解解：（1）圆方程
切线截距时设直线方程
：
切线方程
切线截距时设直线方程
：
切线方程
综述：切线方程
（2）条件知：
化简：
时取值
17．（2020·嘉祥县第中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)著作圆锥曲线古代世界光辉科学成果著作中样命题：面两定点距离常数()点轨迹圆圆称阿波罗尼斯圆已知面直角系中点满足动点轨迹记圆
（1）求圆方程
（2）点运动时记值值分求值
（3）点圆作切线切点分求直线方程
答案（1）（2）（3）
详解（1）设点
整理
圆方程
（2）设
时取值时取值
（3）设切点
直线方程：整理
理直线方程：
直线均点
点直线直线方程
18．（2020·山东）已知点关原点称点直线圆点直线相切设圆心横坐标
（1）求圆半径
（2）已知点时作直线圆相交两点已知直线点直线斜率求证：直线恒定点
答案(1) r1r3 (2)证明见解析
详解(1）∵圆M点AB
圆心MAB垂直分线已知点A直线x+y0点AB关原点O称
点M直线yx点M坐标(aa)
∵圆M直线x+10相切
圆M半径连接MA已知
整理 解a0a2
圆M半径r1r3
（2）a <2a0圆M方程
设点
直线斜率存时设直线
联立方程组
消元
直线PMPN斜率
代入直线方程
直线l恒定点(21)
直线l斜率存时
直线PMPN斜率
合题意舍
综直线l恒定点(21)
19．（2020·四川省南充高级中学高二期中（理））已知圆M直线相切点圆心Mx轴
（1）求圆M标准方程
（2）点Mx轴重合直线圆M相交AB两点O坐标原点直线分直线相交CD两点记面积求值
答案（1）（2）
详解（1）题知设圆方程
直线圆相切点
解
∴圆方程
（2）题意知设直线斜率直线方程
解
点A坐标
直线斜率
理：点B坐标
题知：
∴
∵理
∴
仅时等号成立
∴值
20．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））面直角坐标系中点互相垂直两条直线分圆交点圆交点．
（1）直线斜率2求弦长
（2）中点E求面积取值范围．
答案（1）（2）
详解（1）直线斜率2直线方程
点直线距离
（2）直线斜率存时面积
直线斜率存时设直线
时直线方程圆心时存舍
时直线
．
．
E点直线距离M点直线距离
面积．
令
综面积取值范围
21．（2020·江苏省苏州中学园区校）面直角坐标系中圆直线直线
（1）已知直线点
①点第象限求点圆切线方程
②存点直线交圆点B恰线段中点求点横坐标取值范围
（2）设直线轴交点线段中点圆点直线圆交点求线段长值
答案（1）①②（2）
详解（1）①设
解
点P第象限
切线斜率存时设直线方程
圆心直线距离相等
解
切线方程
斜率存时
综：点圆切线方程
②设
B恰线段中点
点AB圆
两圆公点
解
点P横坐标取值范围
（2）设
点R圆
解
RM方程
解
时
22．（2021·湖南娄底中高二期中）已知点曲线C意点P满足．
（1）求曲线C方程
（2）设点问否存定点Q直线l曲线C相交两点EF直线l运动x轴分∠EDF存求出Q点坐标存请说明理．
答案（1）（2）存
详解（1）设点坐标
整理
曲线方程
（2）①果斜率存直线垂直x轴时圆交两点
直线行点符合题意．
②设存定点Q满足条件设直线方程
设联立方程组整理
直线运动轴分∠EDF
整理
直线定点
存定点直线曲线C相交两点EF直线l运动轴分∠EDF．
23．（2018·江苏常州市·高二期中）已知圆：()定点中正实数
（1）时判断直线圆位置关系
（2）时圆意点均成立(坐标原点)求实数值
（3）时线段意点圆存两点点线段中点求实数取值范围．
答案(1) 相离 (2) ．(3)
详解解 (1) 时圆心半径
时直线方程
圆心直线距离
直线圆相离
（2）设点
∵∴
…………
∴
代入
化简…………
圆意点………
解．…………………
(3)法直线方程设()
点线段中点
圆：
……………………
该关方程组解圆心半径圆圆心半径圆公点
线段意点成立．
值域
．………
线段圆公点∴
实数取值范围． ……………
法二圆心作直线垂线垂足设消
直线方程 点直线距离
线段意点 …
实数取值范围．
24．（2019·浙江）已知圆M圆心直线：直线：相切截直线：弦长6
（1）求圆M方程
（2）点两条成角直线分交圆MACBD求四边形面积值
答案（1）（2）
详解（1）设圆M方程：
解：
∴求圆方程
（2）解法1：
图作令
时
四点圆
正弦定理
∴
∴
仅时取等
时
∴
综述四边形面积值
解法2：
（仅时取等号）
直线PM应分线
时圆心M直线ACBD距离
时圆心M直线ACBD距离
综述四边形面积值
25．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）图面直角坐标系中已知点圆：轴正半轴交点点直线圆交两点
（1）直线轴交求直线方程
（2）设直线斜率分求值
（3）设中点点求面积
答案（1）（2）1（3）
详解（1）设求出
6结合直线圆位置关系知定满足时直线方程：
时直线方程：圆心直线距离（舍）
（2）设直线方程：联立
：
设①
②
①代入②化简
（3）设点点
化简③
④
④式代入③式解圆心直线距离时圆心直线距离
直线方程：直线距离
26．（2020·浙江宁波·高二期中）九章算术中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马四面直角三角形四面体称鳖臑．
图阳马中侧棱 底面 棱中点 作交 点连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体 否鳖臑写出面直角（需写
出结）说明理
（Ⅱ）面面 成二面角求值．
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）．
分析（解法1）（Ⅰ）底面
底面长方形
． ．
点 中点 ．
面． ．
面 ．
面 面 知四面体四面直角三角形
四面体鳖臑四面直角分 ．
（Ⅱ）图1面延长 交点 面 面
交线．（Ⅰ）知．
底面 ． ．
面 面成二面角面角
设
Rt△PDB中
解．
面面 成二面角时．
（解法2）
（Ⅰ）图2原点射线 分轴正半轴建立空间直角坐标系．
设 点 中点
．
已知 ．
．
面 面 知四面体四面直角三角形
四面体鳖臑四面直角分 ．
（Ⅱ）面 法量
（Ⅰ）知面 法量．
面面 成二面角
解．
面面 成二面角时．
27．（2020·黑龙江佳木斯中高二期中（文））图棱长2正方体中分棱中点点分棱移动
（1）时证明：直线面
（2）否存面面成二面角直二面角？存求出值存说明理
答案（1）见解析（2）
试题解析：原点射线分轴正半轴建立图示空间直角坐标系已知
（1）时面面直线面
（2）设面法量
取
设面法量取
存面面成二面角直二面角解显然满足
存面面成二面角直二面角
28．（2018·太原市·山西附中高二期中（理））图直三棱柱四棱锥构成体中面面
（I）求证：
（II）M中点求证：面
（III）线段BC（含端点）否存点P直线DP面成角？存求值存说明理
答案(1)见解析(2)见解析(3)存样点P
详解（I）根面面垂直性质面证明（II）建立空间直角坐标系利方量面 法量数量积零面 （III）（II）知面法量设利空间量夹角余弦公式列方程求结
详解：证明：（I）直三棱柱中
∵面 ∴
∵面面面面
∴面
∴
（II）直三棱柱中
∵面∴
建立图示空间直角坐标系已知
设面法量
∵ ∴ 令
∵中点∴
∵ ∴
面∴面
（III）（II）知面法量
设
直线DP面成角
解
存样点P直线DP面成角
29．（2018·山东青岛·高二期中）图体中等边三角形面垂直矩形面知
（1）中点线段面求
（2）面面成二面角余弦值求直线面成角正弦值
（3）中点求面正投影．
答案（1）（2）（3）面正投影
详解(1)设中点连接
四点面
面面面面
(2)设中点中点连接等边三角形
面面面面
面
设分轴建立空间直角坐标系
设面法量
理面法量
(3)(2)知易证：面
中
面面正投影
30．（2020·黑龙江佳木斯中高二期中（文））图直三棱柱中中点
（I）点直线垂直求值
（Ⅱ）（I）条件设异面直线成角45°求直线面成角正弦值
答案（Ⅰ）见证明（Ⅱ）
详解（Ⅰ）证明：取中点连接
三棱柱直三棱柱
面面
面
连接设正方形
中点
中点
（Ⅱ）
图坐标原点分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
设（Ⅰ）知
设面法量
组解．
直线面成角正弦值
31．（2020·辽宁连八中高二期中）图四棱锥中底面矩形面点分线段中连接延长延长线交点连接．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）时求二面角正弦值
（Ⅲ）直线面成角正弦值时求值．
答案（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
详解（Ⅰ）线段取点
四边形行四边形
面面
面．
（Ⅱ）坐标原点分轴建立空间直角坐标系00220
10
设面法量
令
设面法量
令
二面角正弦值．
（Ⅲ）令
设面法量
令
题意：
．
32．（2020·天津市咸水沽第中学高二期中）图四棱锥中底面直角梯形侧棱底面垂直．棱中点．
（1）求证：面
（2）求二面角正弦值
（3）线段否存点面成角正弦值存请求出值存请说明理
答案(1)证明见解析(2) (3)答案见解析
详解解：（1）点原点建立图示空间直角坐标系
．
．
设面法量
令．．
．
面面．
（2）设面法量．
面法量
设二面角面角易知：
．
二面角正弦值．
（3）假设存满足题意点：
设点N坐标：
应坐标相等
面法量
题意：
解：
存满足题意点值
33．（2021·厦门市湖滨中学高二期中）图1边长2菱形中点折起位置图2
（1）求证：面
（2）线段否存点面面？存求值存说明理．
答案（1）证明见解析（2）存
详解（1）证明：点
面
面
（2）假设线段否存点面面
根（1）建立图示空间直角坐标系：
设
设面法量：
令
设面法量：
令
面面
解
线段否存点面面
34．（2020··天津二十中高二期中）图四棱锥中底面矩形中点面．
（1）求证：
（2）求面成角正弦值
（3）求二面角余弦值．
答案（1）证明见解析（2）（3）
详解（1）面面
底面矩形
面面
（2）原点分直线轴轴轴建立空间直角坐标系图示
设面法量
令
设直线面成角
面成角正弦值
（3）
设面法量
令
面法量
设二面角锐角
二面角余弦值．
35．（2020·连市红旗高级中学高二期中）图示体中均直角顶点等腰直角三角形中点
（1）求证：
（2）求二面角
（3）设线段动点面面求线段长
答案（1）证明见解析（2）（3）
详解解：题意均直角顶点等腰直角三角形
面
建立原点
分方轴轴轴正方空间直角坐标系（图）
（1）证明：题意
（2）解：
设面法量
妨令
面法量
图二面角锐二面角
二面角
（3）解：（方法）设
令
解中点
面面
中点时面面
时
线段长
（方法二）设
设面法量
妨令
面面
解：
时
线段长
36．（2020·南开·天津二十五中高二期中）图三棱柱中面分中点
（1）求证：面
（2）求直线面成角正弦值
（3）棱否存点面面成锐二面角？存求出点坐标存请说明理．
答案（1）证明见解析 （2） （3）存
详解（1）取中点连接交点知中点
连接易知四边形行四边形
面面面
（2）分直线轴轴轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
令
直线面成角正弦值
（3）假设棱存点设
设面法量
令
面法量
面面成二面角
解
时符合题意
棱存点面面成二面角
37．（2019·江苏高二期中（理））图已知四棱锥底面菱形角线交点底面设点满足
（1）求二面角
（2）直线面成角正弦值求值
答案（1）（2）
详解解：（1）O坐标原点建立坐标系
设
易知面法量
设面法量
图形二面角锐角
二面角
（2）
设
设面法量
令
直线面成角正弦值
解：
38．（2020·福建莆田中高二期中）四棱锥中面面底面直角梯形线段中点面线段分交点．
（1）求证：
（2）否存点直线面成角正弦值存请确定点位置存请说明理．
答案（1）证明见解析（2）存点三等分点
详解（1）证明：线段中点
四边形行四边形
面面面
面面
面面面面
面面
面
（2）存点三等分点．
线段中点
面面面
坐标原点方轴正方建立图示空间直角坐标系
设
设面法量
令面法量
设直线面成角
（舍）
存点直线面成角正弦值点三等分点．
39．（2020·北京四中高二期中）四棱锥中面面底面直角梯形
（1）求证：面
（2）线段否存点面？果存求值果存说明理
（3）棱中点线段意点求证：定行
详解（1）面面面面
面ABCD
面
（2）D原点DADCxy轴建立图示空间直角坐标系：
设
设面面法量
令
设面面法量
令
面面
解
线段存点面
（3）假设存点N线段
图示：
连接AC取中点G中
MG边中点
直线外点条直线已知直线行
MGMN重合
点N线段AC
NACBC交点CMNMCMCPC相交矛盾
假设错误问题证
40．（2020·江苏高二期中）图直棱柱中AC中点分DEF
（1）求证面BEF
（2）异面直线BF成角BC面BEF成角正弦值求二面角余弦值
答案（1）证明见解析（2）
详解（1）证明：直棱柱面ABC
EFAC中点面ABC
面ABC
EAC中点
面BEF
（2）（1）知异面直线BF成角
面BEF 知BC面BEF成角设
图F原点建立空间直角坐标系ECx轴EFy轴EBz轴
设面法量
令
设面法量
令
二面角余弦值
41．（2020·天津市咸水沽第中学高二期中）图已知面体均垂直面
（1）证明：面
（2）求直线面成角正弦值
答案（1）证明见解析（2）
详解（1）作ED △中余弦定理知：
∴中中
∴
∴面
（2）构建中点O原点xy轴正方垂直方作z轴正方图示
令
∴
面法量令
∴直线面成角正弦值
42．（2020·天津市滨海新区塘沽第中学高二期中）图四棱锥中面ABCDNPD中点
（1）求证：面．
（2）求面面成二面角余弦值
（3）线段PD否存点M直线CM面PBC成角正弦值存求出值存说明理
答案（1）证明见解析（2）（3）存
详解（1）证明：作垂足
图坐标原点分別轴建立空间直角坐标系
中点
设面法量
令解：
面面．
（2）设面法量
令解
面面成二面角余弦值
（3）假设线段存点设
直线面成角正弦值面法量
化简
存
43．（2020·重庆市杨家坪中学高二期中）图面点MBQ中点
（1）求二面角正弦值
（2）线段点直线面成角求线段长
答案（1）（2）
详解解：（1）面
坐标原点 方轴轴轴建立图示空间直角坐标系
题意：
设面面法量分
令
令
二面角正弦值
（2）设
（1）知：面法量
题意知：
整理：
解：
线段长
44．（2020·北京市八中学高二期中）图1中棱中点折起位置图2连结
（Ⅰ）求证：面面
（Ⅱ）中点求直线面成角正弦值
（Ⅲ）线段否存点二面角余弦值？存求出值存请说明理
答案（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存
试题解析：（Ⅰ）证：分中点．
．．
．
面．
面面 面．
（Ⅱ）解： 两两互相垂直．
坐标原点建立图示空间直角坐标系
题意．
．
设面法量
令．．
设直线面成角．
直线面成角正弦值．
（Ⅲ）解：假设线段存点二面角余弦值．
设
．
易面法量．
设面法量
令．
二面角余弦值
解．．
线段存点二面角余弦值．
45．（2020·青岛市黄岛区教育发展研究中心高二期中）图体中四边形菱形等边三角形面面
（1）证明：线段存点面面
（2）求二面角余弦值
（3）面求线段长度
答案（1）证明见解析（2）（3）
详解解：（1）图示：
取线段中点连接
均等边三角形
面
面
面面
线段存中点面面
（2）面面面面
面
两两垂直
轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
：
令
设面法量
：
令
设二面角面角
二面角锐二面角
二面角余弦值
(3)设
面面法量
46．（2020·沙坪坝·重庆中高二期中）图1直角梯形ABCDBE折痕BCE折起点C达位置图2．
（1）求证：面面ABED
（2）求直线面成角正弦值．
（3）棱否存点P二面角面角？存求出线段长度存说明理．
答案（1）证明见解析（2）（3）存
详解（1）证明：图1中连结AE已知条件
∵
∴四边形ABCE菱形连结AC交BE点F
∴∵中
∴
图2中∵∴
题意知
∴面ABED面
∴面面ABED
（2）图D坐标原点DA分xy轴方z轴正方建立空间直角坐标系．已知点坐标
设面法量
令解
记直线面成角
．
（3）假设存设
∵面易面法量
设面PBE法量
取
解时．
47．（2020·浙江省杭州第二中学高二期中）已知四棱锥中底面梯形．
（1）中点求证：面
（2）求二面角正弦值．
答案（1）证明见解析（2）
详解解：（1）取中点连接
∵ 中点
∴ 中
∵
∴
∴ 四边形行四边形
∴
∵ 面面
∴ 面
（2）取中点连接
∵
∴
∴ 四边形行四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴ 中正弦定理：解
∴
∴ 中
中
∴
∴
∵
∴ 中
∴
∵
∴ 面
图建系
设解
∴
∴
设面法量
面法量
∴
∴
∴ 二面角正弦值
48．（2021·四川雅安中学高二期中（理））图四棱锥中底面边长2菱形正三角形面面线段中点线段
（1）线段中点时求证：面
（2）时求二面角正弦值
答案（1）证明见解析（2）
详解证明：（1）连结交点连结
底面菱形中点
∵中点∴
面面∴面
（2）∵正三角形中点∴
∵面面∴面
底面菱形线段中点
原点轴建立空间直角坐标系
设面法量
令
面面法量
二面角正弦值
49．（2018·海浦东新·华师二附中）果北车北京车站接聪明专家定会选择走四环．然城中间直穿诱考虑北京道路总正南正北方事实会真认样走抄路．城市中专家估算两点间距离时会直接测量两点间直线距离会考虑相距少街区．理想模型中假设条道路水者竖直着目标走（意绕远路）样走花费路程样．出租车学（taxicab geometry）谓出租车学十九世纪位真专家赫尔曼闵夫斯基创立．出租车学中点形序实数直线满足组成图形角度定义原样．直角坐标系意两点定义间种距离：请解决问题：
（1）定义：圆定点距离定值点组成图形求圆周点点距离均圆方程作出致图
（2）出租车学中两点距离相等点轨迹称线段垂直分线已知点
①写出线段垂直分线轨迹方程写出致图
②求证：三边垂直分线交点（该点称外心）求出外心
答案（1）（2）②证明略外心
详解（1）圆定点距离定值点组成图形
圆周点点距离均
圆方程：
（2）①题意知设两点距离相等点坐标
（ⅰ）时绝值符号：
整理显然时该方程解
时绝值符号：
整理：解
情况关系
（ⅱ）时绝值符号
整理
时绝值符号：
时绝值符号：舍
时绝值符号：舍
情况关系
（ⅲ）时绝值符号：
整理显然时该方程解
时绝值符号：解
综述两点距离相等坐标点轨迹方程线段垂直分线方程：时时时
②题意知
知点距离相等点坐标满足：
解
线段垂直分线方程
知点距离相等点坐标满足：
解：
线段垂直分线方程
线段垂直分线线段垂直分线唯交点坐标
（2）①知时
线段垂直分线点
三边垂直分线交点．
50．（2020·北京附中）已知四棱锥底面行四边形面直线分交点点直线中点直线面
（1）设试基底表示量
（2）证明四面体中少存顶点出发三条棱够组成三角形
（3）证明满足条件面点落某条长线段
答案（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
详解（1）∵
∴
（2）妨设四面体长棱中
∴
少妨设
∴构成三角形
（3）设（1）知
∴
设
∴
面存实数：
∴
∴消元：解
时
时解
综
满足条件面点落某条长线段
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1．（2020·四川成市·北附中成明学校高二期中）已知圆C点圆心直线
（1）求圆C方程
（2）设直线圆C交AB两点否存实数a点P（20）直线垂直分AB？存求出a值存说明理．
答案（1）x2+y26x+4y+40（2）存实数
详解（1）设圆C方程：x2+y2+Dx+Ey+F0
解
∴圆C方程：x2+y26x+4y+40
（2）设符合条件实数存
l垂直分弦圆心必l．
l斜率
．
直线axy+10 yax +1．代入圆方程
消整理．
直线交圆两点
解．
实数取值范围．
存实数点直线l垂直分弦．
2．（2020·四川省渠县中学高二期中（理））已知点A(01)斜率k直线l圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交MN两点．
(1)求k取值范围
(2)＝12中O坐标原点求|MN|
答案（1）（2）2．
详解（1）题意直线l斜率存
设点A（01）直线方程：ykx+1：kxy+10．
已知圆C圆心C坐标（23）半径R1．
解：．
点A（01）直线圆C：相交MN两点．
（2）设MN
题意点MNA直线方程ykx+1代入圆C方程
∴
∴
解 k1
直线l方程 yx+1 xy+10．圆心C直线lMN长圆直径．|MN|2
3．（2018·天津河东区·高二期中（理））△ABC中A（3－1）AB边中线CM直线方程：6x＋10y－590∠B分线方程BT：x－4y＋100求直线BC方程
答案
试题解析：设中点直线 …………………①
点直线…………………②联立①②
直线分角公式
直线方程
4．（2020·新泰中学高二期中）已知圆
(1)求证：圆圆相交
(2)求圆圆公弦直线方程公弦长．
答案（1）见解析（2）
详解(1)圆圆心半径
圆圆心半径
两圆圆心距
圆相交
(2)圆圆方程相减
两圆公弦直线方程
圆心直线距离：
公弦长
5．（2019·北京海淀区·高二期中）已知抛物线C：x2−2py点（2−1）．
（Ⅰ）求抛物线C方程准线方程
（Ⅱ）设O原点抛物线C焦点作斜率0直线l交抛物线C两点MN直线y−1分交直线OMON点A点B求证：AB直径圆y轴两定点．
答案(Ⅰ) (Ⅱ)见解析
详解(Ⅰ)点代入抛物线方程：：
抛物线方程：准线方程：
(Ⅱ)明显直线斜率存焦点坐标
设直线方程抛物线方程联立：
：
设
直线方程联立：理
易知AB直径圆圆心坐标：圆半径：
：
圆方程：
令整理：解：
AB直径圆y轴两定点
6．（2019·安徽铜陵中高二期中）已知点C（t∈Rt≠0）圆心圆x轴交点O点Ay轴交点O点B中O原点．
（1）求证：△OAB面积定值
（2）设直线y＝－2x＋4圆C交点MNOM＝ON求圆C方程．
答案（1）证明见解析（2）圆C方程（x－2）2＋（y－1）2＝5
详解（1）证明：圆C原点OOC2＝t2＋
设圆C方程（x－t）2＋＝t2＋
令x＝0y1＝0y2＝
令y＝0x1＝0x2＝2t
S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4
△OAB面积定值．
（2）OM＝ONCM＝CNOC垂直分线段MN
kMN＝－2kOC＝
t解t＝2t＝－2
t＝2时圆心C坐标（21）OC＝
时圆心C直线y＝－2x＋4距离d＝<圆C直线y＝－2x＋4相交两点．
符合题意时圆方程（x－2）2＋（y－1）2＝5
t＝－2时圆心C坐标（－2－1）OC＝时C直线y＝－2x＋4距离d＝圆C直线y＝－2x＋4相交
t＝－2符合题意舍．
圆C方程（x－2）2＋（y－1）2＝5
7．（2019·眉山外国语学校高二期中（理））面直角坐标系中点直线圆
（1）求取值范围求出圆心坐标
（2）动圆半径圆心动圆存点求圆心横坐标取值范围
答案（1）取值范围圆心坐标（2）
详解（1）方程表示曲线圆
解实数取值范围圆心坐标
（2）点直线该点横坐标点坐标
知点线段垂直分线点
线段垂直分线方程直线圆公点
圆圆心坐标半径
解实数取值范围
8．（2018·湖北高二期中（文））已知圆
（1）直线原点轴重合圆交试求直线轴截距
（2）斜率直线圆交两点求面积值时直线方程
答案（1）（2）值
详解解：（1）圆
设直线联立
：
直线
令直线轴截距
（2）设直线方程：
圆心直线距离
弦长
面积
仅时值
时解
直线方程
9．（2017·北京东城·高二期中（理））图示四边形ABCD边长3正方形面ABCDBE面ABCD成角．
求证：面BDE
求二面角余弦值
设点线段BD动点试确定点位置面BEF证明结．
答案（1）见解析 （2）（3）M坐标(220)见解析
详解（1）证明：∵面面
∴∵正方形∴
∵∴面．
（2）两两垂直建立图空间直角坐标系
∵面成角
知：∴．
∴
设面法量
令．
面面法量
∵
．
二面角锐角
二面角余弦值．
（3）题意设
∵面∴解：
∴点坐标时
∴点线段点三等分点．
10．（2017·湖北宜昌市·高二期中（理））四棱锥中底面矩形中点．
(1)证明：
(2)设三棱锥体积求二面角DAEC
答案（1）见解析（2）
试题解析：（1）连结BD交AC点O连结EO
ABCD矩形OBD中点
EPD中点EOPB
EO面AECPB面AECPB面AEC
（2）PA面ABCDABCD矩形ABADAP两两垂直
图A坐标原点方x轴正方建立空间直角坐标系A—xyz
三棱锥体积
A(0 0 0) D(0 0)B(00)E(0 )C ( 0)
(0 ) ( 0)设面ACE法量
令
面DAE法量
图二面角锐角二面角
11．（2019·江苏高二期中（理））图正四棱柱中点中点．
（1）求异面直线成角余弦值
（2）求直线面成角正弦值．
答案(1) (2)
详解：正四棱柱中原点分轴轴轴建立图示空间直角坐标系．
异面直线成角余弦值．
(2)设面法量．
取
面法量．
直线面成角正弦值．
12．（2021·威远中学校（理））图已知面ACD面ACD等边三角形FCD中点．
求证：面BCE
求二面角余弦值．
答案（1）见解析（2）．
详解
设直线分作轴轴点面垂直直线作轴建立图示坐标系
．
∵中点∴．
（1）证明
∴面
∴面．
（2）设面法量
妨令．
设面法量
令．
．
二面角余弦值．
13．（2019·兴宁市第中学高二期中）图四棱锥底面正方形点棱
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）中点时求面成角
答案(1)见解析 (2)
详解（1）证明：∵底面ABCD正方形
∴AC⊥BD
PD⊥底面ABCD
PD⊥AC
AC⊥面PDB
面AEC⊥面PDB
（2）解：设ACBD交O点连接EO
易∠AEOAE面PDB成角
∵EO中点 ∴EO＝PD ∴EO⊥AO
∴Rt△AEO中 OE＝PD＝AB＝AO
∴∠AEO＝45° AE面PDB成角45°
14．（2020·江北区·重庆十八中高二期中）已知点点关直线：称．
（1）直线点点直线距离求直线方程
（2）直线点直线交点面积2求直线方程．
答案（1）（2）
详解解：设点
解：点关直线：称点坐标
（1）直线点点直线距离直线点直线垂直直线：
（2）条件知：面积2高
点C直线直线直线 垂直点直线AB距离
直线方程设
解：
直线：
15．（2020·四川高二期中（理））已知圆C：直线l：
（1）圆C截直线l弦AB长求m值
（2）直线l圆C相离直线l动点PP作圆C两条切线PMPN切点分MN值求m值证明直线MN定点
答案（1）（2）证明见解析
详解（1）圆C圆心半径
弦AB长：
点C直线l距离
解：
（2）
（1）知点C直线1距离
时值
值
已知解
解0
时直线l方程
设CP直径圆记圆D
圆D方程
①
圆C方程②
②①③
MN两点圆C圆D公点
③直线MN方程
③变形
解
直线MN定点
16．（2020·湖北高二期中）已知圆
（1）圆切线轴轴截距相等求切线方程
（2）圆外点该圆引条切线切点坐标原点求值
答案（2）
详解解：（1）圆方程
切线截距时设直线方程
：
切线方程
切线截距时设直线方程
：
切线方程
综述：切线方程
（2）条件知：
化简：
时取值
17．（2020·嘉祥县第中学高二期中）古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)著作圆锥曲线古代世界光辉科学成果著作中样命题：面两定点距离常数()点轨迹圆圆称阿波罗尼斯圆已知面直角系中点满足动点轨迹记圆
（1）求圆方程
（2）点运动时记值值分求值
（3）点圆作切线切点分求直线方程
答案（1）（2）（3）
详解（1）设点
整理
圆方程
（2）设
时取值时取值
（3）设切点
直线方程：整理
理直线方程：
直线均点
点直线直线方程
18．（2020·山东）已知点关原点称点直线圆点直线相切设圆心横坐标
（1）求圆半径
（2）已知点时作直线圆相交两点已知直线点直线斜率求证：直线恒定点
答案(1) r1r3 (2)证明见解析
详解(1）∵圆M点AB
圆心MAB垂直分线已知点A直线x+y0点AB关原点O称
点M直线yx点M坐标(aa)
∵圆M直线x+10相切
圆M半径连接MA已知
整理 解a0a2
圆M半径r1r3
（2）a <2a0圆M方程
设点
直线斜率存时设直线
联立方程组
消元
直线PMPN斜率
代入直线方程
直线l恒定点(21)
直线l斜率存时
直线PMPN斜率
合题意舍
综直线l恒定点(21)
19．（2020·四川省南充高级中学高二期中（理））已知圆M直线相切点圆心Mx轴
（1）求圆M标准方程
（2）点Mx轴重合直线圆M相交AB两点O坐标原点直线分直线相交CD两点记面积求值
答案（1）（2）
详解（1）题知设圆方程
直线圆相切点
解
∴圆方程
（2）题意知设直线斜率直线方程
解
点A坐标
直线斜率
理：点B坐标
题知：
∴
∵理
∴
仅时等号成立
∴值
20．（2020·永丰县永丰中学高二期中（文））面直角坐标系中点互相垂直两条直线分圆交点圆交点．
（1）直线斜率2求弦长
（2）中点E求面积取值范围．
答案（1）（2）
详解（1）直线斜率2直线方程
点直线距离
（2）直线斜率存时面积
直线斜率存时设直线
时直线方程圆心时存舍
时直线
．
．
E点直线距离M点直线距离
面积．
令
综面积取值范围
21．（2020·江苏省苏州中学园区校）面直角坐标系中圆直线直线
（1）已知直线点
①点第象限求点圆切线方程
②存点直线交圆点B恰线段中点求点横坐标取值范围
（2）设直线轴交点线段中点圆点直线圆交点求线段长值
答案（1）①②（2）
详解（1）①设
解
点P第象限
切线斜率存时设直线方程
圆心直线距离相等
解
切线方程
斜率存时
综：点圆切线方程
②设
B恰线段中点
点AB圆
两圆公点
解
点P横坐标取值范围
（2）设
点R圆
解
RM方程
解
时
22．（2021·湖南娄底中高二期中）已知点曲线C意点P满足．
（1）求曲线C方程
（2）设点问否存定点Q直线l曲线C相交两点EF直线l运动x轴分∠EDF存求出Q点坐标存请说明理．
答案（1）（2）存
详解（1）设点坐标
整理
曲线方程
（2）①果斜率存直线垂直x轴时圆交两点
直线行点符合题意．
②设存定点Q满足条件设直线方程
设联立方程组整理
直线运动轴分∠EDF
整理
直线定点
存定点直线曲线C相交两点EF直线l运动轴分∠EDF．
23．（2018·江苏常州市·高二期中）已知圆：()定点中正实数
（1）时判断直线圆位置关系
（2）时圆意点均成立(坐标原点)求实数值
（3）时线段意点圆存两点点线段中点求实数取值范围．
答案(1) 相离 (2) ．(3)
详解解 (1) 时圆心半径
时直线方程
圆心直线距离
直线圆相离
（2）设点
∵∴
…………
∴
代入
化简…………
圆意点………
解．…………………
(3)法直线方程设()
点线段中点
圆：
……………………
该关方程组解圆心半径圆圆心半径圆公点
线段意点成立．
值域
．………
线段圆公点∴
实数取值范围． ……………
法二圆心作直线垂线垂足设消
直线方程 点直线距离
线段意点 …
实数取值范围．
24．（2019·浙江）已知圆M圆心直线：直线：相切截直线：弦长6
（1）求圆M方程
（2）点两条成角直线分交圆MACBD求四边形面积值
答案（1）（2）
详解（1）设圆M方程：
解：
∴求圆方程
（2）解法1：
图作令
时
四点圆
正弦定理
∴
∴
仅时取等
时
∴
综述四边形面积值
解法2：
（仅时取等号）
直线PM应分线
时圆心M直线ACBD距离
时圆心M直线ACBD距离
综述四边形面积值
25．（2019·浙江省柯桥中学高二期中）图面直角坐标系中已知点圆：轴正半轴交点点直线圆交两点
（1）直线轴交求直线方程
（2）设直线斜率分求值
（3）设中点点求面积
答案（1）（2）1（3）
详解（1）设求出
6结合直线圆位置关系知定满足时直线方程：
时直线方程：圆心直线距离（舍）
（2）设直线方程：联立
：
设①
②
①代入②化简
（3）设点点
化简③
④
④式代入③式解圆心直线距离时圆心直线距离
直线方程：直线距离
26．（2020·浙江宁波·高二期中）九章算术中底面长方形条侧棱底面垂直四棱锥称阳马四面直角三角形四面体称鳖臑．
图阳马中侧棱 底面 棱中点 作交 点连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体 否鳖臑写出面直角（需写
出结）说明理
（Ⅱ）面面 成二面角求值．
答案（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）．
分析（解法1）（Ⅰ）底面
底面长方形
． ．
点 中点 ．
面． ．
面 ．
面 面 知四面体四面直角三角形
四面体鳖臑四面直角分 ．
（Ⅱ）图1面延长 交点 面 面
交线．（Ⅰ）知．
底面 ． ．
面 面成二面角面角
设
Rt△PDB中
解．
面面 成二面角时．
（解法2）
（Ⅰ）图2原点射线 分轴正半轴建立空间直角坐标系．
设 点 中点
．
已知 ．
．
面 面 知四面体四面直角三角形
四面体鳖臑四面直角分 ．
（Ⅱ）面 法量
（Ⅰ）知面 法量．
面面 成二面角
解．
面面 成二面角时．
27．（2020·黑龙江佳木斯中高二期中（文））图棱长2正方体中分棱中点点分棱移动
（1）时证明：直线面
（2）否存面面成二面角直二面角？存求出值存说明理
答案（1）见解析（2）
试题解析：原点射线分轴正半轴建立图示空间直角坐标系已知
（1）时面面直线面
（2）设面法量
取
设面法量取
存面面成二面角直二面角解显然满足
存面面成二面角直二面角
28．（2018·太原市·山西附中高二期中（理））图直三棱柱四棱锥构成体中面面
（I）求证：
（II）M中点求证：面
（III）线段BC（含端点）否存点P直线DP面成角？存求值存说明理
答案(1)见解析(2)见解析(3)存样点P
详解（I）根面面垂直性质面证明（II）建立空间直角坐标系利方量面 法量数量积零面 （III）（II）知面法量设利空间量夹角余弦公式列方程求结
详解：证明：（I）直三棱柱中
∵面 ∴
∵面面面面
∴面
∴
（II）直三棱柱中
∵面∴
建立图示空间直角坐标系已知
设面法量
∵ ∴ 令
∵中点∴
∵ ∴
面∴面
（III）（II）知面法量
设
直线DP面成角
解
存样点P直线DP面成角
29．（2018·山东青岛·高二期中）图体中等边三角形面垂直矩形面知
（1）中点线段面求
（2）面面成二面角余弦值求直线面成角正弦值
（3）中点求面正投影．
答案（1）（2）（3）面正投影
详解(1)设中点连接
四点面
面面面面
(2)设中点中点连接等边三角形
面面面面
面
设分轴建立空间直角坐标系
设面法量
理面法量
(3)(2)知易证：面
中
面面正投影
30．（2020·黑龙江佳木斯中高二期中（文））图直三棱柱中中点
（I）点直线垂直求值
（Ⅱ）（I）条件设异面直线成角45°求直线面成角正弦值
答案（Ⅰ）见证明（Ⅱ）
详解（Ⅰ）证明：取中点连接
三棱柱直三棱柱
面面
面
连接设正方形
中点
中点
（Ⅱ）
图坐标原点分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系
设（Ⅰ）知
设面法量
组解．
直线面成角正弦值
31．（2020·辽宁连八中高二期中）图四棱锥中底面矩形面点分线段中连接延长延长线交点连接．
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）时求二面角正弦值
（Ⅲ）直线面成角正弦值时求值．
答案（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
详解（Ⅰ）线段取点
四边形行四边形
面面
面．
（Ⅱ）坐标原点分轴建立空间直角坐标系00220
10
设面法量
令
设面法量
令
二面角正弦值．
（Ⅲ）令
设面法量
令
题意：
．
32．（2020·天津市咸水沽第中学高二期中）图四棱锥中底面直角梯形侧棱底面垂直．棱中点．
（1）求证：面
（2）求二面角正弦值
（3）线段否存点面成角正弦值存请求出值存请说明理
答案(1)证明见解析(2) (3)答案见解析
详解解：（1）点原点建立图示空间直角坐标系
．
．
设面法量
令．．
．
面面．
（2）设面法量．
面法量
设二面角面角易知：
．
二面角正弦值．
（3）假设存满足题意点：
设点N坐标：
应坐标相等
面法量
题意：
解：
存满足题意点值
33．（2021·厦门市湖滨中学高二期中）图1边长2菱形中点折起位置图2
（1）求证：面
（2）线段否存点面面？存求值存说明理．
答案（1）证明见解析（2）存
详解（1）证明：点
面
面
（2）假设线段否存点面面
根（1）建立图示空间直角坐标系：
设
设面法量：
令
设面法量：
令
面面
解
线段否存点面面
34．（2020··天津二十中高二期中）图四棱锥中底面矩形中点面．
（1）求证：
（2）求面成角正弦值
（3）求二面角余弦值．
答案（1）证明见解析（2）（3）
详解（1）面面
底面矩形
面面
（2）原点分直线轴轴轴建立空间直角坐标系图示
设面法量
令
设直线面成角
面成角正弦值
（3）
设面法量
令
面法量
设二面角锐角
二面角余弦值．
35．（2020·连市红旗高级中学高二期中）图示体中均直角顶点等腰直角三角形中点
（1）求证：
（2）求二面角
（3）设线段动点面面求线段长
答案（1）证明见解析（2）（3）
详解解：题意均直角顶点等腰直角三角形
面
建立原点
分方轴轴轴正方空间直角坐标系（图）
（1）证明：题意
（2）解：
设面法量
妨令
面法量
图二面角锐二面角
二面角
（3）解：（方法）设
令
解中点
面面
中点时面面
时
线段长
（方法二）设
设面法量
妨令
面面
解：
时
线段长
36．（2020·南开·天津二十五中高二期中）图三棱柱中面分中点
（1）求证：面
（2）求直线面成角正弦值
（3）棱否存点面面成锐二面角？存求出点坐标存请说明理．
答案（1）证明见解析 （2） （3）存
详解（1）取中点连接交点知中点
连接易知四边形行四边形
面面面
（2）分直线轴轴轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
令
直线面成角正弦值
（3）假设棱存点设
设面法量
令
面法量
面面成二面角
解
时符合题意
棱存点面面成二面角
37．（2019·江苏高二期中（理））图已知四棱锥底面菱形角线交点底面设点满足
（1）求二面角
（2）直线面成角正弦值求值
答案（1）（2）
详解解：（1）O坐标原点建立坐标系
设
易知面法量
设面法量
图形二面角锐角
二面角
（2）
设
设面法量
令
直线面成角正弦值
解：
38．（2020·福建莆田中高二期中）四棱锥中面面底面直角梯形线段中点面线段分交点．
（1）求证：
（2）否存点直线面成角正弦值存请确定点位置存请说明理．
答案（1）证明见解析（2）存点三等分点
详解（1）证明：线段中点
四边形行四边形
面面面
面面
面面面面
面面
面
（2）存点三等分点．
线段中点
面面面
坐标原点方轴正方建立图示空间直角坐标系
设
设面法量
令面法量
设直线面成角
（舍）
存点直线面成角正弦值点三等分点．
39．（2020·北京四中高二期中）四棱锥中面面底面直角梯形
（1）求证：面
（2）线段否存点面？果存求值果存说明理
（3）棱中点线段意点求证：定行
详解（1）面面面面
面ABCD
面
（2）D原点DADCxy轴建立图示空间直角坐标系：
设
设面面法量
令
设面面法量
令
面面
解
线段存点面
（3）假设存点N线段
图示：
连接AC取中点G中
MG边中点
直线外点条直线已知直线行
MGMN重合
点N线段AC
NACBC交点CMNMCMCPC相交矛盾
假设错误问题证
40．（2020·江苏高二期中）图直棱柱中AC中点分DEF
（1）求证面BEF
（2）异面直线BF成角BC面BEF成角正弦值求二面角余弦值
答案（1）证明见解析（2）
详解（1）证明：直棱柱面ABC
EFAC中点面ABC
面ABC
EAC中点
面BEF
（2）（1）知异面直线BF成角
面BEF 知BC面BEF成角设
图F原点建立空间直角坐标系ECx轴EFy轴EBz轴
设面法量
令
设面法量
令
二面角余弦值
41．（2020·天津市咸水沽第中学高二期中）图已知面体均垂直面
（1）证明：面
（2）求直线面成角正弦值
答案（1）证明见解析（2）
详解（1）作ED △中余弦定理知：
∴中中
∴
∴面
（2）构建中点O原点xy轴正方垂直方作z轴正方图示
令
∴
面法量令
∴直线面成角正弦值
42．（2020·天津市滨海新区塘沽第中学高二期中）图四棱锥中面ABCDNPD中点
（1）求证：面．
（2）求面面成二面角余弦值
（3）线段PD否存点M直线CM面PBC成角正弦值存求出值存说明理
答案（1）证明见解析（2）（3）存
详解（1）证明：作垂足
图坐标原点分別轴建立空间直角坐标系
中点
设面法量
令解：
面面．
（2）设面法量
令解
面面成二面角余弦值
（3）假设线段存点设
直线面成角正弦值面法量
化简
存
43．（2020·重庆市杨家坪中学高二期中）图面点MBQ中点
（1）求二面角正弦值
（2）线段点直线面成角求线段长
答案（1）（2）
详解解：（1）面
坐标原点 方轴轴轴建立图示空间直角坐标系
题意：
设面面法量分
令
令
二面角正弦值
（2）设
（1）知：面法量
题意知：
整理：
解：
线段长
44．（2020·北京市八中学高二期中）图1中棱中点折起位置图2连结
（Ⅰ）求证：面面
（Ⅱ）中点求直线面成角正弦值
（Ⅲ）线段否存点二面角余弦值？存求出值存请说明理
答案（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）存
试题解析：（Ⅰ）证：分中点．
．．
．
面．
面面 面．
（Ⅱ）解： 两两互相垂直．
坐标原点建立图示空间直角坐标系
题意．
．
设面法量
令．．
设直线面成角．
直线面成角正弦值．
（Ⅲ）解：假设线段存点二面角余弦值．
设
．
易面法量．
设面法量
令．
二面角余弦值
解．．
线段存点二面角余弦值．
45．（2020·青岛市黄岛区教育发展研究中心高二期中）图体中四边形菱形等边三角形面面
（1）证明：线段存点面面
（2）求二面角余弦值
（3）面求线段长度
答案（1）证明见解析（2）（3）
详解解：（1）图示：
取线段中点连接
均等边三角形
面
面
面面
线段存中点面面
（2）面面面面
面
两两垂直
轴建立图示空间直角坐标系
设面法量
：
令
设面法量
：
令
设二面角面角
二面角锐二面角
二面角余弦值
(3)设
面面法量
46．（2020·沙坪坝·重庆中高二期中）图1直角梯形ABCDBE折痕BCE折起点C达位置图2．
（1）求证：面面ABED
（2）求直线面成角正弦值．
（3）棱否存点P二面角面角？存求出线段长度存说明理．
答案（1）证明见解析（2）（3）存
详解（1）证明：图1中连结AE已知条件
∵
∴四边形ABCE菱形连结AC交BE点F
∴∵中
∴
图2中∵∴
题意知
∴面ABED面
∴面面ABED
（2）图D坐标原点DA分xy轴方z轴正方建立空间直角坐标系．已知点坐标
设面法量
令解
记直线面成角
．
（3）假设存设
∵面易面法量
设面PBE法量
取
解时．
47．（2020·浙江省杭州第二中学高二期中）已知四棱锥中底面梯形．
（1）中点求证：面
（2）求二面角正弦值．
答案（1）证明见解析（2）
详解解：（1）取中点连接
∵ 中点
∴ 中
∵
∴
∴ 四边形行四边形
∴
∵ 面面
∴ 面
（2）取中点连接
∵
∴
∴ 四边形行四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴ 中正弦定理：解
∴
∴ 中
中
∴
∴
∵
∴ 中
∴
∵
∴ 面
图建系
设解
∴
∴
设面法量
面法量
∴
∴
∴ 二面角正弦值
48．（2021·四川雅安中学高二期中（理））图四棱锥中底面边长2菱形正三角形面面线段中点线段
（1）线段中点时求证：面
（2）时求二面角正弦值
答案（1）证明见解析（2）
详解证明：（1）连结交点连结
底面菱形中点
∵中点∴
面面∴面
（2）∵正三角形中点∴
∵面面∴面
底面菱形线段中点
原点轴建立空间直角坐标系
设面法量
令
面面法量
二面角正弦值
49．（2018·海浦东新·华师二附中）果北车北京车站接聪明专家定会选择走四环．然城中间直穿诱考虑北京道路总正南正北方事实会真认样走抄路．城市中专家估算两点间距离时会直接测量两点间直线距离会考虑相距少街区．理想模型中假设条道路水者竖直着目标走（意绕远路）样走花费路程样．出租车学（taxicab geometry）谓出租车学十九世纪位真专家赫尔曼闵夫斯基创立．出租车学中点形序实数直线满足组成图形角度定义原样．直角坐标系意两点定义间种距离：请解决问题：
（1）定义：圆定点距离定值点组成图形求圆周点点距离均圆方程作出致图
（2）出租车学中两点距离相等点轨迹称线段垂直分线已知点
①写出线段垂直分线轨迹方程写出致图
②求证：三边垂直分线交点（该点称外心）求出外心
答案（1）（2）②证明略外心
详解（1）圆定点距离定值点组成图形
圆周点点距离均
圆方程：
（2）①题意知设两点距离相等点坐标
（ⅰ）时绝值符号：
整理显然时该方程解
时绝值符号：
整理：解
情况关系
（ⅱ）时绝值符号
整理
时绝值符号：
时绝值符号：舍
时绝值符号：舍
情况关系
（ⅲ）时绝值符号：
整理显然时该方程解
时绝值符号：解
综述两点距离相等坐标点轨迹方程线段垂直分线方程：时时时
②题意知
知点距离相等点坐标满足：
解
线段垂直分线方程
知点距离相等点坐标满足：
解：
线段垂直分线方程
线段垂直分线线段垂直分线唯交点坐标
（2）①知时
线段垂直分线点
三边垂直分线交点．
50．（2020·北京附中）已知四棱锥底面行四边形面直线分交点点直线中点直线面
（1）设试基底表示量
（2）证明四面体中少存顶点出发三条棱够组成三角形
（3）证明满足条件面点落某条长线段
答案（1）（2）证明见解析（3）证明见解析
详解（1）∵
∴
（2）妨设四面体长棱中
∴
少妨设
∴构成三角形
（3）设（1）知
∴
设
∴
面存实数：
∴
∴消元：解
时
时解
综
满足条件面点落某条长线段
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