决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品
专题09 二次函数综合性问题
考点1二次函数济利润问题
例1（2020·辽宁阳·中考真题）某公司销售种商品成件30元市场调查发现该商品日销售量y（件）销售单价x（元）次函数关系销售单价日销售量三组应数值表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出yx关系式_________________（2）求公司销售该商品获日利润
（3）销售段时间某种原该商品件成增加10元物价部门规定该商品销售单价超a元日销售量y（件）销售单价x（元）保持（1）中函数关系变情况该商品日销售利润1500元求a值．
答案（1）（2）销售单价75元时日利润2025元（3）70
分析
（1）根题中表格中数直接写出关系式
（2）根利润等件利润件数利配方法求值
（3）根题意列出关系式分类讨求值较结果
详解
（1）设解析式
代入解
yx关系式
答案
（2）
∴抛物线开口函数值
∴时
答：销售单价75元时日利润2025元．
（3）
时
解
∴两种情况
①时称轴左侧wx增增
∴时
②时范围
∴种情况成立．
点睛
该题考查关函数问题涉知识点次函数解析式求解二次函数应题解题程中注意正确找出等量关系解题关键属简单题目
变式11（2020·四川遂宁·中考真题）新学期开始时某校九年级班学增添教室绿色文化造温馨舒适学环境准备家植物种植基购买AB两种花苗．解购买A种花苗3盆B种花苗5盆需210元购买A种花苗4盆B种花苗10盆需380元．
（1）求AB两种花苗单价分少元？
（2）九年级班班委会商定决定购买AB两种花苗12盆进行搭配装扮教室．种植基销售员支持次活动该班学提供优惠：购买盆B种花苗B种花苗盆降价元请九年级班学预算次购买少准备少钱？准备少钱？
答案（1）AB两种花苗单价分20元30元（2）次购买少准备240元准备290元
分析
（1）设AB两种花苗单价分x元y元求解
（2）设购买B花苗x盆购买A花苗（12﹣x）盆设总费w元题意：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12）求解．
详解
解：（1）设AB两种花苗单价分x元y元解
答：AB两种花苗单价分20元30元
（2）设购买B花苗x盆购买A花苗（12﹣x）盆设总费w元
题意：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12）
∵1＜0．w值x＝5时w值265x＝12时w值216
次购买少准备216元准备265元．
点睛
题考查二次函数实际应根题意准确找等量关系建立函数模型解题关键
变式12（2020·辽宁盘锦·中考真题）某服装厂生产品种服装件成71元零售商服装厂次性批发品牌服装件时批发单价元间满足图示函数关系中批发件数10正整数倍．
（1）时函数关系式__________．
（2）某零售商服装厂次性批发品牌服装200件需支付少元？
（3）零售商服装厂次性批发品牌服装件服装厂利润元问：值时？值少？
答案（1） （2）18000元 （3）3800
分析
（1）两点（100100）（30080）代入次函数解析式利定系数法求解
（2）x200代入（1）求出y值求答案
（3）时求y值求y值作答．
详解
解：（1）100≤x≤300时设函数关系式ykx+b(k≠0)
点（100100）（30080）代入ykx+b (k≠0)
解
答案填：
（2）时
元
答：零售商次性批发200件需支付18000元
（3）时
抛物线开口
时增增
10正整数倍
时值3800
时增减
10正整数倍
时值3800
时
增增
时值3600
∴时值3800
点睛
题考查次函数二次函数应根题意列出函数表达式熟练运函数性质解决问题关键．
考点2二次函数图形问题
例2（2020·四川雅安·）图已知边长10正方形边动点（重合）连结延长线点点作垂线交角分线点．
（1）求证：
（2）求面积
（3）请直接写出值时面积．
答案（1）见解析（2）8（3）5
分析
（1）先判断出CGFG利角余角相等判断出∠BAE∠FEG进出△ABE∽△EGF出结
（2）先求出BE8进表示出EG2+FG△BAE∽△GEF出求出FG三角形面积公式出结
（3）（2）方法出S△ECF出结
详解
解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴∠DCG90°
∵CF分∠DCG
∴∠FCG∠DCG45°
∵∠G90°
∴∠GCF∠CFG45°
∴FGCG
∵四边形ABCD正方形EF⊥AE
∴∠B∠G∠AEF90°
∴∠BAE+∠AEB90°∠AEB+∠FEG90°
∴∠BAE∠FEG
∵∠B∠G90°
∴△BAE∽△GEF
（2）∵ABBC10CE2
∴BE8
∴FGCG
∴EGCE+CG2+FG
（1）知△BAE∽△GEF
∴
∴
∴FG8
∴S△ECFCE•FG×2×88
（3）设CExBE10x
∴EGCE+CGx+FG
（1）知△BAE∽△GEF
∴
∴
∴FG10x
∴S△ECF×CE×FG×x•（10x）
x5时S△ECF
∴EC5时面积
点睛
题相似形综合题考查正方形性质角分线相似三角形判定性质三角形面积公式判断出△BAE∽△GEF解题关键．
变式21（2020·山东日·中考真题）图某区块墙（墙长度限）矩形空ABCD美化环境总长100m篱笆围成四块矩形花圃（墙侧篱笆篱笆厚度计）．
（1）四块矩形花圃面积相等求证：AE＝3BE
（2）（1）条件设BC长度xm矩形区域ABCD面积ym2求yx间函数关系式写出变量x取值范围．
答案（1）见解析（2）见解析．
分析
（1）题意易AM＝2ME直接证
（2）（1）题意2AB+GH+3BC＝100设BC长度xm矩形区域ABCD面积ym2出函数关系式．
详解
解：（1）证明：∵矩形MEFN矩形EBCF面积相等
∴ME＝BEAM＝GH．
∵四块矩形花圃面积相等S矩形AMDND＝2S矩形MEFN
∴AM＝2ME
∴AE＝3BE
（2）∵篱笆总长100m
∴2AB+GH+3BC＝100
∴
设BC长度xm矩形区域ABCD面积ym2
∵
∴
解
∴．
点睛
题考查二次函数实际应关键根题意线段等量关系然列出函数关系式．
变式22（2020·广东深圳·中考真题）图1抛物线yax2+bx+3（a≠0）x轴交A（30）B（10）y轴交点C顶点D．
（1）求解抛物线解析式
（2）连接ADCDBC△OBC着x轴秒1单位长度速度左移点OBC应点分点设移时间t秒点O＇点A重合时停止移动．记四边形AOCD重叠部分面积S请直接写出S时间t函数解析式
（3）图2抛物线意点M（mn）直线l：作垂线垂足E试问该抛物线称轴否存点FMEMF？存请求F点坐标存请说明理．
答案（1）yx22x+3（2）（3）存．
分析
（1）运定系数法解答
（2）分0（3）设F点坐标(1t)点M（mn）进求ME然分通线段差勾股定理求MF长然等式化简求t．
详解
解：（1）A（30）B（10）代入抛物线解析式yax2+bx+3中：
解：
∴抛物线解析式yx22x+3
（2）∵yx22x+3
∴抛物细顶点坐标（14）
∵A(30)直线AD
设抛物线解析式ykx+b
解：
∴直线AD解析式y2x+6
AD时令y332x+6解x
①图示0
∴OCO＇C＇3O＇B＇OB1OB＇1t
∵O＇COC
∴△∽△OM
∴解：OM3(1t)
S S△O＇B＇C＇ S△OMB＇
②时完全四边形AOCD
③时图示G点作GH⊥设HGx
∵GHAB
∴∠HGK∠KAO
∵
∴
∴
∵直线AD解析式y2x+6
∴
∴
∴KO＇2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇ C＇K+AO＇
∴
∴
SS△O＇B＇C＇ S△C＇GK
∴
综：
（3）假设存设F点坐标(1t)点M（mn）
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
点睛
题属二次函数综合题考查二次函数解析式解直角三角形勾股定理分类讨思想存性问题中掌握二次函数性质分类讨思想解答题关键．
考点3二次函数抛物线形问题
例3（2020·山东青岛·中考真题）某公司生产型活动板房成425元．图①表示型活动板房面墙长方形抛物线构成长方形长宽抛物线高点距离．
（1）图①示直角坐标系抛物线表示求该抛物线函数表达式
（2）现型活动板房改造型活动板房．图②抛物线间区域加装扇长方形窗户点点抛物线窗户成50元．已知求型活动板房成少？（型活动板房成＝型活动板房成+扇窗户成）
（3）根市场调查单价650元销售（2）中型活动板房月售出100单价降低10元月售出20．公司月生产160型活动板房．考虑素公司销售单价（元）定少时月销售型活动板房获利润（元）？利润少？
答案（1）（2）500（3）n620时w19200元
分析
（1）根图形直角坐标系DE坐标代入求解
（2）根N点M点横坐标相求出N点坐标求出矩形FGMN面积求解
（3）根题意w关n二次函数根二次函数性质求解．
详解
（1）题知D（20）E（01）
代入
解
∴抛物线函数表达式
（2）题意知N点M点横坐标相x1代入y
∴N（1）
∴MNm
∴S四边形FGMNGM×MN2×
扇窗户价格×5075元
B型活动板成425+75500元
（3）根题意w(n500)（100+20×）2（n600）2+20000
∵月生产160
∴100+20×≤160
解n≥620
∵2＜0
∴n≥620时wn增减
∴n620时w19200元．
点睛
题考查二次函数综合运解题关键熟知定系数法二次函数图性质．
变式31（2020·浙江初三模拟）隧道设双行公路隧道高MN6米．图隧道截面示意图建立图示直角坐标系段抛物线矩形CDEF三条边围成矩形长DE8米宽CD2米．
（1）求该抛物线解析式
（2）保证安全求行驶车辆顶部隧道顶部少05米距离．行车道总宽度PQ（居中两边行道）6米辆高32米货运卡车（设长方形）右边行驶否安全？请写出判断程
（3）施工队计划隧道门口搭建矩形脚手架ABHGHG两点抛物线AB两点面DE设GH长n米脚手架三根木杆AGGHHB长度Ln值时L值少？
答案（1）yx2+4（2）安全通见解析（3）n4时L值值14
分析
（1）根题意函数图象设出抛物线解析式然根抛物线点F点M求该抛物线解析式
（2）先求出抛物线解析式根题意判断该隧道通车辆高高度便判断该车辆安全通．
（3）射出H坐标n表示出L利二次函数性质求解．
详解
解：（1）题意M（04）F（40）
设抛物线解析式yax2+4
F（40）代入yax2+4中a
∴抛物线解析式yx2+4
（2）x3y
+232532∴安全通
（3）GHn设H（）
∴GH+GA+BHn+（）×2+2×2
∴L
∵a＜0抛物线开口
∴n4时L值值14．
点睛
题考查二次函数实际应解题关键注意变量取值范围必须实际问题意义．
变式32（2020·河北初三模）座抛物线型拱桥正常水位时水面宽18米拱顶离水面距离9米建立图示面直角坐标系
（1）求抛物线解析式
（2）艘货船水面部分横断面矩形
①果限定矩形长12米船通拱桥矩形高超少米？
②点抛物线设值时求矩形高
答案（1）抛物线解析式yx2（2）①船通拱桥矩形高DE超5米②矩形CDEF高米
分析
（1）根题意设抛物线解析式yax2（a≠0）．已知坐标（99）代入解析式求a
（2）①已知CD12已知坐标代入函数关系式求解
②设DMa米EFCD2DM2a米DEFC9a2根LEF+DE+CF求L值时a值代入DE9a2问题解．
详解
解：（1）根题意设抛物线解析式：yax2
点Ｂ（99）代入：81a9
解：a
抛物线解析式yx2
（2）①x6时y×364
∵945
∴矩形高DE超5米船通拱桥船通拱桥矩形高DE超5米
②设DMa米EFCD2DM2a米
xa时ya2
∴DEFC9a2
L2a+2（9a2）a2+2a+18（a）2+
∴a时L取值矩形CDEF高米
点睛
题考查运定系数法求二次函数解析式二次函数应根已知条件出L函数关系式值情况解题关键．
1．（2020·安徽中考真题）图边长等边三角形边条直线点重合现着直线右移动直点重合时停止移动．程中设点移动距离两三角形重叠部分面积变化函数图致（ ）
A． B．
C． D．
答案A
分析
根图象出重叠部分三角形边长x根特殊角三角函数高出面积yx二次函数直重合面积固定右移动重叠部分边长变(4－x)时
详解
C点移动F点重叠部分三角形边长x等边三角形高面积yx··
B点移动F点重叠部分三角形边长(4－x)高面积
y(4－x)··
两三角形重合时面积正
二次函数图象性质判断答案A
选A
点睛
题考查三角形运动面积二次函数图性质关键通三角形面积公式结合二次函数图形出结
2．（2020·湖南长沙·中考真题）闻起臭吃起香臭豆腐长沙特色吃臭豆腐制作流程较复杂中进行加工煎炸臭豆腐时焦脆糊豆腐块数百分称食率特定条件食率p加工煎炸时间t（单位：分钟）似满足函数关系式：（abc常数）图纪录三次实验数根述函数关系实验数加工煎炸臭豆腐佳时间( )
A．350分钟 B．405分钟 C．375分钟 D．425分钟
答案C
分析
图中三坐标代入函数关系式解出ab利称轴公式求出．
详解
(308)(40．9)(506)代入
②－①③－②
⑤－④解a﹣02．
a﹣02．代入④b15．
称轴．
选C．
点睛
题考查二次函数三点式关键利定系数法求解题需求出ab出答案．
3．（2020·山西中考真题）竖直抛物体离面高度运动时间间关系似公式表示中物体抛出时离面高度物体抛出时速度．某球距面高处速度竖直抛出球达离面高度（ ）
A． B． C． D．
答案C
分析
代入利二次函数性质求出值出答案．
详解
解：题意：
代入
时
球达离面高度：
选：C
点睛
题考查二次函数性质应利二次函数称轴处取值解决题关键属基础题．
4．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面三孔呈抛物线形两孔形状完全相．水面刚淹没孔时孔水面宽度10米孔顶离水面15米水位降孔水面宽度14米时单孔水面宽度4米孔水面宽度20米单孔水面宽度（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
答案B
分析
根题意画出相应抛物线然孔抛物线解析式求出顶点A孔抛物线解析式x﹣10代入求解．
详解
解：图建立图示面直角坐标系题意MN4EF14BC10DO
设孔抛物线解析式yax2+
∵BC10
∴点B（﹣50）
∴0a×（﹣5）2+
∴a
∴孔抛物线解析式yx2+设点A（b0）设顶点A孔抛物线解析式ym（x﹣b）2
∵EF14
∴点E横坐标7
∴点E坐标（7）
∴m（x﹣b）2
∴x1+bx2+b
∴MN4
∴|+b（+b）|4
∴m
∴顶点A孔抛物线解析式y（x﹣b）2
∵孔水面宽度20米
∴x10时y
∴（x﹣b）2
∴x1+bx2+b
∴单孔水面宽度|（+b）（+b）|5（米）
选：B．
点睛
题考查二次函数应解答题关键明确题意利二次函数性质数形结合思想解答．
5．（2020·湖北初三模）图直角坐标系xOy中抛物线x轴相交OA两点点B抛物线点△AOB面积等8符合条件点B____．
答案3
分析
先根函数图原点求出c值进求出A点坐标根三角形面积公式求出高长度求出B点坐标．
详解
∵原点
∴c0
∴
令0
解x10x24
∴A（40）
∴OA4
∵S△AOBOA×h8
∴h4
令
解x12 x2 x3
B点数3
答案：3．
点睛
题考查二次函数综合解题关键求出A点坐标．
6．（2020·河北初三模拟）图块铁板余料高AD10块余料裁出矩形矩形顶点分边顶点边矩形面积_________．
答案25
分析
设PNb根行线定理判定相似三角形应边成例性质解二次函数配方成顶点式解题．
详解
设PNb
矩形面积25
答案：25
点睛
题考查二次函数值相似三角形判定性质配方法等知识重考点难度较易掌握相关知识解题关键．
7．（2020·吉林初三模）二次函数y＝2x2﹣4x+4图象图示称轴图象交点P点N图象异点P点PM⊥y轴MN⊥x轴＝_____．
答案2．
分析
根题目中函数解析式点P坐标然设出点M点N坐标然计算解答题．
详解
解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2
∴点P坐标（12）
设点M坐标（a2）点N坐标（a2a2﹣4a+4）
∴＝＝＝2
答案：2．
点睛
题考查二次函数问题解题关键求出点P左边设出点M点N坐标表达出．
8．（2020·安庆市第十四中学初三零模）图面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+3x+2y轴交点A点B抛物线顶点点C点A抛物线关称轴称两点点Dx轴运动四边形ABCD两条角线长度值_____．
答案
分析
先函数化顶点式顶点坐标称轴直线BD值点C点A抛物线两称点称轴直线C（32）AC＝3四边形ABCD两条角线长度AC+BD值．
详解
解：∵y＝﹣x2+3x+2＝
∴称轴直线
∴BD⊥x轴时BDBD＝
令x＝0y＝2
∵C点A抛物线关称轴称两点称轴直线
∴C（32）
∴AC＝3
四边形ABCD两条角线长度AC+BD值
答案．
点睛
题结合抛物线图象性质考查动点值问题熟练掌握抛物线图象性质找取值时动点位置解答关键
9．（2020·吉林长春·初三模）图直线y＝x+1抛物线y＝x2﹣4x+5交AB两点点Py轴动点△PAB周长时点P坐标_____．
答案（0）
分析
首先确定点A点B坐标然根轴称求△PAB周长时点P坐标．
详解
解： 解
∴点A坐标（12）点B坐标（45）
∴AB＝
作点A关y轴称点A′连接A′By轴交P时△PAB周长
∵点A′坐标（﹣12）点B坐标（45）
∴设直线A′B函数解析式y＝kx+b
∴直线A′B函数解析式y＝
∴x＝0时y＝
点P坐标（0）
答案：（0）．
点睛
题考查函数图象相交轴称综合应作出A关y轴称点A′连接A′B交y轴点P求出P点坐标解题思路关键．
10．（2020·浙江湖州·初三月考）图假设篱笆（虚线部分）长度8m围成矩形ABCD面积_____m．
答案16
分析
首先设围成矩形长宽利面积公式写出矩形面积表达式配方写成顶点式然根二次函数性质答案．
详解
解：设围成矩形长宽矩形面积：
．
二次项系数
时值值16．
答案：16．
点睛
题考查二次函数图形问题中应熟练掌握二次函数性质数形结合解题关键．
11．（2020·吉林长春·初三模拟）图面直角坐标系中正方形OABC顶点A轴正半轴顶点C轴正半轴抛物线BC两点该抛物线低点边BC距离__________．
答案
分析
设正方形边长aC点坐标（0a）根题意a表示出抛物线低点坐标求抛物线低点边BC距离．
详解
解：设正方形边长aC点坐标（0a）代入抛物线方程：
解：
抛物线低点坐标：（1k）
BCx轴行根C点坐标直线BC方程：xa
求距离：
答案 ．
点睛
题考查二次函数综合应解题中学会符号表示未知量解题关键．
12．（2020·山东初三模）面直角坐标系中已知By轴动点AB边构造点Cx轴BC中点PM值______．
答案
解析
分析
图作AH⊥y轴HCE⊥AHE．四边形CEHO矩形OHCE4△AHB∽△CEA推出推出AE2BH设BHxAE2x推出B（04﹣x）C（2+2x0）BMCM推出M（1+x）PM解决问题．
详解
图作AH⊥y轴HCE⊥AHE．四边形CEHO矩形OHCE4．
∵∠BAC∠AHB∠AEC90°∴∠ABH+∠HAB90°∠HAB+∠EAC90°∴∠ABH∠EAC∴△AHB∽△CEA∴∴∴AE2BH设BHxAE2x∴OCHE2+2xOB4﹣x∴B（04﹣x）C（2+2x0）．
∵BMCM∴M（1+x）．
∵P（10）∴PM∴x时PM值值．
答案：．
点睛
题考查相似三角形判定性质两点间距离公式二次函数应等知识解题关键学会添加辅助线构造相似三角形解决问题学会构建二次函数利二次函数性质解决值问题属中考常考题型．
13．（2020·江苏初三二模）图中点边点点线段动点连接斜边方作等腰连接点出发运动点停止程中面积值等_____________________
答案
分析
设①时作先证明进四边形正方形设xy表示出PBOH然运三角形面积公式二次函数求值②时理（1）根二次函数性质x4时值．然较确定值．
详解
解：设
①图1时作
∴∠OHP∠OGA90°
∵四边形AOPC中∠C90°∠AOP90°
∴∠CAB+∠OPC180°
∵∠BPO+∠OPC180°
∴∠OPH∠OAG
∵△AOG△POH
∠OHP∠OGA∠OPH∠OAGAOOP
∴
∴OHOG
∵∠OHP∠OGA∠C90°
∴四边形正方形
设
∴
∴
时
②图2时理
x4时
综时．
点睛
题考查全等三角形判定性质正方形判定性质三角形面积二次根式求值分类讨思想证四边形正方形解答题关键．
14．（2020·德惠市第九中学初三模拟）研究抛物线性质时直角三角板直角顶点置面直角坐标系原点O两直角边该抛物线交AB两点（图）三角板绕点O旋转意角度时发现交点AB连线段总固定点该定点坐标_____．
答案
分析
题通作垂直辅助线假设AB点坐标继利定系数法求解直线AB截距项证明△AEO△OFB相似利相似性质求解截距项解题．
详解
作AE⊥x轴BF⊥x轴图示：
设中mn均正数
设直线AB解析式：
AB点代入：
解该方程组：．
∵∠AOB90°
∴∠AOE+∠BOF90°
∵∠BOF+∠OBF90°
∴∠AOE∠OBF
∵∠AEO∠OFB90°
∴
∴
∵
∴
．
综k取值直线AB恒点．
填：．
点睛
题考查二次函数三角形综合问题难点已知信息少需假设未知量表示线段点信息化抽象形象相似全等证明直角互余角互换常作解题工具．
15．（2020·陕西中考真题）图抛物线y＝x2+bx+c点（312）（﹣2﹣3）两坐标轴交点分ABC称轴直线l．
（1）求该抛物线表达式
（2）P该抛物线点点P作l垂线垂足DEl点．PDE顶点三角形△AOC全等求满足条件点P点E坐标．
答案（1）y＝x2+2x﹣3（2）点P坐标（25）（﹣45）点E坐标（﹣12）（﹣18）．
分析
（1）根定系数法点（312）（﹣2﹣3）代入抛物线表达式求解
（2）△AOC中OA＝OC＝3题意：PDE顶点三角形△AOC全等知PD＝DE＝3分点P抛物线称轴右侧点P抛物线称轴左侧两种情况求解．
详解
解：（1）点（312）（﹣2﹣3）代入抛物线表达式
解
抛物线表达式：y＝x2+2x﹣3
（2）抛物线称轴x＝﹣1令y＝0x＝﹣31令x＝0y＝﹣3
点AB坐标分（﹣30）（10）点C（0﹣3）
OA＝OC＝3
∵∠PDE＝∠AOC＝90°
∴PD＝DE＝3时PDE顶点三角形△AOC全等
设点P（mn）点P抛物线称轴右侧时m﹣（﹣1）＝3解：m＝2
n＝22+2×2﹣3＝5点P（25）
点E（﹣12）（﹣18）
点P抛物线称轴左侧时抛物线称性点P（﹣45）时点E坐标
综点P坐标（25）（﹣45）点E坐标（﹣12）（﹣18）．
点睛
题考查二次函数运涉三角形全等掌握数形结合思想解答关键中（2）需分类求解避免遗漏．
16．（2020·湖北武汉·初三模）某坦克部队需拱桥（图示）拱桥轮廓抛物线形拱高OC＝6m跨度AB＝20m5根支柱：AGMNCDEFBH相邻两支柱距离均5m．
（1）AB中点原点AB直线x轴支柱CD直线y轴建立面直角坐标系求抛物线解析式
（2）支柱米造价2万元求5根支柱总造价
（3）拱桥面双行车道（正中间条宽2m隔离带）中条行车道坦克行进方现辆坦克长4m宽2m高3m行驶速度24kmh坦克允许排行驶坦克前左右距离忽略计试问120辆该型号坦克刚开始进入全部通座长1000m拱桥隧道需短时间少分钟？
答案（1）y＝﹣x2+6（2）70万元（3）29分
分析
（1）根题目知ABC坐标设出抛物线解析式代入求解．
（2）x＝5代入求出支柱长度然算出总造价．
（3）先求出坦克方队长然算出速度求通隧道时间．
详解
（1）设y＝ax2+cC（06）B（100）代入
．
∴y＝﹣x2+6．
（2）x＝5时y＝﹣×52+6＝
∴EF＝10﹣＝CD＝10﹣6＝4
支柱总造价2（2×+2×10+4）＝70（万元）．
（3）∵坦克高3米令y＝3时﹣x2+6＝3
解：x＝±5
∵7＜5＜8坦克宽2米
∴排3辆坦克行驶时坦克方阵长120÷3×4＝160（米）
坦克行驶速度24kmh＝400米分
∴通隧道短时间＝29（分）．
点睛
题考查定系数法求函数表达式二次函数实际应解决题关键熟练掌握根题目条件选取相应表达式然运定系数法求函数解析式解决实际问题中正确理解题意结合二次函数性质加解决
17．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）图已知二次函数轴交两点（点位点左侧）轴交点已知面积6．
（1）求值
（2）抛物线否存点．存请求出坐标存请说明理．
答案（1）（2）存点坐标．
分析
（1）根求出ABC坐标面积6关a方程求解
（2）根点坐标±3分代入解析式求解．
详解
（1）∵
令
∴
令
解
图象知：
∴
∵
∴
解：（舍）
（2）∵
∴
∵
∴点坐标±3
代入
解
代入
解
∴点坐标．
点睛
题考查二次函数图性质解题关键熟知定系数法应．
18．（2020·蒙古呼浩特·中考真题）已知某厂时千克速度匀速生产某种产品（生产条件求）时获利润元．
（1）某时获利润设y元发现时出结：时获利润少180元什出该结学数学知识帮进行分析说明
（2）生产该产品2时获利润1800元速度进行生产1天（8时计算）生产该产品少千克
（3）生产680千克该产品获利润问：该厂应该选取种生产速度？求利润．
答案（1）见解析（2）24千克（3）该厂应该选取时千克生产速度利润207400元
分析
（1）y成正例函数反例函数分贝根两函数增减性说明
（2）生产该产品2时获利润1800元速度进行生产×21800解出t值
（3）根题意表示出生产680千克该产品获利润y680t·求出y值时t值
详解
解：（1）次函数反例函数增减性质出结
令yt1时y180
∵t增减3tt增减
∴3t+值t增减
∴yt增减
t1时y取
∴结正确
（2）题意：×21800
整理：
解：t5（舍）
时千克速度匀速生产产品
1天（8时计算）生产该产品8÷24千克
（3）生产680千克该产品获利润：y680t·
整理：y
t时y207400元
该厂应该选取时千克生产速度利润207400元
点睛
题考查函数模型建立涉次函数反例函数二次函数二次函数值理解题意确定函数模型解题关键
19．（2020·湖北中考真题）某企业接生产批设备订单求超12天完成．种设备出厂价1200元台该企业第天生产22台设备第二天开始天前天生产2台．干天台设备生产成会增加设第x天（x整数）生产成m（元台）mx关系图示．
（1）第x天生产种设备y台yx函数关系式______x取值范围______
（2）第天时该企业天销售利润？利润少？
（3）求天销售利润低10800元天数．
答案（1）
（2）第6天时该企业利润12800元
（3）7天
分析
（1）根题意确定次函数解析式实际问题中x取值范围实际问题意义
（2）求出天利润天数函数解析式确定值
（3）根（2）中函数解析式列出等式方程解答．
详解
（1）根题意yx解析式：（）
（2）设天天销售利润w元根题意
1≤x≤6时
w（1200800）（2x+20）800x+8000
∵800＞0∴wx增增
∴x6时w值800×6+800012800．
6＜x≤12时
易mx关系式：m50x+500
w[1200（50x+500）]×（2x+20）
100x2+400x+14000100（x2）2+14400．
∵时图象开口称轴右侧wx增减天数x整数
∴x7时w值11900元
∵12800＞11900
∴x6时ww值12800元
答：该厂第6天获利润利润12800元．
（3）（2）
1≤x≤6时
解：x＜35
第13天天利润低10800元
6＜x≤12时
解x＜4（舍）x＞8
第912天天利润低10800元
天销售利润低10800元天数7天．
点睛
题考查次函数二次函数应解题关键理解题意利定系数法确定函数解析式分类讨．
20．（2020·辽宁铁岭·中考真题）图抛物线轴相交点点轴相交点作直线．
（1）求抛物线解析式
（2）直线方抛物线存点求点坐标
（3）（2）条件点坐标点抛物线点直线顶点四边形行四边形时请直接写出点坐标．
答案（1）（2）点坐标（3）
分析
（1）AC点坐标分代入抛物线中联立求ac值求出抛物线解析式
（2）点作轴交抛物线点点作交抛物线点设助求t值求D点坐标
（3）先求出直线BC解析式设分DF边DF角线两种情况讨表示出M点坐标代入抛物线中求n值出N点坐标．
详解
解：（1）：抛物线点
解
∴抛物线解析式
（2）点作轴交抛物线点
点作交抛物线点
点作点
设点横坐标
∵点轴交点
解
坐标
解（舍）
∴点坐标：
点坐标
（3）设直线BC解析式：
C（03）B（40）分代入
解
∴直线BC解析式：
设
①FD行四边形边时
图N点M点左侧时
整理
解：
时
理N点M点右侧时
解
时
①FD行四边形角线时
整理
该方程解．
综述：．
点睛
题考查二次函数综合分考查求二次函数解析式相似三角形性质二次函数行四边形问题．（1）中直接代入点坐标难度（2）中正确作辅助线构造相似三角形解题关键（3）中分类讨解题关键需注意行四边形边行相等助点结合图象表示M点坐标．
21．（2020·湖北州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间部分药店趁机口罩涨价调查发现某药店某月（30天计）前5天某型号口罩销售价格（元）销量（）第天关系表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元）
2
3
4
5
6
销量（）
70
75
80
85
90
物价部门发现种乱象统规定药店该型号口罩销售价格高1元该药店第6天起该型号口罩价格调整1元．统计该药店第6天起销量（）第天关系（整数）已知该型号口罩进货价格05元．
（1）直接写出该药店该月前5天销售价格销量间函数关系式
（2）求该药店该月销售该型号口罩获利润（元）函数关系式判断第天利润
（3）物价部门进步加强市场整顿药店月销售该型号口罩程中获正常利润外非法部分处倍罚款罚款金额低2000元取值范围______．
答案（1）x整数x整数（2）第5天时利润（3）．
分析
（1）根表格数px次函数qx次函数分求出解析式
（2）根题意求出利润wx关系式结合二次函数性质求出利润值．
（3）先求出前5天赚利润然列出等式求出m取值范围．
详解
（1）观察表格发现px次函数qx次函数
设pk1x+b1
x1p2x2p3分代入：
解：
验证px+1符合题意
x整数
设qk2x+b2
x1q70x2q75分代入：
解：
验证符合题意
x整数
（2）x整数时
x整数时
x整数时售价销量均x增增
时（元）
x整数时
时（元）
知第5天时利润．
（3）根题意
前5天销售数量：（）
∴前5天赚利润：
（元）
∴
∴
∴取值范围．
点睛
题考查二次函数性质应次函数应等式应考查二次函数基性质外实际问题转化求函数值问题解决实际问题．
22．（2020·湖北恩施·中考真题）图抛物线点顶点称轴轴相交点线段中点．
（1）求抛物线解析式
（2）线段意点轴动点连接点中心逆时针旋转记点应点点应点．直线抛物线交点时求点坐标．
（3）（2）旋转变换（图）．
①求证：．
②点（1）求抛物线时求线段长．
答案（1）（2）（0）（3）①见解析②
分析
（1）根点C抛物线已知称轴条件求出解析式
（2）根抛物线解析式求出点B已知点C坐标证明△ABC等腰直角三角形根旋转性质推出直线EFx轴夹角45°设直线EF解析式yx+b设点M坐标（m0）推出点F（m6m）直线抛物线交点联立两解析式关x元二次方程根根判式0关m方程解方程点M坐标．注意两种情况均需讨．
（3）①点P作PG⊥x轴点G点E作EH⊥x轴点H设点M坐标（m0）旋转性质证明△EHM≌△MGP点E坐标（m15m）根两点距离公式证明注意分两种情况均需讨②E（m15m）代入抛物线解析式解出m值进求出CM长．
详解
（1）∵点抛物线
∴
∵称轴
∴
解
∴
∴二次函数解析式
（2）点M点C左侧时图：
∵抛物线解析式称轴
∴点A（20）顶点B（24）
∴ABAC4
∴△ABC等腰直角三角形
∴∠145°
∵逆时针旋转△MEF
∴FMCM∠2∠145°
设点M坐标（m0）
∴点F（m6m）
∵∠245°
∴直线EFx轴夹角45°
∴设直线EF解析式yx+b
点F（m6m）代入：6mm+b解：b62m
直线EF解析式yx+62m
∵直线抛物线交点
∴
整理：
∴Δb24ac0解m
点M坐标（0）．
点M点C右侧时图：
图知直线EFx轴夹角45°直线抛物线交点．
综点M坐标（0）．
（3）①点M点C左侧时图点P作PG⊥x轴点G点E作EH⊥x轴点H
∵（2）知∠BCA45°
∴PGGC1
∴点G（50）
设点M坐标（m0）
∵逆时针旋转△MEF
∴EMPM
∵∠HEM+∠EMH∠GMP+∠EMH 90°
∴∠HEM∠GMP
△EHM△MGP中
∴△EHM≌△MGP（AAS）
∴EHMG5mHMPG1
∴点H（m10）
∴点E坐标（m15m）
∴EA
∵线段中点B（24）C（60）
∴点D（42）
∴ED
∴EA ED．
点M点C右侧时图：
理点E坐标（m15m）EA ED．
②点（1）求抛物线时
E（m15m）代入整理：m210m+130
解：mm
∴．
点睛
题二次函数综合题熟练掌握二次函数图象性质旋转性质分类讨思想解题关键．
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专题09 二次函数综合性问题
考点1二次函数济利润问题
例1（2020·辽宁阳·中考真题）某公司销售种商品成件30元市场调查发现该商品日销售量y（件）销售单价x（元）次函数关系销售单价日销售量三组应数值表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）直接写出yx关系式_________________（2）求公司销售该商品获日利润
（3）销售段时间某种原该商品件成增加10元物价部门规定该商品销售单价超a元日销售量y（件）销售单价x（元）保持（1）中函数关系变情况该商品日销售利润1500元求a值．
答案（1）（2）销售单价75元时日利润2025元（3）70
分析
（1）根题中表格中数直接写出关系式
（2）根利润等件利润件数利配方法求值
（3）根题意列出关系式分类讨求值较结果
详解
（1）设解析式
代入解
yx关系式
答案
（2）
∴抛物线开口函数值
∴时
答：销售单价75元时日利润2025元．
（3）
时
解
∴两种情况
①时称轴左侧wx增增
∴时
②时范围
∴种情况成立．
点睛
该题考查关函数问题涉知识点次函数解析式求解二次函数应题解题程中注意正确找出等量关系解题关键属简单题目
变式11（2020·四川遂宁·中考真题）新学期开始时某校九年级班学增添教室绿色文化造温馨舒适学环境准备家植物种植基购买AB两种花苗．解购买A种花苗3盆B种花苗5盆需210元购买A种花苗4盆B种花苗10盆需380元．
（1）求AB两种花苗单价分少元？
（2）九年级班班委会商定决定购买AB两种花苗12盆进行搭配装扮教室．种植基销售员支持次活动该班学提供优惠：购买盆B种花苗B种花苗盆降价元请九年级班学预算次购买少准备少钱？准备少钱？
答案（1）AB两种花苗单价分20元30元（2）次购买少准备240元准备290元
分析
（1）设AB两种花苗单价分x元y元求解
（2）设购买B花苗x盆购买A花苗（12﹣x）盆设总费w元题意：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12）求解．
详解
解：（1）设AB两种花苗单价分x元y元解
答：AB两种花苗单价分20元30元
（2）设购买B花苗x盆购买A花苗（12﹣x）盆设总费w元
题意：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12）
∵1＜0．w值x＝5时w值265x＝12时w值216
次购买少准备216元准备265元．
点睛
题考查二次函数实际应根题意准确找等量关系建立函数模型解题关键
变式12（2020·辽宁盘锦·中考真题）某服装厂生产品种服装件成71元零售商服装厂次性批发品牌服装件时批发单价元间满足图示函数关系中批发件数10正整数倍．
（1）时函数关系式__________．
（2）某零售商服装厂次性批发品牌服装200件需支付少元？
（3）零售商服装厂次性批发品牌服装件服装厂利润元问：值时？值少？
答案（1） （2）18000元 （3）3800
分析
（1）两点（100100）（30080）代入次函数解析式利定系数法求解
（2）x200代入（1）求出y值求答案
（3）时求y值求y值作答．
详解
解：（1）100≤x≤300时设函数关系式ykx+b(k≠0)
点（100100）（30080）代入ykx+b (k≠0)
解
答案填：
（2）时
元
答：零售商次性批发200件需支付18000元
（3）时
抛物线开口
时增增
10正整数倍
时值3800
时增减
10正整数倍
时值3800
时
增增
时值3600
∴时值3800
点睛
题考查次函数二次函数应根题意列出函数表达式熟练运函数性质解决问题关键．
考点2二次函数图形问题
例2（2020·四川雅安·）图已知边长10正方形边动点（重合）连结延长线点点作垂线交角分线点．
（1）求证：
（2）求面积
（3）请直接写出值时面积．
答案（1）见解析（2）8（3）5
分析
（1）先判断出CGFG利角余角相等判断出∠BAE∠FEG进出△ABE∽△EGF出结
（2）先求出BE8进表示出EG2+FG△BAE∽△GEF出求出FG三角形面积公式出结
（3）（2）方法出S△ECF出结
详解
解：（1）∵四边形ABCD正方形
∴∠DCG90°
∵CF分∠DCG
∴∠FCG∠DCG45°
∵∠G90°
∴∠GCF∠CFG45°
∴FGCG
∵四边形ABCD正方形EF⊥AE
∴∠B∠G∠AEF90°
∴∠BAE+∠AEB90°∠AEB+∠FEG90°
∴∠BAE∠FEG
∵∠B∠G90°
∴△BAE∽△GEF
（2）∵ABBC10CE2
∴BE8
∴FGCG
∴EGCE+CG2+FG
（1）知△BAE∽△GEF
∴
∴
∴FG8
∴S△ECFCE•FG×2×88
（3）设CExBE10x
∴EGCE+CGx+FG
（1）知△BAE∽△GEF
∴
∴
∴FG10x
∴S△ECF×CE×FG×x•（10x）
x5时S△ECF
∴EC5时面积
点睛
题相似形综合题考查正方形性质角分线相似三角形判定性质三角形面积公式判断出△BAE∽△GEF解题关键．
变式21（2020·山东日·中考真题）图某区块墙（墙长度限）矩形空ABCD美化环境总长100m篱笆围成四块矩形花圃（墙侧篱笆篱笆厚度计）．
（1）四块矩形花圃面积相等求证：AE＝3BE
（2）（1）条件设BC长度xm矩形区域ABCD面积ym2求yx间函数关系式写出变量x取值范围．
答案（1）见解析（2）见解析．
分析
（1）题意易AM＝2ME直接证
（2）（1）题意2AB+GH+3BC＝100设BC长度xm矩形区域ABCD面积ym2出函数关系式．
详解
解：（1）证明：∵矩形MEFN矩形EBCF面积相等
∴ME＝BEAM＝GH．
∵四块矩形花圃面积相等S矩形AMDND＝2S矩形MEFN
∴AM＝2ME
∴AE＝3BE
（2）∵篱笆总长100m
∴2AB+GH+3BC＝100
∴
设BC长度xm矩形区域ABCD面积ym2
∵
∴
解
∴．
点睛
题考查二次函数实际应关键根题意线段等量关系然列出函数关系式．
变式22（2020·广东深圳·中考真题）图1抛物线yax2+bx+3（a≠0）x轴交A（30）B（10）y轴交点C顶点D．
（1）求解抛物线解析式
（2）连接ADCDBC△OBC着x轴秒1单位长度速度左移点OBC应点分点设移时间t秒点O＇点A重合时停止移动．记四边形AOCD重叠部分面积S请直接写出S时间t函数解析式
（3）图2抛物线意点M（mn）直线l：作垂线垂足E试问该抛物线称轴否存点FMEMF？存请求F点坐标存请说明理．
答案（1）yx22x+3（2）（3）存．
分析
（1）运定系数法解答
（2）分0
详解
解：（1）A（30）B（10）代入抛物线解析式yax2+bx+3中：
解：
∴抛物线解析式yx22x+3
（2）∵yx22x+3
∴抛物细顶点坐标（14）
∵A(30)直线AD
设抛物线解析式ykx+b
解：
∴直线AD解析式y2x+6
AD时令y332x+6解x
①图示0
∴OCO＇C＇3O＇B＇OB1OB＇1t
∵O＇COC
∴△∽△OM
∴解：OM3(1t)
S S△O＇B＇C＇ S△OMB＇
②时完全四边形AOCD
③时图示G点作GH⊥设HGx
∵GHAB
∴∠HGK∠KAO
∵
∴
∴
∵直线AD解析式y2x+6
∴
∴
∴KO＇2AO＇
∴
∵
∴
∵O＇C＇ C＇K+AO＇
∴
∴
SS△O＇B＇C＇ S△C＇GK
∴
综：
（3）假设存设F点坐标(1t)点M（mn）
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
点睛
题属二次函数综合题考查二次函数解析式解直角三角形勾股定理分类讨思想存性问题中掌握二次函数性质分类讨思想解答题关键．
考点3二次函数抛物线形问题
例3（2020·山东青岛·中考真题）某公司生产型活动板房成425元．图①表示型活动板房面墙长方形抛物线构成长方形长宽抛物线高点距离．
（1）图①示直角坐标系抛物线表示求该抛物线函数表达式
（2）现型活动板房改造型活动板房．图②抛物线间区域加装扇长方形窗户点点抛物线窗户成50元．已知求型活动板房成少？（型活动板房成＝型活动板房成+扇窗户成）
（3）根市场调查单价650元销售（2）中型活动板房月售出100单价降低10元月售出20．公司月生产160型活动板房．考虑素公司销售单价（元）定少时月销售型活动板房获利润（元）？利润少？
答案（1）（2）500（3）n620时w19200元
分析
（1）根图形直角坐标系DE坐标代入求解
（2）根N点M点横坐标相求出N点坐标求出矩形FGMN面积求解
（3）根题意w关n二次函数根二次函数性质求解．
详解
（1）题知D（20）E（01）
代入
解
∴抛物线函数表达式
（2）题意知N点M点横坐标相x1代入y
∴N（1）
∴MNm
∴S四边形FGMNGM×MN2×
扇窗户价格×5075元
B型活动板成425+75500元
（3）根题意w(n500)（100+20×）2（n600）2+20000
∵月生产160
∴100+20×≤160
解n≥620
∵2＜0
∴n≥620时wn增减
∴n620时w19200元．
点睛
题考查二次函数综合运解题关键熟知定系数法二次函数图性质．
变式31（2020·浙江初三模拟）隧道设双行公路隧道高MN6米．图隧道截面示意图建立图示直角坐标系段抛物线矩形CDEF三条边围成矩形长DE8米宽CD2米．
（1）求该抛物线解析式
（2）保证安全求行驶车辆顶部隧道顶部少05米距离．行车道总宽度PQ（居中两边行道）6米辆高32米货运卡车（设长方形）右边行驶否安全？请写出判断程
（3）施工队计划隧道门口搭建矩形脚手架ABHGHG两点抛物线AB两点面DE设GH长n米脚手架三根木杆AGGHHB长度Ln值时L值少？
答案（1）yx2+4（2）安全通见解析（3）n4时L值值14
分析
（1）根题意函数图象设出抛物线解析式然根抛物线点F点M求该抛物线解析式
（2）先求出抛物线解析式根题意判断该隧道通车辆高高度便判断该车辆安全通．
（3）射出H坐标n表示出L利二次函数性质求解．
详解
解：（1）题意M（04）F（40）
设抛物线解析式yax2+4
F（40）代入yax2+4中a
∴抛物线解析式yx2+4
（2）x3y
+232532∴安全通
（3）GHn设H（）
∴GH+GA+BHn+（）×2+2×2
∴L
∵a＜0抛物线开口
∴n4时L值值14．
点睛
题考查二次函数实际应解题关键注意变量取值范围必须实际问题意义．
变式32（2020·河北初三模）座抛物线型拱桥正常水位时水面宽18米拱顶离水面距离9米建立图示面直角坐标系
（1）求抛物线解析式
（2）艘货船水面部分横断面矩形
①果限定矩形长12米船通拱桥矩形高超少米？
②点抛物线设值时求矩形高
答案（1）抛物线解析式yx2（2）①船通拱桥矩形高DE超5米②矩形CDEF高米
分析
（1）根题意设抛物线解析式yax2（a≠0）．已知坐标（99）代入解析式求a
（2）①已知CD12已知坐标代入函数关系式求解
②设DMa米EFCD2DM2a米DEFC9a2根LEF+DE+CF求L值时a值代入DE9a2问题解．
详解
解：（1）根题意设抛物线解析式：yax2
点Ｂ（99）代入：81a9
解：a
抛物线解析式yx2
（2）①x6时y×364
∵945
∴矩形高DE超5米船通拱桥船通拱桥矩形高DE超5米
②设DMa米EFCD2DM2a米
xa时ya2
∴DEFC9a2
L2a+2（9a2）a2+2a+18（a）2+
∴a时L取值矩形CDEF高米
点睛
题考查运定系数法求二次函数解析式二次函数应根已知条件出L函数关系式值情况解题关键．
1．（2020·安徽中考真题）图边长等边三角形边条直线点重合现着直线右移动直点重合时停止移动．程中设点移动距离两三角形重叠部分面积变化函数图致（ ）
A． B．
C． D．
答案A
分析
根图象出重叠部分三角形边长x根特殊角三角函数高出面积yx二次函数直重合面积固定右移动重叠部分边长变(4－x)时
详解
C点移动F点重叠部分三角形边长x等边三角形高面积yx··
B点移动F点重叠部分三角形边长(4－x)高面积
y(4－x)··
两三角形重合时面积正
二次函数图象性质判断答案A
选A
点睛
题考查三角形运动面积二次函数图性质关键通三角形面积公式结合二次函数图形出结
2．（2020·湖南长沙·中考真题）闻起臭吃起香臭豆腐长沙特色吃臭豆腐制作流程较复杂中进行加工煎炸臭豆腐时焦脆糊豆腐块数百分称食率特定条件食率p加工煎炸时间t（单位：分钟）似满足函数关系式：（abc常数）图纪录三次实验数根述函数关系实验数加工煎炸臭豆腐佳时间( )
A．350分钟 B．405分钟 C．375分钟 D．425分钟
答案C
分析
图中三坐标代入函数关系式解出ab利称轴公式求出．
详解
(308)(40．9)(506)代入
②－①③－②
⑤－④解a﹣02．
a﹣02．代入④b15．
称轴．
选C．
点睛
题考查二次函数三点式关键利定系数法求解题需求出ab出答案．
3．（2020·山西中考真题）竖直抛物体离面高度运动时间间关系似公式表示中物体抛出时离面高度物体抛出时速度．某球距面高处速度竖直抛出球达离面高度（ ）
A． B． C． D．
答案C
分析
代入利二次函数性质求出值出答案．
详解
解：题意：
代入
时
球达离面高度：
选：C
点睛
题考查二次函数性质应利二次函数称轴处取值解决题关键属基础题．
4．（2020·四川绵阳·中考真题）三孔桥横截面三孔呈抛物线形两孔形状完全相．水面刚淹没孔时孔水面宽度10米孔顶离水面15米水位降孔水面宽度14米时单孔水面宽度4米孔水面宽度20米单孔水面宽度（ ）
A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
答案B
分析
根题意画出相应抛物线然孔抛物线解析式求出顶点A孔抛物线解析式x﹣10代入求解．
详解
解：图建立图示面直角坐标系题意MN4EF14BC10DO
设孔抛物线解析式yax2+
∵BC10
∴点B（﹣50）
∴0a×（﹣5）2+
∴a
∴孔抛物线解析式yx2+设点A（b0）设顶点A孔抛物线解析式ym（x﹣b）2
∵EF14
∴点E横坐标7
∴点E坐标（7）
∴m（x﹣b）2
∴x1+bx2+b
∴MN4
∴|+b（+b）|4
∴m
∴顶点A孔抛物线解析式y（x﹣b）2
∵孔水面宽度20米
∴x10时y
∴（x﹣b）2
∴x1+bx2+b
∴单孔水面宽度|（+b）（+b）|5（米）
选：B．
点睛
题考查二次函数应解答题关键明确题意利二次函数性质数形结合思想解答．
5．（2020·湖北初三模）图直角坐标系xOy中抛物线x轴相交OA两点点B抛物线点△AOB面积等8符合条件点B____．
答案3
分析
先根函数图原点求出c值进求出A点坐标根三角形面积公式求出高长度求出B点坐标．
详解
∵原点
∴c0
∴
令0
解x10x24
∴A（40）
∴OA4
∵S△AOBOA×h8
∴h4
令
解x12 x2 x3
B点数3
答案：3．
点睛
题考查二次函数综合解题关键求出A点坐标．
6．（2020·河北初三模拟）图块铁板余料高AD10块余料裁出矩形矩形顶点分边顶点边矩形面积_________．
答案25
分析
设PNb根行线定理判定相似三角形应边成例性质解二次函数配方成顶点式解题．
详解
设PNb
矩形面积25
答案：25
点睛
题考查二次函数值相似三角形判定性质配方法等知识重考点难度较易掌握相关知识解题关键．
7．（2020·吉林初三模）二次函数y＝2x2﹣4x+4图象图示称轴图象交点P点N图象异点P点PM⊥y轴MN⊥x轴＝_____．
答案2．
分析
根题目中函数解析式点P坐标然设出点M点N坐标然计算解答题．
详解
解：∵二次函数y＝2x2﹣4x+4＝2（x﹣1）2+2
∴点P坐标（12）
设点M坐标（a2）点N坐标（a2a2﹣4a+4）
∴＝＝＝2
答案：2．
点睛
题考查二次函数问题解题关键求出点P左边设出点M点N坐标表达出．
8．（2020·安庆市第十四中学初三零模）图面直角坐标系中抛物线y＝﹣x2+3x+2y轴交点A点B抛物线顶点点C点A抛物线关称轴称两点点Dx轴运动四边形ABCD两条角线长度值_____．
答案
分析
先函数化顶点式顶点坐标称轴直线BD值点C点A抛物线两称点称轴直线C（32）AC＝3四边形ABCD两条角线长度AC+BD值．
详解
解：∵y＝﹣x2+3x+2＝
∴称轴直线
∴BD⊥x轴时BDBD＝
令x＝0y＝2
∵C点A抛物线关称轴称两点称轴直线
∴C（32）
∴AC＝3
四边形ABCD两条角线长度AC+BD值
答案．
点睛
题结合抛物线图象性质考查动点值问题熟练掌握抛物线图象性质找取值时动点位置解答关键
9．（2020·吉林长春·初三模）图直线y＝x+1抛物线y＝x2﹣4x+5交AB两点点Py轴动点△PAB周长时点P坐标_____．
答案（0）
分析
首先确定点A点B坐标然根轴称求△PAB周长时点P坐标．
详解
解： 解
∴点A坐标（12）点B坐标（45）
∴AB＝
作点A关y轴称点A′连接A′By轴交P时△PAB周长
∵点A′坐标（﹣12）点B坐标（45）
∴设直线A′B函数解析式y＝kx+b
∴直线A′B函数解析式y＝
∴x＝0时y＝
点P坐标（0）
答案：（0）．
点睛
题考查函数图象相交轴称综合应作出A关y轴称点A′连接A′B交y轴点P求出P点坐标解题思路关键．
10．（2020·浙江湖州·初三月考）图假设篱笆（虚线部分）长度8m围成矩形ABCD面积_____m．
答案16
分析
首先设围成矩形长宽利面积公式写出矩形面积表达式配方写成顶点式然根二次函数性质答案．
详解
解：设围成矩形长宽矩形面积：
．
二次项系数
时值值16．
答案：16．
点睛
题考查二次函数图形问题中应熟练掌握二次函数性质数形结合解题关键．
11．（2020·吉林长春·初三模拟）图面直角坐标系中正方形OABC顶点A轴正半轴顶点C轴正半轴抛物线BC两点该抛物线低点边BC距离__________．
答案
分析
设正方形边长aC点坐标（0a）根题意a表示出抛物线低点坐标求抛物线低点边BC距离．
详解
解：设正方形边长aC点坐标（0a）代入抛物线方程：
解：
抛物线低点坐标：（1k）
BCx轴行根C点坐标直线BC方程：xa
求距离：
答案 ．
点睛
题考查二次函数综合应解题中学会符号表示未知量解题关键．
12．（2020·山东初三模）面直角坐标系中已知By轴动点AB边构造点Cx轴BC中点PM值______．
答案
解析
分析
图作AH⊥y轴HCE⊥AHE．四边形CEHO矩形OHCE4△AHB∽△CEA推出推出AE2BH设BHxAE2x推出B（04﹣x）C（2+2x0）BMCM推出M（1+x）PM解决问题．
详解
图作AH⊥y轴HCE⊥AHE．四边形CEHO矩形OHCE4．
∵∠BAC∠AHB∠AEC90°∴∠ABH+∠HAB90°∠HAB+∠EAC90°∴∠ABH∠EAC∴△AHB∽△CEA∴∴∴AE2BH设BHxAE2x∴OCHE2+2xOB4﹣x∴B（04﹣x）C（2+2x0）．
∵BMCM∴M（1+x）．
∵P（10）∴PM∴x时PM值值．
答案：．
点睛
题考查相似三角形判定性质两点间距离公式二次函数应等知识解题关键学会添加辅助线构造相似三角形解决问题学会构建二次函数利二次函数性质解决值问题属中考常考题型．
13．（2020·江苏初三二模）图中点边点点线段动点连接斜边方作等腰连接点出发运动点停止程中面积值等_____________________
答案
分析
设①时作先证明进四边形正方形设xy表示出PBOH然运三角形面积公式二次函数求值②时理（1）根二次函数性质x4时值．然较确定值．
详解
解：设
①图1时作
∴∠OHP∠OGA90°
∵四边形AOPC中∠C90°∠AOP90°
∴∠CAB+∠OPC180°
∵∠BPO+∠OPC180°
∴∠OPH∠OAG
∵△AOG△POH
∠OHP∠OGA∠OPH∠OAGAOOP
∴
∴OHOG
∵∠OHP∠OGA∠C90°
∴四边形正方形
设
∴
∴
时
②图2时理
x4时
综时．
点睛
题考查全等三角形判定性质正方形判定性质三角形面积二次根式求值分类讨思想证四边形正方形解答题关键．
14．（2020·德惠市第九中学初三模拟）研究抛物线性质时直角三角板直角顶点置面直角坐标系原点O两直角边该抛物线交AB两点（图）三角板绕点O旋转意角度时发现交点AB连线段总固定点该定点坐标_____．
答案
分析
题通作垂直辅助线假设AB点坐标继利定系数法求解直线AB截距项证明△AEO△OFB相似利相似性质求解截距项解题．
详解
作AE⊥x轴BF⊥x轴图示：
设中mn均正数
设直线AB解析式：
AB点代入：
解该方程组：．
∵∠AOB90°
∴∠AOE+∠BOF90°
∵∠BOF+∠OBF90°
∴∠AOE∠OBF
∵∠AEO∠OFB90°
∴
∴
∵
∴
．
综k取值直线AB恒点．
填：．
点睛
题考查二次函数三角形综合问题难点已知信息少需假设未知量表示线段点信息化抽象形象相似全等证明直角互余角互换常作解题工具．
15．（2020·陕西中考真题）图抛物线y＝x2+bx+c点（312）（﹣2﹣3）两坐标轴交点分ABC称轴直线l．
（1）求该抛物线表达式
（2）P该抛物线点点P作l垂线垂足DEl点．PDE顶点三角形△AOC全等求满足条件点P点E坐标．
答案（1）y＝x2+2x﹣3（2）点P坐标（25）（﹣45）点E坐标（﹣12）（﹣18）．
分析
（1）根定系数法点（312）（﹣2﹣3）代入抛物线表达式求解
（2）△AOC中OA＝OC＝3题意：PDE顶点三角形△AOC全等知PD＝DE＝3分点P抛物线称轴右侧点P抛物线称轴左侧两种情况求解．
详解
解：（1）点（312）（﹣2﹣3）代入抛物线表达式
解
抛物线表达式：y＝x2+2x﹣3
（2）抛物线称轴x＝﹣1令y＝0x＝﹣31令x＝0y＝﹣3
点AB坐标分（﹣30）（10）点C（0﹣3）
OA＝OC＝3
∵∠PDE＝∠AOC＝90°
∴PD＝DE＝3时PDE顶点三角形△AOC全等
设点P（mn）点P抛物线称轴右侧时m﹣（﹣1）＝3解：m＝2
n＝22+2×2﹣3＝5点P（25）
点E（﹣12）（﹣18）
点P抛物线称轴左侧时抛物线称性点P（﹣45）时点E坐标
综点P坐标（25）（﹣45）点E坐标（﹣12）（﹣18）．
点睛
题考查二次函数运涉三角形全等掌握数形结合思想解答关键中（2）需分类求解避免遗漏．
16．（2020·湖北武汉·初三模）某坦克部队需拱桥（图示）拱桥轮廓抛物线形拱高OC＝6m跨度AB＝20m5根支柱：AGMNCDEFBH相邻两支柱距离均5m．
（1）AB中点原点AB直线x轴支柱CD直线y轴建立面直角坐标系求抛物线解析式
（2）支柱米造价2万元求5根支柱总造价
（3）拱桥面双行车道（正中间条宽2m隔离带）中条行车道坦克行进方现辆坦克长4m宽2m高3m行驶速度24kmh坦克允许排行驶坦克前左右距离忽略计试问120辆该型号坦克刚开始进入全部通座长1000m拱桥隧道需短时间少分钟？
答案（1）y＝﹣x2+6（2）70万元（3）29分
分析
（1）根题目知ABC坐标设出抛物线解析式代入求解．
（2）x＝5代入求出支柱长度然算出总造价．
（3）先求出坦克方队长然算出速度求通隧道时间．
详解
（1）设y＝ax2+cC（06）B（100）代入
．
∴y＝﹣x2+6．
（2）x＝5时y＝﹣×52+6＝
∴EF＝10﹣＝CD＝10﹣6＝4
支柱总造价2（2×+2×10+4）＝70（万元）．
（3）∵坦克高3米令y＝3时﹣x2+6＝3
解：x＝±5
∵7＜5＜8坦克宽2米
∴排3辆坦克行驶时坦克方阵长120÷3×4＝160（米）
坦克行驶速度24kmh＝400米分
∴通隧道短时间＝29（分）．
点睛
题考查定系数法求函数表达式二次函数实际应解决题关键熟练掌握根题目条件选取相应表达式然运定系数法求函数解析式解决实际问题中正确理解题意结合二次函数性质加解决
17．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）图已知二次函数轴交两点（点位点左侧）轴交点已知面积6．
（1）求值
（2）抛物线否存点．存请求出坐标存请说明理．
答案（1）（2）存点坐标．
分析
（1）根求出ABC坐标面积6关a方程求解
（2）根点坐标±3分代入解析式求解．
详解
（1）∵
令
∴
令
解
图象知：
∴
∵
∴
解：（舍）
（2）∵
∴
∵
∴点坐标±3
代入
解
代入
解
∴点坐标．
点睛
题考查二次函数图性质解题关键熟知定系数法应．
18．（2020·蒙古呼浩特·中考真题）已知某厂时千克速度匀速生产某种产品（生产条件求）时获利润元．
（1）某时获利润设y元发现时出结：时获利润少180元什出该结学数学知识帮进行分析说明
（2）生产该产品2时获利润1800元速度进行生产1天（8时计算）生产该产品少千克
（3）生产680千克该产品获利润问：该厂应该选取种生产速度？求利润．
答案（1）见解析（2）24千克（3）该厂应该选取时千克生产速度利润207400元
分析
（1）y成正例函数反例函数分贝根两函数增减性说明
（2）生产该产品2时获利润1800元速度进行生产×21800解出t值
（3）根题意表示出生产680千克该产品获利润y680t·求出y值时t值
详解
解：（1）次函数反例函数增减性质出结
令yt1时y180
∵t增减3tt增减
∴3t+值t增减
∴yt增减
t1时y取
∴结正确
（2）题意：×21800
整理：
解：t5（舍）
时千克速度匀速生产产品
1天（8时计算）生产该产品8÷24千克
（3）生产680千克该产品获利润：y680t·
整理：y
t时y207400元
该厂应该选取时千克生产速度利润207400元
点睛
题考查函数模型建立涉次函数反例函数二次函数二次函数值理解题意确定函数模型解题关键
19．（2020·湖北中考真题）某企业接生产批设备订单求超12天完成．种设备出厂价1200元台该企业第天生产22台设备第二天开始天前天生产2台．干天台设备生产成会增加设第x天（x整数）生产成m（元台）mx关系图示．
（1）第x天生产种设备y台yx函数关系式______x取值范围______
（2）第天时该企业天销售利润？利润少？
（3）求天销售利润低10800元天数．
答案（1）
（2）第6天时该企业利润12800元
（3）7天
分析
（1）根题意确定次函数解析式实际问题中x取值范围实际问题意义
（2）求出天利润天数函数解析式确定值
（3）根（2）中函数解析式列出等式方程解答．
详解
（1）根题意yx解析式：（）
（2）设天天销售利润w元根题意
1≤x≤6时
w（1200800）（2x+20）800x+8000
∵800＞0∴wx增增
∴x6时w值800×6+800012800．
6＜x≤12时
易mx关系式：m50x+500
w[1200（50x+500）]×（2x+20）
100x2+400x+14000100（x2）2+14400．
∵时图象开口称轴右侧wx增减天数x整数
∴x7时w值11900元
∵12800＞11900
∴x6时ww值12800元
答：该厂第6天获利润利润12800元．
（3）（2）
1≤x≤6时
解：x＜35
第13天天利润低10800元
6＜x≤12时
解x＜4（舍）x＞8
第912天天利润低10800元
天销售利润低10800元天数7天．
点睛
题考查次函数二次函数应解题关键理解题意利定系数法确定函数解析式分类讨．
20．（2020·辽宁铁岭·中考真题）图抛物线轴相交点点轴相交点作直线．
（1）求抛物线解析式
（2）直线方抛物线存点求点坐标
（3）（2）条件点坐标点抛物线点直线顶点四边形行四边形时请直接写出点坐标．
答案（1）（2）点坐标（3）
分析
（1）AC点坐标分代入抛物线中联立求ac值求出抛物线解析式
（2）点作轴交抛物线点点作交抛物线点设助求t值求D点坐标
（3）先求出直线BC解析式设分DF边DF角线两种情况讨表示出M点坐标代入抛物线中求n值出N点坐标．
详解
解：（1）：抛物线点
解
∴抛物线解析式
（2）点作轴交抛物线点
点作交抛物线点
点作点
设点横坐标
∵点轴交点
解
坐标
解（舍）
∴点坐标：
点坐标
（3）设直线BC解析式：
C（03）B（40）分代入
解
∴直线BC解析式：
设
①FD行四边形边时
图N点M点左侧时
整理
解：
时
理N点M点右侧时
解
时
①FD行四边形角线时
整理
该方程解．
综述：．
点睛
题考查二次函数综合分考查求二次函数解析式相似三角形性质二次函数行四边形问题．（1）中直接代入点坐标难度（2）中正确作辅助线构造相似三角形解题关键（3）中分类讨解题关键需注意行四边形边行相等助点结合图象表示M点坐标．
21．（2020·湖北州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间部分药店趁机口罩涨价调查发现某药店某月（30天计）前5天某型号口罩销售价格（元）销量（）第天关系表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元）
2
3
4
5
6
销量（）
70
75
80
85
90
物价部门发现种乱象统规定药店该型号口罩销售价格高1元该药店第6天起该型号口罩价格调整1元．统计该药店第6天起销量（）第天关系（整数）已知该型号口罩进货价格05元．
（1）直接写出该药店该月前5天销售价格销量间函数关系式
（2）求该药店该月销售该型号口罩获利润（元）函数关系式判断第天利润
（3）物价部门进步加强市场整顿药店月销售该型号口罩程中获正常利润外非法部分处倍罚款罚款金额低2000元取值范围______．
答案（1）x整数x整数（2）第5天时利润（3）．
分析
（1）根表格数px次函数qx次函数分求出解析式
（2）根题意求出利润wx关系式结合二次函数性质求出利润值．
（3）先求出前5天赚利润然列出等式求出m取值范围．
详解
（1）观察表格发现px次函数qx次函数
设pk1x+b1
x1p2x2p3分代入：
解：
验证px+1符合题意
x整数
设qk2x+b2
x1q70x2q75分代入：
解：
验证符合题意
x整数
（2）x整数时
x整数时
x整数时售价销量均x增增
时（元）
x整数时
时（元）
知第5天时利润．
（3）根题意
前5天销售数量：（）
∴前5天赚利润：
（元）
∴
∴
∴取值范围．
点睛
题考查二次函数性质应次函数应等式应考查二次函数基性质外实际问题转化求函数值问题解决实际问题．
22．（2020·湖北恩施·中考真题）图抛物线点顶点称轴轴相交点线段中点．
（1）求抛物线解析式
（2）线段意点轴动点连接点中心逆时针旋转记点应点点应点．直线抛物线交点时求点坐标．
（3）（2）旋转变换（图）．
①求证：．
②点（1）求抛物线时求线段长．
答案（1）（2）（0）（3）①见解析②
分析
（1）根点C抛物线已知称轴条件求出解析式
（2）根抛物线解析式求出点B已知点C坐标证明△ABC等腰直角三角形根旋转性质推出直线EFx轴夹角45°设直线EF解析式yx+b设点M坐标（m0）推出点F（m6m）直线抛物线交点联立两解析式关x元二次方程根根判式0关m方程解方程点M坐标．注意两种情况均需讨．
（3）①点P作PG⊥x轴点G点E作EH⊥x轴点H设点M坐标（m0）旋转性质证明△EHM≌△MGP点E坐标（m15m）根两点距离公式证明注意分两种情况均需讨②E（m15m）代入抛物线解析式解出m值进求出CM长．
详解
（1）∵点抛物线
∴
∵称轴
∴
解
∴
∴二次函数解析式
（2）点M点C左侧时图：
∵抛物线解析式称轴
∴点A（20）顶点B（24）
∴ABAC4
∴△ABC等腰直角三角形
∴∠145°
∵逆时针旋转△MEF
∴FMCM∠2∠145°
设点M坐标（m0）
∴点F（m6m）
∵∠245°
∴直线EFx轴夹角45°
∴设直线EF解析式yx+b
点F（m6m）代入：6mm+b解：b62m
直线EF解析式yx+62m
∵直线抛物线交点
∴
整理：
∴Δb24ac0解m
点M坐标（0）．
点M点C右侧时图：
图知直线EFx轴夹角45°直线抛物线交点．
综点M坐标（0）．
（3）①点M点C左侧时图点P作PG⊥x轴点G点E作EH⊥x轴点H
∵（2）知∠BCA45°
∴PGGC1
∴点G（50）
设点M坐标（m0）
∵逆时针旋转△MEF
∴EMPM
∵∠HEM+∠EMH∠GMP+∠EMH 90°
∴∠HEM∠GMP
△EHM△MGP中
∴△EHM≌△MGP（AAS）
∴EHMG5mHMPG1
∴点H（m10）
∴点E坐标（m15m）
∴EA
∵线段中点B（24）C（60）
∴点D（42）
∴ED
∴EA ED．
点M点C右侧时图：
理点E坐标（m15m）EA ED．
②点（1）求抛物线时
E（m15m）代入整理：m210m+130
解：mm
∴．
点睛
题二次函数综合题熟练掌握二次函数图象性质旋转性质分类讨思想解题关键．
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