专题05 轨迹方程求法
突破满分数学秒杀技巧答题模板：
1动点轨迹问题解题策略般种：
（1） 直译法：般步骤：
①建系建立适坐标系
②设点设轨迹点P(xy)
③列式列出动点P满足关系式
④代换条件式特点选距离公式斜率公式等转化xy方程式化简
⑤证明证明求方程符合条件动点轨迹方程
(2)定义法：先根条件出动点轨迹某种已知曲线曲线定义直接写出动点轨迹方程
(3)代入法(相关点法)：动点P(xy)赖动点Q(x0y0)变化变化Q(x0y0)某已知曲线先xy代数式表示x0y0x0y0代入已知曲线求轨迹方程
(4)参数法：动点P(xy)坐标间关系易直接找没相关动点时考虑xy均中间变量(参数)表示参数方程消参数普通方程．
2解轨迹问题注意：
（1）求点轨迹求轨迹方程求求轨迹时应先求轨迹方程然根方程说明轨迹形状位置等
（2）验证曲线点否满足方程方程解坐标点否曲线补曲线满足方程解点掉满足方程解曲线点
考点精选例题精析：
定义法：
果动点P运动规律合已知某种曲线（圆椭圆双曲线抛物线）定义先设出轨迹方程根已知条件定方程中常数轨迹方程
例1 已知中边分次构成等差数列求顶点轨迹方程
解析：右图直线轴线段中点原点建立直角坐标系 题意构成等差数列（两定点距离等定长—椭圆）轨迹椭圆左半部分椭圆中轨迹方程
例2已知AB两定点动点MAB距离常数λ求点M轨迹方程注明轨迹什曲线
解析 建立坐标系图示设|AB|2aA(－a0）B(a0)
设M(xy）轨迹意点
题设λ坐标代入λ化简
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a20
(1)λ1时|MA||MB|时点M轨迹方程x0点M轨迹直线(y轴)
(2)λ≠1时点M轨迹方程x2+y2+x+a20 点M轨迹(－0）圆心半径圆
例32016高考新课标1卷设圆圆心A直线l点B（10）x轴重合l交圆ACD两点B作AC行线交AD点E
（I）证明定值写出点E轨迹方程
（II）设点E轨迹曲线C1直线l交C1MN两点Bl垂直直线圆A交PQ两点求四边形MPNQ面积取值范围
点垂直直线：距离
四边形面积
轴垂直时四边形面积取值范围
轴垂直时方程四边形面积12
综四边形面积取值范围
直接法：
果动点P运动规律否合熟知某曲线定义难判断点P满足等量关系易建立先表示出点P满足等量关系点P坐标（xy）表示该等量关系式轨迹方程
例4已知直角坐标面点Q（20）圆C：动点M圆C切线长等常数（图）求动点M轨迹方程说明表示什曲线．
解析设M（xy）直线MN切圆CN．整理动点M轨迹方程．
方程化表示点x轴垂直条直线
λ≠1方程化 表示圆心半径圆．
例52017课标II理设O坐标原点动点M椭圆C：M作x轴垂线垂足N点P满足
(1) 求点P轨迹方程
(2)设点Q直线证明：点P垂直OQ直线lC左焦点F
点P轨迹方程
（2）题意知设
（1）知
点P存唯直线垂直OQ点P垂直OQ直线C左焦点F
参数法：
果采直译法求轨迹方程难奏效寻求引发动点P运动某量t量作参变数分建立P点坐标xy该参数t函数关系x＝f（t）
y＝g（t）进通消参化轨迹普通方程F（xy）＝0
例6抛物线（）顶点作两条互相垂直弦求弦中点轨迹方程
解析设直线斜率直线斜率直线OA方程解理
中点坐标公式消点轨迹方程
例7设点AB抛物线 y24px(p＞0)原点外两动点已知OA⊥OBOM⊥AB求点M轨迹方程说明表示什曲线
解析解法 设A(x1y1)B(x2y2)M(xy) (x≠0)
直线AB方程xmy+a
OM⊥ABm－
y24pxxmy+a消xy2－4pmy－4pa0
y1y2－4pa x1x2
OA⊥OBx1x2 －y1y2
xmy+4pm－代入x2+y2－4px0(x≠0)
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
解法二 设OA方程代入y24px
OB方程代入y24px
∴AB方程定点
OM⊥ABMON直径圆（O点外）
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
解法三 设M(xy) (x≠0)OA方程代入y24px
OB方程代入y24px
OM⊥ABMOA直径圆 ……①
OB直径圆 ……②（O点外）
① +② x2+y2－4px0(x≠0)
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
例8[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（I）线段中点证明
（II）面积面积两倍求中点轨迹方程
题设（舍）
设满足条件中点
轴垂直时
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轴垂直时重合求轨迹方程 12分
代入法（相关点法）：
果动点P运动外某点P＇运动引发该点运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程）设出P（xy）（xy）表示出相关点P＇坐标然P＇坐标代入已知曲线方程动点P轨迹方程
例9图示已知P(40)圆x2+y236点AB圆两动点满足∠APB90°求矩形APBQ顶点Q轨迹方程
解析设AB中点R坐标(xy)Rt△ABP中|AR||PR|
R弦AB中点垂径定理 Rt△OAR中|AR|2|AO|2－|OR|236－(x2+y2)
|AR||PR|
(x－4)2+y236－(x2+y2)x2+y2－4x－100
点R圆R圆运动时Q点求轨迹运动
设Q(xy)R(x1y1)RPQ中点x1
代入方程x2+y2－4x－100－100
整理 x2+y256求轨迹方程
例10图双曲线点引直线垂线垂足求线段中点轨迹方程
解析设直线
① ②
联解①②点双曲线化简整理：动点轨迹方程
例11双曲线动点曲线两焦点求重心轨迹方程
解析设点坐标
∴已知双曲线方程中∴
∴已知双曲线两焦点
∵存∴
三角形重心坐标公式 ∵∴
已知点双曲线面结果代入已知曲线方程
求重心轨迹方程：
交轨法：
求动点轨迹时时会出现求两动曲线交点轨迹问题种问题通常通解方程组出交点（含参数）坐标消参数求求轨迹方程（直接消两方程参数直接消参数轨迹方程）该法常参数法
例12
右图垂直轴直线交双曲线两点双曲线左右顶点求直线交点轨迹方程指出轨迹形状
解析设
直线方程①
直线方程②
①x②③
代入③化简点轨迹方程
时点轨迹原点圆心半径圆
时点轨迹椭圆
例13抛物线顶点作互相垂直两弦OAOB求抛物线顶点O直线AB射影M轨迹
解析点AB抛物线设A（B（kOA kOBOA垂直OBkOA kOB 1yAyB 16p2 AB方程求（yA+yB）y4pxyAyB0 yAyB 16p2代入AB方程（yA+yB）y4px+16p2 0 ①
OM方程 ②
①②消yA+yB
点M轨迹方程轨迹圆心半径圆点（00）
达标检测：
1设椭圆中心原点O焦点F（01）长轴短轴长度t．
（1）求椭圆方程
（2）设原点斜率t直线椭圆y轴右边部分交点Q点P该直线t变化时求点P轨迹方程说明轨迹什图形．
解析（1）设求椭圆方程题意解 椭圆方程．
(2)设点解方程组
中t＞1．消t点P轨迹方程．轨迹抛物线直线右侧部分抛物线直线侧部分．
2．（2021·江苏高二专题练）已知点直线设长线段直线l移动（图示）求直线交点M轨迹方程．
答案
分析
题设条件PAM三点线QBM三点线．设AB两点坐标次利三点线导出相应关系式中解出ab求xy满足方程交点M轨迹方程．
详解
解：图示∵点AB直线设点ABM坐标分中．
时三点线
解出a①
三点线
解出b．②
条件．∴．③
①②③式．
整理①．④
时两直线交点M点点重合点P点Q坐标满足方程④．
总④式点M轨迹方程．
④式改写成．
∴轨迹图形双曲线中心点焦点直线．
3．（2021·全国高二课时练）求两动直线交点轨迹方程．
答案
分析
设点利两直线定点两直线斜率关系建立等式求轨迹方程
详解
令
直线斜率直线斜率．
易知定点定点．
令交点存
整理
交点轨迹方程．
答案：
4．（2021·梅河口市第五中学高二开学考试）已知面直角坐标系动点点距离点点距离倍．
（1）求点轨迹方程：
（2）点点关点称求两点间距离值
（3）点直线点轨迹相交两点否存直线取值存求出时方程存请说明理．
答案（1）（2）14（3）存．
分析
（1）已知列关方程化简求点轨迹方程
（2）设点点关点称点坐标坐标代入（1）中轨迹方程整理点轨迹方程两点间距离值
（3）题意知斜率定存设直线斜率联立直线圆方程判式0求范围求出直线距离代入三角形面积公式利配方法求值值直线方程．
详解
解：（1）已知．
（2）设点点关点称
点坐标
点圆运动
点轨迹方程
：
（3）题意知斜率定存设直线斜率
：
联立方程：
直线点．
点直线距离
时取值时
直线方程．
5．（2021·宁波市北仑中学）图已知直线面动点点P作l垂线垂足点Q．
（1）求动点P轨迹C方程
（2）点F直线交轨迹CAB两点交直线l点M
①已知求值
②求值．
答案（1）（2）①②
分析
（1）设出点坐标直线作直线垂线垂足点根构造出关方程化简求曲线方程
（2）①点直线交轨迹两点交直线点设出直线点斜式方程联立直线方程利设求思想结合元二次方程根系数关系易求值．
②根面量数量积性质结合基等式进行求解
详解
（1）设点
化简曲线方程
（2）直线垂直轴轴定点
设直线方程
设联立方程组
消
利应坐标相等整理
②：知：
仅时取等号时取等号
点睛
关键点睛：结合基等式利面量数量积运算性质解题关键
6．（2021·安徽省怀远县第中学高二月考（理））已知椭圆中心坐标原点两焦点分点椭圆点直线抛物线交两点抛物线点处切线分交点．
（1）求椭圆方程
（2）求点轨迹方程
（3）否存满足点？存指出样点（必求出点坐标）存说明理．
答案（1）（2）（3）存两．
分析
（1）利椭圆定义求值进步求值出椭圆标准方程
（2）设点利导数求出直线方程点坐标代入直线方程出两等式结合等式结构出直线方程点坐标代入直线方程出点轨迹方程
（3）分析点轨迹直线椭圆位置关系出结
详解
（1）设椭圆方程
椭圆定义
椭圆方程
（2）设点
求导
抛物线点处切线方程
直线方程理直线方程
直线公点
点坐标满足方程
点直线唯直线方程
点直线点轨迹方程
（3）点椭圆直线
直线椭圆点直线椭圆交两点．
满足条件点两．
点睛
方法点睛：求二次曲线切点弦直线方程方法：
（1）设出两切点坐标写出曲线两切点处切线方程
（2）两切点公点代入两切线方程通说明两切点坐标满足某直线方程出切点弦方程
7．（2021·沙坪坝·重庆中高三月考）点直线抛物线交PQ两点
（1）求线段PQ中点B轨迹方程
（2）抛物线C焦点F求直线l斜率取值范围
答案（1）（2）
分析
（1）设代入抛物线方程中根中点坐标公式求线段PQ中点B轨迹方程
（2）设直线抛物线联立出根系数关系运量夹角运算公式表示根余弦函数单调性建立等式解直线l斜率范围
详解
解：（1）设代入
线段PQ中点B轨迹方程
（2）设直线抛物线联立
直线l斜率
点睛
方法点睛：(1)解答直线抛物线题目时时常两曲线方程联立消 ()建立元二次方程然助根系数关系结合题设条件建立关参变量等量关系(2)涉直线方程设法时务必考虑全面忽略直线斜率存等特殊情形．时直线x轴点直线设成横截式
8．（2021·全国高三专题练（理））设动点直线射影分点已知中坐标原点
（1）求动点轨迹方程
（2）直线点作轨迹两条切线(切点)求证：直线定点
答案（1）（2）见详解
分析
（1）利直接法求轨迹方程设代入条件化简解
（2）利导数意义求切线斜率设切线方程联立切点坐标点直线代入代入直线方程解
详解
（1）设
条件
整理点轨方程
（2）（1）知求导
设
切线方程
①
理切线方程②
联立①②解点坐标
点直线
直线斜率
直线方程：
代入
直线定点
9．（2021·安徽省舒城中学高三（理））已知点M圆x轴负半轴交点点M作圆C弦弦中点恰落y轴．
（1）求点N轨迹E方程
（2）点动直线l轨迹E交AB两点线段取点D满足证明：点D总定直线．
答案（1）（2）证明见解析．
分析
（1）解法：题意知设意点表示出弦中点恰落轴代入
点轨迹方程．
解法二：设弦中点表示出量垂径定理轨迹方程
（2）证明：设直线方程．抛物线方程联立出根系数关系．根量线性运算出点定直线．
详解
（1）解法：题意知设意点
弦中点恰落轴
整理
点轨迹方程．
解法二：设弦中点
轴负半轴．
垂径定理．
（2）证明：设直线方程．
．
化简
化简
．
点定直线时直线抛物线交点题意符．
点定直线．
点睛
方法点睛：(1)解答直线抛物线题目时时常两曲线方程联立消 ()建立元二次方程然助根系数关系结合题设条件建立关参变量等量关系(2)涉直线方程设法时务必考虑全面忽略直线斜率存等特殊情形．时直线x轴点直线设成横截式
10．（2021·全国高三专题练（理））直角坐标系xOy中动圆P圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切圆P直线x＝﹣1相切记动圆圆心P轨迹曲线C
（1）求曲线C轨迹方程
（2）设定点S（﹣20）动直线l曲线C交AB两点试问：曲线C否存点M（AB两点相异）直线MAMB斜率存时直线MAMB斜率定值？存求出点M坐标存请说明理
答案（1）（2）点
分析
（1）设圆心圆半径根题意联立消求出曲线C轨迹方程
（2）假设存曲线点满足条件设联立直线曲线C轨迹方程代入式方程组解求点坐标．
详解
（1）设圆心圆半径动圆圆外切 ①动圆直线相切②联立①②消．
曲线轨迹方程
（2）假设存曲线点满足条件设
③
显然动直线斜率存等零设
消
代入③令常数
整理④
④式意恒成立
曲线存点满足题意
点睛
题第问求轨迹方程直接法求出第二问解题关键根曲线形式设联立关系设进整理成关方程根方程恒成立方程组求点坐标．
11．（2021·全国高三专题练（理））直角坐标系中动点M定点距离y轴距离．
（1）求动点M轨迹方程
（2）时记动点M轨迹曲线C原点斜率零直线l交曲线C点P（异原点O）点P作圆切线交C点Q证明：定值．
答案（1）曲线M轨迹方程（2）证明见解析．
分析
（1）设出点坐标根题意列出满足方程化简方程求轨迹方程
（2）设出直线斜率分接虑直线斜率否存直线斜率存时计算出坐标求解出值直线斜率存时设出直线方程根直线圆相切关系式根联立思想韦达定理形式通计算出定值
详解
（1）设题意：
两边方：
时化简
时
曲线M轨迹方程
（2）法1：题意知设直线斜率分
直线斜率存时方程
解．
直线斜率存时设方程题意知
直线圆相切．
联立方程组元二次方程
设
根系数关系知
综知定值2．
法2：题意知设直线斜率分
题意知直线斜率0设方程
直线圆相切．
联立方程组元二次方程．
设
根系数关系知．
．
定值2．
点睛
关键点点睛：解答题第二问关键通联立思想坐标满足关系通相切关系应参数间等量关系助坐标斜率差变形韦达定理关形式达判断否定值目
12．（2021·四川南充·高三（理））已知动圆定点轴截弦长．
（1）求动圆圆心轨迹方程
（2）轨迹点作轨迹弦证明：直线定点求出定点坐标．
答案（1）（2）证明见解析直线定点．
分析
（1）设动圆圆心轴时轨迹方程轴时原点重合轨迹方程
（2）设直线方程．联立直线抛物线方程韦达定理直线定点．
详解
解：（1）设动圆圆心题知
轴时作交中点．
化简
轴时动圆定点轴截弦长原点重合点满足方程
综动圆圆心轨迹方程
（2）
设直线方程．
联立
．
．
．
恒成立
直线方程
直线定点．
点睛
方法点睛：证明直线定点般两种方法（1）特殊探求般证明：先考虑动直线曲线特殊情况找出定点位置然证明该定点该直线该曲线（定点坐标直线曲线方程等式恒成立）（2）分离参数法：般根需选定参数结合已知条件求出直线曲线方程分离参数等式（般关二元次关系式）述原理方程组求该定点
13．（2021·全国高三专题练（理））线段长等两端点分轴轴滑动点线段点轨迹曲线．
（1）求曲线方程
（2）点作斜率动直线交曲线两点曲线左顶点直线斜率分求证：定值求出该定值．
答案（1）（2）证明见解析定值
分析
（1）设点根面量坐标运算出代入等式化简出曲线方程
（2）直线方程曲线方程联立列出韦达定理直线斜率公式结合韦达定理求值出结
详解
（1）设①
代入①式点轨迹方程
（2）设方程（1）知
消整理：
设
点睛
方法点睛：求定值问题常见方法两种：
（1）特殊入手求出定值证明值变量关
（2）直接推理计算计算推理程中消变量定值．
14．（2021·河北张家口·高三）已知动点P满足：直线PM直线PN斜率积常数设动点P轨迹曲线抛物线第象限交点A点A作直线l交曲线点B交抛物线点E(点BE点A)
（1）求曲线方程
（2）否存原点直线l点E线段AB中点？存求出p值存请说明理
答案（1）（2）存p值
分析
（1）利斜率公式进行求解
（2）根直线l椭圆方程联立直线l抛物线方程联立抛物线方程椭圆方程联立结合元二次方程根系数中点坐标公式基等式进行求解判断
详解
解：（1）设动点
曲线C1方程
（2）设显然直线l存斜率
设
设
仅时取等号时取等号
时
时取值值
时直线点MN
存原点直线点E线段AB中点p值
点睛
关键点睛：通解方程组求出相应点坐标运基等式进行求解解题关键
15．（2021·全国高二专题练）已知动点两定点距离动点轨迹曲线
（1）求轨迹方程说明形状
（2）直线动点分作两条切线（切点）弦中点直线：分轴轴交点求面积取值范围
答案（1）曲线圆心半径2圆（2）
分析
（1）设出动点M坐标代入距离关系式化简方程
（2）先求切点弦方程根切点弦定点弦中点性质出N点轨迹然求出动点N定直线EF距离值求出面积值切点弦方程求法两种方法法：两切点两圆公点利两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程法二：先分求QR两点切线方程代入点P坐标QR两点适合直线方程切点弦方程
详解
解：（1）设
化简
曲线圆心半径2圆
（2）法(两圆相交弦方程求切点弦方程)：
题意知圆相切切点
DRPQ四点圆QR直径圆(图)
设中点
线段直径圆方程
整理①
(圆直径式方程化简 )
：②
两圆方程作差②①：
切点弦直线方程
法二(求QR均满足直线方程切点弦方程)：
设
处切线点满足(图)
切线方程
整理
整理
理处切线方程
切线切线
整理
显然坐标满足直线方程
两点确定条直线切点弦直线方程
恒坐标原点
消整理
设
点坐标
显然
点点均重合
(者称性知中点N点x轴仅点Px轴
点Px轴点Nx轴点均重合)
弦中点圆心
圆性质(图)
点直径圆圆心半径
直线分轴轴交点
圆心直线距离
设边高
点直线距离值
点直线距离值(图)
值值
面积取值范围
点睛
设圆锥曲线外点点P作曲线两条切线切点AB两点 AB两点直线方程切点弦方程常见圆锥曲线切点弦方程结：
圆切点弦方程：
圆切点弦方程：
椭圆切点弦方程：
双曲线切点弦方程：
抛物线切点弦方程：
特圆锥曲线点时作两切线重合两切点AB重合切点弦方程曲线P处切线方程
16．（2021·全国高三）面直角坐标系中两顶点坐标分面两点时满足3条件：
①三条边中线交点②外心③．
（Ⅰ）求顶点轨迹方程
（Ⅱ）点（Ⅰ）中轨迹点三点线求取值范围．
答案（Ⅰ）（）（Ⅱ）
分析
（Ⅰ）设出点坐标利两点间距离公式求轨迹方程
（Ⅱ）设出三点直线方程（Ⅰ）中轨迹方程联立判式0求出范围利韦达定理两点横坐标积表示关系式进步取值范围．
详解
（Ⅰ）设
外心
线段中垂线
．
．
三条边中线交点
重心
．
化简（）顶点轨迹方程（）．
（Ⅱ）三点线三点直线斜率存0
设直线方程
联立．
．
设
．
．
取值范围．
点睛
关键点睛：题关键利韦达定理两点横坐标积表示关系式
17．（2021·江西饶·高三（理））面直角坐标系中已知点动点直线斜率直线斜率等直线斜率
（1）求动点轨迹方程
（2）作斜率直线轨迹相交点点直线分交轨迹点设直线斜率否存常数存求出值存请说明理
答案（1）（）（2）存
分析
（1）设点坐标利化简出动点轨迹方程
（2）求点设点求出直线方程分两条直线曲线方程联立求出利斜率公式求出进出值
详解
（1）设点坐标题意
整理（）
动点轨迹方程（）
（2）设点解
点坐标
设点直线斜率
直线斜率直线方程
联立整理解
直线斜率直线方程
联立整理解
存
点睛
思路点睛：圆锥曲线中探索性问题求解步骤：
第步：假设结存
第二步：结合已知条件进行推理求解
第三步：推出合理结果验证成立肯定正确推出矛盾否定假设
第四步：反思回顾查关键点易错点解题规范．
18．（2021·河南高三月考（理））已知点动点满足直线斜率积记动点轨迹曲线
（1）求曲线方程说明曲线什样曲线
（2）设曲线两动点直线交点
①求证：点定直线
②求证：直线直线斜率积定值
答案（1）曲线中心坐标原点焦点轴椭圆含两点（2）①证明见解析②证明见解析
分析
（1）利直接法表示出直线斜率积化简曲线方程
（2）①设直线方程直线方程椭圆联立求点坐标进求直线方程联立证点定直线②（1）进直线直线斜率积
详解
（1）解：题意
化简
曲线中心坐标原点焦点轴椭圆含两点
（2）证明：①题设知直线斜率存均0
设直线方程
知直线斜率方程
解
直线斜率
直线方程代入解
点直线
②（1）
结合定值直线直线斜率积定值
点睛
解决直线椭圆综合问题时注意：
(1)注意观察应题设中条件明确确定直线椭圆条件
(2)强化关直线椭圆联立出元二次方程运算力重视根系数间关系弦长斜率三角形面积等问题．
19．（2021·全国高二期末（文））面直角坐标系中已知点动点满足关系式
（1）求动点轨迹方程
（2）点作直线交两点面积面积倍求弦长
答案（1）（2）
分析
（1）设动点动点轨迹方程
（2）设 代入韦达定理解进弦长公式弦长
详解
（1）设动点
化简求动点轨迹方程
（2）图设
①
直线点显然直线轴垂直
设直线方程代入方程中
整理显然成立
韦达定理②③
①②代入③
弦长公式
点睛
关键点点睛：第（2）问关键点：设
20．（2020·深圳实验学校高二月考）已知直线（）抛物线 相交两点弦直径圆恒坐标原点．
（1）证明直线定点求出定点
（2）求动圆圆心轨迹方程．
答案（1）证明见解析 （2）
分析
（1）设直线弦直径圆恒坐标原点求出答案
（2）设利斜率关系答案
详解
解：（1）直线设
弦直径圆恒坐标原点．
．
．
解（舍）
恒定点．
（2）设
两式相减
已知条件 点中点定点
动圆圆心轨迹方程
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突破满分数学秒杀技巧答题模板：
1动点轨迹问题解题策略般种：
（1） 直译法：般步骤：
①建系建立适坐标系
②设点设轨迹点P(xy)
③列式列出动点P满足关系式
④代换条件式特点选距离公式斜率公式等转化xy方程式化简
⑤证明证明求方程符合条件动点轨迹方程
(2)定义法：先根条件出动点轨迹某种已知曲线曲线定义直接写出动点轨迹方程
(3)代入法(相关点法)：动点P(xy)赖动点Q(x0y0)变化变化Q(x0y0)某已知曲线先xy代数式表示x0y0x0y0代入已知曲线求轨迹方程
(4)参数法：动点P(xy)坐标间关系易直接找没相关动点时考虑xy均中间变量(参数)表示参数方程消参数普通方程．
2解轨迹问题注意：
（1）求点轨迹求轨迹方程求求轨迹时应先求轨迹方程然根方程说明轨迹形状位置等
（2）验证曲线点否满足方程方程解坐标点否曲线补曲线满足方程解点掉满足方程解曲线点
考点精选例题精析：
定义法：
果动点P运动规律合已知某种曲线（圆椭圆双曲线抛物线）定义先设出轨迹方程根已知条件定方程中常数轨迹方程
例1 已知中边分次构成等差数列求顶点轨迹方程
解析：右图直线轴线段中点原点建立直角坐标系 题意构成等差数列（两定点距离等定长—椭圆）轨迹椭圆左半部分椭圆中轨迹方程
例2已知AB两定点动点MAB距离常数λ求点M轨迹方程注明轨迹什曲线
解析 建立坐标系图示设|AB|2aA(－a0）B(a0)
设M(xy）轨迹意点
题设λ坐标代入λ化简
(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a20
(1)λ1时|MA||MB|时点M轨迹方程x0点M轨迹直线(y轴)
(2)λ≠1时点M轨迹方程x2+y2+x+a20 点M轨迹(－0）圆心半径圆
例32016高考新课标1卷设圆圆心A直线l点B（10）x轴重合l交圆ACD两点B作AC行线交AD点E
（I）证明定值写出点E轨迹方程
（II）设点E轨迹曲线C1直线l交C1MN两点Bl垂直直线圆A交PQ两点求四边形MPNQ面积取值范围
点垂直直线：距离
四边形面积
轴垂直时四边形面积取值范围
轴垂直时方程四边形面积12
综四边形面积取值范围
直接法：
果动点P运动规律否合熟知某曲线定义难判断点P满足等量关系易建立先表示出点P满足等量关系点P坐标（xy）表示该等量关系式轨迹方程
例4已知直角坐标面点Q（20）圆C：动点M圆C切线长等常数（图）求动点M轨迹方程说明表示什曲线．
解析设M（xy）直线MN切圆CN．整理动点M轨迹方程．
方程化表示点x轴垂直条直线
λ≠1方程化 表示圆心半径圆．
例52017课标II理设O坐标原点动点M椭圆C：M作x轴垂线垂足N点P满足
(1) 求点P轨迹方程
(2)设点Q直线证明：点P垂直OQ直线lC左焦点F
点P轨迹方程
（2）题意知设
（1）知
点P存唯直线垂直OQ点P垂直OQ直线C左焦点F
参数法：
果采直译法求轨迹方程难奏效寻求引发动点P运动某量t量作参变数分建立P点坐标xy该参数t函数关系x＝f（t）
y＝g（t）进通消参化轨迹普通方程F（xy）＝0
例6抛物线（）顶点作两条互相垂直弦求弦中点轨迹方程
解析设直线斜率直线斜率直线OA方程解理
中点坐标公式消点轨迹方程
例7设点AB抛物线 y24px(p＞0)原点外两动点已知OA⊥OBOM⊥AB求点M轨迹方程说明表示什曲线
解析解法 设A(x1y1)B(x2y2)M(xy) (x≠0)
直线AB方程xmy+a
OM⊥ABm－
y24pxxmy+a消xy2－4pmy－4pa0
y1y2－4pa x1x2
OA⊥OBx1x2 －y1y2
xmy+4pm－代入x2+y2－4px0(x≠0)
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
解法二 设OA方程代入y24px
OB方程代入y24px
∴AB方程定点
OM⊥ABMON直径圆（O点外）
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
解法三 设M(xy) (x≠0)OA方程代入y24px
OB方程代入y24px
OM⊥ABMOA直径圆 ……①
OB直径圆 ……②（O点外）
① +② x2+y2－4px0(x≠0)
动点M轨迹方程x2+y2－4px0(x≠0)表示(2p0)圆心2p半径圆掉坐标原点
例8[2016高考新课标Ⅲ文数]已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（I）线段中点证明
（II）面积面积两倍求中点轨迹方程
题设（舍）
设满足条件中点
轴垂直时
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轴垂直时重合求轨迹方程 12分
代入法（相关点法）：
果动点P运动外某点P＇运动引发该点运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线方程）设出P（xy）（xy）表示出相关点P＇坐标然P＇坐标代入已知曲线方程动点P轨迹方程
例9图示已知P(40)圆x2+y236点AB圆两动点满足∠APB90°求矩形APBQ顶点Q轨迹方程
解析设AB中点R坐标(xy)Rt△ABP中|AR||PR|
R弦AB中点垂径定理 Rt△OAR中|AR|2|AO|2－|OR|236－(x2+y2)
|AR||PR|
(x－4)2+y236－(x2+y2)x2+y2－4x－100
点R圆R圆运动时Q点求轨迹运动
设Q(xy)R(x1y1)RPQ中点x1
代入方程x2+y2－4x－100－100
整理 x2+y256求轨迹方程
例10图双曲线点引直线垂线垂足求线段中点轨迹方程
解析设直线
① ②
联解①②点双曲线化简整理：动点轨迹方程
例11双曲线动点曲线两焦点求重心轨迹方程
解析设点坐标
∴已知双曲线方程中∴
∴已知双曲线两焦点
∵存∴
三角形重心坐标公式 ∵∴
已知点双曲线面结果代入已知曲线方程
求重心轨迹方程：
交轨法：
求动点轨迹时时会出现求两动曲线交点轨迹问题种问题通常通解方程组出交点（含参数）坐标消参数求求轨迹方程（直接消两方程参数直接消参数轨迹方程）该法常参数法
例12
右图垂直轴直线交双曲线两点双曲线左右顶点求直线交点轨迹方程指出轨迹形状
解析设
直线方程①
直线方程②
①x②③
代入③化简点轨迹方程
时点轨迹原点圆心半径圆
时点轨迹椭圆
例13抛物线顶点作互相垂直两弦OAOB求抛物线顶点O直线AB射影M轨迹
解析点AB抛物线设A（B（kOA kOBOA垂直OBkOA kOB 1yAyB 16p2 AB方程求（yA+yB）y4pxyAyB0 yAyB 16p2代入AB方程（yA+yB）y4px+16p2 0 ①
OM方程 ②
①②消yA+yB
点M轨迹方程轨迹圆心半径圆点（00）
达标检测：
1设椭圆中心原点O焦点F（01）长轴短轴长度t．
（1）求椭圆方程
（2）设原点斜率t直线椭圆y轴右边部分交点Q点P该直线t变化时求点P轨迹方程说明轨迹什图形．
解析（1）设求椭圆方程题意解 椭圆方程．
(2)设点解方程组
中t＞1．消t点P轨迹方程．轨迹抛物线直线右侧部分抛物线直线侧部分．
2．（2021·江苏高二专题练）已知点直线设长线段直线l移动（图示）求直线交点M轨迹方程．
答案
分析
题设条件PAM三点线QBM三点线．设AB两点坐标次利三点线导出相应关系式中解出ab求xy满足方程交点M轨迹方程．
详解
解：图示∵点AB直线设点ABM坐标分中．
时三点线
解出a①
三点线
解出b．②
条件．∴．③
①②③式．
整理①．④
时两直线交点M点点重合点P点Q坐标满足方程④．
总④式点M轨迹方程．
④式改写成．
∴轨迹图形双曲线中心点焦点直线．
3．（2021·全国高二课时练）求两动直线交点轨迹方程．
答案
分析
设点利两直线定点两直线斜率关系建立等式求轨迹方程
详解
令
直线斜率直线斜率．
易知定点定点．
令交点存
整理
交点轨迹方程．
答案：
4．（2021·梅河口市第五中学高二开学考试）已知面直角坐标系动点点距离点点距离倍．
（1）求点轨迹方程：
（2）点点关点称求两点间距离值
（3）点直线点轨迹相交两点否存直线取值存求出时方程存请说明理．
答案（1）（2）14（3）存．
分析
（1）已知列关方程化简求点轨迹方程
（2）设点点关点称点坐标坐标代入（1）中轨迹方程整理点轨迹方程两点间距离值
（3）题意知斜率定存设直线斜率联立直线圆方程判式0求范围求出直线距离代入三角形面积公式利配方法求值值直线方程．
详解
解：（1）已知．
（2）设点点关点称
点坐标
点圆运动
点轨迹方程
：
（3）题意知斜率定存设直线斜率
：
联立方程：
直线点．
点直线距离
时取值时
直线方程．
5．（2021·宁波市北仑中学）图已知直线面动点点P作l垂线垂足点Q．
（1）求动点P轨迹C方程
（2）点F直线交轨迹CAB两点交直线l点M
①已知求值
②求值．
答案（1）（2）①②
分析
（1）设出点坐标直线作直线垂线垂足点根构造出关方程化简求曲线方程
（2）①点直线交轨迹两点交直线点设出直线点斜式方程联立直线方程利设求思想结合元二次方程根系数关系易求值．
②根面量数量积性质结合基等式进行求解
详解
（1）设点
化简曲线方程
（2）直线垂直轴轴定点
设直线方程
设联立方程组
消
利应坐标相等整理
②：知：
仅时取等号时取等号
点睛
关键点睛：结合基等式利面量数量积运算性质解题关键
6．（2021·安徽省怀远县第中学高二月考（理））已知椭圆中心坐标原点两焦点分点椭圆点直线抛物线交两点抛物线点处切线分交点．
（1）求椭圆方程
（2）求点轨迹方程
（3）否存满足点？存指出样点（必求出点坐标）存说明理．
答案（1）（2）（3）存两．
分析
（1）利椭圆定义求值进步求值出椭圆标准方程
（2）设点利导数求出直线方程点坐标代入直线方程出两等式结合等式结构出直线方程点坐标代入直线方程出点轨迹方程
（3）分析点轨迹直线椭圆位置关系出结
详解
（1）设椭圆方程
椭圆定义
椭圆方程
（2）设点
求导
抛物线点处切线方程
直线方程理直线方程
直线公点
点坐标满足方程
点直线唯直线方程
点直线点轨迹方程
（3）点椭圆直线
直线椭圆点直线椭圆交两点．
满足条件点两．
点睛
方法点睛：求二次曲线切点弦直线方程方法：
（1）设出两切点坐标写出曲线两切点处切线方程
（2）两切点公点代入两切线方程通说明两切点坐标满足某直线方程出切点弦方程
7．（2021·沙坪坝·重庆中高三月考）点直线抛物线交PQ两点
（1）求线段PQ中点B轨迹方程
（2）抛物线C焦点F求直线l斜率取值范围
答案（1）（2）
分析
（1）设代入抛物线方程中根中点坐标公式求线段PQ中点B轨迹方程
（2）设直线抛物线联立出根系数关系运量夹角运算公式表示根余弦函数单调性建立等式解直线l斜率范围
详解
解：（1）设代入
线段PQ中点B轨迹方程
（2）设直线抛物线联立
直线l斜率
点睛
方法点睛：(1)解答直线抛物线题目时时常两曲线方程联立消 ()建立元二次方程然助根系数关系结合题设条件建立关参变量等量关系(2)涉直线方程设法时务必考虑全面忽略直线斜率存等特殊情形．时直线x轴点直线设成横截式
8．（2021·全国高三专题练（理））设动点直线射影分点已知中坐标原点
（1）求动点轨迹方程
（2）直线点作轨迹两条切线(切点)求证：直线定点
答案（1）（2）见详解
分析
（1）利直接法求轨迹方程设代入条件化简解
（2）利导数意义求切线斜率设切线方程联立切点坐标点直线代入代入直线方程解
详解
（1）设
条件
整理点轨方程
（2）（1）知求导
设
切线方程
①
理切线方程②
联立①②解点坐标
点直线
直线斜率
直线方程：
代入
直线定点
9．（2021·安徽省舒城中学高三（理））已知点M圆x轴负半轴交点点M作圆C弦弦中点恰落y轴．
（1）求点N轨迹E方程
（2）点动直线l轨迹E交AB两点线段取点D满足证明：点D总定直线．
答案（1）（2）证明见解析．
分析
（1）解法：题意知设意点表示出弦中点恰落轴代入
点轨迹方程．
解法二：设弦中点表示出量垂径定理轨迹方程
（2）证明：设直线方程．抛物线方程联立出根系数关系．根量线性运算出点定直线．
详解
（1）解法：题意知设意点
弦中点恰落轴
整理
点轨迹方程．
解法二：设弦中点
轴负半轴．
垂径定理．
（2）证明：设直线方程．
．
化简
化简
．
点定直线时直线抛物线交点题意符．
点定直线．
点睛
方法点睛：(1)解答直线抛物线题目时时常两曲线方程联立消 ()建立元二次方程然助根系数关系结合题设条件建立关参变量等量关系(2)涉直线方程设法时务必考虑全面忽略直线斜率存等特殊情形．时直线x轴点直线设成横截式
10．（2021·全国高三专题练（理））直角坐标系xOy中动圆P圆Q：（x﹣2）2+y2＝1外切圆P直线x＝﹣1相切记动圆圆心P轨迹曲线C
（1）求曲线C轨迹方程
（2）设定点S（﹣20）动直线l曲线C交AB两点试问：曲线C否存点M（AB两点相异）直线MAMB斜率存时直线MAMB斜率定值？存求出点M坐标存请说明理
答案（1）（2）点
分析
（1）设圆心圆半径根题意联立消求出曲线C轨迹方程
（2）假设存曲线点满足条件设联立直线曲线C轨迹方程代入式方程组解求点坐标．
详解
（1）设圆心圆半径动圆圆外切 ①动圆直线相切②联立①②消．
曲线轨迹方程
（2）假设存曲线点满足条件设
③
显然动直线斜率存等零设
消
代入③令常数
整理④
④式意恒成立
曲线存点满足题意
点睛
题第问求轨迹方程直接法求出第二问解题关键根曲线形式设联立关系设进整理成关方程根方程恒成立方程组求点坐标．
11．（2021·全国高三专题练（理））直角坐标系中动点M定点距离y轴距离．
（1）求动点M轨迹方程
（2）时记动点M轨迹曲线C原点斜率零直线l交曲线C点P（异原点O）点P作圆切线交C点Q证明：定值．
答案（1）曲线M轨迹方程（2）证明见解析．
分析
（1）设出点坐标根题意列出满足方程化简方程求轨迹方程
（2）设出直线斜率分接虑直线斜率否存直线斜率存时计算出坐标求解出值直线斜率存时设出直线方程根直线圆相切关系式根联立思想韦达定理形式通计算出定值
详解
（1）设题意：
两边方：
时化简
时
曲线M轨迹方程
（2）法1：题意知设直线斜率分
直线斜率存时方程
解．
直线斜率存时设方程题意知
直线圆相切．
联立方程组元二次方程
设
根系数关系知
综知定值2．
法2：题意知设直线斜率分
题意知直线斜率0设方程
直线圆相切．
联立方程组元二次方程．
设
根系数关系知．
．
定值2．
点睛
关键点点睛：解答题第二问关键通联立思想坐标满足关系通相切关系应参数间等量关系助坐标斜率差变形韦达定理关形式达判断否定值目
12．（2021·四川南充·高三（理））已知动圆定点轴截弦长．
（1）求动圆圆心轨迹方程
（2）轨迹点作轨迹弦证明：直线定点求出定点坐标．
答案（1）（2）证明见解析直线定点．
分析
（1）设动圆圆心轴时轨迹方程轴时原点重合轨迹方程
（2）设直线方程．联立直线抛物线方程韦达定理直线定点．
详解
解：（1）设动圆圆心题知
轴时作交中点．
化简
轴时动圆定点轴截弦长原点重合点满足方程
综动圆圆心轨迹方程
（2）
设直线方程．
联立
．
．
．
恒成立
直线方程
直线定点．
点睛
方法点睛：证明直线定点般两种方法（1）特殊探求般证明：先考虑动直线曲线特殊情况找出定点位置然证明该定点该直线该曲线（定点坐标直线曲线方程等式恒成立）（2）分离参数法：般根需选定参数结合已知条件求出直线曲线方程分离参数等式（般关二元次关系式）述原理方程组求该定点
13．（2021·全国高三专题练（理））线段长等两端点分轴轴滑动点线段点轨迹曲线．
（1）求曲线方程
（2）点作斜率动直线交曲线两点曲线左顶点直线斜率分求证：定值求出该定值．
答案（1）（2）证明见解析定值
分析
（1）设点根面量坐标运算出代入等式化简出曲线方程
（2）直线方程曲线方程联立列出韦达定理直线斜率公式结合韦达定理求值出结
详解
（1）设①
代入①式点轨迹方程
（2）设方程（1）知
消整理：
设
点睛
方法点睛：求定值问题常见方法两种：
（1）特殊入手求出定值证明值变量关
（2）直接推理计算计算推理程中消变量定值．
14．（2021·河北张家口·高三）已知动点P满足：直线PM直线PN斜率积常数设动点P轨迹曲线抛物线第象限交点A点A作直线l交曲线点B交抛物线点E(点BE点A)
（1）求曲线方程
（2）否存原点直线l点E线段AB中点？存求出p值存请说明理
答案（1）（2）存p值
分析
（1）利斜率公式进行求解
（2）根直线l椭圆方程联立直线l抛物线方程联立抛物线方程椭圆方程联立结合元二次方程根系数中点坐标公式基等式进行求解判断
详解
解：（1）设动点
曲线C1方程
（2）设显然直线l存斜率
设
设
仅时取等号时取等号
时
时取值值
时直线点MN
存原点直线点E线段AB中点p值
点睛
关键点睛：通解方程组求出相应点坐标运基等式进行求解解题关键
15．（2021·全国高二专题练）已知动点两定点距离动点轨迹曲线
（1）求轨迹方程说明形状
（2）直线动点分作两条切线（切点）弦中点直线：分轴轴交点求面积取值范围
答案（1）曲线圆心半径2圆（2）
分析
（1）设出动点M坐标代入距离关系式化简方程
（2）先求切点弦方程根切点弦定点弦中点性质出N点轨迹然求出动点N定直线EF距离值求出面积值切点弦方程求法两种方法法：两切点两圆公点利两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程法二：先分求QR两点切线方程代入点P坐标QR两点适合直线方程切点弦方程
详解
解：（1）设
化简
曲线圆心半径2圆
（2）法(两圆相交弦方程求切点弦方程)：
题意知圆相切切点
DRPQ四点圆QR直径圆(图)
设中点
线段直径圆方程
整理①
(圆直径式方程化简 )
：②
两圆方程作差②①：
切点弦直线方程
法二(求QR均满足直线方程切点弦方程)：
设
处切线点满足(图)
切线方程
整理
整理
理处切线方程
切线切线
整理
显然坐标满足直线方程
两点确定条直线切点弦直线方程
恒坐标原点
消整理
设
点坐标
显然
点点均重合
(者称性知中点N点x轴仅点Px轴
点Px轴点Nx轴点均重合)
弦中点圆心
圆性质(图)
点直径圆圆心半径
直线分轴轴交点
圆心直线距离
设边高
点直线距离值
点直线距离值(图)
值值
面积取值范围
点睛
设圆锥曲线外点点P作曲线两条切线切点AB两点 AB两点直线方程切点弦方程常见圆锥曲线切点弦方程结：
圆切点弦方程：
圆切点弦方程：
椭圆切点弦方程：
双曲线切点弦方程：
抛物线切点弦方程：
特圆锥曲线点时作两切线重合两切点AB重合切点弦方程曲线P处切线方程
16．（2021·全国高三）面直角坐标系中两顶点坐标分面两点时满足3条件：
①三条边中线交点②外心③．
（Ⅰ）求顶点轨迹方程
（Ⅱ）点（Ⅰ）中轨迹点三点线求取值范围．
答案（Ⅰ）（）（Ⅱ）
分析
（Ⅰ）设出点坐标利两点间距离公式求轨迹方程
（Ⅱ）设出三点直线方程（Ⅰ）中轨迹方程联立判式0求出范围利韦达定理两点横坐标积表示关系式进步取值范围．
详解
（Ⅰ）设
外心
线段中垂线
．
．
三条边中线交点
重心
．
化简（）顶点轨迹方程（）．
（Ⅱ）三点线三点直线斜率存0
设直线方程
联立．
．
设
．
．
取值范围．
点睛
关键点睛：题关键利韦达定理两点横坐标积表示关系式
17．（2021·江西饶·高三（理））面直角坐标系中已知点动点直线斜率直线斜率等直线斜率
（1）求动点轨迹方程
（2）作斜率直线轨迹相交点点直线分交轨迹点设直线斜率否存常数存求出值存请说明理
答案（1）（）（2）存
分析
（1）设点坐标利化简出动点轨迹方程
（2）求点设点求出直线方程分两条直线曲线方程联立求出利斜率公式求出进出值
详解
（1）设点坐标题意
整理（）
动点轨迹方程（）
（2）设点解
点坐标
设点直线斜率
直线斜率直线方程
联立整理解
直线斜率直线方程
联立整理解
存
点睛
思路点睛：圆锥曲线中探索性问题求解步骤：
第步：假设结存
第二步：结合已知条件进行推理求解
第三步：推出合理结果验证成立肯定正确推出矛盾否定假设
第四步：反思回顾查关键点易错点解题规范．
18．（2021·河南高三月考（理））已知点动点满足直线斜率积记动点轨迹曲线
（1）求曲线方程说明曲线什样曲线
（2）设曲线两动点直线交点
①求证：点定直线
②求证：直线直线斜率积定值
答案（1）曲线中心坐标原点焦点轴椭圆含两点（2）①证明见解析②证明见解析
分析
（1）利直接法表示出直线斜率积化简曲线方程
（2）①设直线方程直线方程椭圆联立求点坐标进求直线方程联立证点定直线②（1）进直线直线斜率积
详解
（1）解：题意
化简
曲线中心坐标原点焦点轴椭圆含两点
（2）证明：①题设知直线斜率存均0
设直线方程
知直线斜率方程
解
直线斜率
直线方程代入解
点直线
②（1）
结合定值直线直线斜率积定值
点睛
解决直线椭圆综合问题时注意：
(1)注意观察应题设中条件明确确定直线椭圆条件
(2)强化关直线椭圆联立出元二次方程运算力重视根系数间关系弦长斜率三角形面积等问题．
19．（2021·全国高二期末（文））面直角坐标系中已知点动点满足关系式
（1）求动点轨迹方程
（2）点作直线交两点面积面积倍求弦长
答案（1）（2）
分析
（1）设动点动点轨迹方程
（2）设 代入韦达定理解进弦长公式弦长
详解
（1）设动点
化简求动点轨迹方程
（2）图设
①
直线点显然直线轴垂直
设直线方程代入方程中
整理显然成立
韦达定理②③
①②代入③
弦长公式
点睛
关键点点睛：第（2）问关键点：设
20．（2020·深圳实验学校高二月考）已知直线（）抛物线 相交两点弦直径圆恒坐标原点．
（1）证明直线定点求出定点
（2）求动圆圆心轨迹方程．
答案（1）证明见解析 （2）
分析
（1）设直线弦直径圆恒坐标原点求出答案
（2）设利斜率关系答案
详解
解：（1）直线设
弦直径圆恒坐标原点．
．
．
解（舍）
恒定点．
（2）设
两式相减
已知条件 点中点定点
动圆圆心轨迹方程
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