专题04 抛物线阿基米德三角形
突破满分数学秒杀技巧答题模板：
抛物线弦弦端点两条切线围三角形三角形常称阿基米德三角形．阿基米德三角形名阿基米德早利逼思想证明 结：
抛物线阿基米德三角形定理：
抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积三分二．
面逐介绍阿基米德三角形推
图已知抛物线准线意点作抛物线切线
分交抛物线两点 中点：
1焦点端点两条切线交点准线．
2阿基米德三角形底边中线行坐标轴．
3抛物线焦点
4
5阿基米德三角形面积值
考点精选例题精析：
例1．（1）（2021·全国高二课时练）抛物线意两点处切线交点称阿基米德三角形线段抛物线焦点时具特征：
①点必抛物线准线②．
抛物线焦点条弦阿基米德三角形点坐标4直线方程（ ）
A． B．
C． D．
答案A
分析
阿基米德三角形线段抛物线焦点点进直线斜率直线斜率
详解
设抛物线焦点
题意知抛物线焦点坐标准线方程
阿基米德三角形线段抛物线焦点
点必抛物线准线
点
直线斜率．
直线斜率
直线方程
选：A．
（2）．（2020·云南师附中高三月考（理））抛物线焦点作抛物线弦抛物线交两点中点分两点作抛物线切线相交点常称作阿基米德三角形面关描述：
①点必抛物线准线
②
③设面积值
④
⑤行轴
中正确数（ ）
A． B． C． D．
答案B
分析
作出图形设点设直线方程直线方程抛物线方程联立列出韦达定理求出直线方程求出点坐标判断①正误利直线斜率关系判断②正误计算出面积表达式判断③正误利直线斜率关系判断④正误求出直线斜率判断⑤正误综合出结
详解
先证明出抛物线点处切线方程
证明：
点抛物线
联立
抛物线点处切线方程
图示：
设设直线方程
联立消
韦达定理
命题①抛物线点处切线方程
理知抛物线点处切线方程
联立解点横坐标
点抛物线准线①正确
命题②直线斜率直线斜率
②正确
命题④垂直轴时抛物线称性知点抛物线准线轴交点时
轴垂直时直线斜率
直线斜率
综④正确
命题③
仅时等号成立③错误
命题⑤垂直轴时抛物线称性知点抛物线准线轴交点时直线轴重合⑤错误
选：B
点睛
题考查抛物线性质考查抛物线焦点弦性质韦达定理法应考查计算力属中等题
变式训练11．（2020·昆明市·云南师附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）古希腊伟物理学家数学家天文学家研究抛物线求积法出著名阿基米德定理享数学神称号抛物线弦弦端点两条切线围成三角形称阿基米德三角形图阿基米德三角形抛物线两点AB切点抛物线切线相交P出结中正确（ ）
（1）弦焦点直角三角形
（2）点P坐标
（3）边直线方程
（4）边中线y轴行（重合）
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
答案D
分析
设导数意义切线斜率
利焦点弦性质正确
写出切线方程联立求出点坐标（2）错误
两点坐标表示出写出直线方程化简（3）正确
设抛物线弦中点立（4）正确
详解
题意设弦焦点∴∴∴（1）正确
点切点切线方程点切点切线方程联立消代入（2）错误
设抛物线弦中点横坐标直线行轴行抛物线称轴（4）正确设直线斜率直线方程化简（3）正确
选：D．
点睛
题考查直线抛物线相交考查导数意义焦点弦性质考查学生推理证力属中档题．
变式训练12．（2019·福建厦门双十中学高二期中）抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德三角形趣性质：抛物线弦焦点弦端点两条切线交点准线设抛物线弦焦点阿基米德三角形面积值
A． B． C． D．
答案B
分析
利导数知识三角形直角三角形利基等式直线垂直轴时面积取值
详解
设AB切线交Q
直线方程：
直线方程代入：
导数知识：
时值选B
点睛
题道数学文化关试题果灵活运阿基米德三角形结直线抛物线焦点切线切线互相垂直运算量变更
变式训练13．（2021·浙江高三期末）抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德早利逼思想证明：抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等阿基米德三角形面积．已知抛物线两点A点处抛物线C切线斜率_______弦抛物线围成封闭图形面积_________．
答案
分析
求写出A点处B点处抛物线C切线方程求交点求阿基米德三角形面积根弦抛物线围成封闭图形面积阿基米德三角形面积关系求解
详解
A点处抛物线C切线斜率1
切线方程：
理B点处抛物线CD 切线方程
解
两切线交点
阿基米德三角形面积
弦抛物线围成封闭图形面积
答案：1
例2(2020年模拟题精选)已知抛物线焦点点抛物线点坐标8
（1）求抛物线方程
（2）点抛物线准线意点点作直线抛物线相切点证明：．
解析（1）题意知抛物线准线方程点坐标8∴抛物线方程
（2） 设点∵∴切线方程令解∴∴
∴∴
考点点睛点准线时焦点底边中线行称轴值
证明：（步骤必须牢记题中体现）
设抛物线方程：设前面步骤知：焦点
中点面步骤知：底边中线行称轴
时面积
变式训练21．已知抛物线焦点FAB抛物线两动点AB直线抛物线焦点FAB两点分作抛物线切线设交点M
证明：定值
解析：题意设直线AB方程代入
设
切线方程分
定值
例3．已知抛物线焦点点直线分交抛物线两点．
（1）直径圆方程求抛物线标准方程
（2）点分作抛物线切线证明：交点定直线．
答案（1）（2）证明见解析
分析
（1）根抛物线定义求圆心准线距离求抛物线方程．
（2）设利导数求出两点处切线方程求交点坐标联立直线抛物线方程交点坐标定值交点定直线．
详解
（1）设中点准线距离准线距离
准线距离
抛物线定义知
梯形中位线
抛物线标准方程
（2）证明：设
直线方程
直线方程
联立解
直线交点坐标
焦点
题知直线斜率存设直线方程
代入抛物线中
交点定直线．
点睛
关键点点睛：抛物线中焦点弦长问题注意利定义转化准线距离问题焦点轴抛物线切线问题利导数求切线方程简化运算．
变式训练31．已知动点轴方定点距离轴距离
（1）求动点轨迹方程
（2）点直线曲线交两点点分异原点曲线两点处切线分交点求证：定直线
答案（1）（2）证明见解析
分析
（1）设定点距离轴距离化简点轨迹方程
（2）题意知直线斜率存设直线方程联立设值切线方程理切线方程求出交点坐标定直线
详解
解：（1）设
化简
轨迹方程
（2）题意知直线斜率存
设直线方程
联立
设
切线方程
理切线方程
联立
两式消
时
交点轨迹直线掉点
交点定直线
点睛
题考查轨迹方程求法直线抛物线位置关系等知识考查学生综合计算力属难题
例4．已知点抛物线顶点两动点
（1）判断点否直线？说明理
（2）设点△外接圆圆心点轴距离点求值
答案（1）证明见详解（2）
分析
（1）假设直线方程抛物线方程联立结合韦达定理计算然验证结果
（2）分计算线段中垂线方程然联立根（1）条件点轨迹方程然焦点结合抛物线定义计算结果
详解
（1）设直线方程
根题意知直线斜率定存
代入式
化简
直线方程
直线定点
知点直线
（2）设
线段中点
线段中点
直线斜率
直线斜率
知线段中垂线方程
式化简
线段中垂线方程
理：
线段中垂线方程
（1）知：
点轨迹方程
焦点
三点线时
点睛
题考查直线抛物线综合应第（1）问中难点计算处第（2）问中关键点轨迹方程直线圆锥曲线综合常常联立方程结合韦达定理属难题
变式训练41．已知点抛物线顶点两动点
（1）判断点否直线？说明理
（2）设点△外接圆圆心求点轨迹方程
答案（1）点直线理见解析（2）
分析
（1）抛物线方程顶点坐标设直线方程抛物线联立求出两根两根积求出数量积题意直线恒直线
（2）设坐标直线斜率线段中点坐标进求出线段中垂线方程两方程联立求出外接圆圆心坐标（1）横坐标关参数表达式消参数轨迹方程．
详解
(1) 点直线理
题意 抛物线顶点
直线抛物线2交点
设直线AB方程
联立
中
解
检验满足
直线AB方程恒定点
（2）点外接圆圆心点三角形三条边中垂线交点
设线段中点线段中点
设
线段中垂线方程：
抛物线
中垂线方程：
理线段中垂线方程：
联立两方程解
（1）
点
点轨迹方程：．
点睛
题考查求直线恒定点方程直三角形外接圆性质直线椭圆综合应属难题．
变式训练42．抛物线焦点垂直轴直线交抛物线两点原点面积2
（1）求拋物线方程
（2）直线动点点作拋物线切线切点分点作垂线垂足否存实数点直线移动时垂足恒定点？存说明理存求出值求定点坐标
答案（1）（2）存样时坐标
分析
（1）先根抛物线性质结合题中条件三角形面积列出方程求出出抛物线方程
（2）先设直线方程根直线抛物线相切进推出方程根方程两直线方程求出确定出结果
详解
（1）题意点坐标均解
解
抛物线方程
（2）假设存实数点直线移动时垂足恒定点
设直线方程
抛物线方程变形
方程
直线方程
代入方程
理
构造直线方程易知两点均该直线
直线方程
恒点
设方程化简
恒点
时均恒
存样时坐标
点睛
关键点点睛：
求解题第二问关键分表示出直线方程根题中条件先设点坐标直线方程直线抛物线相切出直线方程推出方程进确定方程求解
达标检测：
A卷 基础巩固
1．（2021·全国高三专题练（文））数学家阿基米德建立样理：直线抛物线围成弓形面积底高三角形面积三分四图直线抛物线交､两点､两点轴射影分､长方形取点该点落阴影部分概率（ ）
A． B． C． D．
答案B
分析
求出两点坐标阿基米德理计算抛物线中弓形阴影部分面积然概型概率公式计算概率．
详解
题知
阿基米德理知：弓形面积
概率
选：B．
2．（2021·全国高二课时练）抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德三角形趣性质：抛物线弦焦点弦端点两条切线交点准线设抛物线弦焦点阿基米德三角形（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．位置变化前三种情况关系
答案B
分析
题首先根题意绘出图然设出直线抛物线方程联立出然设出点切线抛物线方程联立出样方式设出点切线出根出结果
详解
图结合题意绘出 图：
设
设直线
联立整理
设点切线
联立整理
设点切线理
直角三角形
选：B
点睛
关键点点睛：题考查直线抛物线相关问题求解考查韦达定理判式应考查学生阿基米德三角形理解两条直线斜率积两条直线互相垂直考查计算力中档题
3．（2020·全国（理））古希腊数学家阿基米德穷竭法建立样结：直线抛物线包围弓形面积底高三角形面积三分四图已知直线交抛物线AB两点点ABy轴射影分DC长方形ABCD中取点根阿基米德理该点位阴影部分概率（ ）
A． B． C． D．
答案C
分析
求出两点坐标阿基米德理计算抛物线中弓形阴影部分面积然概型概率公式计算概率．
详解
代入抛物线方程
∴
∴求概率．
选：C
点睛
题考查概型解题关键求出阴影部分面积读懂应阿基米德理基础．
4．（2020·云南高三（理））抛物线意两点､处切线交点称阿基米德三角形线段抛物线焦点时具特征：①点必抛物线准线②直角三角形③抛物线焦点条弦阿基米德三角形点坐标4直线方程（ ）
A． B．
C． D．
答案A
分析
△PAB阿基米德三角形线段AB抛物线焦点：P点必抛物线准线求出点P（−14）直线PF斜率−2直线AB斜率利点斜式求出直线AB方程
详解
解：题意知抛物线y2＝4x焦点F坐标（10）准线方程：x＝﹣1△PAB阿基米德三角形线段AB抛物线y2＝4x焦点：P点必抛物线准线
∴点P（﹣14）
∴直线PF斜率：＝﹣2
∵PF⊥AB
∴直线AB斜率
∴直线AB方程：y﹣0＝x﹣2y﹣1＝0
选：A
点睛
题考查抛物线定义抛物线性质中档题
5(2014年辽宁卷)已知点抛物线：准线点直线第象限相切点记焦点直线斜率 ( )
A B C D
解析D
解析：知抛物线：设切线方程：代入点A选D秒杀公式：阿基米德三角形：选D
6 抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德三角形趣性质：抛物线弦焦点弦端点两条切线交点准线．设抛物线y22px（p＞0）弦AB焦点△ABQ阿基米德三角形△ABQ（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．Q位置变化前三种情况
答案B
解析秒杀公式：阿基米德三角形
7 已知PQ抛物线x22y两点点PQ横坐标分4－2PQ分作抛物线切线两切线交点A点A坐标________
答案
8已知点 P ( 3 2)抛物线 C： y 2 2 px (p > 0)准线点 P 直线抛物线 C 相切 AB 两点直线 AB 斜率（ ）
2
A．1 B．
3
C． D． 3
答案
解析P（﹣32）抛物线 C： y 2 2 px (p > 0)准线 p6抛物线
C：y212x根秘籍中性质（1）知AB 中点坐标 P 点坐标相等
y0 2 AB 抛物线焦点设 AB 方程 x ky + 3 代入抛物线方程：y 12ky 36 0
直线 AB 斜率 3
9．（2021·福建高三期中）誉数学神称阿基米德早利逼思想证明结：抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积三分二结著名阿基米德定理面直角坐标系中已知直线：抛物线：交两点弦抛物线围成封闭图形面积___________
答案
分析
利积分意义进行求积分解
详解
联立
弦抛物线围成封闭图形面积
答案：
10．（2021·河南高二期中（理））誉数学神称阿基米德（前287~前212）古希腊伟物理学家数学家天文学家早利逼思想证明结：抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积三分二结著名阿基米德定理中三角形称阿基米德三角形．面直角坐标系中焦点抛物线意点值．直线抛物线交两点弦抛物线围成封闭图形面积________．
答案
分析
题意求抛物线联立解结合导数意义求抛物线点点切线方程联立方程组求进围成三角形面积结合题意求封闭图形面积．
详解
值解抛物线方程
联立方程组解
抛物线化
设抛物线点切线斜率分
抛物线点点切线方程分
联立方程组解
抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积
弦抛物线围成封闭图形面积．
答案：
11．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）直线l交CAB两点AB两点原点重合点M（12）线段AB中点．
（1）直线l斜率1求抛物线C方程
（2）分AB两点作抛物线C切线两条切线交点S证明点S条定直线．
答案（1）x2＝2y（2）证明见解析
分析
（1）设直线方程代入抛物线方程消设运韦达定理中点坐标公式求抛物线方程
（2）求导数抛物线处切线斜率点斜式方程点满足抛物线方程处切线方程联立两切线方程相加结合中点坐标公式求点定直线方程．
详解
解：（1）设直线方程代入抛物线
设
点线段中点
抛物线方程
（2）证明：设点线段中点
导数抛物线处切线斜率切线方程
①
理②
①②
．
交点条定直线．
点睛
题考查抛物线方程性质考查直线抛物线位置关系考查计算力属中档题．
12．已知抛物线焦点抛物线两动点两点分作抛物线切线设交点
（1）直线轴分交点面积求值
（2）记面积求值指出时应点坐标
答案(1)2(2)值4时
分析
（1）先求出点切点抛物线切线方程出利面积求出点坐标然求出．
（2）先分写出直线PAPB方程利点P写出直线代入抛物线方程利弦长公式求出点直线距离写出表达式值．
详解
（1）设抛物线方程写成点切点抛物线切线方程： ∴
（2）（1）知：理直线点点坐标满足方程
直线方程：直线点∴
联立
点直线距离
仅时值4时
B卷 力提升
13．（选题）阿基米德伟物理学家更伟数学家高中教材中抛物线做系统深入研究定义抛物线阿基米德三角形：抛物线弦弦端点处两条切线围成三角形称抛物线阿基米德三角形设抛物线：两点横坐标分切点切线交点关阿基米德三角形说法正确（ ）
A．抛物线焦点点定抛物线准线
B．阿基米德三角形正三角形面积
C．阿基米德三角形直角三角形面积值
D．般情况阿基米德三角形面积
答案ABC
分析
设出直线斜截式方程点坐标根导数意义求出切线方程进求出点坐标直线方程抛物线方程联立元二次方程该方程两根积关系
A：抛物线焦点坐标代入直线斜截式方程中根抛物线准线方程进行判断
B：根正三角形性质结合正三角形面积公式进行判断
C：根直角三角形性质结合直角三角形面积公式进行判断
D：根点直线距离公式两点间距离公式进行求解判断
详解
题意知：直线定存斜率
设直线方程：
题意知：点妨设
直线切线方程分：
两方程联立：
解：点坐标：
直线方程抛物线方程联立：
A：抛物线：焦点坐标准线方程
抛物线焦点
显然点定抛物线准线选项说法正确
B：阿基米德三角形正三角形
化简：
时 点坐标：
阿基米德三角形正三角形
正三角形边长
正三角形面积
选项说法正确
C：阿基米德三角形直角三角形时
直线方程：
点坐标：点 直线距离：
直角面积：
仅时取等号显然面积值说法正确
D：
点直线距离：
阿基米德三角形面积
选项说法正确
选：ABC
点睛
关键点睛：解决题关键元二次方程根系数关系整体代换应题重点考查数学运算核心素养应
14．（2021·苏州市第三中学校）（选题）阿基米德（公元前287年—公元前212年古希腊伟物理学家数学家天文学家研究抛物线求积法出著名阿基米德定理享数学神称号抛物线弦弦端点两切线围成三角形称阿基米德三角形图示抛物线两点AB坐标分AB切点切线PAPB相交点P出结中正确（ ）
A．点P坐标
B．边AB直线方程：
C．面积
D．边AB中线行（重合）y轴
答案ABD
分析
写出点处切线方程理点处切线方程联立解坐标进AD正确坐标求出写出直线方程进B正确写出点直线距离弦长公式进然判断C错误．
详解
题意点处切线方程
点处切线方程
联立两方程消
代入点处切线方程
点坐标AD正确
设直线斜率
直线方程
化简B正确
点直线距离
C错误．
选：ABD
点睛
方法点睛：解决焦点轴抛物线切线问题时常利导数意义求解
15．（2018·海交附中高二月考）抛物线条弦中点作行抛物线称轴行线（称轴重合）交抛物线点称该点弦端点顶点三角形条弦阿基米德三角形（简称阿氏三角形）
现抛物线直线：（中常数）直线交抛物线两点设弦阿氏三角形
（1）指出抛物线焦点坐标准线方程
（2）求面积（表示）
（3）称阿氏阶阿氏二阶阿氏三角形三阶……进行记阶阿氏三角形面积探索间关系求
答案（1）焦点坐标：准线方程：（2）（3）
分析
（1）抛物线方程化标准方程求焦点坐标准线方程
（2）直线方程代入抛物线方程利韦达定理求根整理代入整理结果
（3）（2）知继续求解阿氏三角形面积知进分析知穷等数列利穷等数列前项极限求法求结果
详解
（1）：
抛物线焦点坐标准线方程：
（2）代入抛物线方程：
设
中点
（3）设抛物线意条弦（2）知
设弦阿氏三角形次
述讨表明阶中阿氏三角形生成阶中两阿氏三角形者面积前者面积
阶中阿氏三角形面积阶中阿氏三角形面积满足
首先公穷等数列
点睛
题考查直线抛物线综合应中新定义运算问题关键够明确新定义运算实际直线抛物线应中三角形面积求解问题需结合韦达定理表示出需长度求结果题结合穷等数列极限求解难点够分析求数列特征证求数列穷等数列
16．已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（Ⅰ）线段中点证明
（Ⅱ）面积面积两倍求中点轨迹方程
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
分析
设方程
．（Ⅰ）线段（Ⅱ）设轴交点（舍）．设满足条件中点．轴垂直时．轴垂直时重合求轨迹方程．
详解
题设设
．
记两点直线方程
（Ⅰ）线段
记斜率斜率
（Ⅱ）设轴交点
题设（舍）．
设满足条件中点．
轴垂直时．
．
轴垂直时重合求轨迹方程
点睛
题考查1抛物线定义性质2直线抛物线位置关系3轨迹求法．
17．图设抛物线焦点F抛物线点Ay轴距离等|AF|–1
（Ⅰ）求p值
（Ⅱ）直线AF交抛物线点BBx轴行直线FAB垂直直线交点NANx轴交点M求M横坐标取值范围
答案（Ⅰ）p2（Ⅱ）
解析
试题分析：题考查抛物线性质直线抛物线位置关系等基础知识时考查解析基思想方法综合解题力
试题解析：（Ⅰ）题意抛物线点A焦点F距离等点A直线x–1距离抛物线定义p2
（Ⅱ）（Ⅰ）抛物线方程设
AF垂直y轴设直线AF xsy+1消x
直线AB斜率直线FN斜率
直线FN直线BN
设M(m0)AMN三点线
m＜0m＞2
检验m＜0m＞2满足题意
综点M横坐标取值范围
考点抛物线性质直线抛物线位置关系
思路点睛（Ⅰ）题目中出现抛物线点焦点距离时般会想转化抛物线点准线距离．解答题时转化抛物线点准线距离进点轴距离（Ⅱ）通联立方程组点坐标进点坐标利三点线含式子表示进横坐标取值范围
18．设抛物线焦点F动点P直线运动P作抛物线C两条切线PAPB抛物线C分相切AB两点
（1）求△APB重心G轨迹方程
（2）证明∠PFA∠PFB．
答案(1)(2)见解析
解析
试题考查轨迹方程求解证明角相等问题．
解：（1）设切点坐标分
切线方程：切线方程：
解
重心坐标
点直线运动重心轨迹方程：
．
（2）方法1：．
点抛物线外．
理
．
方法2：①时妨设P点坐标P点直线AF距离：直线方程：
．P点直线BF距离：．
②时直线AF方程：
直线方程：
P点直线AF距离：
理P点直线BF距离．
19．图设抛物线方程M直线意点引抛物线切线切点分．
（Ⅰ）设线段中点
（ⅰ）求证：行轴
（ⅱ）已知点坐标时求时抛物线方程
（Ⅱ）否存点点关直线称点抛物线中点满足（坐标原点）．存求出适合题意点坐标存请说明理．
答案（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）（Ⅱ）仅存点适合题意
分析
（Ⅰ）（ⅰ）设出坐标利导数求切线方程结合线段中点进行化简两点横坐标相等证行轴
（ⅱ）利列方程解方程求进求抛物线方程
（Ⅱ）设出点坐标点坐标求线段中点坐标直线方程抛物线方程求点坐标进行分类讨求点坐标
详解
（Ⅰ）（ⅰ）证明：题意设．
．
直线方程
直线方程．
①．②
①②行轴．
（ⅱ）解：（ⅰ）知时代入①②整理：
方程两根
．
弦长公式．
求抛物线方程．
（Ⅱ）解：设题意
中点坐标
设直线方程
点直线注意点直线
代入．
抛物线
．
．
（1）时时点适合题意．
（2）时
矛盾．
时直线行轴
直线直线垂直题设矛盾
时存符合题意点．
综述仅存点适合题意．
点睛
题考查直线抛物线位置关系考查运算求解力属难题
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突破满分数学秒杀技巧答题模板：
抛物线弦弦端点两条切线围三角形三角形常称阿基米德三角形．阿基米德三角形名阿基米德早利逼思想证明 结：
抛物线阿基米德三角形定理：
抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积三分二．
面逐介绍阿基米德三角形推
图已知抛物线准线意点作抛物线切线
分交抛物线两点 中点：
1焦点端点两条切线交点准线．
2阿基米德三角形底边中线行坐标轴．
3抛物线焦点
4
5阿基米德三角形面积值
考点精选例题精析：
例1．（1）（2021·全国高二课时练）抛物线意两点处切线交点称阿基米德三角形线段抛物线焦点时具特征：
①点必抛物线准线②．
抛物线焦点条弦阿基米德三角形点坐标4直线方程（ ）
A． B．
C． D．
答案A
分析
阿基米德三角形线段抛物线焦点点进直线斜率直线斜率
详解
设抛物线焦点
题意知抛物线焦点坐标准线方程
阿基米德三角形线段抛物线焦点
点必抛物线准线
点
直线斜率．
直线斜率
直线方程
选：A．
（2）．（2020·云南师附中高三月考（理））抛物线焦点作抛物线弦抛物线交两点中点分两点作抛物线切线相交点常称作阿基米德三角形面关描述：
①点必抛物线准线
②
③设面积值
④
⑤行轴
中正确数（ ）
A． B． C． D．
答案B
分析
作出图形设点设直线方程直线方程抛物线方程联立列出韦达定理求出直线方程求出点坐标判断①正误利直线斜率关系判断②正误计算出面积表达式判断③正误利直线斜率关系判断④正误求出直线斜率判断⑤正误综合出结
详解
先证明出抛物线点处切线方程
证明：
点抛物线
联立
抛物线点处切线方程
图示：
设设直线方程
联立消
韦达定理
命题①抛物线点处切线方程
理知抛物线点处切线方程
联立解点横坐标
点抛物线准线①正确
命题②直线斜率直线斜率
②正确
命题④垂直轴时抛物线称性知点抛物线准线轴交点时
轴垂直时直线斜率
直线斜率
综④正确
命题③
仅时等号成立③错误
命题⑤垂直轴时抛物线称性知点抛物线准线轴交点时直线轴重合⑤错误
选：B
点睛
题考查抛物线性质考查抛物线焦点弦性质韦达定理法应考查计算力属中等题
变式训练11．（2020·昆明市·云南师附中高三（理））阿基米德（公元前287年～公元前212年）古希腊伟物理学家数学家天文学家研究抛物线求积法出著名阿基米德定理享数学神称号抛物线弦弦端点两条切线围成三角形称阿基米德三角形图阿基米德三角形抛物线两点AB切点抛物线切线相交P出结中正确（ ）
（1）弦焦点直角三角形
（2）点P坐标
（3）边直线方程
（4）边中线y轴行（重合）
A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）
答案D
分析
设导数意义切线斜率
利焦点弦性质正确
写出切线方程联立求出点坐标（2）错误
两点坐标表示出写出直线方程化简（3）正确
设抛物线弦中点立（4）正确
详解
题意设弦焦点∴∴∴（1）正确
点切点切线方程点切点切线方程联立消代入（2）错误
设抛物线弦中点横坐标直线行轴行抛物线称轴（4）正确设直线斜率直线方程化简（3）正确
选：D．
点睛
题考查直线抛物线相交考查导数意义焦点弦性质考查学生推理证力属中档题．
变式训练12．（2019·福建厦门双十中学高二期中）抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德三角形趣性质：抛物线弦焦点弦端点两条切线交点准线设抛物线弦焦点阿基米德三角形面积值
A． B． C． D．
答案B
分析
利导数知识三角形直角三角形利基等式直线垂直轴时面积取值
详解
设AB切线交Q
直线方程：
直线方程代入：
导数知识：
时值选B
点睛
题道数学文化关试题果灵活运阿基米德三角形结直线抛物线焦点切线切线互相垂直运算量变更
变式训练13．（2021·浙江高三期末）抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德早利逼思想证明：抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等阿基米德三角形面积．已知抛物线两点A点处抛物线C切线斜率_______弦抛物线围成封闭图形面积_________．
答案
分析
求写出A点处B点处抛物线C切线方程求交点求阿基米德三角形面积根弦抛物线围成封闭图形面积阿基米德三角形面积关系求解
详解
A点处抛物线C切线斜率1
切线方程：
理B点处抛物线CD 切线方程
解
两切线交点
阿基米德三角形面积
弦抛物线围成封闭图形面积
答案：1
例2(2020年模拟题精选)已知抛物线焦点点抛物线点坐标8
（1）求抛物线方程
（2）点抛物线准线意点点作直线抛物线相切点证明：．
解析（1）题意知抛物线准线方程点坐标8∴抛物线方程
（2） 设点∵∴切线方程令解∴∴
∴∴
考点点睛点准线时焦点底边中线行称轴值
证明：（步骤必须牢记题中体现）
设抛物线方程：设前面步骤知：焦点
中点面步骤知：底边中线行称轴
时面积
变式训练21．已知抛物线焦点FAB抛物线两动点AB直线抛物线焦点FAB两点分作抛物线切线设交点M
证明：定值
解析：题意设直线AB方程代入
设
切线方程分
定值
例3．已知抛物线焦点点直线分交抛物线两点．
（1）直径圆方程求抛物线标准方程
（2）点分作抛物线切线证明：交点定直线．
答案（1）（2）证明见解析
分析
（1）根抛物线定义求圆心准线距离求抛物线方程．
（2）设利导数求出两点处切线方程求交点坐标联立直线抛物线方程交点坐标定值交点定直线．
详解
（1）设中点准线距离准线距离
准线距离
抛物线定义知
梯形中位线
抛物线标准方程
（2）证明：设
直线方程
直线方程
联立解
直线交点坐标
焦点
题知直线斜率存设直线方程
代入抛物线中
交点定直线．
点睛
关键点点睛：抛物线中焦点弦长问题注意利定义转化准线距离问题焦点轴抛物线切线问题利导数求切线方程简化运算．
变式训练31．已知动点轴方定点距离轴距离
（1）求动点轨迹方程
（2）点直线曲线交两点点分异原点曲线两点处切线分交点求证：定直线
答案（1）（2）证明见解析
分析
（1）设定点距离轴距离化简点轨迹方程
（2）题意知直线斜率存设直线方程联立设值切线方程理切线方程求出交点坐标定直线
详解
解：（1）设
化简
轨迹方程
（2）题意知直线斜率存
设直线方程
联立
设
切线方程
理切线方程
联立
两式消
时
交点轨迹直线掉点
交点定直线
点睛
题考查轨迹方程求法直线抛物线位置关系等知识考查学生综合计算力属难题
例4．已知点抛物线顶点两动点
（1）判断点否直线？说明理
（2）设点△外接圆圆心点轴距离点求值
答案（1）证明见详解（2）
分析
（1）假设直线方程抛物线方程联立结合韦达定理计算然验证结果
（2）分计算线段中垂线方程然联立根（1）条件点轨迹方程然焦点结合抛物线定义计算结果
详解
（1）设直线方程
根题意知直线斜率定存
代入式
化简
直线方程
直线定点
知点直线
（2）设
线段中点
线段中点
直线斜率
直线斜率
知线段中垂线方程
式化简
线段中垂线方程
理：
线段中垂线方程
（1）知：
点轨迹方程
焦点
三点线时
点睛
题考查直线抛物线综合应第（1）问中难点计算处第（2）问中关键点轨迹方程直线圆锥曲线综合常常联立方程结合韦达定理属难题
变式训练41．已知点抛物线顶点两动点
（1）判断点否直线？说明理
（2）设点△外接圆圆心求点轨迹方程
答案（1）点直线理见解析（2）
分析
（1）抛物线方程顶点坐标设直线方程抛物线联立求出两根两根积求出数量积题意直线恒直线
（2）设坐标直线斜率线段中点坐标进求出线段中垂线方程两方程联立求出外接圆圆心坐标（1）横坐标关参数表达式消参数轨迹方程．
详解
(1) 点直线理
题意 抛物线顶点
直线抛物线2交点
设直线AB方程
联立
中
解
检验满足
直线AB方程恒定点
（2）点外接圆圆心点三角形三条边中垂线交点
设线段中点线段中点
设
线段中垂线方程：
抛物线
中垂线方程：
理线段中垂线方程：
联立两方程解
（1）
点
点轨迹方程：．
点睛
题考查求直线恒定点方程直三角形外接圆性质直线椭圆综合应属难题．
变式训练42．抛物线焦点垂直轴直线交抛物线两点原点面积2
（1）求拋物线方程
（2）直线动点点作拋物线切线切点分点作垂线垂足否存实数点直线移动时垂足恒定点？存说明理存求出值求定点坐标
答案（1）（2）存样时坐标
分析
（1）先根抛物线性质结合题中条件三角形面积列出方程求出出抛物线方程
（2）先设直线方程根直线抛物线相切进推出方程根方程两直线方程求出确定出结果
详解
（1）题意点坐标均解
解
抛物线方程
（2）假设存实数点直线移动时垂足恒定点
设直线方程
抛物线方程变形
方程
直线方程
代入方程
理
构造直线方程易知两点均该直线
直线方程
恒点
设方程化简
恒点
时均恒
存样时坐标
点睛
关键点点睛：
求解题第二问关键分表示出直线方程根题中条件先设点坐标直线方程直线抛物线相切出直线方程推出方程进确定方程求解
达标检测：
A卷 基础巩固
1．（2021·全国高三专题练（文））数学家阿基米德建立样理：直线抛物线围成弓形面积底高三角形面积三分四图直线抛物线交､两点､两点轴射影分､长方形取点该点落阴影部分概率（ ）
A． B． C． D．
答案B
分析
求出两点坐标阿基米德理计算抛物线中弓形阴影部分面积然概型概率公式计算概率．
详解
题知
阿基米德理知：弓形面积
概率
选：B．
2．（2021·全国高二课时练）抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德三角形趣性质：抛物线弦焦点弦端点两条切线交点准线设抛物线弦焦点阿基米德三角形（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．位置变化前三种情况关系
答案B
分析
题首先根题意绘出图然设出直线抛物线方程联立出然设出点切线抛物线方程联立出样方式设出点切线出根出结果
详解
图结合题意绘出 图：
设
设直线
联立整理
设点切线
联立整理
设点切线理
直角三角形
选：B
点睛
关键点点睛：题考查直线抛物线相关问题求解考查韦达定理判式应考查学生阿基米德三角形理解两条直线斜率积两条直线互相垂直考查计算力中档题
3．（2020·全国（理））古希腊数学家阿基米德穷竭法建立样结：直线抛物线包围弓形面积底高三角形面积三分四图已知直线交抛物线AB两点点ABy轴射影分DC长方形ABCD中取点根阿基米德理该点位阴影部分概率（ ）
A． B． C． D．
答案C
分析
求出两点坐标阿基米德理计算抛物线中弓形阴影部分面积然概型概率公式计算概率．
详解
代入抛物线方程
∴
∴求概率．
选：C
点睛
题考查概型解题关键求出阴影部分面积读懂应阿基米德理基础．
4．（2020·云南高三（理））抛物线意两点､处切线交点称阿基米德三角形线段抛物线焦点时具特征：①点必抛物线准线②直角三角形③抛物线焦点条弦阿基米德三角形点坐标4直线方程（ ）
A． B．
C． D．
答案A
分析
△PAB阿基米德三角形线段AB抛物线焦点：P点必抛物线准线求出点P（−14）直线PF斜率−2直线AB斜率利点斜式求出直线AB方程
详解
解：题意知抛物线y2＝4x焦点F坐标（10）准线方程：x＝﹣1△PAB阿基米德三角形线段AB抛物线y2＝4x焦点：P点必抛物线准线
∴点P（﹣14）
∴直线PF斜率：＝﹣2
∵PF⊥AB
∴直线AB斜率
∴直线AB方程：y﹣0＝x﹣2y﹣1＝0
选：A
点睛
题考查抛物线定义抛物线性质中档题
5(2014年辽宁卷)已知点抛物线：准线点直线第象限相切点记焦点直线斜率 ( )
A B C D
解析D
解析：知抛物线：设切线方程：代入点A选D秒杀公式：阿基米德三角形：选D
6 抛物线弦弦端点两条切线围成三角形常称阿基米德三角形阿基米德三角形趣性质：抛物线弦焦点弦端点两条切线交点准线．设抛物线y22px（p＞0）弦AB焦点△ABQ阿基米德三角形△ABQ（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．Q位置变化前三种情况
答案B
解析秒杀公式：阿基米德三角形
7 已知PQ抛物线x22y两点点PQ横坐标分4－2PQ分作抛物线切线两切线交点A点A坐标________
答案
8已知点 P ( 3 2)抛物线 C： y 2 2 px (p > 0)准线点 P 直线抛物线 C 相切 AB 两点直线 AB 斜率（ ）
2
A．1 B．
3
C． D． 3
答案
解析P（﹣32）抛物线 C： y 2 2 px (p > 0)准线 p6抛物线
C：y212x根秘籍中性质（1）知AB 中点坐标 P 点坐标相等
y0 2 AB 抛物线焦点设 AB 方程 x ky + 3 代入抛物线方程：y 12ky 36 0
直线 AB 斜率 3
9．（2021·福建高三期中）誉数学神称阿基米德早利逼思想证明结：抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积三分二结著名阿基米德定理面直角坐标系中已知直线：抛物线：交两点弦抛物线围成封闭图形面积___________
答案
分析
利积分意义进行求积分解
详解
联立
弦抛物线围成封闭图形面积
答案：
10．（2021·河南高二期中（理））誉数学神称阿基米德（前287~前212）古希腊伟物理学家数学家天文学家早利逼思想证明结：抛物线弦抛物线围成封闭图形面积等抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积三分二结著名阿基米德定理中三角形称阿基米德三角形．面直角坐标系中焦点抛物线意点值．直线抛物线交两点弦抛物线围成封闭图形面积________．
答案
分析
题意求抛物线联立解结合导数意义求抛物线点点切线方程联立方程组求进围成三角形面积结合题意求封闭图形面积．
详解
值解抛物线方程
联立方程组解
抛物线化
设抛物线点切线斜率分
抛物线点点切线方程分
联立方程组解
抛物线弦弦端点两条切线围成三角形面积
弦抛物线围成封闭图形面积．
答案：
11．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）直线l交CAB两点AB两点原点重合点M（12）线段AB中点．
（1）直线l斜率1求抛物线C方程
（2）分AB两点作抛物线C切线两条切线交点S证明点S条定直线．
答案（1）x2＝2y（2）证明见解析
分析
（1）设直线方程代入抛物线方程消设运韦达定理中点坐标公式求抛物线方程
（2）求导数抛物线处切线斜率点斜式方程点满足抛物线方程处切线方程联立两切线方程相加结合中点坐标公式求点定直线方程．
详解
解：（1）设直线方程代入抛物线
设
点线段中点
抛物线方程
（2）证明：设点线段中点
导数抛物线处切线斜率切线方程
①
理②
①②
．
交点条定直线．
点睛
题考查抛物线方程性质考查直线抛物线位置关系考查计算力属中档题．
12．已知抛物线焦点抛物线两动点两点分作抛物线切线设交点
（1）直线轴分交点面积求值
（2）记面积求值指出时应点坐标
答案(1)2(2)值4时
分析
（1）先求出点切点抛物线切线方程出利面积求出点坐标然求出．
（2）先分写出直线PAPB方程利点P写出直线代入抛物线方程利弦长公式求出点直线距离写出表达式值．
详解
（1）设抛物线方程写成点切点抛物线切线方程： ∴
（2）（1）知：理直线点点坐标满足方程
直线方程：直线点∴
联立
点直线距离
仅时值4时
B卷 力提升
13．（选题）阿基米德伟物理学家更伟数学家高中教材中抛物线做系统深入研究定义抛物线阿基米德三角形：抛物线弦弦端点处两条切线围成三角形称抛物线阿基米德三角形设抛物线：两点横坐标分切点切线交点关阿基米德三角形说法正确（ ）
A．抛物线焦点点定抛物线准线
B．阿基米德三角形正三角形面积
C．阿基米德三角形直角三角形面积值
D．般情况阿基米德三角形面积
答案ABC
分析
设出直线斜截式方程点坐标根导数意义求出切线方程进求出点坐标直线方程抛物线方程联立元二次方程该方程两根积关系
A：抛物线焦点坐标代入直线斜截式方程中根抛物线准线方程进行判断
B：根正三角形性质结合正三角形面积公式进行判断
C：根直角三角形性质结合直角三角形面积公式进行判断
D：根点直线距离公式两点间距离公式进行求解判断
详解
题意知：直线定存斜率
设直线方程：
题意知：点妨设
直线切线方程分：
两方程联立：
解：点坐标：
直线方程抛物线方程联立：
A：抛物线：焦点坐标准线方程
抛物线焦点
显然点定抛物线准线选项说法正确
B：阿基米德三角形正三角形
化简：
时 点坐标：
阿基米德三角形正三角形
正三角形边长
正三角形面积
选项说法正确
C：阿基米德三角形直角三角形时
直线方程：
点坐标：点 直线距离：
直角面积：
仅时取等号显然面积值说法正确
D：
点直线距离：
阿基米德三角形面积
选项说法正确
选：ABC
点睛
关键点睛：解决题关键元二次方程根系数关系整体代换应题重点考查数学运算核心素养应
14．（2021·苏州市第三中学校）（选题）阿基米德（公元前287年—公元前212年古希腊伟物理学家数学家天文学家研究抛物线求积法出著名阿基米德定理享数学神称号抛物线弦弦端点两切线围成三角形称阿基米德三角形图示抛物线两点AB坐标分AB切点切线PAPB相交点P出结中正确（ ）
A．点P坐标
B．边AB直线方程：
C．面积
D．边AB中线行（重合）y轴
答案ABD
分析
写出点处切线方程理点处切线方程联立解坐标进AD正确坐标求出写出直线方程进B正确写出点直线距离弦长公式进然判断C错误．
详解
题意点处切线方程
点处切线方程
联立两方程消
代入点处切线方程
点坐标AD正确
设直线斜率
直线方程
化简B正确
点直线距离
C错误．
选：ABD
点睛
方法点睛：解决焦点轴抛物线切线问题时常利导数意义求解
15．（2018·海交附中高二月考）抛物线条弦中点作行抛物线称轴行线（称轴重合）交抛物线点称该点弦端点顶点三角形条弦阿基米德三角形（简称阿氏三角形）
现抛物线直线：（中常数）直线交抛物线两点设弦阿氏三角形
（1）指出抛物线焦点坐标准线方程
（2）求面积（表示）
（3）称阿氏阶阿氏二阶阿氏三角形三阶……进行记阶阿氏三角形面积探索间关系求
答案（1）焦点坐标：准线方程：（2）（3）
分析
（1）抛物线方程化标准方程求焦点坐标准线方程
（2）直线方程代入抛物线方程利韦达定理求根整理代入整理结果
（3）（2）知继续求解阿氏三角形面积知进分析知穷等数列利穷等数列前项极限求法求结果
详解
（1）：
抛物线焦点坐标准线方程：
（2）代入抛物线方程：
设
中点
（3）设抛物线意条弦（2）知
设弦阿氏三角形次
述讨表明阶中阿氏三角形生成阶中两阿氏三角形者面积前者面积
阶中阿氏三角形面积阶中阿氏三角形面积满足
首先公穷等数列
点睛
题考查直线抛物线综合应中新定义运算问题关键够明确新定义运算实际直线抛物线应中三角形面积求解问题需结合韦达定理表示出需长度求结果题结合穷等数列极限求解难点够分析求数列特征证求数列穷等数列
16．已知抛物线：焦点行轴两条直线分交两点交准线两点．
（Ⅰ）线段中点证明
（Ⅱ）面积面积两倍求中点轨迹方程
答案（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．
分析
设方程
．（Ⅰ）线段（Ⅱ）设轴交点（舍）．设满足条件中点．轴垂直时．轴垂直时重合求轨迹方程．
详解
题设设
．
记两点直线方程
（Ⅰ）线段
记斜率斜率
（Ⅱ）设轴交点
题设（舍）．
设满足条件中点．
轴垂直时．
．
轴垂直时重合求轨迹方程
点睛
题考查1抛物线定义性质2直线抛物线位置关系3轨迹求法．
17．图设抛物线焦点F抛物线点Ay轴距离等|AF|–1
（Ⅰ）求p值
（Ⅱ）直线AF交抛物线点BBx轴行直线FAB垂直直线交点NANx轴交点M求M横坐标取值范围
答案（Ⅰ）p2（Ⅱ）
解析
试题分析：题考查抛物线性质直线抛物线位置关系等基础知识时考查解析基思想方法综合解题力
试题解析：（Ⅰ）题意抛物线点A焦点F距离等点A直线x–1距离抛物线定义p2
（Ⅱ）（Ⅰ）抛物线方程设
AF垂直y轴设直线AF xsy+1消x
直线AB斜率直线FN斜率
直线FN直线BN
设M(m0)AMN三点线
m＜0m＞2
检验m＜0m＞2满足题意
综点M横坐标取值范围
考点抛物线性质直线抛物线位置关系
思路点睛（Ⅰ）题目中出现抛物线点焦点距离时般会想转化抛物线点准线距离．解答题时转化抛物线点准线距离进点轴距离（Ⅱ）通联立方程组点坐标进点坐标利三点线含式子表示进横坐标取值范围
18．设抛物线焦点F动点P直线运动P作抛物线C两条切线PAPB抛物线C分相切AB两点
（1）求△APB重心G轨迹方程
（2）证明∠PFA∠PFB．
答案(1)(2)见解析
解析
试题考查轨迹方程求解证明角相等问题．
解：（1）设切点坐标分
切线方程：切线方程：
解
重心坐标
点直线运动重心轨迹方程：
．
（2）方法1：．
点抛物线外．
理
．
方法2：①时妨设P点坐标P点直线AF距离：直线方程：
．P点直线BF距离：．
②时直线AF方程：
直线方程：
P点直线AF距离：
理P点直线BF距离．
19．图设抛物线方程M直线意点引抛物线切线切点分．
（Ⅰ）设线段中点
（ⅰ）求证：行轴
（ⅱ）已知点坐标时求时抛物线方程
（Ⅱ）否存点点关直线称点抛物线中点满足（坐标原点）．存求出适合题意点坐标存请说明理．
答案（Ⅰ）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）（Ⅱ）仅存点适合题意
分析
（Ⅰ）（ⅰ）设出坐标利导数求切线方程结合线段中点进行化简两点横坐标相等证行轴
（ⅱ）利列方程解方程求进求抛物线方程
（Ⅱ）设出点坐标点坐标求线段中点坐标直线方程抛物线方程求点坐标进行分类讨求点坐标
详解
（Ⅰ）（ⅰ）证明：题意设．
．
直线方程
直线方程．
①．②
①②行轴．
（ⅱ）解：（ⅰ）知时代入①②整理：
方程两根
．
弦长公式．
求抛物线方程．
（Ⅱ）解：设题意
中点坐标
设直线方程
点直线注意点直线
代入．
抛物线
．
．
（1）时时点适合题意．
（2）时
矛盾．
时直线行轴
直线直线垂直题设矛盾
时存符合题意点．
综述仅存点适合题意．
点睛
题考查直线抛物线位置关系考查运算求解力属难题
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