2012届高考数学压轴题预测
专题3 解析
考点 曲线（轨迹）方程求法
1 设两点
满足椭圆离心率短轴长20坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）直线AB椭圆焦点F（0c）（c半焦距）求直线AB斜率k值
（3）试问：△AOB面积否定值？果请予证明果请说明理
解析：例（1）通间关系椭圆方程（2）方程入手通直线方程椭圆方程组成方程组结合韦达定理（3）注意特殊般关系分直线斜率存存讨
答案：（1）
椭圆方程
（2）设AB方程
已知
2
（3）A顶点时B必顶点S△AOB1
AB顶点时设AB方程ykx+b
三角形面积定值
点评：题考查直线椭圆基概念性质二次方程根系数关系解析基思想方法运综合知识解决问题力
2 直角坐标面中△ABC两顶点 A（0－1）B（0 1）面两点GM时满足① ② ③∥
（1）求顶点C轨迹E方程
（2）设PQRN曲线E 定点F坐标（ 0） 已知∥ ∥· 0求四边形PRQN面积S值值
解析：例（1）熟悉量方式表达点特征（2）握直线椭圆位置关系弦长公式灵活运算技巧解决题关键
答案：（1）设C ( x y ) ①知G
△ABC重心 G() ②知M△ABC外心Mx轴
③知M（0）
化简整理：（x≠0）
（2）F（0 ）恰右焦点
设PQ斜率k≠0k≠±直线PQ方程y k ( x －)
设P(x1 y1) Q (x2 y2 ) x1 + x2 x1·x2
| PQ | ·
·
RN⊥PQk换成 | RN |
S | PQ | · | RN |
)
≥2 ≥16
≤ S < 2 ( k ±1时取等号)
k存k 0时S 2
综 ≤ S ≤ 2
Smax 2 Smin
点评：题考查量关知识椭圆直线基关系二次方程根系数关系等式转化基思想方法运综合知识解决问题力
考点二 圆锥曲线性质
3 图F双曲线C：右焦点 P双曲线C右支点位轴方M左准线点坐标原点 已知四边形行四边形 [源学科网ZXXK]
（Ⅰ）写出双曲线C离心率关系式
（Ⅱ）时焦点F行OP直线交双曲线AB点求时双曲线方程
分析 圆锥曲线性质结合图形考查重点注意灵活应第二定义
解：∵四边形∴作双曲线右准线交PMH
（Ⅱ）时双曲线四边形菱形直线OP斜率直线AB方程代入双曲线方程：
：解求
点评：题灵活运圆锥曲线第二定义解题
4 设分椭圆左右顶点椭圆长半轴长等焦距右准线
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设右准线点（40）意点 直线分椭圆相交异点证明：点直径圆
分析：题考查直线圆椭圆等面解析基础知识考查综合运数学知识进行推理运算力解决问题力
解：（Ⅰ）题意 a＝2c＝4解a＝2c＝1b＝
椭圆方程
（Ⅱ）解法1：（Ⅰ）A（－20）B（20）
设M（x0y0）
∵M点椭圆∴y0＝（4－x02）
点M异顶点AB∴－2P（4）
＝（x0－2y0）
＝（2）
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）
代入化简·＝（2－x0）
∵2－x0>0∴·>0∠MBP锐角∠MBN钝角
点BMN直径圆
解法2：（Ⅰ）A（－20）B（20） 设M（x1y1）N（x2y2）
－2题意计算点B圆心Q距离半径差
－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
直线AP方程y＝直线BP方程y＝
点两直线APBP交点P准线x＝4
∴y2＝
点M椭圆
代入化简－＝
点BMN直径圆
点评：题关键联系直线圆椭圆等面解析基础知识运数学知识进行推理运算力解决问题力
考点三 直线圆锥曲线位置关系问题[源学科网]
5 已知抛物线C：意点焦点F距离y轴距离1
（1）求抛物线C方程
（2）焦点F直线交抛物线MN两点M第象限|MF|2|NF|求直线MN方程
（3）求出数学问题正确结作条件提出原问题关新问题称原问题逆问题．
例原问题正四棱锥底面边长4侧棱长3求该正四棱锥体积．求出体积逆问题正四棱锥底面边长4体积求侧棱长正四棱锥体积求侧面面积值．[源Z_xx_kCom]
现正确命题：点直线交抛物线C：PQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必焦点F
试出述命题逆问题解答出逆问题
解析：
答案：解：（1）
（2）设（t>0）F(10)
MFN线
解
直线MN方程
（3）逆问题：
①已知抛物线C：焦点F点F直线交抛物线CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点
证明：设F直线yk(x)
直线RQ必焦点A
②点直线交抛物线CPQ两点FP抛物线交点RRQ垂直x轴
③已知抛物线C：点B(m0 )（m>0）直线交抛物线CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点A(m0)
逆问题二：已知椭圆C：焦点F1(c0)F2(c0)F2直线交椭圆CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点
逆问题三：已知双曲线C：焦点F1(c0)F2(c0)F2直线交双曲线CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点
考点四 圆锥曲线应[源学科网]
（1）．圆锥曲线标准方程性质面量巧妙结合[源学#科#网]
6 （2004年全国高考天津理科22题）椭圆中心原点O短轴长相应焦点F（C0）（C＞0）准线LX轴相交点A点A直线椭圆相交PQ两点[源学科网ZXXK]
（1）求椭圆方程离心率
（2） OP·O Q 0求直线PQ方程
（3）设 A P AQ（＞1）点P行准线L直线椭圆相交点M证明 FM FQ
分析：（1）求椭圆方程离心率重点熟悉种二次曲线标准方程中心长轴长短轴长焦点坐标标准方程离心率焦距等关概念性质解：（1）根已知条件椭圆中心原点O短轴长相应焦点F（C0）（C＞0）准线LX轴相交点A 设椭圆方程 （a＞）联系两关ac方程组解ac2椭圆方程离心率e
（2）根已知条件 O P·O Q 0 设 P Q两量数量积形式转化坐标表示形式根直线 PQ A（30）须求出直线PQ斜率K求出直线PQ方程PQ两点椭圆容易想通直线yk（x3）椭圆联系方程组消未知数y（x）利元二次方程根系数关系结合难求出k里应特注意K值保证＞0成立否法保证直线PQ椭圆两交点[源学科网]
（3）证F M F Q 容易想通式中两量FMFQ坐标间关系谋求证题方法根题意点P行准线L直线椭圆相交点M求点M坐标APAQ易知FMFQ两坐标已满足现考虑问题证明FMFQ两横坐标应该满足
事实
注意＞1解 ⑤
F（20）MFM
FQFMFQ
点评：题考查椭圆标准方程性质相关概念直线方程面量坐标表示量数量积元二次方程组解法曲线方程关系直线椭圆相交等解析基础思想方法分析问题综合解题力
两量间关系转化两量坐标间关系通代数运算方法解决关量问题种常解题手段
7 （江苏卷）已知记点P轨迹E
（1）求轨迹E方程
（2）直线l点F2轨迹E交PQ两点
（i）直线l绕点F2样转动x轴总存定点恒成立求实数m值
（ii）PQ作直线垂线PAOB垂足分AB记求λ取值范围
解析：
答案：解：（1）知点P轨迹EF1F2焦点双曲线右支轨迹E方程
（2）直线l斜率存时设直线方程双曲线方程联立消y
解k2 >3
（i）
意
恒成立[源ZxxkCom]
∴m －1时MP⊥MQ
直线l斜率存时知结成立
综m －1时MP⊥MQ
（ii）双曲线右准线
双曲线定义：
方法：
注意直线斜率存时
综
方法二：设直线PQ倾斜角θ直线PQ双曲线右支二交点
Q作QC⊥PA垂足C
：
[源学_科_网]
（2）圆锥曲线标准方程性质导数机联系
10．（2004年全国高考福建理科22题）图P抛物线C：点直线L点P抛物线C交点Q
（Ⅰ）直线L点P切线垂直求线段PQ中点M轨迹方程
（Ⅱ）直线L原点X轴交SY轴交点T试求
分析：（1）求线段PQ中点M轨迹方程常M坐标转化线段PQ两端点坐标间关系PQ两点直线L抛物线交点容易想直线L方程抛物线C方程相联立消y（x）转化元二次方程根系数关系问题外求抛物线P切线斜率问题然会想求出数导数
解：（1）事实样P斜率直线L点P切线垂直直线L斜率（≠0）设直线L方程结合消y化简
设QMMPQ中点
消M轨迹方程
M轨迹方程
（2）根式子特点然想面直角坐标系中两点间距离公式先求ST两点坐标易知：
∴
∴≥·≥2
∵取切相等正数
∴取值范围（2）
点评：里解法2004年福建省高考数学评标准答案解法优点添加辅助线方法直接出作答更贴考生学实际
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专题3 解析
考点 曲线（轨迹）方程求法
1 设两点
满足椭圆离心率短轴长20坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）直线AB椭圆焦点F（0c）（c半焦距）求直线AB斜率k值
（3）试问：△AOB面积否定值？果请予证明果请说明理
解析：例（1）通间关系椭圆方程（2）方程入手通直线方程椭圆方程组成方程组结合韦达定理（3）注意特殊般关系分直线斜率存存讨
答案：（1）
椭圆方程
（2）设AB方程
已知
2
（3）A顶点时B必顶点S△AOB1
AB顶点时设AB方程ykx+b
三角形面积定值
点评：题考查直线椭圆基概念性质二次方程根系数关系解析基思想方法运综合知识解决问题力
2 直角坐标面中△ABC两顶点 A（0－1）B（0 1）面两点GM时满足① ② ③∥
（1）求顶点C轨迹E方程
（2）设PQRN曲线E 定点F坐标（ 0） 已知∥ ∥· 0求四边形PRQN面积S值值
解析：例（1）熟悉量方式表达点特征（2）握直线椭圆位置关系弦长公式灵活运算技巧解决题关键
答案：（1）设C ( x y ) ①知G
△ABC重心 G() ②知M△ABC外心Mx轴
③知M（0）
化简整理：（x≠0）
（2）F（0 ）恰右焦点
设PQ斜率k≠0k≠±直线PQ方程y k ( x －)
设P(x1 y1) Q (x2 y2 ) x1 + x2 x1·x2
| PQ | ·
·
RN⊥PQk换成 | RN |
S | PQ | · | RN |
)
≥2 ≥16
≤ S < 2 ( k ±1时取等号)
k存k 0时S 2
综 ≤ S ≤ 2
Smax 2 Smin
点评：题考查量关知识椭圆直线基关系二次方程根系数关系等式转化基思想方法运综合知识解决问题力
考点二 圆锥曲线性质
3 图F双曲线C：右焦点 P双曲线C右支点位轴方M左准线点坐标原点 已知四边形行四边形 [源学科网ZXXK]
（Ⅰ）写出双曲线C离心率关系式
（Ⅱ）时焦点F行OP直线交双曲线AB点求时双曲线方程
分析 圆锥曲线性质结合图形考查重点注意灵活应第二定义
解：∵四边形∴作双曲线右准线交PMH
（Ⅱ）时双曲线四边形菱形直线OP斜率直线AB方程代入双曲线方程：
：解求
点评：题灵活运圆锥曲线第二定义解题
4 设分椭圆左右顶点椭圆长半轴长等焦距右准线
（Ⅰ）求椭圆方程
（Ⅱ）设右准线点（40）意点 直线分椭圆相交异点证明：点直径圆
分析：题考查直线圆椭圆等面解析基础知识考查综合运数学知识进行推理运算力解决问题力
解：（Ⅰ）题意 a＝2c＝4解a＝2c＝1b＝
椭圆方程
（Ⅱ）解法1：（Ⅰ）A（－20）B（20）
设M（x0y0）
∵M点椭圆∴y0＝（4－x02）
点M异顶点AB∴－2
＝（x0－2y0）
＝（2）
∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）
代入化简·＝（2－x0）
∵2－x0>0∴·>0∠MBP锐角∠MBN钝角
点BMN直径圆
解法2：（Ⅰ）A（－20）B（20） 设M（x1y1）N（x2y2）
－2
－＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]
＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1
直线AP方程y＝直线BP方程y＝
点两直线APBP交点P准线x＝4
∴y2＝
点M椭圆
代入化简－＝
点BMN直径圆
点评：题关键联系直线圆椭圆等面解析基础知识运数学知识进行推理运算力解决问题力
考点三 直线圆锥曲线位置关系问题[源学科网]
5 已知抛物线C：意点焦点F距离y轴距离1
（1）求抛物线C方程
（2）焦点F直线交抛物线MN两点M第象限|MF|2|NF|求直线MN方程
（3）求出数学问题正确结作条件提出原问题关新问题称原问题逆问题．
例原问题正四棱锥底面边长4侧棱长3求该正四棱锥体积．求出体积逆问题正四棱锥底面边长4体积求侧棱长正四棱锥体积求侧面面积值．[源Z_xx_kCom]
现正确命题：点直线交抛物线C：PQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必焦点F
试出述命题逆问题解答出逆问题
解析：
答案：解：（1）
（2）设（t>0）F(10)
MFN线
解
直线MN方程
（3）逆问题：
①已知抛物线C：焦点F点F直线交抛物线CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点
证明：设F直线yk(x)
直线RQ必焦点A
②点直线交抛物线CPQ两点FP抛物线交点RRQ垂直x轴
③已知抛物线C：点B(m0 )（m>0）直线交抛物线CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点A(m0)
逆问题二：已知椭圆C：焦点F1(c0)F2(c0)F2直线交椭圆CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点
逆问题三：已知双曲线C：焦点F1(c0)F2(c0)F2直线交双曲线CPQ两点设点P关x轴称点R直线RQ必定点
考点四 圆锥曲线应[源学科网]
（1）．圆锥曲线标准方程性质面量巧妙结合[源学#科#网]
6 （2004年全国高考天津理科22题）椭圆中心原点O短轴长相应焦点F（C0）（C＞0）准线LX轴相交点A点A直线椭圆相交PQ两点[源学科网ZXXK]
（1）求椭圆方程离心率
（2） OP·O Q 0求直线PQ方程
（3）设 A P AQ（＞1）点P行准线L直线椭圆相交点M证明 FM FQ
分析：（1）求椭圆方程离心率重点熟悉种二次曲线标准方程中心长轴长短轴长焦点坐标标准方程离心率焦距等关概念性质解：（1）根已知条件椭圆中心原点O短轴长相应焦点F（C0）（C＞0）准线LX轴相交点A 设椭圆方程 （a＞）联系两关ac方程组解ac2椭圆方程离心率e
（2）根已知条件 O P·O Q 0 设 P Q两量数量积形式转化坐标表示形式根直线 PQ A（30）须求出直线PQ斜率K求出直线PQ方程PQ两点椭圆容易想通直线yk（x3）椭圆联系方程组消未知数y（x）利元二次方程根系数关系结合难求出k里应特注意K值保证＞0成立否法保证直线PQ椭圆两交点[源学科网]
（3）证F M F Q 容易想通式中两量FMFQ坐标间关系谋求证题方法根题意点P行准线L直线椭圆相交点M求点M坐标APAQ易知FMFQ两坐标已满足现考虑问题证明FMFQ两横坐标应该满足
事实
注意＞1解 ⑤
F（20）MFM
FQFMFQ
点评：题考查椭圆标准方程性质相关概念直线方程面量坐标表示量数量积元二次方程组解法曲线方程关系直线椭圆相交等解析基础思想方法分析问题综合解题力
两量间关系转化两量坐标间关系通代数运算方法解决关量问题种常解题手段
7 （江苏卷）已知记点P轨迹E
（1）求轨迹E方程
（2）直线l点F2轨迹E交PQ两点
（i）直线l绕点F2样转动x轴总存定点恒成立求实数m值
（ii）PQ作直线垂线PAOB垂足分AB记求λ取值范围
解析：
答案：解：（1）知点P轨迹EF1F2焦点双曲线右支轨迹E方程
（2）直线l斜率存时设直线方程双曲线方程联立消y
解k2 >3
（i）
意
恒成立[源ZxxkCom]
∴m －1时MP⊥MQ
直线l斜率存时知结成立
综m －1时MP⊥MQ
（ii）双曲线右准线
双曲线定义：
方法：
注意直线斜率存时
综
方法二：设直线PQ倾斜角θ直线PQ双曲线右支二交点
Q作QC⊥PA垂足C
：
[源学_科_网]
（2）圆锥曲线标准方程性质导数机联系
10．（2004年全国高考福建理科22题）图P抛物线C：点直线L点P抛物线C交点Q
（Ⅰ）直线L点P切线垂直求线段PQ中点M轨迹方程
（Ⅱ）直线L原点X轴交SY轴交点T试求
分析：（1）求线段PQ中点M轨迹方程常M坐标转化线段PQ两端点坐标间关系PQ两点直线L抛物线交点容易想直线L方程抛物线C方程相联立消y（x）转化元二次方程根系数关系问题外求抛物线P切线斜率问题然会想求出数导数
解：（1）事实样P斜率直线L点P切线垂直直线L斜率（≠0）设直线L方程结合消y化简
设QMMPQ中点
消M轨迹方程
M轨迹方程
（2）根式子特点然想面直角坐标系中两点间距离公式先求ST两点坐标易知：
∴
∴≥·≥2
∵取切相等正数
∴取值范围（2）
点评：里解法2004年福建省高考数学评标准答案解法优点添加辅助线方法直接出作答更贴考生学实际
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