2020届华南师范大学附属中学高三上学期月考（二）数学（理）试题 PDF版

页 1 第
华南师附中 2020 届高三年级月考（二）
数 学（理科）
试卷分选择题非选择题两部分 4 页满分 150 分考试时 120 分钟
注意事项：
1．试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分答卷前考生务必姓名考生
号试室号座位号等填写答题卡 2B 铅笔答题卡相应位置填涂考生号
2．回答第Ⅰ卷时选出题答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号
3．回答第Ⅱ卷时黑色钢笔签字笔答案写答卷
第Ⅰ卷
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合题目
求
1．设i 虚数单位已知 2zi i复数 z 复面应点坐标（***）
（A）( 1 2) （B）( 1 2) （C）(1 2) （D）(1 2)
2．已知 3sin 2 4 
42
sin cos 值（***）
（A） 1
2
（B） 1
2 （C） 1
4
（D） 1
4
3．△ ABC 中角 ABC 边分 a b c 13a 3b 60A °边 c
（***）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）6
4．已知 nS 等差数列{}na 前 n 项 1 3 5 8 102( ) 3( ) 36a a a a a     11S  （***）
（A）66 （B）55 （C）44 （D）33
5．已知集合 { | 2 5}   A x x { | 1 2 1}    B x m x m UABA实数 m 取值范围
（***）
（A）[2 3] （B）(2 3] （C）( 3] （D）(2 )
6．△ ABC 中 AD BC 边中线 E AD 中点 
uuur
EB （***）
（A） 31
44
uuur uuur
AB AC （B） 13
44
uuur uuur
AB AC
（C） 31
44
uuur uuur
AB AC （D） 13
44
uuur uuur
AB AC
7．存正数 x 2 ( ) 1x xa 成立 a 取值范围（***）
（A）()   （B）( 2 )   （C）(0 ) （D）( 1 )  
8．已知函数 ()fx定义域 R． 0x 时 3( ) 1f x x 11  x 时 ()()  f x f x 1
2x
时 11
22
           
f x f x ． (6) f （***）
（A） 2 （B） 1 （C）0 （D）2 页 2 第
9．设 1a 1b 1)(  baab （***）
（A） ba  值 )12(2  （B） ba  值 322 
（C） ab 值 12  （D） ab 值 12 
10．已知
r
a
r
b
r
e 面量 单位量非零量
r
e 夹角
3
 量
r
b 满足
2
4 3 0   
r r r
b e b ||
rr
ab值（***）
（A） 31 （B） 31 （C）2 （D） 23
11．已知函数
1 3 ( 1 0]() 1
(01]
xfx x
xx
    
 
()()g x f x mx m   ( 11] 仅两
零点实数 m 取值范围（***）
（A） 91 2 042
      
U （B） 11 1 2 042
      
U
（C） 92 2 043
      
U （D） 11 2 2 043
      
U
12．已知函数 23( ) 22f x x ax（ 0a  ） 2( ) lng x a x b公点公点处切线方程相
实数b 值（***）
（A） 2
1
2e （B） 21
2 e （C） 1
e （D） 2
3
2e
第Ⅱ卷
二填空题（题 5 分满分 20 分）
13． x y 满足等式组
20
10
50

   
   
y
xy
xy
y
x
值__________．
14．已知函数
2 1 0()
2 0
  
xxfx
xx
( ) 10fx x __________．
15．已知函数 ( ) sin 3cosf x x x （ 0  ）方程 ( ) 1fx (0 ) 四实数
根实数 取值范围__________．
16．已知数列{}na 中 1 1a  1 2 3 1nna a n    （*nN ）前 n 项 nS  __________．
三解答题： 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤第 1721 题必考题试题考生
必须作答第 2223 题选考题考生根求作答
（）必考题： 60 分
17．已知数列{}na 前 n 项 nS满足 2 3 1nnSa（*nN）．
（1）求数列 通项公式 页 3 第
（2）设 32log  n
n
n
ab a
nT 数列{}nb 前 n 项求证： 15
4nT．
18．已知直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中 120BAC ° 2AB AC 1 3AA E BC 中点
F 1AE点 1 3A F FE ．
（1）证明： AF 面 1A BC
（2）求二面角 11BAEB 余弦值．




19．图椭圆
22
221xyC ab
（ 0ab ）离心率 3
2e 椭圆C 短轴长 2．
（1）求椭圆 方程
（2）设直线 l 点 10 2

D椭圆 相交 MN 两点点 P 椭圆 顶点求
△ PMN 面积值．


20．某中学解中学生课外阅读时间决定该中学 1200 名男生 800 名女生中分层抽样
方法抽取 20 名学生课外阅读时间进行问卷调查．现课外阅读时间情况学生分成三类：
A 类（参加课外阅读）B 类（参加课外阅读均周参加课外阅读时间超 3 时）C 类（参
加课外阅读均周参加课外阅读时间超 3 时）．调查结果表：
类 B 类 C 类
男生 x 5 3
女生 y 3 3
（1）求出表中 y 值
（2）根表中统计数完成面列联表判断否 90握认参加课外阅读否
性关
男生 女生 总计
参加课外阅读
参加课外阅读
总计

（3）抽出女生中机抽取 3 进步解情况记 X 抽取 3 名女生中 类数 类
数差绝值求 X 数学期．
附：
2
2 ()
( )( )( )( )
    
n ad bcK a b c d a c b d
C1
B1
A1
F
E
C
B
A页 4 第
2
0()P K k 010 005 001
0k 2706 3841 6635

21．已知函数 ( ) (3 2)xf x e x ( ) ( 2)g x a x 中 a xR．
（1）求 ()y f x 点(1 )e 处切线方程
（2）意 ()()f x g x 恒成立求 a 取值范围
（3）存唯整数 0x 00()()f x g x 求 a 取值范围．

（二）选考题： 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第题计分
22．面直角坐标系 xOy 中已知曲线 1C 参数方程
5 10 cos
10 sin


 

x
y
（ ）坐标原点O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系曲线 2C 极坐标方程 4cos ．
（1）求曲线 曲线 2C 两交点直线极坐标方程
（2）直线l 极坐标方程 sin 2 24

直线l y 轴交点 M曲线 相交 A
B 两点求| | | |MA MB 值．
23．已知函数 ( ) | 1| | |   f x x x t （ tR）．
（1） 2t 时求等式 ( ) 2fx 解集
（2）意 [1 2]t [ 1 3]x ()f x a x 恒成立求实数 a 取值范围 页 5 第
数学（理科）参考答案

选择题：
1—4：AACD 5—8：CADD 9—12：AAAA

二填空题
13．2． 14． 3 ．
15． 7 2526

 
． 16．
2
2 3724 2
n nn  ．

三解答题：
17．解答：（1） 1n 时 1 1a
2n 时 2 3 1nnSa 112 3 1nnSa两式相减 13 nnaa
{}na 3 公等数列 1 1a
13  n
na ．
（2）（1） 1
1
3 
n n
nb 错位相减法
0 1 1
1 1 12 3 ( 1)3 3 3       Ln nTn①
11
1 1 1 12 ( 1)3 3 3 3      Ln nnT n n ②
两式相减 21
2 1 1 1 1 5 2 523 3 3 3 3 2 2 3
       
Ln n n n
nnT
1
15 2 5
4 4 3 
n n
nT
15
4nT．

18．解答：（1）连接 AE AF △ ABC 中
11sin12022  oAB AC BC AE
1AE
三棱柱 1 1 1ABC A B C 直三棱柱 1 AA 面 ABC 页 6 第
1 AA AE
直角三角形 1A AE 中 1 3AA 1AE
1 2AE 1
2EF
1 AEAE
EF AE
AFE 直角 1 A E AF
E BC 中点△ ABC 等腰三角形知 AE BC
结合 1 AA BC 1 IAA AE A BC 面 1A AE BC AF
综合 1 IBC A E E AF 面 1A BC
（2） 图点 E 坐标原点 EC EA 1EE （ 1E 11BC 中点）直线
x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
3tan 60o
AEBE ( 3 0 0)B 1(01 3)A(0 0 0)E 1( 3 0 3)B
( 3 0 0)
uuur
EB 1 (01 3)
uuur
EA 1 ( 3 0 3)
uuur
EB
设面 1BAE 法量 1 1 1 1()
ur
n x y z 面 11BAE 法量 2 2 2 2()
uur
n x y z
1
11
0
0
  
ur uuur
ur uuur
n EB
n EA
1
11
30
30
 
x
yz

取 1 1z 1 (0 31)
ur
n
理 2 (1 31)
uur
n

12
12
12
4 2 5cos 5| | | | 25
   
 
ur uurur uur
ur uurnnnn
nn

二面角 11BAEB 余弦值 25
5 ．
19．解答：（1）已知
2 2 2
22
3
2

 


b
c
a
a b c
解
2
1
3
 
 
 
a
b
c

C1
B1
A1
F
E
C
B
A
z
y x
A
B
C
E
F
A1
B1
C1页 7 第
椭圆C 方程
2
2 14 x y
（2）已知知直线l 斜率定存设直线 方程 1
2y kx 11()M x y 22()N x y

2
2 14
1
2
 
 
x y
y kx
22(1 4 ) 4 3 0   k x kx 12 2
4
14
kxx k
12 2
3
14
 xx k


2
22
1 2 1 2 1 2 22
4(16 3)| | ( ) 4 (1 4 )
     
kx x x x x x k
3||2PD
2
12 2
1 3 16 3| | | |2 2(1 4 )
    PMN
kS PD x x k

令 216 3 3  mk
2
2 3
16
 mk
2
36
132 1 4 16
  
PMN
mS
m m m

令 1()g m m m
（ 3m ） 2
1＇( ) 1 0  gm m

()gm[ 3 ) 单调递增 3m 时时 0k 值 43
3 时 PMNS
值 33
2
．




20．解答：（1）设抽取 20 中男女生数分 1n 2n 1
20 1200 122000
n
2
20 800 82000
n
12 5 3 4   x 8 3 3 2   y
（2）列联表： 页 8 第
男生 女生 总计
参加课外阅读 4 2 6
参加课外阅读 8 6 14
总计 12 8 20
2K 观测值
220(4 6 2 8) 10 0159 270612 8 14 6 63
       k
没 90握认参加阅读否性关
（3）X 取值 0123

3 1 1 1
3 2 3 3
3
8
19( 0) 56
  CCCCPX C
2 1 2 1 1 2 2 1
3 3 3 2 2 3 2 3
3
8
3( 1) 7
  CCCCCCCCPX C
2 1 2 1
2 3 3 3
3
8
3( 2) 14
  CCCCPX C
3
3
3
8
1( 3) 56  CPX C
X 分布列：
X 0 1 2 3
P
19
56 3
7 3
14 1
56
数学期 19 3 3 1 51( ) 0 1 2 356 7 14 56 56        EX ．

21．解答：（1）题意 ＇( ) (3 1)xf x e x ＇(1) 4k f e
()y f x 点(1 )e 处切线方程 4 ( 1)  y e e x 43y ex e
（2）题意意 xR (3 2) ( 2)  xe x a x 恒成立
① ( 2) x 时 (3 2)
2
 
xexa x
恒成立
max
(3 2)
2
 
xexa x
令 (3 2)() 2
 
xexFx x

2
2
(3 8 )＇( ) ( 2)
 
xe x xFx x
令 ＇( ) 0Fx 0x
( 0) x 时 ＇( ) 0Fx (0 2)x 时 ＇( ) 0Fx ()y F x ( 0) 单调递增(0 2)
单调递减 0x 处取极值值 (0) 1F时 1a
② 2x 时恒成立时 aR 页 9 第
③ (2 )  x 时 (3 2)
2
 
xexa x
恒成立
min
(3 2)
2
 
xexa x
令 (3 2)() 2
 
xexFx x

2
2
(3 8 )＇( ) ( 2)
 
xe x xFx x
令 ＇( ) 0Fx 8
3x
82 3

x 时 ＇( ) 0Fx 8 3
  
x 时 ＇( ) 0Fx ()y F x 82 3


单调递减
8 3

单调递增 8
3x 处取极值值
8
38 93

Fe时
8
39ae
综
8
319ae
（3） ()()f x g x (3 2) ( 2)  xe x a x
（2）知
8
3( 1) 9    

Uae
令 表：
x ( 0) 0 (0 2) 82 3


8
3
8 3


＇( )Fx + 0 0 +
()Fx 单调递增 极 单调递减 单调递减 极 单调递增
( 2) x 存唯整数 0x 00()()f x g x 等价 (3 2)
2
 
xexa x
存唯整数 成
立
(0) 1F 5( 1) 3F e
1(1) F e
5
3a e
时少两整数成立
5 13
 
a e
存唯整数 等价 (3 2)
2
 
xexa x
存唯整数 成
立 页 10 第

8
38 93

Fe 3(3) 7Fe 4(4) 5Fe 45ae时少两整数成立
37ae时没整数成立 34(7 5 ]ee
综 345 1 (7 5 ]3


U eee
．

（二）选考题： 10 分请考生第 2223 题中选题作答果做做第题计分
22．解答：(1) 曲线 1C 普通方程 22( 5) 10  xy
曲线 2C 普通方程 224x y x 22( 2) 4  xy
两圆心距离 3 ( 10 2 10 2)   d 两圆相交
两方程相减交线方程 6 21 5  x 5
2x
直线极坐标方程 5cos 2
（2）直线l 直角坐标方程 4xy y 轴交点 (0 4)M
直线 参数方程
2
2
24 2
 
 
xt
yt
（t 参数）
代入曲线 2 9 2 31 0  tt
设 AB 两点应参数分 1t 2t
12 92  tt 12 31tt 号
1 2 1 2| || |||||| |92     MA MB t t t t ．

23．解答：（1） 2t 时 ( ) | 1| | 2 |   f x x x
1x ( ) 3 2f x x ( ) 2fx 解 1
2x 综合
12x ( ) 1fx 显然 成立 页 11 第
2x ( ) 2 3f x x ( ) 2fx 解 5
2x 综合
等式 解集 15|22

x x x ．
（2）()f x a x 等价 ()a f x x 令 ()()g x f x x
11  x 时 ( ) 1 3  g x t x 显然 min( ) (1) 2  g x g t
1xt时 ( ) 1  g x t x 时 min( ) ( ) 1  g x g t
3tx 时 ( ) 1  g x x t min( ) ( ) 1  g x g t
综知 [ 1 3]x 时 min( ) min{ 2 1}  g x t
[1 2]t 2 [ 1 0]  t
min( ) 1gx 1a
综 a 取值范围( 1] 


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