2020届重庆市第八中学高三第四次月考（12月）数学（理）试题
单选题
1．已知集合（ ）
A． B．
C． D．
答案C
解析直接通解等式求出
详解
解：集合
选：C
点睛
题考查集合补集运算基础题
2．复数纯虚数中实数（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析纯虚数定义m＝0化简．
详解
复数z＝m（m+1）+（m+1）i纯虚数m（m+1）＝0（m+1）≠0
解m＝0z＝ii．
选：B．
点睛
题考查复数分类复数运算属基础题．
3．设数列前n项已知（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析利出先求出利递推式求出
详解
解：时
整理
选：C
点睛
题考查数列递推式应基础题
4．设双曲线离心率2双曲线离心率（ ）
A．2 B． C． D．
答案B
解析先通离心率求出关系利关系进步求出离心率
详解
解：
选：B
点睛
题考查双曲线离心率计算关键找关系基础题
5．已知函数（ ）
A．图关直线称 B．图关点称
C．单调递减 D．单调
答案B
解析观察函数特点求出定义域定义域根选项代入特殊值判断函数称性单调区间进步证明
详解
解：函数定义域
排A排C
定义域单调递增定义域单调递减
定义域单调递增排D
现证明B正确性：
图关点称
选：B
点睛
题考查函数基性质定义域单调性称性中档题
6．已知量量量夹角（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析量行坐标运算参数值根两量垂直
详解
解
时量量夹角．
选D
点睛
题目考查量行坐标运算量点积坐标运算量两作：①载体作：关键利量意义作脱量外衣转化熟悉数学问题②工具作：利量解决垂直行夹角距离问题
7．点作圆圆切线切点分AB值（ ）
A． B． C． D．5
答案B
解析通切线长定理出点线段垂直分线求出线段垂直分线方程代入点坐标进步代入利二次函数性质求值
详解
图：
圆切线性质：
点线段垂直分线
垂直分线
点点坐标满足
值
选：B
点睛
题考查圆切线问题关键目标式转化变量函数求函数值难度考查学生计算力
8．已知函数图象点相邻两零点距离图象图象点（ ）
A．先右移单位长度点横坐标变原坐标变
B．先右移单位长度点横坐标变原坐标变
C．先右移单位长度点横坐标变原倍坐标变
D．先右移单位长度点横坐标变原倍坐标变
答案A
解析题意知∵∴∵∴：∴图象先右移单位长度点横坐标变原倍坐标变图象选A
9．ABCDEF六名学参加项赛决出第第六名次ABC三询问赛结果裁判A说：B第名B说差C说：AB成绩回答分析：六名次（ ）种情况
A．720 B．240 C．180 D．128
答案C
解析根裁判说AB第B第六CAB成绩C名次分类讨求出结果
详解
CAB成绩AB第C第六第五
C第四名时B第五A第六种
C第三名时种
C第二名时种
C第名时种
综：总种
选：C
点睛
题考查分类计数原理重点理清裁判话进行分类讨中档题
10．函数区间值M值m（ ）
A．a关b关 B．a关b关
C．a关b关 D．a关b关
答案B
解析设结合二次函数图象性质设函数处取值处取值答案
详解
解：设
∴
设函数处取值处取值
∴a关b关
选：B．
点睛
题考查知识点二次函数图象性质熟练掌握二次函数图象性质解答关键．
11．已知水面篮球球中心斜行光线射阴影椭圆（图）面直角坐标系中椭圆中心O原点设椭圆方程篮球面接触点H长（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析行光线射程中椭圆短半轴长圆半径球心椭圆中心距离椭圆长半轴球心面做垂线垂足直角三角形求结果．
详解
解：射程中椭圆短半轴长圆半径
图
中点球心椭圆中心距离椭圆长半轴
球心面做垂线垂足
构成直角三角形中
选：B．
点睛
题考查圆锥曲线实际背景作解决题关键清楚行光线射投影中球量中变变量．
12．已知2开始连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表第行2第行46第三行12108第四行14161820图示宝塔形数表中位第i行第j列数记（ ）
A．65 B．70 C．71 D．72
答案C
解析题意正偶数等差数列图摆放找行放数行数字总数数列项关系发现规律
详解
解：图知第行放1偶数第二行放2偶数第3行放3偶数…
指图中摆放第行第列
先求第行偶数
该偶数2020接成行数字
时
第44行偶数1980第45行第45偶数1982
利等差数列意两项间关系知2020应出该行第451926列
．
选：C．
点睛
题考查等差数列通项公式意两项间项项数间关系考查学生观察分析力考查简单合理推理等基础知识考查运算求解力推理证力中档题．
二填空题
13．设直线圆交点________
答案1
解析坐标代入直线圆方程消值
详解
解：直线圆交点
坐标代入直线圆方程
① ②
①②
答案：
点睛
题考查直线圆交点问题基础题
14．已知函数奇函数时曲线点处切线方程________
答案
解析求出时函数解析式计算值求出切线方程．
详解
解：∵函数奇函数
时
妨设
时
切线方程：
整理：
答案：．
点睛
题考查函数奇偶性问题考查求函数切线方程道中档题．
15．边长1正方形ABCD中动点P点C圆心BD相切圆值________
答案3
解析根题意A坐标原点ABx轴ADy轴建立坐标系ABCD坐标直线BD方程进圆C方程设P坐标量坐标公式坐标量坐标计算公式进表达式相加分析答案．
详解
解：根题意图
A坐标原点ABx轴ADy轴建立坐标系：
BD方程x＋y＝1
点C圆心BD相切圆C半径
圆C方程
P圆C设P坐标
值3
答案：3．
点睛
题考查直线圆方程应涉面量基定理注意建立坐标系分析P坐标关系中档题．
16．中DBC边点面积________
答案
解析根题意画出图形结合图形求值利余弦定理求ACAB值利三角形面积公式求AD值．
详解
解：中∠BAD＝∠DAC＝60°图示
余弦定理
解AC＝6
∴AB＝10
解．
答案：．
点睛
题考查解三角形应问题基础题．
三解答题
17．角ABC边分abc已知
（1）求A
（2）求面积值
答案（1）（2）
解析(1)已知等式利正弦定理化简整理求出值确定出角A
(2)值利余弦定理列出关系式利基等式求出bc值确定出三角形ABC面积值．
详解
解：（1）：
正弦定理：
∴
∵
∴
∵
∴
（2）（1）知余弦定理
∵（仅时取等号）
∴
面积值
点睛
题考查正弦余弦定理三角形面积公式两角差正弦函数公式基等式应熟练掌握定理公式解题关键．
18．设等差数列公差d前n项等数列公q已知
（1）求数列通项公式
（2）时记求数列前n项
答案（1）（2）
解析(1)已知求公差首项
(2) ①②利错位相减法①−②．
详解
解：（1）
时
时
（2）时（1）
∴
∴
∴
∴．
点睛
题考查等差数列通项公式错位相减法求属基础题．
19．已知动圆定点x轴截弦长4
（1）求动圆圆心M轨迹方程C
（2）设x轴垂直直线l轨迹C交手两点求证：直线l定点
答案（1）（2）证明见解析
解析（1）设动圆圆心利垂径定理列方程轨迹方程
（2）设轨迹C联立根系数关系代入关系代入找定点．
详解
解：（1）设动圆圆心化简
（2）易知直线l斜率存设
韦达定理：
直线
直线定点
点睛
题考查轨迹方程求法考查直线恒定点问题考查学生运算力中档题．
20．已知函数
（1）求k
（2）确定k取值存意恒
答案（1）（2）k取值范围
解析（1）先验证合题意通导数确定单调性值求值
（2）分讨构造函数利导数求单调性值进k取值范围
详解
解：（1）
符合题意
时单调递增时单调递减
令单调递增单调递减
（2）（1）知时
存满足题意
时
（舍）
时单调速增
时
综k取值范围
点睛
题考查导数应等基础知识考查推理证力运算求解力考查函数方程思想化转化思想道难度较题目．
21．已知椭圆直线交点点P椭圆C点值
（1）求椭圆C标准方程
（2）设直线椭圆C交两点AB点O坐标原点面积S时求取值范围
答案（1）（2）
解析（1）设点利量坐标运算研究值建立方程求出值椭圆C标准方程
（2）设直线椭圆C联立求出点O直线l距离求出面积S表达式利基等式求面积S值根值成立条件前面求出点M轨迹方程进范围转化利导数研究单调性求出取值范围
详解
解：（1）设点题意知
时取值
椭圆C标准方程
（2）设
点O直线l距离
S取值仅①
时
代入①式整理
点M轨迹椭圆
点椭圆左右焦点
记
令T单调递减单调递增
T取值范围
点睛
题考查直线椭圆位置关系考查根系数关系应考查值问题难度较计算力求较高考查学生综合分析问题力
22．直角坐标系中曲线参数方程（t参数）原点O极点x轴非负半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程点
（1）写出曲线普通方程参数方程
（2）曲线交曲线AB两点求曲线普通方程
答案（1）曲线普通方程：参数方程：（参数）（2）曲线普通方程：
解析（1）利极坐标方程化普通方程进化参数方程
（2）曲线参数方程代入曲线普通方程利根系数关系列方程求出值进曲线普通方程．
详解
解：（1）
曲线普通方程：
曲线参数方程：（参数）
（2）曲线参数方程代入曲线普通方程：
：
曲线普通方程：
点睛
题考察极坐标方程普通方程互化普通方程参数方程互化考查直线参数方程应基础题．
23．已知
（1）求等式解集
（2）值M求值
答案（1）（2）
解析（1）求出范围进范围
（2）首先求出值值利柯西等式基等式求值
详解
解：（1）∵
等式解集：
（2）
点睛
题考查解绝值等式柯西等式基等式应中档题
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单选题
1．已知集合（ ）
A． B．
C． D．
答案C
解析直接通解等式求出
详解
解：集合
选：C
点睛
题考查集合补集运算基础题
2．复数纯虚数中实数（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析纯虚数定义m＝0化简．
详解
复数z＝m（m+1）+（m+1）i纯虚数m（m+1）＝0（m+1）≠0
解m＝0z＝ii．
选：B．
点睛
题考查复数分类复数运算属基础题．
3．设数列前n项已知（ ）
A． B． C． D．
答案C
解析利出先求出利递推式求出
详解
解：时
整理
选：C
点睛
题考查数列递推式应基础题
4．设双曲线离心率2双曲线离心率（ ）
A．2 B． C． D．
答案B
解析先通离心率求出关系利关系进步求出离心率
详解
解：
选：B
点睛
题考查双曲线离心率计算关键找关系基础题
5．已知函数（ ）
A．图关直线称 B．图关点称
C．单调递减 D．单调
答案B
解析观察函数特点求出定义域定义域根选项代入特殊值判断函数称性单调区间进步证明
详解
解：函数定义域
排A排C
定义域单调递增定义域单调递减
定义域单调递增排D
现证明B正确性：
图关点称
选：B
点睛
题考查函数基性质定义域单调性称性中档题
6．已知量量量夹角（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析量行坐标运算参数值根两量垂直
详解
解
时量量夹角．
选D
点睛
题目考查量行坐标运算量点积坐标运算量两作：①载体作：关键利量意义作脱量外衣转化熟悉数学问题②工具作：利量解决垂直行夹角距离问题
7．点作圆圆切线切点分AB值（ ）
A． B． C． D．5
答案B
解析通切线长定理出点线段垂直分线求出线段垂直分线方程代入点坐标进步代入利二次函数性质求值
详解
图：
圆切线性质：
点线段垂直分线
垂直分线
点点坐标满足
值
选：B
点睛
题考查圆切线问题关键目标式转化变量函数求函数值难度考查学生计算力
8．已知函数图象点相邻两零点距离图象图象点（ ）
A．先右移单位长度点横坐标变原坐标变
B．先右移单位长度点横坐标变原坐标变
C．先右移单位长度点横坐标变原倍坐标变
D．先右移单位长度点横坐标变原倍坐标变
答案A
解析题意知∵∴∵∴：∴图象先右移单位长度点横坐标变原倍坐标变图象选A
9．ABCDEF六名学参加项赛决出第第六名次ABC三询问赛结果裁判A说：B第名B说差C说：AB成绩回答分析：六名次（ ）种情况
A．720 B．240 C．180 D．128
答案C
解析根裁判说AB第B第六CAB成绩C名次分类讨求出结果
详解
CAB成绩AB第C第六第五
C第四名时B第五A第六种
C第三名时种
C第二名时种
C第名时种
综：总种
选：C
点睛
题考查分类计数原理重点理清裁判话进行分类讨中档题
10．函数区间值M值m（ ）
A．a关b关 B．a关b关
C．a关b关 D．a关b关
答案B
解析设结合二次函数图象性质设函数处取值处取值答案
详解
解：设
∴
设函数处取值处取值
∴a关b关
选：B．
点睛
题考查知识点二次函数图象性质熟练掌握二次函数图象性质解答关键．
11．已知水面篮球球中心斜行光线射阴影椭圆（图）面直角坐标系中椭圆中心O原点设椭圆方程篮球面接触点H长（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析行光线射程中椭圆短半轴长圆半径球心椭圆中心距离椭圆长半轴球心面做垂线垂足直角三角形求结果．
详解
解：射程中椭圆短半轴长圆半径
图
中点球心椭圆中心距离椭圆长半轴
球心面做垂线垂足
构成直角三角形中
选：B．
点睛
题考查圆锥曲线实际背景作解决题关键清楚行光线射投影中球量中变变量．
12．已知2开始连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表第行2第行46第三行12108第四行14161820图示宝塔形数表中位第i行第j列数记（ ）
A．65 B．70 C．71 D．72
答案C
解析题意正偶数等差数列图摆放找行放数行数字总数数列项关系发现规律
详解
解：图知第行放1偶数第二行放2偶数第3行放3偶数…
指图中摆放第行第列
先求第行偶数
该偶数2020接成行数字
时
第44行偶数1980第45行第45偶数1982
利等差数列意两项间关系知2020应出该行第451926列
．
选：C．
点睛
题考查等差数列通项公式意两项间项项数间关系考查学生观察分析力考查简单合理推理等基础知识考查运算求解力推理证力中档题．
二填空题
13．设直线圆交点________
答案1
解析坐标代入直线圆方程消值
详解
解：直线圆交点
坐标代入直线圆方程
① ②
①②
答案：
点睛
题考查直线圆交点问题基础题
14．已知函数奇函数时曲线点处切线方程________
答案
解析求出时函数解析式计算值求出切线方程．
详解
解：∵函数奇函数
时
妨设
时
切线方程：
整理：
答案：．
点睛
题考查函数奇偶性问题考查求函数切线方程道中档题．
15．边长1正方形ABCD中动点P点C圆心BD相切圆值________
答案3
解析根题意A坐标原点ABx轴ADy轴建立坐标系ABCD坐标直线BD方程进圆C方程设P坐标量坐标公式坐标量坐标计算公式进表达式相加分析答案．
详解
解：根题意图
A坐标原点ABx轴ADy轴建立坐标系：
BD方程x＋y＝1
点C圆心BD相切圆C半径
圆C方程
P圆C设P坐标
值3
答案：3．
点睛
题考查直线圆方程应涉面量基定理注意建立坐标系分析P坐标关系中档题．
16．中DBC边点面积________
答案
解析根题意画出图形结合图形求值利余弦定理求ACAB值利三角形面积公式求AD值．
详解
解：中∠BAD＝∠DAC＝60°图示
余弦定理
解AC＝6
∴AB＝10
解．
答案：．
点睛
题考查解三角形应问题基础题．
三解答题
17．角ABC边分abc已知
（1）求A
（2）求面积值
答案（1）（2）
解析(1)已知等式利正弦定理化简整理求出值确定出角A
(2)值利余弦定理列出关系式利基等式求出bc值确定出三角形ABC面积值．
详解
解：（1）：
正弦定理：
∴
∵
∴
∵
∴
（2）（1）知余弦定理
∵（仅时取等号）
∴
面积值
点睛
题考查正弦余弦定理三角形面积公式两角差正弦函数公式基等式应熟练掌握定理公式解题关键．
18．设等差数列公差d前n项等数列公q已知
（1）求数列通项公式
（2）时记求数列前n项
答案（1）（2）
解析(1)已知求公差首项
(2) ①②利错位相减法①−②．
详解
解：（1）
时
时
（2）时（1）
∴
∴
∴
∴．
点睛
题考查等差数列通项公式错位相减法求属基础题．
19．已知动圆定点x轴截弦长4
（1）求动圆圆心M轨迹方程C
（2）设x轴垂直直线l轨迹C交手两点求证：直线l定点
答案（1）（2）证明见解析
解析（1）设动圆圆心利垂径定理列方程轨迹方程
（2）设轨迹C联立根系数关系代入关系代入找定点．
详解
解：（1）设动圆圆心化简
（2）易知直线l斜率存设
韦达定理：
直线
直线定点
点睛
题考查轨迹方程求法考查直线恒定点问题考查学生运算力中档题．
20．已知函数
（1）求k
（2）确定k取值存意恒
答案（1）（2）k取值范围
解析（1）先验证合题意通导数确定单调性值求值
（2）分讨构造函数利导数求单调性值进k取值范围
详解
解：（1）
符合题意
时单调递增时单调递减
令单调递增单调递减
（2）（1）知时
存满足题意
时
（舍）
时单调速增
时
综k取值范围
点睛
题考查导数应等基础知识考查推理证力运算求解力考查函数方程思想化转化思想道难度较题目．
21．已知椭圆直线交点点P椭圆C点值
（1）求椭圆C标准方程
（2）设直线椭圆C交两点AB点O坐标原点面积S时求取值范围
答案（1）（2）
解析（1）设点利量坐标运算研究值建立方程求出值椭圆C标准方程
（2）设直线椭圆C联立求出点O直线l距离求出面积S表达式利基等式求面积S值根值成立条件前面求出点M轨迹方程进范围转化利导数研究单调性求出取值范围
详解
解：（1）设点题意知
时取值
椭圆C标准方程
（2）设
点O直线l距离
S取值仅①
时
代入①式整理
点M轨迹椭圆
点椭圆左右焦点
记
令T单调递减单调递增
T取值范围
点睛
题考查直线椭圆位置关系考查根系数关系应考查值问题难度较计算力求较高考查学生综合分析问题力
22．直角坐标系中曲线参数方程（t参数）原点O极点x轴非负半轴极轴建立极坐标系曲线极坐标方程点
（1）写出曲线普通方程参数方程
（2）曲线交曲线AB两点求曲线普通方程
答案（1）曲线普通方程：参数方程：（参数）（2）曲线普通方程：
解析（1）利极坐标方程化普通方程进化参数方程
（2）曲线参数方程代入曲线普通方程利根系数关系列方程求出值进曲线普通方程．
详解
解：（1）
曲线普通方程：
曲线参数方程：（参数）
（2）曲线参数方程代入曲线普通方程：
：
曲线普通方程：
点睛
题考察极坐标方程普通方程互化普通方程参数方程互化考查直线参数方程应基础题．
23．已知
（1）求等式解集
（2）值M求值
答案（1）（2）
解析（1）求出范围进范围
（2）首先求出值值利柯西等式基等式求值
详解
解：（1）∵
等式解集：
（2）
点睛
题考查解绝值等式柯西等式基等式应中档题
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